ị

ỏ

Đ nh lý Fermat nh

I. Định lý Fermat nhỏ

Bài toán 1: Cho p là một số nguyên tố và a là số nguyên không chia hết cho p. Chứng minh tạo thành hệ thặng dư thu gọn mod p. 1

Bài toán 2: Cho p là một số nguyên tố và a là số nguyên không chia hết cho p. Chứng minh (Định lý Fermat nhỏ)

II. Mở rộng: Định lý Euler

Hàm Euler của một số tự nhiên n: Số các số tự nhiên nhỏ hơn n và nguyên tố cùng nhau với n. Kí hiệu . VD.

Tính chất: + Với (m,n)=1 ta có + + + Nếu thì

Định lý Euler: Cho a,n là các số tự nhiên và (a,n)=1. Ta có

1 Tập hợp được gọi là một hệ thặng dư thu gọn mô-đun n nếu với mọi số nguyên i, (i,n)=1 và , tồn tại duy nhất chỉ số j sao cho với

III. Bài tập

1, Cho p là một số nguyên tố dạng 4k+3.

a, CMR số nguyên x thỏa mãn

b, CMR

2, Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên dương:

a, b,

3, Tìm số nguyên tố p sao cho

4, CMR nếu n nguyên dương lẻ thì

5, Cho p là số nguyên tố lẻ. CMR với

6, Tìm tất cả số nguyên tố p sao cho

7, Cho p là số nguyên tố lớn hơn 7. CMR:

8. CMR: với mọi số nguyên tố p lẻ

9, Cho a,b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. CMR tồn tại các số nguyên dương m,n thỏa mãn

10, Cho a không chia hết cho 5 và 7. CMR:

11, Cho . CMR:

a,

b,

12, CMR với mọi số nguyên tố p, tồn tại vô hạn số nguyên dương n thỏa mãn

13*, Chứng minh không tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn

14**, Tìm tất cả n nguyên dương thỏa mãn