Giáo trình bản đồ học part 3

Chia sẻ: Asdfada Asfsgs | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

198
lượt xem 72
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

+ Đối với các hiện tượng phân bố và trải đều trên diện tích nào đó (địa hình, nhiệt độ không khí, áp suất khí quyển,...) được thể hiện phương pháp đường đẳng trị (thể hiện đặc trưng số lượng), người ta thực hiện tổng quát hoá bằng cách thay đổi “khoảng cách” giữa 2 đường đẳng trị đồng thời khái quát hình dạng các đường này. 3.2.4.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình bản đồ học part 3

Ta đã biết công thức tính tỷ lệ diện tích của phép chiếu hình nón là P  m.n . Trên phép chiếu đồng diện tích thì tỷ lệ diện tích là một trị số không thay đổi: P  m.n  const , trong trường hợp riêng P = 1. d  Vì m  , ta có phương trình vi phân: ;n  Md r d  P . Md r  d   Mrd Tích phân phương trình trên ta được: 2 c  s  2   2 c  s  H ay là:   Trong đó: c- hằng số tích phân  S   Mrd bằng diện tích của hình thang trên mặt elipxôit có hiệu 0 số kinh độ là: radian, theo vĩ độ thì kéo dài từ xích đạo đến vĩ độ  , đối với mặt cầu thì S  R 2 sin  Sau khi xác định đ ược hàm  , trên cơ sở các công thức chung của phép chiếu hình nón thẳng, to àn bộ các công thức của p hép chiếu hình nón thẳng đồng diện tích như sau: (1)   2 c  s  ( 2)    (3) x  q   cos  (4) y   sin   (22 ) (5)n  r 1 (6 ) m  n (7 ) P  1   (8)tg  45 0    a 4  45
Trong công thức trên có 2 thông số  và c, các thông số này được lựa chọn dựa trên những điều kiện nhất định. Trước khi tìm hiểu các phương án xác định  và  c, chúng ta hãy khảo sát sự biến thiên của hàm n  của phép chiếu đồng diện tích: r  d dr   r  d   d   dn   r2 d dr Mà:   M sin  d V à từ điều kiện P  m.n  1 , ta rút ra: d Mr  d  dn  M  r 2     2  sin    Do đó:  d r r  Gọi  0 là vĩ độ mà tại đó đạo hàm cấp một triệt tiêu:  ro2   0 M  dn     2  sin  0    d   r . r    0   0 0 0 Từ đó ta có: r0  sin  0  0   02 Từ đẳng thức trên ta dễ dàng rút ra: r0 0  (23)  sin  0 2   n0 sin  0 V à: (24) d 2n tại    0 ta có: Sau khi tìm đạo hàm cấp hai d 2 d 2n 2  2n 0  0 2 d Đ iều đó chứng tỏ rằng tại vĩ độ  0 thì có tỷ lệ dộ dài n0 là nhỏ nhất. Có các phương án khác nhau xác định các thông số  và c, dưới đây giới thiệu 2 phương án: 46
Phương án 1: Xác định  và c sao cho trên vĩ tuyến có vĩ độ  0 thì tỷ lệ độ dài là n0  1 và là nhỏ nhất. Thay n0  1 vào (24) ta có:   sin  0 Theo (24 ) ta có:  0  N 0 ctg 0 2 C  S O  ta có: Từ đẳng thức  02   Hình 2 .14 2  0 C  S0 Hình 2 .14 2 Theo phương án này thì phép chiếu hình nón đồng diện tích có một vĩ tuyến chuẩn. Trên vĩ tuyến chuẩn không có biến dạng, càng xa vĩ tuyến chuẩn thì biến dạng góc và biến dạng độ dài càng tăng. Đồ thị của hàm m, n có dạng như hình 2.14. Phương án 2: X ác định các thông số  và c sao cho trên các vĩ tuyến có vĩ độ 1 và  2 thì các tỷ lệ độ d ài là n1  n 2  1 Từ điều kiện n1  1 và n2  1 ta có:  1  2  1 và 1 r1 r2  1 2  2 2  r12  r22 và 2 C  S1 2 và  22  C  S 2  , Thay: 12   ta có hệ phương trình: 2 C  S1   r12 2 C  S 2   r22 Từ đó ta tìm được: r12  r22 r12 S 2  r22 S1  và C  Hình 2 .15 2 S 2  S 1  r12  r22 47
Theo phương án này thì phép chiếu hình nón thẳng đồng diện tích có 2 vĩ tuyến chuẩn, đó là các vĩ tuyến 1 và  2 . Đồ thị của hàm m, n trong phương án này thì có dạng như (hình 2.15). Các phép chiếu h ình nón thẳng đồng diện tích thì thích h ợp để thành lập những bản đồ tỷ lệ nhỏ cho những lãnh thổ ở vĩ độ trung bình và có dạng kéo dài theo hướng vĩ tuyến. d . Các phép chiếu hình nón thẳng đồng khoảng cách trên kinh tuyến Trên phép chiếu này thì kinh tuyến không có biến dạng dài, tức là m = k = const, thường hay chọn m = 1, tức là: d m 1 Md H ay là: d   Md Tích phân phương trình trên ta có:  CS Trong đó: c- hằng số tích phân  S   Md là độ dài của cung kinh tuyến từ xích đạo tới vĩ độ  0 N ếu coi trái đất là thể cầu thì S  R. Từ hàm   C  S căn cứ vào các công thức chung của phép chiếu hình nón thẳng, chúng ta có toàn bộ các công thức của phép chiếu hình nón đồng khoảng cách như sau: 48
1,     2,   C  S ; S   M .d 0 3, x  q   cos  4, y   sin  (25 ) 5, m  1  6, n  r 7, P  n  a  b 1 n 8, sin   2 a  b 1 n Các thông số  và c cũng được xác định dựa theo những điều kiện nhất đ ịnh. Trước khi tìm hiểu một vài phương án xác định  và c, chúng ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số n   , ta có: r d dr  r d d dn  2 d r d dr Mà:   M sin  , do điều kiện m = 1 cho nên  M d d dn  M  r  V ậy:    sin      d r r  Gọi  0 là vĩ độ tại đó đạo hàm cấp 1 triệt tiêu:  0 M 0  r0   dn    sin  0   0    d  r0 r0   0   0   r0  sin   0  Do đó: 0 Từ đẳng thức trên ta suy ra:  0  N 0 ctg 0 (26 )   n0 sin  0 (27 ) d 2n thì chúng ta sẽ thấy rằng tại    0 ta có: Sau khi tính đạo hàm cấp hai d 2  d 2n  M  2   n0 0  0  d  N0  0 Đ iều đó chứng rỏ rằng tỷ lệ độ dài n0 trên vĩ tuyến  0 là nhỏ nhất. 49
D ưới đây giới thiệu hai phương án xác đ ịnh các thông số  và c: Phương án 1: Xác định các hằng số  và c sao cho trên vĩ tuyến  0 có tỷ lệ độ d ài n0 =1 và là nhỏ nhất. Thay n0 =1 vào (27) ta có   sin  0 Từ đẳng thức  0  N 0 ctg 0  C  S 0 ta có: C  N 0 ctg o  S Theo phương án này thì phép chiếu hình nón thẳng đồng khoảng cách có vĩ tuyến chuẩn. Hình 2 .16 Đồ thị của hàm n có dạng như hình 2.16. Phương án 2: Xác định các thông số  và c sao cho trên các vĩ tuyến 1 và  2 có tỷ lệ độ dài là n1  n2  1 Từ điều kiện trên ta có: C  S1   1 n1  r1 C  S 2  n2  1 r2 r r  1 2 S 2  S1 Suy ra r1 S 2  r2 S1 Hình 2.17 C r1  r2 Theo phương án này thì phép chiếu có 2 vĩ tuyến chuẩn 1 và  2 . Đ ồ thị của hàm n có dạng như ở hình 2.17. Phép chiếu h ình nón thẳng đồng khoảng cách thường đ ược dùng để lập bản đồ tỷ lệ nhỏ cho những lãnh thổ có dạng kéo dài theo hướng vĩ tuyến và ở các vĩ độ trung b ình. 2 .2.3. Các phép chiếu hình trụ a . Các công thức chung của các phép chiếu hình trụ 50
Trong phép chiếu hình trụ thẳng, các kinh tuyến được biểu thị thành các đường thẳng song song, khoảng cách giữa các kinh tuyến tỷ lệ thuận với hiệu số kinh độ tương ứng, các vĩ tuyến là những đường thẳng vuông góc với các kinh tuyến. Trong phép chiếu hình trụ ngang hoặc nghiêng thì vòng thẳng đứng và các vòng đồng cao của hệ toạ độ cực mặt cầu nghiêng và ngang được biểu thị giống như kinh tuyến và các vĩ tuyến trên phép chiếu hình trụ thẳng. Từ hình 2.18 ta thấy công thức toạ độ vuông góc của phép chiếu trụ thẳng có dạng sau: x  f   (28) y   Trong đó:  là hằng số dương được lựa chọn. Hàm f ( ) được xác định theo những điều kiện cơ bản của phép chiếu. Từ công thức chung (28) ta dễ dàng xác định Hình 2 .18 được các công thức chung về tỷ lệ độ dài m, n, tỷ lệ diện tích P và trị số biến d ạng góc w. Ta có toàn bộ các công thức chung của phép chiếu hình trụ thẳng như sau: 1.x  f   2. y   dx 3.m  md (29 )  4.n  r 5.P  m.n w a b w a  hay : tg  45 0    6. sin  2 ab b 4  Từ công thức trên nếu thay M = N = R và r  N cos  thì sẽ đ ược công thức chung của phép chiếu hình trụ thẳng đối với mặt cầu: 51
 dx m ;n  Rd R cos  Trên phép chiếu hình trụ thẳng mạng lưới kinh vĩ tuyến trực giao: tỷ lệ độ dài theo hướng kinh tuyến và theo hướng vĩ tuyến là tỷ lệ độ dài cực trị. Các p hương hướng chính trùng với các hướng kinh vĩ tuyến. Từ (29) ta nhận thấy các trị số tỷ lệ của phép chiếu hình trụ thẳng chỉ phụ thuộc vĩ độ  . Vì vậy các đ ường đồng biến dạng trùng với các vĩ tuyến. H ằng số  được chọn theo 1 trong 2 cách sau đây: 1 - Nếu muốn cho xích đạo không có biến dạng độ d ài thì:  n0  1 do đó   a , a là bán kính xích đạo a 2 - Nếu muốn cho các vĩ tuyến  k không có biến dạng độ dài thì:   rK  N K cos k Đối với phép chiếu phương vị nghiêng và ngang thì bề mặt trái đất đ ược nhân là mặt cầu bán kính R, từ công thức chung của phép chiếu hình trụ thẳng, chúng ta chỉ cần thay  thành 90 0   , thay λ thành a thì chúng ta sẽ nhận đ ược các công thức chung của phép chiếu nghiêng hoặc ngang như sau: 1.x  f z  2. y   a dx 3.1   Rdz (30 )  4. 2  R sin z 5.P  1  2 w ab 6. sin  2 ab Trên các phép chiếu hình trụ nghiêng và các phép chiếu hình trụ ngang tỷ lệ độ dài 1 trên vòng thẳng đứng, tỷ lệ độ dài µ2 trên vòng đồng cao là những tỷ lệ độ dài cực trị tại mỗi điểm. Mạng lưới các đ ường kinh tuyến và vĩ tuyến có dạng tương đối phức tạp. 52
b. Phép chiếu h ình trụ thẳng đồng góc Trên phép chiếu hình trụ thẳng, tỷ lệ đồ dài m và n tại m ỗi điểm là các tỷ lệ độ dài cực trị. Vì vậy điều kiện để tìm công thức của phép chiếu trực thẳng đồng góc là m = n. Từ đó có phương trình:  dx  Md r M H ay là: dx   d r  x    d r Ta có: X = lnU + c Trong đó c - hằng số tích phân   tg  45 0   2  U   tg 2  45 0   2  N ếu trên phép chiếu ta lấy xích đạo làm trục y thì c = 0, khi đó: X = βlnU Đ ể tiện cho việc tính toán ta đổi sang lôgarit thập phân:  x lg U M 0d Trong đó M0d = loge = 0,4242945. Chúng ta có toàn bộ các công thức của phép chiếu trụ thẳng đồng góc như sau:  1/ x  log U M 0d 2 / y    (31 ) 3/ m  n  r 2  4 / P  m.n    r  5/ w  0 Thông số β được chọn theo một trong hai cách đã nói ở tiết trước. N ếu chọn β = a (bán kính xích đạo) thì trên phép chiếu có một vĩ tuyến chuẩn đó là đường xích đạo. 53
N ếu chọn β = rkcosk thì sẽ có 2 vĩ tuyến chuẩn  k và   k . Trên vĩ tuyến chuẩn không có biến dạng, càng xa đường chuẩn biến dạng càng lớn. Phép chiếu hình trụ đồng góc do nhà bản đồ học người Hà Lan tên là Métcato sáng lập năm 1569. Do đó phép chiếu này mang tên là phép chiếu Métcato. Phép chiếu Métcato thường được dùng để thành lập các bản đồ hàng hải, bởi vì nó có tích chất rất đặc biệt: tất cả các đường tà hành đ ều đ ược biểu th ị thành các đường thẳng. Đường tà hành là đường cong trên mặt elipxôit hoặc mặt cầu mà góc phương vị tại mọi điểm đều bằng nhau. Gọi  là góc phương vị của đ ường tà hành trên mặt elipxoit. Theo (hình 2 .19), từ tam giác vuông vô cùng bé ta có: rd dsn tg   dsm Md H ay là: Md d  tg rα V ậy:   M  d  tg  d 0 r 0   0  tg ln U  ln U 0  lấy 0  0 và  0  0 thì : λ= tgαlnU (32) λctgα hay: U = e Đối với mặt cầu thì:   tg  45 0    e  ctg  2  Hình 2.19 Trong đó e là cơ số của lôgarit tự nhiên. Từ các phương trình trên chúng ta thấy, khi góc phương vị α đồng thời khác 00 và 900 thì đường tà hành có dạng đường xoắn ốc trên mặt elipxoit hoặc mặt cầu và có điểm tiệm cầu là điểm cực trái đất. Khi α = 0 thì đường tà hành trùng với kinh tuyến. Khi α = 900 thì trùng với vĩ tuyến. 54
Từ phương trình đường tà hành trên mặt elipxoit (32) ta có thể viết βλ = tgα(βlnU). Đối chiếu với các công thức toạ độ của phép chiếu Métcato thì p hương trình trên được chuyển thành: y = x. tgα y hay là: tg  x Đó là phương trình của đường thẳng trên mặt phẳng. c. Phép chiếu hình trụ thẳng đồng diện tích Ta đã biết công thức chung về tỷ lệ diện tích của phép chiếu hình trụ thẳng là: dx  P  m.n  . Md r Trên phép chiếu trụ thẳng đ ồng diện tích thì P  k  const . Trong trường hợp chọn k = 1 ta có : dx  1 Md r 1 dx   Mrd  1 x   Mrd  1 x  S C  Trong đó: C - H ằng số tỷ lệ  S   Mrd - đó là d iện tích của hình thang trên mặt elípxôít có hiệu 0 số kinh độ là radian và ở trong phạm vi từ xích đạo đến vĩ tuyến có vĩ độ  . Trên phép chiếu nếu chọn xích đạo làm trục y thì ta dễ dàng nhận thấy C = 0. Do đó: 1 x S  N ếu coi trái đất là thể cầu b án kính R thì: 12 R sin  x  55
Đ ến đ ây nhận đ ược toàn bộ các cô ng thức của phép chiếu hình trụ thẳng đ ồng d iện tích: 1 1/ x  S  2 / y = βλ 3 / n = β/r 4 / m = 1 /n 5 / P = m.n 6 / tg (45o + W/4) = Phép chiếu này có thể dùng để thành lập các bản đồ tỷ lệ cho những lã nh thổ ở vĩ độ thấp có dạng kéo dài theo hướng vĩ tuyến. d . Phép chiếu h ình trụ thẳng đồng khoảng cách Trên phép chiếu hình trụ thẳng đồng khoảng cách trên kinh tuyến tỷ lệ độ dài m là trị số khô ng đổi, m = k = const. Ta thử chọn m = 1. dx Ta có: m 1 Md dx  Md  x   Md  C 0 x  sC Trong đó: C - hằng số tích phân s - độ dài cung kinh tuyến từ xích đ ạo tới vĩ độ  Chọn xích đạo trên phép chiếu làm trục y, thì hằng số C = 0. xs Do đó : K hi coi trái đất là thể cầu bán kính R thì x  s  R . 56
Thay x  s vào các công thức chung của phép chiếu hình trụ thẳng, chúng ta nhận được toàn bộ các công thức của phép chiếu hình tụ thẳng đồng khoảng cách như sau: 1/ x  s 2 / y   . 3/ m  1  4/n  (33 ) r 5 / P  m.n  n W a  b 1 n 6 / sin   2 a  b 1 n V ì tỷ lệ độ dài m là trị số không đ ổi, cho nên trên mạng lưới bản đồ của p hép chiếu trụ thẳng đồng khoảng cách thì các đường kinh tuyến cũng là những đ ường thẳng song song cách đều. Phép chiếu này thích hợp cho những lãnh thổ ở vĩ đ ộ thấp và có dạng kéo d ài theo hướng vĩ tuyến. Các trị số tỷ lệ và biến dạng của 3 phép chiếu trụ thẳng đồng góc, đồng khoảng cách, và diện tích được ghi ở bảng 1 d ưới đây: Bảng 2.1 Đồng gó c Đồng khoảng cách Đồng diện tích  (m=1) (P=1) (=0) m=n P n=p m n   00 00 00 1,000 1,000 1,000 1 ,000 1 ,000 00’ 00’ 15 1,035 1,071 1,035 0 ,966 1 ,035 1 59 3 58 30 1,155 1,333 1,155 0 ,866 1 ,155 8 14 16 26 45 1,414 2,000 1,414 0 ,707 1 ,414 19 45 33 57 60 2,000 4,000 2,000 0 ,500 2 ,000 57
75 3,864 14,930 3,864 38 57 0 ,259 3 ,864 73 44 90 72 09 0 121 57     180 00 180 00 e. Các phép chiếu h ình trụ nghiêng và ngang Đối với phép chiếu hình trụ nghiêng và ngang thì bề mặt trái đất đ ược coi là mặt cầu bán kính R. Từ công thức của một phép chiếu hình trụ đ ứng, nếu ta đổi  thành 900 – z và  thành a. Trong đó z, a là toạ độ cực mặt cầu trong hệ nghiêng hoặc hệ ngang mà ta chọn, thì chúng ta nhận được công thức của p hép chiếu hình trụ nghiêng ho ặc ngang tương ứng. 1 - Công thức của phép chiếu hình trụ nghiêng ho ặc ngang đồng góc là:  Z x lg ctg Md 2 y   .a (34 )  1   2    R sin Z P  2 W0 Nếu chọn   R thì trên vòng xích đạo của hệ toạ độ cực mặt cầu sẽ không có biến dạng. Nếu chọn   R sin Z k thì trên các vòng đồng cao có khoảng thiên đỉnh là Z k và  Z k sẽ không có biến dạng. Các đường đồng biến dạng trùng với các vòng đồng cao. 2 - Công thức của phép chiếu hình trụ nghiêng ho ặc ngang 58
R2 x cos Z  y   .n P 1  (35 ) 2  R sin Z 1 1  2 W tg (45 0  )  a 1 cũng được chọn theo các cách như ở p hép chiếu đồng góc. 3 - Phép chiếu hình trụ nghiêng hoặc ngang đồng khoảng cách có công thức là: R (90 0  Z 0 ) x0  y   .a 1  1 (36 )  2  R sin Z p  2 W 1   2 sin  1   2 2 Các phép chiếu hình trụ ngang thích hợp đối với những lãnh thổ có dạng kéo dài theo hướng Bắc – Nam, tức là hướng kinh tuyến các phép chiếu hình trụ nghiêng thì thích hợp cho những lãnh thổ có dạng kéo dài theo vò ng tròn lớn. 2 .2.5. Các phép chiếu bản đồ địa hình Các phép chiếu bản đồ địa hình gồm có phép chiếu Gauss – Kruger và p hép chiếu UTM. Phép chiếu Gauss- Kruger là một phép chiếu đ ồng góc có những đặc đ iểm riêng sau đây: a. Kinh tuyến giữa là đường thẳng và là trục đối xứng. b . Kinh tuyến giữa không có biến dạng độ dài, tức là mo= 1. 59
Đ ể xác định phương trình của phép chiếu ta lấy đường thẳng trùng với kinh tuyến giữa làm trục x và xích đ ạo làm trục y. Đ ể thoả mãn điều kiện đồng góc thì các hàm X  f1  ,   và y  f 2  ,   p hải thoả mãn điều kiện (12): x r y    M y r x    M N hư vậy việc xác định phương trình của phép chiếu Gauss- Kruger chính là tìm m ột nghiệm riêng của hê phương trình trên thoả mãn hai điều kiện a và b Vì phép chiếu Gauss- Kruger ứng dụng cho từng múi 6o của mặt Elipxoit, trong công thức tính toán x và y thì trị số λ không vượt quá 3o, do đó các hàm x và y có thể viết ở dạng chuỗi luỹ thừa. Cần lưu ý rằng theo a thì x là hàm chẵn của λ và y là hàm lẻ của λ: x  a O  a 2 2  a 4 4  a 6 6 ... (37 ) y  a1  a 3 3  a 5 5  a 7 7 ... Trong đó các hệ số ao, a1, a2… là các hàm của vĩ độ  . Từ (37 ) ta có các đạo hàm riêng: x  2a 2   4a 4 3  6a 6 5 ...  da da da y   1  3 3  5 5  d d d y  a1  3a32  5a5 4  ...  x da0 da da da  2 2  4 4  6 6 ...   d d d d Thay các đạo hàm riêng trên đây vào điều kiện đồng góc, ta có hệ phương trình sau:  da1 3 da3 5 da5  r 2a 2   4 a4 3  6a6 5  ...     d   d   d  .... M   r  da  da da a1  3a32  5a5 4  ...    0  2 2  4 4  ...  d  d d M  60
Vì các đẳng thức trên phải thoả mãn đối với mọi trị số  và λ, do đó ta có các q uan hệ sau: r da0 1 r da 2 a1  ; a3  ; M d 3 M d (38 ) 1 r da1 1 r da3 a2   ; a4   2 M d 4 M d ... 1 r dan1 n 1 a n   1 n M d Từ các quan hệ trên ta nhận thấy nếu xác định được a0 thì các hệ số khác sẽ lần lượt xác định được. Từ (37102) ta thấy khi λ = 0 (kinh tuyến giữa) thì x0 = ao Mặt khác, theo đ iều kiện (b ) ta có: dxo  1 hay là dx0 = d sm dsm Trong đó: dx0 là độ dài vô cùng bé của kinh tuyến trên phép chiếu; dsm là độ dài vô cùng bé tương ứng của kinh tuyến trên elipxôit , dsm  Md . Từ đó dễ dàng nhận thấy: x0  n0  sm  Trong đó: s m   Md là độ dài của cung kinh tuyến trên mặt elipxôit kẻ từ xích 0 đ ạo trên vĩ tuyến  . Thay a0  sm vào (38) ta lần lượt xác định các hệ số a1 ; a 2 ; a3 .... da0 dsm V ì: M  d d r da0 V ậy: (39 ) a1  R M d ds1 dr   M sin   d d 1 r da1 1 vậy:  N sin  cos  a2   2 M d 2 61
da2 1 d  N cos  sin   1 d r sin   1   dr   sin   r cos       d 2 d d d 2 2  dr Mà   M sin  d da2 1     M sin 2   N cos 2  vậy: d 2 Từ đó ta có: 1 r da2 N cos 3   N 2 (40 )   tg   a3   3 M d M 6  Đ ể tiện cho việc tìm các hệ số tiếp theo và tiện cho việc tính toán toạ độ của p hép chiếu, chúng ta biến đổi công thức tính a3: N 1  e 2 sin 2  e2 1 sin 2  V ì:    1 e2 1 e2 1 e2 M e'2 e2  Mà: 1  e' 2 N  1  e' 2 e' 2 sin 2   1  e' 2 cos 2  V ậy: M Trong đ ó e là độ lệch tâm thứ nhất và e’ là độ lệch tâm thứ hai của elipxôit quay. Đ ặt ký hiệu e' cos   , ta có: N  1  2 . M Thay giá trị này vào (40 ) ta được: N cos 3    a3  1 t 2  2 (41 ) 6 Trong đó: t  tg Các hệ số tiếp theo là N cos 3 sin    5  t 2  9 2  4 4 (42 ) a4  24 N cos 5    5  18t 2  t 4 (43 ) a5  120 Chúng ta dừng lại ở hệ số a5 62
Thay các hệ số vào (37) chúng ta tìm được công thức toạ độ vuông góc của p hép chiếu Gauss-Kruger như sau: 2 4 N cos sin   N cos3  sin y 5  t 2  9 2  4 4   ... xs 2 24 (44) 3 4  y  N cos  N cos  1  t     N cos  5  18t  t   ... 3 2 2 5 2 4 6 120 Gọi  là góc lệch giữa hướng kinh tuyến với hướng dương của trục x (hình 2.20) ta có: x tg   y  x y Từ (44 ) sau khi tìm các đạo hàm riêng ; H ình 2.20   ~H37 –T 86_BG BĐH thay vào công thức trên, tiến hành một số biến đổi ta được công thức 3 sin  cos 3  1  t 2  3 2  2 4   ... (45 ) tg   sin   3 1 1 Ứ ng dụng chuỗi   tg  tg 3  tg 5  ... 3 5 Thay tg từ (45 ) vào công thức trên, bỏ đi những số hạng chứa  với số mũ từ 4 trở lên, ta có công thức: 3 sin  cos3  (1  t 2  3 2  2 4 ) (46 )    sin   3 Đ ể tìm công thức tính tỷ lệ độ dài cần ứng dụng công thức chung của phép chiếu đồng góc: 2 2 1  x   y  mn      r       x y Thay tìm được từ (44) vào công thức trên sau khi biến đổi và bỏ các số ,   hạng bậc cao, ta có: 63
o 2 cos 2  (1   2 )   1 2 o2   1  0,0001523o 2 cos 2  (1   2 ) hay là: (47 ) Trên phép chiếu Gauss- Kruger, trong phạm vi của múi 6o thì các đ ường đồng biến d ạng có dạng gần như những đường thẳng song song với những kinh tuyến giữa. Kinh tuyến giữa là đường chuẩn, càng xa kinh tuyến giữa thì các trị số biến dạng càng tăng. Tại giao điểm của xích đạo với kinh tuyến biên (λ = ±3 o) thì có biến dạng lớn nhất, trong đó trị số biến dạng độ dài Vn2 max  0,14% và trị số biến dạng diện tích VPmax  0,27%. Các trị số toạ độ vuông góc x, y độ lệch  , các trị số kích thước khung hình thang của các bản đồ địa hình và một số trị số khác có thể tra được trong b ảng toạ độ G auss- Kruger. N ước ta và nhiều nước khác trên thế giới đã ứng dụng phép chiếu Gauss- K ruger để thành lập các bản đồ địa hình. Mỹ và một số các nước khác dùng phép chiếu U.T.M và phép chiếu G auss-Kruger đ ể thành lập các bản đồ đ ịa hình. Phép chiếu U.T.M và phép chiếu Gauss- K ruger rất gần giống nhau. N ếu tìm phép chiếu đồng góc cho múi 6o, thoả mãn 2 điều kiện: - K inh tuyến giữa là đường thẳng và là trục đối xứng - Tỷ lệ độ dài mo trên kinh tuyến giữa là một hằng số mo=k Cũng theo cách tương tự như trên, chúng ta sẽ tìm được công thức của phép chiếu là:  2 4  N sin  cos 3  (5  t 2  9 2  4 4 )  ... N sin  cos   x  k s  2 24   3 5   3 2 2 N cos 5  (5  18t 2  t 4  ... y  k N cos   N cos  (1  t   )  6 120   Rõ ràng khi mo = k = 1, đó chính là phép chiếu Gauss- Kruger. Nếu chọn m o = k = 0.9996 thì ta được phép chiếu U.T.M. 64