intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Hệ phương trình nhiều ẩn - Trần Sĩ Tùng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:69

Thêm vào BST
Báo xấu
7
lượt xem 2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Hệ phương trình nhiều ẩn" gồm 69 trang phân dạng và tuyển tập các bài tập hệ phương trình nhiều ẩn do thầy Trần Sĩ Tùng biên soạn. Hy vọng sẽ giúp quý thầy cô và các em trong quá trình giảng dạy và học tập của mình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hệ phương trình nhiều ẩn - Trần Sĩ Tùng

  1. TRAÀN SÓ TUØNG ---- ›š & ›š ---- TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Naêm 2012
  2. Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ìa1x + b1y = c1 ía x + b y = c (a12 + b12 ¹ 0, a22 + b22 ¹ 0) î 2 2 2 Giải và biện luận: a1 b1 c1 b1 a1 c1 – Tính các định thức: D = , Dx = , Dy = . a2 b2 c2 b2 a2 c2 Xét D Kết quả æ D Dy ö D¹0 Hệ có nghiệm duy nhất ç x = x ; y = ÷ è D D ø Dx ¹ 0 hoặc Dy ¹ 0 Hệ vô nghiệm D=0 Dx = Dy = 0 Hệ có vô số nghiệm Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. 2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: ì5 x - 4 y = 3 ì2 x + y = 11 ì3 x - y = 1 a) í b) í5 x - 4 y = 8 c) í î7 x - 9 y = 8 î î6 x - 2 y = 5 ì3 2 ìï( 2 + 1) x + y = 2 - 1 ï 4 x + 3 y = 16 ìï 3 x - y = 1 d) í e) í f) í ïî2 x - ( 2 - 1) y = 2 2 ï 5 x - 3 y = 11 ïî5x + 2 y = 3 î2 5 ĐS: Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: ì1 8 ì6 5 ì 10 1 ïï - = 18 ïï x + y = 3 ïï x - 1 + y + 2 = 1 a) í x y b) í 9 10 c) í 5 4 ï + = 51 ï - ï 25 + 3 = 2 =1 îï x y îï x y îï x - 1 y + 2 ì 27 32 ì 6 2 ì4 1 ïï 2 x - y + x + 3y = 7 ïï x - 2 y + x + 2 y = 3 ïï x + y - 1 = 3 d) í e) í f) í ï 45 - 48 = -1 ï 3 + 4 = -1 ï2 - 2 = 4 îï 2 x - y x + 3y îï x - 2 y x + 2 y îï x y - 1 æ 3 87 ö ĐS: a) b) c) d) e) ç ;- ÷ f) è 70 140 ø Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: ì 6 x - 3 2y ì 3x - 6 x ì2x - 3 y + 7 ïï y - 1 - x + 1 = 5 ïï y + 1 - y - 2 = 1 ïï x - 2 + y + 3 = 5 a) í b) íx -2 c) í ï 4x - 2 - 4y = 2 ï + 3x =7 ï x + 1 + 3y + 1 = 5 ïî y - 1 x + 1 ïî y + 1 y - 2 ïî x - 2 y + 3 Trang 1
  3. Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng ì æ1 1ö ì 3( x + y ) ï3( x + y ) + 2 ç - ÷ = 6 ïï x y = -7 ï d) í èx yø e) í - f) ï3( x - y ) + 2 æç 1 + 1 ö÷ = 4 ï 5x - y = 5 ïî è x yø îï y - x 3 æ 1ö æ5 7ö d) (1;1) , æç 1; - ö÷ , æç ;1ö÷ , æç ; - ö÷ 2 2 2 2 ĐS: a) ç 0; ÷ b) ç ; ÷ c) è 2 ø è8 4ø è 3 ø è 3 ø è 3 3 ø Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: ì 2 5 ìï2 x + 2 x - y - 1 = 3 2 ìï x + 3y = 1 2 ï2(4 - x ) + =2 ï y a) í 2 b) í 2 c) í ïî x + x + 2 y - 1 = 4 ïî2 x - 7 y = 15 ï4 - x 2 + 2 = 4 ïî y ĐS: a) (1;2),(- 2; 2) b) ( ± 2; -1) c) Bài 5. Giải các hệ phương trình sau: ì ì x -1 + y - 2 = 1 ì x + 2y = 2 a) í x - 1 + y = 0 b) í c) í î2 x - y = 1 î x -1 + y = 3 î 2 x - 3y = 1 ì2 x - 6 + 3 y + 1 = 5 ì2 x + y - x - y = 9 ì4 x + y + 3 x - y = 8 d) í e) í f) í î5 x - 6 - 4 y + 1 = 1 î3 x + y + 2 x - y = 17 î3 x + y - 5 x - y = 6 ĐS: Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ìmx + (m - 1)y = m + 1 ì mx + (m - 2) y = 5 ì(m - 1) x + 2 y = 3m - 1 a) í b) í c) í î 2 x + my = 2 î(m + 2) x + (m + 1) y = 2 î (m + 2) x - y = 1 - m Bài 7. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Tìm m Î Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. ì(m + 1) x - 2 y = m - 1 ì mx - y = 1 ìmx + y - 3 = 3 a) í 2 2 b) í c) í î m x - y = m + 2m î x + 4(m + 1) y = 4m î x + my - 2m + 1 = 0 Bài 8. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m. ì mx + 2 y = m + 1 ì6mx + (2 - m) y = 3 ìmx + (m - 1)y = m + 1 a) í b) í c) í î 2 x + my = 2 m + 5 î ( m - 1) x - my = 2 î 2 x + my = 2 Bài 9. Trong các hệ phương trình sau: i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m. ì2 x + y = 5 ìmx + y = 3m ì x - 2y = 4 - m a) í b) í c) í î2 y - x = 10m + 5 î x + my = 2m + 1 î2 x + y = 3m + 3 Bài 10. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ìax + y = b ì y - ax = b ìax + y = a + b a) í b) í c) í î3 x + 2 y = -5 î2 x - 3y = 4 î x + 2y = a Bài 11. Giải các hệ phương trình sau: ì3 x + y - z = 1 ì x + 3y + 2 z = 8 ì x - 3 y + 2 z = -7 ï ï ï a) í2 x - y + 2 z = 5 b) í2 x + y + z = 6 c) í-2 x + 4 y + 3z = 8 ïî x - 2 y - 3z = 0 ïî3 x + y + z = 6 ïî3 x + y - z = 5 ĐS: Trang 2
  4. Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai · Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. · Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. · Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 2. Hệ đối xứng loại 1 ì f ( x , y) = 0 Hệ có dạng: (I) í (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)). î g( x , y ) = 0 (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi). · Đặt S = x + y, P = xy. · Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P. · Giải hệ (II) ta tìm được S và P. · Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X 2 - SX + P = 0 . 3. Hệ đối xứng loại 2 ì f ( x , y) = 0 (1) Hệ có dạng: (I) í î f ( y, x ) = 0 (2) (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại). · Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: ì f ( x , y ) - f ( y, x ) = 0 (3) (I) Û í î f ( x , y) = 0 (1) · Biến đổi (3) về phương trình tích: éx = y (3) Û ( x - y ).g( x , y) = 0 Û ê . ë g( x, y ) = 0 éì f ( x, y ) = 0 êí x = y · Như vậy: (I) Û ê î . ê íì f ( x , y ) = 0 êë î g( x , y ) = 0 · Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I). Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) thì ( y0 ; x0 ) cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0 . 4. Hệ đẳng cấp bậc hai ìïa x 2 + b xy + c y 2 = d Hệ có dạng: (I) í 1 2 1 1 2 1 . ïîa2 x + b2 xy + c2 y = d2 · Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0). · Khi x ¹ 0, đặt y = kx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y). Trang 3
  5. Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 1: Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: ì 2 2 ì 2 ì 2 a) í x + 4 y = 8 b) í x - xy = 24 c) í( x - y ) = 49 î x + 2y = 4 î2 x - 3y = 1 î3 x + 4 y = 84 ì 2 2 ì3 x - 4 y + 1 = 0 ì2 x + 3y = 2 d) í x + 2 xy + y - x - y = 6 e) í f) í î x - 2y = 3 î xy = 3( x + y ) - 9 î xy + x + y + 6 = 0 ì 2 ì2 x + 3 y = 5 ì2 x - y = 5 g) í y + x = 4 x h) í 2 2 i) í 2 2 î2 x + y - 5 = 0 î3 x - y + 2 y = 4 î x + xy + y = 7 ĐS: Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: ì2 x - y - 7 = 0 ì4 x + 9 y = 6 ìï2 x 2 + x + y + 1 = 0 a) í 2 2 b) í 2 c) í 2 îy - x + 2 x + 2y + 4 = 0 î3 x + 6 xy - x + 3y = 0 ïî x + 12 x + 2 y + 10 = 0 ì( x + 2 y + 1)( x + 2 y + 2) = 0 ì(2 x + 3y - 2)( x - 5y - 3) = 0 ì x 2 + 11 = 5y 2 d) í 2 e) í x - 3y = 1 f) í î xy + y + 3 x + 1 = 0 î î2 x + 3y = 12 ĐS: Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: ì 2 2 ì 2 2 a) í2 x - xy + 3y = 7y + 12 y - 1 b) í x + y + 6 x + 2 y = 0 îx - y + 1 = 0 îx + y + 8 = 0 ì 2 2 ì 2 c) í9 x + 4 y + 6 xy + 42 x - 40 y + 135 = 0 d) í x + xy + x = 10 î3x - 2 y + 9 = 0 î x - 2 y = -5 ì 2 2 ì 2 2 d) í7 x + 9 y - 12 xy + 5x + 3y + 5 = 0 e) í x - 3 xy + y + 2 x + 3y - 6 = 0 î2 x - 3 y = 1 î2 x - y = 3 ĐS: Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: ì1 1 1 ì 1 1 1 ì 3x + y x - y ï - = ï + = ï - =2 ï 3x 2 y 3 ï x +1 y 3 a) í x - 1 2y b) í c) í 1 1 1 1 1 1 ïî x - y = 4 ï - = ï - = ïî 9 x 2 4 y 2 4 ïî ( x + 1)2 y 2 4 ì 2 2 ìx - y = 1 ì 2 2 d) í( x + y) + 4( x + y) - 117 = 0 e) í 3 3 f) í( x - y)( x - y ) = 45 î x - y = 25 îx - y = 7 îx + y = 5 ĐS: Bài 5. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ìx + y = 6 ìx + y = m ì3 x - 2 y = 1 a) í 2 2 b) í 2 2 c) í 2 2 îx + y = m îx - y + 2x = 2 îx + y = m ĐS: Trang 4
  6. Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn VẤN ĐỀ 2: Hệ đối xứng loại 1 Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: ì x + xy + y = 11 ìx + y = 4 ì xy + x + y = 5 a) í 2 2 b) í 2 2 c) í 2 2 î x + y - xy - 2( x + y ) = -3 î x + xy + y = 13 îx + y + x + y = 8 ì x y 13 ìï x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 481 ï + = ì 3 3 3 3 d) í y x 6 e) í x + x y + y = 17 f) í 2 2 ïî x + y = 6 î x + y + xy = 5 ïî x + xy + y = 37 ĐS: a) (2;3),(3;2) b) (1;3),(3;1) c) (1;2),(2;1) æ 12 8 ö æ 8 12 ö d) ç ; ÷ , ç ; ÷ e) (1;2),(2;1) f) (4;3),(3;4),(-4; -3),(-3; -4) è 5 5ø è 5 5 ø Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: ì x + xy + y = -1 ìï x 2 + y 2 = 5 ìï x 2 y + y 2 x = 30 a) í 2 2 b) í 4 2 2 4 c) í 3 3 î x y + y x = -6 ïî x - x y + y = 13 ïî x + y = 35 ìï x 3 + y3 = 1 ìï x 2 + y 2 + xy = 7 ì x + y + xy = 11 d) í 5 5 2 2 e) í 4 4 2 2 f) í 2 2 ïî x + y = x + y ïî x + y + x y = 21 î x + y + 3( x + y ) = 28 ĐS: a) b) c) (2;3),(3;2) d) e) f) Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: ì 2 2 ì x + xy - y = 5 ì x 2 - xy + y 2 = 19 a) í x + xy + y = 4 b) í 2 2 c) í î x + xy + y = 2 î x + y + xy = 13 î x + xy + y = -7 ì x + y + xy = 11 ì x 2 + xy + y 2 = 3 ì x + y + xy = 5 d) í 2 2 e) í f) í 2 2 î x + y + 3( x + y ) = 28 î2 x + xy + 2 y = -3 î x + y + xy = 7 ĐS: a) (1;1) b) c) d) e) f) (1;2),(2;1) Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: ìï x 2 + xy + y 2 = 7 ìï x 2 + y 2 = 5 ìï x 4 + y 4 = 17 a) í 4 2 2 4 b) í 4 2 2 4 c) í 2 2 ïî x + x y + y = 21 ïî x - x y + y = 13 ïî x + y + xy = 3 ì 3 3 ì 3 3 ìï x 5 + y 5 = 1 d) í x + y = 7 e) í x + y = 19 f) í 9 9 4 4 î xy( x + y) = -2 î( x + y )(8 + xy ) = 2 ïî x + y = x + y ĐS: a) b) c) d) e) f) Bài 5. Giải các hệ phương trình sau: ì x + y =1 ì 2 2 ì x ( x + 2)(2 x + y) = 9 ï a) í x + x + y + y = 18 b) í 2 c) í 2 2 1 î x ( x + 1).y( y + 1) = 72 îx + 4x + y = 6 ïî x + y = 2 ì x ì x ïï x - y + y = 3 ïï x + y + y = 9 ì x + y + xy = 11 ï d) í e) í f) í 6 6 + + xy = 11 ï ( x - y) x = 2 ï ( x + y) x = 20 ïî x y ïî y ïî y ĐS: a) (3; -3),(-3;3),(2;3),(3,2),(-4; -3),(-3; -4),(2; -4),(-4;2) b) c) d) e) f) (2;3),(3;2) Bài 6. Giải các hệ phương trình sau: Trang 5
  7. Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng ì æ 1 ö ï( x + y ) ç 1 + ÷ = 5 ì y( x 2 + 1) = 2 x ( y 2 + 1) ï è xy ø ï æ 1 ö a) í ï( x 2 + y 2 ) ç 1 + 1 ÷ = 49 æ ö ï ( b) í 2 x + y 2 )ç 1 + ç x 2 y 2 ÷÷ = 24 ïî 2 2 î è ø è x y ø ì 1 1 ì x y 2 ïx + y + x + y = 4 ï 2 + 2 = 3 ï ï c) í d) í x + 1 y + 1 1 1 ï x 2 + y2 + + =4 ï( x + y )(1 + 1 ) = 6 ïî x 2 y2 ïî xy ì 1 ì2 x 2 y + y 2 x + 2 y + x = 6 xy ï ïï xy + xy = 4 e) í 1 y x f) í ï xy + + + =4 xy x y ï( x + y ) æç 1 + 1 ö÷ = 5 î ïî è xy ø æ7±3 5 ö æ 7±3 5 ö ĐS: a) ç ; -1÷ , ç -1; ÷ b) c) (1;1) è 2 ø è 2 ø d) e) f) Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: ïì3 xy - ( x 2 + y 2 ) = 5 ìï x y + y x = 30 a) í 2 2 4 4 b) í ïî7 x y - ( x + y ) = 155 ïî x x + y y = 35 ì æ1 1ö ìï x + y = 4 ï( x + y ) ç + ÷ = 5 c) í d) í ï èx yø ï( x 2 + y 2 ) ç 1 + 1 ÷ = 49 ïî x + y - xy = 4 æ ö 2 ïî èx y2 ø ì x y 7 ï + = +1 ìï x + 1 + y + 1 = 3 e) í y x xy f) í ï ïî x y + 1 + y x + 1 + x +1 + y +1 = 6 î x xy + y xy = 78 ĐS: a) b) (4;9),(9; 4) c) d) e) f) Bài 8. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ì x + y + xy = m ìx + y = m +1 ì( x + 1)( y + 1) = m + 5 a) í 2 2 b) í 2 2 2 c) í xy( x + y ) = 4m î x + y = 3 - 2m î x y + xy = 2m - m - 3 î Trang 6
  8. Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn VẤN ĐỀ 3: Hệ đối xứng loại 2 Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: ìï x 2 = 3x + 2 y ìï x 2 - 2 y 2 = 2 x + y ìï x 2 - 2 y 2 = 5y + 4 a) í 2 b) í 2 2 c) í 2 2 ïî y = 3y + 2 x ïî y - 2 x = 2 y + x ïî y - 2 x = 5 x + 4 ìï xy + x 2 = 8( y - 1) ìï x 3 = 3 x + 8y ìï x 3 = 2 x + y d) í 2 e) í 3 f) í 3 ïî xy + y = 8( x - 1) ïî y = 3y + 8 x ïî y = 2 y + x ĐS: a) b) c) d) e) f) Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: ïì2 x 2 - 3 x = y 2 - 2 ìï x 2 = x + 2 y + 4 ìï2 x = y 2 - 4 y + 5 a) í 2 2 b) í 2 c) í 2 ïî2 y - 3y = x - 2 ïî y = y + 2 x + 4 ïî2 y = x - 4 x + 5 ì 3 3 ìï xy + x 2 = 1 - y ìï x 3 + 2 x = y ïx + 4x = y + 2 d) í e) í 3 f) í ï y3 + 4 y = x + 3 2 ïî xy + y = 1 - x ïî y + 2 y = x î 2 ĐS: a) b) c) d) e) (0;0) f) Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: ì y ì 3 ì x2 + 2 ïï x - 3y = 4 x ï2 x + y = ï3x = a) í ï b) í x2 ï c) í y2 x 3 2 ï y - 3x = 4 ï2 y + x = ï3y = y + 2 ïî y ïî y2 ïî x2 ì 2 1 ì 1 3 ïï2 x = y + y ïï2 x + y = x d) í e) í f) ï2 y 2 = x + 1 ï2 y + 1 = 3 ïî x ïî x y ĐS: a) b) c) (1;1) d) e) Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: ìï 2 x + 3 + 4 - y = 4 ìï x + 1 + y - 7 = 4 ìï x + 2 - y = 2 a) í b) í c) í ïî 2 y + 3 + 4 - x = 4 ïî y + 1 + x - 7 = 4 ïî 2 - x + y = 2 ìï x + 6 - y = 2 3 ìï x + 5 + y - 2 = 7 ïì x + 91 = y - 2 + y 2 2 d) í e) í f) í ïî y + 6 - x = 2 3 ïî x - 2 + y + 5 = 7 ïî y 2 + 91 = x - 2 + x 2 æ 11 11 ö ĐS: a) (3;3), ç ; ÷ b) (8;8) c) è9 9ø d) e) f) (3;3) Bài 5. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ìï x 2 = 3 x + my ìï x (3 - 4 y 2 ) = m(3 - 4m 2 ) ìï xy + x 2 = m( y - 1) a) í 2 b) í 2 2 c) í 2 ïî y = 3y + mx ïî y(3 - 4 x ) = m(3 - 4m ) ïî xy + y = m( x - 1) Bài 6. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: Trang 7
  9. Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng ì 2 m2 ìï x 2 y + m = y 2 ìï xy + x 2 = m( y - 1) ï2 x = y + ï y a) í 2 2 b) í 2 c) í 2 ïî xy + m = x ïî xy + y = m( x - 1) ï2 y 2 = x + m ïî x VẤN ĐỀ 4: Hệ đẳng cấp bậc hai Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: ìï x 2 - 3 xy + y 2 = -1 ìï2 x 2 - 4 xy + y 2 = -1 ìï y 2 - 3 xy = 4 a) í 2 2 b) í 2 2 c) í 2 2 ïî3 x - xy + 3y = 13 ïî3 x + 2 xy + 2 y = 7 ïî x - 4 xy + y = 1 ïì3 x 2 + 5 xy - 4 y 2 = 38 ïì x 2 - 2 xy + 3y 2 = 9 ïì3 x 2 - 8 xy + 4 y 2 = 0 d) í 2 2 e) í 2 2 f) í 2 2 ïî5x - 9 xy - 3y = 15 ïî x - 4 xy + 5y = 5 ïî5 x - 7 xy - 6 y = 0 ĐS: a) b) c) d) e) f) Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: ìï3x 2 + 2 xy + y 2 = 11 ìï3 x 2 + 5xy - 5y 2 = 37 ìï x 2 - 4 xy + 2 y 2 = 1 a) í 2 2 b) í 2 2 c) í 2 2 ïî x + 2 xy + 3y = 17 ïî5 x - 9 xy - 3y = 15 ïî2 x - xy + y = 4 ìï x 2 - 3 xy + y 2 = -1 ìï2 x 2 + 3 xy - y 2 = -2 ìï3 x 2 - 5 xy - 4 y 2 = -3 d) í 2 2 e) í 2 2 f) í 2 2 ïî2 x + xy + 2 y = 8 ïî x - xy + 2 y = 4 ïî9 y + 11xy - 8 x = 13 ĐS: a) b) c) d) e) f) Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: ì 3 3 ìï y 3 - x 3 = 7 ìï x 3 + y 3 = 1 a) í x - y = 7 b) í 2 2 c) í 2 2 3 î xy( x - y) = 2 ïî2 x y + 3 xy = 16 îï x y + 2 xy + y = 2 ìï x 3 - xy 2 + y 3 = 1 ìï x 3 + 3 x 2 y + xy 2 + y 3 = 6 ìï( x - y)( x 2 + y 2 ) = 13 d) í 3 2 3 e) í 3 2 2 f) í 2 2 ïî2 x - x y + y = 2 ïî3y + x y - 2 xy = 2 ïî( x + y )( x - y ) = 25 ĐS: a) b) c) d) e) f) Bài 4. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ìï x 2 + mxy + y 2 = m ïì xy - y 2 = 12 ìï x 2 - 4 xy + y 2 = m a) í 2 2 b) í 2 c) í 2 ïî x + (m - 1) xy + my = m ïî x - xy = m + 26 ïî y - 3 xy = 4 Trang 8
  10. Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC Vấn đề 1: Phương pháp thế Từ phương trình đơn giản nhất của hệ hoặc từ phương trình tích tìm cách rút một ẩn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình còn lại. Giải phương trình này. Số nghiệm của hệ tuỳ thuộc số nghiệm của phương trình này. Một số dạng thường gặp: · Dạng 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x (hoặc y). · Dạng 2: Trong hệ có một phương trình có thể đưa về dạng tích của các biểu thức bậc nhất hai ẩn. · Dạng 3: Trong hệ có một phương trình có thể đưa về dạng phương trình bậc hai của một ẩn với ẩn còn lại là tham số. Chú ý: Đôi khi có thể ta phải kết hợp biến đổi cả 2 phương trình của hệ để đưa về một trong các dạng trên. ìï x 2 + 5 x + y = 9 Bài 1. Giải hệ phương trình sau: í 3 2 2 ïî3 x + x y + 2 xy + 6 x = 18 ì y = 9 - x 2 - 5x ìï y = 9 - x - 5 x 2 ï ïé x = 1 · HPT Û í 4 Û íê ï ê x = -3 3 2 ïî x + 4 x - 5x - 18 x+18 = 0 ïî ë x = -1 ± 7 é x = 1; y = 3 ê x = -3; y = 15 Û ê ê x = -1 - 7; y = 6 + 3 7 êë x = -1 + 7; y = 6 - 3 7 Bài tương tự: ìï2 x 2 y + 3 xy = 4 x 2 + 9 y æ 16 ö æ 1 1 ö æ -9 ± 3 33 ö a) í 2 . Nghiệm ç -2; - ÷ ,ç ; - ÷ ,ç ;3 ÷ . ïî7 y + 6 = 2 x + 9 x è 7 ø è2 7ø è 4 ø ìï x 2 + y 2 - xy = 1 Bài 2. Giải hệ phương trình sau: í 3 ïî2 x = x + y ìï4 x 6 - 6 x 4 + 3x 2 - 1 = 0 ìx = 1 · HPT Û í Û í . 3 ïî y = 2 x - x îy = 1 Nghiệm: (1;1),(-1; -1) . ìï x 4 + 2 x 3 y + x 2 y 2 = 2 x + 9 (1) Bài 3. Giải hệ phương trình sau: í 2 ïî x + 2 xy = 6 x + 6 (2) 6 x + 6 - x2 éx = 0 · Từ (2), rút xy = . Thay vào (1) ta được: x ( x + 4)3 = 0 Û ê 2 ë x = -4 æ 17 ö Nghiệm: ç -4; ÷ . è 4ø Trang 9
  11. Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng ìï x 2 - 3 xy + y 2 = 11 (1) Bài 4. Giải hệ phương trình sau: í 2 ïî y - 2 xy = 5 (2) y2 - 5 · Dễ thấy y ¹ 0 . Từ (2), rút x = . 2y 2 æ y2 - 5 ö y2 - 5 Thay vào (1) ta được: ç ÷ -3 y + y 2 = 11 Û y 4 + 24 y 2 - 25 = 0 Û y = ±1 è 2 y ø 2 y Nghiệm: (2; -1),(-2;1) . ìï x 2 + 1 + y( y + x ) = 4 y (1) Bài 5. Giải hệ phương trình sau: í 2 ïî( x + 1)( y + x - 2) = y (2) 2 · Dễ thấy y ¹ 0. HPT Þ [ 4 y - y( y + x )] ( y + x - 2) = y Û [ y - (3 - x )] = 0 Û y = 3 - x Nghiệm: (1;2), (-2;5) . ìï x 2 + 2 x + 1 - y 2 = 0 (1) Bài 6. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 ïî x + y - x + 3y - 2 = 0 (2) éy = x + 1 · (1) Û ( x + 1)2 = y 2 Û ê ëy = -x -1 Nghiệm: ìï x 2 + 4 xy + 3y 2 = 0 (1) Bài 7. Giải hệ phương trình sau: í 2 ïî x + x + 2 y = 1 - 3 xy (2) é x = -y · (1) Û ( x + y)( x + 3y) = 0 Û ê ë x = -3y Nghiệm: (3; -1) . ìï2 x 2 + 4 xy + 2 y 2 + 3 x + 3y - 2 = 0 (1) Bài 8. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 ïî3x - 32 y + 5 = 0 (2) é x + y = -2 · (1) Û 2( x + y)2 + 3( x + y) - 2 = 0 Û ê 1 êx + y = ë 2 Nghiệm: ïì x 3 + 3 x 2 = y 3 - 3 x - 1 (1) Bài 9. Giải hệ phương trình sau: í 2 ïî x + xy + y = 5 (2) · (1) Û x 3 + 3x 2 + 3 x + 1 = y3 Û ( x + 1)3 = y3 Û y = x + 1 Nghiệm: (1;2),(-2; -1) . ì 2 x 2 + 4 xy + 1 ï = -5 (1) ï x + 2y Bài 10. Giải hệ phương trình sau: í ï x = -3 (2) ïî x + 2 y é x = -3 ( y = 2) 1 2 · (1) Û 2 x + = -5 . Thay vào (2) ta được: 2 x + 5 x - 3 = 0 Û ê 1 1 x + 2y ê x = (y = - ) ë 2 3 Trang 10
  12. Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn æ1 1ö Nghiệm: (-3;2), ç ; - ÷ . è 2 3ø ìï2( x 2 + y 2 ) = 1 (1) Bài 11. Giải hệ phương trình sau: í 3 2 ïî2 x + 6 xy = 1 (2) 1 · HPT Þ 2 x ( x 2 + y 2 ) + 4 xy 2 = 1 Û x + 4 xy 2 = 1 Û xy 2 = (1 - x ) (*) 4 é x = -1 3 Thay vào (2) ta được: 4 x - 3 x + 1 = 0 Û ê 1 . êx = ë 2 Nghiệm: ìï2 x 2 + 4 xy - 2 x - y + 2 = 0 (1) Bài 12. Giải hệ phương trình sau: í 2 ïî3 x + 6 xy - x + 3y = 0 (2) é x = -2 · Lấy (2) - (1) ta được: x 2 + (2 y + 1) x + 4 y - 2 = 0 Û ê ëx = 1- y Nghiệm: ïì x 2 (1 + y 2 ) = 2 Bài 13. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 2 ïî x y + xy = 3 x - 1 ìï x 2 + x 2 y 2 = 2 (1) · HPT Û í 2 2 2 . ïî x y + xy = 3 x - 1 (2) Lấy (1) - (2) ta được: x 2 - xy = 3 - 3 x 2 Û xy = 4 x 2 - 3 . é x2 = 1 Thay vào (1) ta được: 16 x - 23 x + 7 = 0 Û ê 2 7 . 4 2 êx = ë 16 Nghiệm: ì1 1 2 2 ïï x + 2 y = 2( x + y ) (1) Bài 14. Giải hệ phương trình sau: í1 1 ï - = y2 - x 2 (2) ïî x 2 y ì2 2 2 ïï x = x + 3y ìï x 3 + 3 xy 2 = 2 (3) · Lấy (1) ± (2) ta được: í Û í 3 1 2 ïî y + 3x y = 1 (4) ï = 3x 2 + y 2 ïî y ìï( x + y)3 = 3 ìx + y = 3 3 Lấy (3) ± 4 ta được: í 3 Û í ïî( x - y) = 1 îx - y = 1 æ 3 3 +1 3 3 -1ö Nghiệm: ç ; ÷. è 2 2 ø ìï x 2 + y 2 + 4 xy = 6 (1) Bài 15. Giải hệ phương trình sau: í 2 ïî2 x + 8 = 3y + 7 x (2) éx = 2 - y 2 2 · Lấy (1) + (2) ta được: 3x + (4 y - 7) x + y - 3y + 2 = 0 Û ê 1- y . êx = ë 3 Trang 11
  13. Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Nghiệm: ìï x 2 + xy + y 2 = 3 (1) Bài 16. Giải hệ phương trình sau: í 2 ïî x + 2 xy - 7 x - 5y + 9 = 0 (2) éy = 3 - 2x · Lấy (1) + (2) ta được: (2 x + y - 3)( x + y - 2) = 0 Û ê ëy = 2 - x Nghiệm: (1;1),(2; -1) . ì 4 3 1 ï x + 2y - x = - 4 + 3 3 (1) Bài 17. Giải hệ phương trình sau: í ïy4 + 2 x3 - y = - 1 - 3 3 (2) î 4 1 · Lấy (1) + (2) ta được: x 4 + 2 x 3 - x + y 4 + 2 y3 - y = - 2 1 1 Û ( x 2 + x )2 - ( x 2 + x ) + + ( y 2 + y)2 - ( y 2 + y) + = 0 4 4 ì -1 - 3 æ 2 2 1ö æ 2 1ö 2 ïï x = Û çx + x - ÷ +çy + y - ÷ = 0Û í 2 è 2ø è 2ø ï y = -1 + 3 ïî 2 æ -1 - 3 -1 + 3 ö Nghiệm: ç ; ÷. è 2 2 ø ì x 2 - 4 xy + 4 z2 + 12 = 0 (1) ï 2 Bài 18. Giải hệ phương trình sau: í y - 4 yz + x 2 - 12 = 0 (2) ï16 z2 - 8 xz + 4 y 2 = 0 (3) î ì x = 2y 2 2 2 ï · Lấy (1) + (2) + (3) ta được: ( x - 2 y ) + (4z - x ) + ( y - 2 z) = 0 Û í x = 4z ïî y = 2z Thay vào HPT ta được: z2 = 1 Þ z = ±1 . Nghiệm: (4;2;1),(-4; -2; -1) . ìï x 3 - y 3 = 35 (1) Bài 19. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 ïî2 x + 3y = 4 x - 9 y (2) · Lấy (1) - 3 ´ (2) , ta được ( x - 2)3 = (3 + y )3 Þ x = y + 5 . Nghiệm: (3; -2),(2; -3) . ìï x 3 + y 3 = 9 (1) Bài 20. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 ïî x + 2 y = x + 4 y (2) · Lấy (1) - 3 ´ (2) , ta được ( x - 1)3 = (2 - y)3 Þ x = 3 - y . Nghiệm: (2;1),(1;2) . ìï x 3 + y 3 = 91 (1) Bài 21. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 ïî4 x + 3y = 16 x + 9 y (2) · Lấy (1) - 3 ´ (2) , ta được ( x - 4)3 = (3 - y)3 Þ x = 7 - y . Nghiệm: (3;4),(4;3) . Trang 12
  14. Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn ì xy - 3 x - 2 y = 16 (1) Bài 22. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 î x + y - 2 x - 4 y = 33 (2) · Lấy 2 ´ (1) + (2) , ta được ( x + y)2 - 8( x + y) - 65 = 0 Û ( x + y + 5)( x + y - 13) = 0 éx + y + 5 = 0 Û ê ë x + y - 13 = 0 Nghiệm: ì2 xy + 3 x + 4 y = - 6 (1) Bài 23. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 î x + 4 y + 4 x + 12 y = 3 (2) é x + 2 y = -1 · Lấy 2 ´ (1) + (2) , ta được ( x + 2 y )2 + 10( x + 2 y) + 9 = 0 Û ê ë x + 2 y = -9 Nghiệm: ìï x 2 + xy - y 2 + 3y + 4 = 0 (1) Bài 24. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 ïî x + 2 xy - 2 y + 11x + 6 y - 2 = 0 (2) éx = 1 · Lấy 2 ´ (1) - (2) , ta được x 2 - 11x + 10 = 0 Û ê ë x = 10 Nghiệm: ì 2 2 1 ïx + y = 5 (1) Bài 25. Giải hệ phương trình sau: í ï4 x 2 + 3 x - 57 = - y(3 x + 1) (2) î 25 é 7 2 ê3 x + y = 5 · Lấy (1) ´ 25 + (2) ´ 50 , ta được 25(3 x + y) + 50(3x + y) - 119 = 0 Û ê ê3 x + y = - 17 ë 5 æ 2 1 ö æ 11 2 ö Nghiệm: ç ; ÷ , ç ; ÷ . è 5 5 ø è 25 25 ø ìï x 3 + 3 xy 2 = -49 (1) Bài 26. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 ïî x - 8 xy + y = 8y - 17 x (2) é x = -1 · Lấy (1) + 3 ´ (2) ta được: ( x + 1) éë( x + 1)2 + 3( y - 4)2 ùû = 0 Û ê ë x = -1, y = 4 Nghiệm: (-1;4),(-1; -4) . ìï6 x 2 y + 2 y 3 + 35 = 0 (1) Bài 27. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 ïî5 x + 5y + 2 xy + 5 x + 13y = 0 (2) é 5 é æ ö ù êy = - 2 2 2 1 ö æ 5 · Lấy (1) + 3 ´ (2) ta được: (2 y + 5) ê3 ç x + ÷ + ç y + ÷ ú = 0 Û ê ëê è 2ø è 2 ø ûú êx = - 1 , y = - 5 ë 2 2 æ1 5ö æ 1 5ö Nghiệm: ç ; - ÷ , ç - ; - ÷ . è2 2ø è 2 2ø ìï x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 3 x = 0 (1) Bài 28. Giải hệ phương trình sau: í 2 ïî y + xy + 3y + 1 = 0 (2) Trang 13
  15. Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng é x + 2y + 1 = 0 · Lấy (1) + 2 ´ (2) ta được: ( x + 2 y )2 + 3( x + 2 y) + 2 = 0 Û ê ë x + 2y + 2 = 0 æ 1- 5 ö æ 1+ 5 ö Nghiệm: (-3 - 2 2;1 + 2),(-3 + 2 2;1 - 2) , ç -3 + 5; ÷ , ç -3 - 5; ÷. è 2 ø è 2 ø ìï x 4 - y 4 = 240 (1) Bài 29. Giải hệ phương trình sau: í 3 3 2 2 ïî x - 2 y = 3( x - 4 y ) - 4( x - 8y ) (2) éx = y - 2 · Lấy (1) - 8 ´ (2) ta được: ( x - 2)2 = ( y - 4)4 Û ê . ëx = 6 - y Nghiệm: (4;2),(-4; -2) . ìï x 2 + 3y = 9 (1) Bài 30. Giải hệ phương trình sau: í 4 2 ïî y + 4(2 x - 3)y - 48y - 48x + 155 = 0 (2) 2 · Lấy 16 ´ (1) + (2) ta được: éë y 2 + 2(2 x - 3)ùû = 25 Nghiệm: ìï2 x 3 + 3x 2 y = 5 (1) Bài 31. Giải hệ phương trình sau: í 3 2 ïî y + 6 xy = 7 (2) · Lấy 4 ´ (1) + (2) ta được: 8x 3 + 12 x 2 y + 6 xy 2 + y3 = 27 Û (2 x + y )3 = 27 Û 2 x + y = 3 æ 5 - 105 7 + 105 ö æ 5 + 105 7 - 105 ö Nghiệm: (1;1), ç ; ÷ ,ç ; ÷. è 8 4 ø è 8 4 ø ìï x 3 - y 3 = 9 (1) Bài 32. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 ïî x + 2 y - x + 4 y = 0 (2) · Lấy (1) - 3 ´ (2) ta được: ( x - 1)3 = ( y + 2)3 Û x = y + 3 . Nghiệm: (2; -1),(1; -2) . ìï3( x 3 - y 3 ) = 4 xy (1) Bài 33. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 ïî x y = 9 (2) · Từ (2): x 2 y 2 = 9 Û xy = ±3 . · Khi: xy = 3 , ta có: x 3 - y3 = 4 và x 3 . ( - y3 ) = -27 Suy ra: x 3;(- y3 ) là các nghiệm của phương trình: X 2 - 4 X - 27 = 0 Û X = 2 ± 31 Vậy nghiệm của Hệ PT là x = 3 2 + 31, y = - 3 2 - 31 hoặc x = 3 2 - 31, y = - 3 2 + 31 . · Khi: xy = -3 , ta có: x 3 - y3 = -4 và x 3 . ( - y3 ) = 27 Suy ra: x 3 ;(- y 3 ) là nghiệm của phương trình: X 2 + 4 X + 27 = 0 (PTVN ) ì 1 1 ïx - = y - (1) Bài 34. Giải hệ phương trình sau: í x y (A - 2003) ï2 y = x 3 + 1 (2) î æ 1 ö éx = y · Điều kiện: xy ¹ 0. Ta có: (1) Û ( x - y ) ç 1 + ÷ = 0 Û ê è xy ø ë xy = -1 Trang 14
  16. Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn éx = y = 1 ê ê x = y = -1 + 5 ìx = y ìx = y Trường hợp 1: í 3 Û í 2 Û î2 x = x + 1 î( x - 1)( x + x - 1) = 0 ê 2 ê -1 - 5 êx = y = ë 2 ì 1 ì 1 y=- ì xy = -1 ïï x ïy = - Trường hợp 2: í 3 Ûí Ûí x î2 y = x + 1 ï- 2 = x 3 + 1 ï x 4 + x + 2 = 0 (VN ) ïî x î æ -1 - 5 -1 - 5 ö æ -1 + 5 -1 + 5 ö Nghiệm (1;1), ç ; ÷, ç ; ;÷ . è 2 2 ø è 2 2 ø ìï x 2 ( y + 1)( x + y + 1) = 3x 2 - 4 x + 1 (1) Bài 35. Giải hệ phương trình sau: í 2 ïî xy + x + 1 = x (2) x2 - 1 · Dễ thấy x = 0 không thoả mãn (2) nên (2) Û y + 1 = , thay vào (1) ta được: x x2 - 1 æ x2 - 1 ö x2. çx+ ÷ = 3x 2 - 4 x + 1 Û ( x - 1)(2 x 3 + 2 x 2 - 4 x ) = 0 Û x = 1; x = -2 . x è x ø æ 5ö Þ Hệ có nghiệm: (1; -1), ç -2; - ÷ . è 2ø ìï y 2 = (5 x + 4)(4 - x ) (1) Bài 36. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 ïî y - 5 x - 4 xy + 16 x - 8y + 16 = 0 (2) · Từ (1) Þ y 2 = -5 x 2 + 16 x + 16 . éy = 0 Thay vào (2) ta được: 2 y 2 - 4 xy - 8y = 0 Û ê ëy = 2x + 4 é 4 · Với y = 0 Þ -5x 2 + 16 x + 16 = 0 Û ê x = - 5 êx = 4 ë · Với y = 2 x + 4 Þ (2 x + 4)2 = -5 x 2 + 16 x + 16 Û x = 0 Þ y = 4. æ 4 ö Kết luận: Nghiệm (x; y): (0; 4), (4; 0), ç - ; 0 ÷ . è 5 ø ì xy + x - 7 y = -1 (1) Bài 37. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 2 î x y + xy - 13y = -1 (2) é x = 3y · Từ (1) Þ xy + 1 = 7 y - x . Thay vào (2) ta được: x 2 - 15 xy + 36 y 2 = 0 Û ê ë x = 12 y æ 1ö Nghiệm: (3;1), ç 1; ÷ . è 3ø ì xy = x + 7y + 1 (1) Bài 38. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 2 î x y = 10 y - 1 (2) 2 7y + 1 æ 7y + 1 ö 2 2 · Từ (1) Þ x = . Thay vào (2) ta được: ç ÷ y = 10 y - 1 y -1 è y - 1 ø Trang 15
  17. Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng é y = -1 ( x = 3) Û 39 y 4 + 34 y3 - 8y 2 - 2 y + 1 = 0 Û ê 1 ê y = - ( x = 1) ë 3 æ 1ö Nghiệm: (3; -1), ç 1; - ÷ . è 3ø ìï y 2 - xy + 1 = 0 (1) Bài 39. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 ïî x + y + 2 x + 2 y + 1 = 0 (2) é x = -2 · Từ (1) Û y 2 + 1 = xy . Thay vào (2) ta được: ( x + 2)( x + y ) = 0 Û ê ë x = -y Nghiệm: (-2; -1) . ìï x 4 - 4 x 2 + y 2 - 6 y + 9 = 0 (1) Bài 40. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 ïî x y + x + 2 y - 22 = 0 (2) 22 - x 2 · Từ (2) Þ y = . Thay vào (1) ta được: x2 + 2 2 4 2 æ 22 - x 2 ö 16( x 2 - 4)2 x - 4 x + çç - 3 ÷÷ = 0 Û x 2 ( x 2 - 4) + =0 è x2 + 2 ø ( x 2 + 2)2 é x = -2 ( y = 3) êx = 2 ( y = 3) Û ( x 2 - 4)( x 6 + 4 x 4 + 20 x 2 - 64) = 0 Û ê êx = - 2 ( y = 5) êë x = 2 ( y = 5) ìï x 2 + 2 y 2 = xy + 2 y (1) Bài 41. Giải hệ phương trình sau: í 3 2 2 2 ïî2 x + 3 xy = 2 y + 3 x y (2) · Với y = 0 Þ x = 0 là nghiệm của hệ. Với y ¹ 0 , nhân (1) với - y rồi cộng với (2), ta được: 2 x 3 - 4 x 2 y + 4 xy 2 - 2 y 3 = 0 Û x = y Nghiệm: (1;1),(0; 0) . ìï( x - 1)2 + 6( x - 1) y + 4 y 2 = 20 (1) Bài 42. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 ïî x + (2 y + 1) = 2 (2) ì x+9 ïy = · HPT Û í 3x - 5 . ïî x 2 + 4 y 2 = 1 - 4 y Nghiệm: (-1; -1) . ì x + 3y ïx + 2 =3 (1) ï 2 x + y Bài 43. Giải hệ phương trình sau: í ï y - y - 3x = 0 (2) ïî x 2 + y2 · + Với x = 0 Þ y = 1 Þ (0;1) là 1 nghiệm của HPT. + Với y = 0 không thoả HPT. xy + 3y 2 + Với x ¹ 0, y ¹ 0 ta có: (1) Û xy + = 3y (3) x 2 + y2 Trang 16
  18. Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn xy - 3x 2 (2) Û xy - =0 (4) x 2 + y2 3 æ y -1ö Lấy (3) + (4) ta được: 2 xy + 3 = 3y Û x = ç ÷ 2è y ø Nghiệm: ì 6 1 ï8 x - xy = y - 3 x 4 (1) Bài 44. Giải hệ phương trình sau: í 2 ïî x 3 - 4 x 2 y = y (2) 8x 6 + 3x 2 x3 · (1) Û y = ; (2) Û y = x+2 4x2 + 1 8x 6 + 3 x 2 x3 Từ đó: = Þ x 3 (64 x 6 + 16 x 4 + 23 x 2 - 2 x + 6) = 0 Þ x = 0( y = 0) x+2 2 4x + 1 Nghiệm: (0;0) . ì x ( x + y + 1) - 3 = 0 ï Bài 45. Giải hệ phương trình sau: í( x + y )2 - 5 + 1 = 0 (D – 2009) ïî x2 ì 3 ì 3 ïï x + y = x - 1 ïï x + y = x - 1 · Vì x ¹ 0 nên HPT Û í Ûí 5 4 6 ï( x + y )2 - +1 = 0 ï - +2= 0 ïî x 2 ïî x 2 x ì1 1 ì1 = ï =1 ïï æ 3ö Û íx Ú í x 2 . Nghiệm: (1;1), ç 2; - ÷ . 1 è 2ø îï x + y = 2 ïï x + y = î 2 ìï x 3 - 8 x = y 3 + 2 y Bài 46. Giải hệ phương trình sau: í 2 (DB A – 2006) 2 ïî x - 3 = 3( y + 1) ìï3( x 3 - y3 ) = 6(4 x + y ) (1) · Hệ PT Û í 2 2 . ïî x - 3y = 6 (2) Thế (2) vào (1) ta được: 3( x 3 - y 3 ) = ( x 2 - 3y 2 )(4 x + y) Û x 3 + x 2 y - 12 xy 2 = 0 éx = 0 Û ê x = 3y . ê ë x = -4 y æ 6 6 ö æ 6 6 ö Nghiệm (x; y): (3;1), (-3; -1), ç -4. ; ÷ , ç 4. ;- ÷. è 13 13 ø è 13 13 ø ì x 3 - y3 = 7 Bài 47. Giải hệ phương trình sau: í î xy( x - y) = 2 ì 3 3 · Hệ PT Û í2( x - y ) = 14 (1) . î xy( x - y) = 2 (2) Trang 17
  19. Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng éx = y Thay (2) vào (1) ta được: ( x - y)(2 x - 5 xy + 2 y ) = 0 Û ê x = 2 y . 2 2 ê ëy = 2x Nghiệm: (2;1),(-1; -2) . ìï2 x 3 - 9 y 3 = ( x - y )(2 xy + 3) (1) Bài 48. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 ïî x - xy + y = 3 (2) · Thay (2) vào (1) ta được: 2 x 3 - 9 y3 = x 3 - y3 Û x = 2 y Nghiệm: (2;1),(-2; -1) . ìï x 3 + 4 y = y 3 + 16 x (1) Bài 49. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 ïî1 + y = 5(1 + x ) (2) · Từ (2) suy ra y 2 –5x 2 = 4 (3). Thế vào (1) được: éx = 0 x 3 + ( y 2 –5 x 2 ) .y = y 3 + 16 x Û x 3 –5 x 2 y –16 x = 0 ê 2 ë x - 5 xy - 16 = 0 · Với x = 0 Þ y 2 = 4 Û y = ±2 . 2 x 2 - 16 · Với x –5 xy –16 = 0 Û y = (4). Thế vào (3) được: 5x 2 æ x 2 - 16 ö ç ÷ - 5 x 2 = 4 Û x 4 –32 x 2 + 256 –125 x 4 = 100 x 2 è 5x ø é x = 1 ( y = -3) Û 124 x 4 + 132 x 2 –256 = 0 Û x 2 = 1 Û ê . ë x = -1 ( y = 3) Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3) ì(2 x 2 + y )( x + y ) + x (2 x + 1) = 7 - 2 y (1) Bài 50. Giải hệ phương trình sau: í î x (4 x + 1) = 7 - 3y (2) é 2 · Thế 7 = 4 x 2 + x + 3y ở (2) vào (1) ta được: (2 x 2 + y )( x + y) = 2 x 2 + y Û ê y = -2 x ëy = 1 - x æ 1 - 17 3 + 17 ö æ 1 + 17 3 - 17 ö Nghiệm: ç ; ÷ ,ç ; ÷. è 4 4 ø è 4 4 ø ìï x 3 + 7 y = ( x + y )2 + x 2 y + 7 x + 4 (1) Bài 51. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 ïî3x + y + 8y + 4 = 8 x (2) · Ta có: (2) Û 4 = 8 x - 3x 2 - y 2 - 8y . éx = y Thay vào (1) ta được: ( x - y )( x 2 + 2 x - 15) = 0 Û ê x = 3 . ê ë x = -5 Nghiệm: (3; -1),(3; -7) . ìï x 3 + y 3 - xy 2 = 1 (1) Bài 52. Giải hệ phương trình sau: í 4 4 ïî4 x + y - 4 x - y = 0 (2) · Thay (1) vào (2) ta được: 4 x 4 + y 4 = (4 x + y)( x 3 + y3 - xy2 ) Trang 18
  20. Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn éx = 0 êy = 0 Û xy(3y 2 - 4 xy + x 2 ) = 0 Û ê . ê x = y êë x = 3y æ 3 1 ö Nghiệm: (0;1),(1;0),(1;1), ç ; ÷. 3 3 è 25 25 ø ìï2 y 2 - x 2 = 1 (1) Bài 53. Giải hệ phương trình sau: í 3 3 ïî2x - y = 2 y - x (2) · Thay (1) vào (2) ta được: 2 x 3 - y3 = (2 y - x )(2 y 2 - x 2 ) Û x 3 + 2 x 2 y + 2 xy 2 - 5y3 = 0 (3) x Dễ thấy y ¹ 0 . Đặt t = , ta có (3) Û t 3 + 2t 2 + 2t - 5 = 0 Û t = 1 Þ x = y . y Nghiệm: (1;1),(-1; -1) . ìï x 3 + y 3 = 1 (1) Bài 54. Giải hệ phương trình sau: í 2 2 3 ïî x y + 2 xy + y = 2 (2) · Thay (1) vào (2) ta được: x 2 y + 2 xy 2 + y3 = 2( x 3 + y 3 ) Û 2 x 3 - x 2 y - 2 xy 2 + y3 = 0 (3) ét = 1 éx = y x Dễ thấy y ¹ 0 . Đặt t = , ta có (3) Û 2t - t - 2t + 1 = 0 Û t = -1 Þ ê x = - y . 3 2 ê y ê ê êt = 1 ë2 x = y ë 2 æ 1 1 ö æ 1 2 ö Nghiệm: ç ; , ; . 3 3 ÷ ç3 3 ÷ è 2 2ø è 9 9ø ìï x 3 + y 3 + 2 xy( x + y) = 6 Bài 55. Giải hệ phương trình sau: í 5 5 ïî x + y + 30 xy = 32 ìï x 3 + y3 + 2 xy( x + y ) = 6 (1) · HPT Û í 5 5 . Thay (1) vào (2) ta được: ïî x + y + 6.5 xy = 32 (2) x 5 + y 5 + 5 éë x 3 + y 3 + 2 xy( x + y)ùû xy = 32 Û ( x + y )5 = 32 Û x + y = 2 Nghiệm: ì x( x + y) = 6 Bài 56. Giải hệ phương trình sau: í 3 3 î x + y + 18y = 27 ì x( x + y) = 6 (1) · HPT Û í 3 3 . Thay (1) vào (2) ta được: î x + y + 6.3y = 27 (2) x 3 + y 3 + 3 xy( x + y) = 27 Û ( x + y )3 = 27 Û x + y = 3 Nghiệm: ìï x 2 + y 2 = 2 (1) Bài 57. Giải hệ phương trình sau: í 3 3 2 ïî x + y + xy = x + 2 y (2) · Thay (1) vào (2) ta được: x 3 + xy 2 = x + x 2 y Û x 2 + y 2 = 1 + xy Þ xy = 1 Nghiệm: (-1; -1),(1;1) . Trang 19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022
304 tài liệu
920 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2