CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014-2015
ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm).
f x
2014 2
2015 2
x
2
x
3
x
2
x
Tìm tập xác định của hàm số: .
Câu 2 (1,0 điểm).
1; .
f x
x
x
1
2015
x
2015
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên khoảng
x là một hàm số lẻ.
f x
b) Chứng minh rằng hàm số
2
19 3
x
4
x
6
x
6 2
x
12 3
Câu 3 (1,0 điểm).
x .
Giải phương trình:
2
2
x
2
y
3
xy
1 0
y
Câu 4 (1,0 điểm).
2
2
x
y
3 0
y
Giải hệ phương trình:
m
2
m
2
x m 2
2 0
Câu 5 (1,0 điểm).
21 x
Tìm tất cả các giá trị của m sao cho bất phương trình
vô nghiệm (x là ẩn, m là tham số). Câu 6 (1,0 điểm).
,
,
Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O và G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB và G’ là trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh rằng O, G, G’ thẳng hàng. Câu 7 (1,0 điểm).
BC a CA b AB c . Chứng minh
2
2
A
tan
C
2 tan
a
b
22 c và tan
B thì tam giác ABC đều.
Cho tam giác ABC không vuông và có các cạnh
rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn Câu 8 (1,0 điểm).
H
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC không là tam giác vuông và nội
2; 2
tiếp đường tròn (I) ( đường tròn (I) có tâm là I ); điểm là trực tâm tam giác ABC. Kẻ
M
N
P
các đường kính AM, BN của đường tròn (I). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết
5;3 ,
1;3
4; 2
và đường thẳng BC đi qua điểm .
Trang | 1
Câu 9 (1,0 điểm).
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
,
a b c
2015
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ,
2
2
2
2015
2015
2015
a
b
c
6 2 2
Cho . Chứng minh rằng:
a a bc
b b ca
c c ab
2015 a
2015 b
2015 c
.
Trang | 2
-------------Hết-------------
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
ĐÁP ÁN Nội dung trình bày
2
Điểm (2,0 điểm)
x
2
x
3 0
f x xác định khi và chỉ khi
x
2
x
0
2
3
x
1
2
Câu 1 Hàm số 1,0
0
1;0
2;3
0,5
f x là
S
0
. Vậy tập xác định của hàm số 0,5
x x 2 x 3 1 x (1,0 điểm) a.(0,5 điểm)
1;
,
2
x x , 1 2
x 1
x 2
Với mọi ta có:
x 2
1
f x 2
x 1
K
x 1 1 x 1
x 2 x 2
f x 1 x 1
x 2
0
1 1
x 2 1
1
1
1 1
x 1 x 1 2 x x 1 1 2
x x 2 1 x x 1 2
x 1 x 1
x 1
x 2
x 2
x 1
x 2
0,25
,
x x ). 1; 1
2
0K
0,25 (Do
1; .
f x
Do đó đồng biến trên
b.(0,5 điểm)
,
f
x
2015
x
2015
2015
x
2015
x
x
Tập xác định của hàm số là . Với mọi x D , ta có x D 0,25
f x
f x
suy ra
2015; 2015 D
0,25
2
x
x
6 0
0
3
x
2
là hàm số lẻ. (1,0 điểm)
0
Điều kiện xác định: .
x 2 3 x Bất phương trình đã cho tương đương với:
19 3
x
4
2
x
3
x
6
2
x
2 3
x
0,25
t
2
x
2 3
x t ,
3
0
ta có:
2
t
2
x
x
4
2
x
3
x
14 3
x
4
2
x
3
x
4 3
Đặt
1
2
2
0,25
5
t
t 6
t
t 6
5
t 5 0 t
Trang | 3
Thay vào phương trình trên ta được:
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
t
1
2
x
2 3
1
2
x
x
x
4
2
x
3
x
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
1
4 3
2
3
x
13 4
x
6
0
x
vô nghiệm do 3
2x
t
5
2
x
2 3
5
2
x
x
x
4
2
x
3
x
25
+) 0,25
4 3
2
x
x
6
x
11 3
2
2
4
x
6 11 3
x
x
0
16 x 11 3
+)
2
x
50
x
25 0
25
x
1
0,25
11 3
x
S
thỏa mãn điều kiện.
1
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .
2
2
(1,0 điểm)
x
2
y
3
xy
y
I
2
2
x
y
3 0
y
1 0 1 2
4
y
1
x
y
x
2
y
0,25
1
x 1 0 x
2
y
1
2
2
x
1
2
y
3
y
2 0
Ta có 1
y thay vào (2) ta được
y y
1 2
Với
y
2
1
. x
y
0,25 +)
. x
1 2
3 2
1
y
2
x
y 2
1
5
y
3
y
0
2
+)
thay vào (2) ta được
2 5
y
Với
y
1
1
. x
y
0,25 +)
. x
2 5
9 5
;
+)
1;2 ,
1; 1 ,
;x y là:
3 2
1 2
9 2 ; 5 5
,
. Vậy, hệ (I) có nghiệm 0,25
x m 2
2 0
m
m
2
2
x
(cid:0)
21 x
(cid:0)
6
x
4 0,
x
x
,
x
0,25 (1,0 điểm) Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi
1m thì
(cid:0) vô lí.
m
2
m
2
x m 2
2 0
x
TH1. Nếu 0,25
2 3 (cid:0)
1m thì
21 x
m
TH2. Nếu
2
m
4
m
6 0
m
'
2
m
m
2
0
1 0
1 2
1 m 2
0,25
Trang | 4
5
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
1
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
m
2
10
m
2
10
.
m
2
10
m
; 2
10
0,25
Vậy tập hợp các giá trị của m là .
S
3.
OG
6
.
3.
3.
0,5
OM ON OP
3.
2
OA OB OC
3
OM ON OP
(1,0 điểm) Bài này học sinh không nhất thiết phải vẽ hình. Kết quả cơ bản: cho tam giác ABC trọng tâm G. Khi đó với mọi điểm O ta có OA OB OC Do M, N, P lần lượt là trọng tâm các tam giác OBC, OCA, OAB nên: OB OC OC OA OA OB
' OG
OG
OG
2.3.
3.3.
2.
3.
O G G
,
,
'
thẳng hàng.
0,5 Cộng từng vế 3 hệ thức trên ta được: OG '
7
tan
A
2
2
2
2
sin cos
A A
a
b
abc 2 c
a
R b
0,25
tan
B
, tan
C
(1,0 điểm) Theo định lí hàm số sin và côsin ta có: a 2 R 2 c bc 2
2
2
2
2
abc 2 a
b
abc 2 b
c
R c
Tương tự ta có .
tan
A
tan
C
2.tan
B
2.
2
2
2
2
2
2
abc 2 c
a
abc 2 c
b
c
R a abc 2 b
R b
R a
R a
2.
2
2
2
2
2
2
a
c
a
b
1 2 c
1 2 c
1 2 b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
b
c
b
c
a
a
c
b
0,25
2
2
2
2
2
2
a
c
a
b
c
b c 2 b
2
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
a
b
c
c
a
b
2
b
a
c
a a
0,25
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
c
c
c
b
2
b
0
b 2
(do b
b
a
22 c
2
2
),
c
b
b
. a
M
N
,
0,25
của HM, HN. Do đó .
2 a a 22 kết hợp với c a Vậy tam giác ABC đều. (1,0 điểm) Nhận xét. Các tứ giác BHCM, AHCN là các hình bình hành suy ra nếu gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA thì E, F cũng tương ứng là trung điểm 3 5 ; 2 2
7 5 ; 2 2
Trang | 5
8
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
M
4
2
BC
:
y
6 0
x
nên: Đường thẳng BC đi qua điểm P(4;2), CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 7 5 ; 2 2
4
2
x 7 2
y 5 2
.
AHn
0,25
1; 1
H
AH vuông góc với BC suy ra AH có vtpt , kết hợp với AH đi qua
2
AH
:1
x
1
y
2
0
0
y
. x
2; 2
A AH
;
;6
b
điểm suy ra:
A a a C BC ,
C b
Do F là trung điểm AC nên:
x
A
x C
x
F
A
C
2; 4
.
1;1 ,
a b 6 a
3 b
5
y
a b
1 2
y C
A
y
F
2 2
.
Do E là trung điểm của BC nên:
x C
x B
x
E
2
5
B
5;1 .
y
x B y
2
x E y
x B y
1
B
y C
B
E
x C y C
B
y
E
A
B
C
2; 4
0,5
2 2 1;1 ,
5;1 ,
Vậy .
A
F
N
H
0,25
I
C
B
E
P
M
(1,0 điểm) Thay 2015
a b c
6 2 2
thì bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: b c a ca
c a b ab
a b c
c a b
b c a
a b c bc
0,25
Trang | 6
9 Ta có 0,5
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
6
6
a b c bc
b c a ca
c a b ab
a b
a c
b a
b c
c a
c b
2
2
2 2
.2 2
.2 2
.2
b c a
c a b
a b c
c a b
a b c
b c a
2 2
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
b c a
c a b
a b c
.
a b c
2015 3
0,25 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Trang | 7
----------------------Hết----------------------
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU
- Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.
- Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.
- Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh
kiến thức và tối ưu kết quả học tập.
CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ
- Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất. - Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung thời gian tốt nhất để học. - Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):
+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.
+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới.
HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM
-
Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.
- Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ động thời gian học tập của mình.
- Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian ngắn nhất.
- Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề nhanh hơn - hiệu quả hơn.
- Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên toàn quốc.
Trang | 8
- Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá trình học.
![Đề thi Tiếng Anh có đáp án [kèm lời giải chi tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250810/duykpmg/135x160/64731754886819.jpg)
