UBND THÀNH PHỐ HẢI DƯƠNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH LỚP 9 – LẦN 2
NĂM HỌC 2023 - 2024
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề gồm 06 câu, 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình
21
5
3
x
b) Giải hệ phương trình
2 1 3
3 1 0
xy
xy
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức
2 5 1 :4
3 6 2
x
Ax
x x x x




với
0; 4; 16x x x
b) Cho hai đường thẳng
2
: 1 2 3d y m x m
và
, với
m
là tham số.
Tìm
m
để hai đường thẳng đã cho song song với nhau.
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Công ty HD xây dựng kế hoạch cho 2 phân xưởng sản xuất với tổng sản phẩm làm được là 520 sản
phẩm. Tuy nhiên, các phân xưởng đều rất trách nhiệm và áp dụng tốt kĩ thuật nên đã nâng cao hiệu quả
công việc. Vì thế, phân xưởng thứ nhất vượt mức so với kế hoạch là 10%, phân xưởng thứ hai vượt mức
so với kế hoạch là 20% và tổng số sản phẩm sản xuất được của 2 phân xưởng là 596 sản phẩm. Hỏi theo
kế hoạch ban đầu, mỗi phân xưởng làm bao nhiêu sản phẩm?
b) Cho phương trình
22
2 1 2 0x m x m
, với
m
là tham số. Tìm
m
để phương trình có hai
nghiệm phân biệt
12
;xx
thoả mãn
2 2 2
1 2 1 2
3 2 1x x m x x
.
Câu 4 (1,0 điểm). Một người đứng ở vị trí
A
trên nóc một ngôi nhà cao
4 m
đang quan sát một cây cao, cách ngôi nhà 20 m và đo được
0
45BAC
(tham khảo hình vẽ). Tính chiều cao của cây đó (theo đơn vị
mét, làm tròn kết quả đến hàng phần mười), biết rằng nếu góc
nhọn và
thoả mãn
1
tan 5
thì ta chọn
0
11
.
Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn
ABC
có
AB AC
, các đường cao
BD
và
CE
cắt nhau tại
H
.
a) Chứng minh rằng tứ giác
ADHE
nội tiếp đường tròn.
b) Gọi
M
là trung điểm của
BC
, đường thẳng
DE
cắt
BC
tại
N
,
AH
cắt
BC
tại
K
. Chứng minh
rằng
DEK DMC
và
NH AM
.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho
,xy
là các số thực không âm, thoả mãn
2x
và
22xy y
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
2
22
21
11
yy
xx
Bx y x y
UBND THÀNH PHỐ HẢI DƯƠNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH LỚP 9 – LẦN 2
NĂM HỌC 2023 – 2024
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề gồm 06 câu, 01 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1a
a) Giải phương trình
21
5
3
x
.
+ Ta có
21
5 2 1 15
3
xx
0,5
2 16 8xx
+ Vậy phương trình có nghiệm là
8x
.
0,5
1b
b) Giải hệ phương trình
2 1 3
3 1 0
xy
xy
.
+ Ta có
2 1 3 25
31
3 1 0
xy xy
xy
xy


0,25
6 3 15 7 14
3 1 3 1
x y x
x y x y




2
31
x
xy
0,5
22
3 3 1
xx
yy






+ Vậy hệ phương trình có nghiệm
; 2;1xy
.
0,25
2a
a) Rút gọn biểu thức
2 5 1 :4
3 6 2
x
Ax
x x x x




với
0; 4; 16x x x
.
+ Ta có
2 5 1 :4
3 6 2
x
Ax
x x x x




22 5 3 1
.4
3 2 3 2 3 2
xx x
x
x x x x x x





12 1
.4
32
xx
x
xx


0,5
43
1
.4
32
xx
x
xx


1
2x
.
+ Vậy
1
2
Ax
.
0,5
2b
b) Cho hai đường thẳng
2
: 1 2 3d y m x m
và
, với
m
là tham số. Tìm
m
để hai đường thẳng đã cho song song với nhau.
+ Điều kiện để hai đường thẳng song song là
21 10
2 3 6
m
mm

0,5
293
39
mm
m
+ Vậy
3m
.
0,5
3a
a) Công ty HD xây dựng kế hoạch cho 2 phân xưởng sản xuất với tổng sản phẩm làm
được là 520 sản phẩm. Tuy nhiên, các phân xưởng đều rất trách nhiệm và áp dụng tốt
kĩ thuật nên đã nâng cao hiệu quả công việc. Vì thế, phân xưởng thứ nhất vượt mức
so với kế hoạch là 10%, phân xưởng thứ hai vượt mức so với kế hoạch là 20% và tổng
số sản phẩm sản xuất được của 2 phân xưởng là 596 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch
ban đầu, mỗi phân xưởng làm bao nhiêu sản phẩm?
+ Gọi số sản phẩm theo kế hoạch mà phân xưởng thứ nhất và thứ hai làm được lần
lượt là
,xy
(sản phẩm) (
,xy
)
Tổng sản phẩm làm được là 520 sản phẩm nên
520xy
0,25
+ Thực tế, số sản phẩm phân xưởng thứ nhất làm được là
10% 1,1x x x
,
số sản phẩm phân xưởng thứ hai làm được là
20% 1,2y y y
0,25
+ Số sản phẩm mà 2 phân xưởng làm được là 596 nên
1,1 1,2 596xy
Ta có hệ phương trình
520
1,1 1,2 596
xy
xy


0,25
280
240
x
y
(thoả mãn điều kiện)
+ Vậy theo kế hoạch, số sản phẩm 2 phân xưởng làm là 280 và 240 sản phẩm.
0,25
3b
b) Cho phương trình
22
2 1 2 0x m x m
, với
m
là tham số. Tìm
m
để
phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
;xx
thoả mãn
2 2 2
1 2 1 2
3 2 1x x m x x
.
+ Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là
22
' 0 1 2 0mm
0,25
1
2 1 0 2
mm
+ Vậy
1
2
m
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
;xx
0,25
+ Theo Viét:
12
2
12
2 1 1
2 2
x x m
x x m

Từ giả thiết
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
3 2 1 2 3 2 1x x m x x x x x x m
1 2 1 2 1 2
3 2 1 1 2 1 3 2 1 1x x x x m m m x x m m
Vì
1
2
m
nên
2 1 0m
, do đó
12
31x x m
(3)
0,25
+ Từ
1 , 3
ta được
1
2
75
4
3
4
m
x
m
x
.
Thay vào
2
:
22
1
7 5 3 2 9 26 17 0 17
16 9
m
mm m m m m

Kết hợp điều kiện
1
2
m
, ta có
1m
thoả mãn yêu cầu bài toán. Vậy
1m
.
0,25
4
Một người đứng ở vị trí
A
trên nóc một ngôi nhà cao
4
m đang quan sát một cây
cao, cách ngôi nhà 20 m và đo được
0
45BAC
(tham khảo hình vẽ). Tính chiều cao
của cây đó (theo đơn vị mét, làm tròn kết quả đến hàng phần mười), biết rằng nếu
góc
nhọn và thoả mãn
1
tan 5
thì ta chọn
0
11
.
K
+ Ta có
0
1
tan 11
5
AH
ABH ABH
BH
.
0,25
+ Kẻ
AK
vuông góc với
BC
tại
K
. Vì
//AK BH
nên
0
11KAB ABH
Do đó
0 0 0
45 11 34CAK
0,25
+ Xét tam giác
ACK
có
0
tan .tan 34 13,5
CK
CAK CK AK
AK
(m)
0,25
+ Chiều cao của cây là Chiều cao cây là
BC BK KC
4 13,5 17,5
(m)
0,25
5a
Cho tam giác nhọn
ABC
có
AB AC
, các đường cao
BD
và
CE
cắt nhau tại
H
.
a) Chứng minh rằng tứ giác
ADHE
nội tiếp đường tròn.
H
A
B
C
D
E
+ Do
,BD CE
là các đường cao cắt nhau tại
H
nên
0
90AEH ADH
0,5
+ Tứ giác
ADHE
có
0
180AEH ADH

nên tứ giác
ADHE
nội tiếp đường tròn.
0,5
5b
b) Gọi
M
là trung điểm của
BC
, đường thẳng
DE
cắt
BC
tại
N
,
AH
cắt
BC
tại
K
. Chứng minh rằng
DEK DMC
và
NH AM
.
H
A
B
C
N
D
E
K
M
I
+ Tứ giác
ADHE
nội tiếp nên
DAH DEH
Tứ giác
BKHE
nội tiếp nên
HBK HEK
Mà
0
90DAH C HBK C DAH HBK
Do đó
2. 2.DEK DEH HEK HBK DBM
(1)
0,25
+ Tam giác
DBC
vuông tại
D
và có
DM
là trung tuyến
Có
2.DMC DBM BDM DBM
(2)
+ Từ (1) và (2) ta có
DEK DMC
0,25
+ Gọi
I
là giao điểm của đường thẳng
NH
và đường tròn ngoại tiếp tứ giác
ADHE
0,25
Ta sẽ chứng minh
,,A I M
thẳng hàng.
Ta có tứ giác
ADHE
nội tiếp đường tròn đường kính
AH
, do đó
0
90AIH
(3)
Có
. . .
NE NI
NEI NHD g g NE ND NH NI
NH ND
+ Do
DEK DMC
nên tứ giác
DEKM
nội tiếp
Có
. . .
NE NK
NEK NMD g g NE ND NM NK
NM ND
Vậy
..
NH NK
NH NI NK NM NM NI
. Tam giác
NHK
và
NMI
có chung góc
N
Từ đó suy ra
. .NHK NMI c g c
. Do đó
NHK NMI
tứ giác
HIMK
nội
tiếp
0
90HIM
(4)
+ Từ (3), (4) ta có
0
180AIH HIM

, tức là
,,A I M
thẳng hàng. Do vậy
NH AM
0,25
6
Cho
,xy
là các số thực không âm, thoả mãn
2x
và
22xy y
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
2
22
21
11
yy
xx
Bx y x y
.
+ Từ giả thiết
2 2 1 1 3 1 1xy y x y x y
1 1 3 1
1 1 1 1x y x y
.
Ta cũng có
22
1 1 1
11
11
Bxy
xy

0,25
+ Đặt
11
;
11
ab
xy


,0ab
Khi đó
,ab
thoả mãn
31a b ab
và
22
11ab
B a b ab
+ Ta có
2
3
1 3 .
4
a b ab a b a b
.
Do đó
22
3 4 4 0 2 3 3 2 0 3
a b a b a b a b a b
(vì
2 0,ab
với mọi
,0ab
)
0,25
+ Lại có:
2
2 2 2 2 42
1 1 2 2 2 2 23
ab
a b a b




11 1 1 3 1 1
.
3 3 3 3 2 3 6
ab
ab
a b a b a b

Dấu "=" xảy ra khi
1
3
ab
0,25
+ Vậy
22 4 2 1 8 2 1
11 3 6 6
ab
B a b ab
Giá trị lớn nhất của
B
là
8 2 1
6
. Dấu "=" xảy ra khi
1
3
ab
, khi đó
4
2
x
y
0,25
----------------------------------Hết----------------------------------