Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 14

Chia sẻ: Cindy Cindy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

149
lượt xem 64
download

Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 14

Mô tả tài liệu

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 14', kỹ thuật - công nghệ, tự động hoá phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 14

246 CHÖÔNG 7 Ta coù: 1 Z Z→ u ( k) ← 1 − z−1 z−1 d 1  Z Z→ ku ( k ) ← − z = ⇒   dz  1 − z−1  (1 − z−1 )2 Tz−1 Tz Z Z→ ⇒ kTu ( k ) ← = 2 ( z − 1 )2 (1 − z−1 ) Tz−1 Tz Z Z→ Vaäy r ( k ) = kTu ( k ) ← (ROC: |z| > 1) = 2 ( z − 1 )2 ( 1 − z−1 ) 4- Haøm muõ Haøm muõ lieân tuïc trong mieàn thôøi gian:  e − at neáu t ≥ 0  x(t) =  0 neáu t < 0  Laáy maãu r(t) vôùi chu kyø laáy maãu laø T, ta ñöôïc: e− kaT neáu k ≥ 0  x(k) =  0 neáu k < 0  –kaT ⇒ x(k) = e u(k) Theo ñònh nghóa: +∞ +∞ Z { x ( k )} = x ( k ) z-k = ∑ x ( k) z-k = 1 + e− aT z-2 + ... ∑ k= 0 k=−∞ −1 −2 = 1 + ( eaT z ) + ( e aT z ) + ... −1 Neáu ( e aT z ) < 1 thì bieåu thöùc treân laø toång cuûa caáp soá nhaân luøi voâ haïn. AÙp duïng coâng thöùc tính toång cuûa caáp soá nhaân luøi voâ 1 z Z { x ( k )} = haïn, ta suy ra: = −1 z - e− aT 1 − ( e aT z ) 1 z ( e− kaT ) u ( k) ←Z→ Vaäy: = 1 − (e z aT ) z − e− aT ( ROC : eaT z > 1 ⇔ ) z > e− aT
247 MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC Keát quaû treân ta deã daøng suy ra: 1 z Z Z→ a ku ( k ) ← = −1 z−a 1 − az 7.2.4 Caùc phöông phaùp tìm bieán ñoåi Z ngöôïc Cho haøm X ( z ) , baøi toaùn ñaët ra laø tìm x ( k ) . Theo coâng thöùc bieán ñoåi Z ngöôïc, ta coù: 1 k−1 x ( k) = ∫ X ( z) z dz 2 jπ C vôùi C laø ñöôøng cong kín baát kyø naèm trong ROC cuûa X ( Z ) vaø bao goác toïa ñoä. Tìm x(k) baèng coâng thöùc treân raát phöùc taïp, thöïc teá ta thöôøng aùp duïng caùc caùch sau: Caùch 1: Phaân tích X ( z ) thaønh toång caùc haøm cô baûn, sau ñoù tra baûng bieán ñoåi Z z X ( z) = Ví duï 7.1. Cho . Tìm x(k). ( z − 2 ) ( z − 3) Giaûi. Phaân tích X ( Z ) , ta ñöôïc: −z z X ( z) = + ( z − 2) z − 3 Tra baûng bieán ñoåi Z: z Z Z→ a ku ( k ) ← z−a k k Suy ra: x(k) = (–2 + 3 )u(k) g Caùch 2: Phaân tích X ( z ) thaønh chuoãi luõy thöøa Theo ñònh nghóa bieán ñoåi z: +∞ ∑ x ( k) z− k = x(0)z0 + x (1) z−1 + x ( 2) z−2 + x ( 3) z−3 + K X ( z ) == k= 0 Do ñoù neáu phaân tích X ( z ) thaønh toång cuûa chuoãi luõy thöøa ta –k seõ ñöôïc giaù trò x(k) chính laø heä soá cuûa thaønh phaàn z .
248 CHÖÔNG 7 z Ví duï 7.2. Cho X ( z ) = . Tìm x(k). ( z − 2 ) ( z − 3) z z X ( z) = = Giaûi. ( z − 2 ) ( z − 3 ) z2 − 5 z + 6 Chia ña thöùc, ta ñöôïc: X ( z ) = z−1 + 5 z−2 + 19 z−3 + 65 z−3 + K Suy ra: x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65,... g Caùch 3: Tính x(k) baèng coâng thöùc ñeä qui z Ví duï 7.3. Cho X ( z ) = . Tìm x(k). ( z − 2 ) ( z − 3) z−1 z z X ( z) = Giaûi. Ta coù: = = ( z − 2) ( z − 3) z2 − 5 z + 6 1 − 5 z−1 + 6 z−2 ⇒ (1 − 5 z−1 + 6 z−2 ) X ( z ) = z−1 ⇒ X ( z ) − 5 z−2 X ( z ) + 6 z −2 X ( z ) = z−1 Bieán ñoåi Z ngöôïc hai veá phöông trình treân (ñeå yù tính chaát dôøi trong mieàn thôøi gian), ta ñöôïc: x(k) – 5x(k – 1) + 6x(k – 2) = δ(k – 1) ⇒ x(k) = 5x(k – 1) – 6x(k – 2) + δ(k – 1) Vôùi ñieàu kieän ñaàu: x( k – 1) = 0; x(k – 2) = 0 Thay vaøo coâng thöùc treân ta tìm ñöôïc: x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65,... g Caùch 4: AÙp duïng coâng thöùc thaëng dö ∑ Re s  zk−1 X ( z ) taïi caùc cöïc cuûa z x ( k) =   k–1 X ( z ) Neáu Zo laø cöïc baäc moät thì: Re s  zk−1 X ( z )  z= zo = ( z − zo ) zk−1 X ( z )   z= zo Neáu Zo laø cöïc baäc p thì: d p−1  1 ( z − zo ) p zk−1 X ( z ) z= zo Re s  zk−1 X ( z )  z= z0 =   p−1   ( p − 1) ! dz
249 MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC z Ví duï 7.4. Cho X ( z ) = . Tìm x(k). ( z − 2 ) ( z − 3) Giaûi. AÙp duïng coâng thöùc thaëng dö, ta ñöôïc: x ( k ) = Re s  zk−1 X ( z )  z=2 + Re s  zk−1 X ( z )  z=3     Maø: Re s  zk−1 X ( z )  z=2 = ( z − 2 ) zk−1 X ( z )   z= 2 zk z = ( z − 2 ) zk−1 = −2k = z= 2 z =2 ( z − 2 ) ( z − 3) ( z − 3) Re s  zk−1 X ( z )  z=3 = ( z − 3) zk−1 X ( z )   z =3 zk z = ( z − 3) zk−1 = 3k = z =3 z= 3 ( z − 2 ) ( z − 3) ( z − 2) k k Do ñoù: x(k) = –2 + 3 g 7.3 MOÂ TAÛ HEÄ THOÁNG RÔØI RAÏC BAÈNG HAØM TRUYEÀN 7.3.1 Haøm truyeàn cuûa heä rôøi raïc Quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra cuûa heä thoáng rôøi raïc ñöôïc moâ taû baèng phöông trình sai phaân: ao c ( k + n ) + a1 c ( k + n − 1) + K + an−1 c ( k + 1) + an c ( k ) = = bo r ( k + m ) + b1 r ( k + m − 1) + K + bm−1 r ( k + 1) + bm r ( k ) (7.17) trong ñoù n ≥ m, n goïi laø baäc cuûa heä thoáng rôøi raïc Bieán ñoåi z hai veá phöông trình (7.17) ta ñöôïc: ao znC ( z ) + a1 zn−1C ( z ) + K + an−1 zC ( z ) + anC ( z ) = = bo zm R ( z ) + b1 zm−1 R ( z ) + K + bm−1 zR ( z ) + R ( z ) ⇔  ao zn + a1 zn−1 + K + an−1 z + an  C ( z ) =   = bo zm + b1 zm−1 + K + bm−1 z + K + bm  R ( z )  
250 CHÖÔNG 7 C ( z ) bo zm + b1 zm−1 + K + bm−1 z + bm ⇔ = R ( z ) ao zn + a1 zn−1 + K + an−1 z + an C ( z ) bo zm + b1 zm−1 + K + bm−1 z + bm Ñaët: G ( z ) = (7.18) = R ( z ) ao zn + a1 zn−1 + K + an−1 z + an G ( z ) ñöôïc goïi laø haøm truyeàn cuûa heä thoáng rôøi raïc. Haøm truyeàn (7.18) coù theå bieán ñoåi töông ñöông veà daïng: −1 − m+1 −( n− m )  + bm z− m  C ( z) z bo + b1 z + K + bm−1 z  (7.19) G ( z) = = R ( z) −1 − n+1 −n ao + a1 z + K + an−1 z + an z Hai caùch bieåu dieãn treân hoaøn toaøn töông ñöông nhau, trong thöïc teá haøm truyeàn daïng thöù hai ñöôïc söû duïng nhieàu hôn. Ví duï 7.5. Cho heä thoáng rôøi raïc moâ taû bôûi phöông trình sai phaân: c ( k + 3) + 2c ( k + 2 ) − 5c ( k + 1) + 3c ( k ) = 2r ( k + 2 ) + r ( k ) Tìm haøm truyeàn cuûa heä thoáng. Giaûi. Bieán ñoåi Z hai veá phöông trình sai phaân moâ taû heä thoáng, ta z3C ( z ) + 2 z2C ( z ) − 5 zC ( z ) + 3C ( z ) = 2 z2 R ( z ) + R ( z ) ñöôïc: 2 z2 + 1 C ( z) ⇒ G ( z) = =3 R ( z ) z + 2 z2 − 5 z + 3 z −1 ( 2 + z −2 ) C ( z) ⇔ G ( z) = = R ( z ) 1 + 2 z−1 − 5 z−2 + 3 z−3 7.3.2. Tính haøm truyeàn heä rôøi raïc töø sô ñoà khoái Khi theâm vaøo heä thoáng lieân tuïc caùc khaâu laáy maãu, khaâu giöõ döõ lieäu (vaø boä ñieàu khieån soá) ta ñöôïc heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc. Baøi toaùn ñaët ra laø tìm haøm truyeàn heä rôøi raïc theo bieán z töø sô ñoà khoái coù caùc khaâu laáy maãu. Xeùt moät soá sô ñoà thöôøng gaëp sau ñaây: 1- Hai khaâu noái tieáp caùch nhau bôûi khaâu laáy maãu Hình 7.6 Hai khaâu noái tieáp caùch nhau bôûi khaâu laáy maãu
251 MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC C ( z) G ( z) = = G1 ( z ) G2 ( z ) (7.20) R ( z) trong ñoù: G1 ( z ) = Z {G1 ( s )} ; G2 ( z ) = Z {G2 ( s )} 1 1 Ví duï 7.6. Cho G1 ( s ) = vaø G2 ( s ) = . Tìm haøm truyeàn töông s+ a s+b ñöông cuûa hai heä thoáng coù sô ñoà khoái ôû hình 7.6. Giaûi. Tra baûng bieán ñoåi Z, ta coù: {} 1 z G1 ( z ) = Z {G1 ( s )} = Z = z − e− aT s+ a {} 1 z G2 ( z ) = Z {G2 ( s )} = Z = z − e− bT s+b Do ñoù deã daøng suy ra: z2 G1 ( z ) G2 ( z ) = g ( z − e− aT )( z − e−bT ) 2- Hai khaâu noái tieáp khoâng caùch nhau bôûi khaâu laáy maãu Hình 7.7 Hai khaâu noái tieáp khoâng caùch nhau bôûi khaâu laáy maãu C ( z) G ( z) = = G1G2 ( z ) (7.21) R ( z) G1G2 = Z {G1 ( s ) G2 ( s )} trong ñoù: Caàn chuù yù laø: G1 ( z ) G2 ( z ) = Z {G1 ( s)} Z {G1 ( s )} ≠ Z {G1 ( s) G2 ( s )} = G1G2 ( z ) Ví duï 7.7 seõ minh hoïa ñieàu naøy. 1 1 Ví duï 7.7. Cho G1 ( s ) = vaø G2 ( s ) = . Tìm haøm truyeàn töông s+ a s+b ñöông cuûa hai heä thoáng coù sô ñoà khoái ôû hình 7.7. Giaûi. Tra baûng bieán ñoåi z, ta coù:
252 CHÖÔNG 7 1   G1G2 ( z ) = Z {G1 ( s ) G1 ( s )} = Z  ( s + a ) ( s + b)    1 1 1 1 = Z + ( b − a ) ( s + a ) ( a − b) ( s + b )    1 1 1 1 = Z + Z   (b − a) ( s + a)   ( a − b ) ( s + b)  1 1 z z = + ( b − a ) ( z − e− aT ) ( a − b) ( z − e− bT ) z ( e−bT − e− aT ) ⇒ G1G2 ( z ) = ( b − a ) ( z − e− aT )( z − e−bT ) Roõ raøng keát quaû tính haøm truyeàn töông ñöông cuûa hai heä thoáng ôû ví duï 7.6 vaø 7.7 hoaøn toaøn khaùc nhau. g 3- Heä thoáng hoài tieáp coù khaâu laáy maãu trong keânh sai soá Hình 7.8 Heä thoáng hoài tieáp coù khaâu laáy maãu trong keânh sai soá C ( z) G ( z) Gk ( z ) = (7.22) = R ( z ) 1 + GH ( z ) trong ñoù: G ( z ) = Z {G ( s )} ; GH ( z ) = Z {G ( s ) . H ( s)} Tröôøng hôïp H(s) = 1 (heä thoáng hoài tieáp aâm ñôn vò) ta coù: C ( z) G ( z) Gk ( z ) = (7.23) = R ( z) 1 + G ( z) 1 1 Ví duï 7.8. Cho G ( s ) = vaø H ( s) = . Tìm haøm truyeàn töông s+a s+b ñöông cuûa hai heä thoáng coù sô ñoà khoái ôû hình 7.7. Giaûi. Thöïc hieän pheùp bieán ñoåi Z töông töï nhö ñaõ laøm ôû ví duï 7.6 vaø 7.7, ta deã daøng tính ñöôïc: {}1 z G ( z ) = Z {G ( s )} = Z = z − e− aT s+ a
253 MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC { } z ( e−bT − e− aT ) 1 1 GH ( z ) = Z {G ( s ) H ( s )} = Z = ( b − a ) ( z − e− aT )( z − e−bT ) s+ a s+b Thay vaøo coâng thöùc (7.22) ta ñöôïc: z ( z − e− aT ) C ( z) G ( z) Gk ( z ) = = = z ( e− bT − e− aT ) R ( z ) 1 + GH ( z ) 1+ ( b − a ) ( z − e− aT )( z − e− bT ) ( b − a ) ( z − e− bT ) z Gk ( z ) = ⇒ g ( b − a ) ( z − e− aT )( z − e−bT ) + z ( e− bT − e− aT ) 4- Heä thoáng hoài tieáp coù khaâu laáy maãu trong voøng hoài tieáp Hình 7.9 Heä thoáng hoài tieáp coù khaâu laáy maãu trong voøng hoài tieáp Tröôøng hôïp naøy khoâng tìm ñöôïc bieåu thöùc haøm truyeàn, quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra nhö sau: RG ( z ) C ( z) = (7.24) 1 + GH ( z ) trong ñoù: RG ( z ) = Z { R ( s ) G ( s )} ; GH ( z ) = Z{G ( s ) H ( s ) } 5- Heä thoáng hoài tieáp coù caùc khaâu laáy maãu ñoàng boä trong nhaùnh thuaän Hình 7.10 Heä thoáng hoài tieáp coù caùc khaâu laáy maãu ñoàng boä trong nhaùnh thuaän C ( z) G ( z) Gk ( z ) = (7.25) = R ( z) 1 + G ( z) H ( z) G ( z ) = Z {G ( s )} ; H ( z ) = Z { H ( s )} trong ñoù:
254 CHÖÔNG 7 6- Heä thoáng hoài tieáp coù caùc khaâu laáy maãu ñoàng boä vaø caùc khaâu noái tieáp ôû nhaùnh thuaän Hình 7.11 Heä thoáng hoài tieáp coù caùc khaâu laáy maãu ñoàng boä vaø caùc khaâu noái tieáp ôû nhaùnh thuaän C ( z) G1 ( z ) G2 ( z ) Gk ( z ) = = R ( z ) 1 + G1 ( z ) G2 H ( z ) G1 ( z ) = Z {G1 ( s )} ; G2 ( z ) = Z {G2 ( s )} trong ñoù: G2 H ( z ) = Z {G2 ( s) H ( s )} 7- Sô ñoà doøng tín hieäu - Coâng thöùc Mason cho heä rôøi raïc Coù theå môû roäng khaùi nieäm sô ñoà doøng tín hieäu ñaõ trình baøy trong chöông 2 cho heä lieân tuïc ñeå aùp duïng vaøo heä rôøi raïc vôùi moät vaøi thay ñoåi nhoû. Ñeå söû duïng coâng thöùc Mason cho heä rôøi raïc caàn ñeå yù caùc nguyeân taéc sau ñaây: Neáu khoâng coù boä laáy maãu giöõa ñaàu vaøo R(s) vaø khaâu ñaàu tieân trong voøng thuaän (ví duï G(s)) thì khoâng theå taùch bieät bieán ñoåi Z cuûa ñaàu vaøo vaø khaâu ñaàu tieân vaø ta luoân coù soá haïng RG ( Z ) . Do ñoù trong tröôøng hôïp naøy khoâng theå tính ñöôïc haøm truyeàn baèng tæ leä giöõa bieán ñoåi Z tín hieäu ra vaø tín hieäu vaøo cuûa heä thoáng. Neáu moät khaâu trong voøng thuaän hay trong voøng hoài tieáp phaân bieät vôùi ñaàu vaøo, ñaàu ra cuûa heä thoáng vaø vôùi caùc khaâu khaùc bôûi caùc boä laáy maãu ôû ñaàu vaøo vaø ñaàu ra cuûa noù hoaøn toaøn ñoäc laäp veà bieán ñoåi Z. Neáu moät khaâu trong voøng thuaän hay voøng hoài tieáp khoâng phaân bieät vôùi caùc khaâu keá caän hay vôùi ñaàu vaøo cuûa heä thoáng bôûi boä laáy maãu thì phaûi thöïc hieän pheùp bieán ñoåi Z cuûa haøm truyeàn keát hôïp cuûa hai khaâu hay giöõa khaâu ñoù vôùi ñaàu vaøo. Duøng lyù thuyeát Mason vaø ba nguyeân taéc treân cho heä rôøi raïc, ñoäc giaû coù theå kieåm chöùng ñöôïc caùc coâng thöùc tính haøm truyeàn ñaõ
255 MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC daãn ra trong muïc 7.3.2 naøy. 7.4 MOÂ TAÛ HEÄ THOÁNG RÔØI RAÏC BAÈNG PHÖÔNG TRÌNH TRAÏNG THAÙI 7.4.1 Thaønh laäp phöông trình traïng thaùi töø phöông trình sai phaân 1- Veá phaûi cuûa phöông trình sai phaân khoâng chöùa sai phaân cuûa tín hieäu vaøo Xeùt heä thoáng rôøi raïc coù quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra moâ taû bôûi phöông trình sai phaân: c ( k + n ) + a1 c ( k + n − 1) + K + an−1 c ( k + 1) + an c ( k) = bo r ( k) (7.26) Chuù yù: ÔÛ phöông trình treân heä soá ao = 1. Neáu ao ≠ 1 ta chia hai veá cho ao ñeå ñöôïc phöông trình sai phaân coù daïng (7.26). Töông töï nhö ñaõ laøm ñoái vôùi heä lieân tuïc, ta ñaët caùc bieán traïng thaùi ñeå bieán ñoåi töông ñöông phöông trình sai phaân baäc n ôû treân thaønh heä n phöông trình sai phaân baäc moät. Ñaët caùc bieán traïng thaùi nhö sau: x1 ( k ) = c ( k ) x2 ( k) = x1 ( k + 1) ⇒ x2 ( k ) = c ( k + 1) x3 ( k ) = x2 ( k + 1) ⇒ x3 ( k ) = c ( k + 2 ) ... xn ( k ) = xn−1 ( k + 1) ⇒ xn ( k ) = c ( k + n − 1) ⇒ xn ( k + 1) = c ( k + n ) Thay vaøo phöông trình (7.26) ta ñöôïc: xn ( k + 1) + a1 xn ( k ) + K + an−1 x2 ( k ) + an x1 ( k ) = bo r ( k ) ⇒ xn ( k + 1) = − a1 xn ( k ) − K − an−1 x2 ( k ) − an x1 ( k ) + bo r ( k ) Keát hôïp phöông trình treân vôùi caùc bieåu thöùc ñaët bieán traïng thaùi ta ñöôïc heä phöông trình sau:
256 CHÖÔNG 7  x1 ( k + 1) = x2 ( k ) ( ) ()  x2 k + 1 = x3 k  M  x ( k + 1) = x ( k )  n−1 n  xn ( k + 1) = − a1 xn ( k ) − K − an−1 x2 ( k ) − an x1 ( k ) + bo r ( k ) 
257 MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC Vieát laïi döôùi daïng ma traän:  x1 ( k + 1)   0  x1 ( k )   0  1 0 0 0 K    ( )   0 ( )  x2 k + 1   0  x2 k   0  0 1 0 K  = M  +  M  r(k)   M M M M M M       xn−1 ( k + 1)   0  xn−1 ( k )   0  0 0 K0 1  x ( k + 1)   − a − a  x ( k)  b  − a1  n−1 − an− 2 K − a2 n    o n n Ñaùp öùng cuûa heä thoáng:  x1 ( k )   ( )  x2 k  c ( k ) = x1 ( k ) = [1 0 K 0 0]   M    xn−1 ( k )   x ( k)  n  Ñaët:  x1 ( k )  0 1 0 0 0 K  ( k)  0 0 0 1 0  x2 K    x(k) =   Ad =  M M M M M M      xn−1 ( k )  0 0 0 K0 1  x ( k)   − an − a1  − an−1 − an−2 K − a2   n  0 0  Cd = [1 0 K 0 0] Bd =  M   0 b0   Ta ñöôïc heä phöông trình bieán thaùi:  x ( k + 1) = Ad x ( k ) + Bd r ( k) () g  c k = Cd x ( k ) Ví duï 7.9. Cho heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc moâ taû bôûi phöông trình sai phaân: 2c ( k + 3) = c ( k + 2 ) + 5c ( k + 1) + 4 c ( k ) = 3r ( k ) Haõy vieát heä phöông trình bieán traïng thaùi moâ taû heä thoáng. Giaûi. Ta coù: 2c ( k + 3) = c ( k + 2 ) + 5c ( k + 1) + 4 c ( k ) = 3r ( k ) ⇔ c ( k + 3) + 0, 5c ( k + 2 ) + 2, 5c ( k + 1) + 2c ( k ) = 1, 5r ( k )
258 CHÖÔNG 7 Ñaët bieán traïng thaùi nhö sau: x1 ( k ) = c ( k ) x2 ( k) = x1 ( k + 1) x3 ( k ) = x2 ( k + 1) Heä phöông trình bieán traïng thaùi moâ taû heä thoáng ñaõ cho laø:  x ( k + 1) = Ad x ( k ) + Bd r ( k) ()  c k = Cd x ( k )  x1 ( k )    x(k) =  x2 ( k )  trong ñoù:  x3 ( k )    0 1 0  0 1 0 0 =0 1 Ad =  0 1  0   − a3 − a2 − a1   −2 −2, 5 −0, 5     0  0  Bd =  0  =  0    bo  1, 5   Cd = [1 0 0] 2- Veá phaûi cuûa phöông trình sai phaân coù chöùa sai phaân cuûa tín hieäu vaøo Xeùt heä thoáng rôøi raïc coù quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra moâ taû bôûi phöông trình sai phaân: c ( k + n ) + a1 c ( k + n − 1) + K + an−1 c ( k + 1) + an c ( k ) = = bo r ( k + n ) + b1 r ( k + n − 1) + K + bn−1 r ( k + 1) + bn r ( k ) (7.27) Chuù yù: ÔÛ phöông trình treân heä soá ao = 1. Neáu ao ≠ 1 ta chia hai veá cho ao ñeå ñöôïc phöông trình sai phaân coù daïng (7.27) Ñaët caùc bieán traïng thaùi nhö sau: x1 ( k ) = c ( k ) − β o r ( k ) x2 ( k ) = x1 ( k + 1) − β1 r ( k ) x3 ( k ) = x2 ( k + 1) − β2 r ( k ) ... xn ( k ) = xn−1 ( k + 1) − βn−1 r ( k )
259 MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC Töø caùch ñaët bieán traïng thaùi treân ta ruùt ra phöông trình sau: ⇒ xn ( k + 1) = − an x1 ( k ) − an−1 x2 ( k ) − K − a1 xn ( k ) + βn r ( k ) trong ñoù: β o = bo β1 = b1 − a1β o β2 = b2 − a1β1 − a2β0 β3 = b3 − a1β2 − a2β1 − a3β o β4 = b4 − a1β3 − a2β2 − a3β1 − a4β o ... βn = bn − a1βn−1 − a2βn−2 − a3βn−3 − a4β n−4 − K − an−1β1 − anβ o Do ñoù heä phöông trình bieán traïng thaùi moâ taû heä thoáng coù daïng:  x ( k + 1) = Ad x ( k ) + Bd r ( k) ()  c k = Cd x ( k ) + Dd r ( k ) trong ñoù:  x1 ( k )  0 1 0 0 0 K  ( k)  0 0 0 1 0  x2 K     Ad =  M x(k) =  M M M M M      xn−1 ( k )  0 0 0 K0 1  x ( k)   − an − a1  − an−1 − an−2 K − a2   n   β1  β   2 Cd = [1 0 K 0 0] Dd = β o. Bd =  M    βn−1   βn    Ví duï 7.10. Cho heä thoáng rôøi raïc moâ taû bôûi phöông trình sai phaân: 2 c ( k + 3 ) + c ( k + 2 ) + 5 c ( k + 1 ) + 4 c ( k ) = r ( k + 2 ) + 3r ( k ) Haõy vieát heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng treân. Giaûi. Ta coù: 2 c ( k + 3 ) + c ( k + 2 ) + 5 c ( k + 1 ) + 4 c ( k ) = r ( k + 2 ) + 3r ( k ) c ( k + 3) + 0, 5c ( k + 2 ) + 2, 5c ( k + 1) + 2c ( k ) = 0, 5r ( k + 2 ) + 1, 5r ( k ) ⇔
260 CHÖÔNG 7 Ñaët caùc bieán traïng thaùi: x1 ( k ) = c ( k ) − β o r ( k ) x2 ( k ) = x1 ( k + 1) − β1 r ( k ) x3 ( k ) = x2 ( k + 1) − β2 r ( k ) ⇒ x3 ( k + 1) = − a3 x1 ( k ) − a2 x2 ( k ) − a1 x3 ( k ) + β3 r ( k ) trong ñoù: β o = bo = 0 β1 = b1 − a1β o = 0, 5 × 0 = 0, 5 β2 = b2 − a1β1 − a2β o = 0 − 0, 5 × 0, 5 − 2, 5 × 0 = −0, 25 β3 = b3 − a1β2 − a2β1 − a3β o = 1, 5 = 0, 5 × ( −0, 25 ) − 2, 5 × 0, 5 = 0, 375 Heä phöông trình bieán traïng thaùi coù daïng:  x ( k + 1) = Ad x ( k ) + Bd r ( k) ()  c k = Cd x ( k ) + Dd r ( k ) trong ñoù:  x1 ( k )  0 1 0   0 1 x(k) =  x2 ( k )  Ad =  0   x3 ( k )   −2 −2, 5 −0, 5      0, 5  Bd =  −0, 25 Cd = [1 0 0] Dd = 0 g   0, 375   7.4.2 Thaønh laäp phöông trình traïng thaùi töø haøm truyeàn heä rôøi raïc Cho heä thoáng moâ taû bôûi haøm truyeàn: C ( z ) bo zm + b1 zm−1 + K + bm−1 z + bm G ( z) = (7.28) = R ( z) zn + a1 zn−1 + K + an−1 z + an Chuù yù: ÔÛ haøm truyeàn treân heä soá ao = 1. Neáu a0 ≠ 1 ta chia töû soá vaø maãu soá cho ao ñeå ñöôïc haøm truyeàn coù daïng (7.28). Caùch 1: Bieán ñoåi töông ñöông haøm truyeàn veà daïng phöông trình sai phaân:
261 MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC (7.28) ⇔ ( zn + a1 zn−1 + K + an−1 z + an ) C ( z ) = ( bo zm + b1 zm−1 + K + bm−1 z + bm ) R ( z ) ⇔ c ( k + n ) + a1 c ( k + n − 1) + K + an−1 c ( k + 1) + an c ( k ) = = bo r ( k + m ) + b1 r ( k + m − 1) + K + bm−1 r ( k + 1) + bm r ( k ) AÙp duïng phöông phaùp ñaõ trình baøy ôû muïc 7.4.1.2 ta ruùt ra ñöôïc heä phöông trình bieán traïng thaùi. Ví duï 7.11. Haõy thaønh laäp heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng coù haøm truyeàn laø: z2 + 3 C ( z) G ( z) = =3 R ( z ) 2 z + z2 + 5 z + 4 Giaûi. Caùch 1: Haøm truyeàn ñaõ cho töông ñöông vôùi: 0, 5 z2 + 1, 5 C ( z) G ( z) = =3 R ( z ) z + 0, 5 z2 + 2, 5 z + 2 ⇔ ( z3 + 0, 5c2 + 2, 5c + 2 ) C ( z ) = ( 0, 5 z2 + 1, 5 ) R ( z ) ⇔ c ( k + 3) + 0, 5c ( k + 2 ) + 2, 5c ( k + 1) + 2c ( k ) = 0, 5r ( k + 2 ) + 1, 5r ( k ) xem tieáp lôøi giaûi ñaõ trình baøy ôû ví duï 7.10. C ( z ) bo zm + b1 zm−1 + K + bm−1 z + bm Caùch 2: Do G ( z ) = = R ( z) zn + a1 zn−1 + K + an−1 z + an neân ta coù theå ñaët bieán phuï E(z) sao cho: C( z) = ( bo zm + b1 zm−1 + K + bm−1 z + bm ) E ( z ) (7.29) R ( z ) = ( zn + a1 zn−1 + K + an−1 z + an ) E ( z ) (7.30) (7.30) ⇒ e ( k + n ) + a1e ( k + n − 1) + K + an−1e ( k + 1) + ane ( k ) = r ( k ) AÙp duïng phöông phaùp ñaõ trình baøy ôû muïc 7.4.1.1, ñaët caùc bieán traïng thaùi: x1 ( k ) = e ( k ) x2 ( k) = x1 ( k + 1) ⇒ x2 ( k ) = e ( k + 1) x3 ( k ) = x2 ( k + 1) ⇒ x3 ( k ) = e ( k + 2 ) ... xn ( k ) = xn−1 ( k + 1) ⇒ xn ( k ) = e ( k + n − 1) ⇒ xn ( k + 1) = e ( k + n )
262 CHÖÔNG 7 Ta ñöôïc phöông trình:  x1 ( k + 1)  0   x1 ( k )  0 0 1 0 0 K     0 0   x2 ( k )  0 ( ) 0 1 0  x2 k + 1  K    =M  +  M  r ( k) M   M M M M M        xn−1 ( k + 1)  1   xn−1 ( k )  0 0 0 0 K0 − a1   xn ( k )  1   x ( k + 1)   − an − an−1 − an−2 K − a2     n  (7.29) ⇒ c ( k ) = boe ( k + m ) = b1e ( k + m − 1) + K + bm−1e ( k + 1) + bm e ( k ) ⇒ c ( k ) = bo xm+1 ( k ) + b1bm ( k ) + K + bm−1 x2 ( k ) + bm x1 ( k )  x1 ( k )   ( )  x2 k  ⇒ c ( k ) = [ bm 0 K 0] bm−1 K b1 bo   M    xn−1 ( k )   x ( k)  n  Toùm laïi ta ñöôïc heä phöông trình traïng thaùi:  x ( k + 1) = Ad x ( k ) + Bd ( k ) ()  c k = Cd x ( k) trong ñoù:  x1 ( k )  0 1 0 0 0 K  ( k)  0 0 0 1 0  x2 K    x(k) =   Ad =  M M M M M M      xn−1 ( k )  0 0 0 K0 1  x ( k)   − an − a1  − an−1 − an−2 K − a2   n   0  0  Cd = c ( k ) = [ bm 0 K 0] Bd =  M  bm−1 K b1 bo   0 1   g Ví duï 7.12. Cho heä thoáng moâ taû bôûi haøm truyeàn: z2 + 3 C ( z) G ( z) = =3 R ( z ) 2 z + z2 + 5 z + 4
263 MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC Haõy thaønh laäp heä phöông trình traïng thaùi. Giaûi. Haøm truyeàn ñaõ cho töông ñöông vôùi: 0, 5 z2 + 1, 5 C ( z) G ( z) = =3 R ( z ) z + 0, 5 z2 + 2, 5 z + 2 Ñaët bieán phuï E ( z ) sao cho: C ( z ) = ( 0, 5 z2 + 1, 5 ) E ( z )    R ( z ) = ( z3 + 0, 5 z2 + 2, 5 z + 2 ) E ( z )   c ( k ) = 0, 5c ( k + 2 ) + 1, 5c ( k ) ⇔   r ( z ) = e ( k + 3) + 0, 5e ( k + 2 ) + 2, 5e ( k + 1) + 2e ( k ) Ñaët bieán traïng thaùi: x1 ( k ) = e ( k ) x2 ( k) = x1 ( k + 1) x3 ( k ) = x2 ( k + 1) Ta ñöôïc heä phöông trình:  x ( k + 1) = Ad x ( k ) + Bd r ( k) ()  c k = Dd x ( k ) trong ñoù:  x1 ( k )  0 1 0 0 1 0   Ad =  0  = 0 1 x(k) =  x2 ( k )  0 1 0     x3 ( k )   − a3 − a2 − a1   –2 –2.5 –0.5         0 Bd =  0 Dd = [ b2 b0 ] = [1. 5 0 0.5] b1 g  1   Ví duï 7.13. Haõy thaønh laäp heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng coù haøm truyeàn laø: C ( z) 2z + 1 G ( z) = = ( z ) z4 + 2 z3 + z2 + 5 z + 3 R Giaûi. Ñaët bieán phuï E(z) sao cho: C ( z ) = ( 2 z + 1 ) E ( z )    R ( z ) = ( z + 2 z + z + 5 z + 3) E ( z ) 4 3 2 