5
Đ ng H c V n T cộ ọ ậ ố
5.1 Ma tr n Skew Symmetricậ
Ma tr n ậskew symmetric giúp cho vi c đ n gi n nhi u vi c tính toán.ệ ơ ả ề ệ
Đ nh nghĩaị 1: M t ma tr n ộ ậ
S
đ c g i là ượ ọ skew symmetric n u và ch n uế ỉ ế
0=+ SST
(5.1)
T (5.1), từa th y r ng các ph n t trên đ ng chéo ấ ằ ầ ử ườ
0=
ii
s
, và các ph n t ngoàiầ ử
đ ng chéo ườ
jiss jiij ≠−= ,
. Vì v y, ậ
S
ch ch a 3 thành ph n đ c l p có d ng nhỉ ứ ầ ộ ậ ạ ư
sau:
−
−
−
=
0
0
0
12
13
23
ss
ss
ss
S
(5.2)
Ta bi u di n t p h p m i ma tr n 3x3 skew symmetric b ng ký hi u ể ễ ậ ợ ọ ậ ằ ệ SS(3).
N u ế
T
zyx aaa ),,(=a
, ta đ nh nghĩaị ma tr n skew symmetric ậ
nh sau:ư
−
−
−
=
0
0
0
)(
3
xy
xz
y
aa
aa
as
aS
(5.3)
Ví d 5.1ụ: Ta bi u di n 3 vect t a đ đ n v c s ể ễ ơ ọ ộ ơ ị ơ ở
ji,
và
k
.
TTT )1,0,0(;)0,1,0(;)0,0,1( === kji
Theo đ nh nghĩa, mịa tr n skew symmetric t ng ng làậ ươ ứ
−
=
−
=
−=
000
001
010
)(;
001
000
100
)(;
010
100
000
)( kSjSiS
(5.4)
1
5.2 Tính ch t ma tr n skew symmetric:ấ ậ
(a) Tính ch t 1: tuy n tínhấ ế (Linearity)
V i m i vect ớ ọ ơ
3
,Rba ∈
và 2 s vô h ng ố ướ
α
và
β
ta có
)()()( baba SSS
βαβα
+=+
(5.5)
(b) Tính ch t 2:ấ
V i m i vect ớ ọ ơ
T
zyx ppp ),,(=p
papa x =)(S
(5.6)
NL:
kyxyxjyxyxiyxyx
yyy
xxx
kji
)()()( 122131132332
321
321 −+−+−=
== yxc x
θ
sinyxc =
N u ế
)3(SOR ∈
và
3
,Rba ∈
baba RRR x x =)(
(5.7)
Bi u th c (5.7) ch đúng khi ể ứ ỉ
R
là tr c giaoự
T (5.6)-(5.7) ta có:ừ
ba
ba
ba
baba
)(
)(
)()(
)()(
RS
R
RRR
RRRRS
T
TT
=
=
=
=
x
x
x
(5.8)
Ta có m t k t qu r t quan tr ng sau:ộ ế ả ấ ọ
)()( aa RSRRS T=
(5.9)
V trái c a (5.9) bi u di n m t phép bi n đ i t ng đ ng c a ma tr n ế ủ ể ễ ộ ế ổ ươ ươ ủ ậ
)(aS
; có
nghĩa là, s bi u di n ma tr n ự ể ễ ậ
)(aS
trong h t a đ đ c quay b i ệ ọ ộ ượ ở
R
thì gi ng v iố ớ
ma tr n skew symmetric ậ
)( aRS
t ng ng v i vect ươ ứ ớ ơ
a
quay b i ở
R
.
Gi s ả ử
)3()( SORR ∈=
θ
. Vì
R
tr c giao v i m i ự ớ ọ
θ
ta có:
IRR T=)()(
θθ
(5.10)
Vi phân (5.10) ta có
2
0)()( =+
θ
θθ
θ
d
dR
RR
d
dR T
T
(5.11)
Đ nh nghĩa ma tr n ị ậ
T
R
d
dR
S)(:
θ
θ
=
(5.12)
θ
θθ
θ
d
dR
RR
d
dR
S
T
T
TT )()( =
=
(5.13)
Bi u th c (5.11) đ c vi t l i nh sau: ể ứ ượ ế ạ ư
0=+ T
SS
(5.14)
V y ma tr n ậ ậ
S
đ nh nghĩa b i (5.12) là skew symmetric ị ở
Nhân 2 v c a (5.12) cho ế ủ
R
cho
)(
θ
θ
SR
d
dR
=
(5.15)
Bi u th c (5.15) r t quan tr ng. Nó có ý nghĩa r ng ể ứ ấ ọ ằ vi c tính toán vi phân c a maệ ủ
tr n quay ậ
R
t ng đ ng v i vi c nhân ma tr n quay đó v i m t ma tr n skewươ ươ ớ ệ ậ ớ ộ ậ
symmetric
S
.
H n n a, h u h t các tr ng h p ma tr n ơ ữ ầ ế ườ ợ ậ
R
là ma tr n quay c b n hay tích s c aậ ơ ả ố ủ
các ma tr n quay c s .ậ ơ ở
Ví d 5.2ụ: Xét ma tr n quay c s ậ ơ ở
θ
,x
RR =
)(
010
100
000
cossin0
sincos0
001
sincos
cossin0
000
iSR
d
dR
S
T
=
−=
−
−
−−==
θθ
θθ
θθ
θθ
θ
(5.16)
θ
θ
θ
,
,)( x
xRiS
d
dR =⇒
(5.17)
T ng t , ươ ự
θ
θ
θ
,
,)( y
yRjS
d
dR =
và
θ
θ
θ
,
,)( z
zRkS
d
dR =
(5.18)
3
Ví d 5.3ụ: Xét ma tr n quay ậ
θ
,k
R
quanh tr c ụ
k
b t kỳ, ta có ấ
θ
θ
θ
,
,)( k
kRkS
d
dR =
(5.19)
5.3 V n t c góc: tr ng h p t ng quátậ ố ườ ợ ổ
Xét v n t c góc quay quanh tr c tùy ý. Gi s ma tr n quay ậ ố ụ ả ử ậ
R
thay đ i theo th i gian,ổ ờ
nghĩa là,
)3()( SOtRR ∈=
, ta có:
)()()( tRtStR =
(5.20)
Vì
)(tS
là skew symmetric, nó có th bi u di n nh ể ể ễ ư
))(( tS
ω
đ i v i vect duy nh tố ớ ơ ấ
)(t
ω
. Vect ơ
)(t
ω
là v n t c góc c a h t a đ quay ậ ố ủ ệ ọ ộ đ i v i h t a đ c đ nh t i th iố ớ ệ ọ ộ ố ị ạ ờ
đi mể
t
.
)())(()( tRtStR
ω
=
(5.21)
Ví d 5.4ụ: Gi s ả ử
)(,
)( tx
RtR
θ
=
)())(()()( tRtStRiS
dt
d
d
dR
R
ωθ
θ
θ
===⇒
(5.22)
trong đó
θω
i=
5.4 C ng v n t c gócộ ậ ố
Kh o sát v n t c góc c a 2 h t a đ ả ậ ố ủ ệ ọ ộ
1111 zyxo
và
2222 zyxo
chuy n đ ng t ng đ iể ộ ươ ố
v i h t a đ c đ nh ớ ệ ọ ộ ố ị
0000 zyxo
. Ta có
)()()( 1
2
0
1
0
2tRtRtR =
(5.23)
Theo k t qu (5.22), vi phân (5.23) ta đ cế ả ượ
0
2
0
2
1
2
0
1
1
2
0
1
0
2)( RSRRRRR
ω
=+=
(5.24)
Tính s h ng th 1: ố ạ ứ
0
2
01
2
0
1
01
2
0
1)()( RSRRSRR aa
ωω
==
(5.25)
Tính s h ng th 2: ố ạ ứ
0
2
10
1
1
2
0
1
10
1
1
2
0
1
0
1
10
1
1
2
10
1
1
2
0
1
)(
)()(
)(
RRS
RRRSRRRSR
RSRRR
b
b
T
b
b
ω
ωω
ω
=
==
=
(5.26)
4
T (5.24) ta thu đ c ừ ượ
{ }
0
2
10
1
00
2
0
2)()()( RRSSRS ba
ωωω
+=
(5.27)
Vì
)()()( baSbSaS +=+
ta có
10
1
00
2ba
R
ωωω
+=
(5.28)
K t qu trên có th đ c m r ng cho b t kỳ h tr c t a đế ả ể ượ ở ộ ấ ệ ụ ọ ộ
11
2
0
1
0... −
=n
nn RRRR
(5.29)
000 )( nnn RSR
ω
=
(5.30)
Trong đó
10
1
3
4
0
3
2
3
0
2
1
2
0
1
0
1
0... −
−
+++++= n
nnn RRRR
ωωωωωω
(5.31)
5.5 V n t c th ng c a m t đi m g n vào m t h t a đ chuy n đ ngậ ố ẳ ủ ộ ể ắ ộ ệ ọ ộ ể ộ
Gi s đi m ả ử ể
p
đ c g n c ng vào h t a đ ượ ắ ứ ệ ọ ộ
1111 zyxo
và
1111 zyxo
quay t ng đ i v iươ ố ớ
h t a đ ệ ọ ộ
0000 zyxo
. Ta có
10
1
0)( ptRp =
(5.32)
V n t c đi m đó đ c tính nh sau:ậ ố ể ượ ư
0000
10
1
0
10
1
10
1
0
)(
)()(
)()(
ppS
ptRS
ptRptRp
x
ωω
ω
==
=
+=
(5.33)
L u ýư: trong bi u th c (5.33), ể ứ
0
1=p
vì t a đ c a đi m đó không đ i đ i v iọ ộ ủ ể ổ ố ớ
1111 zyxo
.
Bây gi , xét ờma tr n thu n nh tậ ầ ấ bi u di n chuy n đ ng t ng đ i c a ể ễ ể ộ ươ ố ủ
1111 zyxo
đ iố
v i ớ
0000 zyxo
ph thu c th i gian:ụ ộ ờ
=10
)()(
)(
0
1
0
1
0
1
tOtR
tH
(5.34)
Đ đ n gi n vi c ký hi u ta b tham s t và các ch sể ơ ả ệ ệ ỏ ố ỉ ố
ORpp += 10
(5.35)
Vi phân (5.35) ta đ cượ
5