Trường Đại học Hoa Lư
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
"PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ
TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG’’
SVTH: Đinh Thị Ngát

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư
Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B
2
LỜI MỞ ĐẦU
Toán tổ hợp là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu từ khá sớm và
ngày càng được quan tâm nhờ vai trò quan trọng của nó trong nội bộ toán học
cũng như trong các nghành khoa học khác. Kết quả quan trọng của nó đánh dấu
bởi bài toán đếm số phân hoạch cuả Leonhard Euler. Trong toán học những kết
quả của nó đóng vai trò kiến thức nền tảng của giải tích, xác suất, thống kê, hình
học,…
Trong thực tiễn giáo dục thì việc dạy và học toán tổ hợp cũng rất quan
trọng bởi khi học tốt toán tổ hợp người học sẽ có năng lực sáng tạo và tư duy
nhạy bén để học tốt môn học khác cũng như các lĩnh vực khác trong cuộc sống.
Các bài toán đại số tổ hợp luôn là một nội dung quan trọng trong các đề thi đại
học và cao đẳng ở nước ta, mặc dù mức độ không khó nhưng các thí sinh thường
gặp khó khăn khi giải các bài toán này. Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia,
thi toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, thi Olympic toán khu
vực và quốc tế các bài toán tổ hợp xuất hiện là một thử thách lớn cho các thí
sinh. Rất nhiều các bài toán hay và khó được giải một cách khá gọn và đẹp bằng
cách sử dụng các kiến thức về tổ hợp. Em là người rất yêu thích toán tổ hợp
nhưng mới chỉ bết sơ qua về nó khi còn ngồi trên ghế nhà trường phổ thông. Vì
vậy em lựa chọn đề tài: ’’PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG’’ với mục đích nghiên cứu về lý thuyết tổ hợp
từ đó xây dựng một cách có hệ thống, có sáng tạo các bài toán đại số tổ hợp.
Trong khóa luận này em đã tổng kết và phân dạng các bài tập đại số tổ
hợp. Tuy các dạng bài tập này không mới nhưng khóa luận đã hệ thống và mở
rộng một số bài tập hay và khó là đóng góp nhỏ của khóa luận.
Khóa luận được chia làm hai chương:
Chương 1: (Cơ sở lý thuyết về tổ hợp) chương này tập trung trình bày lý
thuyết về tổ hợp và một số lý thuyết về tập hợp làm cơ sở để phân dạng và giải
các bài toán đại số tổ hợp.
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư
Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B
3
Chương 2 : (Các dạng toán đại số tổ hợp) đây là chương chứa nội dung
chính của khóa luận. Chương này em phân dạng và hệ thống các bài toán đại số
tổ hợp. Đặc biệt trong chương này em đã sáng tạo và tổng quát một số bài toán
để có được các bài toán hay và khó.
Trong quá trình làm khóa luận, em đã tham khảo một số tài liệu liên quan
đến toán tổ hợp, trao đổi, lấy ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên lớp sư
phạm ngành Toán, của các giảng viên Toán ở trường Đại học Hoa Lư, một số
giáo viên Toán ở trường phổ thông, các bạn sinh viên chuyên nghành Toán và
các em học sinh trương phổ thông. Đồng thời tổng kết kinh nghiệm từ thực tế
qua quá trình giảng dạy của thầy cô.
Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình làm khóa luận nhưng do sự hạn chế
về thời gian và trình độ kiến thức nên bản khóa luận không tránh được những
thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Bùi Đức Lợi đã tận tình chỉ bảo,
hướng dẫn và tạo điều kiện cho em trong quá trình thực hiện khóa luận. Em
cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong bộ môn Toán (khoa
khoa học tự nhiên trường Đại học Hoa Lư), thầy Nguyễn Đức Hải (trường
THPT Nho Quan B), bạn bè và người thân đã động viên, giúp đỡ em hoành
thành tốt khóa luận.
Ninh Bình, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Đinh Thị Ngát
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư
Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B
4
Chương I: Cơ sở lý thuyết về tổ hợp
Chương này sẽ nhắc lại một số lý thuyết về tập hợp và hệ thống lý thuyết cơ
bản của toán tổ hợp như: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton,.. Các nội
dung này cũng được giảng dạy cho học sinh trung học phổ thông hệ cơ bản,
nâng cao và hệ chuyên nghành toán.
1.1. Nhắc lại về tập hợp
1. Tập hợp con
Định nghĩa: Cho tập hợp
A
. Tập hợp
B
gọi là tập con của tập
A
khi mọi
phần tử của tập
B
đều thuộc
A
.
B
A
,
x
A
.
Tính chất: - Mọi tập hợp
A
đều có 2 tập con là
và
A
.
- Tập
A
có
n
phần tử thì số tập con của
A
là
2
n
.
2. Tập hợp sắp thứ tự
Một tập hợp hữu hạn có
m
phần tử được gọi là sắp thứ tự nếu với mỗi phần
tử của tập hợp đó ta cho tương ứng một số tự nhiên từ 1 đến
m
, sao cho với
những phần tử khác nhau ứng với những số khác nhau.
Khi đó bộ sắp thứ tự
m
phần tử là một dãy hữu hạn
m
phần tử và hai bộ
sắp thứ tự
1 2
, ,...,
m
a a a
và
1 2
, ,...,
m
b b b
bằng nhau khi mọi phần tử tương
ứng bằng nhau
1 2
, ,...,
m
a a a
=
1 2
, ,...,
m
b b b
i
a
=
i
b
1,2,.., .
i m
3. Số phần tử của một số tập hợp
Tập hợp
A
có hữu hạn phần tử thì số phần tử của
A
được kí hiệu là: │
A
│
hoặc
n a
.
, ,
A B C
là 3 tập hợp hữu hạn, khi đó:
│
A
B
│= │
A
│+│
B
│-│
A
B
│.
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư
Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B
5
│
A
B
C
│=│
A
│+│
B
│+│
C
│-│
A
B
│-│
B
C
│-
│
A
C
│ +│
A
B
C
│.
Tổng quát: Cho 1 2
, ,...,
n
A A A
là
n
tập hợp hữu hạn
( 1)
n
.
Khi đó:
│
1
A
…
n
A
│=
1
n
i
i
A
1
n
i k
i k n
A A
+
1 n
n
i k l
i k l
A A A
+…+ 11 2 ...
( 1)n
n
A A A
. (1)
1.2. Quy tắc cộng và quy tắc nhân
1.2.1. Quy tắc cộng
Giả sử có hai công việc:
Việc thứ nhất có thể làm bằng
n
cách,
Việc thứ hai có thể làm bằng
m
cách.
Và nếu hai việc này không thể làm đồng thời, khi đó sẽ có
n m
cách làm
một trong hai việc trên.
Quy tắc cộng dạng tổng quát: Giả sử các công việc
1 2
, ,...,
m
T T T
có thể làm
tương ứng bằng 1 2
, ,...,
m
n n n
cách và giả sử không có hai việc nào có thể làm
đồng thời. Khi đó số cách làm một trong việc đó là: 1 2 ...
m
n n n
.
Biểu diễn dưới dạng tập hợp:
1. Nếu
,
X Y
là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì:
X Y X Y
Nếu
1 2
, ,...,
n
X X X
là
n
tập hữu hạn, từng đôi một không giao nhau thì:
1 2 ...
n
X X X
1 2 ...
n
X X X
2. Nếu
,
X Y
là hai tập hữu hạn và
X Y
thì:
\
X Y X Y X