HĐBM Toán An Giang-Tài liu tham kho Ôn tp thi TN
Trang
64
Chuyên đ7
PHƯƠNG PHÁP TA Đ TRONG KHÔNG GIAN
ℑ
ℑℑ
ℑ 1 TA Đ ĐIM VÀ VECTƠ
A. CÁC KIN THC CƠ BN:
I. Ta đ đim :
Trong không gian vi h ta đ Oxyz:
1.
( ; ; )
M M M M M M
M x y z OM x i y j z k
⇔ = + +
2. Cho A(x
A
;y
A
;z
A
) và B(x
B
;y
B
;z
B
) ta có:
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
;
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
3. M là trung đim AB thì M
+++
2
;
2
;
2
BABABA
zzyyxx
II. Ta đ ca véctơ:
Trong không gian vi h ta đ Oxyz .
1.
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=
⇔
1 2 3
a a i a j a k
= + +
2. Cho
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=
và
1 2 3
( ; ; )
b b b b
=
ta có
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=
= ⇔ =
=
1 1 2 2 3 3
( ; ; )
a b a b a b a b
± = ± ± ±
1 2 3
. ( ; ; )
k a ka ka ka
=
1 1 2 2 3 3
. . os(a; )
a b a b c b a b a b a b
= = + +
222
1 2 3
a a a a
= + +
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. . .
s( , )
.
a b a b a b
co a b
a a a b b b
+ +
=
+ + + +
(vi
0 , 0
a b
≠ ≠
)
a
và
b
vuông góc 1 1 2 2 3 3
. . . 0
a b a b a b
⇔ + + =
III. Tích có hưng ca hai vectơ và ng dng:
Tích có hưng ca
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=
và
1 2 3
( ; ; )
b b b b
=
là :
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
, ; ; ( ; ; )
b b b b b b
a b a b a b a b a b a b a b
= = − − −
HĐBM Toán An Giang-Tài liu tham kho Ôn tp thi TN
Trang
65
Chương trình chun Chương trình nâng cao
a
và
b
cùngphương
1 1
2 2
3 3
:
a kb
k R a kb a kb
a kb
=
⇔ ∃ ∈ = ⇔ =
=
a
,
b
,
c
đng phng , :
m n R c ma nb
⇔ ∃ ∈ = +
(
a
,
b
không cùng phương)
1.
Tính ch
t
:
,
a b a
⊥
,
,
a b b
⊥
, sin( , )
a b a b a b
=
a
và
b
cùng phương ⇔
, 0
a b
=
a
,
b
,
c
đng phng ⇔
, . 0
a b c
=
Din tích:
( )
2
2 2
1. .
2
ABC
S AB AC AB AC
= −
Th tích: V
ABCD
=
( )
1
. ,( )
3
ABC
S d C ABC
Th tích khi hp:
V
ABCD.A’B’C’D’
=
(
)
2 . ', ( )
ABC
S d A ABC
2.Các ng dng tích có hưng :
Din tích tam giác :
1
[ , ]
2
ABC
S AB AC
=
Thtích t dinV
ABCD=
1
[ , ].
6
AB AC AD

Th tích khi hp:
V
ABCD.A’B’C’D’
=
[ , ]. '
AB AD AA
V.Phương trình mt cu:
1. Mt cu (S) tâm I(a;b;c) bán kính r có phưong trình là :(x-a)
2
+ (y-b)
2
+ (z-c)
2
= r
2
2. Phương trình : x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D=0 vi A
2
+B
2
+C
2
-D>0
là phương trình mt cu tâm I(-A;-B;-C) , bán kính
2 2 2
r A B C D
= + + −
.
IV. Điu kin khác:( Kin thc b sung )
1. Nu M chia đon AB theo t s k (
MA kMB
=
) thì ta có :
; ;
1 1 1
A B A B A B
MMM
x kx y ky z kz
x y z
k k k
− − −
= = =
− − −
Vi k ≠ 1
2. G là trng tâm ca tam giác ABC ⇔
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
G G G
x x x y y y z z z
x y z
+ + + + + +
= = =
3. G là trng tâm ca t din ABCD ⇔
4
4
4
A B C D
G
A B C D
G
A B C D
G
x x x x
x
y y y y
y
z z z z
z
+ + +
=
+ + +
=
+ + +
=
BÀI TP
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)
a) Tính
, .( 3 )
AB AC O B
F
A C
= +
.
b) Chng t rng OABC là mt hình ch nht tính din tích hình ch nht đó.
c) Vit phương trình mt phng (ABC).
d) Cho S(0;0;5).Chng t rng S.OABC là hình chóp.Tính th tích khichóp đó
HĐBM Toán An Giang-Tài liu tham kho Ôn tp thi TN
Trang
66
Bài 2: Cho bn đim A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)
a) Chng minh rng A,B,C,D là bn đnh ca t din.
b) Tìm ta đ trng tâm G ca t din ABCD.
c) Tính các góc ca tam giác ABC.
d) Tính din tích tam giác BCD.
e) Tính th tích t din ABCD và đ dài đưng cao ca t din h t đnh A.
Bài 3: Cho hình hp ch nht ABCD.A’B’C’D’ bit A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0),
A’(0;0;3), C’(1;2;3).
a) Tìm ta đ các đnh còn li ca hình hp.
b) Tính th tích hình hp.
c) Chng t rng AC’ đi qua trng tâm ca hai tam giác A’BD và B’CD’.
d) Tìm ta đ đim H là hình chiu vuông góc ca D lên đon A’C.
Bài 4: Trong không gian Oxyz cho đim A(2;3;4). Gi M
1
, M
2
, M
3
ln lưt là hình chiu
ca A lên ba trc ta đ Ox;Oy,Oz và N
1
, N
2
, N
3
là hình chiu ca A lên ba mt phng
ta đ Oxy, Oyz, Ozx.
a) Tìm ta đ các đim M
1
, M
2
, M
3
và N
1
, N
2
, N
3
.
b) Chng minh rng N
1
N
2
⊥ AN
3
.
c) Gi P,Q là các đim chia đon N
1
N
2
, OA theo t s k xác đnh k đ PQ//M
1
N
1.
Bài 5:a/. Cho ba đim A(2 ; 5 ; 3), B(3 ; 7 ; 4), C(x ; y ; 6).Tìm x, y đ A, B, C thng
hàng
b/.Cho hai đim A(-1 ; 6 ; 6), B(3 ; -6 ; -2).Tìm đim M thuc mp(Oxy) sao cho
MA + MB nh nht.
c/. Tìm trên Oy đim cách đu hai đim A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1).
d/. Tìm trên mp(Oxz) đim cách đu ba đim A(1 ; 1; 1), B(-1 ; 1 ; 0), C(3 ;1 ; -1).
e/. Cho hai đim A(2 ; -1 ; 7), B(4 ; 5 ; -2). Đưng thng AB ct mp(Oyz) ti đim
M.
Đim M chia đan AB theo t s nào? Tìm ta đ đim M.
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(1 ; 1 ; 0), B(0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; 2), D(1 ; 1 ; 1)
a) Chng minh bn đim đó không đng phng. Tính th tích t din ABCD.
b) Tìm ta đ trng tâm ca tam giác ABC, trng tâm ca t din ABCD.
c) Tính din tích các mt ca t din ABCD
d) Tính đ dài các đưng cao ca t din ABCD
e) Tính góc gia hai đưng thng AB và CD.
f) Vit phương trình mt cu ngoi tip t din ABCD.
Bài 7: Cho bn đim A(2 ; -1 ; 6), B(-3 ; -1 ; -4), C(5 ; -1 ; 0), D(1 ; 2 ; 1).
a) Chng minh ABC là tam giác vuông.
b) Tính bán kính đưng tròn ni, ngai tip tam giác ABC.
c) Tính đ dài đưng phân giác trong ca tam giác ABC v t đnh C.
Bài 8 :Vit phương trình mt cu trong các trưng hp sau:
a) Tâm I(1 ; 0 ; -1), đưng kính bng 8.
b) Đưng kính AB vi A(-1 ; 2 ; 1), B(0 ; 2 ; 3)
HĐBM Toán An Giang-Tài liu tham kho Ôn tp thi TN
Trang
67
c) Tâm O(0 ; 0 ; 0) tip xúc vi mt cu tâm I(3 ; -2 ; 4) và bán kính R = 1
d) Tâm I(2 ;-1 ; 3) và đi qua A(7 ; 2 ; 1).
e) Tâm I(-2 ; 1 ; – 3) và tip xúc mp(Oxy).
Bài 9 :Vit phương trình mt cu trong các trưng hp sau:
a) Đi qua ba đim A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C( 2 ; 2 ; 3) và có tâm nm trên mp(Oxy).
b) Đi qua hai đim A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và có tâm thuc trc Oz.
c) Đi qua bn đim A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1)
Bài 10 :Cho phương trình x
2
+ y
2
+ z
2
– 4mx + 4y + 2mz + m
2
+ 4m = 0.Tìm m đ nó là
phương trình mt mt cu và tìm m đ bán kính mt cu là nh nht.
ℑ
ℑℑ
ℑ2. MT PHNG
A. CÁC KIN THC CƠ BN:
I. Phương trình mt phng:
§ Đnh nghĩa :
Trong không gian Oxyz phương trình dng Ax + By + Cz + D = 0
vi A
2
+B
2
+C
2
≠ 0 đưc gi là phương trình tng quát ca mt phng
Mt phng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có véctơ pháp tuyn là
( ; ; )
n A B C
=
Mt phng (P) đi qua đim M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và nhn
( ; ; )
n A B C
=
làm vectơ pháp tuyn
có phương trình dng: A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0.
Nu (P) có cp vectơ
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), b ( ; ; )
a a a a b b b
= =
không cùng phương và có giá song
song hoc nm trên (P) thì vectơ pháp tuyn ca (P) đưc xác đnh
,
n a b
=
§ Các trưng hp riêng ca phương trình mt phng :
Trong không gian Oxyz cho mp(
)
α
: Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó:
D = 0 khi và ch khi (
)
α
đi qua gc ta đ.
A=0 ,B
0
≠
,C
0
≠
, D
0
≠
khi và ch khi
( )
α
song song vi trc Ox
A=0 ,B = 0 ,C
0
≠
, D
0
≠
khi và ch khi
( )
α
song song mp (Oxy )
A,B,C,D
0
≠
. Đt
, ,
D D D
a b c
A B C
= − = − = −
Khi đó
( ) : 1
x y z
a b c
α
+ + =
(Các trưng hp khác nhn xét tương t)
II. V trí tương đ i ca hai mt phng
Trong không gian Oxyz cho (
α
): Ax+By+Cz+D=0 và (
α
’):A’x+B’y+C’z+D’=0
(
α
)ct (
α
’) ⇔ A : B : C ≠ A’: B’: C’
(
α
) // (
α
’) ⇔ A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
(
α
) ≡ (
α
’) ⇔ A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
Đc bit
HĐBM Toán An Giang-Tài liu tham kho Ôn tp thi TN
Trang
68
(
α
)
⊥
(
α
’)
1 2
. 0 . ' . ' . ' 0
n n A A B B C C
⇔ = ⇔ + + =
B. BÀI TP:
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho bn đim A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D( -1;1;2)
a) Vit phương trình mt phng (ABC).
b) Vit phương trình mt phng trung tr!c ca đon AC.
c) Vit phương trình mt phng (P) cha AB và song song vi CD.
d) Vit phương trình mt phng (Q) cha CD và vuông góc vi mp(ABC).
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mt phng (P): 2x – y + 2z - 4=0 và
(Q): x - 2y - 2z + 4=0
a) Chng t rng hai mt phng (P) và (Q) vuông góc nhau.
b) Vit phương trình tham s ca đưng thng (∆) là giao tuyn ca hai mt
phng đó.
c) Chng minh rng đưng thng (∆) ct trc Oz .Tìm ta đ giao đim.
d) Mt phng (P) ct ba trc ta đ ti ba đim A,B,C. Tính din tích tam giác
ABC.
e) Chng t rng gc ta đ O không thuc mt phng (P), t đó tính th tích t
din OABC.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho mt phng (P): 2x + y - z - 6 = 0
a) Vit phương trình mp (Q) đi qua gc ta đ O và song song vi mp (P).
b) Vit phương trình tham s, chính tc ca đưng thng đi qua gc ta đ O và
vuông góc vi mt mp(P).
c) Tính kho"ng cách t gc ta đ đn mt phng (P). ( TNPT năm 1993)
Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho hai mt phng (P): x + y – z +5 = 0 và (Q): 2x – z = 0
a) Chng t hai mt phng đó ct nhau
b) Lp phương trình mt phng (α) qua giao tuyn ca hai mt phng (P) và (Q)
và đi qua A(-1;2;3).
c) Lp phương trình mt phng (β) qua giao tuyn ca hai mt phng (P) và (Q)
và song song vi Oz.
d) Lp phương trình mt phng (
γ
) đi qua gc ta đ O và vuông góc vi hai mt
phng (P) và (Q).
Bài 5:Trong không gian Oxyz, cho đim M(2;1;-1) và mt phng (P) : 2x + 2y - z + 2 = 0
a) Tính đ dài đon vuông góc k t M đn mt phng (P).
b) Vit phương trình đưng thng (d) qua M vuông góc vi mt phng (P).
c) Vit phương trình mt phng (α) đi qua đim M song song Ox và hp vi mt
phng (P) mt góc 45
0
.
Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho hai mt phng (P): 2x + ky + 3z – 5 = 0 và
(Q): mx - 6y - 6z + 2 = 0
a) Xác đnh giá tr k và m đ hai mt phng (P) và (Q) song song nhau, lúc đó hãy
tính kho"ng cách gia hai mt phng.
b) Trong trưng hp k = m = 0 gi (d) là giao tuyn ca (P) và (Q), hãy tính
kho"ng cách t A(1;1;1) đn đưng thng (d).