Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 12 năm 2022-2023

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY 

TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 2022 - 2023

Họ và tên: ....................................... Lớp: ...............................................

Tài liệu lưu hành nội bộ

MỤC LỤC CHÖÔNG I : ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM ÑEÅ KHAÛO SAÙT VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ ....................................................................................................................................... 5

BAØI 1: TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ ................................................................................. 5 BAØI 2: CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ ............................................................................................... 8 BAØI 3: GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ ............................. 11 BAØI 4: ÑÖÔØNG TIEÄM CAÄN CUÛA ÑOÀ THÒ ............................................................................ 13 BAØI 5: KHAÛO SAÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ ................................ 15 BAØI 6: MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ .............................. 17

CHÖÔNG II : HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA – HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT ........ 25

BAØI 1: LUYÕ THÖØA .................................................................................................................. 25 BAØI 2: LOGARIT ..................................................................................................................... 26 BAØI 3: HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT .................................... 29 BAØI 4: PHÖÔNG TRÌNH MUÕ ................................................................................................. 31 BAØI 5: PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT ...................................................................................... 33 BAØI 6: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ ........................................................................................ 35 BAØI 7: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT .............................................................................. 36

NHAÉC LAÏI MOÄT SOÁ COÂNG THÖÙC TRONG HÌNH HOÏC PHAÚNG ........................ 36 CHÖÔNG I : KHOÁI ÑA DIEÄN VAØ THEÅ TÍCH CUÛA CHUÙNG ................................ 37

BAØI 1: KHAÙI NIEÄM VEÀ KHOÁI ÑA DIEÄN............................................................................... 37 BAØI 2: KHOÁI ÑA DIEÄN LOÀI VAØ KHOÁI ÑA DIEÄN ÑEÀU ....................................................... 40 BAØI 3: KHAÙI NIEÄM VEÀ THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN .................................................. 42

CHÖÔNG II : KHOÁI TROØN XOAY ........................................................................... 45

BAØI 1: MAËT CAÀU – KHOÁI CAÀU ............................................................................................ 45 BAØI 2: MAËT NOÙN – HÌNH NOÙN – KHOÁI NOÙN .................................................................... 45 BAØI 3: MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ .......................................................................... 46 BAØI 4: DIEÄN TÍCH – THEÅ TÍCH ........................................................................................... 48 VAÁN ÑEÀ 1: MAËT CAÀU – KHOÁI CAÀU ................................................................................ 48 VAÁN ÑEÀ 2: MAËT NOÙN – HÌNH NOÙN – KHOÁI NOÙN ........................................................ 48 VAÁN ÑEÀ 3: MAËT TRUÏ – HÌNH TRUÏ – KHOÁI TRUÏ .......................................................... 49

CHÖÔNG I : ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM ÑEÅ KHAÛO SAÙT VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ

BAØI 1: TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ

1. Ñinh nghóa:

Haøm soá ñoàng bieán treân

Haøm soá nghòch bieán treân

2. Ñieàu kieän caàn:

Giaû söû coù ñaïo haøm treân khoaûng

a) Neáu ñoàng bieán treân khoaûng thì

b) Neáu nghòch bieán treân khoaûng thì

3. Ñieàu kieän ñuû:

Giaû söû coù ñaïo haøm treân khoaûng

a) Neáu taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì ñoàng bieán treân (

b) Neáu taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì nghòch bieán treân (

c) Neáu thì khoâng ñoåi treân

Chuù yù: Neáu khoaûng I ñöôïc thay bôûi ñoaïn hoaëc nöûa khoaûng thì phaûi lieân tuïc treân ñoù.

VAÁN ÑEÀ 1: Xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá

ta thöïc hieän caùc böôùc nhö sau: Ñeå xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá

– Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá.

– Tính y. Tìm caùc ñieåm maø taïi ñoù y = 0 hoaëc y khoâng toàn taïi (goïi laø caùc ñieåm tôùi haïn)

– Laäp baûng xeùt daáu y (baûng bieán thieân). Töø ñoù keát luaän caùc khoaûng ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá.

Câu 1. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

k) l) m)

Câu 2. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau:

a) b) c)

d) e) f)

VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá luoân ñoàng bieán hoaëc nghòch bieán

treân taäp xaùc ñònh (hoaëc treân töøng khoaûng xaùc ñònh)

Cho haøm soá , m laø tham soá, coù taäp xaùc ñònh D.

 Haøm soá ñoàng bieán treân D  y  0, x  D.

 Haøm soá nghòch bieán treân D  y  0, x  D.

Töø ñoù suy ra ñieàu kieän cuûa m.

Chuù yù:

1) y = 0 chæ xaûy ra taïi moät soá höõu haïn ñieåm.

2) Neáu thì:

 

3) Ñònh lí veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai :

 Neáu  < 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a.

)  Neáu  = 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a (tröø x =

vaø trong khoaûng hai nghieäm thì g(x) khaùc daáu vôùi a, ngoaøi  Neáu  > 0 thì g(x) coù hai nghieäm

khoaûng hai nghieäm thì g(x) cuøng daáu vôùi a.

4) So saùnh caùc nghieäm cuûa tam thöùc baäc hai vôùi soá 0:

  

5) Ñeå haøm soá coù ñoä daøi khoaûng ñoàng bieán (nghòch bieán) baèng d thì ta thöïc

hieän caùc böôùc sau:

 Tính y.

 Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù khoaûng ñoàng bieán vaø nghòch bieán:

(1)

(2) thaønh  Bieán ñoåi

 Söû duïng ñònh lí Viet ñöa (2) thaønh phöông trình theo m.

 Giaûi phöông trình, so vôùi ñieàu kieän (1) ñeå choïn nghieäm.

Câu 1. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh (hoaëc taäp xaùc ñònh)

cuûa noù:

a) b) c)

d) e) f)

Câu 2. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh (hoaëc taäp xaùc

ñònh) cuûa noù:

a) b) c)

Câu 3. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân taäp xaùc ñònh (hoaëc töøng khoaûng xaùc ñònh) cuûa noù:

a) b)

c) d)

Câu 4. Tìm m ñeå haøm soá:

a) nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 1.

b) nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 3.

c) ñoàng bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 4.

Câu 5. Tìm m ñeå haøm soá:

a) ñoàng bieán treân khoaûng (1; +).

b) ñoàng bieán treân khoaûng (2; +).

c) ñoàng bieán treân khoaûng (1; +).

d) ñoàng bieán trong khoaûng (–1; +).

VAÁN ÑEÀ 3: ÖÙng duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc

Ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc ta thöïc hieän caùc böôùc sau:  Chuyeån baát ñaúng thöùc veà daïng f(x) > 0 (hoaëc <, ,  ). Xeùt haøm soá y = f(x) treân taäp xaùc ñònh do ñeà

baøi chæ ñònh.

 Xeùt daáu f (x). Suy ra haøm soá ñoàng bieán hay nghòch bieán.  Döïa vaøo ñònh nghóa söï ñoàng bieán, nghòch bieán ñeå keát luaän. Chuù yù:

1) Trong tröôøng hôïp ta chöa xeùt ñöôïc daáu cuûa f (x) thì ta ñaët h(x) = f (x) vaø quay laïi tieáp tuïc xeùt daáu h (x) … cho ñeán khi naøo xeùt daáu ñöôïc thì thoâi. 2) Neáu baát ñaúng thöùc coù hai bieán thì ta ñöa baát ñaúng thöùc veà daïng: f(a) < f(b). Xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá f(x) trong khoaûng (a; b).

Câu 1. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:

a) b)

c) d)

Câu 2. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:

a) b)

BAØI 2: CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ

I. Khaùi nieäm cöïc trò cuûa haøm soá

xaùc ñònh treân taäp vaø Giaû söû haøm số

– ñieåm cöïc ñaïi cuûa neáu toàn taïi khoaûng (a; b)  D va  (a; b) sao cho a

vôùi x  (a; b) \ {x0}.

Khi ñoù ñgl giaù trò cöïc ñaïi (cöïc ñaïi) cuûa haøm

b) – ñieåm cöïc tieåu cuûa neáu toàn taïi khoaûng (a; b)  D vaø  (a; b) sao cho

vôùi x  (a; b) \ { }.

Khi ñoù ñgl giaù trò cöïc tieåu (cöïc tieåu) cuûa .

c) Neáu laø ñieåm cöïc trò cuûa thì ñieåm ñgl ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá .

II. Ñieàu kieän caàn ñeå haøm soá coù cöïc trò

Neáu haøm soá coù ñaïo haøm taïi vaø ñaït cöïc trò taïi ñieåm ñoù thì

Chuù yù: Haøm soá chæ coù theå ñaït cöïc trò taïi nhöõng ñieåm maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng coù ñaïo

haøm.

III. Ñieåu kieän ñuû ñeå haøm soá coù cöïc trò

1. Ñònh lí 1: Giaû söû haøm soá lieân tuïc treân khoaûng (a; b) chöùa ñieåm vaø coù ñaïo haøm treân (a; b)\{

}

a) Neáu ñoåi daáu töø aâm sang döông khi x ñi qua thì ñaït cöïc tieåu taïi .

b) Neáu ñoåi daáu töø döông sang aâm khi x ñi qua thì ñaït cöïc ñaïi taïi .

2. Ñònh lí 2: Giaû söû haøm soá coù ñaïo haøm treân khoaûng (a; b) chöùa ñieåm , f( ) = 0 vaø coù ñaïo

haøm caáp hai khaùc 0 taïi ñieåm .

a) Neáu thì ñaït cöïc ñaïi taïi .

b) Neáu thì ñaït cöïc tieåu taïi .

VAÁN ÑEÀ 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá

Qui taéc 1 : Duøng ñònh lí 1.

 Tìm f (x).

(i = 1, 2, …) maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng coù ñaïo haøm.  Tìm caùc ñieåm

thì haøm soá ñaït cöïc trò taïi .  Xeùt daáu f (x). Neáu f (x) ñoåi daáu khi x ñi qua

Qui taéc 2 : Duøng ñònh lí 2.

 Tính f (x).

(i = 1, 2, …).  Giaûi phöông trình f (x) = 0 tìm caùc nghieäm

) (i = 1, 2, …).  Tính f (x) vaø f (

Neáu thì haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi .

Neáu thì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi .

Câu 1. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

Câu 2. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau:

a) b) c)

d) e) f)

VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc trò

1. Neáu haøm soá ñaït cöïc trò taïi ñieåm ) = 0 hoaëc taïi khoâng coù ñaïo haøm. thì f (

2. Ñeå haøm soá ) ñaït cöïc trò taïi ñieåm thì ñoåi daáu khi x ñi qua .

Chuù yù:

 Haøm soá baäc ba coù cöïc trò  Phöông trình y = 0 coù hai nghieäm phaân bieät.

Khi ñoù neáu laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò baèng hai caùch:

+ , trong ñoù Ax + B laø phaàn dö trong pheùp chia y cho y.

=  Haøm soá (aa 0) coù cöïc trò  Phöông trình y = 0 coù hai nghieäm phaân

bieät khaùc .

Khi ñoù neáu laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò baèng hai caùch:

hoaëc

 Khi söû duïng ñieàu kieän caàn ñeå xeùt haøm soá coù cöïc trò caàn phaûi kieåm tra laïi ñeå loaïi boû nghieäm ngoaïi

lai.

 Khi giaûi caùc baøi taäp loaïi naøy thöôøng ta coøn söû duïng caùc kieán thöùc khaùc nöõa, nhaát laø ñònh lí Vi–et.

Câu 1. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu:

a) b)

c) d)

Câu 2. Tìm m ñeå haøm soá:

a) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu.

b) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu.

c) ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2.

d) coù moät cöïc ñaïi

e) ñaït cöïc tieåu khi x = 2.

Câu 3. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau khoâng coù cöïc trò:

a) b)

c) d)

Câu 4. Tìm a, b, c, d ñeå haøm soá:

a) ñaït cöïc tieåu baèng 0 taïi x = 0 vaø ñaït cöïc ñaïi baèng taïi x =

b) coù ñoà thò ñi qua goác toaï ñoä O vaø ñaït cöïc trò baèng –9 taïi x = .

c) ñaït cöïc trò baèng –6 taïi x = –1.

d) ñaït cöïc trò taïi x = 0 vaø x = 4.

e) ñaït cöïc ñaïi baèng 5 taïi x = 1.

Câu 5. Tìm m ñeå haøm soá:

a) ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm , sao cho:

b) ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm , sao cho: .

c) ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm , sao cho: .

VAÁN ÑEÀ 3: Ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò

f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B.

1) Haøm soá baäc ba  Chia f(x) cho f (x) ta ñöôïc:  Khi ñoù, giaû söû (x1; y1), (x2; y2) laø caùc ñieåm cöïc trò thì:

 Caùc ñieåm (x1; y1), (x2; y2) naèm treân ñöôøng thaúng y = Ax + B.

2) Haøm soá phaân thöùc .

.  Giaû söû (x0; y0) laø ñieåm cöïc trò thì

 Giaû söû haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu thì phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò aáy laø:

Câu 1. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá:

a) b) c)

Câu 2. Khi haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu, vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò

haøm soá:

Câu 3. Tìm m ñeå haøm soá:

coù ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò song song vôùi ñöôøng

a) thaúng y = –4x + 1.

coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa ñoà thò naèm treân ñöôøng

b) thaúng y = –4x.

coù ñöôøng thaúng ñi qua caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu vuoâng goùc vôùi ñöôøng

c) thaúng y = 3x – 7.

d) coù caùc ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng ():

BAØI 3: GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ

1. Ñònh nghóa: Giaû söû haøm soá f xaùc ñònh treân mieàn D (D  R).

2. Tính chaát: a) Neáu haøm soá f ñoàng bieán treân [a; b] thì .

b) Neáu haøm soá f nghòch bieán treân [a; b] thì .

VAÁN ÑEÀ: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá theo 2 caùch

Caùch 1: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá treân moät khoaûng.  Tính f (x).  Xeùt daáu f (x) vaø laäp baûng bieán thieân.  Döïa vaøo baûng bieán thieân ñeå keát luaän. Caùch 2: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá lieân tuïc treân moät ñoaïn [a; b].  Tính f (x).  Giaûi phöông trình f (x) = 0 tìm ñöôïc caùc nghieäm x1, x2, …, xn treân [a; b] (neáu coù).  Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).  So saùnh caùc giaù trò vöøa tính vaø keát luaän.

Câu 1. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau:

b) c) a)

e) f) d)

Câu 2. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau:

a) treân [–1; 5] treân [–2; 3] b)

c) treân [–3; 2] treân [–2; 2] d)

e) treân [0; 2] treân [0; 4] f)

g) treân [0; 2] treân [0; 1] h)

i) k) treân [–6; 8]

Câu 3. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau:

a) b)

BAØI 4: ÑÖÔØNG TIEÄM CAÄN CUÛA ÑOÀ THÒ

1. Ñònh nghóa:  Ñöôøng thaúng ñgl ñöôøng tieäm caän ñöùng cuûa ñoà thò haøm soá neáu ít nhaát moät trong

caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: ; ; ;

 Ñöôøng thaúng ñgl ñöôøng tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá neáu ít nhaát moät trong

caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: ;

 Ñöôøng thaúng ñgl ñöôøng tieäm caän xieân cuûa ñoà thò haøm soá neáu ít nhaát

moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn:

;

2. Chuù yù:

a) Neáu laø haøm soá phaân thöùc höõu tyû.

 Neáu Q(x) = 0 coù nghieäm x0 thì ñoà thò coù tieäm caän ñöùng .

 Neáu baäc(P(x))  baäc(Q(x)) thì ñoà thò coù tieäm caän ngang.  Neáu baäc(P(x)) = baäc(Q(x)) + 1 thì ñoà thò coù tieäm caän xieân. b) Ñeå xaùc ñònh caùc heä soá a, b trong phöông trình cuûa tieäm caän xieân, ta coù theå aùp duïng caùc coâng thöùc sau:

hoaëc

Câu 1. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:

a) b) c)

d) e) f)

Câu 2. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:

a) b) c)

d) e) f)

Câu 3. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:

a) b) c)

d) e) f)

Câu 4. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù ñuùng hai tieäm caän ñöùng:

a) b) c)

d) e) f)

BAØI 5: KHAÛO SAÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ

– Tính y. – Tìm caùc ñieåm taïi ñoù y = 0 vaø xeùt daáu y.

1. Caùc böôùc khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá

 Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá.  Xeùt söï bieán thieân cuûa haøm soá: + Tính y. + Tìm caùc ñieåm taïi ñoù ñaïo haøm y baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh. + Tìm caùc giôùi haïn taïi voâ cöïc, giôùi haïn voâ cöïc vaø tìm tieäm caän (neáu coù). + Laäp baûng bieán thieân ghi roõ daáu cuûa ñaïo haøm, chieàu bieán thieân, cöïc trò cuûa haøm soá.  Veõ ñoà thò cuûa haøm soá: + Tìm ñieåm uoán cuûa ñoà thò (ñoái vôùi haøm soá baäc ba vaø haøm soá truøng phöông). + Veõ caùc ñöôøng tieäm caän (neáu coù) cuûa ñoà thò. + Xaùc ñònh moät soá ñieåm ñaëc bieät cuûa ñoà thò nhö giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi caùc truïc toaï ñoä (trong tröôøng hôïp ñoà thò khoâng caét caùc truïc toaï ñoä hoaëc vieäc tìm toaï ñoä giao ñieåm phöùc taïp thì coù theå boû qua). Coù theå tìm theâm moät soá ñieåm thuoäc ñoà thò ñeå coù theå veõ chính xaùc hôn. + Nhaän xeùt veà ñoà thò: Chæ ra truïc ñoái xöùng, taâm ñoái xöùng (neáu coù) cuûa ñoà thò.

2. Haøm soá baäc ba :

 Taäp xaùc ñònh D = R.  Ñoà thò luoân coù moät ñieåm uoán vaø nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng.  Caùc daïng ñoà thò:

a > 0 y a < 0 y

I

y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät  ’ = b2 – 3ac > 0

x

0 x

0 I

y’ = 0 coù nghieäm keùp  ’ = b2 – 3ac = 0

y

y’ = 0 voâ nghieäm  ’ = b2 – 3ac < 0

I

0 x

3. Haøm soá truøng phöông :

 Taäp xaùc ñònh D = R.  Ñoà thò luoân nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng.  Caùc daïng ñoà thò:

a > 0 a < 0

y

0 x

y’ = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät  ab < 0

0 x

y

0 x

y’ = 0 chæ coù 1 nghieäm  ab > 0

4. Haøm soá nhaát bieán

:

 Taäp xaùc ñònh D = .

 Ñoà thò coù moät tieäm caän ñöùng laø vaø moät tieäm caän ngang laø . Giao ñieåm cuûa hai tieäm

caän laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò haøm soá.  Caùc daïng ñoà thò:

y

0 x

ad – bc > 0

ad – bc < 0

Câu 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:

a) c) b)

d) f) e)

Câu 2. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:

a) c) b)

d) f) e)

Câu 3. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:

a) c) b)

d) f) e)

BAØI 6: MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ

1. SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA CAÙC ÑOÀ THÒ 1. Cho hai ñoà thò (

): y = f(x) vaø ( ): y = g(x). Ñeå tìm hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ( ) vaø ( ) ta giaûi

phöông trình: f(x) = g(x) (*) (goïi laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm). Soá nghieäm cuûa phöông trình (*) baèng soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò.

2. Ñoà thò haøm soá baäc ba caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät

 Phöông trình coù 3 nghieäm phaân bieät.

 Haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø .

Câu 1. Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa caùc ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau:

b) c) a)

e) f) d)

Câu 2. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá:

caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät. a)

caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät. b)

caét nhau taïi hai ñieåm coù hoaønh ñoä traùi daáu. c)

caét nhau taïi hai ñieåm coù hoaønh ñoä traùi daáu. d)

caét nhau taïi hai ñieåm thuoäc hai nhaùnh khaùc nhau. e)

caét truïc hoaønh taïi hai ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông. f)

Câu 3. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá:

caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. a)

caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm phaân bieät. b)

caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm phaân bieät. c)

caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. d)

caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. e)

Câu 4. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá:

caét nhau taïi boán ñieåm phaân bieät. a)

caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm phaân bieät. b)

c) caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm phaân bieät.

Câu 5. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá:

a) caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tìm m ñeå ñoaïn AB ngaén nhaát.

b) caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tìm m ñeå ñoaïn AB ngaén

nhaát.

c) caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tính AB theo m.

f(x) = g(x)

2. BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG ÑOÀ THÒ  Cô sôû cuûa phöông phaùp: Xeùt phöông trình:

Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) = Soá giao ñieåm cuûa ( (1) ): y = f(x) vaø ( ): y = g(x)

Nghieäm cuûa phöông trình (1) laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ( ): y = f(x) vaø ( ): y = g(x)

(1)

yCÑ

(C) c. (d) : y = m c.

y c. m c.

A c.

(C): y = f(x) d: y = m

yCT

xA c.

giao ñieåm cuûa hai ñöôøng:  d laø ñöôøng thaúng cuøng phöông vôùi truïc hoaønh.  Döïa vaøo ñoà thò (C) ta bieän luaän soá giao ñieåm cuûa (C) vaø d. Töø ñoù suy ra soá nghieäm cuûa (1) F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2)

 Ñeå bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình (*) baèng ñoà thò ta bieán ñoåi (*) veà moät trong caùc daïng sau: Daïng 1: F(x, m) = 0  f(x) = m Khi ñoù (1) coù theå xem laø phöông trình hoaønh ñoä Daïng 2: Thöïc hieän töông töï nhö treân, coù theå ñaët g(m) = k. Bieän luaän theo k, sau ñoù bieän luaän theo m.

VAÁN ÑEÀ 1: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baèng ñoà thò Ñeå bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình F(x, m) = 0 (*) ta bieán ñoåi (*) veà moät trong caùc daïng nhö treân,

trong ñoù löu yù y = f(x) laø haøm soá ñaõ khaûo saùt vaø veõ ñoà thò.

Câu 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo m soá nghieäm

cuûa phöông trình:

a) b)

c) d)

e) f)

VAÁN ÑEÀ 2: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baäc ba baèng ñoà thò

Cô sôû cuûa phöông phaùp: Xeùt phöông trình baäc ba: (a  0) (1)

Goïi (C) laø ñoà thò cuûa haøm soá baäc ba:

Soá nghieäm cuûa (1) = Soá giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh

Daïng 1: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baäc 3  Tröôøng hôïp 1: (1) chæ coù 1 nghieäm  (C) vaø Ox coù 1 ñieåm chung



y

(C)

yCÑ

A

A x0

x2

yCT x1 o

x0

O

x

(h.1a)

x

(h.1b)

 Tröôøng hôïp 2: (1) coù ñuùng 2 nghieäm  (C) tieáp xuùc vôùi Ox



y

(C)

yCÑ

(H.2)

yCÑ x2

A

B

o

C x"0

x0

x1

x

A x0 o

x1

x'0

x

B x'0 yCÑ

(H.3)

(yCT = f(x0) = 0)

 Tröôøng hôïp 3: (1) coù 3 nghieäm phaân bieät  (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät



Daïng 2: Phöông trình baäc ba coù 3 nghieäm cuøng daáu  Tröôøng hôïp 1: (1) coù 3 nghieäm döông phaân bieät  (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông



y

a > 0

a < 0

(C)

yCÑ

f(0)

x2

x1

B

A

C

A xA

o

C xC

xC

x2

xA

x1

B xB

xB

x

yCT

f(0)

(C)

 Tröôøng hôïp 2: (1) coù 3 nghieäm coù aâm phaân bieät  (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä aâm



y

a > 0

a < 0

(C)

yCÑ

f(0) yCÑ

x2

x1

B

A

C

o

xA

C xC

x2

xC

xA

x1

B xB

xB

x

yCT

o yCT f(0)

Câu 1. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau chæ coù 1 nghieäm:

b) a)

d) c)

f) e)

Câu 2. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm phaân bieät:

b) a)

d) c)

Câu 3. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm döông phaân bieät:

b) a)

d) c)

Câu 4. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm aâm phaân bieät:

a) b)

c) d)

3. SÖÏ TIEÁP XUÙC CUÛA HAI ÑÖÔØNG. 1. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm laø heä soá goùc cuûa tieáp

tuyeán vôùi ñoà thò (C) cuûa haøm soá taïi ñieåm .

Khi ñoù phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm laø:

y – = f ( ).(x – ) ( = f( ))

2. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng ( ): y = f(x) vaø ( ): y = g(x) tieáp xuùc nhau laø heä phöông trình

sau coù nghieäm:

(*)

Nghieäm cuûa heä (*) laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm cuûa hai ñöôøng ñoù.

3. Neáu ( ): y = px + q vaø ( ): y = thì

( ) vaø ( ) tieáp xuùc nhau  phöông trình coù nghieäm keùp.

VAÁN ÑEÀ: Tìm ñieàu kieän ñeå hai ñöôøng tieáp xuùc

1. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng ( ): y = f(x) vaø ( ): y = g(x) tieáp xuùc nhau laø heä phöông trình

sau coù nghieäm:

(*)

Nghieäm cuûa heä (*) laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm cuûa hai ñöôøng ñoù.

thì

2. Neáu ( ): y = px + q vaø ( ): y =

( ) vaø ( coù nghieäm keùp. ) tieáp xuùc nhau  phöông trình

Câu 1. Tìm m ñeå hai ñöôøng ( ), ( ) tieáp xuùc nhau:

Câu 2. Tìm m ñeå hai ñöôøng (

), ( ) tieáp xuùc nhau:

 Xeùt daáu bieåu thöùc coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái.  Chia mieàn xaùc ñònh thaønh nhieàu khoaûng, trong moãi khoaûng ta boû daáu giaù trò tuyeät ñoái.  Veõ ñoà thò haøm soá töông öùng trong caùc khoaûng cuûa mieàn xaùc ñònh.

6. HAØM SOÁ COÙ CHÖÙA DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI Baøi toaùn: Veõ ñoà thò cuûa haøm soá y = f(x) vôùi f(x) coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. Caùch 1: Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò. Caùch 2: Thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi ñoà thò.

Daïng 1: Veõ ñoà thò haøm soá .

Ñoà thò (C) cuûa haøm soá coù theå ñöôïc suy töø ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) nhö sau:

+ Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) ôû phía treân truïc hoaønh. + Laáy ñoái xöùng phaàn ñoà thò cuûa (C) ôû phía döôùi truïc hoaønh qua truïc hoaønh. + Ñoà thò (C) laø hôïp cuûa hai phaàn treân.

Daïng 2: Veõ ñoà thò cuûa haøm soá .

coù theå ñöôïc suy töø ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) nhö sau:

Ñoà thò (C) cuûa haøm soá + Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) ôû beân phaûi truïc tung, boû phaàn beân traùi truïc tung. + Laáy ñoái xöùng phaàn beân phaûi truïc tung qua truïc tung. + Ñoà thò (C) laø hôïp cuûa hai phaàn treân.

Câu 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C). Töø ñoù suy ra ñoà thò C). Duøng ñoà thò (C) bieän luaän soá

nghieäm cuûa phöông trình (1):

a) (C): ; (C): (1) ;

b) (C): ; (C): (1) ;

e) (C): ; (C): ; (1)

Câu 2. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C). Töø ñoù suy ra ñoà thò C). Duøng ñoà thò (C) bieän luaän soá

nghieäm cuûa phöông trình (1):

a) (C): ; (C): ;

b) (C): ; (C): ; (1)

7. ÑIEÅM ÑAËC BIEÄT TREÂN ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ

VAÁN ÑEÀ 1: Tìm ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) coù toaï ñoä nguyeân

Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò haøm soá höõu tæ coù toaï ñoä laø nhöõng soá nguyeân:

thaønh daïng , vôùi A(x) laø ña thöùc, a laø soá nguyeân.  Phaân tích

 Khi ñoù  Q(x) laø öôùc soá cuûa a. Töø ñoù ta tìm caùc giaù trò x nguyeân ñeå Q(x) laø öôùc soá cuûa a.

 Thöû laïi caùc giaù trò tìm ñöôïc vaø keát luaän. Áp dụng. Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá coù toaï ñoä nguyeân:

a) b) c)

d) e) f)

VAÁN ÑEÀ 2: Tìm caëp ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng d: y = ax + b

(C)

(d)

()

Cô sôû cuûa phöông phaùp: A, B ñoái xöùng nhau qua d  d laø trung tröïc cuûa ñoaïn AB  Phöông trình ñöôøng thaúng  vuoâng goùc vôùi d: y = ax = b coù daïng:

:

B

A

 Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa  vaø (C):

I

f(x) = (1)

 Tìm ñieàu kieän cuûa m ñeå  caét (C) taïi 2 ñieåm

phaân bieät A, B. Khi ñoù xA, xB laø caùc nghieäm cuûa (1).

 Tìm toaï ñoä trung ñieåm I cuûa AB.  Töø ñieàu kieän: A, B ñoái xöùng qua d  I  d, ta tìm ñöôïc m  xA, xB  yA, yB  A, B.

Chuù yù:  A, B ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh 

 A, B ñoái xöùng nhau qua truïc tung 

 A, B ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng y = b 

 A, B ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng x = a 

Áp dụng.

Tìm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá hai ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng d:

a) b)

c) d)

VAÁN ÑEÀ 3: Tìm caëp ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) ñoái xöùng qua ñieåm I(a; b)

coù heä soá goùc k coù daïng: .

f(x) = (1)

Cô sôû cuûa phöông phaùp: A, B ñoái xöùng nhau qua I  I laø trung ñieåm cuûa AB.  Phöông trình ñöôøng thaúng d qua I(a; b),  Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø d:  Tìm ñieàu kieän ñeå d caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B. khi ñoù xA, xB laø 2 nghieäm cuûa (1).  Töø ñieàu kieän: A, B ñoái xöùng qua I  I laø trung ñieåm cuûa AB, ta tìm ñöôïc k  xA, xB.

Chuù yù: A, B ñoái xöùng qua goác toaï ñoä O 

Câu 1. Tìm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá hai ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñieåm I:

a) b)

c) d)

e) e)

VAÁN ÑEÀ 4: Khoaûng caùch

Kieán thöùc cô baûn:

1) Khoaûng caùch giöõa hai ñieåm A, B: AB =

2) Khoaûng caùch töø ñieåm M(x0; y0) ñeán ñöôøng thaúng : ax + by + c = 0:

d(M, ) =

3) Dieän tích tam giaùc ABC:

S =

Câu 1. Cho ñoà thò (C) vaø ñieåm A. Tìm ñieåm M treân (C) sao cho AM nhoû nhaát. Chöùng minh raèng khi AM

nhoû nhaát thì ñöôøng thaúng AM vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M.

a) b)

Câu 2. Cho ñoà thò (C) vaø ñöôøng thaúng d. Tìm ñieåm M treân (C) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán d laø nhoû

nhaát.

a) b)

c) d)

CHÖÔNG II : HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA – HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT

BAØI 1: LUYÕ THÖØA

1. Ñònh nghóa luyõ thöøa

Cô soá a Soá muõ  Luyõ thöøa

(n thöøa soá a)

a  R

2. Tính chaát cuûa luyõ thöøa

 Vôùi moïi a > 0, b > 0 ta coù:

; 0 < a < 1 :

 a > 1 :  Vôùi 0 < a < b ta coù:

;

Chuù yù: + Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ 0 vaø soá muõ nguyeân aâm thì cô soá a phaûi khaùc 0. + Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ khoâng nguyeân thì cô soá a phaûi döông.

3. Ñònh nghóa vaø tính chaát cuûa caên thöùc

 Caên baäc n cuûa a laø soá b sao cho  Vôùi a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta coù:

; ; ;

; Ñaëc bieät

 Neáu n laø soá nguyeân döông leû vaø a < b thì .

Neáu n laø soá nguyeân döông chaün vaø 0 < a < b thì Chuù yù:

+ Khi n leû, moãi soá thöïc a chæ coù moät caên baäc n. Kí hieäu + Khi n chaün, moãi soá thöïc döông a coù ñuùng hai caên baäc n laø hai soá ñoái nhau.

4. Coâng thöùc laõi keùp Goïi A laø soá tieàn göûi, r laø laõi suaát moãi kì, N laø soá kì.

Soá tieàn thu ñöôïc (caû voán laãn laõi) laø:

Câu 1. Thöïc hieän caùc pheùp tính sau:

a) b)

c) d)

f) e)

Câu 2. Vieát caùc bieåu thöùc sau döôùi daïng luyõ thöøa vôùi soá muõ höõu tæ:

a) b) c)

d) e) f)

Câu 3. Ñôn giaûn caùc bieåu thöùc sau:

a) b)

c) d)

Câu 4. So saùnh caùc caëp soá sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

Câu 5. So saùnh hai soá m, n neáu:

a) b) c)

d) e) f)

Câu 6. Coù theå keát luaän gì veà soá a neáu:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

BAØI 2: LOGARIT

1. Ñònh nghóa

 Vôùi a > 0, a  1, b > 0 ta coù:

Chuù yù: coù nghóa khi

 Logarit thaäp phaân:

)  Logarit töï nhieân (logarit Nepe): (vôùi

2. Tính chaát

 ; ; ;

 Cho a > 0, a  1, b, c > 0. Khi ñoù: + Neáu a > 1 thì

+ Neáu 0 < a < 1 thì

3. Caùc qui taéc tính logarit Vôùi a > 0, a  1, b, c > 0, ta coù:

  

4. Ñoåi cô soá Vôùi a, b, c > 0 vaø a, b  1, ta coù:

 hay

 

Câu 1. Thöïc hieän caùc pheùp tính sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

k) l) m)

n) o) p)

Câu 2. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc logarit theo caùc bieåu thöùc ñaõ cho:

theo a. a) Cho . Tính

b) Cho . Tính theo a.

c) Cho . Tính theo a.

Câu 3. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc logarit theo caùc bieåu thöùc ñaõ cho:

a) Cho . Tính theo a, b. ;

b) Cho . Tính theo a, b. ;

c) Cho . Tính theo a, b. ;

d) Cho ; . Tính theo a, b, c. ;

Câu 4. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau (vôùi giaû thieát caùc bieåu thöùc ñaõ cho coù nghóa):

a) b) c)

d) , vôùi .

e) , vôùi .

f) , vôùi .

BAØI 3: HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT

1. Khaùi nieäm

a) Haøm soá luyõ thöøa ( laø haèng soá)

Taäp xaùc ñònh D Soá muõ  Haøm soá

 = n (n nguyeân döông) D = R

 = n (n nguyeân aâm hoaëc n = 0) D = R \ {0}

 laø soá thöïc khoâng nguyeân D = (0; +)

khoâng ñoàng nhaát vôùi haøm soá Chuù yù: Haøm soá .

b) Haøm soá muõ

(a > 0, a  1). D = R. T = (0; +).

 Taäp xaùc ñònh:  Taäp giaù trò:  Khi a > 1 haøm soá ñoàng bieán, khi 0 < a < 1 haøm soá nghòch bieán.  Nhaän truïc hoaønh laøm tieäm caän ngang.  Ñoà thò:

y=ax

a>1

c) Haøm soá logarit (a > 0, a  1)

D = (0; +). T = R.

y=logax

 Taäp xaùc ñònh:  Taäp giaù trò:  Khi a > 1 haøm soá ñoàng bieán, khi 0 < a < 1 haøm soá nghòch bieán.  Nhaän truïc tung laøm tieäm caän ñöùng.  Ñoà thò:

a>1

2. Giôùi haïn ñaëc bieät

  

3. Ñaïo haøm

 ;

. Chuù yù:

 ;

;

 ;

(x > 0);

Câu 1. Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:

a) b) c)

d) e) f)

Câu 2. Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:

c) a) b)

d) e) f)

g) h) i)

Câu 3. Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

BAØI 4: PHÖÔNG TRÌNH MUÕ

1. Phöông trình muõ cô baûn: Vôùi a > 0, a  1:

2. Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình muõ

a) Ñöa veà cuøng cô soá: Vôùi a > 0, a  1:

Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá coù chöùa aån soá thì:

b) Logarit hoaù:

c) Ñaët aån phuï:

 Daïng 1:  , trong ñoù P(t) laø ña thöùc theo t.

 Daïng 2:

Chia 2 veá cho , roài ñaët aån phuï

 Daïng 3: , vôùi . Ñaët

f(x) = g(x)

d) Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá Xeùt phöông trình: (1)  Ñoaùn nhaän x0 laø moät nghieäm cuûa (1).  Döïa vaøo tính ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa f(x) vaø g(x) ñeå keát luaän x0 laø nghieäm duy nhaát:

 Neáu f(x) ñoàng bieán (hoaëc nghòch bieán) thì

e) Ñöa veà phöông trình caùc phöông trình ñaëc bieät

 Phöông trình tích A.B = 0   Phöông trình

f(x) = g(x) (1) f) Phöông phaùp ñoái laäp Xeùt phöông trình:

Neáu ta chöùng minh ñöôïc: thì (1)

Câu 1. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc logarit hoaù):

a) b)

c) d)

f) e)

g) h)

i) k)

Câu 2. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc logarit hoaù):

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

Câu 3. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï daïng 1):

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

Câu 4. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï daïng 2):

a) b) c)

d) e)

h) i)

Câu 5. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï daïng 3):

a) b)

c) d)

Câu 6. Giaûi caùc phöông trình sau (söû duïng tính ñôn ñieäu):

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

Câu 7. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm:

a) b) c)

d) e) f)

Câu 8. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát:

a) b)

c) d)

e) f)

BAØI 5: PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT

1. Phöông trình logarit cô baûn

Vôùi a > 0, a  1:

2. Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình logarit a) Ñöa veà cuøng cô soá

Vôùi a > 0, a  1:

b) Muõ hoaù

Vôùi a > 0, a  1:

c) Ñaët aån phuï d) Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá e) Ñöa veà phöông trình ñaëc bieät f) Phöông phaùp ñoái laäp

Chuù yù:  Khi giaûi phöông trình logarit caàn chuù yù ñieàu kieän ñeå bieåu thöùc coù nghóa.

 Vôùi a, b, c > 0 vaø a, b, c  1:

Câu 1. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc muõ hoaù): b) a)

c) d)

e) f)

g) h)

Câu 2. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc muõ hoaù):

a) b)

c) d)

e) f)

Câu 3. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc muõ hoaù):

a) b)

Câu 4. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï):

b) a)

c) d)

e) f)

g) h)

i) k)

l) m)

Câu 5. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï):

a) b)

c) d)

e) f)

BAØI 6: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ

 Khi giaûi caùc baát phöông trình muõ ta caàn chuù yù tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá muõ.

 Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp giaûi töông töï nhö ñoái vôùi phöông trình muõ: – Ñöa veà cuøng cô soá. – Ñaët aån phuï. – ….

Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá a coù chöùa aån soá thì:

Câu 1. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá):

a) b)

c) d)

f) h) k) i)

Câu 2. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñaët aån phuï):

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

Câu 3. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau coù nghieäm:

a) b)

c) d)

BAØI 7: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT

 Khi giaûi caùc baát phöông trình logarit ta caàn chuù yù tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá logarit.

 Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp giaûi töông töï nhö ñoái vôùi phöông trình logarit: – Ñöa veà cuøng cô soá. – Ñaët aån phuï. – ….

Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá a coù chöùa aån soá thì:

;

Câu 1. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá):

a) b)

c) d)

g) h)

Câu 2. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñaët aån phuï):

a) b)

c) d)

e) f)

h) g)

i) k)

NHAÉC LAÏI MOÄT SOÁ COÂNG THÖÙC TRONG HÌNH HOÏC PHAÚNG

1. Heä thöùc löôïng trong tam giaùc

a) Cho ABC vuoâng taïi A, coù ñöôøng cao AH.



 b) Cho ABC coù ñoä daøi ba caïnh laø: a, b, c; ñoä daøi caùc trung tuyeán laø ma, mb, mc; baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp R; baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp r; nöûa chu vi p.

 Ñònh lí haøm soá cosin:

 Ñònh lí haøm soá sin:

 Coâng thöùc ñoä daøi trung tuyeán:

2. Caùc coâng thöùc tính dieän tích

a) Tam giaùc:



 ABC vuoâng taïi A:

 ABC ñeàu, caïnh a:

S = a.b

S = a2

(a: caïnh hình vuoâng) (a, b: hai kích thöôùc)

b) Hình vuoâng: c) Hình chöõ nhaät: d) Hình bình haønh: S = ñaùy  cao =

e) Hình thoi:

f) Hình thang:

(a, b: hai ñaùy, h: chieàu cao)

g) Töù giaùc coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc:

CHÖÔNG I : KHOÁI ÑA DIEÄN VAØ THEÅ TÍCH CUÛA CHUÙNG BAØI 1: KHAÙI NIEÄM VEÀ KHOÁI ÑA DIEÄN

I – KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy. Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy. II – KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 1. Khái niệm về hình đa diện Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.  Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện. 2. Khái niệm về khối đa diện Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện.

Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của hình đa diện tương ứng.

Ví dụ - Các hình dưới đây là những khối đa diện:

- Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện:

Hình c Hình a

Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm xác định duy nhất được gọi là một với điểm

Hình b Giải thích: Hình a không phải là hình đa diện vì tồn tại cạnh không phải là cạnh chung của hai mặt; Hình b không phải là hình đa diện vì có một điểm đặc biệt trong hình, điểm đó không phải là đỉnh chung của hai đa giác; Hình c không phải là hình đa diện vì tồn tại một cạnh là cạnh chung của bốn đa giác. III – HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 1. Phép dời hình trong không gian phép biến hình trong không gian. Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

, là phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm sao cho .

a) Phép tịnh tiến theo vectơ Kí hiệu là .

b) Phép đối xứng qua mặt phẳng là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc thành chính nó, biến

mỗi điểm không thuộc thành điểm sao cho là mặt phẳng trung trực của .

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng biến hình thành chính nó thì được gọi là mặt phẳng đối

xứng của .

là phép biến hình biến điểm thành chính nó, biến mỗi điểm khác thành

c) Phép đối xứng tâm điểm sao cho là trung điểm của .

Nếu phép đối xứng tâm biến hình thành chính nó thì được gọi là tâm đối xứng của .

là là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng

không thuộc thành điểm là đường trung trực của thành .

d) Phép đối xứng qua đường thẳng chính nó, biến mỗi điểm Nếu phép đối xứng qua đường thẳng biến hình sao cho thành chính nó thì được gọi là trục đối xứng của

Nhận xét  Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.  Phép dời hình biến đa diện thành đa diện , biến đỉnh, cạnh, mặt của thành đỉnh, cạnh,

mặt tương ứng của .

. Khi đó:

bằng nhau (vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp

và ).

Ví dụ: Cho hình lập phương  Các hình chóp biến thành hình chóp  Các hình lăng trụ và bằng nhau (vì qua phép đối xứng qua mặt phẳng

thì hình lăng trụ biến thành hình lăng trụ ).

2. Hai hình bằng nhau Hai hình được gọi là nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. Đặc biệt, hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến đa diện này đa diện kia. IV – PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nếu khối đa diện là hợp của hai khối đa diện sao cho và và không có chung

điểm trong nào thì ta nói có thể phân chia được khối đa diện thành hai khối đa diện và .

Khi đó ta cũng nói có thể ghép hai khối đa diện và để được khối đa diện .

, xét hai . Ta thấy

chính và

được phân chia thành hai khối chóp và hay hai khối chóp

được ghép lại thành khối chóp

Ví dụ 1. Với khối chóp tứ giác và khối chóp tam giác rằng:  Hai khối chóp không có điểm và trong chung (tức là không tồn tại điểm trong của khối chóp này là điểm trong của khối chóp kia và ngược lại).  Hợp của hai khối chóp là khối chóp Vậy khối chóp và

Ví dụ 2. Cắt khối lăng trụ

bởi mặt

phẳng . Khi đó, khối lăng trụ được phân

chia thành hai khối đa diện Nếu ta cắt khối chóp và bởi mặt phẳng

thì ta chia khối chóp thành hai

và

, . được chia thành ba và .

khối chóp Vậy khối lăng trụ khối tứ diện là

MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG

Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt. Kết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh. Kết quả 3 : Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh. Kết quả 4 : Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh. Kết quả 5 : Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.

Kết quả 6: Cho là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có cạnh. Nếu số mặt của là lẻ

thì phải là số chẵn.

Chứng minh: Gọi là số các mặt của khối đa diện . Vì mỗi mặt của có cạnh nên mặt

sẽ có cạnh. Nhưng do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa giác nên số cạnh của bằng

. Vì lẻ nên phải là số chẵn.

Kết quả 7 (Suy ra từ chứng minh kết quả 6): Cho là đa diện có mặt, mà các mặt của nó là

những đa giác có cạnh. Khi đó số cạnh của là .

và

Kết quả 8: Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn. Chứng minh: Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện là

chẵn.

Kết quả 9: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ diện. Kết quả 10: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn. (Tổng quát: Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh là một số chẵn). BAØI 2: KHOÁI ÑA DIEÄN LOÀI VAØ KHOÁI ÑA DIEÄN ÑEÀU

I – KHỐI ĐA DIỆN LỒI Khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của luôn thuộc

. Khi đó đa diện giới hạn được gọi là đa diện lồi.

Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi

Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.

cạnh. cạnh.

II – KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Định nghĩa Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:  Các mặt là những đa giác đều  Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại Định lí Chỉ có năm khối đa diện đều. Đó là: : khối tứ diện đều. : khối lập phương. : khối bát diện đều. : khối 12 mặt đều. : khối 20 mặt đều. Loại Loại Loại Loại Loại

Khối tứ diện đều Khối lập phương Bát diện đều Hình 12 mặt đều Hình 20 mặt đều

Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Loại Số mặt 4 Tứ diện đều 6 4

Khối lập phương 12 8 6

Bát diện đều 12 6 8

Mười hai mặt đều 30 20 12

Hai mươi mặt đều 30 12 20

Chú ý. Gọi là tổng số đỉnh, là tổng số cạnh và là tổng các mặt của khối đa diện đều loại . Ta có

 Xét tứ diện đều

 Xét khối lập phương

 Xét bát diện đều

 Xét khối mười hai mặt đều

 Xét khối hai mươi mặt đều

BAØI 3: KHAÙI NIEÄM VEÀ THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN

1. Theå tích cuûa khoái hoäp chöõ nhaät:

vôùi a, b, c laø ba kích thöôùc cuûa khoái hoäp chöõ nhaät.

2. Theå tích cuûa khoái laäp phöông: 3. Theå tích cuûa khoái choùp:

vôùi Sñaùy laø dieän tích ñaùy, h laø chieàu cao cuûa khoái choùp

4. Theå tích cuûa khoái laêng truï:

vôùi Sñaùy laø dieän tích ñaùy, h laø chieàu cao cuûa khoái laêng truï

5. Moät soá phöông phaùp tính theå tích khoái ña dieän

a) Tính theå tích baèng coâng thöùc  Tính caùc yeáu toá caàn thieát: ñoä daøi caïnh, dieän tích ñaùy, chieàu cao, …  Söû duïng coâng thöùc ñeå tính theå tích. b) Tính theå tích baèng caùch chia nhoû Ta chia khoái ña dieän thaønh nhieàu khoái ña dieän nhoû maø coù theå deã daøng tính ñöôïc theå tích cuûa chuùng. Sau ñoù, coäng caùc keát quaû ta ñöôïc theå tích cuûa khoái ña dieän caàn tính. c) Tính theå tích baèng caùch boå sung Ta coù theå gheùp theâm vaøo khoái ña dieän moät khoái ña dieän khaùc sao cho khoái ña dieän theâm vaøo vaø khoái ña dieän môùi taïo thaønh coù theå deã tính ñöôïc theå tích. d) Tính theå tích baèng coâng thöùc tæ soá theå tích Ta coù theå vaän duïng tính chaát sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz khoâng ñoàng phaúng. Vôùi baát kì caùc ñieåm A, A’ treân Ox; B, B' treân Oy; C, C' treân Oz, ta ñeàu coù:

, caïnh beân vuoâng goùc

Câu 1. Cho hình choùp töù giaùc vôùi maët phaúng ñaùy vaø coù ñaùy . Tính theå tích laø hình vuoâng caïnh . cuûa khoái choùp

vuoâng goùc vôùi ñaùy, , , vaø . Tính

cuûa khoái choùp coù .

coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh Tính Câu 2. Cho khoái choùp theå tích Câu 3. Cho hình choùp

theå tích cuûa khoái choùp .

coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng caân taïi vaø

Câu 4. Cho hình choùp ñeàu vaø naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy. Tính theå tích cuûa khoái choùp . Tam giaùc .

coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh , tam giaùc vuoâng taïi

Câu 5. Cho khoái choùp trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy, caïnh beân taïo vôùi ñaùy goùc . Tính theå tích vaø naèm cuûa khoái choùp

Câu 6. Cho hình choùp coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh baèng . Maët beân laø tam giaùc ñeàu

vaø naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng . Tính theå tích cuûa khoái choùp .

coù ñaùy vôùi

Câu 7. Cho hình choùp phaúng vaø laø tam giaùc vuoâng taïi cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy vaø . Hai maët Tính theå tích khoái choùp

coù caïnh ñaùy baèng vaø caïnh beân baèng . Tính theå tích

Câu 8. Cho khoái choùp tam giaùc ñeàu cuûa khoái choùp .

Câu 9. Theå tích cuûa khoái choùp töù giaùc ñeàu coù taát caû caùc caïnh baèng .

, goùc giöõa caïnh beân vaø maët phaúng ñaùy

Câu 10. Cho moät hình choùp tam giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy baèng baèng Theå tích khoái choùp ñoù.

Câu 11. Cho khoái laêng truï ñöùng vaø (minh hoïa coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh

nhö hình veõ beân).

Tính theå tích cuûa khoái laêng truï ñaõ cho.

Câu 12. Tính theå tích cuûa khoái laäp phöông , bieát .

Câu 13. Cho khoái laêng truï ñöùng coù , ñaùy laø tam giaùc vuoâng caân taïi

vaø . Tính theå tích cuûa khoái laêng truï ñöùng .

Câu 14. Cho hình laêng truï ñöùng coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng taïi , bieát ,

vaø . Tính theå tích cuûa khoái laêng truï .

Câu 15. Cho hình laêng truï ñöùng coù ñaùy laø hình chöõ nhaät, , ,

(tham khaûo hình veõ). Tính theo theå tích cuûa khoái laêng truï ñaõ cho.

Câu 16. Cho khoái töù dieän coù theå tích vaø ñieåm treân caïnh sao cho . Tính

theå tích khoái töù dieän theo

Câu 17. Cho khoái choùp

coù theå tích . Caùc ñieåm , , töông öùng laø trung ñieåm caùc caïnh

, , . Tính heå tích khoái choùp theo

Câu 18. Cho töù dieän ñeàu coù caïnh . Treân caùc caïnh , laàn löôït laáy caùc ñieåm sao

cho . Tính tæ soá theå tích cuûa khoái töù dieän vaø khoái töù dieän .

Câu 19. Cho hình choùp coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh , caïnh beân vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø theå

tích cuûa khoái choùp ñoù baèng . Tính caïnh beân .

laø tam giaùc ñeàu caïnh , caïnh beân vuoâng goùc vôùi ñaùy.

Câu 20. Cho hình choùp Bieát hình choùp coù ñaùy coù theå tích baèng . Tính khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng .

coù , , caùc tam giaùc , laø caùc

Câu 21. Cho töù dieän tam giaùc vuoâng taïi ñænh . Tính khoaûng caùch ñeán maët phaúng , töø ñieåm , .

laø hình vuoâng caïnh . Maët beân coù ñaùy

tam giaùc ñeàu vaø . vaø

Câu 22. Cho hình choùp naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng

CHÖÔNG II : KHOÁI TROØN XOAY

BAØI 1: MAËT CAÀU – KHOÁI CAÀU

 Khoái caàu:

1. Ñònh nghóa  Maët caàu: 2. Vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø maët phaúng Cho maët caàu S(O; R) vaø maët phaúng (P). Goïi d = d(O; (P)).  Neáu d < R thì (P) caét (S) theo giao tuyeán laø ñöôøng troøn naèm treân (P), coù taâm H vaø baùn

kính  Neáu d = R thì (P) tieáp xuùc vôùi (S) taïi tieáp ñieåm H. ((P) ñgl tieáp dieän cuûa (S))  Neáu d > R thì (P) vaø (S) khoâng coù ñieåm chung. Khi d = 0 thì (P) ñi qua taâm O vaø ñgl maët phaúng kính, ñöôøng troøn giao tuyeán coù baùn kính baèng R ñgl ñöôøng troøn lôùn. 3. Vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø ñöôøng thaúng Cho maët caàu S(O; R) vaø ñöôøng thaúng . Goïi d = d(O; ).  Neáu d < R thì  caét (S) taïi hai ñieåm phaân bieät.  Neáu d = R thì  tieáp xuùc vôùi (S). ( ñgl tieáp tuyeán cuûa (S)).  Neáu d > R thì  vaø (S) khoâng coù ñieåm chung. 4. Maët caàu ngoaïi tieáp – noäi tieáp

Maët caàu ngoaïi tieáp

Hình truï

Hình noùn

Hình ña dieän Taát caû caùc ñænh cuûa hình ña dieän ñeàu naèm treân maët caàu Hai ñöôøng troøn ñaùy cuûa hình truï naèm treân maët caàu Maët caàu ñi qua ñænh vaø ñöôøng troøn ñaùy cuûa hình noùn

Maët caàu noäi tieáp Taát caû caùc maët cuûa hình ña dieän ñeàu tieáp xuùc vôùi maët caàu Maët caàu tieáp xuùc vôùi caùc maët ñaùy vaø moïi ñöôøng sinh cuûa hình truï Maët caàu tieáp xuùc vôùi maët ñaùy vaø moïi ñöôøng sinh cuûa hình noùn

5. Xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp khoái ña dieän  Caùch 1: Neáu (n – 2) ñænh cuûa ña dieän nhìn hai ñænh coøn laïi döôùi moät goùc vuoâng thì taâm cuûa maët caàu laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng noái hai ñænh ñoù.  Caùch 2: Ñeå xaùc ñònh taâm cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp.

– Xaùc ñònh truïc  cuûa ñaùy ( laø ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy taïi taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ñaùy). – Xaùc ñònh maët phaúng trung tröïc (P) cuûa moät caïnh beân. – Giao ñieåm cuûa (P) vaø  laø taâm cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp.

BAØI 2: MAËT NOÙN – HÌNH NOÙN – KHOÁI NOÙN

I. ĐỊNH NGHĨA MẶT NÓN Cho đường thẳng . Xét một đường thẳng cắt tại tạo thành một góc với

. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng như thế khi quay quanh gọi là mặt nón tròn

xoay (hay đơn giản hơn là mặt nón).

● gọi là trục của mặt nón. ● gọi là đường sinh của mặt nón. ● gọi là đỉnh của mặt nón. ● Góc gọi là góc ở đỉnh của mặt nón.

II. HÌNH NÓN VÀ KHỐI NÓN 1. Hình nón

Cho mặt nón với trục , đỉnh , góc ở đỉnh . Gọi là mặt phẳng vuông góc với

tại điểm khác . Mặt phẳng cắt mặt nón theo một đường tròn có tâm . Lại gọi

là mặt phẳng vuông góc với tại .

● Phần của mặt nón giới hạn bởi hai mặt phẳng và cùng với hình tròn xác định

bởi được gọi là hình nón.

● gọi là đỉnh của hình nón.

● Đường tròn gọi là đường tròn đáy của hình nón.

● Với mỗi điểm nằm trên đường tròn , đoạn thẳng gọi là đường sinh của hình

nón.

● Đoạn thẳng gọi là trục của hình nón, độ dài gọi là chiều cao của hình nón (đó chính

là khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy.)

2. Khối nón

Một hình nón chia không gian thành hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài của nó. Hình

nón cùng với phần bên trong của nó gọi là khối nón.

BAØI 3: MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ

I. MẶT TRỤ TRÒN XOAY

Cho hai đường thẳng và sao cho song song với và . Khi ta quay

quanh trục một góc thì tạo thành một mặt trụ tròn xoay (hoặc đơn giản hơn là

mặt trụ).

gọi là trục của mặt trụ ● .

● gọi là đường sinh của mặt trụ .

● gọi là bán kính của mặt trụ .

II. HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY 1. Định nghĩa hình trụ

Cắt mặt trụ trục , bán kính bởi hai mặt phẳng và cùng vuông góc với ,

ta được giao tuyến là hai đường tròn và .

●Phần của mặt trụ nằm giữa và cùng với hai hình tròn xác định bởi và

gọi là hình trụ.

● Hai đường tròn và gọi là hai đường tròn đáy của hình trụ.

● gọi là trục của hình trụ.

gọi là chiều cao của hình trụ. ● Độ dài ● Phần giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ.

● Với mỗi điểm , có một điểm sao cho . Các đoạn thẳng như

gọi là đường sinh của hình trụ.

2. Nhận xét

Các đuờng sinh của hình trụ đều bằng nhau và bằng với trục của hình trụ. Các thiết diện qua trục của hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau. Thiết diện vuông góc vơi trục của hình trụ là một hình tròn bằng hình tròn đáy. Nếu một điểm di động trong không gian có hình chiếu vuông góc

và di động trên môt đường tròn cố định thì thuộc một mặt trụ cố định lên một mặt phẳng

chứa và có trục vuông góc .

3. Khối trụ

Định nghĩa. Hình trụ cùng với phần bên trong nó được gọi là khối trụ.

BAØI 4: DIEÄN TÍCH – THEÅ TÍCH

Caàu

Truï

Noùn

Dieän tích

Theå tích

VAÁN ÑEÀ 1: MAËT CAÀU – KHOÁI CAÀU

Câu 1. Cho maët caàu coù baùn kính Câu 2. Cho maët caàu coù dieän tích baèng . Tính dieän tích cuûa maët caàu ñaõ cho. . Tính baùn kính maët caàu.

Tính theå tích cuûa khoái caàu.

maët caàu ngoaïi tieáp moät hình laäp phöông coù caïnh baèng

Câu 3. Cho khoái caàu coù baùn kính Câu 4. Tìm baùn kính Câu 5. Cho hình hoäp chöõ nhaät coù , . Tính dieän tích cuûa maët

caàu ngoaïi tieáp cuûa hình hoäp chöõ nhaät ñaõ cho. Câu 6. Tính theå tích khoái caàu ngoaïi tieáp hình laäp phöông caïnh .

Câu 7. Cho hình choùp coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh , vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy, goùc

giöõa maët phaúng vaø maët phaúng ñaùy baèng . Dieän tích cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp

baèng

Câu 8. Cho hình choùp coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh . Caïnh beân vaø vuoâng goùc vôùi

ñaùy . Tính theo dieän tích maët caàu ngoaïi tieáp khoái choùp .

Câu 9. Cho hình choùp coù ñaùy laø hình chöõ nhaät vôùi , vaø ,

vuoâng goùc vôùi ñaùy. Tính baùn kính cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp .

Câu 10. Cho töù dieän ñeàu coù caïnh laø a.

a) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän.

b) Tính dieän tích maët caàu vaø theå tích khoái caàu ñoù.

Câu 11. Cho moät hình choùp töù giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy laø caïnh beân hôïp vôùi maët ñaùy moät goùc .

a) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp.

b) Tính dieän tích maët caàu vaø theå tích khoái caàu ñoù.

coù taát caû caùc caïnh ñeàu baèng Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính

Câu 12. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu cuûa maët caàu ñi qua naêm ñieåm

coù ñöôøng cao ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh Tính baùn kính maët

Câu 13. Hình choùp caàu ngoaïi tieáp hình choùp.

Câu 14. Cho hình choùp töø giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy baèng vaø goùc hôïp bôûi maët beân vaø ñaùy baèng

Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp.

VAÁN ÑEÀ 2: MAËT NOÙN – HÌNH NOÙN – KHOÁI NOÙN

vaø ñoä daøi ñöôøng sinh . Tính dieän tích xung quanh cuûa

Câu 1. Cho hình noùn coù baùn kính ñaùy hình noùn.

. Tính ñoä daøi ñöôøng vaø baùn kính ñaùy baèng

cuûa hình noùn ñaõ cho.

, vaø taïi . Tính ñoä daøi ñöôøng

cuûa hình noùn, nhaän ñöôïc khi quay tam giaùc xung quanh truïc .

vaø caïnh beân

. Tính theå tích khoái noùn

Tính

Câu 2. Cho hình noùn coù dieän tích xung quanh baèng sinh Câu 3. Trong khoâng gian, cho tam giaùc vuoâng sinh Câu 4. Moät hình noùn coù thieát dieän qua truïc laø moät tam giaùc vuoâng caân coù caïnh goùc vuoâng baèng dieän tích xung quanh cuûa hình noùn. Câu 5. Cho khoái noùn coù thieát dieän qua truïc laø moät tam giaùc caân coù moät goùc baèng Câu 6. Cho hình noùn coù ñoä daøi ñöôøng sinh baèng 25 vaø baùn kính ñöôøng troøn ñaùy baèng 15. Tính theå tích cuûa khoái noùn ñoù. Câu 7. Thieát dieän qua truïc cuûa moät khoái noùn laø moät tam giaùc vuoâng caân coù caïnh huyeàn baèng a. Tính theå tích khoái noùn vaø dieän tích xung quanh cuûa hình noùn ñaõ cho.

Câu 8. Cho hình laäp phöông ABCD. A’B’C’D’ caïnh a. Tính dieän tích xung quanh cuûa hình noùn coù ñænh laø taâm O cuûa hình vuoâng ABCD vaø ñaùy laø hình troøn noäi tieáp hình vuoâng A’B’C’D’.

Câu 9. Caét moät hình noùn baèng moät maët phaúng ñi qua truïc cuûa noù, ta ñöôïc thieát dieän laø moät tam giaùc ñeàu caïnh 2a. Tính dieän tích xung quanh, dieän tích toaøn phaàn cuûa hình vaø theå tích cuûa khoái noùn.

Câu 10. Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S. ABC coù caïnh beân baèng a vaø goùc giöõa caùc maët beân vaø maët ñaùy laø . Moät hình noùn ñænh S coù ñöôøng troøn ñaùy noäi tieáp tam giaùc ñeàu ABC, Haõy tính dieän tích xung quanh cuûa hình noùn naøy theo a vaø .

( ). Tính dieän

Câu 11. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù chieàu cao SO = h vaø tích xung quanh cuûa hình noùn ñænh S vaø coù ñöôøng troøn ñaùy ngoaïi tieáp hình vuoâng ABCD. Câu 12. Cho moät hình noùn coù chieàu cao vaø baùn kính ñaùy . Maët phaúng ñi qua caét

ñöôøng troøn ñaùy taïi vaø sao cho . Tính khoaûng caùch töø taâm cuûa ñöôøng troøn ñaùy ñeán

VAÁN ÑEÀ 3: MAËT TRUÏ – HÌNH TRUÏ – KHOÁI TRUÏ

vaø ñoä daøi ñöôøng sinh . Dieän tích xung quanh cuûa hình

Câu 1. Cho hình truï coù baùn kính ñaùy truï ñaõ cho Câu 2. Cho khoái truï

coù baùn kính ñaùy , theå tích . Tính dieän tích toaøn phaàn cuûa hình truï

töông öùng. Câu 3. Moät hình truï coù dieän tích xung quanh baèng vaø baùn kính ñaùy laø . Tính ñoä daøi ñöôøng cao

cuûa hình truï ñoù.

vaø coù thieát dieän qua truïc laø moät hình vuoâng. Dieän tích

coù thieát dieän qua truïc cuûa hình truï laø hình vuoâng coù caïnh baèng . Tính dieän tích

cuûa hình truï.

Câu 4. Moät hình truï coù baùn kính ñaùy baèng xung quanh cuûa hình truï. Câu 5. Xeùt hình truï toaøn phaàn Câu 6. Trong khoâng gian, cho hình chöõ nhaät coù vaø . Goïi , laàn löôït laø trung

ñieåm cuûa vaø . Quay hình chöõ nhaät ñoù xung quanh truïc , ta ñöôïc moät hình truï. Tính theå tích

cuûa khoái truï taïo bôûi hình truï ñoù.

Câu 7. Cho moät khoái truï coù dieän tích xung quanh cuûa khoái truï baèng . Tính theå tích cuûa khoái truï bieát

khoaûng caùch giöõa hai ñaùy baèng .

Câu 8. Moät hình truï coù baùn kính ñaùy R vaø coù thieát dieän qua truïc laø moät hình vuoâng.

a) Tính dieän tích xung quanh vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình truï.

b) Tính theå tích cuûa khoái laêng truï töù giaùc ñeàu noäi tieáp trong khoái truï ñaõ cho.

.Theå tích khoái truï ñöôïc taïo neân

Câu 9. Thieát dieän qua truïc cuûa moät hình truï laø hình vuoâng coù caïnh laø bôûi hình truï. Câu 10. Caét moät khoái truï bôûi moät maët phaúng qua truïc ta ñöôïc thieát dieän laø hình chöõ nhaät coù

vaø thuoäc hai ñaùy cuûa khoái truï. Bieát , . Tính theå tích cuûa khoái truï.

Câu 11. Cho hình truï coù chieàu cao baèng . Caét hình truï ñaõ cho bôûi maët phaúng song song vôùi truïc vaø

. Dieän tích xung quanh cuûa

caùch truïc moät khoaûng baèng 1, thieát dieän thu ñöôïc coù dieän tích baèng hình truï ñaõ cho Câu 12. Caét hình truï baèng moät maët phaúng ñi qua truïc ñöôïc thieát dieän laø moät hình chöõ nhaät coù dieän

. Bieát chieàu daøi cuûa hình chöõ nhaät lôùn hôn ñöôøng kính maët ñaùy

tích baèng cuûa hình truï vaø chu vi baèng . Dieän tích toaøn phaàn cuûa .