Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

  

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài

GVHD: TS. NGUYỄN VĂN HOA

SVTH: NGUYỄN ĐỨC THANH TUYỀN

NIÊN KHÓA: 2008 - 2009

Thành phố Hồ Chí Minh

Tháng 4 - 2009

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện luận văn này, em đã nhận được sự giúp đỡ và động viên

nhiệt tình từ phía gia đình, thầy cô và bạn bè. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:

- Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh và Ban Chủ

Nhiệm khoa Vật Lý đã tạo điều kiện cho em được học tập và giờ đây được hoàn thành

khóa học này.

- Tất cả quý thầy cô giáo, những người đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý

báu trong suốt 4 năm học, đó là nền tảng để em có thể hoàn thành tốt luận văn.

- TS. Nguyễn Văn Hoa – giáo viên hướng dẫn luận văn này – người đã hết lòng

hướng dẫn, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực

hiện và hoàn tất luận văn.

- TSKH. Lê Văn Hoàng đã đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn.

- Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho

em được đọc và mượn về nhà các tài liệu liệu quan đến đề tài.

- Các bạn sinh viên lớp lý IV – khóa 31 (2005 - 2009) đã nhiệt tình giúp đỡ và

đóng góp ý kiến cho đề tài.

Do đề tài được thực hiện trong thời gian tương đối ngắn và với vốn kiến thức của

bản thân còn hạn hẹp nên không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Kính mong

nhận được sự góp ý, phê bình, xây dựng của quý thầy cô và các bạn.

Cuối cùng em xin kính gửi đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố

Hồ Chí Minh và Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý cùng tất cả quý thầy cô giáo lời chúc

sức khỏe và thành công!

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

MỞ ĐẦU

1. Tình hình chung về nghiên cứu đề tài

Phương pháp toán tử (Operator Method) với các tính toán thuần đại số xây dựng

cho nhóm các bài toán vật lý nguyên tử đang trở thành một hướng nghiên cứu sôi động

trong những năm gần đây. Phương pháp toán tử do nhóm nghiên cứu của giáo sư

Komarov L.I. ở đại học tổng hợp Belarus xây dựng và đã ứng dụng thành công cho một

loạt các bài toán khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán

lý thuyết trường. Phương pháp này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro,

Geryva Silverman, Wistchel và rất nhiều tác giả khác. Nhóm nghiên cứu của TSKH. Lê

Văn Hoàng cũng đã có nhiều đề tài trình bày về phương pháp này: Luận văn tốt nghiệp

của anh Nguyễn Hoàng Quốc “Phương pháp đại số sử dụng hàm Coulomb-Green cho bài

toán hệ nhiều hạt.” (5 - 2004), Luận văn Thạc sĩ của chị Hoàng Đỗ Ngọc Trầm: “Phương

pháp toán tử giải phương trình Schrodinger cho Exciton hai chiều trong từ trường đều với

cường độ bất kì ” (2008). Ngoài ra phương pháp toán tử cũng đang đựợc giáo viên hướng

dẫn luận văn này đi vào nghiên cứu và phát triển cho các bài toán: hiệu ứng Stark, hiệu

ứng Zeeman, bài toán hệ nhiều hạt…

2. Lí do chọn đề tài

Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán mà chúng ta có lời giải

chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là: bài toán hạt

trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hydro (chuyển

động của hạt trong trường xuyên tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự

nhiên. Việc nghiên cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các

phương pháp của cơ học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một tầm quan trọng

đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh những tính chất của hệ thực

tương ứng.

Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của vật lý lượng

tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán về nguyên tử hydro là một

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này, ban đầu phải xây dựng một hệ thống

kiến thức về toán tử momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và

hàm riêng của toán tử momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không

gian, sự phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu…

Đặc biệt khi xét nguyên tử hydro trong điện trường, ta chỉ thu được lời giải chính

xác khi điện trường yếu (cường độ điện trường Ee có giá trị không lớn lắm

V

5

(

10



Ee

cm

  

  ), hoặc điện trường rất lớn (bài toán này có thể giải bằng phương pháp 

nhiễu loạn), còn đối với điện trường trung bình thì bài toán vẫn chưa có lời giải.

Ngoài cách giải phương trình Schrodinger để xác định hàm sóng và năng lượng

của dao động tử điều hòa, bài toán này còn có thể được giải rất gọn bằng cách đưa vào các



ˆa

toán tử

và

liên hợp với nhau (hay còn gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy).

Như vậy, dựa trên hệ cơ sở trực giao đã biết của dao động tử điều hòa, có thể mở

ra phương pháp giải bài toán cho nguyên tử hydro bằng cách biểu diễn thông qua các toán

tử sinh hủy. Theo cách này, các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý đều có thể biểu

diễn qua các toán tử sinh hủy trên, nhờ đó mà các tính toán yếu tố ma trận giữa các trạng

thái của nguyên tử hydro có thể dễ dàng chuyển về các phép biến đổi đại số dựa vào các

giao hoán tử của các toán tử sinh hủy.

Khi xét nguyên tử hydro trong điện trường, với phương pháp toán tử và áp dụng

thêm phương pháp nhiễu loạn, ta có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị nào của điện

trường: từ điện trường yếu cho đến điện trường mạnh kể cả trong điện trường trung bình

mà các phương pháp trước chưa giải quyết được.

Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã

chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau:

 Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải

tính tích phân của các hàm đặc biệt.

 Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kì.

ˆa

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

 Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miền

thay đổi tham số trường ngoài.

Phương pháp này có thể được phát triển để giải quyết nhiều bài toán khác trong cơ học

lượng tử. Tuy vậy trong khuôn khổ cho phép của một luận văn tốt nghiệp và giới hạn về

mặt thời gian nên chúng tôi chỉ xin được trình bày phương pháp toán tử ở mức độ bắt đầu

tìm hiểu và chỉ xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường

theo phương pháp này.

3. Tóm tắt đề tài luận văn

a. Mục tiêu của đề tài

Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một công cụ mới

với mục tiêu cụ thể là:

 Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu

điểm…Ứng dụng của phương pháp này trong phương trình Schrodinger.

 Kiểm tra độ tin cậy của phương pháp bằng cách giải lại bài toán nguyên tử

hydro để xác định lại mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro và so sánh

với lời giải chính xác đã có. Việc tính toán lại bài toán này ngoài tác dụng minh

họa cho phương pháp còn có thể cho thấy khả năng ứng dụng và phát triển

mạnh mẽ của phương pháp.

 Xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo

phương pháp toán tử.

b. Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp toán tử hay còn gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy. Các

toán tử ˆa và ˆa  tác động lên các số lấp đầy (số phônôn). Toán tử ˆa giảm số phônôn 1

đơn vị hay toán tử hủy phônôn. Toán tử ˆa  tăng số phônôn 1 đơn vị hay toán tử sinh

phônôn. Ngoài ra, ta còn định nghĩa toán tử ˆ

gọi là toán tử trung hòa. Toán tử ˆn

n a a ˆ ˆ

tác dụng lên hàm  qui về việc nhân hàm này với n. Nói một cách khác, toán tử số

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

phônôn ˆn trong biểu diễn các số lấp đầy là chéo và các trị riêng của nó bằng số phônôn

có trong trạng thái đã cho.

c. Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu – kết luận, luận văn “Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử

hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử”gồm có ba chương:

Chương 1: Đại cương về bài toán nguyên tử hydro.

Trình bày các kết quả thu được của bài toán nguyên tử hydro cổ điển, chủ yếu là

xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Giới thiệu về bài toán nguyên tử

hydro dưới tác dụng của điện trường. Chương này sẽ đóng vai trò cơ sở cho việc so sánh

kết quả của các chương tiếp theo và kiểm tra độ tin cậy của phương pháp toán tử.

Chương 2: Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro.

Trong chương này sẽ bày cơ sở của phương pháp toán tử, giới thiệu sơ lược về

phương pháp. Giải lại bài toán nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử, tức là biểu

diễn Hamiltonian của nguyên tử hydro theo các toán tử, xác định mức năng lượng cơ bản

của nguyên tử hydro có tính đến bổ chính bậc hai, bậc ba theo kiểu nhiễu loạn. Chương 2

tập trung vào việc kiểm tra lại mức độ chính xác của phương pháp toán tử dựa trên kết

quả đã có theo cách tính toán cổ điển trong chương 1.

Chương 3: Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro trong điện

trường.

Chương 3 là các kết quả chính của luận văn. Trong chương này sẽ xác định lại mức

năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi có tác dụng của điện trường. Khi cường độ

điện trường nhỏ, có thể coi tương tác giữa điện trường và nguyên tử hydro là nhiễu loạn,

bổ sung thêm phần nhiễu loạn này vào trong Hamiltonian của nguyên tử hydro và tìm lại

các kết quả của chương 2 với Hamiltonian mới trong điện trường. So sánh kết quả tính

toán được theo phương pháp toán tử với kết quả tính toán cổ điển.

Vẽ được đồ thị so sánh kết quả tính toán của hai phương pháp.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Để đơn giản trong việc tính toán nên các công thức trong luận văn sẽ được viết

trong hệ đơn vị không thứ nguyên hay còn gọi là hệ đơn vị nguyên tử với

. 1

m e  

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Chương 1

ĐẠI CƯƠNG VỀ BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO

Trong chương này sẽ trình bày lại các kết quả tính toán được của bài toán

nguyên tử hydro theo phương pháp cổ điển để làm cơ sở cho việc so sánh kết

quả của các tính toán sau này (mức năng lượng cơ bản). Ngoài ra, còn trình

bày về sự thay đổi của mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi được

đặt trong điện trường và nguyên nhân gây ra sự thay đổi đó.

1.1 Bài toán hạt trong trường xuyên tâm

Chuyển động của electron trong trường lực Coulomb của hạt nhân nguyên tử là

một bài toán quan trọng trong cơ học lượng tử. Chúng ta chủ yếu nghiên cứu chuyển

động của hạt trong trường xuyên tâm của hạt nhân.

Thế năng của một hạt có khối lượng m0 chuyển động trong một trường lực đối

xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r từ hạt đến tâm lực:

(1.1.1)

  U U r 

Do đó Hamlitonian của hạt có dạng:

2

(1.1.2)

ˆ H

 

2  

  U r

 2 m

0

Trong nguyên tử hydro, thế năng tương tác của electron và hạt nhân chỉ phụ thuộc

giữa chúng. Như đã biết từ trong cơ học giải tích, bài toán

vào khoảng cách

r 1

r 2

chuyển động của hai hạt với định luật tương tác

rút về bài toán chuyển

r 2

 U r 1



. Trong trường hợp

động của một hạt có khối lượng rút gọn  trong trường lực

 U r

nguyên tử hydro, ta có:



.e m m p m m  e

p

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Vì

nên

. Nếu bỏ qua kích thước của proton, nguyên tử hydrro sẽ

pm

e

em

m(cid:0)

được coi như gồm hạt e chuyển động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng

yên. Một trường như vậy là trường hợp riêng đối xứng xuyên tâm, trong đó thế năng

chỉ phụ thuộc vào khoảng cách đến tâm lực. Chúng ta khảo sát chuyển động của e

trong trường lực đối xứng xuyên tâm dưới dạng tổng quát nhất, sau đó chuyển sang

trường hợp trường Coulomb.

Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu. Phương

trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp này có dạng:

2

(1.1.3)

  

  E U r 

 

 0   

em 2 

Thay toán tử Laplace trong tọa độ cầu vào (1.1.3), ta được:

2

2

r

E













(1.1.4)

 

, 

 

 0 U r  

  r 

  r 

1 2 r

1 2 r

  

  

em 2 

,

Trong tọa độ cầu

r  các toán tử hình chiếu và bình phương momen xung lượng có ,

dang:

i

(1.1.5)

 

ˆ zl

  

i

(1.1.6)

sin

cot







os g c  

ˆ xl

  

  

  





i

(1.1.7)

cot

 





sin g  

ˆ yl

  

  



 os c  

 

2

2

ˆL

(1.1.8)

2 , 

  

Dựa vào (1.1.8) ta có:

2

2

(1.1.9)

r

E







 

 

 U r  0 

  r 

  r 

1 2 r

ˆ 2 L 2 2 r

  

    

em 2 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Chúng ta biết rằng, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm, ngoài

định luật bảo toàn năng lượng, còn có hai định luật bảo toàn nữa, đó là định luật bảo

toàn momen xung lượng toàn phần và định luật bảo toàn hình chiếu của momen lên

trục z định hướng tùy ý trong không gian.

Do đó chúng ta sẽ khảo sát các trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này.

Một cách tương ứng, ta viết nghiệm của phương trình (1.1.9) dưới dạng:

r

(1.1.10)







 , , 

  R r Y

  , 

n l m

n

l m

Ta nhớ lại rằng, năng lượng hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các

2ˆL

trị riêng của các toán tử

và

ˆ zl được đặc trưng bằng các số lượng tử quỹ đạo l và số

lượng tử từ m. Thay (1.1.10) vào (1.1.9) và chú ý rằng:

2

ˆ 2 L Y

l

l

Y

1









lm

lm



,

Ta đi tới phương trình sau cho phần xuyên tâm

 ,  :

 

 n l m r

nlR r của hàm sóng

2

l

l

1

2





2

e

r

R

0

(1.1.11)





  E U r 

  r 

m 2

 2

d dr

dR dr

 2 m

1 2 r

r

  

  

e



  

  

1.2 Chuyển động trong trường Coulomb. Năng lượng của nguyên tử hydro

Chuyển động của một hạt electron trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tử

là một ví dụ quan trọng nhất của chuyển động trong trường xuyên tâm. Có thể coi

nguyên tử hydro là trường hợp riêng của bài toán thế xuyên tâm, gồm hạt nhân và một

eletron, hoặc iôn của một nguyên tử bất kì trong đó chỉ còn một electron, hoặc cũng có

thể là nguyên tử hydro mêzô gồm có một prôtôn và mêzôn tích điện âm.

Thế năng của electron chuyển động trong trường hạt nhân có điện tích Ze ( Z: số

prôtôn trong hạt nhân, e là điện tích nguyên tố) có dạng:

U

 

(1.2.1)

2Z e r

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Với Z = 1, biểu thức (1.2.1) là thế năng (hệ đơn vị Gau) của electron trong

nguyên tử hydro, với Z > 1, biểu thức đó là thế năng của electron trong iôn đồng dạng

hydro. Dễ dàng thấy rằng hàm (1.2.1) thỏa mãn các điều kiện :

0 

(1.2.2)

  2 r U r 0

lim r 

(1.2.3)

 0

  U r

lim r 

Trong phương trình Schrodinger (1.1.9) cho

U r  , ta có:

  0

2

2

r

(1.2.4)



E  

2

 m

 2

 r 

  r 

1 2 r

ˆ 2 L m r

2

  

  

Thay (1.2.4) vào (1.1.11), ta được:

2

2

2

2

r

2

r

E

l

1

R

(1.2.5)







R l 



0





dR dr

Z e r

2 d R 2 dr

  

  

em r 2 

: khối lượng electron). Để đơn giản cách viết các hệ số, chúng ta dùng các đơn vị

(

em

nguyên tử cho các đại lượng vật lý. Trong các đơn vị nguyên tử, người ta đặt

1,

e

1,

1





em



Trong phương trình (1.2.5) , ta thực hiện phép tính thay thế sau:

2

r









r o

2

 m e e

(1.2.6)

4

E E 



. 



o

m e e 2



Từ (1.2.6) ta có :

(1.2.7)

r         2

2

r

2 



2

   r  2  r     2

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Thực hiện các phép biến đổi như trong [2- trang 241] ta có công thức truy toán cho

các hệ số

ka

2

1

(1.2.8)

Z l   a a 

1

k

k



2

1

k k l l l    

  k    l  



   1



  

Với các giá trị k lớn, có thể bỏ qua Z ở tử số và

ở mẫu số trong công thức



1

(1.2.8). Khi đó hệ thức truy toán có dạng:

(1.2.9)

l l 

ka

ka

  1

2

k

2  l  

Từ hệ thức truy toán trên, kết hợp với các phép tính toán và ngắt chuỗi, ta thu được

các giá trị năng lượng để các hàm  thỏa mãn các điều kiện chuẩn:

2

(1.2.10)

  

n

Z 22 n

Trong đó n là một số nguyên, xác định bởi hệ thức:

l

(1.2.11)

  1

n n  r

và được gọi là số lượng tử chính. Số

được gọi là số lượng tử xuyên tâm. Vì

không

rn

rn

thể âm, nên điều kiện sau phải được thực hiện:

1

n l 

Từ đó suy ra rằng, với n đã cho số lượng tử quỹ đạo

có thể có giá trị khả dĩ cực

l

đại bằng

nghĩa là:

1n 

l

(1.2.12)

n  1

Công thức (1.2.10) xác định năng lượng trong hệ đơn vị nguyên tử. Để biểu diễn

năng lượng trong hệ CGS, ta cần nhân n với:

4

(1.2.13)

E  0

em e 2 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

2

E

(1.2.14)

và thu được:

 

n

4 m e Z e 2 2 n 2



hoặc viết trong hệ SI:

.

E

(1.2.15)

 

n

1 2 n

2 4 m Z e e 2 2 2 32    o

trong hệ đơn vị SI này, thế năng của electron trong trường hạt nhân nguyên tử có dạng:

2

U

(1.2.16)

 

Ze r 4 o

2

9

9.10

trong đó:

(1.2.17)



Nm 2 C

1 4  o

Xét đối với nguyên tử hydro (Z = 1), ta có năng lượng của trạng thái cơ bản xác

định thế năng iôn hóa nguyên tử hydro:

Trong hệ đơn vị CGS, dựa vào biểu thức (1.2.14) ta có:

4

E

13,6

eV

(1.2.18)

 

 

o

m e e 2 2



Trong hệ đơn vị nguyên tử, dựa vào biểu thức (1.2.10) ta có:

0,5

(1.2.19)

oE    

1 2

 Nhận xét về các trị riêng

Công thức (1.2.14) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử

hydro. Theo (1.2.14) thì năng lượng gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số

nguyên. Tính gián đoạn này chính là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sóng ở

vô cực.

1. Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên

và kết thúc ứng với năng lượng không.

kết, bắt đầu ứng với năng lượng

2 4 em Z e 22 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

2. Ứng với một giá trị đã cho của n thì l có thể có những giá trị l = 0, 1, 2,

…, n-1. Như vậy có tất cả n giá trị của l và l xác định độ lớn của momen xung

lượng.

L

l

l





1  

3. Ba số nguyên n,

l, m duy nhất xác định một hàm riêng

r

gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ.







 , , 

  R r Y

  , 

nlm

nl

lm

Ứng với một giá

trị đã cho của

thể nhận các giá

trị

l

thì m có

m

1,..., 1, 0, 1,..., l

l

1 , l

2

. Tất cả có

giá trị của m. Lượng tử số

l ,    





1l 





m xác định độ lớn hình chiếu momen xung lượng trên trục z:

zL m 

Như vậy, ứng với một mức năng lượng

nE có nhiều trạng thái khác nhau

nlm ,

ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có cùng

giá trị năng lượng

nE là:

n

1



2

2

l

1

n





(1.2.20)







0

l



Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng

22n

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Như vậy, ở trạng thái cơ bản, năng lượng không bị suy biến, còn ở mức kích

thích đầu tiên, năng lượng suy biến bậc 4.

4. Phổ năng lượng của nguyên tử hydro (Z = 1, me là khối lượng electron) xác

định bởi phương trình (1.2.14) được chỉ ra trên hình vẽ.

Khi so sánh các tính toán năng lượng từ (1.2.14) với các số liệu thực nghiệm, ta

thấy có một vài điểm khác nhau vì ta đã bỏ qua các tương tác khác trong nguyên tử

, n càng tăng

hydro. Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp nhất:

eV

13,6

 

oE

thì các mức

thì

.

0

 

nE liên tiếp càng gần nhau hơn. Khi n

nE 

Giá trị tuyệt đối của

oE cho biết năng lượng ion hóa nguyên tử hydro. Năng

lượng này là công cần thiết để đưa electron từ trạng thái liên kết có năng lượng

thấp nhất ra ngoài nguyên tử trở thành electron tự do.

1.3 Nguyên tử Hidro trong điện trường

Khi không có điện trường ngoài tác dụng lên nguyên tử, các trạng thái dừng njm

tương ứng với một năng lượng

njE (sự suy biến theo số lượng tử m).

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Khi có điện trường đều tác dụng, nếu kí hiệu cường độ điện trường là

và chiều

 E

e

Oz

của cường độ điện trường được chọn là dọc theo chiều dương của trục

. Tương tác của

điện trường

eE với điện tử tương đương với tương tác của một lưỡng cực điện với điện

trường. Điều này dẫn đến trong toán tử Hamiltonian xuất hiện số hạng nhiễu loạn:

ˆ V

 E

(1.3.1)

 ˆ e r



-



  ˆ p E e

e

e

Trong đó

là toán tử mômen lưỡng cực điện của electron.

r e p e

Khi đó toán tử Hamiltonian cho nguyên tử hydro có dạng:

2 2

2

2

ˆ ˆ ˆ H H V

(1.3.2)









=

ˆ ezE

0

e

ˆ p 2m

Ze r

Như vậy khi có điện trường ngoài tác dụng:

- Trước hết sự đối xứng của hệ thay đổi: Sự đối xứng xuyên tâm được thay thế

bằng sự đối xứng trục.

-

Thứ hai là, tính chất của thế năng thay đổi khi

. Do thế năng giảm khi

Z  

(e<0), nên sẽ xuất hiện xác suất của electron truyền qua hàng rào thế,

Z  

nghĩa là sự ion hóa tự phát của nguyên tử dưới ảnh hưởng của điện trường

ngoài có thể được thực hiện. Khả năng của electron truyền qua hàng rào thế

xuất hiện trong sự mở rộng của các mức. Sự mở rộng này càng lớn nếu n càng

lớn. Với các n đủ lớn (các sự kích thích mạnh của nguyên tử), xác suất iôn hóa

gần bằng 1. Đối với các mức kích thích đầu tiên trong các trường không mạnh

lắm, hiệu ứng này rất nhỏ và trong phép gần đúng bậc nhất, hiệu ứng đó có thể

bỏ qua.

Toán tử (1.3.2) bất biến đối với phép quay một góc tùy ý quanh phương của trường

và phép phản chiếu trong một mặt phẳng bất kì đi qua trục đó. Trong một phép phản

chiếu như thế, dấu của hình chiếu momen xung lượng thay đổi:

. Do đó trong

m  m

hệ có toán tử Hamiltonian (1.3.2) các mức năng lượng của các trạng thái có m và –m sẽ

trùng nhau, nghĩa là có suy biến bậc hai. Chúng ta chú ý rằng, toán tử Hamiltonian của

nguyên tử ở trong từ trường bất biến đối với các phép quay quanh phương của trường và

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

không bất biến đối với các phép phản chiếu trong các mặt phẳng đi qua phương của

trường. Do đó, đối với nguyên tử ở trong từ trường, không có sự suy biến tương tự (m và

-m).

Chính những thay đổi này dẫn đến mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro

khi đặt trong điện trường sẽ có sự thay đổi.

Các toán tử định lượng về độ biến thiên của các mức năng lượng nguyên tử khi có

điện trường tác dụng có thể được tiến hành bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, nếu

cường độ của trường đủ nhỏ, nghĩa là trong trường hợp độ biến thiên của các mức nhỏ so

với khoảng cách giữa các mức lân cận nhau của nguyên tử khi không có trường.

Trong phép gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn, số hiệu chính cho năng

lượng của hệ không nhiễu loạn được xác định bởi giá trị trung bình của toán tử nhiễu loạn

trong trạng thái đó. Độ biến thiên năng lượng trong trạng thái njm dưới ảnh hưởng của

nhiễu loạn (1.3.1) bằng:

(1.3.3)

njm

 

E E njm e

e

njm

trong đó

là giá trị trung bình của toán tử momen lưỡng cực điện trong

njm

e

trạng thái njm .

Do toán tử momen lưỡng cực đổi dấu trong phép nghịch đảo các tọa độ không

gian, nên giá trị trung bình của nó bằng không trong tất cả các trạng thái có tính chẵn lẻ

2

xác định. Thực vậy, nếu

a có tính chẵn lẻ xác định thì

a không thay đổi trong phép

0

, vì hàm dưới dấu tích phân đổi dấu trong phép nghịch

nghịch đảo, do đó

 

2 z d

a



đảo. Các trạng thái không suy biến của các hệ lượng tử có tính chẵn lẻ xác định, do đó giá

trị trung bình của momen điện trong các trạng thái này bao giờ cũng bằng không. Các hệ

lượng tử ở trong trạng thái suy biến, nói chung, có thể có momen lưỡng cực trung bình

khác không, nếu trạng thái này không có tính chẵn lẻ xác định. Một thí dụ của trạng thái

như thế là trạng thái kích thích đầu tiên của nguyên tử hydro, tương ứng với trạng thái này

có hàm sóng dưới dạng tổ hợp tuyến tính như sau:

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

1 2

1 2

   2

s

 2

p

Trong trạng thái này, giá trị trung bình của toán tử momen lưỡng cực bằng

*

2

2

+ liên hợp phức.

   

s 1 2

p 1 2

e

 e

Momen lưỡng cực trung bình khác không có thể có trong cả các hệ lượng tử có

nhóm các trạng thái hầu như suy biến, nếu như một hệ như thế không có năng lượng hoàn

toàn xác định, do đó độ bất định của năng lượng lớn hơn khoảng cách giữa các mức có

tính chẵn lẻ khác nhau. Trường hợp riêng của các hệ như thế là một số phân tử, chẳng hạn

phân tử dị cực NaCl và một số phân tử khác…, các phân tử này có các mức quay sắp xếp

rất gần nhau với tính chẵn lẻ khác nhau. Do đó, các giá trị trung bình của các momen

lưỡng cực của những phân tử như thế khác không cả trong những điện trường yếu, vì

khoảng cách giữa các mức quay tương ứng nhỏ so với năng lượng của các phân tử ở trong

điện trường và năng lượng nhiệt.

Vì giới hạn của đề tài nên ta chỉ lưu ý xác định sự thay đổi của mức năng lượng cơ

bản khi nguyên tử hydro được đặt trong điện trường.

 Kết luận cuối chương

Như vậy trong chương này ta sẽ quan tâm đến hai vấn đề quan trọng:

- Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong hệ đơn vị nguyên tử là

. Trong chương 2, khi dùng phương pháp toán tử để tính mức năng lượng

0,5

cơ bản của nguyên tử hydro, ta sẽ dựa vào kết quả này làm cơ sở để so sánh.

- Khi nguyên tử hydro được đặt trong điện trường ngoài thì trong Hamiltonian

xuất hiện thêm số hạng nhiễu, sự đối xứng xuyên tâm được thay thế bằng sự

đối xứng trục, dẫn đến mức năng lượng cơ bản sẽ có sự thay đổi.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN

NGUYÊN TỬ HYDRO

Chương 2 giới thiệu cơ sở của phương pháp toán tử, cách tính toán, ưu

điểm của phương pháp. Biểu diễn lại phương trình Schrodinger cho nguyên tử

ˆa

ˆn

và trung hòa

. Kiểm tra lại tính

hydro thông qua các toán tử sinh ˆa  , hủy

chính xác của phương pháp toán tử bằng cách xác định lại mức năng lượng cơ

bản của nguyên tử hydro theo phương pháp này và so sánh với kết quả đã có

trong chương 1.

2.1 Cơ sở của phương pháp toán tử

2.1.1 Bài toán dao động tử điều hòa một chiều

Để khảo sát bài toán dao động tử điều hòa một chiều trong cơ học lượng tử ta cần

giải phương trình Schrodinger:

2

(2.1.1.1)

x

x

E

x





 2 



 



2

 x m   2

 2 d   m dx 2

m

Trong đó:

là khối lượng của electron

 là tần số dao động

E là năng lượng của nguyên tử.

Trong đó hàm sóng

x phải thỏa những điều kiện cần thiết. Tuy đây là phương



trình vi phân bậc hai đối với hệ số là hàm của biến x, nhưng lại có thể giải một cách chính

xác.

Trước hết, ta viết lại phương trình Schrodinger dưới dạng:

m x

x

E

x

(2.1.1.2)







2   





 



2 ˆ xp

 

 

1 2 m

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Trong đó:

m

ˆ H

2 x

(2.1.1.3)

2 





o

1 2

2 ˆ p x 2 m

Bài toán về dao động tử điều hòa có thể được giải rất gọn gàng bằng cách sử dụng

phương pháp toán tử.

Phương pháp toán tử dựa trên ý tưởng sau: Ta thấy năng lượng của các hệ lượng tử

bao gồm những mức rời rạc, gián đoạn và có thể đánh số được. Nếu tìm ra một cơ chế nào

đó cho phép thực hiện việc chuyển từ mức năng lượng thấp hơn lên mức năng lượng cao

hơn hoặc ngược lại thì từ một mức nào đó, ta hoàn toàn có thể xây dựng tất cả những mức

còn lại.

ˆ,a a  liên hợp với nhau (xem phụ lục

Để tìm cơ chế trên, ta đưa ra hai toán tử ˆ

A2.4-iii), được xây dựng bằng các hệ thức:

m ˆ a  ˆ x ˆ p  

x

(2.1.1.4)

1 2 i m   



m ˆ a  ˆ x ˆ p  

x

1 2 i m                          

m



x

Ta đưa vào biến không thứ nguyên

, các biểu thức ở (2.1.1.4) được

 



viết lại đơn giản hơn:

ˆ a

i











ˆ p 

 ˆ 



  

(2.1.1.5)



1 2 1 2

i











ˆ a ˆ p 

 ˆ 



  

        

      

Chú ý rằng:

1 2 1 2

m



i

i

 

 

ˆ x p





 x 

 x 



SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

i

ˆ  và ˆp

 



  

Dễ dàng nghiệm thấy rằng các toán tử

và

ˆa

ˆa đều là không ecmitic. Chúng thỏa

mãn các hệ thức giao hoán





ˆ ˆ ,a a

ˆ ˆ aa

 ˆ ˆ a a

1

(2.1.1.6)







 

 

Thật vậy:





ˆ ˆ a a , ˆ ˆ aa

 ˆ ˆ a a

           1 2                        

2

2

     

2 

  

2 

   1 2              2    2                      

(2.1.1.7)

Trong (2.1.1.7) thay dấu “-” bằng dấu “+” ta thu được:

1           

2



(2.1.1.8)

ˆ ˆ aa 

2  ˆ ˆ a a  

Dễ dàng thấy rằng, toán tử thu được tỉ lệ với Hamiltonian của dao động tử biểu

diễn qua :

  2  

2

2

2

2

ˆ H       

2 m x 

2 m x 

2 

2

2 ˆ xp m 2

Từ đó suy ra rằng

1 2 1 2   m x 2   2       2    

ˆ H

 ˆ ˆ a a

(2.1.1.9)



Dựa vào (2.1.1.6), ta dễ dàng thu được:

      ˆ ˆ aa 2

ˆ H





(2.1.1.10)

1 2

a a  ˆ ˆ   

  

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

ˆ H



(2.1.1.11)

 aa  ˆ ˆ   

1    2 

ˆH

trở nên rất đơn giản.

Ta nhận thấy nhờ đưa vào các toán tử ˆ ˆ,a a  , biểu thức của toán tử

Đây là một trong những ưu điểm của phương pháp toán tử.

biến hàm

Khi tác động lên hàm  của dao động tử điều hòa, toán tử

ˆa

n

1

   n

(2.1.1.12)

ˆ a   n

1

n n  

được gọi là

nghĩa là như thể giảm năng lượng của dao động tử một lượng  . Do đó toán tử hủy hay toán tử hấp thụ. (xem phụ lục A2.2 - ii)

ˆa

Toán tử

biến hàm

ˆa 

1

n



   n

(2.1.1.13)

1 ˆ a n  

n 

 n

1



. Do đó

được gọi là toán tử

nghĩa là như thể năng lượng của dao động tử tăng lên  sinh. (xem phụ lục A2.3 - iii)

lên hàm

ˆa 

ˆH

Lần lượt tác động toán tử

và ˆ

a  ˆ n

na , ta có

E

(2.1.1.14)





n



(2.1.1.15)

 

ˆ ˆ H a

E

ˆ a





 n

n

 



n

 

 

ˆ  ˆ H a  n 

 aˆ   n 

n là nghiệm của phương

trình Schrodinger ứng với năng lượng

sẽ là nghiệm của

nE thì 

Hai phương trình (2.1.1.14), (2.1.1.15) cho thấy: Nếu ˆ na và  

n ˆa 

phương trình này ứng với năng lượng

nE   và

nE   . Nói khác đi, khi tác dụng

ˆa

tăng năng lượng E của trạng thái này lên một lượng là

lên trạng thái , toán tử

 ,

ˆa

còn toán tử

làm giảm năng lượng của trạng thái này một lượng là

 . Bởi vì lí do đó,

ˆa

được gọi là toán tử sinh, còn

là toán tử hủy. Nếu hình dung phổ năng lượng như một

ˆa

chiếc thang, thì ta cũng có thể gọi

ˆa toán tử lên thang, còn

là toán tử xuống thang, vì

ˆa

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

nhờ những toán tử này ta có thể chuyển lên (hoặc xuống) những nấc thang cao hơn (hoặc

thấp hơn) trong phổ năng lượng của dao động tử điều hòa.

ˆH

Để tính phần tử chéo của toán tử

, ta xuất phát từ dạng (2.1.1.10)



H

 ˆ ˆ a a

ˆ a







 

nn

ˆ a  n

 n

n

  n     n

   n

1 2

1 2

(2.1.1.16)

  

ˆ a

ˆ a



n

     n

      2

ˆ a

Ta có:

ˆ a  

 

Suy ra



ˆ a

ˆ a

(2.1.1.17)

E H 



n

nn

n

n

   

   2

Từ đó thấy rằng, năng lượng của dao động tử không thể nhỏ hơn

. Trạng thái

 2

ứng với năng lượng nhỏ nhất

oE ứng với n = 0 và

o là hàm sóng tương ứng với trạng

thái này. Các trạng thái ứng với năng lượng nhỏ hơn không tồn tại. Do đó đối với tất cả

các k < 0, các hàm

k  0, đặc biệt

1 0  và (2.1.1.14) viết cho n = 0

(2.1.1.18)

1

C  oa 

Từ đó ta tìm được

E H 

o

o

. Khoảng cách giữa hai mức kế tiếp bằng  .

   2

Do đó:



(2.1.1.19)

nE

 

1 2

 n  

  

Dựa vào các biểu thức (2.1.1.12) và (2.1.1.13) ta có thể ứng dụng liên tiếp toán tử

ˆa 

để thu được hàm sóng của trạng thái n từ hàm sóng của trạng thái không.

(2.1.1.20)

ˆ a



 n

n   o



!

1 n

Cũng bằng cách ứng dụng liên tiếp (2.1.1.12) và (2.1.1.13), ta có thể chứng minh

được các đẳng thức:

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

1

ˆ ˆ a a

n





  n

  n

(2.1.1.21)

 ˆ ˆ a a

 n    n

n

   

(Xem cụ thể trong phụ lục A2.1 - ii)

ˆ ˆa a

Như vậy, các trị riêng của các tích những toán tử ˆ ˆaa  và

lần lượt bằng (n+1)

và n .Do đó các ma trận của những toán tử này trong biểu diễn riêng của chúng là những

ma trận chéo:



1

;

ˆ ˆ aa

n

 ˆ ˆ a a

n









(2.1.1.22)





m n









mn

mn

Số lượng tử n nói trên hoàn toàn đặc trưng cho trạng thái dừng của dao động tử.

Chỉ số n xác định năng lượng nên được gọi là số lượng tử năng lượng. Người ta qui ước

gọi kích thích một lượng tử là kích thích một phônôn (n = 1), kích thích 2 lượng tử là kích

thích 2 phônôn v.v…Nói cách khác, mỗi lượng tử kích thích dao động của dao động tử

được gọi là một phônôn. Khi đó số lượng tử n sẽ xác định số các phônôn trong một trạng

thái tương ứng. Tất cả các phônôn đều có năng lượng như nhau. Trạng thái dừng hoàn

toàn được xác định bằng việc nêu lên số các phônôn, do đó thay cho hàm



 n  , người

ta có thể đặc trưng cho nó bằng một hàm, trong đó biến độc lập là các số phônôn. Ký hiệu

ˆa

hàm đó bằng n . Tác dụng của các toán tử

và

ˆa  lên hàm này được xác định bằng các

đẳng thức:

1 ;

1

1

n

 ˆ a n

n

n

(2.1.1.23)











ˆ n a

n

Một phép biểu diễn như thế cho các hàm và các toán tử được gọi là phép biểu diễn

và

tác động lên

ˆa

các số lượng tử hay phép biểu diễn các số lấp đầy. Các toán tử

ˆa 

ˆa

các số lấp đầy (số phônôn). Toán tử

giảm số phônôn một đơn vị và được gọi là toán tử

ˆa  tăng số phônôn một đơn

giảm số phônôn một đơn vị hay toán tử hủy phônôn.Toán tử

vị và được gọi là toán tử sinh phônôn.

Ta định nghĩa toán tử ˆ

n a a ˆ ˆ

Ta có

là toán tử Hermite vì:

ˆn

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa







 ˆ a a

ˆ a

ˆ a







 ˆ ˆ ˆ a a n

ˆ n









ˆ

ˆ

Vì

cũng là vectơ riêng của toán tử n .

ˆ oH n  do đó vectơ riêng của

ˆ oH

1 2

Do

là toán tử Hermite nên nó chỉ có trị riêng thực và luôn chéo hóa được .

ˆn

ˆH

là gián đoạn và không suy

Do chuyển động bị hạn chế về cả hai phía, phổ của

biến. Từ đó suy ra, phổ của

cũng gián đoạn và không suy biến.

ˆn

là

Gọi vectơ riêng chuẩn hóa tương ứng với giá trị riêng  của

ˆN , ta có:

2

ˆ N

 ˆ ˆ a a

ˆ a

(2.1.1.24)

  



    

 0

Như vây, giá trị riêng của

là không âm

Mặt khác, ta có toán tử Hamiltonian và các toán tử sinh hủy thỏa mãn các hệ thức

giao hoán:





nˆ

ˆ ˆ H a ,

;

ˆ ˆ H a ,

(2.1.1.25)

aˆ 

 



ˆ a  

 

 

 

 

ˆn

tương ứng với giá trị riêng

1

Theo (2.1.1.20), ˆ a sẽ là hàm riêng của

ˆ ˆ n a

ˆ ˆ ˆ a N a

1

(2.1.1.26)







 ˆ   a



    

ka n

Do đó ˆ

sẽ tương ứng với giá trị riêng



ˆ ˆ ... a a

k

Bằng cách lần lượt tác dụng

lên

ˆa  với k đủ lớn, nếu:

ka ˆ

ˆ ˆ a a ...

(2.1.1.27)



 0





Nó sẽ là vectơ riêng tương ứng với trị riêng

k âm, điều này trái với tính không

ˆn

âm của giá trị riêng của

. Để điều này không thể xảy ra, điều kiện (2.1.1.20), sẽ không

xảy ra với mọi k. Gọi n là giá trị riêng nhỏ nhất của k, sao cho:

n

1



ˆ a

ˆ a

0 ;

(2.1.1.28)

0 

n  

Khi đó:

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

n



ˆ ˆ Na

 ˆ ˆ a a

n 

1 





0 

n    

 ˆ n a

n 

(2.1.1.29)

Suy ra:

ˆn

Như vậy, giá trị riêng của  phải là số nguyên và bằng n. Từ lí do đó, toán tử

được gọi là toán tử số hạt. Hàm riêng của nó có thể diễn tả số dao động có năng lượng

hủy đi một dao động còn toán tử

ˆa  sinh thêm một dao động.

ˆa

 . Toán tử

tác động lên hàm

ˆn

Dùng (2.1.1.18) ta có thể chứng minh được rằng toán tử

ˆn

ˆn

. Nói cách khác, toán tử số phônôn

trong biểu diễn

 qui về việc nhân hàm này với

các số lấp đầy là chéo và các trị riêng của nó



nE

1 2

 ˆ n   

  xác định năng lượng của 

hệ.

Trong biểu diễn các số lấp đầy, nếu hàm riêng của trạng thái cơ bản (trạng thái

không có phônôn) được ký hiệu bằng 0 , thì khi ứng dụng liên tiếp n lần toán tử sinh ˆa 

ta có thể thu được hàm sóng của trạng thái có n phônôn.

n



0

n

ˆ a

(2.1.1.30)







!

1 n

Trong biểu diễn các số lấp đầy, người ta thường giả thiết 0 = 1, khi đó hàm n

xác định (2.1.1.24) bởi sẽ cũng được chuẩn hóa về 1. Trạng thái cơ bản của hệ mô tả bởi

hàm 0 thường được gọi là trạng thái vacum. Trạng thái vacum có thể được xác định bởi

điều kiện :

ˆ 0 a

(2.1.1.31)

 0

Nghĩa là toán tử hủy các phônôn khi tác động lên trạng thái vacum cho ta 0. Năng

lượng của trạng thái vacum

oE

   2

Các toán tử của dao động tử điều hòa trong biểu diễn các số lấp đầy có thể được

viết cả dưới dạng các ma trận vô hạn. Chẳng hạn:

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

0 0

.

.

.

0

1

0

.

.

1 0

.

.

.

0

0

2 0 .

ˆ a

a  ˆ





.

.

2 0

0

. .

. .

0 .

3 0 0 .

.

0

3 0

0

Toán tử phônôn được biểu diễn bằng một ma trận chéo:

ˆ n

a a ˆ ˆ





. . . . .

0 0 0 . 0 1 0 . 0 0 2 . . . . . . .

. .

       

       

Các hàm sóng của các trạng thái dừng được biểu diễn bằng các ma trận một cột:

0

;

1

;

2

. ...

v v













 o

 1

 2

1 0 0 . . .

0 1 0 . . .

0 0 1 0 . .

         

         

         

         

         

         

2.1.2 Bài toán dao động tử điều hòa một chiều với nhiễu loạn V

Xét dao động tử điều hòa một chiều với thế năng được truyền thêm một năng

2

V

lượng phụ nhỏ với

( là hằng số thực dương).

x

Khi đó Hamiltonian của dao động tử không nhiễu loạn có dạng:

2

2

ˆ H

x

;

m

1

 



0

2

   

1 2

1 2

d d x

Suy ra Hamiltonian của dao động tử khi có nhiễu loạn có dạng:

2

2

d

2

2

2

x

x

x





 







 



1 2 



 

ˆ ˆ ˆ H H V 0

2

2

1 2

1 2

1 2

1 2

d d x

d x

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

2

2

2

2





ˆ a

ˆ a

2

 ˆ ˆ a a

1

ˆ a

ˆ a

 ˆ ˆ a a 2

1

 









1 2 









 



  4

1  4  

2

2



 ˆ ˆ a a

ˆ a

ˆ a















 2

1 2

1 2   2 

 2 1 2     4 

  

  

    

0

1 2 



Ta chọn hệ số của các số hạng không chéo bằng 0, tức là:  2   



  

1 2 



Khi đó

có dạng chéo:

ˆH



ˆ H

 ˆ ˆ a a







1 2  2

1 2



1 2   2 1 2 

  

  

 ˆ ˆ a a



1 2 





 

1 2

  

  

Suy ra

.



1 2 

nE

1 2

 n  

  

2.2 Bài toán nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử

Bắt đầu từ phần này của luận văn trở đi, ta chỉ xét trong hệ đơn vị nguyên tử

m

1,

e

1,

1







Trong bài toán nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử ta sẽ thực hiện lần lượt 3

bước như sau:

 Bước 1: Đưa toán tử Hamiltonian ˆH về biểu diễn dưới dạng các toán tử sinh-hủy.

 Bước 2 : Tách toán tử Hamiltonian ˆH thành hai thành phần:

ˆ,

,

- Thành phần trung hòa

chỉ chứa các thành phần ˆ

, các

n a a ˆ ˆ

0

 ˆ H a a  ˆ



thành phần này được gọi là các toán tử “trung hòa” nghĩa là các số hạng chứa

số toán tử sinh và số toán tử hủy bằng nhau. Trong đó phương trình

giải chính xác được.

Schrodinger

ˆ 0 0 0 nE nH  0 n

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

ˆ

- Phần còn lại kí hiệu là

, được xem như là thành phần “nhiễu loạn”,

,

 ˆ V a a  ˆ,



chứa số toán tử sinh và số toán tử hủy khác nhau, sẽ được điều chỉnh “đủ nhỏ”

để thỏa điều kiện của lý thuyết nhiễu loạn thông qua việc chọn tham số .

 Bước 3 : Tính các bổ chính năng lượng ở mức cơ bản cho nguyên tử hydro. Tính

năng lượng

oE ở mức cơ bản và so sánh kết quả với bài toán nguyên tử hydro theo

phương pháp cổ điển.

2.2.1 Phương trình Schrodinger cho bài toán nguyên tử hydro

Như chúng ta đã biết, tất cả các bài toán chuyển động của hệ trong thế giới vi mô

đều dẫn đến việc giải phương trình động học của cơ học lượng tử đó là phương trình

Schrodinger. Đây là một phương trình đạo hàm riêng tuyến tính phức tạp mà nghiệm

chính xác của nó chỉ có thể xác định trong một số ít trường hợp đơn giản với thế năng đã

được lý tưởng hóa (nguyên tử hydro, bài toán dao động tử điều hòa, chuyển động trong hố

thế vuông góc,…). Tuy có thể giải được chính xác nhưng việc giải phương trình

Schrodinger cho bài toán nguyên tử hydro theo cách cổ điển khá phức tạp, do đó trong

các phần tiếp theo ta sẽ sử dụng phương pháp toán tử ứng dụng vào phương trình

Schrodinger để xác định mức năng lượng của nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản.

Xét bài toán nguyên tử hydro, ta có phương trình Schrodinger theo hệ đơn vị

nguyên tử

(2.2.1.1)

ˆ H

x y z

,

,

x y z ,

,

E 

 







T

U

ˆ H

Với

ˆ ˆ H H 



2

2

2

Z

Hay

(2.2.1.2)

ˆ H

 







2

2

2

2

2

2

1 2

 x 

 y 

 z 

x

y

z





  

  

2

2

2

T

ˆ H

Trong đó

(2.2.1.3)









2

2

ˆ p 2

1 2

 x 

 y 

  

2   2 z  

là thành phần động năng của Hamiltonian

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Z

(2.2.1.4)

ˆ U H

 

2

2

2

x

y

z





là thành phần thế năng của Hamiltonian

2.2.2 Biểu diễn toán tử cho bài toán nguyên tử hydro

Dựa trên cơ sở của phương pháp toán tử ta định nghĩa các toán tử sinh hủy như

sau:

ˆ a

ˆ a

;

(2.2.2.1)





x

 x

 x 2

 x 2

1  x

1  x

 x  

  x  

 x  

  x  

 y

 y

ˆ a

ˆ a

;

(2.2.2.2)





y

 y

2

2

1  y

1  y

 y  

  y  

 y   

   y 

ˆ a

ˆ a

;

(2.2.2.3)





z

 z

 z 2

 z 2

 z 

1  z

1  z

 z  

  z  

 z  



Ox Oy Oz

,

,

. Đây là các tham

Trong đó

x ,

y ,

z là tần số dao động theo các trục

số thực dương, được đưa thêm vào để tối ưu hóa quá trình tính toán, ta sẽ xác định các

tham số này sau.

Một cách tổng quát ta có thể viết:

;

(2.2.2.4)













ˆ a 

 ˆ a 

  2

  2





  

 1     

  

 1     

với  tương ứng với các thành phần x, y, z

  ˆ a 

 ˆ a 





Suy ra:

(2.2.2.5)

1 2  

 ˆ a 

 ˆ a 





d 2  d           

2

1









2 ˆ a 

 ˆ a 

 ˆ ˆ a a 2  





1 2  

Và

(2.2.2.6)

2

2

2

1









2 ˆ a 

 ˆ a 

 ˆ ˆ a a  





 

 

  2

d 2 d 

 2     

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Ta dễ dàng kiểm chứng được các hệ thức giao hoán:

ˆ

[

] 1

[

,

[

,

;

;

a a   ˆ ˆ , x x

a a   ˆ ˆ ] 1 y

y

a a   ˆ ] 1 z z

[

;

(2.2.2.7)

  ] 0

[

] 0

 ˆ ˆ a a  ,

ˆ ˆ a a   ,

[

  ] 0

ˆ ˆ a  a ,

Các giao hoán tử này sẽ là công cụ chính cho các tính toán đại số.

Theo cách này, các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lí đều có thể biểu diễn

qua các toán tử sinh hủy trên, nhờ đó mà các tính toán yếu tố ma trận giữa các trạng thái

của nguyên tử hydro có thể dễ dàng chuyển về các phép biến đổi đại số dựa vào các giao

hoán tử của các toán tử sinh hủy.

ˆH

Chúng ta viết lại các thành phần trong Hamiltonian

qua biểu diễn các toán tử

ˆH

thành hai thành phần

sinh - hủy này. Sau đó thực hiện bước 2: tách Hamiltonian

Để thực hiện được điều này, ta lần lượt tách từng thành phần động năng và thế

năng của

ˆH

2.2.2.1 Thành phần Hamiltonian liên quan đến động năng

2

2

2

2

T

ˆ H



 





2

2

2

ˆ p 2

1 2

 x 

 y 

 z 

  

  

Theo (2.2.2.6) ta có:

2

2

1









2 ˆ a 

 ˆ a 

 ˆ ˆ a a 2  







  2

 2  

2

2

2

ˆ TH

ˆ a

ˆ a

ˆ a

ˆ a

ˆ a

Suy ra:

 











2 x

 x

 y

2 y

 y

 z

2 z

a  ˆ z

 x





 







 

 

1 4

2

1

2

1

2

1













 x

 ˆ ˆ a a x

x

 y

 ˆ ˆ a a y

y

 z

 ˆ ˆ a a z

z













 

 

1 4

2

2

2

ˆ a

ˆ a

ˆ a

ˆ a

ˆ a

ˆ a

 











 x

2 x

 x

 y

2 y

 y

 z

2 z

 z













 

 

2

1

2

1

2

1

ˆ n

ˆ n

















 x

x

 y

y

 z

ˆ n z









 

 

1 4 1 4

Trong đó các toán tử trung hòa đựợc định nghĩa:

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

ˆ n

ˆ n

;

;

x

a a ˆ ˆ x

x

y

a a ˆ ˆ y

y

ˆ n z

a a ˆ ˆ z

z

Hay:

(2.2.2.1.1)

ˆ n 

 ˆ ˆ a a  

Một cách tổng quát ta có thể viết :

T

2

(2.2.2.1.2)



ˆ H , , x y z        

2 ˆ a  

ˆ2 n   

 ˆ a 







1 4 1 4

x y z , ,

x y z , ,

 

 

  1 ;  

T

ˆ V

ˆ H

T o

ˆ T oH : Thành phần động năng chứa các số hạng trung hòa

: Thành phần động năng chứa các số hạng không trung hòa

ˆ TV

2.2.2.2 Thành phần Hamiltonian liên quan đến thế năng

Với số hạng liên quan đến tương tác Culoumb (thế năng) thì các toán tử sinh hủy

sẽ nằm ở dưới mẫu số và trong dấu căn nên cần tìm cách đưa về dạng chuẩn (normal), để

có thể sử dụng trong tính toán.

Sử dụng phép biến đổi Laplace ta có thể viết:

 

2

2

2

y

z







Z

U

 t x  

  

(2.2.2.2.1)

ˆ H

e

dt

 

 



2

2

2

1 t

Z 

0

x

y

z





(Xem chi tiết phần chứng minh trong phụ lục D1 - ix)

Đặt :

;

;

(2.2.2.2.2)



ˆ 2 ˆ A a 

ˆ  A 

 ˆ a 

ˆ  ˆ ˆ N a a  





2

Qua cách đặt trên ta thấy rằng:

 Nếu toán tử ˆalàm giảm bậc của vector trạng thái đi n lần thì toán tử ˆAsẽ

làm giảm bậc của vector trạng thái đi 2n lần.

 sẽ

 Nếu toán tử ˆa

 làm tăng bậc của vector trạng thái lên n lần thì toán tử ˆA

làm tăng bậc của vector trạng thái lên 2n lần.

 Toán tử ˆN vẫn không làm thay đổi bậc của vector trạng thái.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

2

Bây giờ xét riêng thành phần hàm e mũ

txe

2

t x

ˆ S

e

x

2

x

Theo (2.2.2.6), ta có:

ˆ2 N

1









ˆ A x

ˆ  A x

x





1 2  x

1

ˆ2 N







x

ˆ A x

ˆ  A x





t  2 e  x

(2.2.2.2.3)



ˆ xS

 

2

2

2

y

z







 t x



U

ˆ H

e

dt

Suy ra:

 



1 t

Z 

0

ˆ S 

 



 

=

dt





x y z , , t

Z 

0

x

Để đơn giản, ta sẽ tạm thời bỏ dấu chỉ số

ở các toán tử

ˆ xS . Ta sẽ đưa toán tử

trên về dạng chuẩn theo quy trình gồm 4 bước (xem cụ thể trong phụ lục D2 - ix )

Ta có kết quả cuối cùng:



ˆ A

ˆ A





2

1

ˆ N









 ln 1 2

2

1

ˆ ˆ  A A

ˆ N







 







 1 2 

 1 2 

 



1 2

ˆ S

e

e

e

e





x

(2.2.2.2.16)



ˆ A

ˆ A









 ln 1 2

 

ˆ N









 1 2 

 1 2 

 ln 1 2

 

1 2

e

e

e

e

=

Do tính đối xứng không gian nên ta có

, tuy nhiên khi đặt vào trong



   z

x

y

trường ngoài thì tính đối xứng này sẽ mất.

Một cách tổng quát, ta có:





ˆ  A 

ˆ A 





 ln 1 2



 

ˆ N





 ln 1 2



 



  1 2   

  1 2   

1 2

e

e

e

e



(2.2.2.2.17)

ˆ S 

Với:



 

t 2  





ˆ  A 

ˆ A 

ˆ N





 ln 1 2



 



  1 2 

  1 2   

e

e

e

Đặt :

(2.2.2.2.18)





*ˆ S 

ˆ ˆ ˆ o   S S S   

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa





 ln 1 2





1 2

Suy ra:

(2.2.2.2.19)



ˆ S 

ˆ * S e 

Trong đó:

exp

(2.2.2.2.20)



ˆ  S 

ˆ  A 

1

   2  

  

(2.2.2.2.21)

exp



   

 ln 1 2

ˆ oS



ˆ N

 

 

exp



ˆ  S 

 1 2 

ˆ A   

  

  (2.2.2.2.22) 

Vậy:

 

 



ˆ S 

2

2

2

y

z







 

U



 t x





= ˆ H e dt dt    1 t

, , x y z t

Z  Z 

0

0





 ln 1 2



 

1 2



 

 







ˆ * S e  ˆ * S 

 ln 1 2



 



, , x y z

 

 

1 2







        = = dt e dt   t

, , x y z t

Z  Z 

0

0

Đặt:

ˆ S



*ˆ ˆ ˆ S S S z

* x

* y

ˆ *  S 

, , x y z



, , ˆ S ˆ ˆ ˆ S S S ˆ S ˆ S   

o x

 x

*ˆ S y

 y

o y

 y

* z

ˆ ˆ ˆ o S S S z

 z

 z

ˆ ˆ  S S x

* x















1 2

 ln 1 2



 



1 2

1 2







 y

1 2

 ln 1 2



 z

 ln 1 2



 ln 1 2



 x



e

e

e

e

Ta có:





1 2







= 1 1 1

t  x

t  z

t  y

  

  

      

      

   

   

 

ˆ S

U

Suy ra:

 



ˆ H t d Z 

0

1 2

t 1 1 1    t  x t  y t  z                            

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

.

ˆ Thực hiện khai triển chuỗi Taylor để xác định ˆ o  , S S 

n

2

n

2

n

   



















1 1 1 ... 1 ...       ˆ  S  ˆ  A  ˆ  A  ˆ  A  1 2! 1 n !   1 2      1 2          1 2    

n

2

n

2

n

   



















1 1 1 ... 1 ...       ˆ  S  ˆ A  ˆ A  ˆA 1 2! 1 n !   1 2      1 2          1 2    

2

2

2

   





1 1 ˆ N ˆ N     ...  

  1 ln 1 2



 ln 1 2



ˆ o S          1 2!

n

n

n





1 ... ˆ N     

 ln 1 2



(Xem chi tiết phần khai triển trong phụ lục D3 - xiii)

Từ kết quả khai triển Taylor ta có:

      1 ! n

n

l

m

 

 

 

n

m

ˆ N     

 ln 1 2



















ˆ * S  ˆ  A    ˆ l A      1 m 1 n ! ! 1 l !

n

m

l

0

0

0







Đặt:

  1 2      1 2               

(2.2.2.2.23)

  u 



 

 

 

     1 2     ln 1 2 v        

n

m

n

m





















 



ˆ N ˆ * S  u  ˆ  A  v  u  ˆl l  (2.2.2.2.24) A   1 m 1 n ! ! 1 l !

n

m

l

0

0

0







Tách

(2.2.2.2.25)

 

*ˆS thành hai thành phần: *ˆ S 

Trong đó:

ˆ o S  ˆ  S

Từ (2.2.2.2.24) ta có:

ˆ oS chứa các số hạng trung hòa ˆS chứa các số hạng không trung hòa.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

2

3

2

3





 



 



...      ˆ * S  ˆ  u A   u  ˆ  A  u  ˆ  A  1 3! 1 2!

2

3

2

3









 



 



... ˆ N ˆ N     ˆ v N   v  v  1 3! 1 2!

2

3

2

3





 



 



Suy ra:

...     ˆ u A   u  ˆ A  u  ˆ A  1 3! 1 2!  1    1    1           

2





n

n

n

n

2



1  











ˆ o S  u  ˆ  A  ˆA

 ˆ n v N 





 



1 n ! 1 n !

1

1

n

n





     

2





n

n

m

2

n











+ u  ˆ  A  ˆ A 

 ˆ m v N 











1 m 1 n ! !

1

1

n

m





           

2



n

n

n

2



(

) 1

ˆ v  Ne



1  





u 

ˆ  A 

ˆ A 





 



1 ! n

n

1



  

  

2





n

n

m

n

2

+





u 

ˆ  A 



ˆ A 





 ˆ m v N 











1 m

1 n !

!

n

m

1

1





  

  

  

  

2



n

n

n

2

ˆ v  Ne









u 

ˆ  A 

ˆ A 





 



1 ! n

n

1



  

2





n

n

m

n

2

+





u 

ˆ  A 



ˆ A 





 ˆ m v N 









   

1 m

1 n !

!

n

m

1

1





  

  

  

  









l

m

n

n

n

l

m

n

N

ˆ N





 











ˆ   S 

v 



u 

ˆ A 

u 

ˆ  A 

v 











 



 







1 m

1 n !

1 l !

!

1 n !

n

l

m

n

0

1

1

0















m

l

n

m

n

l

ˆ N











u 

ˆ  A 

v 



u 

ˆ A 







 







 



1 m

!

1 n !

1 l !

1

0

m

n





1 l  l m 

Toán tử thế năng được viết lại:

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

ˆ o S 

ˆ  S 

 





 x y z , ,  

U



t d

ˆ H





Z 

0

1 2

1

1

1

t







t  x

t  y

t  z

  

  

 

ˆ S

ˆ S

ˆ S

ˆ S

ˆ S

ˆ S







o x

 x

o y

 y

o z

 z

    

       

       

    



dt





Z 

0

1 2

1

1

1

t







t  x

t  y

t  z

  

  

      

      

   

   

 

ˆ ˆ ˆ S S S

o x

o y

o z

U

 



dt ˆ H 

Z 

0

1 2

 

1 1 1 t    t  x t  z                        

     

o x

o y

 z  z ˆ ˆ  S S y

o z

ˆ ˆ  S S y

o y

 x

o z

ˆ ˆ o S S y  z ˆ ˆ  S S y

o z

ˆ ˆ ˆ  S S S y  x  z      ˆ ˆ ˆ S S S t  y 

 ˆ ˆ ˆ S S S





dt 

Z 

0

1 2

Trong đó:

 

1 1 1 t    t  x t  y t  z                            

ˆ ˆ ˆ S S S

o x

o y

o z

ˆ H d t  

U 0



Z 

0

1 2

 

t 1 1 1    t  x t  y t  z                            

      ˆ ˆ o S S y ˆ ˆ  S S y ˆ ˆ  S S y ˆ ˆ  S S y

o z

o z

o x

o y

o y

 x  z  z  z

o z

là thành phần thế năng chứa các số hạng trung hòa. 

ˆ ˆ ˆ  S S S y  x  z

 ˆ ˆ ˆ S S S

 ˆ ˆ ˆ S S S



U





d ˆ V t 

Z 

0

1 2

là thành phần thế năng chứa các số hạng không trung hòa.

1 1 1 t    t  x t  y t  z                            

ˆH

Vậy ta đã tách toán tử Hamiltonian

thành hai thành phần: Thành phần trung

hòa

và thành phần nhiễu loạn

.

ˆH ˆV

0

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

ˆ ˆ H H Vˆ  

o

Trong đó:

ˆ H

ˆ H

ˆ H





o

T o

U o

 

ˆ ˆ ˆ S S S

o x

o y

o z

d

=

2

1









 

ˆ n 



t



1 4

, , x y z

 

Z 

0

1 2

t

1

1

1







t  x

t  y

t  z

  

  

      

      

   

   

T

U

ˆ V

ˆ V

ˆ V





2



 





2 ˆ a  

 ˆ a 







1 4

x y z , ,

 

 













o x

o y

 z

ˆ ˆ  S S y

o z

ˆ ˆ  S S y

 z

o y

 x

o z

ˆ ˆ o S S y

 z

ˆ ˆ  S S y

o z

ˆ ˆ ˆ  S S S y

 x

 z

 ˆ ˆ ˆ S S S



 ˆ ˆ ˆ S S S



dt





Z 

0

1 2

t

1

1

1







t  x

t  y

t  z

  

  

      

      

   

   

2.2.3 Xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo phương pháp

toán tử

Năng lượng của nguyên tử hydro ở mức cơ bản được xác định theo công thức của

lí thuyết nhiễu loạn:

E

E

E

E

E

(2.2.3.1)









 ...

0

  0 0

  1 0

  2 0

  3 0

Trong đó:

 0

0E : Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính.

 1

0E : Bổ chính bậc một cho mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.

 2

0E : Bổ chính bậc hai cho mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.

 3

0E : Bổ chính bậc ba cho mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.

Để đảm bảo tính chính xác của việc tính toán mức năng lượng cơ bản của nguyên

tử hydro nên ta sẽ tính đến bổ chính bậc ba.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Khi tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro, trong biểu thức toán vẫn

còn chứa tham số . Như đã nói, đây là tham số được đưa vào để tối ưu hóa quá trình

tính toán, ta xác định  từ điều kiện:

0

(2.2.3.2)



E  0  

đây chính là điều kiện cực tiểu hóa năng lượng theo thông số biến phân

Từ phương trình (2.2.3.2) xác định được, thế vào biểu thức của 0E , ta sẽ thu

được giá trị cần tìm của

0E .

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính:

E

ˆ H

000

000

Ta có:



o

 0 0

Thực hiện tính toán ta có:

E

(2.2.3.3)









 0 0

3 4

2 Z 

(Xem chi tiết phần tính toán trong phụ lục E - xv)

 0

Vì mức

0E là mức năng lượng thấp nhất nên ta tiến hành cực tiểu hóa năng lượng:

0



0

 



 0 E  000   3 4

=



3 4

Z   Z  

(2.2.3.4)

=

0,565884242 (

Z

1)









16 9 

Thế (2.2.3.4) vào (2.2.3.3) ta có:

(2.2.3.5)

E

0,4244131814

 

 

 0 0

4 3 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro tính đến bổ chính bậc nhất

theo lí thuyết nhiễu loạn

E

E

E





0

  0 0

  1 0

ˆV

Toán tử Hamiltonian đã được tách thành hai thành phần

và

, các toán tử

ˆ oH

ˆH

trung hòa đều chứa trong

, do đó khi tính yếu tố ma trận

thì thành phần nằm trên

0

nnV

đường chéo chính đều bằng 0 nên

nnV  0

E

000

ˆ V

000

Suy ra:



 0

 1 0

E

0,4244131814

Do đó:

(2.2.3.6)

E

 

0

 0 0

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro tính đến bổ chính bậc hai theo

lí thuyết nhiễu loạn

E

E

E





0

  0 0

  2 0

Theo công thức của lí thuyết nhiễu loạn, ta có:

2

2

V

000

000,

z

y

z

E

(2.2.3.7)





  2 0





k

, k k k

,

0

,

0





E

E

E

E





x

y

z

, k k y

z

x

  0 000

  0 000

k k k x y   0 k k k x

y

z

V k k k x   0 k k k x

y

z

2

2

2

V

V

V









E

E

E

E

E

E







3 000   0 000

200   0 200

3 000   0 000

220   0 220

3 000   0 000

400   0 400

2

2

2

2

V

V

V

V









E

E

E

E

E

E

E

E









000   0 000

222   0 222

6 000   0 000

420   0 420

3 000   0 000

600   0 600

3 000   0 000

224   0 224

2

2

2

2

V

V

V

V









E

E

E

E

E

E

E

E









6 000   0 000

620   0 620

3 000   0 000

800   0 800

3 000   0 000

440   0 440

3 000   0 000

226   0 226

2

2

2

2

V

V

V

V











E

E

E

E

E

E

E

E









3 000   0 000

424   0 424

6 000   0 000

406   0 406

6 000   0 000

802   0 802

3 000   0 000

1000   0 1000

2

2

2

2

V

V

V

V











E

E

E

E

E

E

E

E









3 000   0 000

228   0 228

6 000   0 000

246   0 246

3 000   0 000

660   0 660

6 000   0 000

084   0 084

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

2

2

2

2

V

V

V

V











E

E

E

E

E

E

E

E









000   0 000

444   0 444

3 000   0 000

0012   0 0012

6 000   0 000

2100   0 2100

3 000   0 000

0014   0 0014

2

2

2

2

V

V

V

V











E

E

E

E

E

E

E

E









6 000   0 000

0212   0 0212

6 000   0 000

0410   0 0410

6 000   0 000

068   0 068

3 000   0 000

2210   0 2210

2

2

2

V

248

V

V







E

E

E

E

E

E







6 000   0 000

(0) 248

3 000   0 000

266   0 266

3 000   0 000

446   0 446

Vì tính đối xứng nên ta có các mức năng lượng và các yếu tố ma trận có chứa cùng

,

,

,

,

k k k (thứ tự của )

k k k có thể khác nhau) thì sẽ có giá trị giống nhau.

bộ ba số (

x

y

z

x

y

z

Do đó ta có thể viết gọn công thức bổ chính bậc hai như trên.

 2

Để tính

0E , ta phải tính các mức năng lượng của bổ chính bậc hai theo kiểu

nhiễu loạn và các yếu tố ma trận của bổ chính bậc hai theo kiểu nhiễu loạn. Ta giữ đến

k

14

bậc

.

k

 zk 

y

x

Ta tính các mức năng lượng bổ chính và các yếu tố ma trận theo các công thức sau:

E k k k H k k k 

x

y

z

y

z

0

x

k k k

x

y

z

V  k k k V k z

x

y

 x  k k y  z

, k k k k k k z

x

y

 x

 y

 z

Trong đó:

0



000,

k k k

y

z

x

nếu k lẻ

0



000,

k k k

y

z

x

nếu k chẵn

Trong phần chính của luận văn chỉ trình bày các kết quả của các mức năng lượng

của bổ chính bậc hai theo kiểu nhiễu loạn, các yếu tố ma trận đã tính toán được, còn các

phép tính toán cụ thể sẽ được trình bày trong phần phụ lục.

Tính các mức năng lượng của bổ chính bậc hai theo kiểu nhiễu loạn

V   V 



E E E Z    

020

002

200

7 4

19 15

 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa



Z E E E    

202

022

220

11 4

193 210

 



Z E E E    

040

004

400

11 4

1321 1260

 



E Z  

222

15 4

14737 20020

 



E E E E E E Z       

402

240

204

024

042

420

15 4

95353 120120

 



E E E Z    

060

006

600

15 4

22291 24024

 



E E E Z     

242

422

224

15 4

8038847 12252240

 



E E E E E E Z       

602

260

206

062

026

620

19 4

8805289 12252240

 



E E E Z    

404

044

440

19 4

1314641 1884960

 



E E E Z    

080

008

800

19 4

5931721 7001280

 



E E E Z    

262

622

226

23 4

281330527 465585120

 



E E E Z    

424

244

442

23 4

551803019 931170240

 



E E E E E E Z       

604

460

406

046

064

640

23 4

65992533 103463360

 



E E E E E E Z       

802

280

208

082

028

820

23 4

1240173241 1862340480

 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa



E E E Z    

0100

0010

1000

23 4

97817443 124156032

 



E E E Z    

228

282

822

27 4

5389528059 9518629120

 



E E E E E E Z       

246

264

642

624

462

624

27 4

2618546951 4759314560

 



E E E Z    

660

606

066

27 4

13970291109 23796572800

 



E E E E E E Z       

084

084

480

408

840

804

27 4

11329720657 19037258240

 



E Z  

444

27 4

54255501 100196096

 



E E E E E E Z       

2100

2010

1020

1002

0210

0102

27 4

29784110163 47593145600

 



E E E Z    

1200

0120

0012

27 4

6416481316 8653299200

 



E E E Z    

1400

0140

0014

31 4

238310757527 347463244800

 





E E E E E E Z      

0212

0122

2012

2120

1202

1220

31 4

8045905328803 13551066547200

 





Z E E E E E E      

0410

0104

4010

4100

1004

1040

31 4

83797862560571 149061732019200

 





Z E E E E E E      

068

086

680

608

860

806

31 4

1093669431691 1987489760256

 





Z E E E E E E      

248

284

824

842

428

482

31 4

245352803741 473211847680

 



E E E Z    

2210

2102

1022

31 4

13326502781443 24843622003200

 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa



E E E Z    

266

626

662

31 4

6379165669237 24843622003200

 



E E E Z    

446

464

644

31 4

503222614465 993744880128

 

(Xem chi tiết phần tính toán trong phụ lục F - xvii)

Tính các yếu tố ma trận của bổ chính bậc hai theo kiểu nhiễu loạn









V V Z V  

000,020

000,002

000,200

2 3

2 4

 





V V Z V  

000,202

000,022

000,220

1 5

 





V V Z V  

000,040

000,004

000,400

6 10

 



V Z

000,222

2 14

 













V V V V V Z V

000,402

000,240

000,204

000,042

000,024

000,420

3 14

 







V V Z V

000,060

000,006

000,600

5 14

 





 

V V Z V

000,242

000,422

000,224

6 36

 













V V V V Z V V

000,602

000,260

000,206

000,062

000,026

000,620

10 36

 





 

V V Z V

000,440

000,404

000,044

1 12

 







V V Z V

000,080

000,008

000,800

70 72

 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa







V V V Z

000,262

000,622

000,226

5 44

 







V V V Z

000,244

000,424

000,442

3 2 88

 













V V V V V V Z

000,406

000,640

000,604

000,064

000,046

000,460

30 88

 













V V V V V V Z

000,802

000,280

000,208

000,082

000,028

000,820

35 88

 







V V V Z

000,0100

000,0010

000,1000

3 7 88

 





 

V V V Z

000,228

000,282

000,822

70 208

 











 

V V V V V V Z

000,246

000,264

000,462

000,426

000,642

000,624

5 104

 





 

V V V Z

000,660

000,606

000,066

5 104

 







 





V V V V V V Z

000,084

000,048

000,480

000,408

000,840

000,804

105 208

 

 

V Z

000,444

3 6 208

 











 

V V V V V V Z

000,2100

000,2010

000,1002

000,1020

000,0102

000,0210

3 14 208

 





 

V V V Z

000,0012

000,0120

000,1200

231 208

 







V V V Z

000,0014

000,0140

000,1400

858 480

 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa













V V V V V Z V

000,0212

000,0122

000,2120

000,2012

000,1202

000,1220

462 480

 













V V V V V Z V

000,0410

000,0104

000,4100

000,4010

000,1004

000,1040

42 160

 













V V V V V Z V

000,068

000,086

000,680

000,608

000,860

000,806

14 96

 













V V V V V Z V

000,248

000,284

000,842

000,824

000,428

000,482

210 480

 







V V Z V

000,2210

000,2102

000,1022

7 80

 







V V Z V

000,266

000,626

000,662

2 48

 







V V Z V

000,446

000,464

000,644

5 80

 

(Xem chi tiết phần tính toán trong phụ lục G - xliii)

Thế các kết quả tính toán với

1Z  được ta có:

2

2

2

2

3

3

3











2 4

3

5

2  

 

6  10 

2  14 

  

  

  

  

  

E











  2 0













  

2 

2 

3 

11 15

   25303 20020

227 210

 

    

    

2

1199 1260 2

  2

2

10 6 3 3 6   36 3  14  5  14  6  36                    

3  3  4  4             144887 120120    25757 24024    16465633 12252240    15699191 12252240     2   2   2 70 3 3 3   72 12     5  44              

4  4  5           8070839 7001280    2455279 1884960    649839713 465585120      

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

2

2

2

30 35 6 6 3 88 88 3 2 88                   

5  5  5           1310537461 931170240          140934187 103463360 2    2484507719 1862340480 2

2





3 6 3 70 208 5 104 3 7 88                      

6  6  5        13647730181 9518629120    6900082169 4759314560    150494621 124156032   2   2   2







3 6 5 104 105 208 3 6 208                      

6  6  6           146136691 100196096     33622854491 23796572800 2    26744795823 19037258240 2   2





3 6 3 231 208 3 14 208 858 480                   

6  6  7           65402181037 47593145600    456615732073 347463244800        388932753 309046400 2   2

2

3

6

6

7 80

210 480

14 96

 

 

 

  

  

  

  









7 

7 

7 













36360741224957 24843622003200

   701070891619 473211847680

   2881310088821 1987489760256

 

 

  2

2

6 6 462 480 42 160                

7  7         19056227765597 13551066547200 214325601477829 149061732019200    

2

2

3 3 2 48 5 80                   

Vì mức năng lượng cơ bản

7  7      18464456333963 12421811001600 1484267145791 993744880128    

0E là mức năng lượng thấp nhất nên ta tiến hành cực

tiểu hóa năng lượng.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Tính:

, sau đó giải phương trình

0



, ta xác định được:

E  0  

0E   

0,5920629130

E

0,4241912120  

0,0684779906

E

      0 0   2 0

E

0,4926692026  

0

Vì việc tính toán khá dài và phức tạp nên cần sự hỗ trợ của phần mềm toán học

Maple, được trình bày cụ thể trong phần phụ lục L1 - lxxv

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro tính đến bổ chính bậc ba theo lí

thuyết nhiễu loạn.

E

E

E

E

  

0

  0 0

  2 0

  3 0

 2

0E đã được tính trong phần trên

Theo công thức của lí thuyết nhiễu loạn, ta có

V



k k k

,000

x

y

z

z

y

x

x

y

z

y

x

E

 

  3 0





 k k k , ,

0

  k k k , ,

0





( )( )

E

E

E

E

 

x

y

z

x

y

z

000,   0 000

V   k k k k k k ,   0 000



V   0 k k k

   k k k   0   k k k

x

y

z

x

y

z

2

V

000,

y

x

V



000,000

2



  k k k , ,

0

 

( )

E

E



x

y

z

  0 000



   k k k   0   k k k

x

y

z

V

Vì các thành phần nằm trên đường chéo chính của

đều bằng 0 nên

ˆV  . 0

000,000

Do đó ta có thể viết lại:

V



k k k

,000

x

y

z

z

y

x

x

y

z

y

x

E



  3 0





 , k k k ,

0

  k k k , ,

0





E

E

E

E

(

)(

)





x

y

z

x

y

z

000,   0 000

V   k k k k k k ,   0 000



V   0 k k k

   k k k   0   k k k

x

y

z

x

y

z

12

V

V

V

6

V

V

V







000,200 200,220 220,000 E )

E

E

)(

000,002 002,220 220,000 E

E

E

)(

)

(

E

(

E









200

000

220

200

000

220

000

000

V

V

V

V

V

12

V 6







000,020 020,400 400,000 E )

E

E

)(

000,200 200,400 400,000 E

E

E

)(

)

(

E

(

E









020

000

400

020

000

400

000

000

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

12

V

V

V

V 6

V

V







000,220 220,400 400,000 E )

E

E

)(

000,022 022,400 400,000 E

E

E

)(

)

(

E

(

E









220

000

400

000

022

400

000

000

V

V

V 6

V

V

6

V







000,200 200,020 020,000 E

E

E

)(

)

(

E

000,220 220,022 022,000 E

E

E

)(

)

(

E









000

200

020

000

220

000

022

000

V

V

V 6



000,400 400,040 040,000 E

E

E

)(

)

(

E





000

200

020

000

 3

Để tính

0E , ta phải tính các mức năng lượng của bổ chính bậc ba theo kiểu nhiễu

loạn và các yếu tố ma trận của bổ chính bậc ba theo kiểu nhiễu loạn. Việc tính bổ chính

k

k

k

4

bậc ba khá phức tạp vì có nhiều yếu tố ma trận, do đó ta giữ đến bậc







z

y

x

nhưng vẫn đảm bảo tính chính xác khi tính

0E .

Tính các mức năng lượng của bổ chính bậc ba theo kiểu nhiễu loạn

E

E

E

Z











020

002

200

7 4

19 15

 

E

E

E

Z











202

022

220

11 4

193 210

 

E

E

E

Z











040

004

400

11 4

1321 1260

Tính các yếu tố ma trận của bổ chính bậc ba theo kiểu nhiễu loạn

 

V

V

V

V

V

V

Z



















000,020

000,002

000,200

020,000

002,000

200,000

2 3

2 4

 

V

V

V

V

V

V

Z















000,202

000,022

000,220

202,000

022,000

220,000

1 5

 

V

V

V

V

V

V

Z















000,040

000,004

000,400

040,000

004,000

400,000

6 10

 

V

Z

 



200,220



2 4

31 2 210

 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

V

Z



002,220

2 14

 

V

Z



020,400

3 14

 

V

Z

 



200,400



3 2

47 3 210

 

V

Z

 

220,400

67 6 1260

 

V

Z

 

022,400

6 36

(Xem chi tiết phần tính toán trong phụ lục H - lxi)

Thế các kết quả tính toán với

 

1Z  ta có:

12











 

2 4

2 4

3

31 2 210

5

 

2  

  

  

 

E





 3 0





2 

  

227 210

11 15

       

     

        

  

 

6 6       2 4 3 5 5 17 210 2  14                  

2      

       2      2    2  11 15       227 210     2                 227 210        

12 6       2 4 3 12 3  14  6  10          

2      

          2      2    2  11 15       1199 1260     2         6  10           1199 1260        

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

6        2 4 3 2 3 47 3 210 2     6  10               

2       11 15 1199 1260                      

 

 

 

12 6       5 5 6  10  6  10                            

 

 

 

2  2  2  2                227 210 1199 1260 227 210 1199 1260         67 6 1260                6  36          

6









2 4

3

5

2  

 

  

2      



  

2

  

11 15

 

  

  

Vì mức

0E là mức năng lượng thấp nhất nên ta tiến hành cực tiểu hóa năng lượng

0

, sau đó giải phương trình

Tính:



, ta xác định được:

E  0  

0E   

0,6973042540

E

0,4192719623

 

E

0,0712039787

 

E

0,0090878153

 

    0 0   2 0   3 0

E

0,4995637563

 

0

Vì việc tính toán khá dài và phức tạp nên cần sự hỗ trợ của phần mềm toán học

Maple, được trình bày cụ thể trong phần phụ lục L2 - lxxvi.

 Kết luận cuối chương

m

e

1

Trong hệ đơn vị nguyên tử (

), với bài toán nguyên tử hydro cổ điển, ta

  



0,5

đã có lời giải chính xác mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro là:

.

E  

0

Khi tính theo phương pháp toán tử

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

- Nếu không tính đến bổ chính thì ta thu được kết quả

, gần

0,424413181

E   0

đúng với lời giải chính xác.

- Nếu tính đến bổ chính bậc hai thì ta thu được kết quả

,

0,4926692026

E  

0

gần đúng hơn với lời giải chính xác so với khi chưa có bổ chính.

- Nếu tính đến bổ chính bậc ba thì ta thu được kết quả

, rất

0,4995637563

E  

0

gần với lời giải chính xác.

Như vậy, ta có thể đi đến kết lụận, chuỗi các bậc bổ chính là hội tụ. Nếu muốn tăng

độ chính xác của kết quả, ta chỉ cần tính thêm các bổ chính bậc cao hơn cho đến khi đạt

kết quả yêu cầu.

Với kết quả thu được trong chương 2 đã cho ta độ tin cậy bước đầu để sử dụng

phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro trong điện trường.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Chương 3

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN

NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG ĐIỆN TRƯỜNG

Trong chương này ta sẽ áp dụng phương pháp toán tử đã trình bày ở chương 2 để

giải trực tiếp cho bài toán nguyên tử hydro trong điện trường.

Chương này gồm có hai phần: xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử

hydro trong điện trường và so sánh kết quả thu được giữa việc tính toán theo phương pháp

cổ điển và phương pháp toán tử. Sự so sánh này được phân biệt rõ trong ba miền của

cường độ điện trường: yếu, trung bình và mạnh. Phương pháp cổ điển chỉ có thể đưa ra lời

giải chính xác cho bài toán trong trường hợp cường độ điện trường yếu: khi đó tương tác

điện là rất nhỏ và được coi là nhiễu loạn; hoặc điện trường thật mạnh, khi đó tương tác

giữa hạt nhân và electron được coi là nhiễu loạn, còn trong vùng điện trường trung bình

vẫn chưa có lời giải vì không thể áp dụng đựợc lý thuyết nhiễu loạn. Từ đó thấy được ưu

điểm của phương pháp toán tử trong vùng điện trường trung bình, vì với phương pháp này

ta có thể ứng dụng cho toàn miền biến đổi của điện trường.

3.1 Biểu diễn Hamiltonian của nguyên tử hydro trong điện trường

Khi có điện trường đều với cường độ điện trường là

tác dụng, chiều của cường

 E

e

độ điện trường được chọn là dọc theo chiều dương của trục Oz , tương tác của điện trường

eE với điện tử, tương đương với tương tác của một lưỡng cực điện với điện trường. Điều

này dẫn đến trong toán tử Hamiltonian xuất hiện số hạng:

(3.1.1)

ˆ V

E

z

e

 

-



  ˆ e p E

e

e

4

6

10

10

/V cm

Do điện trường ngoài trong các phòng thí nghiệm vào khoảng



9

E

5.10

/ V cm

, a là bán

nhỏ hơn rất nhiều so với điện trường gây bởi hạt nhân





nh

e 2

a

kính quỹ đạo Bohr thứ nhất. Để giải bài toán ta dùng lí thuyết nhiễu loạn. Ở đây coi thế

năng của eletron trong điện trường ngoài là nhiễu loạn ˆV 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

ˆ V

E

z

(3.1.2)

   e

e

Trong hệ đơn vị không thứ nguyên:

e  . 1

Do đó:

(3.1.3)

ˆ V

E

z

  

e

Xét phương trình Schrodinger:

(3.1.4)

x

E  

ˆH x  







Hamiltonian của nguyên tử hydro trong điện trường được viết là:

ˆ

ˆ

(3.1.5)





ˆ ˆ H H V V   o

ˆH

ˆV

trong đó

và đã được biểu diễn trong chương 2.

0

 

ˆ ˆ ˆ S S S

o x

o y

o z

ˆ H

dt

=

2

1









o

 

ˆ n 





1 4

, , x y z

 

Z 

0

1 2

t

1

1

1







t  x

t  y

t  z

  

  

     

    

   

   

2

ˆ V

 







2 ˆ a  

 ˆ a 







1 4

, , x y z

 

 













o x

o y

 z

ˆ ˆ  S S y

o z

ˆ ˆ  S S y

 z

o y

 x

o z

ˆ ˆ o S S y

 z

ˆ ˆ  S S y

o z

ˆ ˆ ˆ  S S S y

 x

 z

 ˆ ˆ ˆ S S S



 ˆ ˆ ˆ S S S



dt





Z 

0

1 2

t

1

1

1







t  x

t  y

t  z

  

  

      

    

   

   

Để giải phương trình (3.1.4) bằng phương pháp toán tử trong bài toán này, ta phải

thực hiện hai bước sau:

Bước 1: Chuyển toán tử Hamitonian về biểu diễn của các toán tử sinh – hủy

Từ (2.2.2.5) ta có:

z

ˆ a

ˆ a





z

 z





1 2  z

E

Suy ra:

ˆ V

ˆ a

  



z

a  ˆ z





e 2  z

Khi đó (3.1.5) được viết lại

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa







ˆ ˆ ˆ o o o S S S z y x 1 ˆ H t d      ˆ2 n  1 4

Z 

 x y z , ,  

  0

1 2

1 1 1 t    t  x t  y t  z                            

ˆ a ˆ a    

2 2    





1 4

 x y z , ,  

ˆ S ˆ S      

o x

ˆ ˆ o S S y  z ˆ ˆ  S S y

o z

ˆ ˆ  S S y  z  x ˆ ˆ o o S S z y ˆ ˆ o S S y  z ˆ ˆ  S S y

o z









ˆ ˆ ˆ  S S S y  x  z dt  

Z 

  0

1 2

1 1 t   t  x t  y t  z  1                           

E ˆ a ˆ a  

z

 z





e 2  z

Bước 2: Tách Hamliltonian thành hai thành phần như sau:

- Phần thứ nhất là ˆ

n a a ˆ ˆ

oH chỉ chứa các thành phần ˆ

 

ˆ ˆ ˆ S S S

o x

o y

o z





ˆ H = 2 1 dt  

o





  ˆ n  1 4

x y z , ,

 

Z 

0

1 2

1 1 1 t    t  x t  y t  z                            

ˆ a

ˆ a

V



  





2 2    

- Phần thứ hai được xem như là thành phần “nhiễu loạn” 



1 4

 x y z , ,  



ˆ S

ˆ S













o x

ˆ ˆ o S S y

 z

ˆ ˆ  S S y

o z

ˆ ˆ  S S y

 z

 x

ˆ ˆ o o S S z y

ˆ ˆ o S S y

 z

ˆ ˆ  S S y

o z

ˆ ˆ ˆ  S S S y

 x

 z









dt





Z 

  0

1 2

1

1

1

t







t  x

t  y

t  z

  

  

     

      

   

   

E

ˆ a

ˆ a





z

 z





e 2  z

Như vậy, ta thấy rằng khi chịu tác dụng của điện trường, thành phần

không

ˆ oH

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

ˆV

thay đổi, chỉ có thành phần nhiễu loạn

là thay đổi vì có bổ sung thêm số hạng

E

ˆ a

ˆ a





z

 z





e 2  z

Trong giới hạn áp dụng được lý thuyết nhiễu loạn, độ lớn của năng lượng tương tác

điện ℰe phải bằng 10% độ lớn năng lượng tương tác Coulomb ℰc

có thể tính :

Trong trường hơp bài toán, năng lượng của tương tác Coulomb ℰc

ℰc = E2 – E1 = 13,6 – 3,4 = 10,2 (eV)

tương ứng trong hệ đơn vị không thứ nguyên ta có ℰc = 0,375

Ta có:

ℰe =

ee E z

Gọi wE là giá trị cường độ điện trường lớn nhất trong vùng điện trường yếu. Khi

đó ta có giá trị của năng lượng tương tác điện ứng ℰw với giá trị wE là:

ℰw =

we E a

Với a là bán kính quỹ đạo N.Bohr.

Nếu ta xét trong hệ đơn vị không thứ nguyên với đơn vị độ dài là bán kính N.Bohr

1

1

thì

và

.

e 

a 

Ta cần tìm giá trị wE .

Ta có:

ℰw = 10% ℰc =10% . 0,375 = 0,0375

Suy ra:

wE = 0,0375

Như vậy, trong khoảng (0; 0,375) ta có thể coi là vùng điện trường yếu.

3.2 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo

phương pháp toán tử.

Ta đã biết khi có điện trường ngoài tác dụng sự đối xứng của hệ thay đổi: Sự đối

. Tuy nhiên,

xứng xuyên tâm được thay thế bằng sự đối xứng trục, khi đó





   z

x

y

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

,

,

trong trường hợp ta xét cường độ điện trường nhỏ, sự khác nhau giữa

   là không z

x

y

đáng kể do đó có thể coi gần đúng

     



x

y

z

Năng lượng của nguyên tử hydro ở mức cơ bản trong điện trường được xác định

theo công thức của lí thuyết nhiễu loạn:

E

E

E

E

E









 ...

0

  0 0

  1 0

  2 0

 3 0

ta cũng sẽ tính đến bổ chính bậc ba.

3.2.1 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường khi chưa

có bổ chính.

Khi nguyên tử hydro chịu tác dụng của điện trường thì thành phần

không thay

ˆ oH

đổi và ta coi gần đúng





 .

   z

x

y

E

ˆ H

000

000

Do đó:



 0 0

o

cũng không thay đổi.

Suy ra

E

0,4244131814

 

 

 0 0

4 3 

3.2.2 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường tính đến

bổ chính bổ chính bậc một theo lý thuyết nhiễu loạn

E

E

E





0

  0 0

  1 0

ˆV 

Toán tử Hamiltoniên đã được tách thành hai thành phần

và

, các toán tử

ˆ oH

trung hòa đều chứa trong

, do đó khi tính yếu tố ma trận

thì thành phần nằm trên

nnV

ˆ oH

đường chéo chính đều bằng 0 nên

nnV  0

E

000

ˆ V

000

Suy ra:



 0

 1 0

E

0,4244131814

Do đó:

E

 

0

 0 0

3.2.3 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường tính đến

bổ chính bậc hai theo lí thuyết nhiễu loạn

E

E

E





0

  0 0

  2 0

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

ˆV  của Hamiltonian có bổ sung thêm số hạng

E

, do đó trong bổ chính bậc hai ngoài các mức năng lượng bổ chính và

ˆ a





 z

z

Vì trong toán tử nhiễu loạn  ˆ a



e 2  z

yếu tố ma trận đã tính trong chương 2 sẽ xuất hiện thêm mức năng lượng bổ chính

V

. Suy ra bổ chính bậc hai sẽ có sự thay đổi dẫn đến năng

000,001

001E và yếu tố ma trận

lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường tính đến bổ chính bậc hai cũng sẽ

thay đổi.

Khi đó công thức của lí thuyết nhiễu loạn:

2

2

V

000

000,

z

y

z

E





  2 0





,

0

,

0

k k k ,

k k k ,





E

E

E

E





x

y

z

x

y

z

  0 000

  0 000

k k k x y   0 k k k x

y

z

V k k k x   0 k k k x

y

z

2

2

2

V

V

V









E

E

E

E

E

E







3 000   0 000

200   0 200

3 000   0 000

220   0 220

3 000   0 000

400   0 400

2

2

2

2

V

V

V

V









E

E

E

E

E

E

E

E









000   0 000

222   0 222

6 000   0 000

420   0 420

3 000   0 000

600   0 600

3 000   0 000

224   0 224

2

2

2

2

V

V

V

V









E

E

E

E

E

E

E

E









800   0 800

3 000   0 000

440   0 440

3 000   0 000

226   0 226

6 000   0 000

620   0 620

3 000   0 000

2

2

2

2

V

V

V

V











E

E

E

E

E

E

E

E









3 000   0 000

424   0 424

6 000   0 000

406   0 406

6 000   0 000

802   0 802

3 000   0 000

1000   0 1000

2

2

2

2

V

6

V

V

V











E

E

E

E

E

E

E

E









000   0 000

084   0 084

3 000   0 000

228   0 228

6 000   0 000

246   0 246

3 000   0 000

660   0 660

2

2

2

2

V

V

V

V











E

E

E

E

E

E

E

E









000   0 000

444   0 444

3 000   0 000

0012   0 0012

6 000   0 000

2100   0 2100

3 000   0 000

0014   0 0014

2

2

2

2

V

V

V

V











E

E

E

E

E

E

E

E









6 000   0 000

0212   0 0212

6 000   0 000

0410   0 0410

6 000   0 000

068   0 068

3 000   0 000

2210   0 2210

2

2

2

2

V

V

V

V

248









E

E

E

E

E

E

E

E

248









6 000   0 000

3 000   0 000

266   0 266

3 000   0 000

446   0 446

6 000   0 000

001   0 001

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Theo kết quả tính toán trong phụ lục J - lxvii, ta có:

E

Z







001

5 4

4 3

 

V

 

000,001

eE 2 

Ứng với các giá trị của cường độ điện trường

eE , ta sẽ tính

0E theo , sau đó tiến

0

hành cực tiểu hóa năng lượng (cho

), ta sẽ tìm đựợc giá trị số của



0E .

E  0  

3.2.4 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường tính đến

bổ chính bậc ba theo lí thuyết nhiễu loạn

E

E

E

E







0

  0 0

  2 0

  3 0

Tương tự như trên, trong bổ chính bậc ba sẽ xuất hiện thêm hai số hạng bằng nhau

là:

V

V

V

V

V

V

và

000,002 002,001 001,000 E )(

E

E

)

(

E

000,001 001,002 002,000 E )(

E

E

)

(

E









002

000

001

000

000

002

001

000

Theo kết quả tính toán trong phụ lục K - lxix, ta có:

E

Z







001

5 4

4 3

 

V

 

001,000

eE 2 

V

V





002,001

001,002

2 eE 

Ứng với các giá trị của cường độ điện trường

eE , ta sẽ tính

0E theo , sau đó tiến

0

hành cực tiểu hóa năng lượng (cho



), ta sẽ tìm đựợc giá trị số của 0E

E  0  

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

3.3 Xác định hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của mức năng lượng cơ bản của

nguyên tử hydro vào cường độ điện trường theo phương pháp toán tử.

Việc xác định hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của mức năng lượng cơ bản của

eE là rất phức tạp về mặt tính toán. Nếu ta

nguyên tử hydro 0E vào cường độ điện trường

giữ nguyên

eE là một hằng số trong công thức tính mức năng lượng cơ bản đến bổ chính

bậc ba thì phần mềm Maple không xử lý được, do đó ta sẽ lần lượt thay các giá trị số của

cường độ điện trường vào biểu thức tính

0E đến bổ chính bậc ba và tìm giá ra giá trị

tương ứng. Từ đó sẽ tìm ra lần lượt các cặp giá trị 

,eE E . Từ các cặp giá trị 

0

0E 0 ,eE E

đã có, sử dụng chương trình Excel kết hợp với phương pháp “Fit bình phương tối thiểu”

ta sẽ xác định được hàm số biểu diễn phụ thuộc của mức năng lượng cơ bản của nguyên

tử hydro 0E vào cường độ điện trường eE

Phương pháp “Fit bình phương tối thiểu” là phương pháp làm khớp các cặp giá trị

2R

2R

. Khi

càng gần với

đã có của 

,eE E với hàm số xác định, với hệ số tương quan

0

giá trị 1 thì việc làm khớp càng chính xác.

Trong phần này, ta sẽ sử dụng phần mềm toán học Maple để tính toán mức năng

lượng cơ bản ứng với từng giá trị của cường độ điện trường.

Dưới đây ta có bảng các giá trị của mức năng cơ bản của nguyên tử hydro trong

điện trường tương ứng với các giá trị của cường độ điện trường.



eE

0E

0,003

0,6972232073

-0,4995744078

0,004

0,6971601534

-0,4995826938

0,005

0,6970790615

-0,4995933479

0,00625

0,6969523041

-0,4996099986

0.0075

0,6967972938

-0,4996303551

0,009375

0,6965116900

-0,4996678463

0,0125

0,6958935607

-0,4997489168

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

0,01875

0,6941192385

-0,4999816877

0,0375

0,6843180664

-0,5012490750

0,046887

0,6766961354

-0,5022179777

0,05625

0,6670720674

-0,5034196297

0,065625

0,6551611349

-0,5037162898

0,075

0,6406117958

-0,5065951730

0,084375

0,6228864819

-0,5086140320

0,09375

0,6011407664

-0,5109670121

0,103125

0,5739759467

-0,5137101367

0,1125

0,5386471072

-0,5169336852

0,121875

0,4884964438

-0,5208072196

0,13125

0,3932245401

-0,5257951762

0,140625

0,2274395544

-0,5346097530

0,15

0,1957960565

-0,5468981379

0,159375

0,1809467221

-0,5609623769

0,16875

0,1717929196

-0,5764374603

0,178125

0,1654673631

-0,5931639972

0,1875

0,1608019491

-0,6110541198

0,20625

0,1543588764

-0,6501260924

Đưa bảng số liệu vào trong Excel, sử dụng phương pháp “Fit bình phương tối

thiểu” ta có hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của mức năng lượng cơ bản của nguyên tử

hydro 0E vào cường độ điện trường eE :

E

32,461

E

4,128

E

0, 2237

E

0,4979

 







0

e

3 e

2 e

0,9981

với hệ số tương quan

, hệ số này khá gần giá trị 1 nên có thể tin tưởng vào

2 R 

độ chính xác của hàm số tìm được.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

3.4 Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của mức năng lượng cơ bản của nguyên

tử hydro vào cường độ điện trường theo lý thuyết cổ điển và phương pháp

toán tử.

Theo lý thuyết cổ điển ta có hàm số biểu diễn sự sự phụ thuộc của mức năng lượng

cơ bản của nguyên tử hydro 0E vào cường độ điện trường eE :

E

(3.4.1)

 



2 E 0,5 1,519361334 e

0

(xem cụ thể trong phụ lục I - lxv)

Theo phương pháp toán tử vừa trình bày trong phần 3.3 ta có:

E

32,461

E

4,128

E

0, 2237

E

0,4979

(3.4.2)

 







0

e

3 e

2 e

Vẽ hai hàm số (3.4.1) và (3.4.2) trên cùng một đồ thị

Để vẽ hai đồ thị này ta sử dụng phần mềm Maple.

Quy ước: Đường màu xanh dương, đứt nét biểu diễn đồ thị của hàm số (3.4.1)

Đường màu đỏ biểu diễn đồ thị của hàm số (3.4.2)

0;0,0375

Đồ thị 1: Xét trong vùng điện trường yếu





eE 

Đồ thị 1

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Dựa vào đồ thị1, ta thấy hai đường đồ thị ứng với lý thuyết cổ điển và phương

pháp toán tử là gần trùng nhau. Như vậy trong miền điện trường yếu, kết quả tính toán

theo phương pháp toán tử là phù hợp với cổ điển: Năng lượng ở mức cơ bản của nguyên

tử hydro trong điện trường xấp xỉ bằng -0,5 (xét trong hệ đơn vị không thứ nguyên).

0;0, 20625

Đồ thị 2: Xét trong vùng điện trường





eE 

Đồ thị 2

Dựa vào đồ thị 2, ta thấy trong vùng điện trường trung bình bắt đầu có sự khác biệt

giữa hai đồ thị.

Trong vùng điện trường trung bình, lí thuyết nhiễu loạn cổ điển không còn đúng

nữa, do đó đường đồ thị màu xanh không còn mô tả chính xác sự phụ thuộc của mức năng

lượng cơ bản của nguyên tử hydro vào cường độ điện trường. Điện trường càng lớn thì sự

khác biệt giữa hai đồ thị càng nhiều.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Dựa vào đường đồ thị vẽ theo phương pháp toán tử, với một giá trị của cường độ

điện trường trong vùng điện trường trung bình ta có thể xác định đựợc mức năng lượng cơ

bản của nguyên tử hydro ứng với giá trị đó.

Nếu muốn thấy rõ sự trùng khớp của hai phương pháp trong vùng điện trường rất

lớn, ta phải thực hiện lại các thao tác như trên nhưng trong trường hợp này tương tác giữa

điện trường và điện tử được xem là tương tác chính và tương tác giữa hạt nhân và electron

xem là nhiễu loạn.

 Kết luận cuối chương

Qua 2 đồ thị đã vẽ ta nhận thấy rằng:

- Trong vùng điện trường trung bình, kết quả tính toán theo phương pháp toán tử

là phù hợp với cổ điển.

- Phương pháp toán tử có thể đưa ra lời giải cho toàn miền biến đổi của điện

trường.

- Khi cường độ điện trường càng lớn, nếu tính đến các bổ chính bậc cao hơn, ta

sẽ thấy được giá trị cường độ điện trường để ion hóa nguyên tử hydro.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI

Trước hết, phương pháp toán tử được đưa ra trong luận văn đã cho kết quả ban đầu

là giá trị mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro với độ chính xác mong muốn, phù

hợp với kết quả của lời giải chính xác. Kết quả này được trình bày trong chương 2.

Chương 3 trình bày các kết quả tính toán mức năng lượng cơ bản của nguyên tử

hydro trong điện trường đều bằng phương pháp toán tử. Các kết quả này được so sánh với

phương pháp cổ điển: nhiễu loạn trong miền giá trị của điện trường yếu và được biểu diễn

trên cùng đồ thị. Từ đó có thể thấy ưu điểm của phương pháp toán tử là có thể giải bài

toán nguyên tử hydro trong trường ngoài có độ lớn bất kỳ.

Tuy nhiên, giá trị năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường đều

còn thấp, không phù hợp với thực tế; một số mức năng lượng kích thích có giá trị dương.

Đó cũng chính là những vấn đề cần làm rõ và là hướng phát triển của đề tài.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Vũ Văn Hùng, Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.

[2] Đặng Quang Khang (1996), Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản khoa học và kỹ

thuật.

[3] Phan Đình Kiến (2004), Giáo trình cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Đại học

Sư phạm.

[4] Nguyễn Hoàng Quốc (5/2004), Phương pháp đại số sử dụng hàm Coulomb-

Green cho bài toán hệ nhiều hạt, Luận văn tốt nghiệp, Trường Đại học sư phạm Tp Hồ

Chí Minh.

[5] Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2008), Phương pháp toán tử giải phương trình

Schrodinger cho Exciton hai chiều trong từ trường đều với cường độ bất kì, Luận

văn Thạc sĩ, Trường Đại học khoa học tự nhiên Tp Hồ Chí Minh

[6] Phạm Thúc Tuyền, Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.

[7] A.X. ĐAVƯĐÔV (1972), Cơ học lượng tử tập I, Nhà xuất bản đại học và

trung học chuyên nghiệp Hà Nội.

[8] D.I BLÔKHINÉP (1963), Những cơ sở của cơ học lượng tử tập II, Nhà xuất

bản giáo dục.

[9] David J.Griffiths, Introduction to Quantum Mechanic, Prentice Hall – Upper

SaddleRiver, New Jersey 07458.

.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

PHỤ LỤC

Phụ lục A: Các toán tử sinh – hủy một chiều

1. Một số công thức toán tử thông dụng

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ ˆ ,AB C

1.1

ˆ ˆ ABC CAB ABC ACB ACB CAB 









 

  

ˆ ˆ ˆ A B C

,

,





 

 

 

ˆ ˆ ˆ  A C B 

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ ˆ ,A BC

1.2

ˆ ˆ ˆ ABC BCA ABC BAC BAC BCA 









 

  

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

,

,



ˆ ˆ A B C B A C 

 

 

 

 

ˆ A



,

,

ˆ ˆ A e Be

ˆ B

ˆ ˆ , A B

1.3









 

 

ˆ ˆ ˆ  A A B 

 

 

 

1 2!

ˆ

ˆ

,

,

...





ˆ ˆ  A A A B , 

 

 

 

 

 

1 3!

ˆ tA

f

ˆ ˆ tA e Be 

Chứng minh 1.3: Xét hàm



, đạo hàm theo t ta được:

  t

ˆ tA

ˆ tA

ˆ tA

ˆ tA

ˆ tA







ˆ

ˆ

ˆ ˆ tA Ae Be

ˆ e BAe

e

ˆ ˆ, A B e







 

 

df dt

như sau:

Tiếp tục tính tương tự ta có đạo hàm bậc k của

f

  t

ˆ tA

ˆ tA



e e ,... , ,  ˆ ˆ ˆ  A A B         ˆ ˆ A A ,           

k d f k dt

trong đó giao hoán tử lấy k lần.

tại điểm

f

Mặc khác, khai triển Taylor hàm   t

ot  ta có: 0

k

k





f

,...

,

,

.





  t





ˆ ˆ ˆ  A A B 

 

 

 

 ˆ ˆ A A ,  

  

  

  

t k

t k

!

!

k d f k dt

k

k

0

0





  

  

t

0



o

1

Cho giá trị

t  ta có công thức cần chứng minh.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

2. Toán tử sinh – hủy

Toán tử sinh hủy một chiều được định nghĩa như sau:



;

ˆ a

ˆ a





 2  2

d dx

d dx

1 

1 

 x  

  

 x  

  

 ˆ ˆa a n

n n

2.1 Chứng minh



n



n

ˆ a

0

ta suy ra với trường hợp

Từ định nghĩa



0n  công thức





1 n

!

a a

0 0

 ˆ ˆ a a n

1

n

1

n

1

. Giả sử ta có

trên đúng: ˆ ˆ 0

0  







 ta sẽ chứng minh





. Thật vậy:

 ˆ ˆa a n

n n



n

n

1











0

0

 ˆ ˆ a a n

ˆ a

ˆ ˆ aa

ˆ a





  ˆ ˆ ˆ a a a









!

!

1 n



1

ˆ a

n



 ˆ ˆ 1 a a 







1 n 1 n

Từ đây ta có:



 ˆ ˆ a a n

 ˆ ˆ a a

n

n

 ˆ a n

ˆ a

1

1

1















1 n

n

1



1





ˆ a

n n

ˆ a

n

0









1 n 1 n

n





 1 !

ˆ a n

n n

2.2 Chứng minh



 1

n

n

1

n

1













ˆ a n ˆ ˆ aa ˆ a 0 0 1 0    

 ˆ ˆ a a









  ˆ ˆ ˆ a a a





1 n ! ! !

n

1

n

1









ˆ a n

 ˆ ˆ a a n





0 0 1 1      

  ˆ ˆ ˆ a a a



1 n 1 n 1 n 1 n ! !





n n n n n 1 1 1 1 .        1 n 1 n 1 n 1 n

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Ta thấy rằng mỗi toán tử hủy có tác dụng “hủy” (giảm) đi một bậc của vector

trạng thái. Như vậy, cứ có bao nhiêu toán tử hủy tác dụng lên vector trạng thái thì sẽ

hủy đi bấy nhiêu bậc của nó.

 ˆ a n

n 1 n 1

2.3 Chứng minh

  

n

1

n

1





1





0

1

0

1

1

 ˆ a n

ˆ a

n

ˆ a

n

n





















!

1 n

n





 1 !

   

   

Tương tự, ta cũng thấy rằng mỗi toán tử sinh có tác dụng “sinh” (tăng) lên một

bậc của vector trạng thái. Như vậy, cứ có bao nhiêu toán tử sinh tác dụng lên vector

trạng thái thì sẽ sinh thêm bấy nhiêu bậc của nó.

2.4 Chứng minh sự liên hợp của ˆ ˆ,a a 

1

,

ˆ n a j

j n j

j









n j ,

1



1

,

 ˆ j a n

j

j

n







j 

n j ,

1



Suy ra:

ˆ n a j

j a n ˆ



Nhận xét: Từ các tính chất (2.3, 2.4, 2.5 ) ở trên ta thấy rằng: nếu như tác dụng

một toán tử chứa cùng số toán tử sinh và toán tử hủy lên một vector trạng thái, thì sẽ

không làm vector này thay đổi bậc, và ta gọi các toán tử như thế là toán tử “trung hòa”;

ngược lại nếu toán tử chứa số toán tử sinh - hủy khác nhau thì sẽ làm thay đổi bậc của

vector trạng thái. Đây là một tính chất rất quan trọng trong các tính toán đại số khi sử

dụng biểu diễn toán tử và cũng chính là yếu tố để ta tiến hành việc tách toán tử

Hamiltonian của hệ thành hai thành phần: trung hòa và nhiễu loạn.

3. Giao hoán tử của các toán tử thông dụng

a a  ˆ ˆ,

1

3.1

 

  







2ˆ ˆ a a ,

ˆ ˆ a a ,

ˆ a

ˆ a 2

3.2







 

 ˆ ˆ ˆ a a a , 

 

 

 

 









2ˆ ˆ a a ,

ˆ a

 ˆ ˆ a a ,

ˆ ˆ ˆ a a a ,

ˆ a 2

3.3





 

 

 

 

 

 

 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

2

2

2

2







ˆ a

,

ˆ a

ˆ a

,

ˆ ˆ ˆ a a a

ˆ a

,

ˆ a















 3.4   

  

  

  

  

  



 ˆ ˆ a a 2

  ˆ ˆ ˆ ˆ aaa a 2

2

 ˆ ˆ a a

1

 



 

 ˆ ˆ ˆ ˆ a a aa 

 







 2 2





 ˆ ˆ ˆ a a a ,

ˆ ˆ a a ,

ˆ a

3.5







  ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a ,



 

 

 

 









3.6

 ˆ ˆ ˆ a a a ,

 ˆ ˆ a a ,

 ˆ ˆ a a ,

ˆ a



ˆ ˆ a a 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

2













ˆ a

 ˆ ˆ a a

,

,

ˆ a

ˆ a

ˆ a

,

ˆ a

2

ˆ a



ˆ ˆ a a 

 















  

  

 3.7   

  

  

  

2

2





3.8

 ˆ ˆ ˆ a a a ,

2 ˆ ˆ a a ,

2 ˆ ˆ a a ,

ˆ a 2



ˆ ˆ a a 



 

 

 

 

 

 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Phụ lục B: Dạng chuẩn của biểu thức toán tử

 Dạng chuẩn (normal) của một biểu thức toán tử được định nghĩa là dạng đã

được biến đổi sao cho các toán tử hủy luôn về phía bên phải của biểu thức, toán tử sinh

luôn về phía bên trái của biểu thức.

trái

ˆa 

phải

ˆa

 Mục đích của việc đưa các biểu thức toán tử về dạng chuẩn là giúp cho việc

tính toán trong các bài toán chứa nhiều loại toán tử được dễ dàng hơn rất nhiều.

thì lợi

Thật vậy, khi biểu diễn tất cả các trạng thái qua trạng thái cơ bản

0 

0

0

dụng tính chất

ˆ 0 b   , chúng ta sẽ biểu diễn tất cả trạng thái

 ˆ 0 a   và







còn lại qua biểu thức chỉ còn một loại toán tử sinh tác dụng.

 Trường hợp các toán tử sinh, hủy với số mũ lũy thừa

Trường hợp này ta chỉ cần áp dụng các tính chất của giao hoán tử trên là có thể đưa

về dạng chuẩn.

Ví dụ 1: Đưa toán tử

2ˆ a

a về dạng chuẩn ta thực hiện như sau: ˆ



2

2

2





     ˆ a ˆ a ˆ a ˆ ˆ a a  ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a 1  ˆ ˆ a a 1  ˆ ˆ a a  ˆ ˆ a a 1        

 ˆ ˆ ˆ a a a



     ˆ ˆ ˆ 1 2  ˆ ˆ ˆ a a a a a a

  ˆ ˆ a a

 2 3

 ˆ ˆ ˆ a a a

 

1 1         

  ˆ ˆ ˆ a a a

2

2

2

2





Các phép biến đổi trên thường được áp dụng khi các biểu thức toán tử có dạng như

các đa thức.

 Trường hợp hàm e mũ của các toán tử sinh – hủy

Đối với dạng hàm e mũ thì khi vận dụng phép biến đổi như trên sẽ gặp khó

khăn. Vì các toán tử sinh hủy trên mũ khi khai triển để đưa về dạng chuẩn sẽ có bậc

lũy thừa rất cao, do đó ta áp dụng phương pháp biến đổi khác như dưới đây:

  2 4 ( )  ˆ ˆ a a  ˆ ˆ a a ˆ a ˆ a  ˆ ˆ a a ˆ a ˆ a = 2 3      

ˆ a

 

 ˆ t a



Ví dụ:

e

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử



[

a a ˆ ˆ ,

]

1

Vì ta có hệ thức giao hoán

và số 1

  nên từ đây các toán tử ˆa , ˆa

tạo thành một đại số kín . Như vậy ta có thể viết:





ˆ a



f

 ˆ t a





ˆ  t a

ˆ   g t a

 h t



(B1)

e

e

e

e





 F t



và tiến hành tìm các hàm số

theo các bước sau:





f t , ,

 g t



 h t



Bước 1: Lấy đạo hàm hai vế của (B1) theo biến số t như sau:



ˆ a





 ˆ t a









ˆ

ˆ a

f

(B2)











   t a F t



  ˆ g t a F t





  h t F t







 ˆ a e

1



1F 

.

t

1

Định nghĩa hàm nghịch đảo của

là

sao cho

 ta có :

 F t



  t

 F t F









f







1



 h t



ˆ  g t a





ˆ  t a

F

t

e

e

e







1F 

t

Nhân hai vế (B2) cho

và thu gọn các số hạng ta được:









f

t

ˆ a

f













ˆ  t a





ˆ a

f

ˆ a e

(B3)

ˆ a  







 ˆ t a

  g t e

  h t



Bước 2: Sử dụng công thức tổng quát (phụ lục A1.1.3 - i)

ˆ A



ˆ

ˆ

,

]

, [

,

]

,

,

...

ˆ A ˆ e B e

ˆ ˆ ˆ A A B

ˆ ˆ ˆ [ B A B  







 

 

ˆ ˆ  , A A A B 

 

 

 

 

 

1 2!

1 3!

cùng với hệ thức giao hoán của ˆ ˆ,a a ta có:





f

f





ˆ  t a



ˆ  t a

[

]

...

ˆ a e

e

f

t

 ˆ ˆ , a a

f

t

ˆ a  



ˆ a  









Thay vào (B3) ta có:







ˆ a

f

ˆ a

ˆ a  









(B4)









f

t

f









 

 ˆ t a  ˆ t a

  f   ˆ g t a h t

  g t 

t 

   h t     g t

 



Bước 3: Đồng nhất hai vế của (B4) và chọn điều kiện biên

Đồng nhất hai vế, ta có hệ phương trình:

 f t 1 

0  

   g t  f

   t

1  

  h t



 g t

Giải hệ phương trình này ta có:

    

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

t f t   c 1

c

  g t

  t  

2

2

c   

 h t



c t 1

3

Dựa vào biểu thức (B1) ta có điều kiện khi t = 0 thì:

t 2       





f t  

 g t



 h t

 0 

Suy ra:

c c   c 1

2

 3 0

ˆ a

 

 ˆ t a



là:

Như vậy, dạng chuẩn của

e

2





ˆ a



ˆ t a

ˆ t a

 ˆ t a



t 2

e e e e 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Phụ luc C: Yếu tố ma trận cho toán tử Hamiltonian của dao động tử phi

điều hòa

Ta có :

2

2

1 1

2



ˆ H

 ˆ ˆ a a

ˆ a ˆ a

 ˆ ˆ a a

 ˆ ˆ a a













2 1 2 2 1                   

2   4 

2   4 

3  2 4 

4

4

3

3

2

2







ˆ a ˆ a ˆ a ˆ a

 ˆ ˆ a a

Tách ˆH thành hai phần :

ˆ a ˆ a ( ) 4( ) 4 6( ) 6            2 4 

ˆ ˆ ˆ  H H V 

0

2

1

ˆ H

2

 ˆ ˆ a a

1

2

 ˆ ˆ a a

2

 ˆ ˆ a a

1











0









  

  

2   4 

3  2 4 

2

2



ˆ a

ˆ a





1ˆ V 





  

  

2   4 

4

3

2

3

2

4







ˆ a

ˆ a

ˆ a

ˆ a

 ˆ ˆ a a

ˆ a

ˆ a

(

)

4(

)

6(

)

4

6













 

 

Ta tính các phần tử ma trận khác không của ˆH :

 2 4 

2

1

H

H

n

 ˆ ˆ a a

 ˆ ˆ a a

 ˆ ˆ a a

n

2

1

2

2

1

















n n

0









n n

  

  

2   4 

3  2 4 

(C1)

1

2

n

n

n

2

1

2

2

1



















2   4 

3  2 4 

1

2

3

2

n

ˆ a

 ˆ ˆ a a

ˆ a

n

4

6

2









2



n nV ,





2   4 

 2 4 

2

1

n

n

n

4

6

1)

(C2)















 2 (

4

    2 4  

  

  

2

n

1



n

2

3









 2 !  n !

2

    2 4  

  

  

n



V

n

4 ˆ a n

4

(C3)







n n ,

4



 n

 4 ! !

 2 4 

 2 4 

V

V

các phần tử ma trận khác được tính dựa vào tính đối xứng: n m

m n

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Phụ lục D: Một số tính toán cho bài toán nguyên tử Hydro

1. Các tính toán của thành phần Hamiltonian liên quan đến thế năng

Sử dụng phép biến đổi Laplace ta có

 

2

2

2

y

z







Z

U



 t x

ˆ H

e

dt

 

 



2

2

2

1 t

Z 

0

x

y

z





Thật vậy:

 

 

2

2

2

2

2

2



y

z

y

z

















 t x

 t x

1 2

e

dt

t

e

dt

Ta có :

(D1.1)







1 t

0

0

2

2

2

dt

Đặt :

Suy ra:



d 

y

z





 

2

2

 t x



1 2 y

x

z





t





2

2

 2 y

x

z





Thế vào (D1.1)



 

 

1 2





1

1 2

e

  e d

 

d   

2

2

2

2





 2 y 1 2 y x z x z    

0

0

2

2

     

1 2 2





 

x y z  

1



1

1





e

d

1  2











2

2

 2

1 2

  

  

0

2

2

2

2

2

2

x

z

y





1 2

1 2

x

y

z

x

y

z

















 

2

2

2

y

z







Z

 t x



Suy ra:

e

dt



 

 



 2

2

2

2

2

2

1 t

Z 

Z 

0

y

x

z

x

y

z









2. Đưa toán tử ˆ

xS về dạng chuẩn

Bước 1:

tạo thành một đại số kín bằng cách kiểm tra

Chứng minh 3 toán tử ˆ A

ˆ ˆ , A, N

các giao hoán tử sau:





,

ˆ ˆ A A ,

ˆ N

[

ˆ ˆ A N ,

[

ˆ ˆ[ N A ,

ˆ A

  ] 4

 , 2

ˆ A ] 2

] 2 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

(Xem chi tiết phần chứng minh trong phụ lục A3 -iii )

Bước 2:



ˆ ˆ A A N

,

,

Như vậy từ các hệ thức giao hoán trên ta thấy 3 toán tử ˆ

được định nghĩa

ở (2.2.2.2.2) tạo thành một đại số kín nên ta có thể viết lại:

1

 ˆ ˆ A A

ˆ2 N









1

ˆ2 N



g



f

ˆ A

h

ˆ A

t  2 

  



 

  



(D4.1)

e

e

e



ˆ S e 

Với :





t 2 

f

,

g

,

h



 là các hàm số cần tìm với điều kiện biên:





 







f

g

h











0 0

0 0

   ; 0 0

   ;

    (D4.2)

Bước 3:

f

,

g

,

h

Xây dựng hệ phương trình cho các hàm số



 cần tìm. Lấy





 







đạo hàm hai vế của (D4.1) theo ta có:





ˆ A

ˆ N

2

1



ˆ A  



g

ˆ N

2

1







f

ˆ A

h

ˆ A



















 





1

ˆ A

f

ˆ  A e

e

e

e



ˆ ˆ2 A N  





  







g

ˆ N

g

ˆ N

2

1

2

1









f

ˆ A

h

ˆ A

f

ˆ A

h

ˆ A

























  









g

e

e

e

 h

e

e

ˆ Ae

1

 ˆ2 N







  

  





Tiếp theo, nhân hai vế với toán tử nghịch đảo của ˆS

Trong đó toán tử nghịch của toán tử ˆS được định nghĩa như sau:

ˆ iAt

1



t   

ˆ S

i

e

dt

 

lim 0  

  0

g

ˆ N

2

1







h

ˆ A

f





 





ˆ    A

  



e

e

e

Suy ra:

1ˆ   S





f

ˆ A

f

ˆ A









 



 





1

1

2

ˆ A

f

ˆ A

g

e

ˆ N

e

ˆ ˆ 2 A N  











  

  



Ta thu được: 

(D4.3)





2

1

2

1

g

ˆ N

g

ˆ N









f

ˆ A

f

ˆ A



  



 

  





  

e

e

ˆ Ae

e

 h

   

Cuối cùng, sử dụng công thức tổng quát (xem chứng minh trong phụ lục A1.1.3 - i)

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

ˆ A



,

]

, [

,

]

...

ˆ ˆ A e B e

ˆ ˆ ˆ A A B

(D4.4)

ˆ ˆ ˆ [ B A B  





 

 

1 2!

Ta có:

1

1

g

ˆ N

g

ˆ N







   2 



   2 



ˆ Ae

e

ˆ A

g

ˆ N

ˆ A

ˆ N

ˆ A

2

...

2











ˆ A g 



  

 1 ,

 1 ,

 

 

     

 

4

g



  

ˆ A

g

g

(D4.5)

ˆ ˆ , N A

4

ˆ A e



ˆ A g 





ˆ ˆ A A 

1 4 



  

  

  





 

 





f

ˆ A

f

ˆ A





  

  

,

..

ˆ A e

e

ˆ A

f

ˆ ˆ  , A A

f

ˆ A

f

ˆ ˆ  , A A









  

  

  

 

 

 

 

 

 

1 2!

2



f

ˆ A

ˆ ˆ  A A ,

,

ˆ ˆ  A A ,



ˆ A f 



  

  

 

 

 

 

 

1 2!

2



ˆ A

f

ˆ N

f

ˆ A

ˆ N

2

2

1

,(2

2)











  

 

 

2

ˆ A

f

ˆ N

f

2

2

1

2









ˆ ˆ      A N , 

 

2

=

2

2

1

4

ˆ A

f

ˆ N

f

(D4.6)







ˆ     A

  

          





f

ˆ A

f

ˆ A





  

  

e

ˆ N

e

f

ˆ A

ˆ N

2

1

2

1

1







  







 , 2



 

 



ˆ N

f

ˆ A

ˆ N

2

1

1









   

  , 2

 

 



ˆ N

2

1

2

f

ˆ ˆ  A N ,

ˆ N

1

4

f

ˆ A

(D4.7)











  

  

ˆ N  

 

   = 2



 

 











ˆ N

ˆ A

ˆ A

g

f

f

ˆ A

2

4

1

ˆ ˆ A N 2  













  

Lấy (D4.5), (D4.6), (D4.7) thế vào (D4.3) ta được: 



4

g



2



  

e

ˆ A

f

ˆ N

f

ˆ A

2

2

1

4

 h







   

  

        

1 

  

   

4

g



2





  

  

 ˆ A f f e f ˆ A 1 4   ˆ ˆ2 A N      

   g  





  

   

4

g

4

g





  

  

 

  

  

  



  h e ˆ A g  h e f ˆ N 2 2 1       

   h 4       

  

Sau khi đồng nhất các hệ số trước các toán tử giống nhau, ta có hệ phương trình:

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

4

g



  

e 1  

g

4



2

  



  

  

 f 4 f 4  h e f 1    

g

4



  

        

 g 2  h e f 1   

    g        

Thu gọn ta được hệ phương trình:

  h     

4

g

  

(D4.8a)

 h

  1

    e

2



(D4.8b)

f

4

f

4

f





  1

  

   g  





  

(D4.8c)

  

  

Bước 4:

Giải hệ phương trình (D4.8) với điều kiện biên (D4.2)

Lấy (D4.8c) thế vào (D4.8b) ta được:

 g 2 f    1

2



f

f

4

f

f

1

 





 

  

2

2

f

4

f

f

= 1

 f

 







4   

2

f

f

 f

        

8   

 4   

2

=

f

 f

1 2 



  

  

      = 1 4   

  1 2     4  

Giải phương trình vi phân trên ta có:

1

2

f

  

   

2

  df  d 

df

  

0







d 

1

2

f



  



f

1 2 

0

d 







2

f



  

 d 1 2 1 

2     2

C







 

f

  

1  2 1 2 



C  

f

Suy ra:

Sử dụng điều kiện biên ta có:



 

 =

1 2



 1 2 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

f  vừa tìm được vào phương trình (D4.8b) ta có:

Tương tự, thế hàm 



 

   g 



1 1 2 

Suy ra:

 



  g 

 ln 1 2

 

1 2

1

Thế vào phương trình (D4.8a) ta có:

 

  h 



1 2 





2

h

Suy ra:



 







 1 2 



.

ˆ 3. Khai triển chuỗi Taylor để xác định ˆ o , S S 

Trước hết ta nhắc lại công thức khai triển Taylor

f x tại lân cận điểm x

Chuỗi Taylor của hàm

a được xác định như sau:





2

n

1





n

1









( )

f







f x (

)

f a ( )

( )

...















 f a x a



R n

 f a x a 2!

 ( ) a x a    n 1 ! 

Hay có thể viết ngắn gọn dưới dạng:

k

k





f

a

 



 f x



 

 x a  k !

0

k



Ta dựa vào biểu thức trên để xác định ˆ ˆ o  S S , 

Ta có:



exp

f

Suy ra:

1 







 0

ˆ  S 

ˆ  A 

 ˆ  f A 



  1 2   

  

  



exp



f

Suy ra:





0

ˆ  A 

ˆ    f A 

  1 2   

  1 2   

  1 2   

  

  

2

2





f

0

f

exp

Suy ra:







ˆ  A 

ˆ  A 





  1 2   

  1 2   

  1 2   

    

  

  

  

   

  

.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

.

.

n

n

n

n

exp

f

f



Suy ra



0

ˆ  A 

ˆ  A 





  1 2   

  1 2   

  1 2   

    

  

  

  

   

  

2

Vậy:

1

1

1

...









   







ˆ  S 

ˆ  A 

ˆ  A 



2

1 2!

  1 2   

  1 2   

n

n

n

1

...











ˆ  A 





1 ! n

 

    1 2 

  

Tương tự ta có:

2

2











1 1 ...     ˆ      1 S  ˆ A  ˆ A  1 2!   1 2      1 2    n

n

n











1 ...    ˆ A  1 ! n       1 2    

Suy ra:

g exp ˆ N    

 1

 ln 1 2



 0

 



ˆ oS 

 ˆ g N



   





 g 0 exp ln 1 2 ˆ N       

 ln 1 2







 ln 1 2





   

 ˆ  g N



    Suy ra:

2

 exp ˆ N g    

  0

 ln 1 2



 ln 1 2



 ln 1 2

 

 



 ˆ  g N



 2  

              Suy ra:

.

.

.

n

n

ˆ N

exp







 ln 1 2



 ln 1 2



 

 

 ˆ g N



   

 

 

 

n

n

Suy ra





g 0 

 ln 1 2





     

2

2

Vậy

ˆ N

ˆ N

1

1









...  

   





  1 ln 1 2



 ln 1 2

ˆ oS 

 

 

 

 2  

1 2!

n

n

ˆ nN

1

...















 ln 1 2





 

 

1 n !

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Phụ lục E: Một số tính toán mức năng lượng cơ bản khi chưa có bổ chính

Ta có công thức tổng quát tính các mức năng lượng bổ chính:

E

ˆ k k k H k k k



x

y

z

y

z

x

o

k k k y

x

z

 

ˆ ˆ ˆ S S S

o x

o y

o z

k k k

1











x

y

z

dt k k k x

y

z

 

ˆ2 n 





1 4

, , x y z

 

Z 

0

1 2

t

1

1

1







t  x

t  y

t  z

  

  

      

      

   

   

E

ˆ H

000

000



 0 0

o

 

ˆ ˆ ˆ S S S

o x

o y

o z

dt

000

2

1

000











 

ˆ n 





1 4

, , x y z

 

Z 

0

1 2

1

1

1

t







t  x

t  y

t  z

  

  

      

      

   

   

Vì tính đối xứng nên:

    





x

y

z

 

000

ˆ ˆ ˆ S S S

o x

o y

o z

E

dt

Suy ra:

000

2







 

 1 000

  0 0

ˆ n 





1 4

, , x y z

 

Z 

0

000 3 2

t

t 

 1  

  

 

 

1 1 dt      

2 





3 4 3 4 t 2 

Z 

Z 

 d       

0

0

3 2

3 2

 

 

Để tính tích phân ở ta thực hiện lấy nguyên hàm sau đó sẽ tính giới hạn.

1 2  t t   1     

2

Suy ra:

Đặt:

x 2 xdx   2  

d

1  1 2 

Khi đó:







2  d  d  dx      2 x 2 2 x  1 2 

3 2

3 2

 

 

1 2  2

2 

 1      

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

b

 

Do đó:





1 1 d  

0

a

3 2

3 2

 

 

 

 

lim 0 a  b  1 2  1 2         d    

2  2     b a b 1 2  b 2 b 1 2  b 2 1 2           lim 0 a  b 

Suy ra:







 

E 2  

2 

  0 0





3 4

3 4

Z 2 

Z 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Phụ lục F: Một số tính toán các mức năng lượng của bổ chính bậc

hai theo kiểu nhiễu loạn

1. Tính

E

,

E

,

020

E 002

200



200 200 200 E ˆ H

o

 

ˆ ˆ ˆ S S S

o x

o y

o z

dt

200

2

1

200











 

ˆ n 





1 4

x y z , ,

 

Z 

0

1 2

t

1

1

1







t  x

t  y

t  z

  

  

      

      

   

   





y

x

Vì tính đối xứng nên:

u u u

z 





u z

x

y







v v v v

x

y

z

         

 

ˆ ˆ ˆ S S S 200

o x

o y

o z







 

200 200 2 E dt

 1 200





ˆ n  1 4

, , x y z

 

Z 

0

200 3 2 t t 

 1  

  

Ta có:

200



 1 200

 ˆ n 2 



1 4

x y z , ,

 







 200 2

 3 200

xn





 

 4 3 



 

 

1 4 1 4 7 4

ˆ ˆ ˆ S S S 200

2

2 0

0

ˆ S

ˆ S

ˆ S

o x

o y

o z

o x

o x

o x

dt

Và:

 







dt

Z 

Z 

0

0

0 0 3 2

200 3 2

t

t t 

 1  

t    

 1  

  

 

(F1.1)



2 ˆ2 o xS dt  

Z 

0

3 2

t t   1     

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

2



n

n

n

2

x

x

Với:

ˆ v Ne

u

2

2

2





ˆ S





o x

x

ˆ  A x

ˆ A x





 



1 n !

n

1



  

  

2





n

n

m

2

n





+ 2 u

x

ˆ  A x

x





ˆ A x

 ˆ m v N x











! 1 m

1

n

m





        

2

1 ! n ˆ N

2

   1 v v

x

x



2 2 2 2 2 e e u    ˆ ˆ  u A A x x

2 x

Khi đó (F1.1) trở thành:

2



2ln(1 2 )  



e

2

 

 

2

2

v







e u 2     dt    2  d 

Z 

Z 

0

0

3 2

 



1 2     1 2  3   2 t t      1     1

2 2 



  2  d 

Z 

0

7 2

 

 

Thực hiện tính toán tích phân ta có:

 



1 2 

1

2 2 



2  d  19 30

0

7 2

 

 

1 2 

Suy ra:

E Z 2 2 Z      

200

Theo tính chất đối xứng ta có:

7 4 19 30 7 4 19 15    

E E E Z     

020

002

200

7 4 19 15  

E , E ,

2. Tính

202

E 022

220

220 220 220 E ˆ H 

o

 

ˆ ˆ ˆ S S S 220

o x

o y

o z

 

dt 220 2   

 1 220





ˆ n  1 4

x y z , ,

 

Z 

0

220 3 2 t t   1     

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Ta có:

220

2



 

 1 220

ˆ n



1 4

x y z , ,

 



 



220 (2 2 3) 220 ˆ n ˆ n      4 4 3   

y

x

 

 

1 4 1 4 11 4

ˆ ˆ ˆ S S S ˆ S ˆ S 220 2 2 2 2

o x

o y

o z

o x

Và:





dt dt   

Z 

Z 

0

0

220 3 2

o y 3 2

t t 1 1      t        t    

2

2

2



ve 2

 

 

2 u

2 



1 2     dt     2 

d 





Z 

Z 

0

0

   3 2

11 2

 

  

1 2  t  1   t    

 

2 Z 2     193 420 193 210

Z 

     

Vậy



E Z  

220

 

11 4 193 210

Theo tính chất đối xứng ta có:



E E E Z    

202

022

220

 

11 4 193 210

E , E ,

3. Tính

040

E 004

400

400 400 E ˆ H 

4 00

o

 

ˆ ˆ ˆ S S S 400

o x

o y

o z

 

dt 400 2   

 1 400





ˆ n  1 4

x y z , ,

 

Z 

0

400 3 2 t  1   t    

Ta có:

 

400 2 

 1 400



ˆ n 1 4

x y z , ,

 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử





 



   8 3  

 400 2

 3 400

 

 

ˆ xn 1 4 11 4 1 4

ˆ ˆ ˆ S S S 400 4

o x

o y

o z

(F3.1)

Và:





ˆ4 o xS dt  dt  

Z 

Z 

0

0

400 3 2

3 2

t t t   1   t      1     

2

ˆ N

ˆ N

2

v

v

x

x

x

x

(

1)

)





Với

e u 4 4 4 4  

ˆ S



ˆ ˆ  u A A x x

2 x

4 x

ˆ A  x

ˆ A x

o x

ˆ  u A e ( x

2 x

ˆ A x





   

   

1 4

2

4





ˆ N

v

v

4

2

v

ˆ v N

ˆ 4 4! 12 4 ˆ 2 A u A e ˆ A e u

2 u e





e    

 ˆ 4 u A

 2

1 4 1 4

4

4

v

2

v



6

u

12

2 u e





e

Khi đó (F3.1)trở thành

 

 

4

2

4

v

2

v

6 u 12 12 

4 6 

e

e

1







dt    2 

d 





Z 

Z 

0

0

u 3 2

2  11 2

 

 

1 2  t t   1     

 

2 Z     1321 2520 1321 1260

Z 

 2      

Suy ra:



E Z  

400

 

Theo tính chất đối xứng ta có:

11 4 1321 1260



E E E Z    

040

004

400

 

11 4 1321 1260

4. Tính

222E

222 222 E ˆ H 

222

o

 

ˆ ˆ ˆ S S S 222

o x

o y

o z

 

dt 222 2   

 1 222





ˆ n  1 4

x y z , ,

 

Z 

0

222 3 2 t t   1     

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Ta có:

222

2



 

 1 222

ˆ n



1 4

x y z , ,

 







 

2 2 ˆ n ˆ n      4 4 4 3    

x

ˆ n z

y

 222 2

 3 222

 

 

1 4 15 4 1 4

ˆ ˆ ˆ S S S ˆ S ˆ S ˆ S 222 2 2 2 2

o x

o y

o z

o x

o y

o z

Và:





dt dt   

Z 

Z 

0

0

222 3 2 2 2 3 2 t t 1 1   t  t             

3

3

2

 

 



ve 2

2 u 1 2 

2 













dt     2  d 

Z 

Z 

0

0

3 2

15 2

 

 

1 2  t  1   t    

2 Z 2      14737 40040 14737 20020  

Z 

     

Vậy:

E Z   

222

15 4 14737 20020  

5. Tính

E

,

E

,

E

,

E

,

E

,

402

240

204

024

E 042

420

420 420 E ˆ H 

222

o

 

ˆ ˆ ˆ S S S 420

o x

o y

o z

 

420 2 dt   

 1 420





ˆ n  1 4

x y z , ,

 

Z 

0

420 3 2 t  1   t    

Ta có:

 

420 2 

 1 420



ˆ n 1 4

x y z , ,

 



 



2 ˆ n ˆ n      8 4 3   

x

y

 420 2

 3 420

1 4 1 4 15 4

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

 

ˆ ˆ ˆ S S S ˆ S ˆ S 420 4 4 2 2

o x

o y

o z

o x

Và:





dt dt   

Z 

Z 

0

0

420 3 2

o y 3 2

1 1 t t   t           t    

4

2

2

4

v

2

v

2

v

 

6 u 12 u 2 u 

e

e

e













dt  

Z 

0

3 2

t t   1  

v

 

12 

4 

2 

2 

   2 e

 1 6

 1 2





 

d 



2 

Z 

0

15 2

 

  

1 2 

2 Z 2      95353 240240 95353 120120  

Z 

     

Suy ra :

E Z   

420

Theo tính chất đối xứng ta có:

15 4 95353 120120  

E E E E E E Z        

402

240

204

024

042

420

15 4 95353 120120  

E , E , E

6. Tính

060

006

600

600 600 E ˆ H 

222

o

 

ˆ ˆ ˆ S S S 600

o x

o y

o z

 

600 2 dt   

 1 600





ˆ n  1 4

x y z , ,

 

Z 

0

Ta có:

600 3 2 t  1   t    

600

2



 

 1 600

ˆ n



1 4

x y z , ,

 



 



    12 3  

 600 2

 3 600

ˆ xn 1 4 15 4 1 4

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

 

ˆ ˆ ˆ S S S 600 ˆ S 6 6

o x

o y

o z

o x

Và:

(F6.1)





dt dt   

Z 

Z 

0

0

600 3 2

3 2

1 1 t t   t  t             

2

3

3

2

x

x

ˆ v Ne

Với:

u u 6 6 6  

ˆ S





ˆ ˆ  u A A x x

2 x

4 x

ˆ A  x

ˆ A x

6 x

ˆ A  x

ˆ A x

o x









   

   

1 4 1 36

ˆ v N x

x

ˆ v N x

x

(

1)

(

1)

)







6 e  ˆ  u A e ( x

2 x

ˆ A x ˆ 2 A x

 ˆ 4  u A x x

 2

1 4

3

2

3

2







ˆ vN

ˆ vN

ˆ vN





ˆ 6 6 e ˆ 2 A u A e ˆ A ˆ A e ˆ A  

 ˆ 6 u A







1 36 1 4

6

6

6

4

v

2

v

6

v

v

v

v

6! 6.5 6.5.4.3 30 90 20 e u

2 u e

4 u e

2 4 u e

4 2 u e

u   

e



















 

1 36 1 4

6

v

v

v

6

e

30

2 4 u e

90

20

u







dt

Khi đó (F6.1)trở thành:





Z 

0

4 2 u e 3 2

t

t 

 1  

  

1 30

90

20

2 

4 

6 



2

Z

2 

d 

 

 

 

   

22291 48048

22291 24024

 

Z 

Z 

 2   

  

0

 15 2

1 2 

 

 

E

Z

Suy ra:







600

15 4

22291 24024

 

Theo tính chất đối xứng ta có:

E

E

E

Z











060

006

600

15 4

22291 24024

 

7. Tính

E

,

E

,

E

242

422

224

E

ˆ H

224

224



224

o

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

224

ˆ ˆ ˆ S S S

o x

o y

o z

224

2

dt







 

 1 224

ˆ n 





1 4

x y z , ,

 

Z 

0

224 3 2

t

t 

 1  

  

Ta có:

224

2



 

 1 224

ˆ n



1 4

x y z , ,

 

ˆ n

ˆ n

2

2













4 4 8 3   







 

x

ˆ n z

y

 224 2

 3 224

1 4

1 4

19 4

 

 

224

2

2 2

4

ˆ ˆ ˆ S S S

ˆ S

ˆ S

ˆ S

o x

o y

o z

o x

o y

o z

dt

dt

Và:



 





Z 

Z 

0

0

224 3 2

2 4 3 2

1

1

t

t





t 

t 

  

  

  

  

2

2

4

2

v

4

v

2

v

 

e

2

u

e

6

u

12

2 u e









 



dt

 



Z 

0

3 2

t

t 

  

 

12

1 2 



2 

4 

2 

 1 6





 

2 

d 



Z 

0

19 2

1 2 

 1   2    

 

Z

2

 

 

8038847 24504480

8038847 12252240

 

Z 

 2   

  

Suy ra:

E

Z





 

224

19 4

8038847 12252240

 

Theo tính chất đối xứng ta có:

E

E

E

Z









 

242

422

224

15 4

8038847 12252240

 

E

,

E

,

E

,

E

,

E

,

E

8. Tính

602

260

206

062

026

620

E

ˆ H

620

620



620

o

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

620

ˆ ˆ ˆ S S S

o x

o y

o z

620

2

dt







 

 1 620

ˆ n 





1 4

x y z , ,

 

Z 

0

620 3 2

t

 1  

t    

Ta có:

620

2



 

 1 620

ˆ n



1 4

x y z , ,

 

ˆ n

ˆ n

2











12 4 3  





 



x

y

 620 2

 3 620

1 4

19 4

1 4

 

 

620

6

6 2

2

ˆ ˆ ˆ S S S

ˆ S

ˆ S

o x

o y

o z

o x

dt

dt

Và:



 





Z 

Z 

0

0

620 3 2

o y 3 2

1

1

t

t





  

t    

  

t    

2

6

2

v

6

v

4

v

v

 

e

2

u

e

20

u

30

2 u e

90

4 2 u e















dt

 



Z 

0

3 2

t

t 

 1  

  

 

30

90

1 20 



6 

2 

4 

2 



 1 2







 

d 

2 



Z 

0

19 2

1 2 

 

 

Z

2

 

 

8805289 24504480

8805289 12252240

 

Z 

 2   

  

Suy ra:

E

Z







620

19 4

8805289 12252240

 

Theo tính chất đối xứng ta có:

E

E

E

E

E

E

Z

















602

260

206

062

026

620

19 4

8805289 12252240

 

E

,

E

,

E

9. Tính

404

044

440

E

ˆ H

440

440



440

o

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

440

ˆ ˆ ˆ S S S

o x

o y

o z

440

2

dt







 

 1 440

ˆ n 





1 4

x y z , ,

 

Z 

0

440 3 2

t

 1  

t    

Ta có:

440

2



 

 1 440

ˆ n



1 4

x y z , ,

 

ˆ n

ˆ n

2











8 8 3  





 



x

y

 440 2

 3 440

1 4

19 4

1 4

 

 

440

4

4 4

4

ˆ ˆ ˆ S S S

ˆ S

ˆ S

o x

o y

o z

o x

dt

dt

Và:



 





Z 

Z 

0

0

440 3 2

o y 3 2

1

1

t

t





t 

  

  

  

t    

2

4

4

v

2

v

 

 

e

6

u

12

2 u e





12

2 2 )

(1 6 



4 





dt

 

 

2 

d 





Z 

Z 

0

0

 19 2

3 2

1 2 

 

 

t

 1  

t    

2

Z

 

 

1314641 3769920

1314641 1884960

 

Z 

  

 2   

Suy ra:

E

Z







440

19 4

1314641 1884960

 

Theo tính chất đối xứng ta có:

E

E

E

Z











404

044

440

19 4

1314641 1884960

 

10. Tính

E

,

E

,

E

080

008

800

E

ˆ H

800

800



800

o

 

800

ˆ ˆ ˆ S S S

o x

o y

o z

800

2

dt







 

 1 800

ˆ n 





1 4

x y z , ,

 

Z 

0

800 3 2

t

 1  

t    

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Ta có:

800

2



 

 1 800

ˆ n



1 4

x y z , ,

 









16 3 





 



 800 2

 3 800

ˆ xn

1 4

19 4

1 4

 

 

ˆ ˆ ˆ S S S

800

ˆ S

8

8

o x

o y

o z

o x

dt

dt

(F10.1)

Và:



 





Z 

Z 

0

0

800 3 2

3 2

t

t

1

1





t 

t 

  

  

  

  

Với:

2

3

4

2

3

4

ˆ N

v

x

x

e

8

8

8











ˆ o S x

ˆ ˆ  u A A x x

2 x

ˆ A x

ˆ A x

ˆ A x



 ˆ 6  u A x x



 ˆ 8  u A x x



1 36

3

ˆ N

ˆ N

1 576 ˆ N

v

 ˆ 4  u A x x v

v

x

x

x

x

x

x

(

1)

(

1)

(

1)

)







8

e

e







ˆ  u A e ( x

2 x

ˆ A x

ˆ 2 A x

ˆ 3 A x

 ˆ 4  u A x x

1 4 2 



1 4

4

3

4

3

2









ˆ v N

ˆ v N

ˆ v N

 ˆ 6  u A x x ˆ v N

ˆ

e

ˆ 2 A u A e

ˆ A

e

ˆ A

ˆ A

e

8

8





 





 ˆ 8 u A



 ˆ 4 u A

 ˆ 6 u A



1 576

1 4

8

8

v

6

v

v

2

v

e

u

2 u e

4 4 u e

6 u e

8!

8.7

8.7.6.5

8.7.6.5.4.3











1 36 











1 36 2  1 36

8

8

v

v

v

2

v

2 6 u e

420

4 4 u e

6 u e

70

u

1 4 560

1 576 56

e









Khi đó (F10.1) trở thành

 

8

8

v

6

v

v

2

v

e 2 u e

4 4 u e

6 u e









u 56 420 560 70 dt 

Z 

0

 3 2

 

t t   1     

420 70

2 

4 

6 

8 

 

 1 56





d  2   

Z 

0

 

 

560 19 2 1 2 

Z 2     5931721 14002560 5931721 7001280  

Z 

 2      

Suy ra:

E Z   

800

19 4 5931721 7001280  

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Theo tính chất đối xứng ta có:

E E E Z     

080

008

800

19 4 5931721 7001280  

11. Tính

E

,

E

,

E

262

622

226

E

ˆ H

226

226



226

o

 

ˆ ˆ ˆ S S S 226

o x

o y

o z

 

dt 226 2   

 1 226





ˆ n  1 4

x y z , ,

 

Z 

0

226 3 2 t t   1     

Ta có:

 

226 2 

 1 226



ˆ n 1 4

x y z , ,

 





 

2 2 4 4 12 3 ˆ n ˆ n          

x

ˆ n z

y

 226 2

 3 226

 

 

1 4 1 4 23 4

ˆ ˆ ˆ S S S ˆ S ˆ S ˆ S 226 2 2 2 6

o x

o y

o z

o x

o y

o z

Và:





dt dt   

Z 

Z 

0

0

226 3 2 2 6 3 2 t t 1 1   t  t             

2

2

2

6

2

v

6

v

4

v

v

 

e

e

e

4 2 e

2

u

30

u

90

u

20

u









 



dt

 



Z 

0

 3 2

t

t 

 1  

  

2

 

1 30 90 20 1 2 

2 

2 

4 

6 









 





2  d   

Z 

0

23 2

 

 

1 2 

Z 2     281330527 931170240 281330527 465585120  

Z 

Suy ra:

 2      

E Z   

226

23 4 281330527 465585120  

Theo tính chất đối xứng ta có:

E E E Z     

262

622

226

23 4 281330527 465585120  

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

12. Tính

E

,

E

,

E

424

244

442

442 442 E ˆ H 

442

o

 

ˆ ˆ ˆ S S S 442

o x

o y

o z

 

dt 442 2   

 1 442





ˆ n  1 4

x y z , ,

 

Z 

0

442 3 2 t  1   t    

Ta có:

 

442 2 

 1 442



ˆ n 1 4

x y z , ,

 





 

2 2 ˆ n ˆ n       8 8 4 3    

x

ˆ n z

y

 442 2

 3 442

 

 

1 4 23 4 1 4

ˆ ˆ ˆ S S S ˆ S ˆ S ˆ S 442 4 4 4 2

o x

o y

o z

o x

o y

o z

Và:





dt dt   

Z 

Z 

0

0

442 3 2 4 2 3 2 t t 1 1   t        t       

2

4

2

4

v

v

2

v

 

e 6 u 12

2 2 u e









 



e 2 u  dt  

Z 

0

3 2

 

t  1  

12 

4 

2 

2 

 1 6

 1 2







  2  d 

Z 

0

23 2

 

1 2  t     2    

2 Z     551803019 1862340480 551803019 931170240  

Z 

 2      

Suy ra:

E Z   

442

23 4 551803019 931170240  

Theo tính chất đối xứng ta có:

E E E Z     

424

244

442

23 4 551803019 931170240  

E , E , E , E E , E

13. Tính

604

406

460

046

064

640

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

E

ˆ H

640

640



640

o

 

ˆ ˆ ˆ S S S 640

o x

o y

o z

 

dt 640 2   

 1 640





ˆ n  1 4

x y z , ,

 

Z 

0

Ta có:

640 3 2 t  1   t    

640

2



 

 1 640

ˆ n



1 4

x y z , ,

 



 



2 ˆ n ˆ n      12 8 3   

x

zy

 640 2

 3 640

 

 

1 4 23 4 1 4

ˆ ˆ ˆ S S S ˆ S ˆ S 640 6 6 4 4

o x

o y

o z

o x

Và:





dt dt   

Z 

Z 

0

0

640 3 2

o y 3 2

1 1 t t   t     t          

6

4

6

v

v

v

4

v

v

 

e 30

2 4 u e

90

4 2 u e

20 u 6 u 12

2 2 u e













e    dt  

Z 

0

3 2

 

t  1     

90 20 12

2 

4 

6 

4 

2 



1 30   

 1 6







2  d   

Z 

0

23 2

 

1 2  t    

2 Z     65992533 206926720 65992533 103463360  

Z 

 2      

Suy ra:

E Z   

640

Theo tính chất đối xứng ta có:

23 4 65992533 103463360  

E E E E E E Z        

604

460

406

046

064

640

23 4 65992533 103463360  

14. Tính

E

,

E

,

E

,

E

E

,

E

802

280

208

082

028

820

820 820 E ˆ H 

820

o

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

ˆ ˆ ˆ S S S 820

o x

o y

o z

 

820 2 dt   

 1 820





ˆ n  1 4

x y z , ,

 

Z 

0

Ta có:

820 3 2 t  1   t    

820

2



 

 1 820

ˆ n



1 4

x y z , ,

 



 



2 ˆ n ˆ n      16 4 3   

x

zy

 820 2

 3 820

 

 

1 4 23 4 1 4

ˆ ˆ ˆ S S S ˆ S ˆ S 820 8 8 2 2

o x

o y

o z

o x

Và:





dt dt   

Z 

Z 

0

0

820 3 2

o y 3 2

1 1 t t   t           t    

8

2

8

v

v

v

2

v

2

v

 

56

2 6 u e

420

4 4 u e

560

6 u e

70

u

e

2

u

e

















dt

 



Z 

0

3 2

t

t 

 1  

 

420

560

70

2 

4 

6 

8 

2 

 1 56





 1 2







2 

d 

 



Z 

0

    23 2

1 2 

 

 

Z

2

 

 

1240173241 3724680960

1240173241 1862340480

 

Z 

 2   

  

E

Z

Suy ra:







820

23 4

1240173241 1862340480

 

Theo tính chất đối xứng ta có:

E

E

E

E

E

E

Z

















802

280

208

082

028

820

23 4

1240173241 1862340480

 

15. Tính

E

,

E

,

E

1000

0100

0010

E

ˆ H

1000

1000



1000

o

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

ˆ ˆ ˆ S S S

1000

o x

o y

o z

1000

2

dt







 

 1 1000

ˆ n 





1 4

x y z , ,

 

Z 

0

1000 3 2

t

t 

 1  

  

Ta có:

1000

2



 

 1 1000

ˆ n



1 4

x y z , ,

 









20 3 





 



 1000 2

 3 1000

ˆ xn

1 4

23 4

1 4

 

 

ˆ ˆ ˆ S S S

1000

ˆ S

10

10

o x

o y

o z

o x

(F15.1)

dt

dt

Và:



 





Z 

Z 

0

0

1000 3 2

3 2

t

t

1

1





t 

t 

  

  

  

  

Với:

2

3

4

2

3

4

ˆ v N x

x

e

10

10

10











ˆ o S x

ˆ ˆ  u A A x x

2 x

ˆ A x

ˆ A x

ˆ A x

 ˆ 4  u A x x



 ˆ 8  u A x x



1 4

1 36

2

5

5

1 576 ˆ v N x

x

ˆ v N x

x

(

1)

(

1)





e







ˆ A x

ˆ 2 A x

ˆ A x

ˆ  u A e ( x

2 x



  ˆ 4  u A x x



3

4

ˆ N

 ˆ 6  u A x x 1 4 v

x

x

ˆ v N x

x

1)

)

(

1)

(





10

e

e





ˆ 4 A x

ˆ 3 A x

 ˆ 10  u A x x 

 ˆ 8  u A x x

1 576

5

2

5

2







1 14400 1  ˆ 6  u A x x 36 v N ˆ

 ˆ vN

ˆ vN

ˆ

10

e

ˆ 2 A u A e

ˆ A

e

ˆ A











 ˆ 10 u A

 ˆ 4 u A



1 4

4

3

4





ˆ vN

ˆ vN

e

ˆ A

e

ˆ 10 A





1 14400 3 

 ˆ 6 u A

 ˆ 8 u A



 1 576

1 36

10

10

v

8

v

v

10!

10.9

10.9.8.7

e

u

2 u e

4 6 u e

















1 4

4

v

v

10.9.8.7.6.5

10.9.8.7.6.5.4.3

6 u e

8 2 u e



 









1 14400 1 36

1 576

10

10

v

v

v

v

v

e

90

2 8 u e

1260

4 6 u e

4200

6 4 u e

3150

8 2 u e

252

u













Khi đó (F15.1) trở thành

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

10

10

v

v

v

v

v

e

90

2 8 u e

1260

u

4200

3150

8 2 u e

252

u

4 6 e











dt

 



Z 

0

6 4 u e 3 2

t

 1  

t    

1 90

1260

4200

3150

252

2 

4 

6 

8 

10 







 

2 

d 

   

Z 

0

 23 2

1 2 

 

 

2

Z

 

 

97817443 248312064

97817443 124156032

 

Z 

 2   

  

E

Z

Suy ra:







1000

23 4

97817443 124156032

 

E

E

E

Z

Theo tính chất đối xứng ta có:











0100

0010

1000

23 4

97817443 124156032

 

E

,

E

,

E

16. Tính

282

822

228

228

228

E

ˆ H



o

228

 

ˆ ˆ ˆ S S S

228

o x

o y

o z

228

2

dt







 

 1 228

ˆ n 





1 4

, , x y z

 

Z 

0

228 3 2

t

t 

 1  

  

Ta có:

228

2



 

 1 228

ˆ n



1 4

, , x y z

 

2

4 4 16 3

ˆ n

ˆ n











 







 



x

zy

 228 2

 3 228

1 4

1 4

27 4

 

 

ˆ ˆ ˆ S S S

ˆ S

ˆ S

ˆ S

228

2

2 2

8

o x

o y

o z

o x

o y

o z

dt

dt

Và:



 





Z 

Z 

0

0

228 3 2

2 8 3 2

t

t

1

1





t 

t 

  

  

  

  

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

2

2

8

2

v

8

v

v

v

2

v

 

e

2

u

e

56

2 6 u e

420

4 4 u e

560

6 u e

70

u













 



dt

 



Z 

0

3 2

t

 1  

t    

2

 

420

560

70

2 

2 

4 

6 

8 

 1 2

 1 56









 



2 

d 

 



Z 

0

27 2

1 2 

 

 

2

Z

 

 

5389528059 19037258240

5389528059 9518629120

 

Z 

 2   

  

E

Z

Suy ra:







228

27 4

5389528059 9518629120

 

E

E

E

Z

Theo tính chất đối xứng ta có:











282

822

228

27 4

5389528059 9518629120

 

E

,

E

,

E

,

E

,

E

,

E

17. Tính

264

426

462

624

642

246

246

246

E

ˆ H



o

246

 

ˆ ˆ ˆ S S S

246

o x

o y

o z

246

2

dt







 

 1 246

ˆ n 





1 4

, , x y z

 

Z 

0

246 3 2

t

t 

 1  

  

Ta có:

246

2



 

 1 246

ˆ n



1 4

, , x y z

 

2

4 8 12 3

ˆ n

ˆ n











 







 



x

zy

 246 2

 3 246

1 4

1 4

27 4

 

 

ˆ ˆ ˆ S S S

ˆ S

ˆ S

ˆ S

246

2

2 4

6

o x

o y

o z

o x

o y

o z

dt

dt

Và:



 





Z 

Z 

0

0

246 3 2

4 6 3 2

t

t

1

1





t 

t 

  

  

  

  

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

2

4

6

2

v

4

v

v

6

v

v

v

 

e

2

u

e

6

u

12

2 2 u e

30

2 4 u e

90

4 2 u e

20

u

e





















dt

 



Z 

0

3 2

t

t 

  

 

12

90



1 30 



2 

4 

2 

2 

4 

6 

20

 1 2

 1 6





 1   





 

d 

2 



Z 

0

27 2

1 2 

 

 

2

Z

 

 

2618546951 9518629120

2618546951 4759314560

 

Z 

 2   

  

E

Z

Suy ra:







246

27 4

2618546951 4759314560

Theo tính chất đối xứng ta có:

 

E

E

E

E

E

E

Z

















264

426

462

624

642

246

27 4

2618546951 4759314560

 

18. Tính

E

,

E

,

E

,

E

,

E

,

E

2100

2010

1002

1020

0102

0210

2100

2100

E

ˆ H



o

2100

 

ˆ ˆ ˆ S S S

2100

o x

o y

o z

2100

2

dt







 

 1 2100

ˆ n 





1 4

, , x y z

 

Z 

0

2100 3 2

t

t 

 1  

  

2100

2

Ta có:



 

 1 2100

ˆ n



1 4

, , x y z

 

2

4 20 3

ˆ n

ˆ n

















 





x

zy

 2100 2

 3 2100

1 4

1 4

27 4

 

 

ˆ ˆ ˆ S S S

ˆ S

ˆ S

2100

2

2 10

10

o x

o y

o z

o x

dt

dt

Và:



 





Z 

Z 

0

0

2100 3 2

o y 3 2

t

t

1

1





t 

t 

  

  

  

  

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

2

10

2

v

v

v

v

v

v





e

2

u

10 e

90

2 8 u e

1260

4 6 u e

4200

6 4 u e

3150

8 2 u e

252

u





















dt





Z 

0

3 2

t

1



  

2

10





1

1

90

1260

4200

3150

252

t     6 

2 

2 

4 

8 























2 

d 





Z 

0

27 2

1 2 

 

 

2

Z

 

 

29784110163 95186291200

2618546951 47593145600

 

Z 

 2   

  

E

Z

Suy ra:







2100

27 4

2618546951 47593145600

 

Theo tính chất đối xứng ta có:

E

E

E

E

E

E

Z

















2010

1002

1020

0102

0210

2100

27 4

2618546951 47593145600

 

E

,

E

,

E

19. Tính

606

066

660

660

660

E

ˆ H



o

660

 

ˆ ˆ ˆ S S S

660

o x

o y

o z

660

2

dt







 

 1 660

ˆ n 





1 4

, , x y z

 

Z 

0

660 3 2

t

 1  

t    

Ta có:

660

2



 

 1 660

ˆ n



1 4

, , x y z

 

2

12 12 3

ˆ n

ˆ n





















 

x

y

 660 2

 3 660

1 4

1 4

27 4

 

 

ˆ ˆ ˆ S S S

ˆ S

ˆ S

660

6

6 6

6

o x

o y

o z

o x

dt

dt

Và:



 





Z 

Z 

0

0

660 3 2

o y 3 2

t

t

1

1





t 

  

t    

  

  

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

2

6

6

v

4

v

v

 

e

20

u

30

2 u e

90

4 2 u e









dt

 



Z 

0

 3 2

t

t 

 1  

  

2

 

30

90



6 

2 

4 

 1 20





 

2 

d 



Z 

0

 27 2

1 2 

 

 

2

Z

 

 

13970291109 47593145600

13970291109 23796572800

 

Z 

 2   

  

E

Z

Suy ra:







660

27 4

13970291109 23796572800

 

E

E

E

Z

Theo tính chất đối xứng ta có:











066

606

660

27 4

13970291109 23796572800

 

E

,

E

,

E

,

E

E

,

E

20. Tính

804

480

408

084

048

840

E

ˆ H

840

840



o

840

 

ˆ ˆ ˆ S S S

840

o x

o y

o z

840

2

dt







 

 1 840

ˆ n 





1 4

, , x y z

 

Z 

0

840 3 2

t

 1  

t    

Ta có:

840

2



 

 1 840

ˆ n



1 4

, , x y z

 

2

ˆ n

ˆ n









16 8 3  







 



x

zy

 840 2

 3 840

1 4

1 4

27 4

 

 

ˆ ˆ ˆ S S S

ˆ S

ˆ S

840

8

8 4

4

o x

o y

o z

o x

Và:

dt

dt



 





Z 

Z 

0

0

840 3 2

o y 3 2

t

t

1

1





t 

  

t    

  

  

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

8

4

8

v

v

v

2

v

2

v

2

v

 

56

2 6 u e

420

4 4 u e

560

6 u e

70

u

e

12

2 u e

6

u

e

















dt

 



Z 

0

 3 2

t

t 

2

 

420

560

70

6

2 

4 

6 

8 

 1   

 1 56





 1 12

4   





   

 

2 

d 



Z 

0

27 2

1 2 

 

 

Z

2

 

 

11329720657 38074516480

11329720657 19037258240

 

Z 

 2   

  

E

Z

Suy ra:







840

27 4

11329720657 19037258240

 

Theo tính đối xứng ta có:

E

E

E

E

E

E

Z

(E20.1)

















804

480

408

084

048

840

27 4

11329720657 19037258240

 

21. Tính

444E

E

ˆ H

444

444



o

444

 

ˆ ˆ ˆ S S S

444

o x

o y

o z

444

2

dt







 

 1 444

ˆ n 





1 4

, , x y z

 

Z 

0

444 3 2

t

 1  

t    

444

2

Ta có:



 

 1 444

ˆ n



1 4

, , x y z

 

2

ˆ n

ˆ n









8 8 8 3   









 

x

zy

 444 2

 3 444

1 4

1 4

27 4

 

 

ˆ ˆ ˆ S S S

ˆ S

ˆ S

ˆ S

444

4

4 4

4

o x

o y

o z

o x

o y

o z

Và:

dt

dt



 





Z 

Z 

0

0

444 3 2

4 4 3 2

t

t

1

1





t 

t 

  

  

  

  

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

3

3

4

2

v

2

v

2

 

 

e

12

2 u e

6

u



6

 1 12

4   









dt

 

 

2 

d 





Z 

Z 

0

0

 3 2

27 2

1 2 

 

 

t

 1  

t    

Z

2

 

 

54255501 200392192

54255501 100196096

 

Z 

 2   

  

E

Z

Vậy







444

27 4

54255501 100196096

 

22. Tính

E

,

E

,

E

1200

0120

0012

1200

1200

E

ˆ H



o

1200

 

ˆ ˆ ˆ S S S

1200

o x

o y

o z

1200

2

dt







 

 1 1200

ˆ n 





1 4

, , x y z

 

Z 

0

1200 3 2

t

t 

 1  

  

1200

2

Ta có:



 

 1 1200

ˆ n



1 4

, , x y z

 







24 3 







 



 1200 2

 3 1200

ˆ xn

1 4

27 4

1 4

 

 

ˆ ˆ ˆ S S S

1200

ˆ S

12

12

o x

o y

o z

o x

(F22.1)

Và:

dt

dt



 





Z 

Z 

0

0

1200 3 2

3 2

t

t

1

1





t 

t 

  

  

  

  

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Với:

2

3

2

3

ˆ N

v

x

x

12

12

12

e











ˆ o S x

ˆ ˆ  u A A x x

2 x

ˆ A x

ˆ A x

 ˆ 4  u A x x





1 4 5

4

6

5

4

6









ˆ A x

ˆ A x

ˆ A x

 ˆ 10  u A x x



 ˆ 8  u A x x

1 36  ˆ 12  u A x x

 ˆ 6  u A x x 

1 518400

1 576

2

3

 ˆ N

ˆ N

ˆ N

v

v

v

x

x

x

x

x

x

(

1)

(

1)

(

1)







e

e







ˆ  u A e ( x

2 x

ˆ A x

ˆ 2 A x

ˆ 3 A x

 ˆ 4  u A x x



 ˆ 6  u A x x



1 14400 1 4

4

5

ˆ N

1 36 ˆ N

v

v

x

x

x

x

(

1)

(

1)

)





u

e

e

12





8 x

ˆ  A x

ˆ 4 A x

ˆ 5 A x





1 14400

1 576

6

2

6

2







 ˆ v N

 ˆ 10  u A x x ˆ v N

ˆ v N

ˆ

12

e

ˆ A

ˆ 2 A u A e

e

ˆ A













 ˆ 4 u A



4

5

3

4

5







1 518400 ˆ 3 v N

ˆ v N

ˆ v N

e

ˆ A

e

ˆ A

e

ˆ 12 A







 ˆ 6 u A



 ˆ 8 u A



 ˆ 10 u A



1 36

 ˆ 12 u A 1 576

1 4 1 14400

12

12

v

10

v

v

12!

12.11

12.11.10.9

e

u

2 u e

4 8 u e



















1 518400

1 4

6

v

v

12.11.10.9.8.7

12.11.10.9.8.7.6.5

6 u e

8 4 u e















1 576

v

12.11.10.9.8.7.6.5.4.3

10 2 u e







12

2 10

v

v

v

v

2

v

132

u e

2970

4 8 u e

18480

6 6 u e

34650

8 4 u e

16632

10 u e

924

u

e

1 36 1 14400 v 12 











Khi đó (F22.1)trở thành

 

2970

18480

16632

924

2 

4 

6 

8 

10 

12 

 1 132











 

2 

d 



Z 

0

34650 27 2

1 2 

 

 

2

Z

 

 

6416481316 17306598400

6416481316 8653299200

 

Z 

 2   

  

Suy ra:

E

Z







1200

27 4

6416481316 8653299200

 

Theo tính đối xứng ta có:

E

E

E

Z











0120

0012

1200

27 4

6416481316 8653299200

 

E

,

E

,

E

23. Tính

1400

0140

0014

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

E

ˆ H

1400

1400



o

1200

 

1400

ˆ ˆ ˆ S S S

o x

o y

o z

1400

2

dt







 

 1 1400

ˆ n 





1 4

x y z , ,

 

Z 

0

1400 3 2

t

t 

 1  

  

Ta có:

1400

2



 

 1 1400

ˆ n



1 4

, , x y z

 









28 3 





 



 1400 2

 3 1400

ˆ xn

1 4

1 4

31 4

 

 

ˆ ˆ ˆ S S S

1400

ˆ S

14

14

o x

o y

o z

o x

dt

dt

Và:



 





Z 

Z 

0

0

1400 3 2

3 2

t

t

1

1





t 

t 

  

  

  

  

2

Z

 

 

238310757527 694926489600

238310757527 347563244800

 

Z 

 2   

  

Suy ra:

E

Z







1200

31 4

238310757527 347563244800

 

Theo tính đối xứng ta có:

E

E

E

Z











0140

0014

1400

31 4

238310757527 347563244800

 

E

,

E

,

E

,

E

E

,

E

24. Tính

0212

0122

1202

1220

2120

2012

E

ˆ H

0212

0212



o

0212

 

0212

ˆ ˆ ˆ S S S

o x

o y

o z

0212

2

dt







 

 1 0212

ˆ n 





1 4

x y z , ,

 

Z 

0

0212 3 2

t

t 

 1  

  

Ta có:

0212

2







 

 1 0212

ˆ n



1 4

31 4

, , x y z

 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

 

0212

2

2 12

12

ˆ ˆ ˆ S S S

ˆ S

ˆ S

o x

o y

o z

o y

dt

dt

Và:



 





Z 

Z 

0

0

0212 3 2

o y 3 2

1

1

t

t





t 

t 

  

  

  

  

2

Z

 

 

8045905328803 27102133094400

8045905328803 13551066547200

 

Z 

 2   

  

Suy ra:

E

Z







0212

31 4

8045905328803 13551066547200

 

Theo tính đối xứng ta có:

E

E

E

E

E

E

Z

















0212

0122

2120

2012

1220

1202

31 4

8045905328803 13551066547200

 

Các bổ chính năng lượng tiếp theo có thể tính tương tự

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Phụ lục G: Một số tính toán các yếu tố ma trận của bổ chính bậc hai theo

kiểu nhiễu loạn

V

,

V

,

V

1. Tính

000,200

000,020

000,002

V

000

ˆ V

200



000,200

 

000

ˆ ˆ ˆ S S S

o y

 x

o z

2

000

200

ˆ a

ˆ a









dt

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

200 3 2

t

t 

 1  

  

 

ˆ0 S 2  x ˆ a 000 200   

dt

2 x

 





1 4

Z 

0

3 2

 

t t   1     

0 2 ˆ u A x x 000 200 ˆ a   

dt

2 x

 





1 4

Z 

0

3 2

 

 

t t   1     

2 u 2       2 

dt







d 





2 4

2 4

Z 

Z 

0

0

3 2

5 2

 

 

 

1 2  t t   1     





 2   

d 



2 4

Z 

0

5 2



 

1 2 









Z 2     2 6 2 3

2 4

2 4

 

Z 

        

Vậy:









000,020

V V V Z  

000,002

000,200

2 3

2 4

 

V , V , V

2. Tính

000,220

000,202

000,022

V

000

ˆ V

220



000,220

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

000 ˆ ˆ ˆ  S S S y  x

o z

2

ˆ a ˆ a dt 000 220    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

 

220 3 2 t t   1     

ˆ S ˆ S 0 2 0 2  x ˆ a ˆ a ˆ a 000 220     

dt

2 x

2 y

2 z

 





1 4

Z 

0

 

 y 3 2 t t   1     

0 2 0 2 ˆ u A x x

y

000 220 ˆ a ˆ a ˆ a     

dt

2 x

2 y

2 z

 





1 4

Z 

0

 

ˆ u A y 3 2 t t   1     

0 2 0 2 ˆ u A x x

y

000 220 ˆ a ˆ a ˆ a     

dt

2 x

2 y

2 z

 





1 4

Z 

0

 

 

ˆ u A y 3 2 t t   1     

2

2 u 2 u

x

y











2 u dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

3 2

3 2

 

 

t t 1 1   t           t    

2

2 

3  2







2 2  2  d     d 

Z 

Z 

0

0

7 2

7 2

 

 



 

1 2  1 2 





2 2 Z   2 20 1 5  

Z 

        

Vậy:





V V Z  

000,202 V

000,022

000,220

1 5  

3.Tính

V

,

V

,

V

000,400

000,040

000,004

V 000 ˆ V 400 

000,400

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

ˆ ˆ ˆ S S S 000  x

o y

o z

2

ˆ a ˆ a dt 000 400    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

 

400 3 2 t t   1     

ˆ0 S 4  x ˆ a dt 000 400   

x

 

2



1 4

Z 

0

3 2

 

t t   1     

0 4 ˆ 2 2 u A x x 1 2! 000 400 ˆ a dt    

2 x



1 4

Z 

0

3 2

 

 

t t   1     

2

4!

2 xu

6 u 1 2! dt 0    

t d





Z 

Z 

0

0

3 2

3 2

 

 

1 1 t t   t  t             

6

2 

3  2

2 3  2  d    

d 







Z 

Z 

0

0

7 2

7 2

 

 



 

1 2  1 2 





2 3 Z   2 20 6 10  

Z 

        

Vậy:





V V V Z  

000,040

000,004

000,400

6 10  

V

4. Tính

000,222

V 000 ˆ V 222 

000,222

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

000 ˆ ˆ ˆ  S S S y  x  z

2

000 222 ˆ a ˆ a dt    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

 

 

222 3 2 t  1   t    



u 2 ˆ S ˆ S ˆ S 0 2 0 2  x  y  z dt d 0    

t





Z 

Z 

0

0

2 0 3 2

3 2

t t 1 1   t          

3 t    

 

 

2 2

3 

5  2

4  2  d   

d 





Z 

Z 

0

0

9 2

9 2

 

 



 

1 2  1 2 

4 Z   2 56 2 14  

Z 

        

Vậy:



Z

000,222 V

2 14  

,

,

,

,

,

V V V V V V

5. Tính

000,420

000,402

000,240

000,204

000,042

000,024

V

000

ˆ V

420



000,420

 

000 ˆ ˆ ˆ  S S S y  x

o z

2

000 420 ˆ a ˆ a dt    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

420 3 2 t t 

2

 

 







u u 2 6 ˆ S ˆ S 0 4 0 2  x  1        dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

3 2

 

 

 y 3 2 t t 1 1   t  t             

2 3

3 

5  2

2 6  d   

d 





2 

Z 

Z 

0

0

9 2

9 2

 

 



 

1 2  1 2 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

2 6 Z   2 56 3 14  

Z 

        













V V V V V Z

Vậy: 000,402 V

000,240

000,204

000,042

000,024

000,420

3 14  

,

,

V V V

6.Tính

000,600

000,060

000,006

V 000 ˆ V 600 

000,600

 

ˆ ˆ ˆ S S S 000  x

o y

o z

2

000 600 ˆ a ˆ a dt    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

 

 

600 3 2 t t   1     

0 6 ˆ 3 3 u A x x ˆ0 S 6  x 1 3! ˆ a dt dt 000 600    0   

2 x





1 4

Z 

Z 

0

0

3 2

3 2

t t 1 1   t           t    

3

 

 

3





u u 2 5 6! 3! dt dt    

Z 

Z 

0

0

3 2

3 2

 

 

t t 1 1   t     t          

2 5

3 

5  2



2 10 d 

d 

2 









Z 

Z 

0

0

9 2

9 2

 

 



 

1 2  1 2 

2 10 Z   2 56 5 14  

Z 

        

Vậy:







V V Z

000,060 V

000,006

000,600

5 14  

,

,

V V V

7. Tính

000,224

000,242

000,422

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

V 000 ˆ V 224 

000,224

 

000 ˆ ˆ ˆ  S S S y  x  z

2

000 224 ˆ a ˆ a    

t d

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

224 3 2 t  1   t    

2

2

 

 



 







2 6 u u 0 2 0 4 ˆ S ˆ S ˆ S  x  x  x dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

2 0 3 2

3 2

 

 

1 1 t t   t  t             

4

u 2 6 2 6

4 





dt     2  d 

Z 

Z 

0

0

3 2

11 2

 

 

 

1 2  t t   1     

7  2



4 3 4 3 Z  d        2 144 6 36  

Z 

Z 

0

11 2



 

         1 2 

Vậy:





 

V V Z

000,242 V

000,422

000,224

6 36  

,

,

,

,

,

V V V V V V

8. Tính

000,620

000,602

000,260

000,206

000,062

000,026

V 000 ˆ V 620 

000,620

 

000 ˆ ˆ ˆ  S S S y  x

o z

2

000 620 ˆ a ˆ a dt    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

620 3 2 t t   1     

3

 

 



 



2 5 2 u u 0 6 0 2 ˆ S ˆ S  x dt d 0    

t





Z 

Z 

0

0

 x 3 2

3 2

1 1 t t   t  t             

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

 

4

2 10 u 2 10

4 

dt     2 

d 





Z 

Z 

0

0

3 2

11 2

 

 

 

1 2  t t   1     

7  2





 

Z 4 5 4 5 d        2 144 10 36

Z 

Z 

0

11 2



 

         1 2 













V V V V V Z

Vậy: 000,602 V

000,260

000,206

000,062

000,026

000,620

10 36  

,

,

V V V

9. Tính

000,440

000,404

000,044

V 000 ˆ V 440 

000,440

 

000 ˆ ˆ ˆ  S S S y  x

o z

2

000 440 ˆ a ˆ a dt    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

440 3 2 t t   1  

2

2

 

 







6 u 0 4 0 4 ˆ S ˆ S  x dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

 y 3 2

3 2

 

 

1 1 t t      t         t       

4

u 6

4 6 

dt     2 

d 





Z 

Z 

0

0

3 2

11 2

 

 

 

1 2  t  1   t    

7  2



6 2 6 2 Z  d        2 144 1 12  

Z 

Z 

0

11 2



 

         1 2 

Vậy:





 

V V Z

000,440 V

000,404

000,044

1 12  

,

,

V V V

10. Tính

000,800

000,080

000,008

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

V 000 ˆ V 800 

000,800

 

ˆ ˆ ˆ S S S 000  x

o y

o z

2

000 800 ˆ a ˆ a dt    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

 

 

800 3 2 t t   1     

0 8 ˆ 4 4 u A x x ˆ0 S 8  x 1 4! ˆ a dt 000 800    0   

dt

2 x





1 4

Z 

Z 

0

0

3 2

3 2

t t 1 1   t  t             

4

 

 

4





8! u 70 u 1 4! dt dt    

Z 

Z 

0

0

3 2

3 2

 

t 1 t 1   t     t          

7  2



140 140 Z  d        2 144 70 72  

Z 

Z 

0

11 2



 

         1 2 

Vậy:







V V Z

000,080 V

000,008

000,800

70 72  

,

,

V V V

11. Tính

000,226

000,262

000,622

V

000

ˆ V

226



000,226

 

000 ˆ ˆ ˆ  S S S y  x  z

2

000 226 ˆ a ˆ a dt    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

 

226 3 2 t  1   t    



0 2 0 6 ˆ S ˆ S ˆ S  x  y  z dt 0  

Z 

0

2 0 3 2 t t   1     

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

2

3

 

 

5



 







2 u 2 5 u 4 5 u dt dt    

Z 

Z 

0

0

3 2

3 2

 

 

1 1 t t   t  t             

4 5

9  2

5 

4 10  2  d   

d 





Z 

Z 

0

0

13 2

13 2



 

 

 

1 2  1 2 

4 10 Z   2 352 5 44  

Z 

        

Vậy:







V V Z

000,262 V

000,622

000,226

5 44  

,

,

V V V

12. Tính

000,442

000,424

000,244

V

000

ˆ V

442



000,442

 

000 ˆ ˆ ˆ  S S S y  x  z

2

000 442 ˆ a ˆ a dt    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

442 3 2 t t   1  

2

2

 

 

 







6 2 u u 0 4 0 2 ˆ S ˆ S ˆ S  x  y  z     dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

4 0 3 2

3 2

 

 

1 1 t t   t        t       

5

u 6 2 6 2

5 





dt    2  d 

Z 

Z 

0

0

13 2

3 2

 

 

 

1 2  t t   1     

9  2





 

Z 12 12 d     2 352 3 2 88

Z 

Z 

0

13 2



 

         1 2 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Vậy:







V V Z

000,244 V

000,424

000,442

 

3 2 88

,

,

,

,

,

V V V V V V

13. Tính

000,460

000,406

000,640

000,604

000,064

000,046

V 000 ˆ V 460 

000,460

 

000 ˆ ˆ ˆ  S S S y  x

o z

2

000 460 ˆ a ˆ a dt    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

460 3 2 t t 

2

3

 

 







u u 6 2 5 ˆ S ˆ S 0 4 0 6  x  1        dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

 y 3 2

3 2

 

 

1 1 t t   t  t             

5

u 2 30 2 30

5 

dt    2 

d 





Z 

Z 

0

0

3 2

13 2

 

 

 

1 2  t t   1     

9  2





 

Z 4 15 4 15 d     2 352 30 88

Z 

Z 

0

13 2



 



         1 2 

Vậy:











V V V V V V Z

000,406

000,640

000,604

000,064

000,046

000,460

 

30 88

,

,

,

,

,

V V V V V V

14. Tính

000,820

000,802

000,280

000,208

000,082

000,028

V 000 ˆ V 820 

000,820

 

000 ˆ ˆ ˆ  S S S y  x

o z

2

000 820 ˆ a ˆ a dt    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

820 3 2 t t   1     

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

4

 

 











u u 70 2 ˆ S ˆ S 0 8 0 2  x dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

 y 3 2

3 2

 

 

1 1 t t   t  t             

5

140 140 u

5 

dt    2 

d 





Z 

Z 

0

0

3 2

13 2

 

 

 

1 2  t t   1     

9  2





 

2 70 2 70 Z d     2 352 35 88

Z 

Z 

0

13 2



 



         1 2 

Vậy:











V V V V V V Z

000,802

000,280

000,208

000,082

000,028

000,820

 

35 88

V

,

V

,

V

15. Tính

000,1000

000,0100

000,0010

V 000 ˆ V 1000 

000,1000

 

000 ˆ ˆ ˆ S S S

o y

 x

o z

2

000 1000 ˆ a ˆ a dt    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

 

1000 3 2 t t   1     

000 ˆ ˆ ˆ S S S

o y

 x

o z



000 1000 ˆ a dt   

2 x



1 4

Z 

0

 

 

1000 3 2 t t   1     





0 10 ˆ 5 5 u A x x ˆ0 S 10  x 1 5! dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

3 2

3 2

t t 1 1   t  t             

5

 

 

5





10! u 2 63 u 1 5! dt dt    

Z 

Z 

0

0

3 2

3 2

1 1 t t   t     t          

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

 

2 63

5 

9  2



2 126   2  d 

d 





Z 

Z 

0

0

13 2

13 2

 

 



 

1 2  1 2 

 

2 70 Z   2 352 3 7 88

Z 

        

Vậy:







V V V Z

000,0100

000,0010

000,1000

 

3 7 88

,

,

V V V

16. Tính

000,228

000,282

000,822

V

000

ˆ V

228



000,228

 

000 ˆ ˆ ˆ  S S S y  x  z

2

000 228 ˆ a ˆ a    

t d

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

228 3 2 t  1   t    

2

4

 

 



 







u u 2 70 ˆ S ˆ S ˆ S 0 2 0 8  x  y  z dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

2 0 3 2

3 2

 

 

1 1 t t   t  t             

6

2 70 2 70 u

6 

dt     2 

d 





Z 

Z 

0

0

3 2

15 2

 

 

 

1 2  t t   1     

11  2







 

2 140 2 140 Z      d  2 832 70 208

Z 

Z 

0

15 2



 

         1 2 

Vậy:







V V V Z 

000,282

000,822

000,228

 

70 208

,

,

,

,

,

V V V V V V

17. Tính

000,246

000,264

000,426

000,462

000,642

000,624

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

V 000 ˆ V 246 

000,246

 

000 ˆ ˆ ˆ  S S S y  x  z

2

000 246 ˆ a ˆ a dt    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

246 3 2 t  1  

2

3

 

 









u u u 2 6 2 5 ˆ S ˆ S ˆ S 0 2 0 6  x  y  z t      dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

4 0 3 2

3 2

1 1 t t   t       

 t    

 

 

  

6

u 4 15 4 15

6 

dt     2 

d 





Z 

Z 

0

0

3 2

15 2

 

 

 

1 2  t t   1     

11  2







 

4 30 4 30 Z      d  2 832 5 104

Z 

Z 

0

15 2



 

Theo tính chất đối xứng ta có:



         1 2 











V V V V V V Z 

000,264

000,462

000,426

000,624

000,642

000,246

 

5 104

,

,

,

,

,

18. Tính

V

V

V

V

V

V

000,2100

000,2010

000,1002

000,1020

000,0102

000,0210

V 000 ˆ V 2100 

000,2100

 

000 ˆ ˆ ˆ  S S S y  x

o z

2

000 2100 ˆ a ˆ a dt    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

 

2100 3 2 t t   1     

000 ˆ ˆ ˆ  S S S y  x

o z



000 2100 ˆ a dt   

2 x



1 4

Z 

0

2100 3 2 t t   1     

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

 





5





u u 2 6 7 ˆ S ˆ S 0 2 0 10  x  y dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

3 2

3 2

 

 

1 1 t t   t  t             

6

6 14 6 14 u

6 

dt     2 

d 





Z 

Z 

0

0

3 2

15 2

 

 

 

1 2  t t   1     

11  2





 

6 28 6 28 Z       d  2 832 3 14 208

Z 

Z 

0

15 2



 

Vậy:

         1 2 











V V V V V Z  

000,2010 V

000,1002

000,1020

000,0102

000,0210

000,2100

 

3 14 208

,

,

V V V

19. Tính

000,660

000,606

000,066

V

000

ˆ V

660



000,660

 

000 ˆ ˆ ˆ  S S S y  x

o z

2

000 660 ˆ a ˆ a    

dt

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

660 3 2 t t   1     

3

 

 



2





u 2 5 ˆ S ˆ S 0 6 0 6  x dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

3 2

 

 

 y 3 2 1 1 t t   t     t          

6

u 20 20

6 

dt     2 

d 





Z 

Z 

0

0

3 2

15 2

 

 

1 2  t t   1     

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

11  2





 

20 2 20 2 Z       d  2 832 5 104

Z 

Z 

0

15 2



 

         1 2 

Theo tính đối xứng ta có:







V V V Z 

000,606

000,066

000,660

 

5 104

,

,

,

,

,

V V V V V V

20. Tính

000,084

000,048

000,480

000,408

000,840

000,804

V

000

ˆ V

084



000,084

 

000 ˆ ˆ ˆ  S S S y

o x

 z

2

000 084 ˆ a ˆ a dt    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

084 3 2 t t   1  

4

2

 

 









u u 70 6 ˆ S ˆ S 0 8 0 4  y     dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

 z 3 2

3 2

 

 

1 1 t t   t  t             

6

2 105 2 105 u

6 

dt     2 

d 





Z 

Z 

0

0

3 2

15 2

 

 

 

1 2  t t   1     

11  2





 

2 140 2 210 Z       d  2 832 105 208

Z 

Z 

0

15 2



 

         1 2 

Vậy:













V V V V V V Z 

000,048

000,480

000,408

000,840

000,804

000,084

 

105 208

21. Tính 000,444 V

V

000

ˆ V

444



000,444

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

 000 ˆ ˆ ˆ  S S S y  z

2

x

000 444 ˆ a ˆ a dt    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

444 3 2 t  1   t    

2

 

 







u 6 ˆ S ˆ S ˆ S 0 4 0 4  x  y  z dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

4 0 3 2

3 2

1 1 t t  

3 t 

 

 

t             

6

6 6 6 6 u

6 

dt     2 

d 





Z 

Z 

0

0

15 2

3 2

 

 

 

1 2  t t   1     

11  2





 

6 12 6 12 Z       d  2 832 3 6 208

Z 

Z 

0

15 2



 

         1 2 

Vậy:

V Z 

000,444

 

3 6 208

,

,

V V V

22. Tính

000,1200

000,0120

000,0012

V 000 ˆ V 1200 

000,1200

 

000 ˆ ˆ ˆ S S S

o y

 x

o z

2

000 1200 ˆ a ˆ a dt    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

 

1200 3 2 t t   1     

000 ˆ ˆ ˆ S S S

o y

 x

o z



000 1200 dt ˆ a   

2 x



1 4

Z 

0

 

 

1200 3 2 t t   1     





0 12 ˆ 6 6 u A x x ˆ0 S 12  x 1 6! dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

3 2

3 2

t t 1 1   t     t          

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

6

 

 

6





12! u 2 231 u 1 6! dt dt    

Z 

Z 

0

0

3 2

3 2

 

 

1 1 t t   t     t          

2 231

6 

11  2



2 462 2  d 

d 





  

Z 

Z 

0

0

13 2

15 2

 

 



 

1 2  1 2 

 

2 462 Z     2 832 231 208

Z 

        

Vậy:







V V Z 

000,0120 V

000,0012

000,1200

 

231 208

,

,

23. Tính

V

V

V

000,1400

000,0140

000,0014

V 000 ˆ V 1400 

000,1400

 

000 ˆ ˆ ˆ S S S

o y

 x

o z

2

000 1400 dt ˆ a ˆ a    

2 x

 x

 





1 4

Z 

0

 

1400 3 2 t t   1     

000 ˆ ˆ ˆ S S S

o y

 x

o z



000 1400 dt ˆ a   

2 x



1 4

Z 

0

 

 

1400 3 2 t t   1     





0 14 ˆ 7 7 u A x x ˆ0 S 14  x 1 7! dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

3 2

3 2

t t 1 1   t     t          

7

 

 

7





14! u 2 858 u 1 7! dt dt    

Z 

Z 

0

0

3 2

3 2

1 1 t t   t     t          

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

2 858

7 

  2 

d 



Z 

0

17 2

 

 

1 2 

 

Z  858 480

Vậy:







V V Z

000,0140 V

000,0014

000,1400

 

Các yếu tố ma trận tiếp theo có thể tính tương tự

858 480

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Phụ lục H: Một số tính toán các yếu tố ma trận của bổ chính bậc ba theo

kiểu nhiễu loạn

1. Tính 200,220 V

V

200

ˆ V

220



200,220

 

200 ˆ ˆ ˆ  S S S y

o x

o z

2

200 220 ˆ a ˆ a dt    

2 y

 y

 





1 4

Z 

0

 

220 3 2 t t   1     

2 2 0 2 ˆ S ˆ S

o x

2



200 220 ˆ a ˆ a dt    

2 y

 y







1 4

Z 

0

 y 3 2 t t    

2

2

v

 



2 ( 2 ) u e u   1    200 220 dt ˆ a   

2 y



1 4

Z 

0

3 2

t

 t 

 

    1  







) 2   2  d 

2 4

Z 

0

2 (1 2    9 2

 

 

1 2 









Z     31 210

2 31 210

2 4

2 4

 

Z 

 2      

Vậy:





Z  

200,220 V

2 31 210

2 4

 

2. Tính 002,220 V

V 002 ˆ V 220 

002,220

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

 

002 ˆ ˆ ˆ  S S S y  x  z

2

002 220 ˆ a ˆ a dt    

2 y

 y

 





1 4

Z 

0

220 3 2 t  1   t    

3

 

 









u 2 ˆ S ˆ S ˆ S 0 2 0 0  x  y  z dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

2 2 3 2

3 2

 

1 1 t t   t  t             

5  2





4 4 Z    d  2 56

2 14

 

Z 

Z 

0

9 2



 

         1 2 

Vậy:

Z 

002,220 V

2 14

 

3. Tính 020,400 V

V

020

ˆ V

400



020,400

 

020 ˆ ˆ ˆ  S S S y  x

o z

2

020 400 ˆ a ˆ a dt    

2 y

 y

 





1 4

Z 

0

400 3 2 t t 

2

 

 







u u 6 2 ˆ S ˆ S 0 4 2 0  x  1        dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

3 2

 

 y 3 2 1 1 t t      t        t    

5  2





 

2 6 2 6 Z    d  2 56 3 14

Z 

Z 

0

9 2



 

         1 2 

Vậy:

Z 

020,400 V

 

3 14

4. Tính 200,400 V

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

V 200 ˆ V 400 

200,400

 

ˆ ˆ ˆ S S S 200

o y

 x

o z

2

200 400 ˆ a ˆ a dt    

2 y

 y

 





1 4

Z 

0

 

400 3 2 t  1   t    

ˆ2 S 4

2



 x dt ˆ a ˆ a 200 400    

2 x

 x







1 4

Z 

0

3 2

t  1   t    

2

v

3

 

2 3

ue

u







ˆ a

dt

200

400

 





2 x



1 4

Z 

0

3 2

t

t 

 1  

  

 

2 3

 3   









2 

d 





2 3 4

Z 

0

9 2

1 2 

 

 

Z





 









3 2

47 6 420

3 2

47 3 210

 

Z 

 2    

   

Vậy:

Z









200,400 V

3 2

47 3 210

 

5. Tính 220,400 V

V

220

ˆ V

400



220,400

 

220

ˆ ˆ ˆ  S S S y

 x

o z

2

220

400

ˆ a

ˆ a

dt









2 y

 y

 





1 4

Z 

0

400 3 2

t

t 

  

2

v

3

 

 







ue u u 2 3 2  ˆ S ˆ S 2 4 2 0  x

 1   







dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

 y 3 2

3 2

t t 1 1   t  t             

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

2

 





2 6 Z 2  d        67 3 1260 67 6 1260  

Z 

Z 

0

7 2

 2         1 2 

 4     

 

Vậy:

Z  

220,400 V

67 6 1260  

6. Tính 022,400 V

V 022 ˆ V 400 

022,400

 

022 ˆ ˆ ˆ  S S S y  x  z

2

022 400 ˆ a ˆ a dt    

2 y

 y

 





1 4

Z 

0

 

 

400 3 2 t t   1     





2





u u 2 3 2 ˆ S ˆ S ˆ S 0 4 2 0  x  y  z dt dt 0    

Z 

Z 

0

0

3 2

 

0 2 3 2 t t 1 1   t  t             

7  2



2 12 2 12 Z  d        2 144 6 36  

Z 

Z 

0

11 2



 

         1 2 

Vậy:

Z  

022,400 V

6 36  

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Phụ lục I: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện

trường theo lý thuyết cổ điển .

Khi nguyên tử hydro chịu tác dụng của điện trường trong toán tử Hamiltonian

xuất hiện số hạng nhiễu loạn:

ˆ V 

-

 

  ˆ e p E

e

Năng lượng của electron trong nguyên tử Hidro với:

e E z e







n E eV 1 : 13,6 13,6     

1 0

n E eV 2 : 3,4 3,4     

 e J 





 e J

2 0





n E eV 3 : 1,5111111111 1,5111111111     

 e J



3 0

Xét trong hệ không thứ nguyên ta có:



J E 0,5  

1 0

 



J E 0,125  

2 0





0,055555555 E J  

3 0

Các hàm sóng tương ứng với

, , E E E là (trong hệ tọa độ cầu hàm sóng

1 0

2 0

3 0

):



r  

 , , 

  R r Y

  , 

nlm

nl

lm

m 

N

l

1

0

0

r  ae



100

0

0



2 3 2 a 1 4              

1

e





r 2 a

200

2

r 2 a

3

1 4 

 1  

  

2

a

    

          

-1



1

i 



r 2 a

1

e  sin e 

21 1 

3

3 8  r aa 2 6                 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

0



1

r 2 a

e 

210

3

1



r a 3 4  a 2 6  s co               

1

i 

r 2 a

e  sin e 

211

3

3 8  r aa 2 6               

2

0

0



1

r 3 a

3

1 e    

300

2

3

-1



2 3 2 3 r a 2 27 r a 1 4     3 a                

1

i 



r 3 a

1 e e  sin   

31 1 

3

0



8 27 1 6 r a 3 8        a 6                

1

r 3 a

1

1 e co   

310

3

1



8 27 1 6 r a 3 4        a 6  s                

1

i 

r 3 a

1 e  sin e   

311

3

8 27 1 6 r a 3 8        a 6                

2

-2



1

2

2

i 



r 3 a

2

e sin e    

32 2 

3

4 81 r a 15 32        a 30                

2

-1



1

i 



r 3 a

e co e  s sin    

32 1 

3

4 81 r a 15 8        30 a                

2

0



1

r 3 a

e co 3 s 1 

2 

 

320





3

4 81 r a 5 16        a 30                

2

1



1

i 

r 3 a

e co  s sin e  

321

3

4 81 r a 15 8        a 30                 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

2

2



1

2

2

i 

r 3 a

e sin e  

322

3

Trong đó a là bán kính quỹ đạo N.Bohr

4 81 r a 15 32        a 30                 

1. Bổ chính bậc 1

Theo công thức của lí thuyết nhiễu loạn ta có:

2



r a

 E V V

3 d x

e

3 d x

    

11

100

  1 0

*   100

eE z  e 2 3 2 1 4  a                    

2



2

r a



sin eE e r  

 s rco 

e



2 3 2

 drd d   

1 4  a            

2      0 0 0

       

2



3

r a



r e drd co d  

 s sin   

2 3 2 eE e 4  a      

2    0 0

   0

       

Suy ra:

Mà :





co 0 E s sin d      0

 1 0

  0

2. Bổ chính bậc 2

Theo công thức của lí thuyết nhiễu loạn ta có:

2

E 

  2 0

E E V k 1 1  0

k 0

1

  k k 

Tính toán các yếu tố ma trận nhiễu loạn

V

1. 100,200

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử





1

r a

r 2 a

V eE e e

3 z d x

 

100,200

e



2 3 2

3



r a 2 1 4  1 4   1      a                   a 2        

r a

3 2

dr

3 r e

co 0 s sin d       eE 2 e 3 4 a 

  0

2   0

 d   0

Vậy:

V  0

100,200

V

2. 100,210





1

r a

r 2 a

V eE e e co

3 z d x

 

100,210

e



2 3 2

3



r a 3 4  1 4  a              s     a 2 6            

eE

r a

3 2

dr

4 r e

co s

2 sin d   

 

4

4 2

e a 

  0

2   0

 d   0





eE eE

4

r a

3 2

r a

3 2

4 r e

dr r dr e    

4

4

4 3        4 2 3 2

e a 

e a 

e

  0

   0

Thực hiện tích phân toàn phần ta có:

eE

5

V a   

100,210



eE a e

4

256 81 256 243 2       3 2

e a

V

3. 100,211





1

i 

r a

r 2 a

V eE e e e

3 z d x

sin   

100,211

e



2 3 2

3



r a 3 8  1 4  a                 a 2 6            

eE

2

3 2

r a

co co s i sin 0 dr

4 r e

d d       

 s sin   



e 4 8 a 

  0

2     0 0

Vậy:

V 100,211 = 0

V

 4. 100,21 1

Tính tương tự, ta có:

V

100,21 1

  0

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

V

5. 100,300

2





1 r

r a

r a 3

V eE e 1 e .

3 z d x

   

e

100,300



2 3 2

2

3

2 3 2 3 r a 2 27 1 4  1 4  a a                   3 a                

2



eE

r

3

4 3

r a

dr

e

r

co

1

0

s sin d   

 







3

2

r a

2 27

2 3

a

3 3

e a 

  0

2   d  0

  0

   

   

V

6. 100,310





1

r a

r a 3

V

eE

e

1

e

3 z d x

 



e

100,310



2 3 2

3

8 27

1 6

r a

3 4 

1 4 

  

  

a

  

  

  

  

6 a

 s co    

   

       



2 2

3

4 3

r a

r

e

dr

co s

2 sin d   

 

eE e 3

1 6

r a

 1  

  

27

a 

  0

  0



2 2

8 2

3

4

e

r a

2  d   0 4 3

r

1

e

dr

a

 



 

 

eE a e

eE e 3

eE 3

4  3

1 6

r a

243 256

3 2 32

  

  

  

  

  

  

27

a 81

a 

  0

Vậy:

V

 

eE a e

100,310

3 2 32

V

7.

100,311





1

r a

r a 3

V

eE

e

e

 

e

100,311



2 3 2

3

8 27

1 6

r a

1 4 

 1  

  

a

  

  

  

6

a

   

i 

3 z d x

e sin 

3 8 

          

   



eE 2

2

3

r a

4 3

co s

i sin

d

0

r

e

dr

co



d   



 

 s sin   



r a

1 6

 1  

  

27

e 3 a 

2     0 0

  0

V

Vậy:

 0

100,311

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

V

 8. 100,31 1

Tính tương tự, ta có:

100,31 1 0 V  

V

9. 100,320

2





1

r a

r a 3

V

eE

e

e

 

e

100,320



2 3 2

3

4 81

r a

1 4 

  

  

a

  

  

  

30

a

   

1

3 s co

3 z d x



2 





       5 16 

   

   



eE

r a

4 3

dr

5 r e

co

3 s co

 



0 

2 

5

 s sin  

 1 d

81 6

e a 

  0

2  d   0

  0

V

Vậy:

 0

100,320

10. 100,321 V

2





1

r a

r a 3

V

eE

e

e

 

e

100,321



2 3 2

3

4 81

r a

1 4 

  

  

a

  

  

  

a 30

      

   

i 

co

e

3 z d x

s sin  

15 8 

   

   



eE

2

r a

4 3

sin

s

si

s co

co

i

dr

5 r e



 

2    

n d   d

5

81

e a 

  0

2     0 0

0



V

Vậy:

 0

100,321

V

 11. 100,32 1

V

Tính tương tự, ta có:

100,32 1

  0

12. 100,322 V

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

2





1

r a

r a 3

V

eE

e

e

 

e

100,322



2 3 2

3

4 81

r a

1 4 

  

  

a

  

  

  

30 a

   

2

2

i 

sin

e

3 z d x



       15 32 

   

   



eE

3

r a

4 3

i

sin 2

d

0

s2

co

co

5 r e

dr



 

d   



 s sin  



5

162

e a 

  0

2     0 0

V

Vậy:

 0

100,322

V

 13. 100,32 2

V

Tính tương tự, ta có:

100,32 2

  0

Ta có công thức bổ chính bậc hai

2

2

2

2

2













  2 E 1

E

E











V 100,200   1 0

   2 0

V 100,210   1 0

   2 0

V 100,211   1 0

   2 0

V 100,21 1   1 0

   2 0

   3 0

V 100,300   1 0

2

2

2

2

2













E

E

E

E











V 100,310   1 0

E    3 0

V 100,311   1 0

E    3 0

V 100,31 1   1 0

   3 0

V 100,320   1 0

E    3 0

   3 0

V 100,321   1 0

2

2

2

2

2

22















 E  E  E

E

 E  E  E

E

 E  E  E

E

 E  E  E

E

 E  E  E

E











V 100,32 1   1 0

   3 0

V 100,3   1 0

   3 0

V 100,32 2   1 0

   3 0

V 100,210   1 0

   2 0

V 100,310   1 0

E    3 0

Xét trong hệ đơn vị không thứ nguyên ta có:

2

2

E

E

e

e

3 2 32

   

   

E

1,519361334





 

2 e

  2 E 1

256     243 2   ( 0,5 0,125)  

( 0,5 0,055555555) 



Khi đó mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết cổ điển tính

đến bổ chính bậc hai là:





 



E 1

2 E 0,5 1,519361334 e

  0 E 1

  2 E 1

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Phụ lục J: Một số tính toán bổ sung các mức năng lượng và yếu tố

ma trận của bổ chính bậc hai theo kiểu nhiễu loạn cho nguyên tử hydro

trong điện trường theo phương pháp toán tử

001

001

E

ˆ H

1.



o

001

 

ˆ ˆ ˆ S S S

o x

o y

o z

001

2

1

001

dt







 



ˆ n 





1 4

, , x y z

 

Z 

0

3 2

t

 1  

t    

 

ˆ ˆ ˆ S S S

001

o x

o y

o z

001

2

dt







 

 1 001

ˆ n 





1 4

, , x y z

 

Z 

0

001 3 2

t

t 

 1  

  

Ta có:

001

2











2 3 





 



 

 1 001

ˆ n z

ˆ n 

 001 2

 3 001



1 4

1 4

5 4

1 4

, , x y z

 

 

 

ˆ ˆ ˆ S S S

001

ˆ S

1

1

o x

o y

o z

o z

Và:

(J1.1)

dt

dt



 





Z 

Z 

0

0

001 3 2

3 2

t

t

1

1





t 

t 

  

  

  

  

ˆ vN

v

Với:

1

1

1

e

1

e





ˆ o S z

Khi đó (J1.1) trở thành:

 

 

ve

1

dt



 

2 

d 





Z 

Z 

0

0

5 2

3 2

1 2 

 

 

t

t 

 1  

  

2

Z

 

 

2 3

4 3

 

Z 

 2   

  

E

Z

Suy ra:







001

5 4

4 3

 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

V

000

ˆ V

001



2. 000,001

o

 

ˆ ˆ ˆ S S S

000

E

o y

 z

2

x

000

001

ˆ a

ˆ a

ˆ a

ˆ a

dt













2 x

 x

z

 z

 









1 4

Z 

0

e 2  z

001 3 2

t

t 

 1  

  

 

ˆ0 S

1

E

E

E

 z

ˆ a

dt

000

001

 



 

0   

z



e 2 

e 2 

e 2 

Z 

0

3 2

t

t 

 1  

  

V

Suy ra:

 

000,001

eE 2 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Phụ lục K: Một số tính toán bổ sung các mức năng lượng và yếu tố

ma trận của bổ chính bậc ba theo kiểu nhiễu loạn cho nguyên tử hydro

trong điện trường theo phương pháp toán tử.

V

001

ˆ V

000



1. 001,000

Theo tính chất đối xứng ta có:

V

 

001,000

eE 2 

V

002

ˆ V

001



2. 002,001

o

 

ˆ ˆ ˆ S S S

002

E

o y

 z

2

x

ˆ a

ˆ a

ˆ a

ˆ a

dt

002

001













2 x

 x

z

 z

 









1 4

Z 

0

e 2  z

001 3 2

t

t 

 1  

  

 

ˆ2 S

1

E

E

E

2

 z

e

ˆ a

dt

002

001

2

 



 

0   

z



e 2 

e 2 



Z 

0

3 2

t

t 

 1  

  

V

Suy ra:

 

002,001

2 eE 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Phụ lục L:

Phần tính số với phần mềm Maple

1. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro tính đến bổ chính bậc hai

Để thực hiện việc tính toán trong Malpe được dễ dàng ta phải tiến hành các bước

sau:

Bước 1: Gán tên cho các biểu thức cần tính toán

Quy ước :

 Eo : Năng lượng ở mức cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính.

2E : Năng lượng bổ chính bậc hai cho mức cơ bản của nguyên tử hydro.



 E : Năng lượng ở mức cơ bản tính đến bổ chính bậc hai

Bước 2: Cực tiểu hóa năng lượng ở mức cơ bản, tìm giá trị tương ứng

f

theo biến số , ta thực hiện lệnh:

 Để tính đạo hàm của biểu thức 

f



d  d

normal

f

về dạng chuẩn hóa, ta thực hiện lệnh:

 Thu gọn biểu thức 

f





 Vì các kết quả thu được dưới dạng chữ số thập phân nên ta sẽ làm tròn giữ đến

evalf

[10]

(biểu thức)

10 chữ số trong phần thập phân bằng lệnh:

Ta có thể thực hiện gộp ba yêu cầu trên bằng một lệnh như sau:

evalf

[10]

normal

2

, nhấn Enter sẽ cho kết quả.(L1.1)

Eo E 



d  d

  

  

  

  

0

f

 , thực hiện lệnh: solve (phương trình,{biến}).

 Giải phương trình



d  d

Sau khi thực hiện xong (L1.1), ta sẽ lấy phần tử số của biểu thức (bt) tìm đựợc

và giải phương trình cho tử số bằng 0.

,

solve bt  , nhấn Enter sẽ cho kết quả nghiệm .

 





 Để tính mức năng lượng cơ bản ứng với giá trị đã có của , ta dùng lệnh:

evalf

[10]

subs

a bt ,

 







SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

2. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro tính đến bổ chính bậc ba

Quy ước :

3E : Năng lượng bổ chính bậc ba cho mức cơ bản của nguyên tử hydro.

Các bước thực hiện tương tự như trên.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Phụ lục M: Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng

cơ bản của nguyên tử hydro vào cường độ điện trường.

Để vẽ hai đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ ta thực hiện cú pháp sau:

>with(plots):

>plot([hàm1,hàm2],x=gt đầu..gt cuối, y=gt đầu..gt cuối, các tùy chọn);

Để vẽ được ba đồ thì ta thực hiện các lệnh và thu được kết quả như sau:

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền