Đề thi Olympic môn Toán lớp 11 truyền thống 30/4 lần thứ XVII năm 2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP. CẦN THƠ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG www.VNMATH.com ĐỀ CHÍNH THỨC Chú ý:  Đề thi này có 1 trang,  Học sinh làm bài mỗi câu trên tờ giấy làm bài riêng,  Không được sử dụng máy tính cầm tay để làm bài.<br /> <br /> KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4 LẦN THỨ XVII NĂM 2011 Khóa ngày 09 tháng 4 năm 2011 Môn thi: TOÁN; lớp 11 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể phát đề<br /> <br /> Câu 1 (3 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực: 1  1  x 2  (1  x)3  (1  x)3   2  1  x 2 .   Câu 2 (4 điểm) Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn hệ thức: p x p  y p  p  ( p  1)! . Câu 3 (3 điểm) Qua điểm S bất kì thuộc mặt cầu bán kính R ta dựng các đường thẳng đôi một hợp với nhau một góc a , cắt mặt cầu tại các điểm A, B, C ( khác S) sao cho SA = SB = SC. Xác định a để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất. Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC không tù nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng 1. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và A0 , B0 , C 0 lần lượt là hình chiếu của G lên BC, CA, AB. Các đường thẳng qua A, B, C lần lượt vuông góc với GA, GB, GC và đôi một cắt nhau tại A1 , B1 , C1 ( A  B1C1 , B  A1C1 , C  A1 B1 ). Gọi S 0 , S1 lần lượt là diện tích các tam giác A0 B0 C0 , A1 B1C1 . 32 27 Chứng minh  S0 .S1  . 27 16 Câu 5 (3 điểm) Cho dãy số  xn  xác định bởi<br /> <br /> 1   x1  4  2   x  x1  4 x2  9 x3  ...   n  1 xn 1  n n 2 (n  1)  với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1. Tìm lim  30n 2  4n  2011 xn .<br /> n <br /> <br /> Câu 6 (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : 1;   1;  thỏa mãn điều kiện f  xf ( y )   yf ( x) x, y  1; <br /> <br /> Hết<br /> Học sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.<br /> <br /> Họ và tên thí sinh:…………………………………………….……….. Số báo danh:…………………………......<br /> <br /> www.VNMATH.com<br /> <br />