Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 11 năm 2023-2024 có đáp án - Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định

SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: TOÁN. Khối: 11 Thời gian làm bài: 60 phút. ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm có 05 trang

Mã đề 498

0;20 . Tính xác suất số được chọn chia hết cho 4.

Họ và tên học sinh:……………………………… Số báo danh:…………….

]

Câu 1: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên trong đoạn [

2 7

3 10

1 4

5 21

. A. . B. . C. . D.

sin

1 − −

sin x .cot = y x x . A. = y . B. . tan x

cos

1 − +

−

x m

2 0 − + =

2023; 2023

cos 1 để phương trình ( )

)1 sin

tan tan − + + = y x . C. D. π 4 Câu 2: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ 3 x cos3 π   3   x .     

   Câu 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc (

C. 4043. D. 2022. có nghiệm. A. 4044.

x = − .

. Phương trình đường chuẩn của parabol là: 20 x Câu 4: Cho parabol có phương trình:

x = − .

4 x = . 5

5 x = . 4

4 5

sin



C. D. A. B. B. 2023. 24 = y 5 4

sin 3 3

sin 5 5

sin

biết rằng . Câu 5: Tìm giá trị sin x thỏa mãn

x 

3 5

5 6

sin sin x  x  . . A. B. C. D. . . 5 6 3 5

−

= . Giá trị của biểu thức

sin

cos

2 3

−

= − + + bằng. A x x 2 cos 4 sin Câu 6: Cho + 2 sin 2 x 3 tan

143 81

62 81

. . . B. A. C. D. . x + 2 62 81

)5; 4

(

)2;1

−

= .

16 0

11 0

y− 4

y+ 5

x − = . 1 0

, Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có

D. B.

19 81 )1;3A ( . Đường thẳng ∆ đi qua , đỉnh A và cắt cạnh BC tại D sao cho diện tích tam giác ADC bằng 2 lần diện tích tam giác ADB . Phương trình đường thẳng ∆ là = . A.

7 =

− = . y+ 2 + u u 3 3

)nu là dãy số tăng

)nu thỏa mãn

131

d = . 4

, biết ( Câu 8: Tìm công sai d của cấp số cộng (

x C. +  u 1  2 u  1 C.

2 2 + + u u 2 3 d = . 6

d = . 8

cot 2

D. B. A.

) 0;2π là

trên khoảng (

d = . 3 + Câu 9: Số nghiệm của phương trình tan x

−

A. 2. B. 1.

x 11

D. 0. + bằng Câu 10: Tổng tất cả các nghiệm của bất phương trình

5 − . 6

7 6

5 3

C. . D. A. . B. . C. 3. + = 1 5 6

+ + .

)

(

3 2 3 2 − + − bằng a b c . Tính a b c

) B. 220.

2 CD=

Câu 11: Giá trị ( A. 111. C. 181. D. 92. và . Gọi Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB CD

1/5 - Mã đề 498

∩

O AC BD

. Mặt phẳng (

)α qua O và song song với CD và SB cắt các cạnh AD, BC, SC, SD MN PQ

lần lượt tại M, N, P, Q. Tỉ số bằng?

5 2

3 2

−

. A. 1. C. 2. D. B. .

cos

sin

x 2

tuần hoàn với chu kì T bằng Câu 13: Hàm số

π 2

π= 2T π= 4T . A. . B. π=T . C. . D.

x − 1

2 , π

∈

2 ; π

2 , π

∈

; π k

là Câu 14: Tập xác định của hàm số



+ 1 cot 2 cos x   .  

2 , π

∈

; π k

, π k

; π k

A. B.



π 3 π 3

2 π 3 π 3

     

  .  

     

  .     .  

C. D.

∈

, (

(

)

Câu 15: Vị trí các điểm B, C, D trên cánh quạt động cơ máy bay trong (hình vẽ) có thể được biểu diễn cho các góc lượng giác nào sau đây?

k Z . B. )

k Z .

∈

−

(

k Z

, (

)

∈ . D. )

k Z .

π π k − + 3 6 π π 2 3 6

π π k + 2 3 − π k 6

π 2 3

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD, gọi ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Khẳng định nào

∆ 

BD∆ 

. sau đây đúng? AB A. . B. . C. . D.

3 1

2 cos − x 2 sin − x

. Khẳng định nào sau đây đúng? Câu 17: Gọi S là tập nghiệm của phương trình

2 , π

∈

= − +

∈

+ 2 , π ∈ S k k B. A. S = ∅ .   .  

π 6

  .  

  

  .  

C. D. π  = ±  6  π   6 

Câu 18: Cho tứ diện ABCD , gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD, CD và BC . Xét các

phát biểu sau? (1). Đường thẳng QN cắt đường thẳng AB . (2). Đường thẳng QN cắt đường thẳng CD . (3). Đường thẳng QN cắt đường thẳng MP. (4). Đường thẳng QN cắt đường thẳng AC và BD . Có bao nhiêu phát biểu đúng? B. 3. A. 2. C. 4. D. 1. Câu 19: Trong không gian cho hai đường thẳng a và b . Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Nếu a và b tương ứng thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì a và b chéo nhau. B. Nếu a và b không có điểm chung thì a và b song song. C. Nếu a và b cắt nhau thì có một mặt phẳng duy nhất chứa a và b . D. Nếu a và b không có điểm chung thì a và b chéo nhau.

n ∈  . Công bội q của cấp số nhân đó bằng

)nu với

1 3

 − 

  

q = − .

, Câu 20: Cho cấp số nhân (

q = − .

2 q = .

1 q = . 3

1 3

)H biết rằng một tiêu điểm của (

2 3 )H cách hai giao

A. B. C. D.

Câu 21: Viết phương trình chính tắc của hypebol (

2/5 - Mã đề 498

−

= . 1

)H với trục Ox các khoảng cách lần lượt là 2 đơn vị và 50 đơn vị? y x − 576 100

− 2304 196

x 2500

y 4

2α= . Tính

điểm của ( x A. C. D. B.

sin sin

y 4 α α

x 2304 + α − α

3P = .

. Câu 22: Cho tan

P = − .

cos cos 1 P = . 2

1 − . 2

< vô nghiệm.

2 2 −

14 0

A. B. C. D.

Câu 23: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình A. 10. B. 8. C. 7.

+ + mx m 5 D. 9.

)nu nào sau đây bị chặn

Câu 24: Dãy số (

( = −

n ) 1 3 ,

∈  . B.

*  . D.

= − = ∈ = n 1 2 , u n , sin n n , A. . C. ∈  ∈  . + − n n 2 1 1

Câu 25: Cho đường tròn lượng giác và góc lượng giác α như hình bên, diện tích hình thang ABCD bằng

)2 α

2sin

− α cos ( + α 1 cos

) α

cos . A. . B.

)2 α

( + α 1 sin α sin ( + α 1 cos α 2 cos

sin − . . D. C. α α sin 2 cos

= + là: sin x cos x Câu 26: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 4

1 8

. A. 1. B. . C. . D. y 3 4

2 x m m

(

) 1

− − + − − = có 4 x m 3 2 25 x 0 Câu 27: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình    

.S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với AB CD

3 x−

B. 3. C. 4. nghiệm phân biệt. A. 6. Câu 28: Cho hình chóp

3 x−

4 x−

(

)

(

)

(

)

a 4

5 a 4

D. 5. 2 = = AD AB . Tam , )α qua M < < . Mặt phẳng ( giác SCD đều cạnh a . Gọi M thuộc cạnh AD sao cho AM x= , 0 a và song song với AB và SC cắt BC, SB, SA lần lượt tại N, P, Q. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x. 3 x . . D. . . B. C. A.

5 a 4 Câu 29: Một rạp hát có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt. Hàng thứ nhất có 17 ghế, hàng thứ 2 có 20 ghế, hàng thứ ba có 23 ghế,…cứ tiếp tục cho đến hàng cuối cùng (hình vẽ). Trong một buổi biểu diễn ca nhạc, rạp hát đó đã bán được vừa hết số vé tương ứng với số ghế trong rạp hát. Tính số tiền thu được từ việc bán vé, biết rằng mỗi vé xem có giá 200000 đồng? A. 182 triệu.

B. 154 triệu. C. 194 triệu. D. 160 triệu.

Câu 30: Cho một đa giác lồi có 60 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đó. Tính xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có bốn cạnh là bốn đường chéo của của đa giác đó?

24486 32509

22737 32509

1386 1711

26235 32509

. . B. . C. . D. A.

Câu 31: Đường Vôn Kốc là một hình có tính chất toàn bộ hình “đồng dạng” với từng bộ phận của nó. Nó được xây dựng bằng phương pháp lặp như sau: Từ đoạn thẳng AB ban đầu, ta chia đoạn thẳng đó = , dựng tam giác đều CED rồi bỏ đi khoảng CD . Ta được thành 3 phần bằng nhau AC CD DB 1K . Lặp lại quy tắc đó cho các đoạn AC, CE, ED, DB ta được đường gấp khúc ACEDB kí hiệu là

3/5 - Mã đề 498

2K (hình vẽ). Tiếp tục lặp lại quy tắc đó cho từng đoạn của

đường gấp khúc

2K ta được đường 3K ….Lặp lại mãi quá trình đó ta được một đường gọi là đường Vôn Kèc . Giả sử đoạn

gấp khúc

6K .

thẳng ban đầu có độ dài a, tính độ dài đường gấp khúc

−

(

)

7 3

74   3 

  

64   3 

... + +

7 4 . A. . B. . C. . D.

) 1 a− 6 3 2022 0 A 2022

   2 2020 2022

1 2021 2022

2022

2023

−

2022

−

P =

? Câu 32: Tính giá trị của biểu thức

2021 1 A 2022 1 2022!

1 2022!

1 2023!

. B. . C. . D. . A.

Câu 33: Mệnh đề nào sau đây đúng?

cos

;

  

đồng biến trên khoảng . A. Hàm số

sin

;

. nghịch biến trên khoảng B. Hàm số

tan

;

. nghịch biến trên khoảng C. Hàm số

cot

;

π π  29 27  4 4  π π  29 27  4 4  π π  29 27  4 4  π π  29 27  4 4 

        

. nghịch biến trên khoảng D. Hàm số

Câu 34: Từ tập hợp gồm 2023 số nguyên dương đầu tiên, có bao nhiêu cách chọn ra ba số phân biệt sao

3 1012C .

cho ba số đó lập thành một cấp số cộng. A. B. 1021110.

− =

2sin

2 0

C. 1022121. −

2 2023C . D. trên khoảng (

) 0;100 là

cos π

Câu 35: Tổng các nghiệm của phương trình sin cos

1023 2

. C. A. . B. 248π. D. 512π.

495 2 4

) C x :

(

)5; 2

12 0

y+ −

9 0

y+ − = .

8 0

− + − y x 2 y 0 A = và điểm . Qua A vẽ các Câu 36: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (

y+ − = .

= .

y+ − 1

tiếp tuyến AM, AN (M, N là các tiếp điểm). Phương trình đường thằng MN là A. 3 15 0 x D. 2 C. 2

2 2024u

)nu thỏa mãn

∀ ∈ n



1 +

u n

u n 2 nu n

. Giá trị bằng. Câu 37: Cho dãy số (

x B. 4 = u 1    

1 2047276

1 2049301

1 2049300

. B. . C. . D. A. .

1 2047277 cos x   

+ = m có Câu 38: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình .cot tan − + x x cos 4 π 3 x π 6 +    x    sin   

cos 2

cos 2y

nghiệm. A. 3. C. 4. cot B. 6. = 1 S +2 x D. 5. 2 cot y , tìm giá trị giá trị nhỏ nhất của = . Câu 39: Biết rằng

4/5 - Mã đề 498

11 2

A. 4. C. 8. D. 6. B. .

Câu 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA và )α thay đổi qua MN cắt các cạnh SB, SD tại P, Q. Tính giá trị nhỏ nhất minT của

SC . Mặt phẳng ( SP SQ + SB SD

1 = . 2 = . T B. min T C. min

T D. min

T A. min

1 = . 2

1 = . 4

------ HẾT ------

5/5 - Mã đề 498

SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: TOÁN. Khối : 11 Thời gian làm bài: 75 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm có 01 trang

SBD:………………………………….Họ và tên học sinh:…………………………………..

−

(sin 2

---------------------------------------------

+ +

sin 2sin

x x

4) cos 3

4 2

+ −

0 = .

. [1.5 điểm] Giải phương trình: Câu 1.

Câu 2.

)

)(

Câu 3.

, , BC CA AB của tam giác [1.5 điểm] Giải phương trình ( [1.5 điểm] Ba bạn An, Bình, Chiến mỗi người chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc đoạn ] [ 1;2023 . Tính xác xuất để ba số được chọn có tổng chia hết cho 3. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 2. [1.0 điểm] Cho tam giác ABC gọi Câu 4.

2a 3 =

+ b c

(

)

cot thỏa mãn . Tính cot . , , a b c theo thứ tự là độ dài ba cạnh A 2 B 2

, . Gọi M, Câu 5.

)

( CN SAB 

GMN cắt SC tại L. Tính tỉ số

[3.0 điểm] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD BC N lần lượt là trung điểm các cạnh SB và SD . a) Chứng minh rằng .

)

SL SC

. b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, mặt phẳng (

)α thay đổi và luôn đi qua MN cắt các cạnh SA, SC tương ứng tại P và Q. c) Một mặt phẳng ( SA SP

2 + Chứng minh rằng 6 = . SC SQ

)nu biết

[1.5 điểm] Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( Câu 6.

( 2 2

)

1 +

3 1 4 12 1, = + + + + + + ∈ n n n n  u n u n = u 1  9 u  n

Trang 1/4 - Mã đề thi 101

…………………HẾT…………….

PHẦN 1. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

CÂU 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 498 D D D B D C C A D B B C C D C B C D C A D D C D C D B A A B C D B C B A D A D B 499 C A A B C C A D D B D C B B A C C C C B B A A D C A B C C D D B D B B D D D B B 500 B D B D A D C D A B B A C A A C A D B A B C A B D D A D B B B D A D D A C B D D 501 D D A C C D A C B A C B C B C C D A B A D D A B A B D A A B A D B A C B C B A A

PHẦN 2. ĐÁP ÁN TỰ LUẬN

−

(sin 2

CÂU ĐIỂM

+ +

x x

sin 2sin

Giải phương trình: . NỘI DUNG − x 4) cos 3

3 −

x ≠ − x (sin 2

(

)( 1 sin cos

)

Trang 2/4 - Mã đề thi 101

Điều kiện: 2 sin 1 (1.5 điểm) 0.5 + − + = . PT tương đương với − = ⇔ 2 0 sin 4) cos x x 2 cos x x x 2 0

2 cos

1 0

− =

⇔

2 π

⇔ = ± x

2 0 v« nghiÖm

+ =

π 3

sin cos x

(

)

  

2 π

0.5

π 3

4 2

+ −

Đối chiếu điều kiện ta được , k ∈  . 0.5

Giải phương trình (

)

)(

3 −

x x

0 = . )

(

x ≥ − . Trục căn thức đưa về

4 2

+ +

... ⇔ ⇔

0.5 Điều kiện

−

( ) 0 *

0.5

)

= x  ( 

...

⇔ ⇔ ∈

;2 2 2 +

2 (1.5 điểm)

( ) *

)(  1 +   

    

∈

;2 2 2 +

0.5

    

  0;   

3 2023

. Phương trình có 3 nghiệm

) ( n Ω =

]

. 0.5

có .

Z =

) 674 ) 675 . ) 674

( n X = ( n Y = ( n Z =

Y = - Tập hợp Y các số chia cho 3 dư 1: 0.5 - Tập hợp Z các số chia cho 3 dư 2: có . Ba bạn An, Bình, Chiến mỗi người chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc đoạn [ ] 1;2023 . Tính xác xuất để ba số được chọn có tổng chia hết cho 3. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 2. Ta có KGM. Ta phân hoạch tập số tự nhiên trong đoạn [ 1;2023 thành 3 tập hợp } { 3;6;...;2022 X = - Tập hợp X các số chia cho 3 dư 0: { } 1;4;...;2023 có { } 2;5;...;2021

3 675

3 (1.5 điểm)

.3!

674 + + .

1 1 . C C C 674 675

1 674

674

3 675

.3!

Xét các khả năng sau: TH1. Ba số mà ba bạn An, Bình, Chiến chọn cùng thuộc X hoặc Y hoặc Z là 674 TH2. Ba số mà ba bạn An, Bình, Chiến chọn thuộc ba tập hợp khác nhau là X, Y và Z là .

1 1 . C C C 674 675

1 674

0,33

Số cách chọn thỏa mãn là . 0.5

( P A

)



( ) n A 2759728723 8279186167

( n A ( Ω

) )

Từ đó .

cot

2a 3 =

+ b c

, , BC CA AB của tam giác thỏa

)

B 2

mãn . Tính cot . Cho tam giác ABC gọi ( , , a b c theo thứ tự là độ dài ba cạnh A 2

Ta có

3sin

sin

6 sin

cos

4 sin

cos

⇔

3 a

b c

(

) + ⇔

( 2 sin

)

A 2

+ B C 2

3cos

2 cos

cos

5sin

sin

cot

.cot

0.5 4 (1.0 điểm)

⇔

5 = .

+ B C 2

− B C 2

A 2 B 2

B 2

C 2

B 2 =

− B C 2 C 2 BC . Gọi M, N lần

.....⇔ 0.5

)

( CN SAB 

GMN cắt SC tại L. Tính tỉ số

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD BC lượt là trung điểm các cạnh SB và SD . a) Chứng minh rằng .

)

SL SC

Trang 3/4 - Mã đề thi 101

. b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, mặt phẳng (

)α thay đổi và luôn đi qua MN cắt các cạnh SA, SC tương ứng tại P và Q. c) Một mặt phẳng ( SA SP

2 + Chứng minh rằng 6 = . SC SQ

5 (3.0 điểm)

SAB

, CN BR CN ⊂

)



a) Gọi R là trung điểm cạnh SA thì tứ giác BCNR là hình bình hành.

)

( CN SAB 

⊂

( )

(

)

1.0 Ta có .

(

)

(

)

∆ 

BD MN 

 ⇒  ( ⊂ GMN

BR ( ( ∈

SAB ) , ) ABCD

 ⇒ ∩ = ∆ ABCD GMN b) Có , với ∩ G MN ABCD MN ( GMN )     0.5

(

∩ và ∆ qua G. SC Trong (ABCD) ∆ cắt CD tại H, trong (SCD) HN cắt SC tại L thì = .

5 2

3 = ⇒ 5

CO +

) GMN L CD CO = = CH CJ CO OJ

Ta có .

2 = ⇒ = ⇒ = . 5

2 7

HC HD ND LS HC NS LC HD

LS LC

SL SC

∆

SPI

⇒

0.5 Áp dụng Menelauyt ta có

∆

SAO

SAC

1 2

2 3

SP SI . SA SO

SP SA

S S

SP SA

∆

SAO S

SAC S

∆

SQI

Ta có , vì . c) Rõ ràng PQ đi qua trung điểm I của SO. 1 3 0.5

∆

SCO

SAC

1 3

∆

. . = = ⇒ = Tương tự , vì . 1 2 1 6 S SQ SI . SC SO SQ SC S SQ SC

SCO S

∆

SQI

SPQ

∆

SPI

∆ S

∆

SAC

SAO

SAC S S SA ⇔ + SP

S S . . + = = + = + Từ đó , mà . S S SP SQ . SA SC S 0.5 . 6 2 = + Từ đó ta có = (đpcm). 1 3 1 3 1 6 1 6 S ∆ SCO SP SQ . SA SC SP SA SP SA SQ SC SQ SC

)nu biết

( 2 2

)

1 +

3 Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( 3 1 4 12 1 = + + + + + + n n n u n u n SC SQ = u 1  9 u  n

(

( 2 2

)

(

1 +

0.5 3 1 2 9 3 2 3 ⇔ 1 + = + + = + 1 + + + n n n 3 + u n u n u n u n

∀ ∈  với