TT Giáo viên & Gia sư ti TP Hu ðT:0905671232–0989824932
http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com
-
Trang
1
-
H phương trình trong các kỳ thi tuyn sinh ñi hc(ñ chính thc)
Trích t ñ thi tuyn sinh ði hc khi A-2014
Gii h phương trình sau:
( )
2
3
12 12 12
8 1 2 2
x y y x
x x y
− + − =
− − = −
trong ñó
(
)
,x y ∈
ℝ
Hưng dn gii
( )
( )
( )
2
3
12 12 12 1
8 1 2 2 2
x y y x
x x y
− + − =
− − = −
ðiu kin:
2 3 2 3
x− < ≤
;
2 12
y
≤ ≤
Ta có
( )
2
2
2
12
12 2
12
12 2
x y
x y
y x
y x
+ −
− ≤
+ −
− ≤
. Nên
(
)
2
12 12 12
x y y x
− + − ≤
. Do ñó:
( )
2
0
112
x
y x
≥
⇔
= −
Thay vào phương trình (2) ca h phương trình ta ñưc
(
)
( ) ( ) ( )
3 2 3 2
2
2
8 1 2 10 8 3 2 1 10 0
2 3
3 3 1 0 3
1 10
x x x x x x
x
x x x x
− − = − ⇔ − − + − − =
+
⇔ − + + + =
+ −
Do
0
x
≥
nên
(
)
2
2
2 3
3 1 0
1 10
x
x x x
+
+ + + >
+ −
Do ñó:
(
)
3 3
x
⇔ =
thay vào h phương trình và ñi chiu ñiu kin ta thu ñưc nghim ca
h phương trình là
(
)
(
)
; 3;3
x y =
.
Trích t ñ thi tuyn sinh ði hc khi B-2014:
Gii h phương trình sau:
( ) ( )
2
1 2 1
2 3 6 1 2 2 4 5 3
x x y x x y y
y x y x y x y
− − + = + − −
− + + = − − − −
trong ñó
(
)
,x y ∈
ℝ
Hưng dn gii
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
2
1 2 1 1
2 3 6 1 2 2 4 5 3 2
x x y x x y y
y x y x y x y
− − + = + − −
− + + = − − − −
ðiu kin:
0
2
4 5 3
y
x y
x y
≥
≥
≥ +
Ta có
( ) ( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
1 1 1 1 1 0
1 1
1 1 0 3
1 1
y x y x y y
y x y x y y
⇔ − − − + − − − =
⇔ − − − + =
− + +
Do
1 1
0
1 1x y y
+ >
− + +
nên phương trình (3) tương ñương vi
1
1
y
y x
=
= −
Vi
1
y
=
, phương trình (2) tr thành
9 3 0 3
x x
− = ⇔ =
TT Giáo viên & Gia sư ti TP Hu ðT:0905671232–0989824932
http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com
-
Trang
2
-
Vi
1
y x
= −
, ñi chiu ñiu kin thì phương trình 2 tr thành
(
)
(
)
( )
2 2
2
2 3 2 2 1 1 2 0
1
1 2 0
1 2
x x x x x x x
x x x x
− − = − ⇔ − − + − − − =
⇔ − − + =
− + −
Do
1
2 0
1 2x x
+ >
− + −
nên (3)
2
1 5
1 0
2
x x x ±
− − = ⇔ =
ði chiu ñiu kin và kt hp vi trưng hp trên ta ñưc nghim ca h phương trình ñã
cho là
( ) ( )
1 5 1 5
; 3;1 , ;
2 2
x y
+ − +
=
Trích t ñ thi tuyn sinh ði hc khi D-2014:
Gii bt phương trình
(
)
(
)
2
1 2 6 7 7 12
x x x x x x
+ + + + + ≥ + +
H
ư
ng d
n gi
i
ðiu kin:
2
x
≥ −
. Bt phương trình ñã cho tương ñương vi
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( ) ( )
2
1 2 2 6 7 3 2 8 0
1 6
2 4 0 1
2 2 7 3
x x x x x x
x x
x x
x x
+ + − + + + − − + − ≥
+ +
⇔ − + − − ≥
+ + + +
Do
2
x
≥
nên
2 0
x
+ ≥
và
6 0
x
+ >
. Suy ra
1 6 2 2 6 6 1
4 0
2 2
2 2 7 3 2 2 7 3 2 2
x x x x x x
x
x x x x x
+ + + + + +
+ − − = − + − − <
+ + + + + + + + + +
Do ñó
(
)
1 2
x
⇔ ≤
ði chiu ñiu kin, ta ñưc nghim ca bt phương trình ñã cho là
2 2
x
− ≤ ≤
Trích t ñ thi tuyn sinh ði hc khi A-2013:
Gi
i h
ph
ươ
ng trình sau:
( )
4
4
2 2
1 1 2
2 1 6 1 0
x x y y
x x y y y
+ + − − + =
+ − + − + =
trong
ñ
ó
(
)
,x y ∈
ℝ
H
ư
ng d
n gi
i
ðiu kin:
1
x
≥
T phương trình (2) ca h phương trình ta ñưc
( )
2
4 1 , 0
y x y y
= + − ⇒≥
ðt
4
1, 0
u x u
= − ⇒≥
. Phương trình (1) ca h phương trình tr thành
( )
4 4
2 2 3
u u y y++= ++
Xet hàm s
( )
4
2
f t t t
= + +
, Vi mi
0
t
≥
.
Ta có:
( )
3
4
2
' 1 0
2
t
f t t
= + >
+
,Vi mi
0
t
≥
.
Do ñó phương trình (3) tương ñương vi
y u
=
, nghĩa là
4
1
x y
= +
Thay vào phương trình (2) ta thu ñưc
(
)
(
)
7 4
2 4 0 4
y y y y+ + − =
Hàm s
(
)
7 4
2 4
f y y y y
= + + −
có
(
)
6 3
' 7 8 1 0
g y y y
= + + >
, vi mi
0
y
≥
Mà
(
)
1 0
g
=
, nên phương trình (4) có hai nghim không âm là
0
1
y
y
=
=
Vi
0
y
=
ta ñưc nghim ca
(
)
(
)
; 1;0
x y =
Vi
1
y
=
ta ñưc nghim là
(
)
(
)
; 2;1
x y =
TT Giáo viên & Gia sư ti TP Hu ðT:0905671232–0989824932
http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com
-
Trang
3
-
Vy h phương trình có hai nghim là
(
)
(
)
(
)
; 1;0 , 2;1
x y =
Trích t ñ thi tuyn sinh ði hc khi B-2013:
Gii h phương trình sau:
2 2
2 2
2 3 3 2 1 0
4 4 2 4
x y xy x y
x y x x y x y
+ − + − + =
− + + = + + +
trong ñó
(
)
,x y ∈
ℝ
Hưng dn gii
ðiu kin:
2 0
4 0
x y
x y
+ ≥
+ ≥
T phương trình (1) ca h ta thu ñưc
1
2 1
y x
y x
= +
= +
Vi
1
y x
= +
, thay vào phương trình (2) ta ñưc
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
3 3 3 1 5 4
3 1 3 1 2 5 4 0
1 1
3 0
1 3 1 2 5 4
1
00
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x
x x x
− + = + + +
⇔ − + + − + + + − + =
⇔ − + + =
+ + + + + +
=
⇔ − = ⇔ =
Khi ñó ta thu ñưc nghim
(
)
(
)
(
)
; 0;1 , 1;2
x y =
Vi
2 1
y x
= +
, thay vào phương trình (2) ca h phương trình ta ñưc
( ) ( )
3 3 4 1 9 4
3 4 1 1 9 4 2 0
4 9
3 0 0
4 1 1 9 4 2
x x x
x x x
x x
x x
− = + + +
⇔ + + − + + − =
⇔ + + = ⇔ =
+ + + +
Khi ñó nghim ca h phương trình là
(
)
(
)
; 0;1
x y =
Trích t
ñ
thi tuy
n sinh Cao
ñ
ng kh
i A-2013:
Gi
i h
ph
ươ
ng trình sau:
2
3 1 0
4 12 0
xy y
x y xy
− + =
− + =
trong
ñ
ó
(
)
,x y ∈
ℝ
H
ư
ng d
n gi
i
H phương trình ñưc ñưc vit li
(
)
( )
2
3 1 0 1
4 12 0 2
xy y
x y xy
− + =
− + =
Nhn xét
0
y
=
không tha mãn phương trình (1).
T phương trình (1) ta ñưc
( )
3 1
3
y
xy
−
=
Thay vào phương trình (2) ca h phương trình ta ñưc
TT Giáo viên & Gia sư ti TP Hu ðT:0905671232–0989824932
http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com
-
Trang
4
-
3 2
1
3 11 12 4 0 2
2
3
y
y y y y
y
=
− + − = ⇔ =
=
Vy nghim ca h tích phân là
( ) ( )
5 3 2
; 2;1 , ; 2 , ;
2 2 3
x y
=
Trích t
ñ
thi tuy
n sinh
ð
i h
c kh
i D-2012: Gi
i h
ph
ươ
ng trình sau
3 2 2 2
2 0
2 2 0
xy x
x x y x y xy y
+ − =
− + + − − =
trong
ñ
ó
(
)
,x y ∈
ℝ
H
ư
ng d
n gi
i
H
ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho t
ươ
ng
ñươ
ng v
i
(
)
( )
( )
( )
2
2 0 1
2 1 0 2
xy x
x y x y
+ − =
− + − =
V
i
2 1 0 2 1
x y y x
− + = ⇔ = +
thay vào ph
ương trình 1 ca h ta ñưc
2
1 5
1 0
2
x x x − ±
+ − = ⇔ = .
Do
ñ
ó ta có các nghi
m
( ) ( )
1 5 1 5
; ; 5 , ; ; 5
2 2
x y x y
− + − −
= = −
V
i
2 2
0 .
x y y x
− = ⇔ = Thay vào ph
ươ
ng trình (1) c
a h
ph
ươ
ng trình ta
ñư
c
(
)
(
)
3 2
2 0 1 2 0 1
x x x x x x
+ − = ⇔ − + + = ⇔ =
. Do
ñ
ó ta
ñư
c nghi
m
(
)
(
)
; 1;1
x y =
V
y nghi
m c
a h
ph
ươ
ng trình
(
)
;
x y
ñ
ã cho
là 1 5 1 5
; 5 , ; 5
2 2
− + − − −
và
(
)
1;1
Trích t
ñ
thi tuy
n sinh
ð
i h
c kh
i A-2012: Gi
i h
ph
ươ
ng trình sau
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
− − + = + −
+ − + =
trong ñó
(
)
,x y ∈
ℝ
Hưng dn gii
Ta có:
(
)
( )
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9 1
1
2
2
x x x y y y
x y x y
− − + = + −
+ − + =
H phương trình ñã cho tương ñương vi
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
2 2
1 12 1 1 12 1
1 1 1
2 2
x x y y
x y
− − − = + − +
+ + + =
T (2), suy ra
1 3 1
1 1 1
2 2 2
1 1 3
1 1 1
2 2 2
x x
y y
− ≤ − ≤ − ≤ − ≤
⇔
− ≤ − ≤ − ≤ − ≤
Xét hàm s
(
)
3
12
f t t t
= −
trên
3 3
;
2 2
−
;
(
)
(
)
2
' 3 4 0
f t t
= − <
, suy ra
(
)
f t
là hàm nghch bin.
Do ñó (1) tương ñương
(
)
1 1 2 3
x y y x− = + ⇔ = −
TT Giáo viên & Gia sư ti TP Hu ðT:0905671232–0989824932
http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com
-
Trang
5
-
Thay vào (2), ta ñưc
2 2
2
1
1 3
2
1 4 8 3 0
3
2 2
2
x
x x x x
x
=
− + − = ⇔ − + = ⇔
=
Thay vào phương trình (3), ta ñưc nghim ca h phương trình
(
)
;
x y
là
1 3
;
2 2
−
ho
c
3 1
;
2 2
−
Trích t
ñ
thi tuy
n sinh
ð
i h
c kh
i A-2011: Gi
i h
ph
ươ
ng trình sau
(
)
( )
( )
2 2 3
2
2 2
5 4 3 2 0
2
x y xy y x y
xy x y x y
− + − + =
+ + = +
trong
ñ
ó
(
)
,x y ∈
ℝ
H
ư
ng d
n gi
i
Ta có:
(
)
(
)
( )
( ) ( )
2 2 3
2
2 2
5 4 3 2 0 1
2 2
x y xy y x y
xy x y x y
− + − + =
+ + = +
T
ph
ươ
ng trình (2) t
ươ
ng
ñươ
ng
( )
( )
2 2
2 2
1
1 2 0
2
xy
xy x y x y
=
⇔ − + − = ⇔
+ =
+
1;
xy
=
t phương trình (1) suy ra
4 2
2 1 0 1
y y y
− + = ⇔ = ±
Do ñó, nghim
(
)
(
)
; 1;1
x y =
hoc
(
)
(
)
; 1; 1
x y
= − −
+
2 2
2
x y
+ =
, t phương trình (1) suy ra
(
)
(
)
( )
( )( )
2 2 2 2
2 2
3 4 2 2 0
6 4 2 2 0
1
1 2 0 2
y x y xy x y x y
y xy x y x y
xy
xy y x x y
+ − + − + =
⇔ − + − + =
=
⇔ − − = ⇔ =
Vi
2
x y
=
, t
( )
2 2
2 10 10
2 ; ;
5 5
x y x y
+ = ⇒=
ho
c
( )
2 10 10
; ;
5 5
x y
= − −
V
y h
ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho cho 4 nghi
m
( ) ( )
2 10 10
1;1 , 1; 1 , ;
5 5
− −
2 10 10
;
5 5
− −
Trích t
ñ
thi tuy
n sinh
ð
i h
c kh
i D-2011: Tìm m
ñ
h
ph
ươ
ng trình sau có nghi
m
(
)
3 2
2
2 2
1 2
x y x xy m
x x y m
− + + =
+ − = −
trong
ñ
ó
(
)
,x y ∈
ℝ
H
ư
ng d
n gi
i
ð
t
2
1
, ; 2
4
u x x u v x y
= − ≥ − = −
H
ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho tr
thành
(
)
(
)
2
2 1 0 1
1 2 1 2
uv m u m u m
u v m v m u
=+ − + =
⇔
+ = − = − −
H
ph
ươ
ng trình có nghi
m khi và ch
khi ph
ươ
ng trình (1) có nghi
m th
a mãn
1
4
u
≥ −
V
i
1
4
u
≥ −
, ta có : (1)
( )
2
2
2 1
2 1
u u
u u u m
u
− +
⇔ + = − + ⇔ =
+
Xét hàm s
( )
2
2 1
u u
f u
u
− +
=
+
V
i
1
4
u
≥ −
, ta có
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 1 1 3
' ; ' 0 2
2 1
u u
f u f u u
u
+ − − +
= − = ⇔ =
+
![Truyện tranh Gấu Trúc Thích Vẽ [Mới Nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250726/TVSDLibK12/135x160/954_gau-truc-thich-ve.jpg)
![Truyện tranh Hươu cao cổ bị cận thị [Mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250725/TVSDLibK12/135x160/97_truyen-tranh-huou-cao-co-bi-can-thi.jpg)
![Vui học cùng bé: Tìm và nối chữ [Hướng dẫn chi tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250725/thuthao00/135x160/971_vui-hoc-cung-be-tim-va-noi-chu.jpg)
![Trò chơi săn chữ: Khám phá chữ cái [Mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250725/thuthao00/135x160/66711753416654.jpg)
![Tập viết các nét cơ bản [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250724/kimanh00/135x160/80_tap-viet-cac-net-co-ban.jpg)
