SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY
TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 12
Họ tên HS: …………….………….
Lớp:
………………..………
Tài liệu lưu hành nội bộ
1
MỤC LỤC CHÖÔNG I : ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM ÑEÅ KHAÛO SAÙT VAØ VEÕ ............................. 3 BAØI 1: TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ ........................................................................ 3 BAØI 2: CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ ....................................................................................... 6 BAØI 3: GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ ..................... 9 BAØI 4: ÑÖÔØNG TIEÄM CAÄN CUÛA ÑOÀ THÒ ................................................................... 10 BAØI 5: KHAÛO SAÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ ...................... 11 BAØI 6: MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ ..................... 13 CHÖÔNG II : HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA – HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT ..... 20 BAØI 1: LUYÕ THÖØA .......................................................................................................... 20 BAØI 2: LOGARIT .............................................................................................................. 22 BAØI 3: HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT ........................... 24 BAØI 4: PHÖÔNG TRÌNH MUÕ ......................................................................................... 25 BAØI 5: PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT ............................................................................. 27 BAØI 6: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ ................................................................................ 29 BAØI 7: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT ..................................................................... 29 NHAÉC LAÏI MOÄT SOÁ COÂNG THÖÙC TRONG HÌNH HOÏC PHAÚNG ...................... 30 CHÖÔNG I :KHOÁI ÑA DIEÄN VAØ THEÅ TÍCH CUÛA CHUÙNG ................................ 31 BAØI 1: KHAÙI NIEÄM VEÀ KHOÁI ÑA DIEÄN ...................................................................... 31 BAØI 2: KHOÁI ÑA DIEÄN LOÀI VAØ KHOÁI ÑA DIEÄN ÑEÀU .............................................. 34 BAØI 3: KHAÙI NIEÄM VEÀ THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN ......................................... 36 CHÖÔNG II : KHOÁI TROØN XOAY .......................................................................... 38 BAØI 1: MAËT CAÀU – KHOÁI CAÀU ..................................................................................... 38 BAØI 2: MAËT NOÙN – HÌNH NOÙN – KHOÁI NOÙN ............................................................ 39 BAØI 3: MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ .................................................................. 40 BAØI 4: DIEÄN TÍCH – THEÅ TÍCH .................................................................................... 40 VAÁN ÑEÀ 1: MAËT CAÀU – KHOÁI CAÀU ........................................................................ 41 VAÁN ÑEÀ 2: MAËT NOÙN – HÌNH NOÙN – KHOÁI NOÙN ................................................ 41 VAÁN ÑEÀ 3: MAËT TRUÏ – HÌNH TRUÏ – KHOÁI TRUÏ .................................................. 42
2
CHÖÔNG I: ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM ÑEÅ KHAÛO SAÙT VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ
BAØI 1: TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ
1. Ñinh nghóa:
Haøm soá ñoàng bieán treân
Haøm soá nghòch bieán treân
2. Ñieàu kieän caàn:
Giaû söû coù ñaïo haøm treân khoaûng
a) Neáu ñoàng bieán treân khoaûng thì
b) Neáu nghòch bieán treân khoaûng thì
3. Ñieàu kieän ñuû:
Giaû söû coù ñaïo haøm treân khoaûng
a) Neáu ( taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì ñoàng bieán treân
b) Neáu ( taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì nghòch bieán treân
c) Neáu thì khoâng ñoåi treân
Chuù yù: Neáu khoaûng I ñöôïc thay bôûi ñoaïn hoaëc nöûa khoaûng thì f phaûi lieân tuïc treân ñoù.
VAÁN ÑEÀ 1: Xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá
Ñeå xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá y = f(x), ta thöïc hieän caùc böôùc nhö sau:
– Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá.
– Tính y. Tìm caùc ñieåm maø taïi ñoù y = 0 hoaëc y khoâng toàn taïi (goïi laø caùc ñieåm tôùi haïn)
– Laäp baûng xeùt daáu y (baûng bieán thieân). Töø ñoù keát luaän caùc khoaûng ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá.
Câu 1. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau:
b) a) c)
e) d) f)
h) g) i)
l) k) m)
o) n) p)
Câu 2. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau:
a) b) c)
3
d) e) f)
g) h) i)
VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá luoân ñoàng bieán hoaëc nghòch bieán
treân taäp xaùc ñònh (hoaëc treân töøng khoaûng xaùc ñònh)
Cho haøm soá , m laø tham soá, coù taäp xaùc ñònh D.
Haøm soá f ñoàng bieán treân D y 0, x D.
Haøm soá f nghòch bieán treân D y 0, x D.
Töø ñoù suy ra ñieàu kieän cuûa m.
Chuù yù:
1) y = 0 chæ xaûy ra taïi moät soá höõu haïn ñieåm.
2) Neáu thì:
3) Ñònh lí veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai :
Neáu < 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a.
) Neáu = 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a (tröø x =
Neáu > 0 thì g(x) coù hai nghieäm x1, x2 vaø trong khoaûng hai nghieäm thì g(x) khaùc daáu vôùi a,
ngoaøi khoaûng hai nghieäm thì g(x) cuøng daáu vôùi a.
4) So saùnh caùc nghieäm x1, x2 cuûa tam thöùc baäc hai vôùi soá 0:
5) Ñeå haøm soá coù ñoä daøi khoaûng ñoàng bieán (nghòch bieán) (x1; x2) baèng d thì
ta thöïc hieän caùc böôùc sau:
Tính y.
Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù khoaûng ñoàng bieán vaø nghòch bieán:
(1)
(2) thaønh Bieán ñoåi
Söû duïng ñònh lí Viet ñöa (2) thaønh phöông trình theo m.
Giaûi phöông trình, so vôùi ñieàu kieän (1) ñeå choïn nghieäm.
Câu 1. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh (hoaëc taäp xaùc
ñònh) cuûa noù:
a) b) c)
4
e) f) d)
Câu 2. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh (hoaëc taäp
xaùc ñònh) cuûa noù:
b) c) a)
Câu 3. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh cuûa noù:
b) a)
d) c)
Câu 4. Tìm m ñeå haøm soá:
nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 1. a)
nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 3. b)
ñoàng bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 4. c)
Câu 5. Tìm m ñeå haøm soá:
ñoàng bieán treân khoaûng (1; +). a)
ñoàng bieán treân khoaûng (2; +). b)
ñoàng bieán treân khoaûng (1; +). c)
ñoàng bieán trong khoaûng (–1; +). d)
VAÁN ÑEÀ 3: ÖÙng duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc
Ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc ta thöïc hieän caùc böôùc sau: Chuyeån baát ñaúng thöùc veà daïng f(x) > 0 (hoaëc <, , ). Xeùt haøm soá y = f(x) treân taäp xaùc ñònh
do ñeà baøi chæ ñònh.
Xeùt daáu f (x). Suy ra haøm soá ñoàng bieán hay nghòch bieán. Döïa vaøo ñònh nghóa söï ñoàng bieán, nghòch bieán ñeå keát luaän. Chuù yù:
1) Trong tröôøng hôïp ta chöa xeùt ñöôïc daáu cuûa f (x) thì ta ñaët h(x) = f (x) vaø quay laïi tieáp tuïc xeùt daáu h (x) … cho ñeán khi naøo xeùt daáu ñöôïc thì thoâi. 2) Neáu baát ñaúng thöùc coù hai bieán thì ta ñöa baát ñaúng thöùc veà daïng: f(a) < f(b). Xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá f(x) trong khoaûng (a; b).
Câu 1. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:
a) b)
c) d)
Câu 2. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:
5
a) b)
c)
Câu 3. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:
a) b)
c)
BAØI 2: CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ
I. Khaùi nieäm cöïc trò cuûa haøm soá
xaùc ñònh treân taäp vaø Giaû söû haøm số
a – ñieåm cöïc ñaïi cuûa neáu toàn taïi khoaûng (a; b) D va (a; b) sao cho
f(x) < f(x0), vôùi x (a; b) \ {x0}.
Khi ñoù f(x0) ñgl giaù trò cöïc ñaïi (cöïc ñaïi) cuûa haøm
b) – ñieåm cöïc tieåu cuûa neáu toàn taïi khoaûng (a; b) D vaø (a; b) sao cho
f(x) > f(x0), vôùi x (a; b) \ {x0}.
Khi ñoù f(x0) ñgl giaù trò cöïc tieåu (cöïc tieåu) cuûa f.
c) Neáu x0 laø ñieåm cöïc trò cuûa f thì ñieåm (x0; f(x0)) ñgl ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá f.
II. Ñieàu kieän caàn ñeå haøm soá coù cöïc trò
Neáu haøm soá f coù ñaïo haøm taïi x0 vaø ñaït cöïc trò taïi ñieåm ñoù thì f (x0) = 0.
Chuù yù: Haøm soá f chæ coù theå ñaït cöïc trò taïi nhöõng ñieåm maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng coù
ñaïo haøm.
III. Ñieåu kieän ñuû ñeå haøm soá coù cöïc trò
1. Ñònh lí 1: Giaû söû haøm soá f lieân tuïc treân khoaûng (a; b) chöùa ñieåm x0 vaø coù ñaïo haøm treân (a; b)\{x0}
a) Neáu f (x) ñoåi daáu töø aâm sang döông khi x ñi qua x0 thì f ñaït cöïc tieåu taïi x0.
b) Neáu f (x) ñoåi daáu töø döông sang aâm khi x ñi qua x0 thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x0.
2. Ñònh lí 2: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a; b) chöùa ñieåm x0, f (x0) = 0 vaø coù ñaïo haøm caáp hai khaùc 0 taïi ñieåm x0.
a) Neáu f (x0) < 0 thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x0.
b) Neáu f (x0) > 0 thì f ñaït cöïc tieåu taïi x0.
VAÁN ÑEÀ 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá
Qui taéc 1: Duøng ñònh lí 1.
Tìm f (x).
Tìm caùc ñieåm xi (i = 1, 2, …) maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng coù ñaïo haøm.
Xeùt daáu f (x). Neáu f (x) ñoåi daáu khi x ñi qua xi thì haøm soá ñaït cöïc trò taïi xi.
Qui taéc 2: Duøng ñònh lí 2.
6
Tính f (x).
Giaûi phöông trình f (x) = 0 tìm caùc nghieäm xi (i = 1, 2, …).
Tính f (x) vaø f (xi) (i = 1, 2, …).
Neáu f (xi) < 0 thì haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi xi.
Neáu f (xi) > 0 thì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi xi.
Câu 1. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau:
b) c) a)
e) f) d)
h) i) g)
Câu 2. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau:
b) c) a)
e) f) d)
VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc trò
1. Neáu haøm soá y = f(x) ñaït cöïc trò taïi ñieåm x0 thì f (x0) = 0 hoaëc taïi x0 khoâng coù ñaïo haøm. 2. Ñeå haøm soá y = f(x) ñaït cöïc trò taïi ñieåm x0 thì f (x) ñoåi daáu khi x ñi qua x0. Chuù yù:
Haøm soá baäc ba coù cöïc trò Phöông trình y = 0 coù hai nghieäm phaân
bieät. Khi ñoù neáu x0 laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò y(x0) baèng hai caùch:
+
+ , trong ñoù Ax + B laø phaàn dö trong pheùp chia y cho y.
= Haøm soá (aa 0) coù cöïc trò Phöông trình y = 0 coù hai nghieäm
phaân bieät khaùc .
Khi ñoù neáu x0 laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò y(x0) baèng hai caùch:
hoaëc
Khi söû duïng ñieàu kieän caàn ñeå xeùt haøm soá coù cöïc trò caàn phaûi kieåm tra laïi ñeå loaïi boû nghieäm
ngoaïi lai.
Khi giaûi caùc baøi taäp loaïi naøy thöôøng ta coøn söû duïng caùc kieán thöùc khaùc nöõa, nhaát laø ñònh lí
Vi–et.
Câu 1. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu:
a) b)
c) d)
7
Câu 2. Tìm m ñeå haøm soá:
a) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu.
b) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu.
c) ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2.
d) coù moät cöïc ñaïi
e) ñaït cöïc tieåu khi x = 2.
Câu 3. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau khoâng coù cöïc trò:
a) b)
c) d)
Câu 4. Tìm a, b, c, d ñeå haøm soá:
a) ñaït cöïc tieåu baèng 0 taïi x = 0 vaø ñaït cöïc ñaïi baèng taïi x =
b) coù ñoà thò ñi qua goác toaï ñoä O vaø ñaït cöïc trò baèng –9 taïi x = .
c) ñaït cöïc trò baèng –6 taïi x = –1.
d) ñaït cöïc trò taïi x = 0 vaø x = 4.
e) ñaït cöïc ñaïi baèng 5 taïi x = 1.
Câu 5. Tìm m ñeå haøm soá :
a) ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x1, x2 sao cho:
.
b) ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x1, x2 sao cho: .
c) ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x1, x2 sao cho: .
VAÁN ÑEÀ 3: Ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò
.
f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B.
1) Haøm soá baäc ba Chia f(x) cho f (x) ta ñöôïc: Khi ñoù, giaû söû (x1; y1), (x2; y2) laø caùc ñieåm cöïc trò thì:
Caùc ñieåm (x1; y1), (x2; y2) naèm treân ñöôøng thaúng y = Ax + B.
2) Haøm soá phaân thöùc .
8
. Giaû söû (x0; y0) laø ñieåm cöïc trò thì
Giaû söû haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu thì phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò
aáy laø: .
Câu 1. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá :
b) c) a)
Câu 2. Khi haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu, vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa
ñoà thò haøm soá:
b) a)
Câu 3. Tìm m ñeå haøm soá:
coù ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò song song vôùi
a) ñöôøng thaúng y = –4x + 1.
coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa ñoà thò naèm treân
b) ñöôøng thaúng y = –4x.
coù ñöôøng thaúng ñi qua caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu vuoâng goùc vôùi
c) ñöôøng thaúng y = 3x – 7.
BAØI 3: GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ
1. Ñònh nghóa: Giaû söû haøm soá f xaùc ñònh treân mieàn D (D R).
a) b)
2. Tính chaát: a) Neáu haøm soá f ñoàng bieán treân [a; b] thì .
b) Neáu haøm soá f nghòch bieán treân [a; b] thì .
VAÁN ÑEÀ : Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá theo 2 caùch
Caùch 1: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá treân moät khoaûng. Tính f (x). Xeùt daáu f (x) vaø laäp baûng bieán thieân. Döïa vaøo baûng bieán thieân ñeå keát luaän. Caùch 2: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá lieân tuïc treân moät ñoaïn [a; b]. Tính f (x). Giaûi phöông trình f (x) = 0 tìm ñöôïc caùc nghieäm x1, x2, …, xn treân [a; b] (neáu coù). Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn). So saùnh caùc giaù trò vöøa tính vaø keát luaän.
Câu 1. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau:
9
a) c) b)
d) f) e)
Câu 2. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau:
a) treân [–1; 5] treân [–2; 3] b)
c) treân [–3; 2] treân [–2; 2] d)
e) treân [0; 2] treân [0; 4] f)
g) treân [0; 2] treân [0; 1] h)
k) i) treân [–6; 8]
Câu 3. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau:
a) b)
BAØI 4: ÑÖÔØNG TIEÄM CAÄN CUÛA ÑOÀ THÒ
1. Ñònh nghóa:
Ñöôøng thaúng ñgl ñöôøng tieäm caän ñöùng cuûa ñoà thò haøm soá neáu ít nhaát moät
trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: ; ; ;
Ñöôøng thaúng ñgl ñöôøng tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá neáu ít nhaát moät
trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: ;
ñgl ñöôøng tieäm caän xieân cuûa ñoà thò haøm soá neáu ít
Ñöôøng thaúng nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn:
;
2. Chuù yù:
a) Neáu laø haøm soá phaân thöùc höõu tyû.
Neáu Q(x) = 0 coù nghieäm x0 thì ñoà thò coù tieäm caän ñöùng .
Neáu baäc(P(x)) baäc(Q(x)) thì ñoà thò coù tieäm caän ngang. Neáu baäc(P(x)) = baäc(Q(x)) + 1 thì ñoà thò coù tieäm caän xieân. b) Ñeå xaùc ñònh caùc heä soá a, b trong phöông trình cuûa tieäm caän xieân, ta coù theå aùp duïng caùc coâng thöùc sau:
hoaëc
Câu 1. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:
10
a) b) c)
d) e) f)
Câu 2. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:
a) b) c)
d) e) f)
Câu 3. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:
a) b) c)
d) e) f)
Câu 4. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù ñuùng hai tieäm caän ñöùng:
a) b) c)
d) e) f)
BAØI 5: KHAÛO SAÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ
– Tính y. – Tìm caùc ñieåm taïi ñoù y = 0 vaø xeùt daáu y.
1. Caùc böôùc khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá
Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá. Xeùt söï bieán thieân cuûa haøm soá: + Tính y. + Tìm caùc ñieåm taïi ñoù ñaïo haøm y baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh. + Tìm caùc giôùi haïn taïi voâ cöïc, giôùi haïn voâ cöïc vaø tìm tieäm caän (neáu coù). + Laäp baûng bieán thieân ghi roõ daáu cuûa ñaïo haøm, chieàu bieán thieân, cöïc trò cuûa haøm soá. Veõ ñoà thò cuûa haøm soá: + Tìm ñieåm uoán cuûa ñoà thò (ñoái vôùi haøm soá baäc ba vaø haøm soá truøng phöông). + Veõ caùc ñöôøng tieäm caän (neáu coù) cuûa ñoà thò. + Xaùc ñònh moät soá ñieåm ñaëc bieät cuûa ñoà thò nhö giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi caùc truïc toaï ñoä (trong tröôøng hôïp ñoà thò khoâng caét caùc truïc toaï ñoä hoaëc vieäc tìm toaï ñoä giao ñieåm phöùc taïp thì coù theå boû qua). Coù theå tìm theâm moät soá ñieåm thuoäc ñoà thò ñeå coù theå veõ chính xaùc hôn. + Nhaän xeùt veà ñoà thò: Chæ ra truïc ñoái xöùng, taâm ñoái xöùng (neáu coù) cuûa ñoà thò.
2. Haøm soá baäc ba :
Taäp xaùc ñònh D = R. Ñoà thò luoân coù moät ñieåm uoán vaø nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng. Caùc daïng ñoà thò:
a > 0 a < 0
11
y
y
y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät ’ = b2 – 3ac > 0
I
x
x
0
0 I
y’ = 0 coù nghieäm keùp ’ = b2 – 3ac = 0
y
y
y’ = 0 voâ nghieäm ’ = b2 – 3ac < 0
I
I
0
0
x
x
3. Haøm soá truøng phöông :
Taäp xaùc ñònh D = R. Ñoà thò luoân nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng. Caùc daïng ñoà thò:
a < 0 a > 0
y
y
0
x
y’ = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät ab < 0
0
x
y
y
0
x
0
x
y’ = 0 chæ coù 1 nghieäm ab > 0
4. Haøm soá nhaát bieán :
Taäp xaùc ñònh D = .
Ñoà thò coù moät tieäm caän ñöùng laø vaø moät tieäm caän ngang laø . Giao ñieåm cuûa hai
tieäm caän laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò haøm soá. Caùc daïng ñoà thò:
12
y
y
0
0
x
x
ad – bc > 0
ad – bc < 0
Câu 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:
a) b) c)
d) e) f)
Câu 2. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:
a) b) c)
f) d) e)
Câu 3. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:
a) b) c)
d) e) f)
Câu 4. Veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:
a) b) c) d)
BAØI 6: MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ
1. SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA CAÙC ÑOÀ THÒ 1. Cho hai ñoà thò (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x). Ñeå tìm hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) ta
giaûi phöông trình: f(x) = g(x) (*) (goïi laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm). Soá nghieäm cuûa phöông trình (*) baèng soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò.
2. Ñoà thò haøm soá baäc ba caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät
Phöông trình coù 3 nghieäm phaân bieät.
Haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø .
Câu 1. Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa caùc ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau:
a) b) c)
d) e) f)
Câu 2. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá:
13
a) caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät.
b) caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät.
c) caét nhau taïi hai ñieåm coù hoaønh ñoä traùi daáu.
d) caét nhau taïi hai ñieåm coù hoaønh ñoä traùi daáu.
e) caét nhau taïi hai ñieåm thuoäc hai nhaùnh khaùc nhau.
f) caét truïc hoaønh taïi hai ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông.
Câu 3. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá:
a) caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät.
b) caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm phaân bieät.
c) caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm phaân bieät.
d) caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät.
caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. e)
Câu 4. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá:
a) caét nhau taïi boán ñieåm phaân bieät.
b) caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm phaân bieät.
c) caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm phaân bieät.
Câu 5. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá:
a) caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tìm m ñeå ñoaïn AB ngaén nhaát.
b) caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tìm m ñeå ñoaïn AB
ngaén nhaát.
f(x) = g(x) (1)
Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) = Soá giao ñieåm cuûa (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x) Nghieäm cuûa phöông trình (1) laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x)
2. BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG ÑOÀ THÒ Cô sôû cuûa phöông phaùp: Xeùt phöông trình: Ñeå bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình F(x, m) = 0 (*) baèng ñoà thò ta bieán ñoåi (*) veà moät
trong caùc daïng sau:
(1)
yCÑ
(C) c. (d) : y = m c.
y c. m c.
A c.
x
(C): y = f(x) d: y = m
yCT
xA c.
giao ñieåm cuûa hai ñöôøng: d laø ñöôøng thaúng cuøng phöông vôùi truïc hoaønh. Döïa vaøo ñoà thò (C) ta bieän luaän soá giao ñieåm cuûa (C) vaø d. Töø ñoù suy ra soá nghieäm cuûa (1) F(x, m) = 0 f(x) = g(m) (2)
Daïng 1: F(x, m) = 0 f(x) = m Khi ñoù (1) coù theå xem laø phöông trình hoaønh ñoä Daïng 2: Thöïc hieän töông töï nhö treân, coù theå ñaët g(m) = k.
14
Bieän luaän theo k, sau ñoù bieän luaän theo m.
VAÁN ÑEÀ 1: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baèng ñoà thò Ñeå bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình F(x, m) = 0 (*) ta bieán ñoåi (*) veà moät trong caùc daïng
nhö treân, trong ñoù löu yù y = f(x) laø haøm soá ñaõ khaûo saùt vaø veõ ñoà thò.
Câu 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo m soá
nghieäm cuûa phöông trình:
a) b)
c) d)
e) f)
VAÁN ÑEÀ 2: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baäc ba baèng ñoà thò
Cô sôû cuûa phöông phaùp: Xeùt phöông trình baäc ba: (a 0) (1)
Goïi (C) laø ñoà thò cuûa haøm soá baäc ba:
Soá nghieäm cuûa (1) = Soá giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh
Daïng 1: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baäc 3 Tröôøng hôïp 1: (1) chæ coù 1 nghieäm (C) vaø Ox coù 1 ñieåm chung
y
y
(C)
(C)
yCÑ
A
A x0
x2
yCT x1 o
x0
O
x
(h.1a)
x
(h.1b)
Tröôøng hôïp 2: (1) coù ñuùng 2 nghieäm (C) tieáp xuùc vôùi Ox
y
y
(C)
(C)
yCÑ
(H.2)
yCÑ
x2
A
B
o
C x"0
x0
x1
x
A x0 o
x1
x'0
x
B x'0 yCÑ
(H.3)
(yCT = f(x0) = 0)
Tröôøng hôïp 3: (1) coù 3 nghieäm phaân bieät (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät
Daïng 2: Phöông trình baäc ba coù 3 nghieäm cuøng daáu Tröôøng hôïp 1: (1) coù 3 nghieäm döông phaân bieät
(C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông
15
y
y
a > 0
a < 0
(C)
yCÑ
f(0)
yCÑ x2
x1
B
A
C
A xA
C xC
x2
xC
xA
x1
B xB
xB
x
x
o yCT
o yCT
f(0)
(C)
Tröôøng hôïp 2: (1) coù 3 nghieäm coù aâm phaân bieät (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä aâm
y
y
a > 0
a < 0
(C)
(C)
yCÑ
f(0) yCÑ
x2
x1
B
A
A
C
xA
C xC
x2
xC
xA
x1
B xB
xB
x
x
o yCT
o yCT f(0)
Câu 1. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau chæ coù 1 nghieäm:
a) b)
c) d)
e) f)
Câu 2. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau chæ coù 2 nghieäm:
a) b)
c) d)
Câu 3. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm phaân bieät:
a) b)
c) d)
Câu 4. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm döông phaân bieät:
a) b)
c) d)
Câu 5. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm aâm phaân bieät:
a) b)
d) c)
3. SÖÏ TIEÁP XUÙC CUÛA HAI ÑÖÔØNG.
16
1. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 laø heä soá goùc cuûa tieáp
tuyeán vôùi ñoà thò (C) cuûa haøm soá taïi ñieåm .
Khi ñoù phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm laø:
y – y0 = f (x0).(x – x0) (y0 = f(x0))
2. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x) tieáp xuùc nhau laø heä phöông
trình sau coù nghieäm: (*)
Nghieäm cuûa heä (*) laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm cuûa hai ñöôøng ñoù. 3. Neáu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì
(C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau phöông trình coù nghieäm keùp.
VAÁN ÑEÀ : Tìm ñieàu kieän ñeå hai ñöôøng tieáp xuùc 1. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x) tieáp xuùc nhau laø heä phöông
trình sau coù nghieäm: (*)
Nghieäm cuûa heä (*) laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm cuûa hai ñöôøng ñoù.
2. Neáu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì
coù nghieäm keùp. (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau phöông trình
Câu 1. Tìm m ñeå hai ñöôøng (C1), (C2) tieáp xuùc nhau:
c) a)
d) b)
Câu 2. Tìm m ñeå hai ñöôøng (C1), (C2) tieáp xuùc nhau:
b) a)
d) c)
f) e)
Xeùt daáu bieåu thöùc coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. Chia mieàn xaùc ñònh thaønh nhieàu khoaûng, trong moãi khoaûng ta boû daáu giaù trò tuyeät ñoái. Veõ ñoà thò haøm soá töông öùng trong caùc khoaûng cuûa mieàn xaùc ñònh.
6. HAØM SOÁ COÙ CHÖÙA DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI Baøi toaùn: Veõ ñoà thò cuûa haøm soá y = f(x) vôùi f(x) coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. Caùch 1: Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò. Caùch 2: Thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi ñoà thò.
Daïng 1: Veõ ñoà thò haøm soá .
Ñoà thò (C) cuûa haøm soá coù theå ñöôïc suy töø ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) nhö
sau: + Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) ôû phía treân truïc hoaønh. + Laáy ñoái xöùng phaàn ñoà thò cuûa (C) ôû phía döôùi truïc hoaønh qua truïc hoaønh. + Ñoà thò (C) laø hôïp cuûa hai phaàn treân.
17
Daïng 2: Veõ ñoà thò cuûa haøm soá .
coù theå ñöôïc suy töø ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) nhö
Ñoà thò (C) cuûa haøm soá sau: + Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) ôû beân phaûi truïc tung, boû phaàn beân traùi truïc tung. + Laáy ñoái xöùng phaàn beân phaûi truïc tung qua truïc tung. + Ñoà thò (C) laø hôïp cuûa hai phaàn treân.
Câu 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C). Töø ñoù suy ra ñoà thò C). Duøng ñoà thò (C) bieän luaän
soá nghieäm cuûa phöông trình (1):
; (C): ; (1) a) (C):
; (C): ; (1) b) (C):
e) (C): ; (C): ; (1)
Câu 2. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C). Töø ñoù suy ra ñoà thò C). Duøng ñoà thò (C) bieän luaän
soá nghieäm cuûa phöông trình (1):
; (C): ; a) (C):
b) (C): ; (C): ; (1)
7. ÑIEÅM ÑAËC BIEÄT TREÂN ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ
VAÁN ÑEÀ 1: Tìm ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) coù toaï ñoä nguyeân
Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò haøm soá höõu tæ coù toaï ñoä laø nhöõng soá nguyeân:
thaønh daïng , vôùi A(x) laø ña thöùc, a laø soá nguyeân. Phaân tích
Khi ñoù Q(x) laø öôùc soá cuûa a. Töø ñoù ta tìm caùc giaù trò x nguyeân ñeå Q(x) laø öôùc soá
cuûa a.
Thöû laïi caùc giaù trò tìm ñöôïc vaø keát luaän.
18
Áp dụng.
Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá coù toaï ñoä nguyeân:
b) a) c)
e) d) f)
VAÁN ÑEÀ 2: Tìm caëp ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng d: y = ax + b
Cô sôû cuûa phöông phaùp: A, B ñoái xöùng nhau qua d d laø trung tröïc cuûa ñoaïn AB Phöông trình ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi d: y = ax = b coù daïng:
:
(C)
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa vaø (C):
(d)
()
f(x) = (1)
B
A
I
phaân bieät A, B. Khi ñoù xA, xB laø caùc nghieäm cuûa (1).
Tìm ñieàu kieän cuûa m ñeå caét (C) taïi 2 ñieåm Tìm toaï ñoä trung ñieåm I cuûa AB. Töø ñieàu kieän: A, B ñoái xöùng qua d I d, ta tìm ñöôïc m xA, xB yA, yB A, B.
Chuù yù: A, B ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh
A, B ñoái xöùng nhau qua truïc tung
A, B ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng y = b
A, B ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng x = a
Áp dụng.
Tìm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá hai ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng d:
a) b)
c) d)
VAÁN ÑEÀ 3: Tìm caëp ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) ñoái xöùng qua ñieåm I(a; b)
coù heä soá goùc k coù daïng: .
f(x) = (1)
Cô sôû cuûa phöông phaùp: A, B ñoái xöùng nhau qua I I laø trung ñieåm cuûa AB. Phöông trình ñöôøng thaúng d qua I(a; b), Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø d: Tìm ñieàu kieän ñeå d caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B. khi ñoù xA, xB laø 2 nghieäm cuûa (1). Töø ñieàu kieän: A, B ñoái xöùng qua I I laø trung ñieåm cuûa AB, ta tìm ñöôïc k xA, xB.
Chuù yù: A, B ñoái xöùng qua goác toaï ñoä O
Câu 1. Tìm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá hai ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñieåm I:
19
a) b)
c) d)
e) e)
VAÁN ÑEÀ 4: Khoaûng caùch
Kieán thöùc cô baûn:
1) Khoaûng caùch giöõa hai ñieåm A, B: AB =
2) Khoaûng caùch töø ñieåm M(x0; y0) ñeán ñöôøng thaúng : ax + by + c = 0:
d(M, ) =
3) Dieän tích tam giaùc ABC: S =
Câu 1. Cho ñoà thò (C) vaø ñieåm A. Tìm ñieåm M treân (C) sao cho AM nhoû nhaát. Chöùng minh raèng
khi AM nhoû nhaát thì ñöôøng thaúng AM vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M.
a) b)
c)
Câu 2. Cho ñoà thò (C) vaø ñöôøng thaúng d. Tìm ñieåm M treân (C) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán d laø
nhoû nhaát.
a) b)
c) d)
CHÖÔNG II : HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA – HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT
BAØI 1: LUYÕ THÖØA
1. Ñònh nghóa luyõ thöøa
Cô soá a Soá muõ Luyõ thöøa
(n thöøa soá a)
a R
2. Tính chaát cuûa luyõ thöøa
Vôùi moïi a > 0, b > 0 ta coù:
a > 1 : ; 0 < a < 1 :
20
Vôùi 0 < a < b ta coù:
;
+ Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ khoâng nguyeân thì cô soá a phaûi döông.
Chuù yù: + Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ 0 vaø soá muõ nguyeân aâm thì cô soá a phaûi khaùc 0. 3. Ñònh nghóa vaø tính chaát cuûa caên thöùc
.
Caên baäc n cuûa a laø soá b sao cho Vôùi a, b 0, m, n N*, p, q Z ta coù:
; ; ;
; Ñaëc bieät
Neáu n laø soá nguyeân döông leû vaø a < b thì .
Neáu n laø soá nguyeân döông chaün vaø 0 < a < b thì .
Chuù yù:
.
+ Khi n leû, moãi soá thöïc a chæ coù moät caên baäc n. Kí hieäu + Khi n chaün, moãi soá thöïc döông a coù ñuùng hai caên baäc n laø hai soá ñoái nhau.
4. Coâng thöùc laõi keùp Goïi A laø soá tieàn göûi, r laø laõi suaát moãi kì, N laø soá kì.
Soá tieàn thu ñöôïc (caû voán laãn laõi) laø:
Câu 1. Thöïc hieän caùc pheùp tính sau::
a) b)
c) d)
e) f)
g)
Câu 2. Vieát caùc bieåu thöùc sau döôùi daïng luyõ thöøa vôùi soá muõ höõu tæ:
a) b) c)
d) e) f)
Câu 3. Ñôn giaûn caùc bieåu thöùc sau:
a) b)
21
c) d)
e) f)
Câu 4. So saùnh caùc caëp soá sau:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
k) l) m)
Câu 5. So saùnh hai soá m, n neáu:
a) c) b)
d) e) f)
Câu 6. Coù theå keát luaän gì veà soá a neáu:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
BAØI 2: LOGARIT
1. Ñònh nghóa
Vôùi a > 0, a 1, b > 0 ta coù:
Chuù yù: coù nghóa khi
Logarit thaäp phaân:
Logarit töï nhieân (logarit Nepe): (vôùi )
2. Tính chaát
; ; ;
Cho a > 0, a 1, b, c > 0. Khi ñoù:
22
+ Neáu a > 1 thì
+ Neáu 0 < a < 1 thì
3. Caùc qui taéc tính logarit Vôùi a > 0, a 1, b, c > 0, ta coù:
4. Ñoåi cô soá Vôùi a, b, c > 0 vaø a, b 1, ta coù:
hay
Câu 1. Thöïc hieän caùc pheùp tính sau:
b) c) a)
e) f) d)
h) i) g)
l) m) k)
o) p) n)
Câu 2. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc logarit theo caùc bieåu thöùc ñaõ cho:
theo a. a) Cho . Tính
. Tính theo a. b) Cho
. Tính theo a. c) Cho
Câu 3. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc logarit theo caùc bieåu thöùc ñaõ cho:
; a) Cho . Tính theo a, b.
; b) Cho . Tính theo a, b.
; c) Cho . Tính theo a, b.
; d) Cho ; . Tính theo a, b, c.
Câu 4. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau (vôùi giaû thieát caùc bieåu thöùc ñaõ cho coù nghóa):
b) c) a)
d) , vôùi .
e) , vôùi .
23
BAØI 3: HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT
1. Khaùi nieäm
a) Haøm soá luyõ thöøa ( laø haèng soá)
Taäp xaùc ñònh D Soá muõ Haøm soá
D = R = n (n nguyeân döông)
D = R \ {0} = n (n nguyeân aâm hoaëc n = 0)
laø soá thöïc khoâng nguyeân D = (0; +)
khoâng ñoàng nhaát vôùi haøm soá Chuù yù: Haøm soá .
b) Haøm soá muõ
(a > 0, a 1). D = R. T = (0; +).
Taäp xaùc ñònh: Taäp giaù trò: Khi a > 1 haøm soá ñoàng bieán, khi 0 < a < 1 haøm soá nghòch bieán. Nhaän truïc hoaønh laøm tieäm caän ngang. Ñoà thò:
y=ax
y=ax
0 a>1 c) Haøm soá logarit (a > 0, a 1) D = (0; +).
T = R. y=logax y=logax Taäp xaùc ñònh:
Taäp giaù trò:
Khi a > 1 haøm soá ñoàng bieán, khi 0 < a < 1 haøm soá nghòch bieán.
Nhaän truïc tung laøm tieäm caän ñöùng.
Ñoà thò: a>1 0 2. Giôùi haïn ñaëc bieät 3. Ñaïo haøm 24 ; . Chuù yù: ; ; ; (x > 0); Câu 1. Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: b) a) c) e) d) f) c) b) a) e) d) f) h) g) i) b) a) c) e) d) f) h) g) i) a) b) c) d) g) 1. Phöông trình muõ cô baûn: Vôùi a > 0, a 1: 2. Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình muõ a) Ñöa veà cuøng cô soá: Vôùi a > 0, a 1: 25 Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá coù chöùa aån soá thì: b) Logarit hoaù: c) Ñaët aån phuï: Daïng 1: , trong ñoù P(t) laø ña thöùc theo t. Daïng 2: Chia 2 veá cho , roài ñaët aån phuï Daïng 3: , vôùi . Ñaët f(x) = g(x) d) Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá
Xeùt phöông trình: (1)
Ñoaùn nhaän x0 laø moät nghieäm cuûa (1).
Döïa vaøo tính ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa f(x) vaø g(x) ñeå keát luaän x0 laø nghieäm duy nhaát: Neáu f(x) ñoàng bieán (hoaëc nghòch bieán) thì e) Ñöa veà phöông trình caùc phöông trình ñaëc bieät Phöông trình tích A.B = 0 Phöông trình f(x) = g(x) (1) f) Phöông phaùp ñoái laäp
Xeùt phöông trình: Neáu ta chöùng minh ñöôïc: thì (1) Câu 1. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc logarit hoaù): a) b) c) d) f) e) g) h) i) k) Câu 2. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc logarit hoaù): a) b) c) d) e) f) g) h) i) Câu 3. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï daïng 1): a) b) c) d) e) f) 26 g) h) i) m) k) l) Câu 4. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï daïng 2): f) a) b) c) g) d) e) h) i) a) b) c) d) e) Câu 6. Giaûi caùc phöông trình sau (söû duïng tính ñôn ñieäu): a) b) c) d) e) f) g) h) a) b) c) d) e) f) Câu 8. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát: a) b) c) d) e) f) 1. Phöông trình logarit cô baûn Vôùi a > 0, a 1: 2. Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình logarit a) Ñöa veà cuøng cô soá Vôùi a > 0, a 1: b) Muõ hoaù Vôùi a > 0, a 1: c) Ñaët aån phuï
d) Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá
e) Ñöa veà phöông trình ñaëc bieät 27 f) Phöông phaùp ñoái laäp Chuù yù: Khi giaûi phöông trình logarit caàn chuù yù ñieàu kieän ñeå bieåu thöùc coù nghóa. Vôùi a, b, c > 0 vaø a, b, c 1: Câu 1. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc muõ hoaù): b) a) c) d) e) f) g) h) i) k) l) m) n) o) b) a) c) d) e) f) a) b) c) d) b) a) c) d) e) f) g) h) i) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) a) b) 28 d) c) f) e) Khi giaûi caùc baát phöông trình muõ ta caàn chuù yù tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá muõ. Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp giaûi töông töï nhö ñoái vôùi phöông trình muõ: – Ñöa veà cuøng cô soá.
– Ñaët aån phuï.
– …. Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá a coù chöùa aån soá thì: Câu 1. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá): a) b) c) d) e) g) i) l) f)
h)
k)
m) n) Câu 2. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñaët aån phuï): a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) l) m) p) o) Câu 3. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau coù nghieäm: a) b) c) d) Khi giaûi caùc baát phöông trình logarit ta caàn chuù yù tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá logarit. 29 Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp giaûi töông töï nhö ñoái vôùi phöông trình logarit: – Ñöa veà cuøng cô soá.
– Ñaët aån phuï.
– …. Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá a coù chöùa aån soá thì: ; a) b) c) d) f) e) g) h) i) l) m) b) a) c) d) e) f) h) g) i) k) l) m) n) o) p) q) NHAÉC LAÏI MOÄT SOÁ COÂNG THÖÙC TRONG HÌNH HOÏC PHAÚNG 30 Ñònh lí haøm soá sin: Coâng thöùc ñoä daøi trung tuyeán: ABC vuoâng taïi A: ABC ñeàu, caïnh a: S = a.b S = a2 (a: caïnh hình vuoâng)
(a, b: hai kích thöôùc) (a, b: hai ñaùy, h: chieàu cao) I – KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP
Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy.
Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy.
Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.
II – KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN
1. Khái niệm về hình đa diện
Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc
chỉ có một cạnh chung. 31 Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện.
Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện.
2. Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi
một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm
ngoài của khối đa diện. Tập hợp các điểm ngoài được
gọi là miền ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc
khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa
diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập
hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa
diện.
Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm
trong, điểm ngoài… của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài…
của hình đa diện tương ứng.
Ví dụ
- Các hình dưới đây là những khối đa diện: - Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện: Hình c Hình a Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm xác định duy nhất được với điểm Hình b
Giải thích: Hình a không phải là hình đa diện vì tồn tại cạnh không phải là cạnh chung của hai mặt;
Hình b không phải là hình đa diện vì có một điểm đặc biệt trong hình, điểm đó không phải là đỉnh
chung của hai đa giác; Hình c không phải là hình đa diện vì tồn tại một cạnh là cạnh chung của bốn
đa giác.
III – HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU
1. Phép dời hình trong không gian
gọi là một phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai
điểm tùy ý.
a) Phép tịnh tiến theo vectơ , là phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm sao cho . Kí hiệu là . b) Phép đối xứng qua mặt phẳng là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc thành chính nó, biến mỗi điểm không thuộc thành điểm sao cho là mặt phẳng trung trực của . 32 Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng biến hình thành chính nó thì được gọi là mặt phẳng đối xứng của . c) Phép đối xứng tâm thành chính nó, biến mỗi điểm khác thành điểm sao cho là phép biến hình biến điểm
. là trung điểm của Nếu phép đối xứng tâm biến hình thành chính nó thì được gọi là tâm đối xứng của . là là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng là đường trung trực không thuộc thành điểm sao cho . d) Phép đối xứng qua đường thẳng
thành chính nó, biến mỗi điểm
của
Nếu phép đối xứng qua đường thẳng biến hình thành chính nó thì được gọi là trục đối xứng của . Nhận xét
Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
Phép dời hình biến đa diện thành đa diện , biến đỉnh, cạnh, mặt của thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của . Ví dụ: Cho hình lập phương
Các hình chóp và . Khi đó:
bằng nhau (vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp biến thành hình chóp ). Các hình lăng trụ và bằng nhau (vì qua phép đối xứng qua mặt phẳng thì hình lăng trụ biến thành hình lăng trụ ). 2. Hai hình bằng nhau
Hai hình được gọi là nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Đặc biệt, hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến đa diện này đa diện kia.
IV – PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN
Nếu khối đa diện là hợp của hai khối đa diện sao cho và và không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể phân chia được khối đa diện thành hai khối đa diện và . Khi đó ta cũng nói có thể ghép hai khối đa diện và để được khối đa diện . S , xét hai khối D A B C và . Ta thấy rằng: chính là và Ví dụ 1. Với khối chóp tứ giác
chóp tam giác
Hai khối chóp
không có điểm
và
trong chung (tức là không tồn tại điểm trong của khối
chóp này là điểm trong của khối chóp kia và ngược
lại).
Hợp của hai khối chóp
khối chóp 33 Vậy khối chóp và hay hai khối chóp và được phân chia thành hai khối chóp được ghép lại thành khối chóp A' B' Ví dụ 2. Cắt khối lăng trụ bởi mặt phẳng . Khi đó, khối lăng trụ được phân C' . A B chia thành hai khối đa diện
Nếu ta cắt khối chóp và
bởi mặt phẳng thì ta chia khối chóp thành hai C và , .
được chia thành ba
và . khối chóp
Vậy khối lăng trụ
khối tứ diện là Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt.
Kết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.
Kết quả 3: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.
Kết quả 4: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.
Kết quả 5: Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.
Kết quả 6: Cho là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có cạnh. Nếu số mặt của là lẻ thì phải là số chẵn. Chứng minh: Gọi là số các mặt của khối đa diện . Vì mỗi mặt của có cạnh nên mặt sẽ có cạnh. Nhưng do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa giác nên số cạnh của bằng . Vì lẻ nên phải là số chẵn. Kết quả 7 (Suy ra từ chứng minh kết quả 6): Cho là đa diện có mặt, mà các mặt của nó là những đa giác có cạnh. Khi đó số cạnh của là . và Kết quả 8: Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn.
Chứng minh: Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là
Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện là chẵn. Kết quả 9: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ diện.
Kết quả 10: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn.
(Tổng quát: Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh là
một số chẵn). được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của luôn I – KHỐI ĐA DIỆN LỒI
Khối đa diện
thuộc . Khi đó đa diện giới hạn được gọi là đa diện lồi. 34 Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối
với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó. cạnh. cạnh. . II – KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Định nghĩa
Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
Các mặt là những đa giác đều
Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng
Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại
Định lí Chỉ có năm khối đa diện đều. Đó là: Loại
Loại
Loại
Loại
Loại : khối tứ diện đều.
: khối lập phương.
: khối bát diện đều.
: khối 12 mặt đều.
: khối 20 mặt đều. Khối tứ diện đều Khối lập phương Bát diện đều Hình 12 mặt đều Hình 20 mặt đều Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Loại Tứ diện đều Số mặt
4 6 4 Khối lập phương 12 6 8 Bát diện đều 12 8 6 Mười hai mặt đều 30 12 20 Hai mươi mặt đều 30 20 12 35 là tổng số đỉnh, là tổng số cạnh và là tổng các mặt của khối đa diện đều Chú ý. Gọi
loại . Ta có Xét tứ diện đều Xét khối lập phương Xét bát diện đều Xét khối mười hai mặt đều Xét khối hai mươi mặt đều vôùi a, b, c laø ba kích thöôùc cuûa khoái hoäp chöõ nhaät. vôùi Sñaùy laø dieän tích ñaùy, h laø chieàu cao cuûa khoái choùp vôùi Sñaùy laø dieän tích ñaùy, h laø chieàu cao cuûa khoái laêng truï 36 Cho ba tia Ox, Oy, Oz khoâng ñoàng phaúng. Vôùi baát kì caùc ñieåm A, A’ treân Ox; B, B'
treân Oy; C, C' treân Oz, ta ñeàu coù: Câu 1. Cho hình choùp töù giaùc coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh , caïnh beân vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy vaø . Tính theå tích cuûa khoái choùp . Câu 2. Cho khoái choùp vuoâng goùc vôùi ñaùy, , , vaø . Tính theå tích coù
cuûa khoái choùp . Câu 3. Cho hình choùp coù hình vuoâng caïnh laø
ñaùy
Tính theå tích cuûa khoái choùp . coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng caân taïi vaø ñeàu vaø naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy. Tính theå tích . Tam
cuûa khoái Câu 4. Cho hình choùp
giaùc
choùp . Câu 5. Cho khoái choùp coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh , tam giaùc vuoâng taïi taïo vôùi ñaùy goùc . Tính vaø naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy, caïnh beân
theå tích cuûa khoái choùp . Câu 6. Cho hình choùp coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh baèng . Maët beân laø tam giaùc ñeàu vaø naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng . Tính theå tích cuûa khoái choùp . coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng taïi vôùi . Câu 7. Cho hình choùp
Hai maët phaúng vaø cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy vaø Tính theå tích khoái choùp . Câu 8. Cho khoái choùp tam giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy baèng vaø caïnh beân baèng . Tính theå tích cuûa khoái choùp . Câu 9. Theå tích cuûa khoái choùp töù giaùc ñeàu coù taát caû caùc caïnh baèng . Câu 10. Cho moät hình choùp tam giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy baèng , goùc giöõa caïnh beân vaø maët phaúng ñaùy baèng Theå tích khoái choùp ñoù. Câu 11. Cho khoái laêng truï ñöùng coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu vaø (minh hoïa nhö hình veõ beân). caïnh
Tính theå tích cuûa khoái laêng truï ñaõ cho. Câu 12. Tính theå tích cuûa khoái laäp phöông , bieát . Câu 13. Cho khoái laêng truï ñöùng coù laø tam giaùc vuoâng caân taïi vaø . Tính theå tích , ñaùy
cuûa khoái laêng truï ñöùng . 37 coù ñaùy , bieát Câu 14. Cho hình laêng truï ñöùng
, vaø . Tính theå tích cuûa khoái laêng truï Câu 15. Cho hình laêng truï ñöùng coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng taïi
.
laø hình chöõ nhaät, , , theå tích cuûa khoái laêng truï ñaõ cho. Câu 16. Cho khoái töù dieän vaø ñieåm treân caïnh sao cho . Tính theo
coù theå tích . Tính theå tích khoái töù dieän theo . Caùc ñieåm , töông öùng laø trung ñieåm Câu 17. Cho khoái choùp
, caùc caïnh , ,
theo Câu 18. Cho töù dieän ñeàu coù theå tích
. Tính heå tích khoái choùp
coù caïnh . Treân caùc caïnh , laàn löôït laáy caùc ñieåm sao cho . Tính tæ soá theå tích cuûa khoái töù dieän vaø khoái töù dieän . Câu 19. Cho hình choùp coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh , caïnh beân vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø theå tích cuûa khoái choùp ñoù baèng . Tính caïnh beân . laø tam giaùc ñeàu caïnh , caïnh beân coù ñaùy
coù theå tích baèng . Tính khoaûng caùch töø ñieåm vuoâng goùc
ñeán maët Câu 20. Cho hình choùp
vôùi ñaùy. Bieát hình choùp
phaúng . , , caùc tam giaùc , Câu 21. Cho töù dieän
coù
laø caùc tam giaùc vuoâng taïi ñænh ,
. Tính khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng ,
. laø hình vuoâng caïnh . Maët beân coù ñaùy tam giaùc ñeàu
vaø . Câu 22. Cho hình choùp
vaø naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng Khoái caàu: baùn kính . Neáu d = R thì (P) tieáp xuùc vôùi (S) taïi tieáp ñieåm H. ((P) ñgl tieáp dieän cuûa (S))
Neáu d > R thì (P) vaø (S) khoâng coù ñieåm chung.
Khi d = 0 thì (P) ñi qua taâm O vaø ñgl maët phaúng kính, ñöôøng troøn giao tuyeán coù baùn
kính baèng R ñgl ñöôøng troøn lôùn. 38 ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ñaùy). – Xaùc ñònh truïc cuûa ñaùy ( laø ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy taïi taâm
– Xaùc ñònh maët phaúng trung tröïc (P) cuûa moät caïnh beân.
– Giao ñieåm cuûa (P) vaø laø taâm cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. I. ĐỊNH NGHĨA MẶT NÓN Cho đường thẳng . Xét một đường thẳng cắt tại tạo thành một góc với . như thế khi
gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng
quay quanh
giản hơn là mặt nón). ● gọi là trục của mặt nón.
● gọi là đường sinh của mặt nón.
● gọi là đỉnh của mặt nón.
● Góc gọi là góc ở đỉnh của mặt nón. II. HÌNH NÓN VÀ KHỐI NÓN
1. Hình nón Cho mặt nón với trục , đỉnh là mặt phẳng vuông góc với , góc ở đỉnh
khác tại điểm . Gọi
. Mặt phẳng cắt mặt nón theo một đường tròn có tâm . Lại gọi là mặt phẳng vuông góc với tại . ● Phần của mặt nón giới hạn bởi hai mặt phẳng và cùng với hình tròn xác định bởi được gọi là hình nón. ● gọi là đỉnh của hình nón.
● Đường tròn gọi là đường tròn đáy của hình nón. ● Với mỗi điểm nằm trên đường tròn , đoạn thẳng gọi là đường sinh của hình nón. ● Đoạn thẳng gọi là chiều cao của hình nón (đó chính là khoảng cách từ đỉnh gọi là trục của hình nón, độ dài
đến mặt đáy.) 2. Khối nón Một hình nón chia không gian thành hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài của nó. Hình nón cùng với phần bên trong của nó gọi là khối nón. 39 I. MẶT TRỤ TRÒN XOAY sao cho Cho hai đường thẳng
và song với và
. Khi ta quay song
quanh một góc thì tạo thành một mặt trụ trục
tròn xoay (hoặc đơn giản hơn là mặt trụ). ● gọi là trục của mặt trụ . ● gọi là đường sinh của mặt trụ . ● gọi là bán kính của mặt trụ . II. HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY
1. Định nghĩa hình trụ
Cắt mặt trụ , bán kính trục bởi hai mặt phẳng và cùng vuông góc với , ta được giao tuyến là hai đường tròn và . ●Phần của mặt trụ nằm giữa và cùng với hai hình tròn xác định bởi và gọi là hình trụ. ● Hai đường tròn và gọi là hai đường tròn đáy của hình trụ. gọi là trục của hình trụ. ●
● Độ dài
gọi là chiều cao của hình trụ.
● Phần giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ. ● Với mỗi điểm , có một điểm sao cho . Các đoạn gọi là đường sinh của hình trụ. thẳng như
2. Nhận xét Các đuờng sinh của hình trụ đều bằng nhau và bằng với trục của hình trụ.
Các thiết diện qua trục của hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau.
Thiết diện vuông góc vơi trục của hình trụ là một hình tròn bằng hình tròn đáy.
Nếu một điểm di động trong không gian có hình chiếu vuông góc phẳng và di động trên môt đường tròn cố định thì lên một mặt
thuộc một mặt trụ cố định chứa và có trục vuông góc . 3. Khối trụ Định nghĩa. Hình trụ cùng với phần bên trong nó được gọi là khối trụ. Dieän tích Theå tích 40 . Tính dieän tích cuûa maët caàu ñaõ cho.
. Tính baùn kính maët caàu. Tính theå tích cuûa khoái caàu. Câu 1. Cho maët caàu coù baùn kính
Câu 2. Cho maët caàu coù dieän tích baèng
Câu 3. Cho khoái caàu coù baùn kính
Câu 4. Tìm baùn kính
Câu 5. Cho hình hoäp chöõ nhaät maët caàu ngoaïi tieáp moät hình laäp phöông coù caïnh baèng
coù , . Tính dieän tích cuûa maët caàu ngoaïi tieáp cuûa hình hoäp chöõ nhaät ñaõ cho. . Câu 6. Tính theå tích khoái caàu ngoaïi tieáp hình laäp phöông caïnh
Câu 7. Cho hình choùp
coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh , ñaùy, goùc giöõa maët phaúng vaø maët phaúng ñaùy baèng vuoâng goùc vôùi maët phaúng
. Dieän tích cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp baèng Câu 8. Cho hình choùp coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh . Caïnh beân vaø vuoâng goùc vôùi ñaùy . Tính theo dieän tích maët caàu ngoaïi tieáp khoái choùp . Câu 9. Cho hình choùp coù ñaùy laø hình chöõ nhaät vôùi , vuoâng goùc vôùi ñaùy. Tính baùn kính ,
cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp vaø
. Câu 10. Cho töù dieän ñeàu coù caïnh laø a. a) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän. b) Tính dieän tích maët caàu vaø theå tích khoái caàu ñoù. Câu 11. Cho moät hình choùp töù giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy laø caïnh beân hôïp vôùi maët ñaùy moät goùc . a) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. b) Tính dieän tích maët caàu vaø theå tích khoái caàu ñoù. Câu 12. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu coù taát caû caùc caïnh ñeàu baèng Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa maët caàu ñi qua naêm ñieåm Câu 13. Hình choùp coù ñöôøng cao ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh Tính baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. Câu 14. Cho hình choùp töø giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy baèng vaø goùc hôïp bôûi maët beân vaø ñaùy baèng Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. vaø ñoä daøi ñöôøng sinh . Tính dieän tích xung Câu 1. Cho hình noùn coù baùn kính ñaùy
quanh cuûa hình noùn. . Tính ñoä daøi vaø baùn kính ñaùy baèng , taïi . Tính ñoä daøi vaø vaø caïnh . Tính theå tích khoái noùn cuûa hình noùn, nhaän ñöôïc khi quay tam giaùc xung quanh truïc . Câu 2. Cho hình noùn coù dieän tích xung quanh baèng
ñöôøng sinh
cuûa hình noùn ñaõ cho.
Câu 3. Trong khoâng gian, cho tam giaùc vuoâng
ñöôøng sinh
Câu 4. Moät hình noùn coù thieát dieän qua truïc laø moät tam giaùc vuoâng caân coù caïnh goùc vuoâng baèng
Tính dieän tích xung quanh cuûa hình noùn.
Câu 5. Cho khoái noùn coù thieát dieän qua truïc laø moät tam giaùc caân coù moät goùc
beân baèng
Câu 6. Cho hình noùn coù ñoä daøi ñöôøng sinh baèng 25 vaø baùn kính ñöôøng troøn ñaùy baèng 15.
Tính theå tích cuûa khoái noùn ñoù.
Câu 7. Thieát dieän qua truïc cuûa moät khoái noùn laø moät tam giaùc vuoâng caân coù caïnh huyeàn baèng a. Tính theå tích khoái noùn vaø dieän tích xung quanh cuûa hình noùn ñaõ cho. Câu 8. Cho hình laäp phöông ABCD. A’B’C’D’ caïnh a. Tính dieän tích xung quanh cuûa hình noùn 41 coù ñænh laø taâm O cuûa hình vuoâng ABCD vaø ñaùy laø hình troøn noäi tieáp hình vuoâng A’B’C’D’. Câu 9. Caét moät hình noùn baèng moät maët phaúng ñi qua truïc cuûa noù, ta ñöôïc thieát dieän laø moät tam
giaùc ñeàu caïnh 2a. Tính dieän tích xung quanh, dieän tích toaøn phaàn cuûa hình vaø theå tích cuûa
khoái noùn. Câu 10. Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S. ABC coù caïnh beân baèng a vaø goùc giöõa caùc maët beân vaø maët
. Moät hình noùn ñænh S coù ñöôøng troøn ñaùy noäi tieáp tam giaùc ñeàu ABC, Haõy tính dieän ñaùy laø
tích xung quanh cuûa hình noùn naøy theo a vaø . Câu 11. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù chieàu cao SO = h vaø ( ). Tính
dieän tích xung quanh cuûa hình noùn ñænh S vaø coù ñöôøng troøn ñaùy ngoaïi tieáp hình vuoâng ABCD. Câu 12. Cho moät hình noùn coù chieàu cao vaø baùn kính ñaùy . Maët phaúng ñi qua vaø sao cho . Tính khoaûng caùch töø taâm cuûa ñöôøng caét ñöôøng troøn ñaùy taïi
troøn ñaùy ñeán . vaø ñoä daøi ñöôøng sinh . Dieän tích xung quanh cuûa , theå tích . Tính dieän tích toaøn phaàn cuûa Câu 1. Cho hình truï coù baùn kính ñaùy
hình truï ñaõ cho
Câu 2. Cho khoái truï coù baùn kính ñaùy vaø baùn kính ñaùy laø . Tính ñoä daøi ñöôøng hình truï töông öùng.
Câu 3. Moät hình truï coù dieän tích xung quanh baèng vaø coù thieát dieän qua truïc laø moät hình vuoâng. Dieän coù thieát dieän qua truïc cuûa hình truï laø hình vuoâng coù caïnh baèng . Tính cuûa hình truï. cao cuûa hình truï ñoù.
Câu 4. Moät hình truï coù baùn kính ñaùy baèng
tích xung quanh cuûa hình truï.
Câu 5. Xeùt hình truï
dieän tích toaøn phaàn
Câu 6. Trong khoâng gian, cho hình chöõ nhaät vaø coù , . Goïi
. Quay hình chöõ nhaät ñoù xung quanh truïc laàn löôït laø
, ta ñöôïc moät vaø trung ñieåm cuûa
hình truï. Tính theå tích cuûa khoái truï taïo bôûi hình truï ñoù.
Câu 7. Cho moät khoái truï coù dieän tích xung quanh cuûa khoái truï baèng . Tính theå tích cuûa khoái truï bieát khoaûng caùch giöõa hai ñaùy baèng . Câu 8. Moät hình truï coù baùn kính ñaùy R vaø coù thieát dieän qua truïc laø moät hình vuoâng. a) Tính dieän tích xung quanh vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình truï. b) Tính theå tích cuûa khoái laêng truï töù giaùc ñeàu noäi tieáp trong khoái truï ñaõ cho. .Theå tích khoái truï ñöôïc thuoäc hai ñaùy cuûa khoái truï. Bieát . Tính theå tích cuûa khoái truï. vaø , Câu 9. Thieát dieän qua truïc cuûa moät hình truï laø hình vuoâng coù caïnh laø
taïo neân bôûi hình truï.
Câu 10. Caét moät khoái truï bôûi moät maët phaúng qua truïc ta ñöôïc thieát dieän laø hình chöõ nhaät
coù
Câu 11. Cho hình truï coù chieàu cao baèng . Caét hình truï ñaõ cho bôûi maët phaúng song song vôùi . Dieän tích xung truïc vaø caùch truïc moät khoaûng baèng 1, thieát dieän thu ñöôïc coù dieän tích baèng
quanh cuûa hình truï ñaõ cho
Câu 12. Caét hình truï baèng moät maët phaúng ñi qua truïc ñöôïc thieát dieän laø moät hình chöõ nhaät coù vaø chu vi baèng . Bieát chieàu daøi cuûa hình chöõ nhaät lôùn hôn ñöôøng dieän tích baèng
kính maët ñaùy cuûa hình truï . Dieän tích toaøn phaàn cuûa . 42Câu 2. Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
Câu 3. Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
Câu 4. Chöùng minh haøm soá ñaõ cho thoaû maõn heä thöùc ñöôïc chæ ra:
BAØI 4: PHÖÔNG TRÌNH MUÕ
Câu 5. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï daïng 3):
Câu 7. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm:
BAØI 5: PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Câu 2. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc muõ hoaù):
Câu 3. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc muõ hoaù):
Câu 4. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï):
Câu 5. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï):
BAØI 6: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ
BAØI 7: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Câu 1. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá):
Câu 2. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñaët aån phuï):
1. Heä thöùc löôïng trong tam giaùc
a) Cho ABC vuoâng taïi A, coù ñöôøng cao AH.
b) Cho ABC coù ñoä daøi ba caïnh laø: a, b, c; ñoä daøi caùc trung tuyeán laø ma, mb, mc; baùn
kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp R; baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp r; nöûa chu vi p.
Ñònh lí haøm soá cosin:
2. Caùc coâng thöùc tính dieän tích
a) Tam giaùc:
b) Hình vuoâng:
c) Hình chöõ nhaät:
d) Hình bình haønh: S = ñaùy cao =
e) Hình thoi:
f) Hình thang:
g) Töù giaùc coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc:
CHÖÔNG I :KHOÁI ÑA DIEÄN VAØ THEÅ TÍCH CUÛA CHUÙNG
BAØI 1: KHAÙI NIEÄM VEÀ KHOÁI ÑA DIEÄN
MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG
BAØI 2: KHOÁI ÑA DIEÄN LOÀI VAØ KHOÁI ÑA DIEÄN ÑEÀU
BAØI 3: KHAÙI NIEÄM VEÀ THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN
1. Theå tích cuûa khoái hoäp chöõ nhaät:
2. Theå tích cuûa khoái laäp phöông:
3. Theå tích cuûa khoái choùp:
4. Theå tích cuûa khoái laêng truï:
5. Moät soá phöông phaùp tính theå tích khoái ña dieän
a) Tính theå tích baèng coâng thöùc
Tính caùc yeáu toá caàn thieát: ñoä daøi caïnh, dieän tích ñaùy, chieàu cao, …
Söû duïng coâng thöùc ñeå tính theå tích.
b) Tính theå tích baèng caùch chia nhoû
Ta chia khoái ña dieän thaønh nhieàu khoái ña dieän nhoû maø coù theå deã daøng tính ñöôïc theå
tích cuûa chuùng. Sau ñoù, coäng caùc keát quaû ta ñöôïc theå tích cuûa khoái ña dieän caàn tính.
c) Tính theå tích baèng caùch boå sung
Ta coù theå gheùp theâm vaøo khoái ña dieän moät khoái ña dieän khaùc sao cho khoái ña dieän
theâm vaøo vaø khoái ña dieän môùi taïo thaønh coù theå deã tính ñöôïc theå tích.
d) Tính theå tích baèng coâng thöùc tæ soá theå tích
Ta coù theå vaän duïng tính chaát sau:
CHÖÔNG II : KHOÁI TROØN XOAY
BAØI 1: MAËT CAÀU – KHOÁI CAÀU
1. Ñònh nghóa
Maët caàu:
2. Vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø maët phaúng
Cho maët caàu S(O; R) vaø maët phaúng (P). Goïi d = d(O; (P)).
Neáu d < R thì (P) caét (S) theo giao tuyeán laø ñöôøng troøn naèm treân (P), coù taâm H vaø
3. Vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø ñöôøng thaúng
Cho maët caàu S(O; R) vaø ñöôøng thaúng . Goïi d = d(O; ).
Neáu d < R thì caét (S) taïi hai ñieåm phaân bieät.
Neáu d = R thì tieáp xuùc vôùi (S). ( ñgl tieáp tuyeán cuûa (S)).
Neáu d > R thì vaø (S) khoâng coù ñieåm chung.
4. Maët caàu ngoaïi tieáp – noäi tieáp
Maët caàu ngoaïi tieáp
Hình truï
Hình noùn
Hình ña dieän Taát caû caùc ñænh cuûa hình ña dieän ñeàu
naèm treân maët caàu
Hai ñöôøng troøn ñaùy cuûa hình truï naèm
treân maët caàu
Maët caàu ñi qua ñænh vaø ñöôøng troøn
ñaùy cuûa hình noùn
Maët caàu noäi tieáp
Taát caû caùc maët cuûa hình ña dieän ñeàu
tieáp xuùc vôùi maët caàu
Maët caàu tieáp xuùc vôùi caùc maët ñaùy vaø
moïi ñöôøng sinh cuûa hình truï
Maët caàu tieáp xuùc vôùi maët ñaùy vaø
moïi ñöôøng sinh cuûa hình noùn
5. Xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp khoái ña dieän
Caùch 1: Neáu (n – 2) ñænh cuûa ña dieän nhìn hai ñænh coøn laïi döôùi moät goùc vuoâng thì
taâm cuûa maët caàu laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng noái hai ñænh ñoù.
Caùch 2: Ñeå xaùc ñònh taâm cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp.
BAØI 2: MAËT NOÙN – HÌNH NOÙN – KHOÁI NOÙN
BAØI 3: MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ
BAØI 4: DIEÄN TÍCH – THEÅ TÍCH
Caàu
Truï
Noùn
VAÁN ÑEÀ 1: MAËT CAÀU – KHOÁI CAÀU
VAÁN ÑEÀ 2: MAËT NOÙN – HÌNH NOÙN – KHOÁI NOÙN
VAÁN ÑEÀ 3: MAËT TRUÏ – HÌNH TRUÏ – KHOÁI TRUÏ
