Giáo trình Toán cao cấp: Phần 1 (Dùng cho sinh viên học các hệ Kinh tế)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:171

Thêm vào BST

Báo xấu

61
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình "Toán cao cấp" được biên soạn dành cho sinh viên học các hệ Kinh tế. Giáo trình được chia thành 10 chương, phần 1 này gồm 6 chương, cung cấp cho học viên những kiến thức về: ma trận và định thức; véctơ và không gian véctơ; hệ phương trình tuyến tính; dạng toàn phương; hàm số, giới hạn và sự liên tục; đạo hàm và vi phân hàm một biến;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán cao cấp: Phần 1 (Dùng cho sinh viên học các hệ Kinh tế)

Nguyễn Sinh Bảy, Nguyễn Văn Pứ, Nguyễn Ngọc Hiền, Nguyễn Sỹ Thìn, Nguyễn Khánh Toàn, Lê Ngọc Tú, Đinh Thị Nhuận TOÁN CAO CẤP (DÙNG CHO SINH VIÊN HỌC CÁC HỆ KINH TẾ) NHÀ XUẤT BẢN THỐNG KÊ, 2017
Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1 Ma trận và định thức 3 1.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Ba phép biến đổi sơ cấp trên ma trận . . . . . . . . . . 8 1.2 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 Cách tính định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.4 Phương trình đặc trưng và giá trị riêng . . . . . . . . . 16 1.3 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Định nghĩa, tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2 Cách tính hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1 Định nghĩa, tính khả nghịch . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2 Các tính chất của ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . 21 1.4.3 Cách tính ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.4 Dùng ma trận nghịch đảo giải phương trình ma trận . 25 Chương 2 Vectơ và không gian vectơ 31 2.1 Khái niệm và các phép toán trên vectơ . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.1 Vectơ n chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2 Các phép toán trên các vectơ n chiều . . . . . . . . . . 32 2.2 Hệ vectơ và sự độc lập, phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . 33 2.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.2 Dấu hiệu nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Hạng và cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1 Cơ sở và hạng của một hệ vectơ . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.2 Các phép biến đổi sơ cấp đối với một hệ vectơ . . . . . 38 2.4 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 i
2.4.1 Cơ sở của không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4.2 Phép đổi cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4.3 Không gian tuyến tính sinh bởi một hệ vectơ . . . . . . 45 2.4.4 Biểu diễn tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Chương 3 Hệ phương trình tuyến tính 53 3.1 Cách biểu diễn hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Hệ có hình dáng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.1 Hệ thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.2 Hệ Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3 Biện luận về tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4 Cách giải hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4.1 Phương pháp biến đổi sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4.2 Phương pháp Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4.3 Phương pháp ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . 63 Chương 4 Dạng toàn phương 80 4.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.1.1 Mở đầu về dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . 80 4.1.2 Dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc . . . . . . . . . 82 4.1.3 Phép biến đổi tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.1.4 Giá trị riêng và vectơ riêng . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2 Đưa về dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc . . . . . . . . 84 4.2.1 Phương pháp giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.2 Phương pháp Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2.3 Phương pháp Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2.4 Định luật quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.3 Tính xác định dấu, tính không xác định dấu . . . . . . . . . 96 4.3.1 Định nghĩa và hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3.2 Dấu hiệu nhận biết tính xác định dấu . . . . . . . . . . 98 4.4 Một vài ứng dụng của dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . 105 4.4.1 Nhận dạng đường, mặt bậc hai . . . . . . . . . . . . . 105 4.4.2 Tìm cực trị hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . 108 Chương 5 Hàm số, giới hạn và sự liên tục 112 5.1 Số thực và hàm số một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.1.1 Tập số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.1.2 Hàm số một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2 Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.3 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.3.1 Một số giới hạn dạng vô định . . . . . . . . . . . . . . 126 5.3.2 Hai giới hạn quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.3.3 Vô cùng bé và vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4Sự liên tục của hàm số một biến số . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.4.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.4.2 Các phép tính về hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . 135 Chương 6 Đạo hàm và vi phân hàm một biến 143 6.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.1.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.1.2 Tính đạo hàm bằng công thức . . . . . . . . . . . . . . 147 6.1.3 Đạo hàm bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.3 Một số ứng dụng của đạo hàm, vi phân . . . . . . . . . . . . . 154 6.3.1 Tính gần đúng bằng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.3.2 Tính các giới hạn dạng vô định . . . . . . . . . . . . . 156 6.3.3 Tìm cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Chương 7 Hàm hai biến 167 7.1 Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 7.1.1 Giới hạn và tính liên tục của hàm hai biến . . . . . . . 169 7.1.2 Đạo hàm và vi phân của hàm hai biến . . . . . . . . . 173 7.2 Hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.3 Bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.3.1 Cực trị tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.3.2 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Chương 8 Phép tính tích phân 193 8.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.1.1 Nguyên hàm và định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . 193 8.1.2 Các tính chất của tích phân bất định . . . . . . . . . . 194 8.1.3 Bảng các công thức tính tích phân . . . . . . . . . . . 194 8.1.4 Các phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . 198 8.2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.2.1 Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . 207 8.2.2 Các tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . 208 8.2.3 Công thức Newton - Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . 209 8.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . 211 8.3 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8.3.1 Trường hợp khoảng lấy tích phân là vô hạn . . . . . . 215 8.3.2 Trường hợp hàm số có điểm gián đoạn vô cực . . . . . 222 Chương 9 Phương trình vi phân 232 9.1 Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9.2 Phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.2.1 Giới thiệu chung về phương trình vi phân cấp một . . . 233 9.2.2 Phương trình cấp một biến số phân li . . . . . . . . . . 235
9.2.3 Phương trình đẳng cấp cấp một . . . . . . . . . . . . . 238 9.2.4 Phương trình tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . 241 9.2.5 Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 9.3 Phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 9.3.1 Giới thiệu về phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . 249 9.3.2 Các trường hợp giảm cấp được . . . . . . . . . . . . . 250 9.3.3 Phương trình tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . 254 9.4 Ôn lại về Số phức (phần phụ lục) . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Chương 10 Phương trình sai phân 274 10.1 Sai phân và phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . 274 10.1.1 Lưới thời gian và sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . 274 10.1.2 Khái niệm phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . 276 10.1.3 Tính chất của phương trình dạng tuyến tính . . . . . . 277 10.2 Phương trình tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 10.2.1 Phương trình thuần nhất hệ số hằng . . . . . . . . . . 279 10.2.2 Phương trình không thuần nhất hệ số hằng . . . . . . . 280 10.2.3 Phương trình thuần nhất hệ số biến thiên . . . . . . . 286 10.2.4 Phương trình không thuần nhất hệ số biến thiên . . . . 287 10.3 Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng . . . . . . . . . . . 295 10.3.1 Phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 10.3.2 Phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . . 297 10.4 Phần tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 10.4.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp k hệ số hằng . 300 10.4.2 Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 2 hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 10.4.3 Phương trình sai phân dạng phi tuyến . . . . . . . . . 303 10.4.4 Một vài ứng dụng của phương trình sai phân . . . . . . 304 10.4.5 Một vài bài toán trong thực tiễn . . . . . . . . . . . . . 307 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
Lời nói đầu (CHO LẦN XUẤT BẢN) Giáo trình này được tập thể giáo viên giảng dạy môn Toán Cao cấp, Bộ môn Toán, Trường Đại học Thương mại biên soạn lại trên cơ sở giáo trình cùng tên, đã được xuất bản năm 2000. Trong giáo trình này, chúng tôi có lược đi một vài nội dung và đưa vào một số nội dung khác cho phù hợp với quy định mới về chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo đối với đối tượng là sinh viên khối Kinh tế. Chắc rằng trong giáo trình vẫn còn nhiều thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý, nhận xét của quý độc giả. Xin trân trọng cám ơn. Hà Nội, ngày 20 tháng 01 năm 2008 Các tác giả (CHO BẢN TÁI BẢN LẦN 1) Giáo trình Toán Cao cấp được tập thể giảng viên và cựu giảng viên, Bộ môn Toán Kinh tế, Trường Đại học Thương mại biên soạn vào năm 2008. Do số tín chỉ của chương trình giảm bớt so với trước, chúng tôi rút gọn nội dung giáo trình một lần nữa. Chúng tôi cũng sửa lại một số sai sót đã phát hiện được. Do thời lượng rất ít nên các mệnh đề nói chung sẽ không được chứng minh đầy đủ, tuy nhiên đều có các gợi ý về cách chứng minh. Trong lần chỉnh sửa này, chúng tôi đã nhận được rất nhiều ý kiến trao đổi vô cùng quý giá từ các thầy cô giáo, Bộ môn Toán Kinh tế, Trường Đại học Thương mại. Tập thể các đồng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy, cô. Mặc dù các tác giả đã rất cố gắng nhưng chắc chắn giáo trình khó tránh khỏi thiếu sót. Rất mong tiếp tục nhận được những ý kiến trao đổi, những lời góp ý từ các đồng nghiệp và quý bạn đọc. Xin trân trọng cám ơn. Hà Nội, ngày 12 tháng 4 năm 2015 Các tác giả
(CHO BẢN TÁI BẢN LẦN 2 ) Giáo trình này đã được tái bản có sửa chữa và cấu trúc lại vào năm 2015. Trong bản tái bản này, chúng tôi tiếp tục sửa lại một số lỗi về chế bản cũng như về nội dung và hình thức. Tuy nhiên, giáo trình khó tránh khỏi thiếu sót. Rất mong tiếp tục nhận được những ý kiến trao đổi, những lời góp ý từ các đồng nghiệp và quý bạn đọc. Xin trân trọng cám ơn. Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2017 Các tác giả
Chương 1 Ma trận và định thức 1.1 Ma trận 1.1.1 Khái niệm mở đầu Ta đã biết về các số thực và các phép toán trên tập các số thực. Khi nhiều số thực được sắp xếp lại với nhau theo một trật tự được quy định nào đó, ta sẽ có các đối tượng tổng quát hơn. Một trong số đó là các ma trận, được định nghĩa ngay sau đây. Định nghĩa 1.1 Có m × n số thực aij , được sắp thành một bảng hình chữ nhật gồm m dòng, n cột như sau   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n  A =  .. .    .  am1 am2 · · · amn Khi đó, bảng này được gọi là một ma trận cỡ m × n. Số aij gọi là phần tử nằm ở giao của dòng thứ i và cột thứ j (i = 1, m, j = 1, n) của ma trận A. • Ta thường dùng kí hiệu rút gọn: A = (aij )m×n . • Ma trận −A = (−aij )m×n gọi là ma trận đối của A. • Ma trận cỡ m×n có mọi phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không cỡ m × n, kí hiệu là O hoặc chi tiết hơn là Om×n . 3
• Ma trận chuyển vị của A là ma trận có kí hiệu A0 (hoặc AT ), nhận được từ A bằng cách đổi cột thành dòng, dòng thành cột và giữ nguyên thứ tự các dòng, các cột.   a11 a21 · · · am1  a12 a22 · · · am2  A0 =  .. .    .  a1n a2n · · · amn Quan hệ "bằng" giữa các ma trận Định nghĩa 1.2 Hai ma trận cùng cỡ A = (aij )m×n và B = (bij )m×n được gọi là bằng nhau nếu các cặp phần tử tương ứng của chúng đôi một bằng nhau: A = B ⇔ aij = bij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. Chú ý. Trong chương trình ta không đưa vào các phép so sánh ma trận: A > B, A < B; A > 0, ... và cũng không so sánh các ma trận khác cỡ. 1.1.2 Ma trận vuông Các ma trận có dạng đặc biệt sau đây là rất quan trọng trong các nội dung tiếp theo. • Ma trận cỡ n × n còn được gọi là ma trận vuông cấp n   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n  A =  .. .    .  an1 an2 · · · ann Các phần tử a11 , a22 , ..., ann là phần tử nằm trên đường chéo chính. Còn các phần tử an1 , a(n−1)2 , ..., a1n là phần tử nằm trên đường chéo phụ. • Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có tất cả  các phần tử nằm  về a11 a12 · · · a1n 0 a22 · · · a2n  phía dưới của đường chéo chính đều bằng 0: A =  .. .    .  0 0 · · · ann 4
  a11 0 · · · 0  a21 a22 · · · 0  Tương tự, ma trận tam giác dưới: A =  .. .    .  an1 an2 · · · ann • Ma trận đường chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0.   a11 0 · · · 0  0 a22 · · · 0  A =  .. .    .  0 0 · · · ann • Ma trận đơn vị cấp n:   1 0 ··· 0 0 1 · · · 0 En :=  .. .    .  0 0 · · · 1 n×n Nếu không có khả năng nhầm lẫn, nhiều khi ta kí hiệu En một cách đơn giản là E. 1.1.3 Các phép toán trên ma trận 1. Phép cộng, trừ hai ma trận và phép nhân ma trận với một số Định nghĩa 1.3 Cho hai ma trận cùng cỡ A = (aij )m×n và B = (bij )m×n . • Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cùng cỡ, kí hiệu là A+B, được xác định như sau: A + B = (aij + bij )m×n . • Hiệu của A và B là ma trận A − B = A + (−B) = (aij − bij )m×n . • Tích của ma trận A với số thực α là một ma trận cùng cỡ với ma trận 5
A, kí hiệu là αA, được xác định như sau: αA = α(aij )m×n = (αaij )m×n . Một vài tính chất thường dùng. Giả sử A, B, C là các ma trận cùng cỡ, α, β là hai số thực bất kỳ, khi đó: • A + B = B + A. • (A + B) + C = A + (B + C). • αA = Aα. • α(A + B) = αA + αB. • α(βA) = (αβ)A. Các tính chất này đều có thể kiểm tra nhờ các định nghĩa về các phép toán ở trên. 2. Phép nhân hai ma trận Định nghĩa 1.4 Cho A là một ma trận cỡ m × p: A = (aij )m×p và B là một ma trận cỡ p × n: B = (bij )p×n . Tích của A và B là một ma trận cỡ m × n, kí hiệu AB := C = (cij )m×n , trong đó p X cij = aik bkj (i = 1, 2, ...m; j = 1, 2, ..., n). k=1 Chú ý. 1) Phép nhân ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận bên trái bằng số dòng của ma trận bên phải. 2) Nếu A là ma trận vuông thì có thể dùng kí hiệu An = AA...A(n lần). Tính chất của phép nhân ma trận Khi A, B, C có cỡ phù hợp để các phép tính thực hiện được, ta có thể chứng minh các tính chất sau của phép nhân ma trận: 1. AB 6≡ BA. 2. (AB)C = A(BC). 3. A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA. 4. α(AB) = (αA)B = A(αB). 6
5. AE = A; EB = B (E là ma trận đơn vị có cỡ phù hợp với A, B). Đặc biệt, nếu A là ma trận vuông cùng cấp với ma trận E thì AE = EA = A. Cá biệt, E k = E, ∀k = 1, 2, 3, ... Ngoài ra, ta sẽ cần đến các tính chất sau của phép chuyển vị ma trận: 1) (A0 )0 = A. 2) (αA ± βB)0 = αA0 ± βB 0 (α, β ∈ R). 3) (AB)0 = B 0 A0 . Có thể chứng minh các tính chất này bằng cách tính toán trực tiếp.   1 −1 −1 2 1 1 Ví dụ 1.1 Cho A =  2 1 ;B =  . 1 2 −1 3 −1 3 a) Tính AB. b) Phép nhân BA có thực hiện được không? Lời giải. a) Số cột của A và số dòng của B đều là p = 2 nên phép nhân AB thực hiện được. Gọi C = AB. Cỡ của C là 3 × 4. Đặt C = (cij )3×4 khi đó: c11 = a11 b11 + a12 b21 = 1.(−1) + (−1).1 = −2 c12 = a11 b12 + a12 b22 = 1.(2) + (−1).2 = 0 Tương tự: c13 = 1.(1) + (−1).(−1) = 2; c24 = 5; c14 = 1.(1) + (−1).(3) = −2; c31 = 4; c21 = 2.(−1) + (1).(1) = −1; c32 = 4 c22 = 2.(2) + (1).(2) = 6; c33 = −4; c23 = 1;   c34  =8  c11 c12 c13 c14 −2 0 2 −2 Vậy, C = AB = c21 c22 c23 c24  = −1 6 1 5 . c31 c32 c33 c34 4 4 −4 8 b) Phép nhân BA không thực hiện được vì số cột của B khác với số dòng của A. Ví dụ 1.2 Cho    x1    4 1 1 1  x2  1 A=  3 −2 1 −1 , X =   , B = 0 .     x3 −1 5 2 1 2 x4 7
  4x1 + x2 + x3 + x4 = 1 Khi đó AX = B ⇔ 3x1 − 2x2 + x3 − x4 = 0 −x1 + 5x2 + 2x3 + x4 = 2.  Chú ý. 1) Cần phân biệt hai kí hiệu AB 6= BA và AB 6≡ BA. 2) Các tích AB và BA không nhất thiết cùng thực hiện được. Ngay cả khi cả hai đều thực hiện được, có thể chúng vẫn không bằng nhau. 1.1.4 Ba phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ta sẽ thường xuyên dùng đến các phép biến đổi sau đây trên các dòng hoặc các cột của các ma trận (và tương tự cho một số đối tượng khác về sau). Đó là: 1. Giao hoán hai dòng (hoặc hai cột) khác nhau của ma trận. 2. Nhân các phần tử của một dòng (hoặc một cột) với cùng một số thực khác 0. 3. Nhân một dòng (hoặc một cột) với một số rồi cộng vào một dòng (hoặc cột) khác. Chú ý. Ta có thể chỉ ra rằng các phép biến đổi sơ cấp trên một ma trận thực chất chỉ là các phép nhân vào bên phải hoặc bên trái ma trận đó với một trong ba loại ma trận có hình dáng đặc biệt, được kí hiệu S (k) (i, j), k = 1, 2, 3 sau đây. Với i 6= j, p nào đó: (1) Sp×p (i, j) = (shk )p×p , trong đó ( 1 khi i 6= h = k 6= j; h = i và k = j; h = j và k = i shk = 0 trong các trường hợp khác.  1 khi h = k 6= i  (2) Sp×p (i, j) = (shk )p×p , trong đó shk = α khi h = k = i (α 6= 0).  0 trong các trường hợp khác.   1 khi h = k  (3) Sp×p (i, j) = (shk )p×p , trong đó shk = α khi h = i và k = j  0 trong các trường hợp khác.  8
Đề nghị bạn đọc tự viết các ma trận trên với các phần tử cụ thể. Ở Chương (k) 4, để đơn giản, thay cho Sp×p (i, j) nhiều khi ta chỉ viết là S (k) . Ta có thể kiểm tra được rằng các cặp phép toán sau đây thực chất là như nhau: (1) 1) Giao hoán dòng i và dòng j của Am×n ; Nhân Sm×m (i, j) vào bên trái ma trận Am×n . (1) 2) Giao hoán cột i và cột j của Am×n ; Nhân Sn×n (i, j) vào bên phải ma trận Am×n . (2) 3) Nhân các phần tử của dòng i của Am×n với số α (α 6= 0); Nhân Sm×m (i, j) vào bên trái ma trận Am×n . (2) 4) Nhân các phần tử của cột i của Am×n với số α (α 6= 0); Nhân Sn×n (i, j) vào bên phải ma trận Am×n . (3) 5) Nhân dòng j của Am×n với số α rồi cộng vào dòng i; Nhân Sm×m (i, j) vào bên trái ma trận Am×n . (3)0 6) Nhân cột j của Am×n với số α rồi cộng vào cột i; Nhân Sn×n (i, j) vào bên phải ma trận Am×n . 1.2 Định thức Các ma trận là các bảng của các số thực chứ không phải là các số thực. Tuy nhiên, chúng có thể có một số đặc trưng số. Với các ma trận vuông, đặc trưng số quan trọng nhất là "định thức", một khái niệm được định nghĩa ngay dưới đây. Định nghĩa này được xây dựng bằng phương pháp quy nạp theo cấp của ma trận vuông. 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.5 Cho ma trận vuông cấp n: A = (aij )n×n . Định thức của ma trận A là một số thực có ký hiệu là |A| hoặc det(A), và độ lớn được xác định theo cách dưới đây. Định thức của ma trận vuông cấp một A = (a11 ) là số thực được xác định như sau: |A| = |(a11 )| := a11 . Giả sử đã có công thức tính định thức đến cấp n − 1. Khi đó, độ lớn của định thức của ma trận vuông cấp n: A = (aij )n×n được xác định như sau
a11 a12 , ..., a1n
n