UBND TỈNH QUẢNG NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUA
NG NAM
KHOA TOÁN
----------
MAI THỊ THANH THẢO
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀO GIẢI
BÀI TOÁN CỰC TRỊ
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Quảng Nam, tháng 4 năm 2017
UBND TỈNH QUẢNG NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM
KHOA TOÁN
----------
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Tên đề tài:
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO GIẢI
BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Sinh viên thực hiện
MAI THỊ THANH THẢO
MSSV: 2113010148
CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN
KHÓA: 2013 – 2017
Cán bộ hướng dẫn
ThS. TRẦN ANH DŨNG
MSCB: T34-15111-14099
Quảng Nam, tháng 4 năm 2017
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sự tri ân đến các thầy cô khoa Toán cùng
với toàn thể thầy cô trường Đại học Quảng Nam đã cùng với tri thức, tâm huyết của
mình truyền đạt cho tôi vốn kiến thức quý báu trong suốt 4 năm học, qua đó tôi có
được nền tảng kiến thức thực hiện khóa luận này. Đặc biệt tôi xin được gửi lời cảm ơn
sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn tôi là ThS Trần Anh Dũng, người đã tận tình chỉ bảo
giúp đỡ và tạo điều kiện về nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành khóa luận của mình. Do
kiến thức và thời gian còn hạn hẹp nên không tránh khỏi những sai sót trong cách hiểu,
lỗi trình bày… Tôi rất mong muốn nhận được nhiều sự đóng góp ý kiến của quý thầy
cô để khóa luận của tôi hoàn thiện hơn và đạt được kết quả tốt.
Xin chúc tất cả thầy cô sức khỏe dồi dào và hạnh phúc trong cuộc sống.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Quảng Nam, ngày 25 tháng 04 năm 2017
Sinh viên thực hiện
Mai Thị Thanh Thảo
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................................... 1
2. Mục tiêu của đề tài ...................................................................................................... 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................. 2
5. Đóng góp của đề tài ..................................................................................................... 2
6. Cấu trúc đề tài .............................................................................................................. 2
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................................... 3
1.1. Tích phân xác định ................................................................................................... 3
1.1.1. Định nghĩa ............................................................................................................. 3
1.1.2. Điều kiện khả tích. Lớp các hàm khả tích ............................................................. 4
1.1.2.1. Điều kiện khả tích ( Điều kiện để tồn tại tích phân ()
b
a
I
fxdx ) ................... 4
1.1.2.2. Lớp các hàm khả tích ......................................................................................... 7
1.1.3. Liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm ................................................... 9
1.1.3.1. Liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm ................................................ 9
1.1.3.2. Công thức Newton – Leibniz ............................................................................. 9
1.2. Một số tính chất của tích phân ................................................................................ 10
1.2.1. Ý nghĩa hình học của tích phân ........................................................................... 10
1.2.1.1. Tính diện tích hình phẳng ................................................................................. 10
1.2.1.2. Tính thể tích vật thể trong không gian ............................................................. 13
1.2.1.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay .......................................................................... 14
1.2.2. Các tính chất của tích phân .................................................................................. 15
1.3. Một số phương pháp tính tích phân xác định ......................................................... 16
1.3.1. Sử dụng các tính chất của một số hàm thường gặp và tính chất của tích phân ... 16
1.3.2. Phương pháp đổi biến .......................................................................................... 16
1.3.3. Phương pháp tính tích phân từng phần – công thức truy hồi .............................. 17
1.3.4. Phương pháp lượng giác hóa ............................................................................... 18
1.3.5. Phương pháp ứng dụng tính chẵn lẻ của hàm số ................................................. 19
1.3.6. Phương pháp ứng dụng tính chất tuần hoàn của hàm số ..................................... 20
1.3.7. Sử dụng các tính chất đặc biệt khác .................................................................... 20
1.4. Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số ......................... 21
1.4.1. Định nghĩa ........................................................................................................... 21
1.4.2. Phương pháp cơ bản tìm GTLN, GTNN của hàm số .......................................... 22
1.4.2.1. Phương pháp biến đổi đại số ............................................................................ 22
1.4.2.2. Phương pháp dùng đạo hàm ............................................................................. 22
1.4.2.3. Phương pháp dùng bất đẳng thức ..................................................................... 23
1.4.2.4. Phương pháp lượng giác hóa ............................................................................ 25
1.5. Ứng dụng tích phân vào một số bài toán cực trị .................................................... 26
1.5.1. Định lý I ............................................................................................................... 26
1.5.2. Định lý II ............................................................................................................. 28
1.5.3. Định lý III ............................................................................................................ 29
CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG TICH PHAN GIẢI CAC BAI TOAN CỰC TRỊ ....... 31
2.1. Dạng 1: Những bài toán áp dụng định lý I ............................................................. 31
2.2. Dạng 2: Những bài toán giải dựa vào tính chất của tích phân ............................... 37
2.3. Dạng 3: Những bài toán áp dụng định lý II ............................................................ 45
2.4. Dạng 4: Những bài toán áp dụng định lý III .......................................................... 52
Bài tập đề xuất ............................................................................................................... 58
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 60
PHỤ LỤC ..................................................................................................................... 61