TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Đề thi gồm có: 01 trang
KÌ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2024 – LẦN 3
BÀI THI MÔN 2: Môn Toán chung
Dành cho tất cả các thí sinh thi thử
Thời gian làm bài: 90 phút
(không kể thời gian phát đề)
Họ và tên thí sinh: ………………………………………..
Số báo danh: ………………………………………..........
Câu 1 (2 điểm). Cho biểu thức
2 x 9 x 3 2 x 1
A=
x 5 x 6 x 2 3 x
với điều kiện
0, 4, 9.
x x x
1.1) Chứng minh rằng
x 1
x 3
1.2) Tìm tất cả các số tự nhiên x thỏa mãn A < 1.
Câu 2 (2 điểm).
2.1) Một người gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất 0,45%/tháng. Biết rằng, nếu không rút tiền ra
khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho
tháng tiếp theo. Người đó phải gửi số tiền ban đầu ít nhất bao nhiêu triệu đồng để số tiền lãi của
tháng thứ hai không ít hơn 500 000 đồng? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của triệu đồng).
2.2) Tìm tất cả các số thực m để hai đồ thị hàm số y = 2x2 và y = mx +2 cắt nhau tại hai điểm phân
biệt A(x1;y1) và B(x2;y2) thỏa mãn (y1 + 2)(y2 + 2) + 25x1x2 = 0.
Câu 3 (2 điểm).
3.1) Giải phương trình 3 2
2 12 30 25 0.
x x x
3.2) Giải hệ phương trình
2 2 2
2 2 3
4 2 3 .
xy x y
x y xy y
Câu 4 (3 điểm). Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC cố định (BC <2R). Điểm A chuyển động
trên cung lớn BC sao cho AB < AC, tam giác ABC nhọn và không là tam giác cân. Các tiếp tuyến
tại B và C của đường tròn (O;R) cắt nhau tại K. Đường thẳng qua điểm K song song với AB cắt
cạnh AC tại I. Đoạn thẳng KI cắt đường tròn (O;R) tại D. Chứng minh rằng
4.1) Tứ giác KOIC nội tiếp một đường tròn.
4.2)
.
ABC KOI
4.3) Giá trị của biểu thức IA.IC + IO2 không phụ thuộc vào vị trí điểm A.
Câu 5 (1 điểm).
Cho các số nguyên dương
,
x y
thay đổi thỏa mãn
3 4 2025.
x y
Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
.
P xy
…..Hết…..
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM KÌ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM 2024 – LẦN 3
BÀI THI MÔN 2: Môn Toán chung
Câu Đáp án Điểm
1.1
1
điểm
2 x 9 x 3 2 x 1
A = .
x 2 x 3
x 2 x 2
0,25
2 x 9 x 3 x 3 x 2 2 x 1
A = .
x 2 x 3
0,25
2 x 9 x 9 2x 3 x 2 x x 2
A = = .
x 2 x 3 x 2 x 3
0,25
x 2 x 1
x 1
A= .
x 3
x 2 x 3
0,25
1.2
1
điểm
x 1 2 x 2
A 1 A 1 0,A 1 .
x 3 x 3
0,25
Vì
x 3
<
2 x 2
nên
x 3 0
2 x 2
0 .
x 3
2 x 2 0
0,25
x 3 0 x 3 x 9
x 1
2 x 2 0 x 1
0,25
Kết hợp với điều kiện, ta có tập hợp các giá trị x thỏa mãn là
2;3;5;6;7;8 .
0,25
2.1
1
điểm
Giả sử x là số tiền gửi ban đầu (x > 0, đơn vị là đồng).
Số tiền lãi của tháng đầu tiên là 0,45
0,0045
100
x x
(đồng).
Tổng số tiền người gửi có được sau tháng đầu tiên là
x+0,0045x=1,0045x (đồng).
Số tiền lãi của tháng thứ hai là 0,45
.1,0045 0,00452025
100
x x
(đồng).
0,25
Ta có
0,00452025 500000
x
0,25
500000
.
0,00452025
x
0,25
Vì 500000
110 613 351
0,00452025 nên đáp số cần tìm là 111 triệu đồng.
0,25
2.2
1
điểm
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol.
2 2
2 2 2 2 0
x mx x mx
2
16 0,
m
phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, suy ra hai đồ thị
luôn cắt nhau tại hai điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) phân biệt.
0,25
Theo định lí Vi-ét 1 2 1 2
, 1.
2
m
x x x x
0,25
2 2
1 1 1 2 2 2
2 2, 2 2.
y x mx y x mx
2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 4, 4 4.
2
2 2 25 2 4 25 9.
m
y y x x y y m x x
y y x x y y y y x x m
0,25
2
1 2 1 2
2 2 25 0 9 0 3.
y y x x m m
0,25
3.1
1
điểm
3 2
2 12 30 25 0
x x x
3 2
10 60 150 125 0
x x x
0,25
3 2 3
8 60 150 125 2
x x x x
3
3
2 5 2
x x
0,25
3
2 5 2
x x
0,25
3
5
.
2 2
x
0,25
3.2
1
điểm Nhận xét: y =0 không thỏa mãn. Xét y
0,
ta có 2
2
2 2
. 3
2 2
. 3.
x x
y y
x x
y y
0,25
2 2
22 2 2 2 2
2. . 6 6 0
x x x x x
y y y y y
2
2
xy
hoặc 2
3.
xy
0,25
Xét 2
2,
xy
ta có 2
. 1.
xy
Suy ra
2
,
x
y
là hai nghiệm của phương trình
2
1 2
2
2 1 0, 1 1
X X X X x y
( ; ) 1;2 .
x y
0,25
Xét 2
3,
xy
ta có 2
. 5.
xy
Suy ra
2
,
x
y
là hai nghiệm của phương trình
2
3 5 0, 0,
X X
vô nghiệm. Kết luận
( ; ) 1;2 .
x y
0,25
4.1
1
điểm
Theo tính chất tiếp tuyến ta có:
1
.
2
KOC KOB BOC
0,25
Mặt khác
1
2
BAC BOC (liên hệ giữa góc ở tâm và
góc nội tiếp).
0,25
BAC KIC(hai góc đồng vị). 0,25
Suy ra
.KOC KICVậy tứ giác KOIC nội tiếp.
0,25
4.2
1
điểm
Vẽ tia Cx là tia đối của tia CK, ta có
1
.
2
ACx ABC sdAC
0,25
Do tứ giác KOIC nội tiếp nên
180 .
KOI ICx ICK
0,25
Mặt khác
.
ACx ICx
0,25
Suy ra
.
ABC KOI
0,25
4.3
1
điểm
Gọi giao điểm thứ hai của tia DI và đường tròn là E. 0,25
Ta có
90 ,KIO KCO suy ra DE OI, vì vậy ID = IE
0,25
IAEIDC (g-g).Suy ra 2
. . .
IA IE
IA IC ID IE ID
ID IC
0,25
Ta có
90
KIO KCO
2 2 2 2.ID IO OD R
2 2
. .
IA IC IO R
0,25
5
1
điểm
2
2025 4 2025 4 1
3 4 2025 . 4 2025 .
3 3 3
y y
x y x P y y y
22
4 2025 2025
3 8 48
P y
2
2
4 2025
253,125 .
3 48
y
0,25
675 3.
3
y
x y y
Trên trục số biểu diễn tập hợp các số thực, 253,125
nằm giữa hai bội số liên tiếp của 3 là là 252 và 255.
0,25
Nếu y=252 thì
2 2
22
4 2025 4 2025
252 253,125 .1,125 85428.
3 48 3 48
P
Nếu y =255 thì 2
4 2025
255 253,125
3 48
P
2
4 2025
.1,125 85428.
3 48
Nếu y <252 thì 2
4 2025
252 253,125 85428.
3 48
P
0,25
Nếu y >255 thì 2
4 2025
255 253,125
3 48
P
2
4 2025
.1,125 85428.
3 48
P đ
ạt giá trị lớn nhất bằng 85
42
8 khi y = 252, x =
33
9
.
0,25
x
E
D
I
K
O
C
B
A