1
Mt S Kin Thc V Hàm S Tun Hoàn
Cao Minh Quang, THPT chuyên Nguyn Bnh Khiêm, Vĩnh Long
Trn Minh Hin, THPT chuyên Quang Trung, Bình Phưc
Trong chương trình THPT, kin thc v hàm s tun hoàn (HSTH) ñưc ñ cp rt ít, ch
yu khi hc sinh ñưc hc v các tính cht ca các hàm s lưng giác lp 11. Tuy nhiên, trong
các kì thi hc sinh gii, vn thưng hay xut hin nhng bài toán liên quan ñn ni dung này. Bài
vit sau s trình bày mt s kin thc v lý thuyt cũng như các bài toán v HSTH.
1. ðnh nghĩa
Hàm s
(
)
y f x
=
có tp xác ñnh
D
ñưc gi là HSTH nu tn ti ít nht mt s
0
T
≠
sao
cho vi mi
∈
ta có:
i)
x T D
± ∈
ii)
(
)
(
)
f x T f x
± =
.
S thc dương
T
tha mãn các ñiu kin trên ñưc gi là chu kì (CK) ca HSTH
(
)
f x
. Nu
HSTH
(
)
f x
có CK nh nht
0
T
thì
0
T
ñưc gi là chu kì cơ s (CKCS) ca HSTH
(
)
f x
.
Ta s tìm hiu mt s tính cht cơ bn ca HSTH.
2. Mt s tính cht
2.1. Gi s
(
)
f x
là HSTH vi CK
T
. Nu
0
x D
∈
thì
0
x nT D
+ ∈
,
0
x D
∉
thì
0
x nT D
+ ∉
,
vi mi
n
∈
ℤ
.
2.2. Gi s
(
)
f x
là HSTH vi CK
T
và
(
)
0
f x a
=
,
0
x D
∈
, khi ñó
(
)
0
f x nT a
+ =
, vi mi
n
∈
ℤ
.
2.3. Nu
1 2
, 0
T T
>
là các CK ca HSTH
(
)
f x
trên tp
D
thì các thc dương
1 2 1
, ,
mT nT mT nT
+
,
vi
,m n
+
∈
ℤ
, ñu là CK ca
(
)
f x
trên tp
D
.
2.4. Nu
(
)
f x
là HSTH vi CKCS
0
T
thì
0
,T nT n
+
= ∈
ℤ
là m
t CK c
a HSTH
(
)
f x
.
2.5. N
u
1 2
,
T T
là các CK c
a các HSTH
(
)
(
)
,
f x g x
và
1
2
T
T
là s
h
u t
thì các hàm s
(
)
(
)
f x g x
+
,
(
)
(
)
(
)
(
)
, .
f x g x f x g x
−
c
ũ
ng là các HSTH v
i chu kì
1 2
, ,T mT nT m n
+
= = ∈
ℤ
.
Vi
c ch
ng minh các tính ch
t 2.1 – 2.4 t
ươ
ng
ñ
i
ñơ
n gi
n. Ta s
ch
ng minh tính ch
t 2.5.
Chng minh. Vì
1
2
T
T
là s hu t nên tn ti
,m n
+
∈
ℤ
sao cho
1
2
T n
T m
=
. ð!t
1 2
T mT nT
= =
,
vi mi
∈
, ta có
•
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1
2 ...
f x f x T f x T f x mT f x T
= + = + = = + = +
,
•
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 ...
g x g x T g x T g x nT g x T
= + = + = = + = +
.
Do
ñ
ó,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, . .
f x T g x T f x g x f x T g x T f x g x
+ ± + = ± + + =
.
V
y
(
)
(
)
(
)
(
)
, .
f x g x f x g x
±
là các HSTH v
i chu kì
1 2
, ,T mT nT m n
+
= = ∈
ℤ
.
2
Vi
c k
t lu
n m
t hàm s
có ph
i là HSTH hay không ph
"
thu
c r
t nhi
u vào vi
c xác
ñ
nh
CK ho
!
c CKCS (n
u có) c
a hàm s
. Ta
ñ
c
p
ñ
n CK (CKCS) c
a m
t s
hàm s
th
ư
ng g
!
p.
3. Chu kì và chu kì cơ s ca mt s hàm s
3.1. Hàm s
(
)
f x c
=
(
c
là h#ng s) là HSTH vi CK là s dương bt kì nhưng không có CKCS.
3.2. Hàm Dirichlet
( )
1,
0, \
x
f x x
∈
=
∈
ℚ
ℝ ℚ
là HSTH vi CK là s hu t dương bt kì nhưng không
có CKCS.
3.3. Hàm s
(
)
{
}
[
]
f x x x x
= = −
là HSTH có CKCS
0
1
T
=
.
3.4. Các hàm s
(
)
(
)
sin , cos
f x x f x x
= =
là các HSTH có CKCS
0
2
T
π
=
. Các hàm s
(
)
(
)
(
)
(
)
tan , cot , sin , cos
f x x f x x f x x f x x
= = = =
là các HSTH có CKCS
0
T
π
=
.
3.5. Các hàm s
(
)
(
)
(
)
(
)
sin , cos
f x ax b f x ax b
= + = +
,
0
a
≠
là các HSTH có CKCS
0
2
T
a
π
=
.
Các hàm s
(
)
(
)
(
)
(
)
tan , cot
f x ax b f x ax b
= + = +
,
0
a
≠
là các HSTH có CKCS
0
T
a
π
=.
Chng minh. Ta s chng minh cho hàm s
(
)
{
}
[
]
f x x x x
= = −
và
(
)
(
)
sin
f x ax b
= +
,
các hàm s còn li xin dành cho bn ñc như bài tp t luyn.
•
Vi mi
n
∈
ℤ
, ta có
(
)
{
}
{
}
(
)
f x n n x x f x
+ = + = =
. Do ñó
(
)
(
)
1
f x f x
+ =
. M
!
t khác,
n
u
0
0 1
T t
< = <
là CKCS c
a
(
)
f x
thì v
i
1
x t
= −
, ta có
0 1
x
< <
, do
ñ
ó.
(
)
(
)
(
)
{
}
1 0 1
f x t f f x x t
+ = = ≠ = = −
.
V
y hàm s
(
)
{
}
[
]
f x x x x
= = −
là HSTH có CKCS 0
1
T
=
.
•
Tr
ư
c h
t, ta ch
ng minh
0
2
T a
π
=
,
0
a
≠
là CK c
a
(
)
(
)
sin
f x ax b
= +
. Th
t v
y, ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 sin 2 sin 2 sin
f x a a x a b ax b ax b f x
π π π
+ = + + = ± + = + =
.
Gi
s
t
n t
i s
d
ươ
ng 2
t a
π
<
sao cho
(
)
(
)
f x t f x
+ =
, v
i m
i x
∈
ℝ
. Khi
ñ
ó, v
i
2
b
x
a
π
−
=, ta có
( ) ( )
( )
2
sin sin 2 cos cos 1
b
f x t a t b at at t a
a
π
π
−
+ = + + = + = = <
,
( ) ( )
2
sin sin 2 1
b
f x a b
a
π
π
−
= + = =
.
Do ñó,
(
)
(
)
f x t f x
+ =
không xy ra vi mi
x
∈
ℝ
, tc là
0
2
T a
π
=
,
0
a
≠
là CKCS
ca
(
)
(
)
sin
f x ax b
= +
.
4. Mt s bài toán
Bài toán 1. Xét tính tun hoàn và tìm CKCS (nu có) ca các hàm s sau
a)
(
)
cos
f x x
π
=
b)
(
)
cos
f x x
=
3
c)
( )
3
cos cos
2 2
x x
f x =
d)
(
)
cos cos 2
f x x x
= +
e)
(
)
2
sin
f x x
=
Li gii
.
a)
Theo tính ch
t 3.5, d$ thy r#ng
(
)
cos
f x x
π
=
là HSTH v
i CKCS
2
T
=
.
b)
T
p xác
ñ
nh c
a hàm s
là
[
)
0,D
= +∞
. Gi
s
(
)
cos
f x x
=
là HSTH v
i CK
0
T
>
.
N
u
0
x D
∈
thì
0
x nT D
+ ∈
, v
i m
i n
∈
ℤ
. Tuy nhiên,
ñ
i
u này không th
x
y n
u cho
0
n
<
ñ
bé thì
0
0
x nT
+ <
. Do
ñ
ó
(
)
cos
f x x
=
không là HSTH.
c)
Ta có
( ) ( ) ( )
3 1
cos cos cos cos 2 2
2 2 2
x x
f x x x f x
π
= = + = + . Ta s
ch
ng minh
0
2
T
π
=
là CKCS c
a hàm s
này. Th
t v
y, v
i
0 2
a
π
< <
thì
cos 1, cos 2 1
a a
< ≤
, suy ra
( ) ( ) ( )
1
cos cos 2 1 0
2
f a a a f
= + < = .
Do
ñ
ó,
(
)
(
)
f x a f x
+ =
không th
x
y ra v
i m
i
x
∈
ℝ
, t
c là
0
2
T
π
=
là s
d
ươ
ng nh
nh
t sao cho
(
)
(
)
0
f x T f x
+ =
v
i m
i x
∈
ℝ
hay
0
2
T
π
=
là CKCS.
d)
Gi
s
(
)
cos cos 2
f x x x
= +
là HSTH, t
c là t
n t
i
0
T
>
sao cho
(
)
(
)
f x T f x
+ =
,
v
i m
i
x
∈
ℝ
, hay
(
)
(
)
cos cos 2 cos cos 2
x T x T x x
+ + + = +
.
V
i
0
x
=
, ta có
cos cos 2 2
T T
+ =
, suy ra
cos cos 2 1
T T
= =
hay
2 , 2 2
T k T m
π π
= =
,
trong
ñ
ó
,k m
+
∈
ℤ
. Do ñó 2 m
k
= ∈
ℚ
(vô lý). Vy
(
)
cos cos 2
f x x x
= +
không là HSTH.
e) Gi s
(
)
2
sin
f x x
=
là HSTH, t
c là t
n t
i
0
T
>
sao cho
(
)
(
)
f x T f x
+ =
, v
i m
i
x
∈
ℝ
, hay
(
)
2
2
sin sin
x T x
+ =
.
V
i
0
x
=
, ta có
2
sin 0
T
=
hay
2
T k
π
=
,
k
+
∈
ℤ
hay
T k
π
=
. Suy ra
(
)
(
)
f x k f x
π
+ =
.
V
i
2
x k
π
=
, ta có
(
)
(
)
( )
2 2
sin 2 sin 2 sin 2 0
k k k kπ π π π
+ = = =
, vô lý vì
(
)
(
)
(
)
2
sin 2 sin 2 2 2 sin 2 2 0
k k k k k kπ π π π π π
+ = + + = ± ≠
.
Vy
(
)
2
sin
f x x
=
không là HSTH.
Bài toán 2. Chng minh r#ng hàm s
(
)
(
)
[
]
{
}
1
x
f x x
= −
là HSTH.
Li gii. Ta s chng minh
0
2
T
=
là CKCS ca hàm s. Tht vy, ta có
(
)
(
)
[
]
{
}
(
)
[
]
{
}
(
)
[
]
{
}
(
)
2 2
2 1 2 1 1
x x x
f x x x x f x
+ +
+ = − + = − = − = .
Gi s tn ti
0 2
a
< <
sao cho
(
)
(
)
f x a f a
+ =
, vi mi
x
∈
ℝ
. Ta s xét ba trưng hp.
(i).
0 1
a
< <
. Chn
2
x a
= −
thì
1 2
x
< <
. Do ñó
(
)
{
}
0
f x x
= − ≠
;
(
)
(
)
2 0
f x a f
+ = =
,
suy ra
(
)
(
)
f x a f x
+ ≠
.
4
(ii).
1
a
=
. Ch
n
0 1
x
< <
, ta có
(
)
{
}
(
)
{
}
;
f x x x f x a x x
= = + =− = −
,
(
)
(
)
f x a f x
+ ≠
.
(iii).
1 2
a
< <
. Ch
n
2
x a
= −
thì
0 1
x
< <
, ta có
(
)
{
}
(
)
(
)
; 2 0
f x x x f x a f
= = + = =
,
suy ra
(
)
(
)
f x a f x
+ ≠
.
V
y không t
n t
i
0 2
a
< <
sao cho
(
)
(
)
f x a f a
+ =
, v
i m
i
x
∈
ℝ
hay
0
2
T
=
là CKCS.
Bài toán 3.
[Vi
t Nam 1997, b
ng B] Cho
, , ,
a b c d
là các s
thc khác
0
. Ch
ng minh r
#
ng
(
)
sin cos
f x a cx b dx
= +
là HSTH
c
d
⇔ là s
h
u t
.
Li gii.
(
)
⇒
Gi s
(
)
f x
là HSTH, tc là tn ti
0
T
>
sao cho
(
)
(
)
f x T f x
+ =
, vi mi
x
∈
ℝ
.
Vi
0
x
=
ta có
(
)
(
)
0
f T f
=
hay
sin cos
a cT b dT b
+ =
.
V
i
x T
= −
, ta có
(
)
(
)
0
f T f
=
hay
sin cos
a cT b dT b
− + =
.
C
ng theo t
%
ng v
các
ñ&
ng th
c trên, ta nh
n
ñư
c
cos 1
dT
=
, suy ra
{
}
2 , \ 0
dT k k
π
= ∈
ℤ
.
Tr
%
theo t
%
ng v
các
ñ&
ng th
c trên, ta nh
n
ñư
c
sin 0
cT
=
, suy ra
{
}
, \ 0
cT m m
π
= ∈
ℤ
.
T
%
ñ
ó suy ra
2
c m
d k
= ∈
ℚ
.
(
)
⇐
Ng
ư
c l
i, gi
s
c
d
là s
h
u t
, t
c là t
n t
i
{
}
, \ 0
m n
∈
ℤ
sao cho
c m
d n
=. Ta ch
n s
d
ươ
ng
2 2
m n
T
c d
π π
= = , khi
ñ
ó v
i m
i
x
∈
ℝ
, ta có
( ) ( )
2 2
sin cos sin cos
m n
f x T a c x b d x a cx b dx f x
c d
π π
+ = + + + = + =
.
Do
ñ
ó,
(
)
f x
là HSTH v
i CK
2 2
m n
T
c d
π π
= = .
Bài toán 4.
Ch
ng minh r
#
ng n
u
ñ
th
hàm s
(
)
f x
có hai tr
"
c
ñ
i x
ng
(
)
,
x a x b a b
= = ≠
,
thì
(
)
f x
là HSTH.
Li gii. Trưc ht, ta gi
(
)
C
là ñ th ca hàm s. Không mt tính t'ng quát, ta gi s r#ng
a b
<
. Tnh tin
(
)
C
theo vector
(
)
,0
v a
= −
. Bài toán tr thành: “Chng minh r#ng nu ñ th
ca hàm s
(
)
f x
có hai tr"c ñi xng
0,
x x c b a
= = = −
thì
(
)
f x
là HSTH”.
Vì ñ th ca hàm s
(
)
f x
ñi xng qua
0
x
=
nên
(
)
(
)
f x f x
= −
. M!t khác, ñ th ca
hàm s
(
)
f x
cũng ñi xng qua
x c
=
nên
(
)
(
)
2
f x f c x
= −
. Suy ra
(
)
(
)
2
f x f c x
− = −
, v
i
m
i
x
∈
ℝ
, t
c là
(
)
f x
là HSTH v
i CK
(
)
2 2
T c b a
= = −
.
Bài toán 5.
Cho hàm s
(
)
f x
xác
ñ
nh trên
D
và
( )
(
)
(
)
1
, 0
1
f x
f x a a
f x
−
+ = ≠
+. Ch
ng minh
r
#
ng
(
)
f x
là HSTH.
Li gii. Vi mi
, 0
x D a
∈ ≠
, ta có
5
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1
1
1
211 1 1
f x f x
f x a
f x a f x a a
f x a f x
f x f x
− + −
+ −
−
+ = + + = = =
+ + − + + .
Suy ra,
( )
(
)
( )
1
42
f x a f x
f x a
−
+ = =
+. Do
ñ
ó
(
)
f x
là HSTH.
Bài toán 6.
Cho hàm s
(
)
f x
xác
ñ
nh trên
ℝ
và tha mãn ñiu kin
(
)
(
)
(
)
4 4
f x f x f x
+ + − =
, vi mi
x
∈
ℝ
.
Chng minh r#ng
(
)
f x
là HSTH.
Li gii. Vi mi
x
∈
ℝ
, t% ñiu kin bài toán, ta có
(
)
(
)
(
)
8 4
f x f x f x
+ + = +
. Suy ra
(
)
(
)
8 4
f x f x
+ =− −
. Do
ñ
ó
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
12 4 8 4 4
f x f x f x f x
+ = + + = − + − =−
, và
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
24 12 12 12
f f x f x f x
= + + =− + =
.
V
y
(
)
f x
là HSTH v
i CK
24
T
=
.
Bài toán 7.
Cho hàm s
(
)
f x
xác
ñ
nh trên
ℝ
và th
a mãn
ñ
i
u ki
n
(
)
(
)
(
)
3 3
f x f x f x
= − +
, v
i m
i x
∈
ℝ
.
Ch
ng minh r
#
ng
(
)
f x
là HSTH.
Li gii. Vi mi
x
∈
ℝ
, t% ñiu kin bài toán, ta có
(
)
(
)
(
)
3 6
f x f x f x
+ = +
. Suy ra
(
)
(
)
(
)
(
)
3 3 3 6
f x f x f x f x
+ = − + +
, tc là
(
)
3 0
f x
+ =
ho
!
c
(
)
(
)
3 6 1
f x f x
− + =
.
N
u
(
)
3 0
f x
+ =
, v
i m
i
x
∈
ℝ
, thì
(
)
0
f x
=
, vì v
y
(
)
f x
là HSTH.
N
u
(
)
(
)
3 6 1
f x f x
− + =
thì
(
)
(
)
9 1
f x f x
+ =
, do
ñ
ó
(
)
(
)
9 18 1
f x f x
+ + =
. T
%
ñ
ó suy ra
(
)
(
)
18
f x f x
= +
hay
(
)
f x
là HSTH CK
18
T
=
.
Bài toán 8.
Cho hàm s
(
)
f x
xác
ñ
nh trên
ℝ
và th
a mãn
ñ
i
u ki
n
(
)
(
)
(
)
1 1 2
f x f x f x
+ + − =
, v
i m
i
x
∈
ℝ
.
Ch
ng minh r
#
ng
(
)
f x
là HSTH.
Li gii. Vi mi
x
∈
ℝ
, t% ñiu kin bài toán, ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 1 2 2 1 2 2 1
f x f x f x f x f x f x f x
+ + = + = − − = − −
.
Do ñó
(
)
(
)
(
)
2 2 1
f x f x f x
+ − = − −
. T% ñ&ng thc này, suy ra
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 1 2 1 1
f x f x f x f x f x
+ − + =− =− + − −
hay
(
)
(
)
3 1
f x f x
+ =− −
.
Suy ra
(
)
(
)
(
)
4 8
f x f x f x
=− + = +
. V
y
(
)
f x
là HSTH v
i CK
8
T
=
Bài toán 9.
Cho hàm s
(
)
f x
xác
ñ
nh trên
ℝ
, th
a mãn các
ñ
i
u ki
n
(
)
(
)
3 3
f x f x
+ ≤ +
,
(
)
(
)
2 2
f x f x
+ ≥ +
, v
i m
i
x
∈
ℝ
. Ch
ng minh r
#
ng
(
)
(
)
g x f x x
= −
là HSTH.
Li gii. Ta s chng minh
(
)
(
)
6
g x g x
+ =
, v
i m
i
x
∈
ℝ
. Tht vy, ta có