Tài liệu tóm tắt lý thuyết về Phương pháp quy nạp toán học và hướng dẫn giải bài 1,2,3,4,5 trang 82,83 SGK Đại số và giải tích 11 có đáp án và gợi ý chi tiết nhằm giúp các em nắm được nội dung cốt lõi của bài học trong SGK. Mời các em cùng tham khảo
A. Tóm tắt lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học
1. Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n ∈ N*, ta thường dùng phương pháp
quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau:
Bước 1 (bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = 1.
Bước 2 ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥
1) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Khi đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận mệnh đề P(n) đùng với mọi n ∈ N*
2. Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề P(n) lf đúng vơi mọi số tự nhiên n ≥ p
(p là số tự nhiên) thì:
– Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = p.
Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ p) và chứng
minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
3. Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên tuy không phải là chứng minh nhưng cho phép
ta dự đoán được kết quả. Kết quả này chỉ là giá thuyết và để chứng minh ta có thể dùng
phương pháp quy nạp toán học.
Một số bài toán thường gặp
– Chứng minh các mệnh đề toán học liên quan đến lập luận lôgic.
– Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức.
– Dự đoán kết quả và chứng minh.
A. Giải bài tập sách giáo khoa bài phương pháp quy nạp toán học – Sách giáo khoa đại
số giải tích lớp 11 trang 82,83
Bài 1 trang 82 SGK Đại số và giải tích lớp 11
Trang | 1
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có đẳng thức:
Đáp án và hướng dẫn giải bài 1:
a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng
(3+1) / 2 = 2
Vậy VT = VP hệ thức a) đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi n ∈ N*
b) Với n = 1, vế trái bằng 1/2, vế phải bằng 1/2, do đó hệ thức đúng.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử hệ thức b) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Trang | 2
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Ta phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ∈ N*
c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng 1(1+1)(2+1) / 6 = 1 nên hệ thức c) đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Ta phải chứng minh
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
(đpcm)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi n ∈ N*
Bài 2 trang 82 SGK Đại số và giải tích lớp 11
Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có:
a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3;
b) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9;
c) n3 + 11n chia hết cho 6.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 2:
a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n
Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3
Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) ⋮ 3
Ta phải chứng minh rằng Sk+1 ⋮ 3
Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)
Trang | 3
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5
= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9
hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk⋮3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3) ⋮3 nên Sk+1 ⋮ 3.
Vậy (n3 + 3n2 + 5n) ⋮ 3 với mọi n ∈ N* .
b) Đặt Sn = 4n + 15n – 1
Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 ⋮9
Giả sử với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k – 1 chia hết cho 9.
Ta phải chứng minh Sk+1 ⋮ 9.
Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1
= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk ⋮ 9 nên 4S1 ⋮ 9, mặt khác 9(5k – 2) ⋮ 9, nên Sk+1 ⋮ 9
Vậy (4n + 15n – 1) ⋮ 9 với mọi n ∈ N*
c) Đặt Sn = n3 + 11n
Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 ⋮ 6
Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có Sk = k3 + 11k ⋮ 6
Ta phải chứng minh Sk+1 ⋮ 6
Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11
= ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4)
THeo giả thiết quy nạp thì Sk ⋮ 6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k2 + k +
4) ⋮ 6, do đó Sk+1 ⋮ 6
Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ∈ N*
Bài 3 trang 82 SGK Đại số và giải tích lớp 11
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:
a) 3n > 3n + 1; b) 2n + 1 > 2n + 3
Đáp án và hướng dẫn giải bài 3:
a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2
Trang | 4
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là
3k > 3k + 1 (1)
Nhân hai vế của (1) vơi 3, ta được:
3k + 1 > 9k + 3 ⇔ 3k + 1 > 3k + 4 + 6k -1.
Vì 6k – 1 > 0 nên
3k + 1 > 3k + 4 hay 3k + 1 > 3(k + 1) + 1.
tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Vậy 3n > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.
b) Với n = 2 thì vế trái bằng 8, vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức đúng với n = 2
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là
2k + 1 > 2k + 3 (2)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n= k + 1, nghĩa là phải chứng minh
2k + 2 > 2(k + 1) + 3 <=> 2k + 2 > 2k + 5
Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:
2k + 2 > 4k + 6 ⇔ 2k + 2 > 2k +5 + 2k + 1.
Vì 2k + 1> 0 nên 2k + 2 > 2k + 5
Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.
Bài 4 trang 83 SGK Đại số và giải tích lớp 11
Cho tổng với n ∈ N*
a) Tính S1, S2, S3.
b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 4:
Trang | 5
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
a) Ta có:
b) Từ câu a) ta dự đoán Sn=n/(n+1) (1), với mọi n ∈ N* .
Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp
Khi n = 1, vế trái là S1 =1/2, vế phải bằng 1/(1+1)=1/2. Vậy đẳng thức (1) đúng.
Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = ≥ 1, tức là
Ta phải chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh
Ta có
tức là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1.
Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.
Bài 5 trang 83 SGK Đại số và giải tích lớp 11
Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là
Đáp án và hướng dẫn giải bài 5:
Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi n ∈ N* , n ≥ 4.
Với n = 4, ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.
Mặt khác thay n = 4 vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: 4(4-
3)/2 = 2
Vậy khẳng định là đúng với n= 4.
Trang | 6
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Giả sử khẳng định là đúng với n = k ≥ 4, tức là đa giác lồi k cạnh có số đường chéo là k(k –
3)/2
Ta phải chứng minh khẳng định đúng với n = k + 1. Nghĩa là phải chứng minh đa giác lồi k +
1cạnh có số đường chéo là Xét đa giác lồi k + 1 cạnh
Nối A1 và Ak, ta được đa giác k cạnh A1A2…Ak có k(k-3)/2 đường chéo (giả thiết quy nạp). Nối
Ak+1 với các đỉnh A2, A3, …, Ak-1, ta được thêm k -2 đường chéo, ngoài ra A1Ak cũng là một
đường chéo.
Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh
là
Trang | 7
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh. Vậy bài toán đã được chứng minh.
- Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.
- H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán, Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.
- Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 6 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.
- Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.
- Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH. Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB, …
- Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.
- Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.
- Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.
Trang | 8
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
