Chương 3: Ứng dụng của đạo hàm
...................................................................................................................................... 1
* Các bdt lồi: ................................................................................................................. 5
* Bdt Jensen: ............................................................................................................ 5
*/ BDT về số trung bình: ........................................................................................... 5
* BDT Holder: ......................................................................................................... 6
* BDT Minkowski: ................................................................................................. 7
* Cách tìm tiệm cận 1 số hàm số: ............................................................................ 8
6/ Điểm kì dị, điểm lùi: .................................................................................................. 8
7/ Khảo sát đường cong trong tọa độ cực: ..................................................................... 9
8/ Đối xứng trong tọa độ cực: ...................................................................................... 11
9/ Tiếp tuyến của đường cong trong tọa độ cực: ......................................................... 12
10/ Vi phân cung: ........................................................................................................ 13
11/ Độ cong: ............................................................................................................... 13
* Giải pt f(x) 0 bằng phương pháp Newton: .......................................................... 16
* Định lí Weiertrass: ................................................................................................... 17
Ta nói hàm f(x) tăng trên (a, b) nếu:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
x ,x a,b ,x x f x f x > ∀
Ta nói hàm f(x) tăng chặt trên (a, b) nếu:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
x ,x a,b ,x x f x f x∀ < <
Định lí 1: Cho f(x) khả vi trên khoảng (a, b). Hàm f(x) tăng trên (a, b)
( ) ( )
()
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
()
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
'
o o
'ox 0
o o
o o
o o
'ox 0
'
'
2 1 2 1
f x 0, x a,b
f x x f x
Ta có : f x lim 0
x
Vì f x x f x 0, x 0
x 0 f x x f x 0 do ham f x dong bien
f x x f x
f x lim 0
x
Nguoc lai, neu f x 0 tren a,b ,theo dinh lí Larrange ta có :
f x f x f c x x 0
+
+
∆
−
−
∆
∀۳
+ ∆ −
= >
∆
+ ∆ − > ∆ >
∆ < + ∆ − <
+ ∆ −
= >
∆
− = −
Định lí 2: Cho f(x) khả vi trên khoảng (a, b). Hàm f(x) tăng chặt trên (a, b) khi:
1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
'
'
1 1 1 1
1/ f x 0, x a,b
2 / Ko ton tai khoang con a ,b a,b sao cho f x 0 tren a ,b
∀
=
Cho f(x) thỏa 1/ và 2/, vậy theo định lí 1 hàm f(x) tăng trên (a, b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
'1 2
2
x
2
x ' x '' x
' ' '
Gia su: x ,x a,b x x : f x f x f x f x f x
f x 0 tren x , x trái voi 2/
x
VD1: Cm voi x 0 ta có :e 1 x 2
x
Dat f x e 1 x f x e 1 x, f x e 1 0
2
f x tang tren 0, nhung f 0 0 f x 0 x 0
f x tang tren 0, f x f 0 0
∃ < = = =
=
> > + +
= − − − = − − = − >
<∀< =
=<
Định lí: Cho f(x) khả vi trong lân cận
( )
'
o o
x và f x 0
=
1/ Nếu
( )
'' o
f x 0<
thì f(x) đạt cực đại tại
o
x
2/ Nếu
( )
'' o
f x 0
>
thì f(x) đạt cực tiểu tại
o
x
Với
( )
'o
f x 0=
I use Taylor formula với n 2:
Định nghĩa: Hàm f(x) xác định và liên tục trên (a, b) được gọi là lõm trên (a, b) nếu:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
x , x a,b , c 0,1 f cx 1 c x cf x 1 c f x∀ + − + −
Xét ý nghĩa hình học của hàm lõm:
Xét đồ thị cùa hàm số y f(x) và 2 điểm
( )
( )
( )
( )
1 1 1 2 2 2
A x ,f x , A x ,f x
trên đồ thị.
2
( )
( )
1 2
f cx 1 c x+ −
là tung độ của điểm
( )
( )
o o o
A x ,f x
trên đồ thị với
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 o 2 o 1 2
1 1 2 1 2 1 2
1 2 2 1 2 1 2
x x x x cx 1 c x voi c 0,1
x cx 1 c x 1 c x 1 c x x x Vì 1 c 0
cx 1 c x x cx cx x x Vì c 0
< < = + −
< + − − < − < −
+ − < < <
Còn
( ) ( ) ( )
1 2
cf x 1 c f x+ −
là tung độ của điểm B nằm trên dây trương cung
1 2
A A
(đoạn thẳng
1 2
A A
)
Vậy hàm lõm trên (a, b) nếu điểm
o
A
nằm dưới điểm B hay cung
1 2
A A
nằm dưới
dây trương cung
1 2
A A
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 1 1
1 2 2 1 2 1
1 2 1
2 1 1 2 1 2 1 1 2 1
2 1 2 1 2 1 1 2
o B 1 2 o
A A x x ,f x f x x x ,y y
A x ,y parametric equation of line segment
x x x x t x x y y
A A : x x y y
y y y y t
y y x x y y y x x y x x
x y y y x x x y x y 0 1
B x ,y , B A A x
= − − = − −
=
= + −
− −
=
− −
= + −
− − − = − − −
− − − + − =
= =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 o
1 2 2 2 1 2 1 1 2 B 2 1
1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 B 2 1
1 2 1 2 2 2 1 2 B 2 1 B 1 2
cx 1 c x voi c 0,1 The x vào 1 :
cx x cx y y x y x y y x x
cx y x y cx y cx y x y cx y x y x y y x x
x cy cy y x cy cy y y x x y cy 1 c y
+ −
+ − − + − = −
+ − − − + + − = −
− − − − − = − = + −
Parametric equation: pt tham số. line segment: đoạn thẳng.
Hàm được gọi là lồi trên (a, b) nếu
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
f cx 1 c x cf x 1 c f x+ − + −
Nói cách khác hàm f(x) lồi nếu hàm – f(x) lõm
Định lí dấu hiệu lồi, lõm: Cho f(x) khả vi đến cấp 2 trên (a, b). Khi ấy hàm số lõm
trên (a, b)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
''
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 2 1 2 1
1 2
1 2 2 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 2
f x 0 tren a,b
Ki hieu : x cx 1 c x voi c 0,1 y f x y f x y f x
Khi ay f cx 1 c x cf x 1 c f x y cy y 1 c 1
x x cx 1 c x x x x 1 c
y y y y
x x x x x x cx 1 c x x c x x
y y y y c y
x x c 1 c x x
۳
= + − = = =
+ − + −+ −ۣ
− = + − − = − −
− −
ۣ
− − − = + − − = −
− −
−ۣ− − −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2 2 1 2
y c 1 y y
cy y y cy y cy y 1 c ta có lai 1
− −
− −−+ −ۣ
3
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
1 1 2
'
1 1
x x 1 1 2
1
2 1 2
'
2 2
x x 2 1 2
2
1 2
' ' ' ''
1 2 1 2
1 2
''
f x f x f x f x
x x x x
f x f x f x f x
Cho x x lim f x
x x x x
f x f x f x f x
Cho x x lim f x
x x x x
f x f x
f x f x x x f x dong bien f x 0
x x
f x loi neu f x 0
− −
− −
− −
=
− −
− −
=
− −
−
> −
Ngược lại, cho
( ) ( ) ( )
'' 1 2
f x 0 tren a,b . Lay x x , x
theo định lí Larrange ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
' '
1 2
1 2
'' '
1 1 2 2
' '
1 2
f x f x f x f x
f c f c
x x x x
Voi x c x c x . Vì f x 0 nen f x dong bien
f c f c
− −
= =
− −
< < < <
* Cho f là 1 hàm số xác định và liên tục trong [a, b] and
[ ]
''
f 0 trong a,b
>
khi đó
hàm số f lồi trong [a, b]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
set dat : g t t.f a 1 t f b f t.a 1 t b= + − − + −
muốn cm f lồi trong đoạn [a,
b], ta cm f(x) thỏa bdt lồi, nghĩa là cm:
( )
[ ]
g t 0 voi moi t 0,1
, từ biểu thức định
nghĩa, ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
' '
o o o
'
'
' '
o o
g t f a f b a b .f t.a 1 t b
theo cong thuc Larrange,ton tai c t .a 1 t b, t 0,1
sao cho a c b and f a f b a b f c
the giá tri cua f a f b vào bieu thuc cua g t , ta dc:
g t a b t .a 1 t b f t.a 1 t b
= − − − + −
= + −
< < − = −
−
= − + − − + −
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
[ ] [ ]
( ) ( )
( )
[ ]
'' '
o
' ' ' '
o o o o o
o o
theo gia thiet: f 0 f tang, a b 0
and t.a 1 t b t. a b b t . a b b
khi t t , ta có g t g t 0 if t t , g t g t 0 if t t
g t tang trong 0, t and giam trong t ,1 , because g 0 g 1 0
g t 0 with t 0,1
> − <
+ − = − + < − +
= =
= =
>
4
Điểm uốn: điểm
( )
( )
o o
M x ,f x
được gọi là điểm uốn nếu nó phân cách cung lồi và
cung lõm của đường cong f(x).
Định lí: Cho hàm f(x) có đạo hàm
( )
''
f x
trong lân cận điểm
o
x
, nếu khi qua
o
x
đạo
hàm cấp 2
( )
''
f x
đổi dấu thì điểm
( )
( )
o o
M x ,f x
là điểm uốn
* Các bdt lồi:
* Bdt Jensen:
( )
[ ]
( )
1 2 n 1 2 n
n n n
k k k k k
k 1 k 1 k 1
n
k k
k 1
Cho f là 1 hàm so loi trên D a,b , with x ,x ,...x D and a ,a ,...a 0,1
sao cho a 1, ta có : f a .x a .f x
Cm : with n 2, do la dn tính loi cua f , bay gio ta se quy nap theo n :
gia su bdt dung voi so nguyen n 2 : f a .x
= = =
=
=
=
=
>
( )
[ ]
( )
n
k k
k 1
1 2 n n 1 1 2 n n 1
n 1
k i
k 1
a .f x
ta cm nó cung dung voi n 1: lay x ,x ,...x ,x D and a ,a ,...a ,a 0,1
sao cho a 1 gia su a , i 1,n ko dong thoi 0, dat set :
=
+ +
+
=
+
= = =
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
n n
k n 1 n 1 k k
k 1 k 1
n 1
k k n 1
k 1
n 1 n 1 n 1
n n
k k k k
k 1 k 1
n
k k
k 1
1
c a 1 a 0 a 1 c, and y a .x
c
dùng dn hàm loi, ta có:
f a .x f c.y 1 c x
c.f y 1 c f x c.f y a .f x
a .x 1
dùng gia thiet quy nap, ta dc: f y f a .f x
c c
f a .x
+ +
= =
+
+
=
+ + +
= =
=
= = − > = − =
= + −
+ − = +
=
( )
1 n 1
k k
k 1
a .f x
+ +
=
*/ BDT về số trung bình:
5