Đề toán gửi Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ

Toán h c & Tu i tr

ề

ử ạ

ổ ẻ

ọ

i”

Đ toán g i T p chí Chuyên m c ụ “Đ thi h c sinh gi ề

ọ

ỏ

187B GI NG VÕ, HÀ N I

Ộ

Ả

KỲ THI CH N H C SINH GI I TP. QUY NH N NĂM H C 2009 – 2010 Ọ Ọ Ỏ Ơ Ọ MÔN: TOÁN L P 9 - Ngày: 07/01/2010 – Th i gian: 150 phút Ớ ờ

ị ể

+ + + L a) Đ :Ề Câu 1. (4 đi m)ể Tính giá tr bi u th c: ứ 1 + 3 2 2 3 1 + 2 1 1 2 1 + 2010 2009 2009 2010

b) 12 – 22 + 32 – 42 + …+20072 – 20082 + 20092

- - ấ ủ x

t f(x) có th phân tích thành: ị ủ ế ể Câu 2. (4 đi m)ể a) Tính giá tr l n nh t c a hàm s : ị ớ ố + + y = x 2 2x 2 b) Cho hai hàm s :ố f(x) = x5 + 7x4 – 7x3 – 49x2 + 12x + 84 và g(x) = x2 – 2. Tính giá tr c a tích: g(a)g(b)g(c)g(d)g(e) bi f(x) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d)(x – e)

ng trình:

= , v i a là tham s . ố ớ - - 1 x 52a

i ph ươ ả . Ch ng minh ph ộ ố ố ứ ươ ỉ ộ ng trình trên ch m t Câu 3. (4 đi m)ể Cho ph ươ 1 x 2 a) Gi ng trình trên b) Cho a = p2 v i p là m t s nguyên t ớ nghi m và ngi m đó là h p s . ợ ố ệ ệ

t là 6; 8 và 10. Tính kho ng cách t tâm ạ ừ Câu 4. (3 đi m)ể Cho tam giác có s đo các c nh l n l ầ ượ ố ng tròn ngo i ti p đ n tâm đ đ ườ ạ ế ườ ế ả ng tròn n i ti p c a tam giác. ộ ế ủ

ệ ể ấ ằ ể ể ằ ẳ ấ ỉ Câu 5. (3 đi m)ể Cho hình tròn có di n tích 2010 và 2011 đi m b t kỳ n m trong hình tròn, trong đó không có ba đi m nào th ng hàng. Ch ng minh r ng có ít nh t ba đi m là ba đ nh ứ c a m t tam giác có di n tích bé h n 2. ủ ệ ộ ơ

GIAÛI ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI........................................Buøi Vaên Chi ............................................................................................................. 1

ạ ố ố ủ ấ ủ ạ ố ệ ủ ỏ ố Câu 6. (2 đi m)ể Cho tam giác vuông có s đo ba c nh là các s nguyên, trong đó s đo c a hai c nh ạ ứ và hi u c a chúng b ng 50. Tính s đo nh nh t c a c nh th là hai s nguyên t ằ ố ố c. ba có th đ t đ ể ạ ượ

I TP. QUY NH N Ả Ề Ơ Ỏ Ọ Ọ GI I Đ THI CH N H C SINH GI Ọ NĂM H C 2009 – 2010 MÔN: TOÁN L P 9 - Ngày: 07/01/2010 – Th i gian: 150 phút Ớ ờ

Câu 1.(4 đ) Tính:

+ + + L a) 1 + 2010 2009 2009 2010

Xét s h ng t ng quát c a dãy: 1 + 3 2 2 3 ủ ổ 1 = = - = (1) +

(

+ + + 1 + 2 1 1 2 ố ạ 1 + n n n 1

) + n 1

)

) ( ( n n 1

n 1 n + 1 n 1 + n 1 + - n n 1 ( ) n n 1

1 đ n 2009, thay vào (1), ta đ c 2009 đ ng th c, c ng v theo các ế ượ ứ ế ẳ ộ

2 nên t ng b ng:

+ + + - L = - 1 = . Cho n l y các giá tr t ấ ị ừ d ng th c này ta đ c: ượ ứ ẳ 1 + 3 2 2 3 1 + 2 1 1 2 1 + 2010 2009 2009 2010 1 1 1 2010 1 2010

ồ ố ạ ố ạ ố ằ ổ

( = - + 2

+ K

) 3 4015 .

2009 2009 = = - 2009.1004 + 20092 = 1004 + 2 b) 12 – 22 + 32 – 42 + …+ 20072 – 20082 + 20092 Dãy trên có 2009 s h ng, g m 1004 c p s đ u và s h ng cu i là 2009 ặ ố ầ (1 – 2)(1 + 2) + (3 – 4)(3 + 4) +…+ (2007- 2008)(2007 + 2008) + 20092 = = (-1).3 + (-1).7 + (-1).11 +…+ (-1).4015 + 20092 = � + � � � � + + + � 3 7 11 4015 1 4 4 4 2 4 4 43 � � 1004sô'

= 2009.(2009 – 1004) = 2009.1005 = 2 019 045. V yậ 12 – 22 + 32 – 42 + …+ 20072 – 20082 + 20092 = 2 019 045 y

- - x x 2 + + 2x 2 ấ ủ

ố

A

 -1:

O

ạ ẳ ố

ớ ố ồ ồ ị ạ ừ ồ ị ấ ủ ố ạ

B

Câu 2.(4 đi m)ể a) Tìm giá tr l n nh t c a y = ị ớ Ta gi ng pháp đ thi. i b ng ph ả ằ ồ ươ Ta v đ th c a hàm s trên: ẽ ồ ị ủ +) V i x ớ y = - x + 2 + 2x + 2 + x = 2x + 4: đ th là tia At v i A(-1; 2) ồ ị ớ  x  2: +) V i -1 ớ y = - x + 2 - 2x – 2 + x = - 2x: đ th là đo n th ng AB đi qua g c O ồ ị v i A(-1; 2), B(2; -4) ớ  2: +) V i x ớ y = x – 2 – 2x – 2 + x = - 4: đ th là tia Bz // Ox v i B(2; - 4) ồ ị Do đó đ th hàm s đã cho g m ba nhánh: Tia At, đo n th ng AB và tia Bz. ẳ T đ th ta th y giá tr l n nh t c a hàm s là ấ ị ớ y = 2 t i x = - 1. V y yậ max = 2 khi x = - 1.

5 + 7x4 – 7x3 – 49x2 + 12x + 84 thành nhân t

b ng s đ ử ằ ơ ồ b) Tính giá tr c a tích: g(a)g(b)g(c)g(d)g(e) ị ủ Ta có g(x) = x2 - 2 Ta phân tích đa th c f(x) = x ứ Horner:

84 0 12 - 42 0 - 49 - 27 - 21 0 1 1 1 1 1 - 7 11 - 3 - 3 0 2 - 2 - 7 3 7 9 7 0 3

2 – 2, ta

ừ ơ ồ

ị ằ ủ ứ ứ

ậ

T s đ , ta có: f(x) = (x – 2)(x + 2)(x +7)(x - 3 )(x + 3 ) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d)(x – e) Thay x b ng các giá tr a, b, c, d, e là nghi m c a đa th c f(x) vào đa th c g(x) = x ệ có: g(a)g(b)g(c)g(d)g(e) = g(2)g(- 2)g(- 7)g( 3 )g(- 3 ) = = (22 – 2)[(-2)2 – 2][(-7)2 – 2]( 3 2 – 2)[(- 3 )2 – 2] = = 2.2.47.1.1 = 188 V y g(a)g(b)g(c)g(d)g(e) = 188. Câu 3.(4 đi m)ể

= a) Gi i ph ng trình: (1) ả ươ - - 1 x 52a

- = - (cid:0) (cid:0) x 2 x 52a 0x = 2 -52a 1 x 2 �(cid:0) (cid:0) (cid:0) (2) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - = - (cid:0) (cid:0) x 2 x 52a �(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (1)    (cid:0) (cid:0) x 2;52a - = - + (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 x 52a x 2;52a = + x 1 26a x 2;52a (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (3) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2;52a x 2;52a (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Gi i ph ng trình (2: ả ươ

{

} x R / x 2

ng trình (2) là: S = +) N u a = ế thì t p nghi m c a ph ệ ủ ươ ậ

(cid:0)  ng trình (2) là S = +) N u a ế thì t p nghi m c a ph ệ ủ ậ ươ

1 26 1 26 ng trình (3): Gi i ph ả ươ

(cid:0) ng trình (3) là S = +) N u a = ế thì t p nghi m c a ph ệ ủ ậ ươ

{1+ 26a}  ng trình (3) là: S = +) N u a ế thì t p nghi m c a ph ệ ủ ậ ươ 1 26 1 26 ậ ế

{

} x R / x 2

N u a = thì t p nghi m c a ph ng trình (1) là: S = ế ủ ệ ậ ươ

{1+ 26a}  thì t p nghi m c a ph ng trình (1) là: S = N u a ế ủ ệ ậ ươ K t lu n: 1 26 1 26

b) Khi a = p2 (p  P), vì p2  nên ph ng trình (1) ch có m t nghi m: ươ ộ ệ ỉ 1 26 x = 1 + 26a = 1 + 26p2.

2 là h p s ,

ứ ợ ố  p  P. 2 = 1 + 26.9 = 235 M 5 (cid:0) 1 + 26p2 là h p s . ợ ố Ta ch ng minh 1 + 26p N u p = 3 thì 1 + 26p N u p = 3k  1 (k  N*) thì 1 + 26p2 = 1 + 26.(3k  1)2 = 27 + 26.9k2  26.6k M 3 ế ế (cid:0) 1 + 26p2 là h p s . ợ ố V y ph

2 là h p s ,

ậ ươ ng trình (1) ch có m t nghi m x = 1 + 26p ộ ệ ỉ ợ ố  p P.

Câu 4.(3 đi m)ể Tính OI B

6 O r 1 0

r F I

C A E 8

i A, nên trung đi m O c a c nh huy n BC là tâm c a đ ủ ườ ề ạ ng tròn ngo i ủ ạ ể

ị

OI = 5

ế ọ ng tròn n i ti p (I) trên các c nh BC, AC, AB, ng tròn n i ti p tam giác ABC, ộ ế ng tròn n i ti p tam giác ABC, ta có: ườ ạ ộ ế Ta có: BC2 = AB2 + AC2  102 = 62 + 82  ABC vuông t ạ ti p tam giác ABC. G i I là tâm đ ộ ế ườ D, E, F là các ti p đi m c a đ ế ủ ườ t là di n tích, n a chu vi, bán kính đ S, p, r l n l ử ầ ượ + + = .r S = pr  (cid:0) r = 2. ể ệ 6.8 6 8 10 2 2 ế ế ắ

ậ

Theo tính ch t hai ti p tuy n c t nhau, ta có: ấ BD = BF, CD = CE, AE = AF Suy ra: BD + CE + AF = p  BD + (CE + AE) = p  BD + AC = p  BD = p – AC = p – b = 12 – 8 = 4. Do đó OD = OB – OD = 5 – 4 = 1 Theo đ nh lý Pi-ta-go trong tam giác vuông OID, ta có: OI2 = OD2 + ID2 = 12 + 22 = 5 (cid:0) 5 . V y OI =

Câu 5.(3 đi m)ể T n t

i tam giác trong hình tròn có di n tích bé h n 2

ồ ạ

ơ

ệ

Ta chía hình tròn (O) thành 1005 hình qu t b ng nhau,

M i hình qu t có góc

ạ

ỗ

ở

tâm b ng: ằ

ạ ằ 0 24 67

ằ

ệ

ể

i ít nh t 3 đi m

ồ ạ

ể

ấ

và có di n tích b ng: 2010 : 1005 = 2 Vì trong hình tròn (O) có 2011 đi m và: 2011 : 1005 = 2 (d 1)ư Nên theo nguyên t c Dirichlet, t n t ẳ n m trong m t hình qu t. ộ

ằ

ạ

= 360 1005

ể

ỏ ơ

Và tam giác có ba đ nh là ba đi m này có ỉ di n tích nh h n di n tích hình qu t, t c nh h n 2. ạ ứ ỏ ơ ệ V y luôn t n t i m t tam giác n m trong hình tròn (O) có di n tích bé h n 2. ằ ồ ạ ộ

ệ ậ

ơ

ệ

Câu 6.(2 đi m)ể Giá tr nh nh t c a c nh th ba c a tam giác vuông

ị ỏ ấ ủ ạ

ủ

ứ

 N*)

ạ

ủ

ọ ộ

ề ẻ

ứ

ố ẵ s c nh th ba c là c nh huy n. ề

ả ử ạ ị

ố ẵ

nên (a

do đó 2(a

2 + 50a + 1250)

2 + 50a + 1250): l

ề

ẻ

2 là s chính ố

ẻ ng ch n ph i chia h t cho 4.

ả

ẵ

ế

ạ

ể

ứ

ề

ạ

ề

ị

ng nên:

ươ

: th a đi u ki n ệ ề

ỏ

+ = a b 72

min = 5.2.k = 5.2.6 = 60 khi a = 11, b = 61.

- = = (cid:0) a 11 P = (cid:0) b 61 P

G i đ dài ba c nh c a tam giác vuông ABC là: a, b, c. (a, b, c Ta có: a, b  P và b – a = 50: là s ch n nên a, b đ u l (b > a). Gi ạ Theo đ nh lý Pi-ta-go, ta có: c2 = a2 + b2  c2 = a2 + (a + 50)2 = 2a2 + 100a + 2500 = 2(a2 + 50a + 1250): s ch n. 4: đi u này vô lý vì c Vì a l ph ươ Do đó c nh th ba c không th là c nh huy n. Suy ra b là c nh huy n (vì b > a). ạ Theo đ nh lý Pi-ta-go ta có: b2 = a2 + c2  c2 = b2 – a2 = (b – a)(b + a) = 50(b + a) = 52.2.( a + b) Vì c2 là s chính ph ố Suy ra: a + b = 2k2 (k  N*), vì b > 50 nên a + b > 50, do đó k  6. Khi đó: (a + b)min = 2.62 = 72, ta có: �(cid:0) � � � b a 50 � � T đó: c ừ V y giá tr nh nh t c a c nh th ba c a tam giác vuông là 60. ậ

ị ỏ ấ ủ ạ

ủ

ứ

Ợ ị

ỉ

Quy Nhơn, ngày 14 tháng 01 năm 2010 i g i: BÙI VĂN CHI ườ ử ng THCS LÊ L I Tr ườ Tp.Quy Nh n, t nh Bình Đ nh ơ ĐT: 0563828529 Email: buivanchi@yahoo.com