Đề toán gửi Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ

Chia sẻ: Nguyễn Huy Vinh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

112
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Câu 4. (3 điểm) Cho tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 6; 8 và 10. Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. Câu 5. (3 điểm) Cho hình tròn có diện tích 2010 và 2011 điểm bất kỳ nằm trong hình tròn, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có ít nhất ba điểm là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bé hơn 2. Câu 6. (2 điểm) Cho tam giác vuông có số đo ba cạnh là các số nguyên, trong đó số đo...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề toán gửi Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ

Đề toán gửi Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Chuyên mục “Đề thi học sinh giỏi” 187B GIẢNG VÕ, HÀ NỘI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP. QUY NHƠN NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN: TOÁN LỚP 9 - Ngày: 07/01/2010 – Thời gian: 150 phút ĐỀ: Câu 1. (4 điểm) Tính giá trị biểu thức: 1 1 1 a) + +L + 2 1 +1 2 3 2 + 2 3 2010 2009 + 2009 2010 b) 1 – 2 + 3 – 4 + …+2007 – 20082 + 20092 2 2 2 2 2 Câu 2. (4 điểm) a) Tính giá trị lớn nhất của hàm số: y = x − 2 − 2x + 2 + x b) Cho hai hàm số: f(x) = x5 + 7x4 – 7x3 – 49x2 + 12x + 84 và g(x) = x2 – 2. Tính giá trị của tích: g(a)g(b)g(c)g(d)g(e) biết f(x) có thể phân tích thành: f(x) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d)(x – e) Câu 3. (4 điểm) Cho phương trình: 1 1 = , với a là tham số. x − 2 x − 52a a) Giải phương trình trên b) Cho a = p2 với p là một số nguyên tố. Chứng minh phương trình trên chỉ một nghiệm và ngiệm đó là hợp số. Câu 4. (3 điểm) Cho tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 6; 8 và 10. Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. Câu 5. (3 điểm) Cho hình tròn có diện tích 2010 và 2011 điểm bất kỳ nằm trong hình tròn, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có ít nhất ba điểm là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bé hơn 2. Câu 6. (2 điểm) Cho tam giác vuông có số đo ba cạnh là các số nguyên, trong đó số đo của hai cạnh là hai số nguyên tố và hiệu của chúng bằng 50. Tính số đo nhỏ nhất của cạnh thứ ba có thể đạt được. GIAÛI ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI........................................Buøi Vaên Chi ............................................................................................................. 1
GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP. QUY NHƠN NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN: TOÁN LỚP 9 - Ngày: 07/01/2010 – Thời gian: 150 phút Câu 1.(4 đ) Tính: 1 1 1 a) + +L + 2 1 +1 2 3 2 + 2 3 2010 2009 + 2009 2010 Xét số hạng tổng quát của dãy: 1 1 n +1 − n 1 1 = = − ( n + 1) n + n n +1 n ( n + 1) n + 1 + n = n ( n + 1) ( n n +1 (1) ) Cho n lấy các giá trị từ 1 đến 2009, thay vào (1), ta được 2009 đẳng thức, cộng vế theo các dẳng thức này ta được: 1 1 1 1 1 1 + +L + = − =1 − . 2 1 +1 2 3 2 + 2 3 2010 2009 + 2009 2010 1 2010 2010 b) 12 – 22 + 32 – 42 + …+ 20072 – 20082 + 20092 Dãy trên có 2009 số hạng, gồm 1004 cặp số đầu và số hạng cuối là 20092 nên tổng bằng: (1 – 2)(1 + 2) + (3 – 4)(3 + 4) +…+ (2007- 2008)(2007 + 2008) + 20092 = = (-1).3 + (-1).7 + (-1).11 +…+ (-1).4015 + 20092 = � � 1004 = − �3 + 7 + 11 + K + 4015 �+ 20092 = − ( 3 + 4015 ) . + 20092 = - 2009.1004 + 20092 = �1 4 4 4 2 4 4 43 � 2 � 1004sô' � = 2009.(2009 – 1004) = 2009.1005 = 2 019 045. Vậy 12 – 22 + 32 – 42 + …+ 20072 – 20082 + 20092 = 2 019 045 y Câu 2.(4 điểm) a) Tìm giá trị lớn nhất của y = x − 2 − 2x + 2 + x Ta giải bằng phương pháp đồ thi. Ta vẽ đồ thị của hàm số trên: A +) Với x  -1: 2 y = - x + 2 + 2x + 2 + x = 2x + 4: đồ thị là tia At với A(-1; 2) +) Với -1  x  2: 2 y = - x + 2 - 2x – 2 + x = - 2x: đồ thị là đoạn thẳng AB đi qua gốc O 2 1 O x với A(-1; 2), B(2; -4) +) Với x  2: y = x – 2 – 2x – 2 + x = - 4: t đồ thị là tia Bz // Ox với B(2; - 4) Do đó đồ thị hàm số đã cho gồm ba nhánh: Tia At, đoạn thẳng AB và tia Bz. Từ đồ thị ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là 4 y = 2 tại x = - 1. B z Vậy ymax = 2 khi x = - 1. GIAÛI ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI........................................Buøi Vaên Chi ............................................................................................................. 2
b) Tính giá trị của tích: g(a)g(b)g(c)g(d)g(e) Ta có g(x) = x2 - 2 Ta phân tích đa thức f(x) = x5 + 7x4 – 7x3 – 49x2 + 12x + 84 thành nhân tử bằng sơ đồ Horner: 1 7 -7 - 49 12 84 2 1 9 11 - 27 - 42 0 -2 1 7 -3 - 21 0 -7 1 0 -3 0 3 1 3 0 Từ sơ đồ, ta có: f(x) = (x – 2)(x + 2)(x +7)(x - 3 )(x + 3 ) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d)(x – e) Thay x bằng các giá trị a, b, c, d, e là nghiệm của đa thức f(x) vào đa thức g(x) = x2 – 2, ta có: g(a)g(b)g(c)g(d)g(e) = g(2)g(- 2)g(- 7)g( 3 )g(- 3 ) = = (22 – 2)[(-2)2 – 2][(-7)2 – 2]( 3 2 – 2)[(- 3 )2 – 2] = = 2.2.47.1.1 = 188 Vậy g(a)g(b)g(c)g(d)g(e) = 188. Câu 3.(4 điểm) 1 1 a) Giải phương trình: = (1) x − 2 x − 52a �x − 2 = x − 52a 0x = 2 -52a (2) �x − 2 = x − 52a x 2;52a x 2;52a (1)    x 2;52a x − 2 = − x + 52a x =1 + 26a (3) x 2;52a x 2;52a Giải phương trình (2: 1 +) Nếu a = thì tập nghiệm của phương trình (2) là: S = { x ι R / x 2} 26 1 +) Nếu a  thì tập nghiệm của phương trình (2) là S = 26 Giải phương trình (3): 1 +) Nếu a = thì tập nghiệm của phương trình (3) là S = 26 1 +) Nếu a  thì tập nghiệm của phương trình (3) là: S = {1+ 26a} 26 Kết luận: 1 Nếu a = thì tập nghiệm của phương trình (1) là: S = { x ι R / x 2} 26 1 Nếu a  thì tập nghiệm của phương trình (1) là: S = {1+ 26a} 26 1 b) Khi a = p2 (p  P), vì p2  nên phương trình (1) chỉ có một nghiệm: 26 x = 1 + 26a = 1 + 26p2. GIAÛI ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI........................................Buøi Vaên Chi ............................................................................................................. 3
Ta chứng minh 1 + 26p2 là hợp số,  p  P. Nếu p = 3 thì 1 + 26p2 = 1 + 26.9 = 235 M 5 1 + 26p2 là hợp số. Nếu p = 3k  1 (k  N*) thì 1 + 26p2 = 1 + 26.(3k  1)2 = 27 + 26.9k2  26.6k M 3 1 + 26p2 là hợp số. Vậy phương trình (1) chỉ có một nghiệm x = 1 + 26p2 là hợp số ,  p P. Câu 4.(3 điểm) Tính OI B D 6 O r 10 F r I r A E 8 C Ta có: BC2 = AB2 + AC2  102 = 62 + 82  ABC vuông tại A, nên trung điểm O của cạnh huyền BC là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, D, E, F là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) trên các cạnh BC, AC, AB, S, p, r lần lượt là diện tích, nửa chu vi, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta có: 6.8 6 + 8 + 10 S = pr  = .r r = 2. 2 2 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: BD = BF, CD = CE, AE = AF Suy ra: BD + CE + AF = p  BD + (CE + AE) = p  BD + AC = p  BD = p – AC = p – b = 12 – 8 = 4. Do đó OD = OB – OD = 5 – 4 = 1 Theo định lý Pi-ta-go trong tam giác vuông OID, ta có: OI2 = OD2 + ID2 = 12 + 22 = 5 OI = 5 Vậy OI = 5. Câu 5.(3 điểm) Tồn tại tam giác trong hình tròn có diện tích bé hơn 2 Ta chía hình tròn (O) thành 1005 hình quạt bằng nhau, O 3600 240 Mỗi hình quạt có góc ở tâm bằng: = 1005 67 và có diện tích bằng: 2010 : 1005 = 2 Vì trong hình tròn (O) có 2011 điểm và: 2011 : 1005 = 2 (dư 1) Nên theo nguyên tẳc Dirichlet, tồn tại ít nhất 3 điểm nằm trong một hình quạt. GIAÛI ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI........................................Buøi Vaên Chi ............................................................................................................. 4
Và tam giác có ba đỉnh là ba điểm này có diện tích nhỏ hơn diện tích hình quạt, tức nhỏ hơn 2. Vậy luôn tồn tại một tam giác nằm trong hình tròn (O) có diện tích bé h ơn 2. Câu 6.(2 điểm) Giá trị nhỏ nhất của cạnh thứ ba của tam giác vuông C a b B c A Gọi độ dài ba cạnh của tam giác vuông ABC là: a, b, c. (a, b, c  N*) Ta có: a, b  P và b – a = 50: là số chẵn nên a, b đều lẻ (b > a). Giả sử cạnh thứ ba c là cạnh huyền. Theo định lý Pi-ta-go, ta có: c2 = a2 + b2  c2 = a2 + (a + 50)2 = 2a2 + 100a + 2500 = 2(a2 + 50a + 1250): số chẵn. Vì a lẻ nên (a2 + 50a + 1250): lẻ do đó 2(a2 + 50a + 1250) 4: điều này vô lý vì c2 là số chính phương chẵn phải chia hết cho 4. Do đó cạnh thứ ba c không thể là cạnh huyền. Suy ra b là cạnh huyền (vì b > a). Theo định lý Pi-ta-go ta có: b2 = a2 + c2  c2 = b2 – a2 = (b – a)(b + a) = 50(b + a) = 52.2.( a + b) Vì c2 là số chính phương nên: Suy ra: a + b = 2k2 (k  N*), vì b > 50 nên a + b > 50, do đó k  6. Khi đó: (a + b)min = 2.62 = 72, ta có: �a + b = 72 a =11 P � � � : thỏa điều kiện �b − a = 50 �b = 61 P Từ đó: cmin = 5.2.k = 5.2.6 = 60 khi a = 11, b = 61. Vậy giá trị nhỏ nhất của cạnh thứ ba của tam giác vuông là 60. Quy Nhơn, ngày 14 tháng 01 năm 2010 Người gửi: BÙI VĂN CHI Trường THCS LÊ LỢI Tp.Quy Nhơn, tỉnh Bình Định ĐT: 0563828529 Email: buivanchi@yahoo.com GIAÛI ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI........................................Buøi Vaên Chi ............................................................................................................. 5