intTypePromotion=1

Giáo trình Đại số tuyến tính: Phần 1 - Ngô Việt Trung

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:159

0
281
lượt xem
82
download

Giáo trình Đại số tuyến tính: Phần 1 - Ngô Việt Trung

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Đại số tuyến tính có kết cấu gồm 8 chương, trình bày về đại số đại cương, không gian véctơ, ánh xạ tuyến tính, ma trận, toán tử tuyến tính, không gian Euclid, không gian Unita. Phần 1 sau đây gồm nội dung 4 chương đầu.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Đại số tuyến tính: Phần 1 - Ngô Việt Trung

  1. hnna NGÔ VIÊT TRUNG ĐAI SO TUYÊN TĨNH NHA XUẤT BAN ĐAI HOC QUOC GIA HA NOI
  2. BỘ SÁCH CAO HỌC - VIỆN TOÁN HỌC NGÔ VIỆT TRUNG V i ệ n T o á n hoe v W Trung t â m Khoa học T ự n h i ê n và Công nghệ Q u ố c GIÁO TRÌNH ĐẠI Sở TUYÊN TÍNH (In lần thứ 2) NHÀ XUẤT BẢN ĐAI HOC QUỐC GIA HÀ NÔI
  3. HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP GS T R Ầ N ĐỨC V Â N (Chủ tịch) PGS P H A N H U Y K H A I (Thư ký) GS H À H U Y K H O Á I GS P H Ạ M H Ữ U S Á C H GS N G Ô V I Ệ T T R U N G GS H O À N G T Ụ Y GS Đ Ỗ L O N G V Â N
  4. LỜI GIỚI THIỆU Cuốn sách này được viết nhằm hai mục đích. Thứ nhất là tổng hợp những kiến thức cơ bản của môn Đại số tuyến tính để ngưòi đọc có thê tham khảo khi cần thiết. Thứ hai là phục vụ việc giảng dạy và học tập môn Đại số tuyên tính ở cấp đ ạ i học và cao học. N g ư ệ i đọc cũng có thể tự học môn Đại số'tuyến tính với cuốn sách này mà không cần biết t ư ớ c các kiến thức toán học cao cấp. Chương đầu của cuốn sách sẽ giới thiệu một số kiến thức đại số cần thiết. Ai đã học môn Đại số đ ạ i cương có thê bỏ qua chương này. Phần chính của cuốn sách gồm 7 chương về các đ ố i tượng nghiên cứu cơ bản của môn Đại số tuyến tính là không gian véc tơ, ánh xạ tuyến tính, ma trận, định thức, toán tử tuyến tính, không gian Euclid (ơclit), không gian unita. M ỗ i một chương được chia ra'nhieu múc sao cho khối lượng kiến thức của mỗi một múc phù hợp v ố i một tiết học khoảng 60 phút. Cuối các chương đều có phần lịch sử về các khái niệm và các tư liệu hiếm về các nhà toán học liên quan đê giáo viên tham khảo nhằm làm cho bài giảng sinh động. M ỗ i một mục đều có phần bài tập kèm theo. Phần lớn các bài tập có tính lý thuyết nhiều hơn tính thực hành nhằm giúp cho ngưệi đọc hiếu sâu hơn. Cuốn sách này cũng có thể sử dung cho một giáo trình Đại số tuyến tính ở cấp đ ạ i học. Khi đó nên bổ bốn mục cuối của Chương 5, ba mục cuối của Chương 6 và các mục của Chương 7. Đối với một giáo trình Đại số tuyến tính ở cấp cao học có thê bỏ qua Chương Ì, ba múc đầu của Chương 2, hai mục đầu của Chương 3 và bốn mục cuối của Chương 4 (kinh nghiệm cho thấy là nên giảng nhanh về các mục này hơn là bỏ qua). Cuốn sách này không trình bày các kiến thức về tenxơ vì đây là một chuyên ngành tương đối độc lập, d ự kiến sẽ được viết trong một giáo trình riêng biệt. Đê' tra cứu các khái niệm ngưệi đọc nên xem danh mục từ khoa ở cuối cuốn sách, trong đó tên các khái niệm được xắp xếp theo thứ tự chữ cái đầu kèm theo trang cần tìm. Tác giả chân thành cảm ơn PGS. TSKH. Lê Tuấn Hoa, GS. TSKH. Hà Huy Khoái và PGS. TS. Ngô Đắc Tân đã đọc bản thảo và cho nhiều ý kiến quý báu về nội dung cuốn sách. Tác giả cũng chân thành cám ơn TS. Nguyễn H ữ u Điển đã dịch bản thảo cuốn sách này sang IáTgX. Cuối cùng tác giả mong rằng sẽ nhận được những lệi góp ý của ngưệi đọc nhằm làm cho việc trình bày nội dung cuốn sách tốt hơn. Ngô Viêt Trung
  5. MỤC LỤC LỜI GIỚI THIỆU Ì MỤC LỤC 2 DANH SÁCH HÌNH 5 CHƯƠNG 0. ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG 7 0.1. Tập hợp 7 0.2. Anh xạ 13 0.3. Nhóm 19 0.4. Vành và trường 25 CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN VÉC Tơ 33 1.1. Không gian véc tơ 33 1.2. Độc lập tuyến tính 39 1.3. Cơ sở và chiều 45 1.4. Tống trực tiếp 51 CHƯƠNG 2. ẢNH XẠ TUYÊN TÍNH 61 2.1. Ảnh xạ tuyên tính 61 2.2. ảnh của cơ sở 66 2.3. Không gian thương 72 2.4. Dạng tuyến tính 77 2.5. Dạng song tuyến tính 83 CHƯƠNG 3. MA TRẬN 93 3.1. Ma toàn 93 3.2. Ma trận vuông 99 3.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính 104 3.4. Ma trận chuyển cơ sở no 3.5. Ma trận của dạng song tuyến tính 115
  6. CHƯƠNG 4. ĐỊNH THỨC 125 4.1. Dạng đa tuyến tính JU5 4.2. Định thức 131 4.3. Khai triển định thức 137 4.4. Hạng của ma ữận 143 4.5. H ệ phương bình tuyến tính 149 CHƯƠNG 5. TOÁN TỬ TUYÊN TÍNH 159 5.1. Toán tử tuyến tính 159 5.2. Không gian bất biến 164 5.3. Đa thức đặc trưng 170 5.4. Toán tử đa thức 176 5.5. Không gian xích 182 5.6. Không gian bất khả quy 188 5.7. Dạng chuẩn tắc Jordan 193 CHƯƠNG 6. KHÔNG GIAN E U C L I D 203 6.1. Không gian Euclid 203 6.2. Độ cao và thế tích 209 6.3. Toán tử trực giao 215 6.4. Dạng chuẩn tắc của ma trận trực giao 222 6.5. Toán tử đ i xứng 228 6.6. Dạng toàn phương thực 234 CHƯƠNG 7. KHÔNG GIAN UNITA 243 7.1. Dạng song tuyến tính liên hợp 243 7.2. Không gian unita 249 7.3. Toán tử unita 255 7.4. Toán tử Hermite 260 TÀI LIỆU THAM KHẢO .267 DANH MỤC TỪ KHÓA 268
  7. DANH SÁCH HĨNH 8 0.1 BCA s 0.2 A\B 9 0.3 An B và Au B 1 C 0.4 TíchĐề-các 0.5 Ánh xạ 1 3 2 0 0.6 Phép toán * 3 3 1.1 Véc tơ * . 3 3 1.2 Véc tơ tổng 3 4 1.3 Tích vô hướng • • • 4 0 1.4 Tổ hợp tuyế n tính 6 1 2.1 Phép chiế u 2.2 Phép phản xạ • 6 2 7 3 2.3 Hai véc tơ đồng dư 7 5 2.4 Đồng dư ' • 2 0 4 6.1 Chuẩn 2 1 3 6.2 Hình hộp 2 1 8 6.3 Phép quay 6.4 Các bán trục chính của C\u\ + C2U2 = 1 239
  8. CHƯƠNG 0 ĐẠI S Ô ĐẠI CƯƠNG 0.1. TẬP HỢP Tất cả những vật được xác định theo một quy tắc nào đó được gọi là một tập hợp. M ỗ i một vật của một tập hợp được gọi là một phần tủ của tập hợp. Người ta còn d ù n g từ tập đê chỉ một tập hợp và dùng ký hiệu A = {x,y,z,...} để nói rửng tập A gồm các phần tử x,y,z,.... Đê' chỉ ra rửng X là một phần tử của A, người ta dùng ký hiệu X £ A (đọc là X thuộc A). N ế u X không thuộc A người ta dùng ký hiệu X ặ. A. Một tập hợp có thế không có một phần tử nào cả. Một tập hợp như vậy được gọi là tập rỗng, ký hiệu là 0. • Các phần tử của một tập hợp thường được xác đinh bởi một số tính chất cho trước. Ví du như ta có thể xét tập hợp các số lẻ nhỏ hơn l o là tập hợp { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } . • Các phần l ử của một tập hợp cũng có thể được liệt kê trước mà không cần phải tuân thủ một tính chất nào cả. Ví dụ như tập hợp {1,5,6}. • Các tập hợp hay được xét đến nhất là các tập hợp số. Đó là tập các số tự nhiên, tập các số nguyên, tập các số hữu tỷ, tập các số thực. Các tập hợp này được ký hiệu lần lượt là N, z, Q, R. Hai tập hợp A và B được coi là bửng nhau, ký hiệu là A = B, nếu chúng có những phần tư n h ư nhau. Hai tập hợp A và B được coi là khác nhau, ký hiệu là A ^ B, nếu chúng không bửng nhau. ĐỊNH NGHĨA. M ộ t tập hợp A được gọi là một tập hợp con hay tập con của một tập hợp B nếu mọi phần tử của A cũng là phần tử của B. Khi đó người ta d ù n g ký hiệu A c B (đọc là A nửm trong B) hay ký hiệu B D A (đọc là B chứa A). N ế u A là một tập con của B và A Ỷ- B thì ta gọi A là một tập con thực sự của B, ký hiệu là A c B hay B D A. Có thể coi một tập hợp con B của một tập hợp A như là một bộ phận của tập hợp đó:
  9. 8 Chương 0. Đại số đại cương Hình 0.1: B c A Theo định nghĩa thì tập hợp nào cũng có tập rỗng và tập hợp đó là những tập hợp con. Ví DỤ: Các tập hợp con của tập hợp {1,5, 6} là các tập hợp 0,{1},{5} {6},{1,5},{1,6},{5.6},{1,5,6}. > Các tập hợp con của một tập hợp A cho trước thường được xác định bằng các tính chất nào đó mà mỗi một phần tử X của A có thể có hay không có. Giả sử p là một tính chất n h ư vậy. Khi đó thì tập B các phần tử của A có tính chất p là một tập con của Ả. Người ta thường viết tập B d ư ớ i dống B := {x g A\ X có tính chất P}, trong đó ký hiệu := có nghĩa là v ế trái được định nghĩa bởi v ế phải. Ví DỤ: Giả sử A = N và B = {Ì, 3,5, 7,9}. Ta có thể viết B = {x e A| X < 10 và X là số l ẻ } . Sau đây là một số cách xây dựng các tập hợp mới từ các tập hợp cho trước. ĐỊNH NGHĨA. Cho A và B là hai tập hợp tuy ý. Hiệu của A và D, ký hiệu là A \ B, là tập hợp các phần tử nằm trong A n h ư n g không nằm trong B. Hình 0.2: A \ D Ví DỤ: Giả sử A = {1,5,6} và B = {1,3,5,7,9}. Ta có A \ B = {6}. ĐỊNH NGHĨA. Cho {Ai} là một họ các tập hợp tuy ý. Giao của các tập hợp Ai, ký hiệu là r\Ai, là tập hợp các phần tử nằm trong m ọ i tập hợp Ai.
  10. 0.1. Tập hợp 9 Hợp của các tập hợp Ai, ký hiệu là UAị, là tập hợp các phần tử nằm trong ít nhất một tập hợp Ai. Giao của hai tập hợp A, B được ký hiệu là A n B. Hợp của hai tập hợp A, D được ký hiệu là A u B. Hình 0.3: A n B và A u B Ví DỤ: Giả sử A = {1,5,6} và B = {1,3,5,7,9}. Ta có AC\B = {1,5}, AuB = {1,3,5,6,7,9}. Hiệu, giao và hợp là các phép toán trên các tập hợp. Các phép toán này có những mối liên hệ sau. B ổ ĐỂ 0.1.1. Cho A, B, c là những tập hợp tuy ý. Ta có (i) A\(BnC) = (A\B)u(A\ C), (ii) A \ (B u C) = (A \ B) n (A \ C), (iii) A n {B u C) = {A n B) u (A n C), (iv) A u (5 n C) = {A u ổ ) n (A u C). CHỨNG MINH: (i) D O A \ ( £ n C) chứa yl \ B và \ c nên A\(Bnữ) D (A\5)u(yl\C). Đảo l i , giả sử z € A \ (B n C). Ta có X £ B ne. Do đó X £ £ hay X g c. Suy ra X e A \ B hay I Ẽ Ấ \ C . Vậy A\(BC\C) C (A\i3)u(A\C). (ii) Do Ti \ (B u C) nằm trong yl \ £ và A \ c nên Ẩ\(BuC) C (Ấ\B)n(A\C).
  11. 10 Chương 0. Đại số đại cương Đ ả o l ạ i , g i ả sử X G (A \ B) n {A \ C). Ta có X e A \ B và X e A \ c. D o đ ó X ị B và X ị c. Suy ra X ị B u c. Vậy (A\B)U(A\C) C A\(BUC). (iii) D o i n ( B u C ) chứa An B và An (B u C) D AnC nên A n (B u C) 2 (A n B) u (A n C). Đ ả o l ạ i , g i ả sử X e A n ( 5 u C ) . Ta có a; e B hoặc X eC. Do đ ó ì Ễ A n B hoặc X € A n c . V ậ y ,4 n (5 u C) c (A n J5) u (A n C). (iv) Do A v à 5 n ứ n ằ m trong Au B vả Au c n ê n ^ u (5 n C) C {A u B) n (A u C). Đ ả o l ạ i , g i ả sử X € (.4 u B) n (i4 u C). Ta có X e Ấ u B và I e A u c . Nếu X ị A thì X e B và X G c . Suy ra X € BnC. Vậy Au(flnC)3{AuB)n(ẤuC). • ĐỊNH NGHĨA. Cho Ai,..., An là m ộ t h ọ các t ậ p h ợ p . T ậ p h ợ p các b ộ ri ohần t ử ( x i , ...,x„) v ớ i Xi £ Ai (i = l, ...,n) được g ọ i là ííc/i (Đề-các) của các t ậ p Ai,..., An, k ý h i ệ u là A i X ... X A . n N ế u các t ậ p h ợ p đ ề u bằng m ộ t t ậ p h ợ p A thì tích A X ... X A (n lần) được g ọ i là lũy thừa bậc n của t ậ p h ợ p A, n k ý h i ệ u là A . VA 2 x x ( l, 2) Hình 0.4: Tích Đề-các V í DU: 1. G i ả sử A = {Ì, 2,3} v à B = {Ì, 2 ] . Ta có A X B = {(Ì, 1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}.
  12. 0.1. Tập hợp li 2. Tập l ũ y thừa R 2 3 ( R ) là tập h ợ p các đ i ể m của m ộ t m ặ t phang ( k h ô n g 2 gian). Các p h ầ n t ử của K (M ) được ứng v ớ i các đ i ế m có tọa đ ộ t ư ơ n g 3 ứ n g trong m ộ t h ệ tọa đ ộ Đề-các của m ặ t phang (không gian). Đê' p h â n lớp các p h ầ n tử của m ộ t tập h ợ p n g ư ờ i ta t h ư ờ n g d ù n g khái niệm sau. ĐỊNH NGHĨA. M ộ t quan hệ tương đương trên m ộ t tập h ợ p A là m ộ t m ố i liên h ệ X ~ y giữa các p h ầ n tử X, y của A thoa m ã n các đ i ề u k i ệ n sau: • X ~ X v ớ i m ọ i X e A (tính phản xạ) • N ế u X ~ y thì y ~ X (tính đối xứng) • Nếu x ~ 2 / v à í / ~ z ử i ì a ; ~ 2 (tính bắc cầu). Tập [x] := {y G A\ X ~ y} được g ọ i là m ộ t lớp tương đương của A theo quan h ệ ~ . T ậ p h ợ p các l ớ p t ư ơ n g đ ư ơ n g của A theo quan h ệ ~ được g ọ i là m ộ t tập thương của A theo quan h ệ ~ . Ký h i ệ u ~ chồ là q u y ước. Ta có t h ể d ù n g các k ý h i ệ u khác đ ể chồ m ộ t quan h ệ t ư ơ n g đ ư ơ n g . V í DỤ: Cho p là m ộ t s ố tự n h i ê n tùy ý. Hai số n g u y ê n ra và n đ ư ợ c g ọ i là đồng dự v ớ i nhau theo p n ế u các p h é p chia ra v à TI cho p có c ù n g số d ư , k ý h i ệ u là m = ri (modulo p). Quan h ệ đ ồ n g d ư = là m ộ t quan h ệ tương đ ư ơ n g trên tập các số n g u y ê n z. Đ i n h l ý sau cho t h ấ y các quan h ệ t ư ơ n g đ ư ơ n g trên m ộ t tập h ợ p tương ứng v ớ i v i ệ c p h â n chia tập h ợ p đ ó t h à n h những l ớ p k h ô n g giao nhau. ĐỊNH LÝ 0.1.2. (i) Mọi quan hệ tương đương trên một tập hợp A đều phân chia A thành các lớp tương đương không giao nhau. (li) Mọi sự phân chia A thành các lớp phần tủ không giao nhau đều là Thọt sự phân chia A thành các lớp tương đương của một quan hệ tương đương. CHỨNG MINH: (i) G i ả sử ~ là m ộ t quan h ệ t ư ơ n g đ ư ơ n g trên A. Do X ~ X theo tính p h ả n xạ n ê n X e [x) v ớ i m ọ i X G Ả. Vì v ậ y m ọ i p h ầ n tử của A đ ề u n ằ m trong l ớ p m ộ t l ớ p t ư ơ n g đ ư ơ n g n à o đ ó . N ế u hai l ớ p tương đ ư ơ n g ịx} v à [ý] c ù n g chứa m ộ t p h ầ n t ử z thì X ~ z v à y ~ z. Do tính đ ố i xứng n ê n z ~ X. Do tính bắc Cc'An for
  13. 12 Chương 0. Đại số đại cương c ầ u n ê n y ~ X. V ớ i m ọ i x' € [x] ta có X ~ x'. Do t í n h bắc cầu n ê n y ~ ì', d ẫ n đ ế n ì ' € [y]. N h ư v ậ y là [x] C [ý]. T ư ơ n g t ự ta cũng có [y] C [x]. D o đ ó [x] = [y]. Đ i ề u n à y cho thấy các l ớ p t ư ơ n g đ ư ơ n g k h ô n g giao nhau. (ii) Ta chỉ cần đ ị n h nghĩa X ~ y n ế u xvày n ằ m trong c ù n g m ộ t l ớ p p h ầ n tử. Rõ r à n g là m ố i liên h ệ n à y thoa m ã n tính p h ả n xừ v à tính đ ố i x ứ n g . Còn tính bác cầu được suy ra t ừ việc m ỗ i m ộ t p h ầ n t ử chỉ có t h ế n ằ m t r o n g m ộ t lớp. • Khái n i ệ m tập h ợ p k h ô n g p h ả i là m ộ t k h á i n i ệ m t o á n học h o à n h ả o . Vì v ậ y n g ư ờ i ta p h ả i đ ư a ra m ộ t số quy đ ị n h được g ọ i là các tiên đ ề đ ể t r á n h các m â u thuẫn. M ộ t toong n h ữ n g tiên đ ề đ ó là bố đ ề Z o r n r ấ t hay đ ư ợ c sử d ụ n g trong suy l u ậ n . Bố đ ề n à y cho p h é p ta k i ế m soát cấu trúc của m ộ t t ậ p h ợ p k h ô n g cho n ó "phát ừ i ế n m ộ t cách v ô hừn". Đê' p h á t b i ể u b ố đ ề Z o r n ta cần n h ữ n g khái n i ệ m sau. Cho E là m ộ t tập h ợ p tùy ý v à A là m ộ t tập h ợ p k h ô n g rỗng g ồ m một nổ tập h ợ p con của E. M ộ t tập con của A đựơc g ọ i là m ộ t c h u ỗ i n ế u m ọ i cặp p h ầ n tử X, Y e Ả đ ề u có quan h ệ bao h à m nhau: X C Y hay Y ~Z) X". M ộ t p h ầ n t ử X e Ả được g ọ i là cực đ ừ i n ế u ta k h ô n g t h ế tìm thấy m ộ t p h ầ n t ử Y € A k h á c sao cho Y D X. Bổ đề Zorn n ó i r ằ n g n ế u h ợ p tất cả các p h ầ n t ử m ỗ i chuỗi trong Ả l ừ i là m ộ t phần t ử của A thì A có ít n h ấ t m ộ t p h ầ n t ử cực đ ừ i . BÀI TẬP 1. Chứng m i n h rằng hai tập A và B bằng nhau k h i v à chỉ k h i A c B và BDA. 2. Cho A là tập h ợ p con của m ộ t tập h ợ p B. Chứng m i n h rằng B\{B\A) = A. 3. Cho A v à B là hai tập con của m ộ t tập h ợ p c. Chứng m i n h rằng AC- B k h i và chỉ k h i c\ B D c\ À. 4. Chứng m i n h rằng A = {A\B)\J(AnB), A\{BnC) = (A\B)U(A\C), A\{BUC) = (A\B)n(A\C). 5. Cho (m, n) v à (p, q) là hai cặp số n g u y ê n t ù y ý (n, q Ỷ 0)- Ta g ọ i (m, TÌ) ~ (p, q) n ế u mq — np = 0. Chứng m i n h r ằ n g ~ là m ộ t quan h ệ t ư ơ n g đ ư ơ n g t r ê n tập h ợ p các cặp số có d ừ n g trên. H ã y m ô tả t ậ p t h ư ơ n g của của t r ố i quan h ệ này.
  14. 0.2. Ánh xạ 13 0.2. ẢNH XẠ Cho A v à B là hai tập h ợ p t ù y ý. N g ư ờ i ta d ù n g k h á i n i ệ m á n h xạ đ ể xét m ố i liên h ệ giữa các p h ầ n tử của A và B. ĐỊNH NGHĨA. M ộ t ánh xạ ĩ từ A đ ế n B, ký h i ệ u là / : A -> B, là m ộ t q u y tắc l i n g m ỗ i p h ầ n tử X của A v ớ i m ộ t p h ầ n tử của B được ký h i ệ u là Ị {tò). Ta g ả i / ( ì ) là ảnh của X. H a i á n h xạ f,g : A -> ổ được coi là n h ư nhau, k ý h i ệ u là / = g, n ế u = g(x) v ớ i m ả i a; € A C ó t h ế h i ể u m ộ t á n h xạ từ Ả đ ế n B n h ư là m ộ t h à m v ớ i m i ề n xá c đ ị n h là A v à m i ề n giá trị là B. í \ Hình 0.5: Á n h xạ V í DỤ: 2 1. / ( a ) : = (a, a) cho m ả i a e K, là m ộ t á n h xạ t ừ R đ ế n R . 2. f(a, bì := a cho m ả i o, 6 e R là m ộ t á n h xạ từ R 2 đ ế n K (ta d ù n g k ý h i ệ u j (a, b) thay cho / ( ( a , 6)) đ ế giản tiện cách viết). 2 3. f(a, b) : = (6, à) cho m ả i a, 6 e R là m ộ t á n h xạ từ R 2 đến R . Đặc b i ệ t , v ớ i m ả i tập h ợ p A tùy ý ta có ánh xạ đồng nhất idyl là á n h xạ ứng v ớ i m ỗ i p h ầ n tử X € A c h í n h bản t h â n p h ầ n t ử x: id/i(x) = X. Sau đ â y ta l u ô n l u ô n g i ả thiết / : A —> ì? là m ộ t á n h xạ. ĐỊNH NGHĨA. Cho E là m ộ t tập con của A Á n h xạ 5 : E -> i? v ớ i
  15. 14 Chương 0. Đại số đại cương g(x) = f(x) cho m ọ i X G E đ ư ợ c g ọ i là ánh xạ thu hẹp của / t r ê n E. C ò n / được g ọ i là m ộ t ánh xạ mở rộng của g lên A. 2 2 V í DỤ: G i ả sử E = {(a,a)\ a e M} v à / : R -> M là á n h xạ / ( o , 6 ) = (6,0) ữ o n g ví d ụ 3 ở trên. A n h x ạ thu hẹp của / trên E c h í n h là á n h xạ đ ồ n g n h ấ t của E. ĐỊNH NGHĨA. V ớ i m ỗ i tằp con E của A ta g ọ i tằp hợp f ( E ) := {ĩ, G A I ĩ / = /(*),*€£} là í ằ p ả / i / i của i?. Á n h xạ / thực chất là m ộ t á n h xạ t ừ A đ ế n tằp ảnh ỉ {Ả). T ằ p n à y k h ô n g n h ấ t thiết p h ả i bằng B. M ỗ i p h ầ n t ử của A chỉ có duy n h ấ t m ộ t ảnh trong B. 2 Ví DỤ: G i ả sửE= {(0,a)| a € R} và / : R -ỉ- R là á n h xạ f{a,b) = a. Ta có /(25) = { 0 } . ĐỊNH NGHĨA. V ớ i m ỗ i tằp con F của B ta g ọ i tằp hợp f - \ F ) : = { x e AI Z ( x ) € F } là í ằ p íạo ảnh của F . N ế u F chỉ g ồ m m ộ t p h ầ n t ử y thì ta d ù n g k ý h i ệ u - 1 / ( T / ) . C á c p h ầ n t ử của Ị~ (y)l được g ọ i là các tạo ảnh của y. T ằ p B l u ô n l u ô n có A là t ằ p tạo ảnh. N h ư n g m ộ t p h ầ n t ử của B có t h ể k h ô n g có tạo ảnh n à o . V í DỤ: 2 1. Trong ví d ụ Ì ở trên, các p h ầ n t ử (a,b) £ R v ớ i a Ỷ b k h ô n g có tạo ảnh n à o toong R. 2 2. Trong ví d ụ 2 ở trên, m ọ i p h ầ n t ử a của R đ ề u có n h i ề u tạo ả n h trong 2 R: l 2 f - ( a ) = {(a,b) eR | 6 Gi?}. 2 3. Trong ví d ụ 3 ở trên, m ọ i p h ầ n h i của R đ ề u có duy n h ấ t m ộ t tạo ảnh 2 trong R . T ằ p ả n h v à tằp tạo ảnh có n h ữ n g m ố i liên h ệ sau: E Q f - \ f ( E ) ) , F D f i f - ' i F ) ) .
  16. 0.2. Ánh xạ 15 Sau đ â y l à m ộ t s ố d ạ n g á n h x ạ đ ặ c b i ệ t . ĐỊNH NGHĨA. • Á n h xạ / đ ư ợ c g ọ i l à đơn ánh h a y ánh xạ đơn nếu f ( x ) — f ( x ' ) kéo theo X = x'. • Á n h x ạ / đ ư ợ c g ọ i l à toàn ánh h a y ánh xạ lên nếu với mọi y € B đều c ó X Ễ A sao cho f ( x ) = y. • A n h xạ / đ ư ợ c g ọ i l à song ánh h a y tương ứng 1-1 n ế u / v ừ a là đ ơ n á n h v ừ a là t o à n á n h . Ví DỤ: 1. T r o n g v í d ụ Ì ở p h ầ n đ ầ u , / l à m ộ t đ ơ n á n h . 2. T r o n g v í d u 2 ở p h ầ n đ ầ u , / l à m ộ t t o à n á n h . 3. T r o n g v í d ụ 3 ở p h ầ n đ ầ u , / là m ộ t s o n g á n h . Cho A, B, c là các t ậ p t ù y ý v à / : A ->• B và g: D -¥ c là h a i á n h x ạ t u y ý. Ta c ó t h ê tạo ra m ộ t á n h x ạ m ớ i t ừ A v à o c b ằ n g cách thửc h i ệ n liên t i ế p c á c á n h x ạ / v à g. ĐỊNH NGHĨA. Ánh xạ hợp thành (ánh xạ tích) của / v à 5 là á n h xạ gf : A -» c với g f ( x ) :=g(f(x)) ( x e Ả). 2 2 2 V í DỤ: G i ả sử / : K -> R là á n h x ạ f(a, b) = (ỉ), a) v à g : R - > R là á n h x ạ 2 g(a, b) = a. K h i đ ó gỉ :R - » R l à á n h x ạ g f ( a , b) = b. (a,b) (b,a b Á n h x ạ h ợ p t h à n h c ó n h ữ n g tính c h ấ t sau:
  17. 16 Chương 0. Đại số đại cương B Ổ Đ Ể 0.2.1. (i) f\á =iả ỉ A B = f. (ii) h(gf) = (hg)f với mọi ánh xạ h : c —¥ D. CHỨNG MINH: Với mọi X £ A ta có f id (x) A = f(x) = i d ( / ( x ) ) = i d / ( ì ) , B B [%/)](*) = = % ( / ( x ) ) ) = %(/(*)) = (/i )/(x). ỡ • B Ổ Đ Ề 0.2.2. (i) Nếu Ị và già hai đơn ánh thỉ gf cũng là một đơn ánh. (li) Nếu Ị và ọ là hai toàn ánh thì gf củng là một toàn ánh. (iii) Nếu ỉ và g là hai song ánh thì gỉ cũng là một song ánh. CHỨNG MINH: (i) Nếu gf{x) = gf(x') (x, x' € Ả) thì g(f(x)) = g{ỉ(x')). Do g là một đơn ánh nên / ( ì ) = f(x'). Do / cũng là một đơn ánh nên X = x'. Vậy gỉ là một đơn ánh. (ii) Do / và g là những toàn ánh nên với mọi z e c ta có y G B sao cho g(y) = z và X € A sao cho / ( r e ) = y. Từ đây suy ra 9f{x) = ỡ(/(a;)) = = z. Vậy ợ/ cũng là một toàn ánh. (iii) Điều này là hệ quả trực tiếp của (i) và (ii). • Trong trường hợp c = A thì ta có hai ánh xạ hợp thành fg : A —> A và gf : B —> B. Khi đó người ta hay quan tâm xem khi nào thì hai ánh xạ này hì các ánh xạ đồng nhốt của A và B. ĐỊNH NGHĨA. Một ánh xạ g : B -> A được gọi là ánh xạ nghịch đảo của ánh xạ / : A —> B nếu ta có các đắng thức: gỉ = idA, /Ổ = ids • Do tính đối xứng của / và g ương định nghĩa trên nên nếu g là ánh xạ nghịch đảo của / thì / cũng là ánh xạ nghịch đảo của g.
  18. 0.2. Ảnh xạ 17 N ế u A = B t h ì c ó t h ế x ả y ra t r ư ờ n g h ợ p / cũng là á n h x ạ nghịch đ ả o của / . 2 2 V í D Ụ : G i ả sử / : R -> R là á n h xạ f{a, b) = {b,a) cho m ọ i a,b € M. Ta thấy f f ( a , b ) = f(b,a) = (a,b). D o đ ó / c h í n h là á n h x ạ nghịch đ ả o của / . K h ô n g p h ả i á n h x ạ n à o cũng có á n h xạ nghịch đ ả o . Ta có t h ế đặc t i l i n g các á n h x ạ nghịch đ ả o n h ư sau. ĐỊNH LÝ 0.2.3. Ánh xạ ỉ có ánh xạ nghịch đảo khi và chỉ khi f là một song ánh. C H Ứ N G MINH: G i ả sử / có á n h xạ nghịch đ ả o là g. T ừ quan h ệ f ( x ) = f ( x ' ) (x, x' € A) ta n h ậ n đ ư ợ c X = 9 f ( x ) = gự(x)) = g(f(x')) - g f ( x ' ) = x'. D o đ ó / là m ộ t đ ơ n á n h . V ỉ i m ọ i y e B ta đ ề u có f{9{y)) = fữ{y) = y- Do đ ó / c ũ n g là m ộ t t o à n á n h . Đ ả o l ạ i , n ế u / là m ộ t song á n h thì m ỗ i m ộ t p h ầ n t ử y e B chỉ có d u y n h ấ t m ộ t tạo ả n h . Vì v ậ y ta có t h ê định nghĩa m ộ t á n h xạ g : B -> A v ỉ i l g(y) = r ( y ) cho m ọ i y Ễ B. R õ r à n g là l x x x 9 f i ) = 9Ư( )) X = ỉ~ U( )) = c h o m p i x e A > fg{y) = / ( » ( » ) ) = ỈU~\y)) = y cho m ọ i yeB. Do đ ó gỉ = ÌỞA v à f g = i d s - ũ N ế u / là m ộ t song á n h thì ta sẽ k ý h i ệ u f~ l là á n h xạ ứ n g các p h ầ n t ử _ 1 e y e B v ỉ i p h ầ n t ử tạo ả n h / (ỉ/) -4- 1 H Ệ Q U Ả 0.2.4. / là một ánh xạ nghịch đảo và là ánh xạ nghịch đảo duy nhất của f .
  19. 18 Chương 0. Đại số đại cương C H Ứ N G MINH: Từ chứng minh của bố đề trên ta thấy ngay Ị" là một ánh 1 xạ nghịch đảo của / . Nếu g, h : B —> A là hai ánh xạ nghịch đảo của ánh xạ / thì gỉ - hỉ = lá A • Do đó gf{x) = hf(x) cho mọi X Ệ A Theo bố đề trên thì / là một song ánh. Từ đây suy ra g(y) = h(y) cho mọi y Ễ B vì B = f(A). N h ư vậy / chỉ có duy nhất một ánh xạ nghịch đảo là • HỆ QUẢ 0.2.5. Nếu ỉ : B và g : B -> c là hai song ánh thì , (s/r^ry . 1 _ 1 1 C H Ứ N G MINH: Do / và 3 có các ánh xạ nghịch đảo là / và g" nên l {r g- )9ỉ l = r\g- 9)ỉ l = r 1 i d B / = r 7 = icu, l 1 l 1 1 gf(r g- ) = gur )g- = gi}à )g-B =99-* = idc. • Dùng khái niệm song ánh ta có thế so sánh số phần tử của hai tập hợp khác nhau. ĐỊNH NGHĨA. Hai tập hợp A và B được gọi là có cùng lực lượng nếu tớn tại một song ánh từ A lên B. Một tập hợp được gọi là hữu hạn nếu số phần tử của nó là một số tự nhiên. Hai tập hợp hữu hạn có cùng số phần tử thì có cùng lực lượng. Đê' thấy điều này ta chỉ cần đánh số các phần tử của hai tập hợp. Khi đó ánh xạ ứng các phần tử thứ nhất, thứ hai, ... của hai tập hợp lại v ớ i nhau là một song ánh. Một tập hợp được gọi là vô hạn nếu nó không phải là một tập hữu hạn. Loại tập hợp vô hạn đơn giản nhất là những tập hợp vô hạn mà ta có thể đánh số thứ tự 1,2,3,... cho các phần tử của chúng. Các tập hợp này cũng có cùng lực lượng và được gọi là các tập hợp đếm được . Ví DỤ: 1. Các tập z và Q là đếm được. 2. T'.p K là tập không đếm được.
  20. 0.3. Nhóm 19 BÀI TẬP 1. Cho / : A —> B là m ộ t á n h xạ v à c, D là n h ữ n g tập con của A. C h ứ n g m i n h rằng /(ení?) c/(C)n/(£>), f ( C u D ) = f ( C ) u f ( D ) . 2. Cho / : A —• J3 là m ộ t á n h xạ. Chứng m i n h rằng: l (i) Á n h xạ / là m ộ t đ ơ n á n h k h i v à chỉ k h i m ọ i tập tạo ảnh f ~ ( y ) (y £ B) có n h i ề u n h ấ t m ộ t p h ầ n tử. 1 (li) A n h xạ / là m ộ t t o à n á n h k h i v à chỉ k h i m ọ i tập tạo ả n h f~ {y) (y e B) có ít n h ấ t m ộ t p h ầ n tử. Đ i ề u n à y c ò n có nghĩa là f ( E ) = F. (iii) A n h xạ / là m ộ t song á n h k h i v à chỉ k h i m ọ i tập tạo ảnh / _ 1 (y) (y G B) có d u y n h ấ t m ộ t p h ầ n tử. 3. Cho / : A —> B v à g : B -> c là hai á n h xạ. Chứng m i n h rằng: (i) N ế u gỉ là m ộ t đ ơ n á n h thì / là m ộ t đ ơ n á n h . (ii) N ế u gỉ là m ộ t t o à n á n h thì g là m ộ t t o à n á n h . 4. Cho í: A —> B v à g : A —• c là hai song á n h . Chứng m i n h r ằ n g có m ộ t song á n h t ừ B đ ế n c. 5. C h ứ n g m i n h r ằ n g m ố i quan h ệ có c ù n g lỗc lượng giữa các tập h ợ p là m ộ t quan h ệ tương đ ư ơ n g . 0.3. NHÓM G i ả sử A là m ộ t t ậ p h ợ p t ù y ý. M ộ t phép toán * trong A là m ộ t quy tắc ứ n g m ỗ i cặp p h ầ n t ử (x, y) của A v ớ i m ộ t p h ầ n t ử của A ký h i ệ u là X * y. Ta có t h ế coi m ỗ i m ộ t p h é p t o á n * trong A là m ộ t á n h xạ / : Á 2 -> A m à p h ầ n t ử f ( x , y) đ ư ợ c k ý h i ệ u là ì * y. V í DỤ: Ì . P h é p cộng X + y (hay n h â n xy) là m ộ t p h é p t o á n toong các tập h ợ p số N, z, Q, R. 2. P h é p t r ừ X - y là m ộ t p h é p t o á n ữ o n g z, Q, R, n h ư n g k h ô n g p h ả i là m ộ t p h é p t o á n trong N v ì h i ệ u hai số t ỗ n h i ê n có t h ế là m ộ t s ố n g u y ê n â m k h ô n g n ằ m trong N.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản