Tài liệu tóm tắt lý thuyết tổng và hiệu hai vectơ kèm theo hướng dẫn giải bài 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 trang 12 SGK Hình học 10 nhằm giúp các em hệ thống lại những nội dung trọng tâm của bài học và gợi ý đáp án giải bài tập trong sách SGK sẽ giúp các em dễ dàng ôn tập lại kiến thức cũng như rèn luyện kỹ năng giải bài tập hiệu quả hơn.
A. Tóm tắt kiến thức cần nhớ Tổng và hiệu hai vectơ
Tổng của hai vectơ
Định nghĩa: Cho hai vectơ a, b. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ Vectơ AC được
gọi là tổng của hai vectơ a và b
2. Quy tắc hình bình hành
Nếu ABCD là hình bình hành thì
3. Tính chất của tổng các vectơ
– Tính chất giao hoán
– Tính chất kết hợp
– Tính chất của véc tơ 0
4. Hiệu của hai vectơ
a) Vec tơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vec tơ a
được gọi là vec tơ đối của vec tơ a , kí hiệu
Vec tơ đối của véc tơ 0 là vectơ 0.
b) Hiệu của hai vec tơ: Cho hai vectơ a,b. Vec tơ hiệu của hai vectơ,
Trang | 1
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
c) Chú ý: Với ba điểm bất kì, ta luôn có
(1) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với tổng của hai vectơ.
(2) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với hiệu các vectơ.
5. Áp dụng
a) Trung điểm của đoạn thẳng:
I là trung điểm của đoạn thẳng⇔
b) Trọng tâm của tam giác:
G là trọng tâm của tam giác ∆ABC ⇔
B. Đáp án và hướng dẫn giải bài tập SGK trang 12 SGK Hình học 10 bài: Tổng và hiệu
hai vectơ
Các em lưu ý thêm ký hiệu vecto khi làm bài tập nhé
Bài 1 trang 12 SGK hình học 10 – Chương 1
Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ MA + MB và
MA – MB
Đáp án và hướng dẫn giải bài 1:
Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M’ để có vecto AM’= MB
Như vậy MA + MB = MA + AM’ = MM’ ( quy tắc 3 điểm)
Vậy vec tơ MM’ chính là vec tơ tổng của MA và MB
MM’ = MA + MB .
Ta lại có MA – MB = MA + (-MB)
⇒MA – MB = MA + BM (vectơ đối)
Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có:
MA + BM = BM + MA= BA (quy tắc 3 điểm)
Trang | 2
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Vậy vecto MA – MB = BA
Bài 2 trang 12 SGK hình học 10 – Chương 1
Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:
Đáp án và hướng dẫn giải bài 2:
Các em lưu ý thêm ký hiệu vecto khi làm bài tập nhé
Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng véctơ:
MA = MB + BA
MC = MD + DC
⇒ MA + MC = MB + MD + (BA +DC)
ABD là hình bình hành, hai véctơ BA và DC là hai véctơ đối nhau nên:
BA + DC = véctơ 0
Suy ra: MA + MC = MB + MD
cách 2: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vectơ
AB = MB – MA
CD = MD – MC
⇒ AB + CD = (MB + MD) – (MA + MC)
ABCD là hình bình hành nên AB và CD là hai véctơ đối nhau, cho ta:
AB + CD = vectơ 0
Suy ra: MA + MC = MB + MD.
Bài 3 trang 12 SGK hình học 10 – Chương 1
Trang | 3
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có
Các em lưu ý thêm ký hiệu vecto khi làm bài tập nhé
a) Theo quy tắc 3 điểm của tổng vec tơ, ta có
Như vậy:
mà
Vậy
b) Theo quy tắc 3 điểm của hiệu vec tơ, ta có
Từ (1) và (2) suy ra
Bài 4 trang 12 SGK hình học 10 – Chương 1
Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh
rằng
Đáp án và hướng dẫn giải bài 4:
Các em lưu ý thêm ký hiệu vecto khi làm bài tập nhé
Ta có: RJ + IQ + PS
= (RA + AJ) + (IB + BQ) + (PC + CS)
= (RA + CS) + (IB + AJ) + (PC + BQ)
Mà RA = -CS; IB = -AJ; PC = -BQ
Trang | 4
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Vì vậy:
Bài 5 trang 12 SGK hình học 10 – Chương 1
Cho tam giác ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ
Đáp án và hướng dẫn giải bài 5:
Các em lưu ý thêm ký hiệu vecto khi làm bài tập nhé
Ta có: véctơ AB + BC = AC
⇒ Độ dài của vectơ AB + vectơ BC là a
Vẽ vectơ AD = vectơ BC, khi đó vectơ AB – BC = AB – AD = DB
Tính DB:
Gọi I là giao điểm của AC và BD ⇒ I là trung điểm của BD ⇒ BD = 2BI
Mặt khác ΔBAi vuông tại I nên BI = AB.sinA = asin600 =a√3 / 2
Vậy: BD = 2 BI = a√3
Bài 6 trang 12 SGK hình học 10 – Chương 1
Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:
Đáp án và hướng dẫn giải bài 6:
Trang | 5
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Các em lưu ý thêm ký hiệu vecto khi làm bài tập nhé
a) Ta có, theo quy tắc ba điểm của phép trừ
BA = OA – OB (1)
Mặt khác, OA = CO (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
BA = CO – OB
b) Ta có: DB = AB – AD (1)
AD = BC (2)
Từ (1) và (2) cho ta:
DB = AB – BC
c) Ta có:
DA – DB = BA (1)
OD – OC = CD (2)
BA = CD (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra DA – DB = OD – OC.
d) DA – DB + DC = (DA – DB) + DC = BA + DC = BA + AB (Vì DC = AB) = 0
Bài 7 trang 12 SGK hình học 10 – Chương 1
Cho véctơ a,b là hai vectơ khác véctơ 0. Khi nào có đẳng thức
Đáp án và hướng dẫn giải bài 7:
Các em lưu ý thêm ký hiệu vecto khi làm bài tập nhé
a) Ta có |a + b| = |a| + |b|
Nếu coi hình bình hành ABCD có véctơ AB = DC = a và véctơ AD = BC = b thì |a + b| là độ dài
đường chéo AC và |a| = AB; |b| = BC
Ta lại có: AC = AB + BC
Đẳng thức xảy ra khi điểm B nằm giữa A,C
Vậy |a + b| = |a| + |b| khi hai véctơ a,b cùng hướng
b) Tương tự, |a + b| là độ dài đường chéo AC
|a – b| là độ dài đường chéo BD
Trang | 6
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
|a + b | = |a -b|⇒ AC= BD
Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, ta có AD (cid:0) Ab
hay véctơ a (cid:0) b.
Bài 8 trang 12 SGK hình học 10 – Chương 1
Cho So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a và b.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 8:
Các em lưu ý thêm ký hiệu vecto khi làm bài tập nhé
Từ |a + b| = 0, ta có véctơ a + b = 0 ⇒ a = -b
Điều này chứng tỏ hai vectơ có cùng độ dài |a| = |b|, cùng phương và ngược hướng.
Bài 9 trang 12 SGK hình học 10 – Chương 1
Chứng minh rằng véctơ AB = véctơ CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và
BC trùng nhau.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 9:
Các em lưu ý thêm ký hiệu vecto khi làm bài tập nhé
Ta chứng minh hai mệnh đề.
a) Cho véctơ AB = véctơ CD thì AD và BC có trung điểm trùng nhau. Gọi I là trung điểm của
AD ta chứng minh I cũng là trung điểm của BC.
Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có
Vì véctơ AB = véctơ CD nên
Vì I là trung điểm của AD nên véctơ AI + véctơ DI = véctơ 0 (2)
Trang | 7
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Từ (1) và (2) suy ra véctơ CI + véctơ BI = vectơ 0 (3)
Đẳng thức (3) chứng tỏ I là trung điểm của BC.
b) AD và BC có chung trung điểm I, ta chứng minh véctơ AB = véctơ CD
I là trung điểm của AD
I là trung điểm của BC
Suy ra
Bài 10 trang 12 SGK hình học 10 – Chương 1
Cho ba lực cùng tác động vào một vât tại điểm M và đứng yên.
Cho biết cường độ của đều là 100N và góc ∠AMB = 600
Tìm cường độ và hướng của lực F3
Đáp án và hướng dẫn giải bài 10:
Các em lưu ý thêm ký hiệu vecto khi làm bài tập nhé
Để vật đứng yên thì →F3 phải có độ lớn |→F1 + →F2| nhưng ngược hướng với →F1 +→F2.
Ta có →F1 + →F2 = →MA + →MB = →MD
Tính MD: MD = 100√3 (Xem cách tính ở bài tập 5)
Trang | 8
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Vậy →F3 có cường độ là 100√3 và hướng ngược với hướng của MD.
- Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.
- H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.
- Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 6 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.
- Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.
- Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH. Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…
- Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.
- Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.
- Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.
Trang | 9
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
