Tích chập suy rộng và ứng dụng: Luận án Tiến sĩ về phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

——————————-

LÊ XUÂN HUY

TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE,

FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LÊ XUÂN HUY

——————————-

TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE,

FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã ngành: 62460102

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO

PGS. TS. TRỊNH TUÂN

Hà Nội - 2016

MỤC LỤC

MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . .

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 1. TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE 16

1.1 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace . . . . . . . . . . . 16

1.2 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm

trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3 Mối liên hệ giữa tích chập suy rộng Fourier-Laplace và các tích

chập khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.4 Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace

với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.4.1 Định lý kiểu Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.4.2 Định lý kiểu Saitoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

RỘNG FOURIER-LAPLACE

Chương 2. PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY

2.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-

Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.1.1 Định lý kiểu Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.1.2 Liên hệ giữa phép biến đổi tích phân với các đạo hàm . 50

2.2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-

Fourier sine-Laplace với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2.1 Định lý kiểu Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2.2 Định lý kiểu Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG 59

3.1 Giải phương trình và hệ phương trình tích phân . . . . . . . . 59

3.1.1 Giải phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.1.2 Giải hệ phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . 69

3.2 Giải phương trình vi-tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2.1 Giải phương trình vi-tích phân cấp hai . . . . . . . . . 75

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2 Giải phương trình vi-tích phân . . . . . . . . . . . . . 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . .

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng

dẫn của các thầy PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo và PGS.TS. Trịnh Tuân. Tất

cả các kết quả được trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa

từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào.

Thay mặt tập thể hướng dẫn Tác giả

PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo Lê Xuân Huy

LỜI CẢM ƠN

Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm túc

của các thầy PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo và PGS. TS. Trịnh Tuân. Tác giả

xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy. Những

người đã dẫn dắt tác giả từ những bước đi đầu tiên trên con đường nghiên

cứu, động viên tác giả vượt qua khó khăn trong quá trình làm NCS.

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và các thành

viên trong Seminar Giải tích Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, nhất là TS.

Nguyễn Thanh Hồng và TS. Nguyễn Minh Khoa. Những người luôn gần gũi,

giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và trao đổi chuyên môn.

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy GS. TSKH. Vũ

Kim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ), người đã luôn động viên, và cho tác

giả nhiều ý kiến quý báu trong quá trình học tập.

Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tác giả

đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ

môn Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học. Tác

giả xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô.

Nhân dịp này, tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban

Giám hiệu Trường Đại học Kinh tế-Kỹ thuật Công nghiệp, cùng các thầy cô

và các bạn đồng nghiệp trong Khoa Khoa học cơ bản đã quan tâm động viên

và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành việc giảng dạy và làm NCS.

Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu nặng đến gia đình bố

mẹ, vợ con, các anh chị em cùng bạn bè. Niềm tin yêu và hi vọng của mọi

người là nguồn động viên và là động lực to lớn để tác giả vượt qua mọi khó

khăn trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.

Tác giả

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

a. Một số phép biến đổi tích phân và tích chập

• L là phép biến đổi tích phân Laplace

(cid:90) ∞ (cid:0)Lf (cid:1)(y) = f (x)e−yxdx, Re y > 0.

• Fc là phép biến đổi tích phân Fourier cosine

(cid:90) ∞ f (x) cos xydx, y > 0. (cid:0)Fcf (cid:1)(y) = (cid:114) 2 π

• Fs là phép biến đổi tích phân Fourier sine

(cid:90) ∞ f (x) sin xydx, y > 0. (cid:0)Fsf (cid:1)(y) = (cid:114) 2 π

.) là tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace. • (. ∗ 1

.) là tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace. • (. ∗ 2

γ ∗ 1

• (. .) là tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng γ(y) =

e−µy (µ > 0).

γ ∗ 2

• (. .) là tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace với hàm trọng

γ(y) = e−µy (µ > 0).

γ ∗ 3

• (. .) là tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm

trọng γ(y) = − sin y.

γ ∗ 4

• (. .) là tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm

trọng γ(y) = sin y.

γ ∗ 5

• (. .) là tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm

trọng γ(y) = −e−µy sin y (µ > 0).

γ ∗ 6

• (. .) là tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm

trọng γ(y) = e−µy sin y (µ > 0).

b. Một số không gian hàm

• R+ = {x ∈ R, x > 0}.

• Lp(R+), 1 ≤ p < ∞ là không gian các hàm số f (x) xác định trên R+

sao cho

(cid:90) ∞ |f (x)|pdx < ∞,

trong đó chuẩn của hàm f được kí hiệu và xác định bởi

(cid:16) (cid:90) ∞ (cid:17) 1 p . |f (x)|pdx (cid:107)f (cid:107)Lp(R+) =

• Lp(R+, ρ), ρ > 0, 1 ≤ p < ∞ là không gian các hàm số f (x) xác định

trên R+ sao cho

(cid:90) ∞ |f (x)|pρ(x)dx < ∞,

trong đó chuẩn của hàm f được kí hiệu và xác định bởi

(cid:16) (cid:90) ∞ (cid:17) 1 p . |f (x)|pρ(x)dx (cid:107)f (cid:107)Lp(R+ρ) =

p (R+).

Đặc biệt, khi ρ(x) = xαe−βx thì ta nhận được không gian hàm hai tham số α, β và kí hiệu Lα,β

• L∞(R+) là không gian các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho

|f (x)| < ∞, sup x∈R+

trong đó chuẩn của hàm f được kí hiệu và xác định bởi

|f (x)|. (cid:107)f (cid:107)L∞(R+) = sup x∈R+

• Ac là không gian ảnh của L1(R+) qua phép biến đổi Fourier cosine Fc,

với chuẩn (cid:107)f (cid:107)Ac = (cid:107)Fcf (cid:107)L1(R+).

• C0(R+) là không gian các hàm số liên tục trên R+ và triệt tiêu ở ∞.

. • H(R+) = (cid:111) (cid:110) f (x) : (cid:0)Lf (cid:1)(y) ∈ L2(R+)

MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Lý thuyết về phép biến đổi tích phân đã được đề cập và nghiên cứu từ

rất sớm. Cho đến nay, nó đã trở thành một bộ phận quan trọng của Giải tích

toán học. Những phép biến đổi tích phân đầu tiên phải kể đến là phép biến

đổi Fourier (xem [6, 24, 33]), phép biến đổi Laplace (xem [6, 33, 56]), phép

biến đổi Mellin (xem [22, 33]), phép biến đổi Hankel (xem [6, 47]), phép biến

đổi Stieltjes (xem [6, 32]), phép biến đổi Hilbert (xem [6, 10]), ...

Một trong những vấn đề được quan tâm của phép biến đổi tích phân là

nghiên cứu các tích chập. Đó là một phép nhân đặc biệt được định nghĩa

thông qua phép biến đổi tích phân tương ứng, thường được đưa vào nghiên

cứu trong các không gian hàm mà ở đó phép nhân thông thường không tồn

tại. Giả sử U (X) là không gian tuyến tính, V (Y ) là đại số, ta xét phép biến

đổi tích phân T : U (X) → V (Y ) xác định như sau

(cid:90) K(t, τ )ϕ(τ )dτ ∈ V (Y ). (0.1) (cid:101)ϕ(t) = (cid:0)T ϕ(cid:1)(t) =

Khi đó tích chập của hai hàm f và k đối với phép biến đổi tích phân T là

toán tử

∗ : U (X) × U (X) → V (Y )

(f, k) (cid:55)→ f ∗ k

sao cho thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

T (f ∗ k)(t) = (T f )(t)(T k)(t), ∀t ∈ X. (0.2)

Những tích chập đầu tiên phải kể đến là tích chập Laplace và tích chập

Fourier (xem [6, 33]). Năm 1951, Sneddon I.N. xây dựng tích chập đối với

phép biến đổi Fourier cosine (xem [33]). Đến năm 1958, tích chập với hàm

trọng đối với phép biến đổi Mehler-Fox lần đầu tiên được Vilenkin Y. Ya. đề

cập và nghiên cứu (xem [50]). Sự ra đời của tích chập có hàm trọng đã mở

ra triển vọng phát triển thêm hướng nghiên cứu về lý thuyết tích chập. Dẫu

vậy, năm 1967 Kakichev V.A. mới đưa ra định nghĩa tích chập với hàm trọng

γ(y) của hai hàm f và k đối với một phép biến đổi tích phân T bất kỳ dựa

trên đẳng thức nhân tử hóa (xem [15])

T (cid:0)f ∗ k(cid:1)(y) = γ(y)(cid:0)T f (cid:1)(y)(cid:0)T k(cid:1)(y). (0.3)

Nhờ vào ý tưởng và kỹ thuật của phương pháp này mà nhiều tích chập có

hàm trọng được tìm ra, tiêu biểu là tích chập với hàm trọng γ(y) = sin y đối

∞ (cid:90)

với phép biến đổi Fourier sine (xem [15])

γ ∗ Fs

f (y)[sign(x + y − 1)k(|x + y − 1|) (cid:0)f k(cid:1)(x) = 1 √ 2π 2

−k(x + y + 1) + sign(x − y + 1)k(|x − y + 1|)

− sign(x − y − 1)k(|x − y − 1|)]dy, x > 0, (0.4)

nếu f, k ∈ L1(R+) thì tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

γ ∗ Fs

(cid:0)f (0.5) Fs k(cid:1)(y) = sin y(cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Fsk(cid:1)(y), ∀y > 0.

Năm 1951, lần đầu tiên Sneddon I.N. đã xây dựng được một tích chập

mà trong đẳng thức nhân tử hóa có chứa hai phép biến đổi tích phân khác

nhau tham gia. Đó là tích chập suy rộng đối với hai phép biến đổi Fourier

∞ (cid:90)

sine và Fourier cosine (xem [33, 49])

k(cid:1)(x) = f (y)(cid:2)k(|x − y|) − k(x + y)(cid:3)dy, x > 0, (0.6) (cid:0)f ∗ FsFc 1 √ 2π

nếu f, k ∈ Lp(R+) (p = 1, 2) thì tích chập này thỏa mãn

(0.7) Fs k(cid:1)(y) = (cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Fck(cid:1)(y), ∀y > 0. (cid:0)f ∗ FsFc

Cho đến những năm 90 của thế kỷ trước, Yakubovich S.B. cũng đã xây dựng

được một vài tích chập suy rộng theo chỉ số đối với các phép biến đổi tích

phân Mellin, Kontorovich-Lebedev, phép biến đổi G và phép biến đổi H (xem

[51, 55]). Năm 1998, Kakichev V.A. và N.X. Thảo đã đưa ra định nghĩa tích

chập suy rộng với hàm trọng γ của hai hàm f và k đối với ba phép biến đổi tích phân bất kỳ T1, T2 và T3 thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

(cid:0)f (0.8) T1 ∗ k(cid:1)(y) = γ(y)(cid:0)T2f (cid:1)(y)(cid:0)T3k(cid:1)(y),

và cho điều kiện cần để xác định tích chập khi biết một số ràng buộc cụ

thể về nhân của các phép biến đổi tích phân tương ứng (xem [17]). Kết quả

này đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tích chập cũng như phép biến

đổi tích phân. Nhờ đó mà những năm về sau đã có nhiều tích chập suy rộng

đối với phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Mellin,

Hartley, Kontorovich-Lebedev được xây dựng, nghiên cứu và cho nhiều ứng

dụng thú vị (xem [15, 18, 37, 38, 39, 43, 45, 54]). Mặc dù, có một số tích chập

suy rộng đối với phép biến đổi Laplace đã được đề xuất từ những năm 1998.

Chẳng hạn tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép biến đổi tích

phân Hankel và Laplace, tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép

biến đổi tích phân Laplace, Fourier cosine và Hankel (xem [17]). Tuy nhiên,

đến nay vẫn chưa có một kết quả nghiên cứu chính thức nào về tích chập suy

rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace được công bố.

Như một quy luật tự nhiên, khi đã xây dựng được tích chập (cid:0)f ∗ k(cid:1)(x), bằng cách cho một trong hai hàm cố định như là nhân trong biểu thức tích

chập, chẳng hạn cố định hàm k, còn hàm f cho biến thiên trong một không

gian hàm xác định nào đó ta sẽ nhận được phép biến đổi tích phân liên

quan đến tích chập tương ứng, gọi là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập f (cid:55)→ g = (cid:0)f ∗ k(cid:1). Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầu tiên được Watson xây dựng và nghiên cứu là phép biến đổi liên quan đến tích chập

∞ (cid:90)

Mellin (xem [44])

f (x) (cid:55)→ g(x) = k(xy)f (y)dy. (0.9)

Tổng quát hơn, người ta có thể nghiên cứu phép biến đổi tích phân dạng f (cid:55)→ g = D(cid:0)f ∗k(cid:1) mà D là một toán tử nào đó. Trong trường hợp D = (1− d2 dx2 ) là một toán tử vi phân cấp 2, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier

cosine đã được V.K. Tuấn và Musallam thiết lập và nghiên cứu (xem [49])

∞ (cid:90)

f (x) (cid:55)→ g(x) = (1 − (0.10) k(cid:1)(x)

= (1 − f (y)(cid:2)k(x + y) + k(|x − y|)(cid:3)dy, x > 0. d2 dx2 )(cid:0)f ∗ d2 dx2 ) 1 √ 2π

Với kỹ thuật đó, các tác giả này tiếp tục xây dựng và nghiên cứu phép biến

đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine (xem [2]).

Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập hoặc tích chập suy rộng liên quan

đến biến đổi Mellin, biến đổi Kontorovich-Lebedev sau đó cũng được nghiên

cứu (xem [14, 19, 20, 53, 55]). Nhưng tất cả các công trình này đều chỉ dừng

lại nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và tích chập suy

rộng không có hàm trọng. Với các tích chập và tích chập suy rộng có hàm

trọng, việc xây dựng các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tương ứng

thường là vấn đề phức tạp hơn (xem [40, 41, 42]). Cho đến nay các phép biến

đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace có hàm trọng và không có hàm

trọng vẫn chưa được nghiên cứu.

Việc nghiên cứu các tích chập và các phép biến đổi tích phân có ý nghĩa

quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Nhờ đó, các phép

toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành

các phép tính đại số. Vì vậy, nó đặc biệt hữu ích trong việc giải các phương

trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, những

phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong lý thuyết

mạch, hệ cơ học, bài toán ngược, bài toán xử lý ảnh và xử lý tín hiệu (xem

[3, 6, 9, 10, 8, 22, 30, 31, 33, 36, 46, 48, 52]). Trong nhiều trường hợp, nghiệm

nhận được từ các bài toán trên có thể được biểu diễn qua các tích chập tương

ứng. Để đánh giá các nghiệm đó ta có thể dùng đến một công cụ, đó chính là

bất đẳng thức đối với tích chập. Bất đẳng thức đối với các tích chập, ngoài

ứng dụng để đánh giá nghiệm của phương trình, bản thân nó cũng đã là một

vấn đề thú vị trong việc nghiên cứu tích chập.

p + 1

Đầu tiên phải kể đến bất đẳng thức Young đối với tích chập Fourier (xem r và f (x) ∈ Lp(R), k(x) ∈ Lq(R) q = 1+ 1

[1, 35]). Nếu p, q, r > 1 thỏa mãn 1 thì ta có

(0.11) k(cid:107)Lr(R) ≤ (cid:107)f (cid:107)Lp(R)(cid:107)k(cid:107)Lq(R). (cid:107)f ∗ F

(cid:16) (cid:107) (0.12) Bất đẳng thức này cho ta đánh giá chuẩn của tích chập Fourier trong không gian hàm Lr(R), tuy nhiên nó không còn đúng trong trường hợp f, k ∈ L2(R). Năm 2000, trong một bài báo của Saitoh S. (xem [26]), bằng cách xét các không gian hàm Lp(R, |ρj|) có trọng ρj ∈ L1(R) (j = 1, 2) là các hàm không triệt tiêu và Fj ∈ Lp(R, |ρj|) (p > 1), tác giả đã nhận được đánh giá sau, gọi là bất đẳng thức Saitoh cho tích chập Fourier (cid:17)(cid:0)ρ1 ∗ ρ2 (F2ρ2) (cid:1) 1 p −1(cid:107)Lp(R) ≤ (cid:107)F1(cid:107)Lp(R,|ρ1|)(cid:107)F2(cid:107)Lp(R,|ρ2|). (F1ρ1) ∗ F

Cũng trong năm đó, Saitoh S., V.K. Tuấn và Yamamoto M. đã thiết lập được

bất đẳng thức ngược kiểu Saitoh cho tích chập Fourier (xem [27]). Khác với

bất đẳng thức Young, bất đẳng thức Saitoh (0.12) còn đúng trong cả trường

hợp p = 2. Do có nhiều ứng dụng thú vị, đặc biệt là trong việc đánh giá

nghiệm của các phương trình toán-lý, bất đẳng thức Saitoh sau khi xuất hiện

đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học. Về sau, bất đẳng

thức này đã được các tác giả Đ.T. Đức và N.D.V. Nhân mở rộng cho không gian hàm trọng nhiều chiều Lp(Rn, |ρj|) (xem [7]).

Năm 2002, Saitoh S., V.K. Tuấn và Yamamoto M. tiếp tục xây dựng bất

đẳng thức ngược đối với tích chập Laplace và sử dụng vào việc giải bài toán

truyền nhiệt ngược (xem [31]). Đến năm 2008, N.D.V. Nhân và Đ.T. Đức

+, |ρj|) (xem [23]).

cũng đã thiết lập và nghiên cứu thành công bất đẳng thức kiểu Saitoh cho tích chập Laplace trong không gian nhiều chiều Lp(Rn

Các bất đẳng thức dạng trên đối với tích chập Mellin, tích chập Fourier

cosine sau đó cũng được thiết lập nghiên cứu và cho nhiều ứng dụng thú vị

(xem [7, 13, 23, 27, 28, 29, 31]). Tuy nhiên, các bất đẳng thức đối với tích

chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace đến nay vẫn chưa được

đề cập và nghiên cứu.

Từ những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài để nghiên cứu là "Tích

chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và

ứng dụng".

2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mục đích của luận án là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suy

rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace. Tức các tích chập suy

rộng mà trong đẳng thức nhân tử hóa chứa phép biến đổi Laplace cùng với

một hoặc hai phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine. Nghiên cứu tính chất

toán tử tích chập, thiết lập bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng này

trong một số không gian hàm cụ thể. Xây dựng và nghiên cứu các phép biến

đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng tương ứng. Nghiên cứu các tính chất

toán tử của phép biến đổi như tính unita, sự tồn tại toán tử ngược của phép biến đổi trong không gian L2(R+). Từ đó, ứng dụng vào việc giải một lớp các phương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân.

3. Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp giải tích hàm, lý thuyết

toán tử, phép biến đổi tích phân và lý thuyết tích chập. Chúng tôi ứng dụng

bất đẳng thức H¨older để đánh giá chuẩn của các toán tử tích chập mới trong

các không gian hàm cụ thể. Đặc biệt Định lý Wiener-Levy được sử dụng

nhiều trong việc xây dựng công thức nghiệm đóng cho lớp các phương trình,

hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân.

4. Cấu trúc và kết quả của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia

làm ba chương:

Chương 1, xây xựng và nghiên cứu các tích chập suy rộng Fourier-Laplace.

Nhận được các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch và một số đánh giá chuẩn trong các không gian hàm Lp(R+) và p (R+). Tìm được mối liên hệ giữa các tích chập suy rộng mới với một Lα,β số tích chập quan trọng đã biết. Hơn nữa, trong các không gian Lp(R+) và Lp(R+, ρ), các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với tích chập suy rộng Fourier-Laplace cũng được thiết lập và chứng minh.

Chương 2, thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích

chập suy rộng Fourier-Laplace. Nghiên cứu các tính chất toán tử của các

phép biến biến đổi này, ta nhận được các Định lý kiểu Watson cho điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi tương ứng là unita trong không gian L2(R+), hơn nữa ta cũng xác định được điều kiện đủ cho sự tồn tại các phép biến

đổi ngược. Ngoài ra Định lý kiểu Plancherel đối với phép biến đổi tích phân

tương ứng cũng được chứng minh.

Chương 3, một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân

và phương trình vi-tích phân được giải nhờ vào tích chập suy rộng Fourier-

Laplace và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier-Laplace.

Hơn nữa, bằng phương pháp giải này nghiệm nhận được từ các các phương

trình trên đều được cho dưới dạng dóng.

5. Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Các tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Laplace, các phép biến đổi

tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace, và một số bất đẳng thức đối với

các tích chập suy rộng tương ứng lần đầu tiên được đề cập và nghiên cứu

trong luận án. Các kết quả này có ý nghĩa khoa học và góp phần làm phong

phú hơn về lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập cũng như bất đẳng

thức đối với tích chập. Từ đó, đưa ra cách tiếp cận mới và các phương pháp

giải phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân. Hơn nữa, một số

ý tưởng và phương pháp được sử dụng trong luận án có thể dùng để nghiên

cứu các tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân khác.

Nội dung chính của luận án dựa vào bốn công trình đã công bố, được liệt

kê ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", gồm ba công

trình trên các tạp chí toán học Quốc tế (trong đó [4] thuộc tạp chí trong

danh mục ISI) và một công trình trên tạp chí toán học Quốc gia. Các kết

quả này đã được báo cáo một phần hoặc toàn bộ tại:

+ Hội nghị Toán học Việt-Pháp, tháng 8 năm 2012, tại Huế.

+ Hội nghị Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng 8 năm 2013, tại Nha

Trang.

+ Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứng dụng

(ICFIDCAA), tháng 8 năm 2011 tại Hà Nội.

+ Hội thảo Toán học phối hợp Trường Đại học Bách khoa Hà Nội và

Trường Đại học Heidelberg của Đức, tháng 3 năm 2015.

+ Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội.

+ Seminar Giải tích-Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội.

Chương 1

TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE

Mục đích của Chương 1 là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suy

rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace. Nghiên cứu các tính chất

toán tử của các tích chập suy rộng này trong một số không gian hàm khác

nhau. Thiết lập và chứng minh các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh

đối với các tích chập tương ứng.

1.1 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace

Trước hết ta nghiên cứu tích chập suy rộng liên quan đến hai phép biến

đổi tích phân Fourier cosine và Laplace không có trọng.

Định nghĩa 1.1.1. Tích chập suy rộng của hai hàm f và k đối với hai phép

∞ (cid:90)

biến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace được định nghĩa như sau

(1.1) (cid:0)f ∗ k(cid:1)(x) = θ1(x, u, v)f (u)k(v)dudv, 1 π

trong đó

v (1.2) θ1(x, u, v) = v v2 + (x − u)2 + v2 + (x + u)2 , x > 0.

Ta gọi Ac là không gian ảnh của L1(R+) thông qua phép biến đổi Fourier := (cid:107)Fcf (cid:107)L1(R+) thì không gian đó là một đại cosine Fc. Với chuẩn (cid:107)f (cid:107)Ac số Banach, nghĩa là nếu f (x), k(x) ∈ Ac, thì f (x)k(x) ∈ Ac và thỏa mãn (cid:107)f k(cid:107)Ac ≤ (cid:107)f (cid:107)Ac(cid:107)k(cid:107)Ac.

Các định lý sau đây cho ta sự tồn tại của các tích chập (1.1) và đẳng thức

nhân tử hóa của tích chập này trong các không gian hàm tương ứng.

Định lý 1.1.1. Giả sử các hàm f (x) và k(x) thuộc không gian L2(R+). Khi k(cid:1)(x) ∈ Ac, và thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval đó ta có (cid:0)f ∗

(cid:0)f ∗ (1.3) k(cid:1)(x) = Fc (cid:2)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:3)(x), ∀x > 0.

Hơn nữa, ta cũng nhận được đẳng thức nhân tử hóa sau

(cid:0)f ∗ (1.4) k(cid:1)(y) = (cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y), ∀y > 0. Fc

∞ (cid:90)

Chứng minh. Từ giả thiết f (x), k(x) ∈ L2(R+), ta có (cid:0)Fcf (cid:1)(y), (cid:0)Lk(cid:1)(y) ∈ (cid:2)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:3)(x) ∈ Ac. L2(R+), suy ra (cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y) ∈ L1(R+) và Fc Mặt khác, ta bắt đầu với việc đặt f (x) ∈ L1(R+) ∩ L2(R+) và k(cid:15)(x) = k(x)χ[(cid:15),∞)(x) ∈ L2(R+), ở đó χE(x) là hàm đặc trưng của E, và (cid:15) > 0. Ta có đánh giá sau

0 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

e−vy(cid:12) (cid:12) cos(x − u)y + cos(x + u)y(cid:12) (cid:12) |f (u)k(cid:15)(v)| dydudv

(cid:15)

dudv < ∞. (1.5) ≤2 |f (u)| e−vy |f (u)k(cid:15)(v)| dydudv = 2 |k(v)| v

∞ (cid:90)

Từ (1.5), áp dụng Định lý Fubini ta có

∞ (cid:90)

(cid:1)(y)(cid:3)(x) = (cid:1)(y)cos xydy (cid:2)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:15) Fc (cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:15) (cid:114) 2 π

0 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

(cid:104) (cid:105) (cid:105)(cid:104) = f (u) cos yudu cos xydy k(cid:15)(v)e−vydv 2 π

(cid:104) (cid:105) = e−vy cos yx. cos yudy f (u)k(cid:15)(v)dudv 2 π

∞ (cid:90)

(cid:104) (cid:105) = e−vy(cid:8) cos(x − u)y + cos(x + u)y(cid:9)dy (1.6) f (u)k(cid:15)(v)dudv. 1 π

∞ (cid:90)

Từ (1.6), sử dụng công thức (2.13.5) trong [6]

v (1.7) e−vt cos ytdt = v2 + y2 , v > 0,

ta có

(cid:1)(y)(cid:3)(x) Fc

∞ (cid:90)

(cid:20) (cid:21) (cid:2)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:15) ∞ (cid:90) = f (u)k(cid:15)(v)dudv 1 π v v2 + (x − u)2 + v v2 + (x + u)2

0 k(cid:15)

(cid:1)(x). = (cid:0)f ∗ (1.8)

Ta chú ý rằng, nếu f (x) ∈ L2(R+) thì

√ (1.9) (cid:107)Lf (cid:107)L2(R+) ≤ π(cid:107)f (cid:107)L2(R+),

Khi đó, áp dụng bất đẳng thức H¨older và sử dụng đánh giá (1.9) ta có

(cid:1)(y)(cid:13) (cid:1)(y)(cid:3)(x)(cid:13) (cid:2)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:15) (cid:13) (cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:15) (cid:13) (cid:13) (cid:13)Fc (cid:13)L1(R+) (cid:13)L∞(R+) ≤ (cid:114) 2 π

√ ≤ (cid:107)Fcf (cid:107)L2(R+) (cid:107)Lk(cid:15)(cid:107)L2(R+) ≤ 2 (cid:107)f (cid:107)L2(R+) (cid:107)k(cid:15)(cid:107)L2(R+) . (cid:114) 2 π

Vậy, nếu cho (cid:15) → 0+ và L1(R+) ∩ L2(R+) trù mật trong L2(R+), bằng cách thác triển liên tục ta nhận được đẳng thức kiểu Parseval (1.3) đối với f (x), k(x) ∈ L2(R+). Bằng cách tác động phép biến đổi Fourier cosine Fc lên hai vế của đẳng thức (1.3) ta nhận được đẳng thức nhân tử hóa (1.4). Định (cid:50) lý đã được chứng minh.

Ta đặt

(1.10) H(R+) = (cid:111) (cid:110) f (x) : (cid:0)Lf (cid:1)(y) ∈ L2(R+) .

Khi đó dễ thấy rằng H(R+) là không gian hàm rộng hơn L2(R+), nghĩa là L2(R+) ⊂ H(R+). Trong một số trường hợp, việc nghiên cứu tích chập (cid:0). ∗ .(cid:1) có thể được nhúng liên tục vào H(R+).

Nhận xét 1.1.1. Giả thiết rằng f (x) ∈ L2(R+), và k(x) ∈ H(R+) sao cho tích phân (1.1) hội tụ như tích phân lặp. Ví dụ, tích chập (1.1) tồn tại như tích phân lặp với k(x) = cos x (cid:54)∈ L2(R+), nhưng k(x) ∈ H(R+) khi đó (cid:0)Lk(cid:1)(y) = y y2+1 ∈ L2(R+). Trong trường hợp này, ta có đánh giá sau

(cid:13) (cid:13)Fc (cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)L1(R+) (cid:114) 2 π

≤ (cid:107)Fcf (cid:107)L2(R+) (cid:107)Lk(cid:107)L2(R+) = (cid:107)f (cid:107)L2(R+) (cid:107)Lk(cid:107)L2(R+) (cid:13)L∞(R+) ≤ (cid:114) 2 π √ ≤ (cid:2)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:3)(x)(cid:13) (cid:114) 2 π 2 (cid:107)f (cid:107)L2(R+) (cid:107)k(cid:107)L2(R+) .

Chứng tỏ rằng các kết quả trong Định lý 1.1.1 vẫn còn đúng dưới giả thiết

này.

Để nghiên cứu tích chập suy rộng (cid:0). ∗ .(cid:1) trong không gian hàm L1(R+) ta

cần đến sự hổ trợ của bổ đề sau.

Bổ đề 1.1.1. Nếu k(x) ∈ L1(R+), thì (cid:0)Lk(cid:1)(y) ∈ Ac.

∞ (cid:90)

Chứng minh. Đặt k(cid:15)(x) = k(x)χ[(cid:15),∞)(x). Ta có đánh giá

(cid:15)

∞ (cid:90)

Khi đó, sử dụng Định lý Fubini ta có

∞ (cid:90)

(cid:1)(cid:3)(x)(cid:12) cos xv dx (cid:2)Fc (cid:0)Lk(cid:15) e−vyk(cid:15)(y) dy dv (cid:12) (cid:12) (cid:12) dx = (cid:114) 2 π (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

e−vy cos xv dv dy dx = dx = k(cid:15)(y) k(cid:15)(y) (cid:114) 2 π (cid:114) 2 π y x2 + y2 dy (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

∞ (cid:90)

1 ≤ y |k(cid:15)(y)| |k(cid:15)(y)| dy. (cid:114) 2 π x2 + y2 dx dy = (cid:114)π 2

2 (cid:107)k(cid:15)(cid:107)L1(R+). Cho (cid:15) → 0+ ta nhận được

Suy ra (cid:107)Fc (cid:0)Lk(cid:15) (cid:1)(cid:107)L1(R+) ≤ (cid:112) π

(cid:107)Fc (cid:0)Lk(cid:1)(cid:107)L1(R+) ≤ (cid:107)k(cid:107)L1(R+). (cid:114)π 2

(cid:50) Suy ra Fc (cid:0)Lk(cid:1)(x) ∈ L1(R+). Vậy (cid:0)Lk(cid:1)(y) liên tục và thuộc Ac.

k(cid:1)(x) Bổ đề trên là công cụ quan trọng giúp ta chứng minh tích chập (cid:0)f ∗ thuộc không gian L1(R+) và trong không gian tương ứng các đẳng thức kiểu Parseval (1.3) và đẳng thức nhân tử hóa (1.4) vẫn còn đúng. Ta có định lý

sau.

Định lý 1.1.2. Giả sử rằng f (x), k(x) ∈ L1(R+). Khi đó đối với tích chập (cid:0)f ∗ k(cid:1)(x), các đẳng thức kiểu Parseval (1.3) và đẳng thức nhân tử hóa (1.4) vẫn còn đúng, hơn nữa (cid:0)f ∗ k(cid:1)(x) ∈ L1(R+).

Chứng minh. Việc chứng minh đẳng thức kiểu Parseval (1.3) và đẳng thức

nhân tử hóa (1.4) là tương tự như trong phần chứng minh Định lý 1.1.1, vì vậy ở đây ta không chứng minh nữa. Nếu k(x) ∈ L1(R+), thì từ Bổ đề 1.1.1 ta có (cid:0)Lk(cid:1)(y) ∈ Ac. Từ điều kiện f (x) ∈ L1(R+) ta cũng nhận được (cid:0)Fcf (cid:1)(y) ∈ Ac. Vì Ac là một đại số Banach, suy ra (cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y) cũng k(cid:1)(x) ∈ L1(R+). Định lý thuộc Ac. Từ đẳng thức (1.3) ta cũng suy ra (cid:0)f ∗ (cid:50) đã được chứng minh.

Nhận xét 1.1.2. Trong biểu thức tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace (cid:0). ∗ .(cid:1), nếu thay thế nhân θ1(x, u, v) bởi nhân

v (1.11) θ2(x, u, v) = v v2 + (x − u)2 − v2 + (x + u)2 , x > 0,

thì ta sẽ nhận được tích chập suy rộng mới. Đó là tích chập suy rộng Fourier

∞ (cid:90)

sine-Laplace được định nghĩa bởi

(cid:0)f ∗ k(cid:1)(x) = (1.12) θ2(x, u, v)f (u)k(v)dudv, 1 π

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

(cid:0)f ∗ (1.13) k(cid:1)(y) = (cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y), ∀y > 0, f, k ∈ L2(R+). Fs

Tích chập suy rộng (cid:0). ∗ .(cid:1) có các tính chất gần tương tự tích chập (cid:0). ∗

Định lý sau đây nói lên mối liên hệ giữa các tích chập (cid:0). ∗ .(cid:1). .(cid:1) và (cid:0). ∗ .(cid:1)

trong L2(R+).

(cid:48)

Định lý 1.1.3. Giả sử rằng f (x), f (cid:48)(x) ∈ L2(R+) và k(x) ∈ L2(R+). Khi đó, ta có các đẳng thức sau

∞ (cid:90)

(cid:48)

(cid:0)f ∗ k(cid:1)(x) = (cid:0)f k(cid:1)(x), (1.14) ∗ 2 d dx

(cid:0)f ∗ k(cid:1)(x) = (cid:0)f k(cid:1)(x) + (1.15) f (0) ∗ 1 d dx (cid:114) 2 π yk(y) x2 + y2 dy.

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh đẳng thức (1.14). Từ các tính chất

đạo hàm của các phép biến đổi tích phân

(cid:0)yf (y)(cid:1)(x), (cid:0)yf (y)(cid:1)(x), (cid:0)f (y)(cid:1)(x) = −Fs Fc (cid:0)f (y)(cid:1)(x) = Fc Fs d dx d dx

(cid:48)

và các phép biến đổi tích phân của đạo hàm

(y))(x) + f (0), xFc(f )(x) = −Fs(f (y))(x), xFs(f )(x) = Fc(f

ta có đánh giá sau

(cid:0)f ∗ k(cid:1)(x) = (cid:2)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:3)(x) Fc d dx d dx

(cid:48)

(cid:48)(cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:3)(x) = (cid:0)f

= −Fs (cid:2)y(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:3)(x)

k(cid:1)(x). = Fs (cid:2)(cid:0)Fsf ∗ 2

Việc chứng minh đẳng thức (1.15) là tương tự. Thật vậy,

(cid:0)f ∗ k(cid:1)(x) = d dx

= Fc

∞ (cid:90)

(cid:48)

(cid:2)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:3)(x) d (cid:2)(cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:3)(x) Fs dx (cid:104) y(cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:3)(x) = Fc (cid:104)(cid:16)(cid:0)Fcf (cid:105) (cid:17)(cid:0)Lk(cid:1)(y) (cid:48)(cid:1)(y) + f (0) (x) (cid:48)(cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:3)(x) + f (0)Fc (cid:2)(cid:0)Fcf = Fc

0 ∞ (cid:90)

(cid:48)

f (0) k(y) cos(xt)e−yt dt dy = (cid:0)f k(cid:1)(x) + ∗ 1 (cid:114) 2 π

= (cid:0)f k(cid:1)(x) + f (0) ∗ 1 (cid:114) 2 π yk(y) x2 + y2 dy.

(cid:50) Định lý đã được chứng minh.

Tiếp theo, ta nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai

phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace.

Định nghĩa 1.1.2. Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0) của hai hàm f và k đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và

∞ (cid:90)

Laplace được định nghĩa như sau

γ ∗ 1

(cid:0)f k(cid:1)(x) = (1.16) θ1(x, u, v + µ)f (u)k(v)dudv, 1 π

trong đó θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2).

γ Định lý sau cho ta sự tồn tại của tích chập (cid:0)f ∗ 1 L1(R+) và đẳng thức nhân tử hóa của tích chập.

k(cid:1)(x) trong không gian hàm

γ ∗ 1

Định lý 1.1.4. Giả sử f (x) và k(x) là hai hàm thuộc không gian L1(R+). k(cid:1)(x) thuộc L1(R+), thỏa mãn bất đẳng thức Khi đó, tích chập suy rộng (cid:0)f chuẩn

γ ∗ 1

L1(R+)

(cid:107)(cid:0)f k(cid:1)(cid:107) (1.17) ≤ (cid:107)f (cid:107)L1(R+)(cid:107)k(cid:107)L1(R+),

và có đẳng thức nhân tử hóa

γ ∗ 1

(cid:0)f (1.18) Fc k(cid:1)(y) = e−µy(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y), ∀y > 0.

γ ∗ 1

Ngoài ra, tích chập suy rộng (cid:0)f k(cid:1)(x) cũng thuộc C0(R+).

∞ (cid:90)

Chứng minh. Trước hết, ta có đánh giá sau

∞ (cid:90)

0 ∞ (cid:90)

(cid:12) (cid:12)dx (cid:12)θ1(x, u, v + µ)(cid:12) (cid:12) (cid:12)dx = (cid:12) (cid:12) v + µ (v + µ)2 + (x − u)2 + v + µ (v + µ)2 + (x + u)2

−u ∞ (cid:90)

v + µ ≤ (v + µ)2 + t2 dt + v + µ (v + µ)2 + t2 dt

−∞

v + µ (1.19) = (v + µ)2 + t2 dt = π.

∞ (cid:90)

∞ ∞ (cid:90) (cid:90)

Từ (1.16) và (1.19), ta có

∞ (cid:90) (cid:12) (cid:12)

γ ∗ 1

0 ∞ (cid:90)

(cid:0)f k(cid:1)(x)(cid:12) |f (u)k(v)| dudv (cid:12)dx = (cid:12)θ1(x, u, v + µ)(cid:12) (cid:12) (cid:12)dx 1 π

∞ (cid:90) |k(v)|dv = (cid:107)f (cid:107)L1(R+)(cid:107)k(cid:107)L1(R+).

≤ |f (u)|du

Suy ra

γ ∗ 1

L1(R+)

(cid:107)(cid:0)f k(cid:1)(cid:107) ≤ (cid:107)f (cid:107)L1(R+)(cid:107)k(cid:107)L1(R+) < ∞.

γ ∗ 1

Vậy tích chập (cid:0)f k(cid:1)(x) tồn tại và

γ ∗ 1

(cid:0)f (1.20) k(cid:1)(x) ∈ L1(R+).

Từ (1.16) và bằng cách sử dụng công thức (1.7), ta có

γ ∗ 1

R3 + (cid:90)

(cid:90) (cid:0)f k(cid:1)(x) = f (u)k(v)e−(v+µ)y[cos(x − u)y + cos(x + u)y]dudvdy 1 π

R3 + ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

f (u)k(v)e−(v+µ)y cos yx. cos yududvdy = 2 π

∞ (cid:90)

(cid:104) (cid:90) ∞ (cid:105) = f (u) cos yudu k(v)e−vydv e−µy cos xydy 2 π

(1.21) = (cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y)e−µy cos xydy. (cid:114) 2 π

Từ (1.20) và bằng cách tác động phép biến đổi Fourier cosine Fc lên hai vế của biểu thức (1.21), ta nhận được đẳng thức nhân tử hóa (1.18). Cũng từ

γ ∗ 1

(1.21) kết hợp bổ đề Riemann-Lebesgue cho phép biến đổi Fourier cosine, ta suy ra (cid:0)f (cid:50) k(cid:1)(x) ∈ C0(R+). Định lý đã được chứng minh.

γ ∗ 1

k(cid:1)(x) = 0, ∀x > 0

Định lý 1.1.5 (Định lý kiểu Titchmarch). Cho hai hàm số liên tục k(x) ∈ L1(R+) và f (x) ∈ L1(R+, eαx) (α > 0). Nếu (cid:0)f thì hoặc f (x) = 0, ∀x > 0 hoặc k(x) = 0, ∀x > 0.

(cid:12)f (x)xn cos(yx+n )(cid:12) (cid:12) ≤ |e−αxxn||eαxf (x)|≤ Chứng minh. Ta có (cid:0) cos yxf (x)(cid:1)(cid:12) (cid:12) = (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) dn dyn π 2 n! αn |eαxf (x)|. (1.22)

Trong đó ta đã sử dụng đánh giá sau 0 ≤ e−αxxn = e−αx (αx)n n! αn ≤ e−αxeαx n! αn = n! αn ,

γ ∗ 1

(cid:0) cos yxf (x)(cid:1) ∈ L1(R+). dn dyn

và f ∈ L1(R+, eαx). Kết hợp với (1.22) ta có Do L1(R+, eαx) ⊂ L1(R+) nên (cid:0)Fcf (cid:1)(y) giải tích trong R+. Mặt khác, ta có (cid:0)Lk(cid:1)(y) giải tích trong R+. Bằng cách sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.18) đối với đẳng thức (cid:0)f k(cid:1)(x) = 0 ta có e−µy(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y) = 0, ∀y > 0. Hay (cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y) = 0, ∀y > 0. Từ đó, ta có hoặc f (x) = 0, ∀x > 0 hoặc (cid:50) k(x) = 0, ∀x > 0. Định lý đã được chứng minh.

γ4∗

k(cid:1)(x) trong không gian hàm (cid:32)Lα,β

Ngoài không gian (cid:32)L1(R+), chúng ta có thể mở rộng việc nghiên cứu tích chập (cid:0)f (R+). Ta bắt đầu bằng việc chứng minh sự tồn tại của tích chập và đánh giá bất đẳng thức chuẩn trong không

γ ∗ 1

gian tương ứng.

Định lý 1.1.6. Giả sử p > 1, r ≥ 1, 0 < β ≤ 1, các hàm f (x) ∈ Lp(R+) và k(x) ∈ L1(R+). Khi đó tích chập suy rộng (cid:0)f k(cid:1)(x) tồn tại, liên tục và thuộc Lα,β (R+). Hơn nữa, ta có đánh giá sau

γ ∗ 1

Lα,β r

(R+)

πµ)1/pβ− α+1

r Γ1/r(α + 1) với Γ là hàm Gamma. Ngoài ra, nếu γ k(cid:1)(x) thuộc C0(R+), và ∗ 1

(cid:107)(cid:0)f k(cid:1)(cid:107) (1.23) ≤ C(cid:107)f (cid:107)Lp(R+)(cid:107)k(cid:107)L1(R+),

trong đó C = ( 2 f (x) ∈ L1(R+) ∩ Lp(R+) thì tích chập suy rộng (cid:0)f thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.18).

q = 1 và sử dụng đánh giá (1.19), ta có

p + 1

Chứng minh. Bằng cách áp dụng bất đẳng thức H¨older đối với q > 1 thỏa mãn 1

γ ∗ 1

(cid:110) (cid:90) (cid:111)1/p |(cid:0)f k(cid:1)|≤ |f (u)|pθ1(x, u, v + µ)|k(v)|dudv 1 π

R2 + (cid:110) (cid:90)

R2 +

∞ (cid:90)

(cid:111)1/q × |k(v)|θ1(x, u, v + µ)dudv

R2 +

(cid:105)1/p(cid:104) (cid:105)1/q (cid:104) (cid:90) dudv |k(v)|πdv ≤ |f (u)|p|k(v)| 1 π 2 µ

∞ (cid:90)

(cid:17)1/p(cid:104) (cid:105)1/p(cid:104) (cid:105) |f (u)|pdu |k(v)|dv = (cid:16) 2 πµ

(cid:17)1/p = (cid:107)f (cid:107)Lp(R+)(cid:107)k(cid:107)L1(R+) < ∞. (cid:16) 2 πµ

γ ∗ 1

k(cid:1)(x) tồn tại và liên tục. Kết hợp với công thức (3.225.3)

∞ (cid:90)

Vậy tích chập (cid:0)f (trang 115, trong [25]), ta có

Lp(R+)(cid:107)k(cid:107)r

L1(R+).

γ ∗ 1

xαe−βx|(cid:0)f k(cid:1)(x)| dx ≤ C r(cid:107)f (cid:107)r

γ ∗ 1

k(cid:1)(x) thuộc Lα,β

γ ∗ 1

Suy ra tích chập (cid:0)f (R+) và thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn (1.23). Từ các giả thiết của định lý, và lập luận tương tự Định lý 1.1.4, ta

nhận được đẳng thức nhân tử hóa (1.18). Kết hợp bổ đề Riemann-Lebesgue k(cid:1)(x) ∈ C0(R+). Định lý đã được cho phép biến đổi Fourier cosine, ta có (cid:0)f (cid:50) chứng minh.

γ ∗ 1

k(cid:1)(x) tồn tại, liên tục, bị chặn trong Lα,β

Định lý 1.1.7. Giả sử rằng α > −1, 0 < β ≤ 1, p > 1, q > 1, r ≥ 1 thỏa q = 1. Khi đó, nếu f (x) ∈ Lp(R+) và k(x) ∈ Lq(R+, (1 + x2)q−1), p + 1 mãn 1 thì tích chập (cid:0)f (R+) và có đánh giá chuẩn

γ ∗ 1

Lα,β r

(R+)

p π− 1

q β− α+1

(cid:107)(cid:0)f k(cid:1)(cid:107) (1.24) ≤ C(cid:107)f (cid:107)Lp(R+)(cid:107)k(cid:107)Lq(R+,(1+x2)q−1),

γ ∗ 1

trong đó C = µ− 1 r Γ1/r(α + 1). Hơn nữa, nếu giả thiết thêm các hàm f (x) ∈ L1(R+) ∩ Lp(R+) và k(x) ∈ L1(R+) ∩ Lq(R+, (1 + x2)q−1) thì tích chập k(cid:1)(x) thuộc C0(R+) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.18). (cid:0)f

Chứng minh. Bằng cách sử dụng bất đẳng thức H¨older’s đối với p, q > 1 và

γ ∗ 1

R2 +

(cid:111)1/p kết hợp đánh giá (1.19), ta có (cid:110) (cid:90) 1 |(cid:0)f k(cid:1)|≤ |f (u)|pθ1(x, u, v + µ) 1 π 1 + v2 dudv

R2 + ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

(cid:110) (cid:90) (cid:111)1/q × (cid:1)1−qdudv |k(v)|qθ1(x, u, v + µ)(cid:0) 1 1 + v2

∞ (cid:90)

(cid:104) (cid:105)1/p(cid:104) (cid:105)1/q ≤ |k(v)|q(1 + v2)q−1πdv |f (u)|pdu 1 π 2 µ 1 1 + v2 dv

p π− 1

(cid:105)1/p(cid:104) (cid:104) (cid:105)1/q |f (u)|pdu |k(v)|q(1 + v2)q−1dv =µ− 1

p π− 1

q (cid:107)f (cid:107)Lp(R+)(cid:107)k(cid:107)Lq(R+,(1+x2)q−1) < ∞.

=µ− 1

γ ∗ 1

k(cid:1)(x) tồn tại và liên tục. Từ đó và áp dụng công thức

∞ (cid:90)

Suy ra, tích chập (cid:0)f (3.225.3) (trang 115, trong [25]), ta nhận được

Lp(R+)(cid:107)k(cid:107)r

Lq(R+,(1+x2)q−1).

γ ∗ 1

xαe−βx|(cid:0)f k(cid:1)(x)| dx ≤ C r(cid:107)f (cid:107)r

γ ∗ 1

k(cid:1)(x) thuộc không gian hàm hai tham số Lα,β

Suy ra tích chập (cid:0)f (R+), và thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn (1.24). Từ các giả thiết của định lý này, lập

luận tương tự Định lý 1.1.4, ta nhận được đẳng thức nhân tử hóa (1.18). Kết

γ ∗ 1

hợp với bổ đề Riemann-Lebesgue cho phép biến đổi Fourier cosine, ta nhận được (cid:0)f (cid:50) k(cid:1)(x) ∈ C0(R+). Định lý đã được chứng minh.

∞ (cid:90)

.(cid:1), nếu thay thế θ1(x, u, v +µ) Nhận xét 1.1.3. Trong tích chập suy rộng (cid:0). bởi nhân θ2(x, u, v + µ) cho bởi (1.11), ta sẽ nhận được tích chập suy rộng mới. Đó là tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0) được xác định bởi

γ ∗ 2

(cid:0)f k(cid:1)(x) = (1.25) θ2(x, u, v + µ)f (u)k(v)dudv, 1 π

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

γ ∗ 2

(cid:0)f (1.26) Fs k(cid:1)(y) = e−µy(cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y), ∀y > 0, f, k ∈ L1(R+).

γ ∗ 2

γ ∗ 1

.(cid:1) có các tính chất cơ bản tương tự tích chập (cid:0).

.(cid:1). Tích chập suy rộng (cid:0). Tuy nhiên, giữa hai tích chập suy rộng này sẽ có nhiều điểm khác nhau nếu

chúng ta tiếp tục nghiên cứu sâu hơn, đặc biệt các tích chập này có thể kết

hợp bổ trợ lẫn nhau để cho những ứng dụng thú vị.

1.2 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier

sine-Laplace với hàm trọng

Cho đến nay, số lượng tích chập suy rộng liên quan đến đồng thời ba phép

biến đổi tích phân khác nhau đã được công bố là rất ít. Việc xây dựng và

nghiên cứu các tích chập dạng này là vấn đề thú vị và có nhiều ý nghĩa, đặc

biệt là trong việc giải các hệ nhiều phương trình tích phân (xem [37, 38]).

Trong mục này, chúng ta nghiên cứu các tích chập suy rộng với hàm trọng

đối với ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine và Laplace.

Định nghĩa 1.2.1. Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = − sin y của hai

hàm f (x) và k(x) đối với ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier

∞ (cid:90)

sine và Laplace được định nghĩa như sau

γ ∗ 3

(cid:0)f k(cid:1)(x) = (cid:2)θ2(x − 1, u, v) − θ2(x + 1, u, v)(cid:3)f (u)k(v)dudv, 1 2π

(1.27)

với θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.11).

γ ∗ 3

Định lý 1.2.1. Giả sử f (x) ∈ L2(R+) và k(x) ∈ H(R+). Khi đó, tích chập suy rộng (cid:0)f k(cid:1)(x) thuộc L2(R+) thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval

γ ∗ 3

(1.28) (cid:0)f k(cid:1)(x) = Fc (cid:2) − sin y(cid:0)Fsf (cid:1)(cid:0)Lk(cid:1)(cid:3)(x), ∀x > 0,

và đẳng thức nhân tử hóa sau

γ ∗ 3

(cid:0)f (1.29) Fc k(cid:1)(y) = − sin y(cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y), ∀y > 0.

∞ (cid:90)

Chứng minh. Từ (1.27) và bằng cách sử dụng công thức (1.7), ta có

γ ∗ 3

(cid:0)f k(cid:1)(x) = f (u)k(v)e−vy(cid:110)(cid:2) cos(x − 1 − u)y − cos(x − 1 + u)y(cid:3)

∞ (cid:90)

1 2π − (cid:2) cos(x + 1 − u)y − cos(x + 1 + u)y(cid:3)(cid:111) dudvdy

0 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

f (u)k(v)e−vycos xy. sin y. sin uydudvdy = − 2 π

∞ (cid:90)

(cid:104) (cid:105) = − f (u)sin uydu. k(v)e−vydv sin ycos xydy 2 π

γ ∗ 3

= − (cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y) sin ycos xydy. (cid:114) 2 π

γ ∗ 3

Suy ra đẳng thức kiểu Parseval (1.28). Mặt khác, do f (x) ∈ L2(R+) suy ra (cid:0)Fsf (cid:1)(y) ∈ L2(R+), hơn nữa (cid:0)Lk(cid:1)(y) là hàm triệt tiêu ở vô cùng nên suy ra k(cid:1)(x) ∈ L2(R+) sin y(cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y) ∈ L2(R+). Kết hợp với (1.28) ta có (cid:0)f và nhận được đẳng thức nhân tử hóa (1.29). Định lý đã được chứng minh.(cid:50)

.(cid:1), nếu thay thế Nhận xét 1.2.1. Trong biểu thức tích chập suy rộng (cid:0). θ2(x − 1, u, v) − θ2(x + 1, u, v) bởi nhân θ1(x − 1, u, v) − θ1(x + 1, u, v) với θ1(x, u, v) cho bởi (1.2), ta nhận được tích chập suy rộng mới. Đó là tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm trọng γ(y) = sin y được

∞ (cid:90)

xác định bởi

γ ∗ 4

(cid:0)f k(cid:1)(x) = (cid:2)θ1(x − 1, u, v) − θ1(x + 1, u, v)(cid:3)f (u)k(v)dudv, 1 2π

(1.30)

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

γ ∗ 4

(cid:0)f (1.31) Fs k(cid:1)(y) = sin y(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y), ∀y > 0, f, k ∈ L2(R+).

γ ∗ 4

γ ∗ 3

.(cid:1) có các tính chất gần tương tự tích chập (cid:0).

.(cid:1). Hai Tích chập suy rộng (cid:0). tích chập này kết hợp với nhau cho nhiều tính chất thú vị, đặc biệt là ứng

dụng trong việc giải hệ nhiều phương trình tích phân.

Định nghĩa 1.2.2. Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = −e−µy sin y (µ > 0) của hai hàm f và k đối với ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine,

∞ (cid:90)

Fourier sine và Laplace được định nghĩa như sau

γ ∗ 5

(cid:0)f k(cid:1)(x) = (cid:2)θ2(x − 1, u, v + µ) − θ2(x + 1, u, v + µ)(cid:3)f (u)k(v)dudv, 1 2π

(1.32)

với θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.11).

γ ∗ 5

Trong không gian hàm L1(R+), ta có định lý sau.

Định lý 1.2.2. Giả sử f (x) và k(x) là hai hàm thuộc không gian L1(R+). k(cid:1)(x) thuộc không gian L1(R+), và ta có bất Khi đó, tích chập suy rộng (cid:0)f đẳng thức chuẩn

γ ∗ 5

L1(R+)

(cid:107)(cid:0)f k(cid:1)(cid:107) ≤ (cid:107)f (cid:107)L1(R+)(cid:107)k(cid:107)L1(R+).

γ ∗ 5

k(cid:1)(x) cũng thuộc C0(R+), thỏa mãn đẳng

Hơn nữa, tích chập suy rộng (cid:0)f thức nhân tử hóa

γ ∗ 5

(cid:0)f (1.33) Fc k(cid:1)(y) = −e−µy sin y(cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y), ∀y > 0, ,

và đẳng thức kiểu Parseval

γ ∗ 5

(cid:0)f (1.34) k(cid:1)(x) = Fc (cid:2) − e−µy sin y(cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:3)(x), ∀x > 0.

Chứng minh. Với µ > 0, v ≥ 0, ta có đánh giá sau

≤ , (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ v + µ (v + µ)2 + (x − 1 − u)2 1 v + µ 1 µ

từ đó ta nhận được

(1.35) . (cid:12)θ2(x − 1, u, v + µ) − θ2(x + 1, u, v + µ)(cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ 4 µ

∞ (cid:90)

Suy ra

γ ∗ 5

0 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

|(cid:0)f g(cid:1)| ≤ f (u)k(v)dudv (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 πµ

≤ (1.36) |f (u)|du |k(v)|dv = (cid:107)f (cid:107)L1(R+)(cid:107)k(cid:107)L1(R+) < ∞. 2 πµ 2 πµ

γ ∗ 5

∞ (cid:90)

Vậy tích chập suy rộng (cid:0)f k(cid:1)(x) tồn tại. Hơn nữa, ta lại có

∞ (cid:90)

0 ∞ (cid:90)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)dx (cid:12)θ2(x − 1, u, v + µ) − θ2(x + 1, u, v + µ)

−1+u ∞ (cid:90)

−1−u ∞ (cid:90)

v + µ ≤ (v + µ)2 + t2 dt + v + µ (v + µ)2 + t2 dt

1+u

1−u ∞ (cid:90)

v + µ + (v + µ)2 + t2 dt + v + µ (v + µ)2 + t2 dt

v + µ =4 (1.37) (v + µ)2 + t2 dt = 2π.

∞ (cid:90)

Suy ra

γ ∗ 5

L1(R+)

∞ (cid:90)

= (cid:107)(cid:0)f k(cid:1)(cid:107) |(f k)(x)|dx

0 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

= |(cid:2)θ2(x − 1, u, v + µ) − θ2(x + 1, u, v + µ)(cid:3)f (u)k(v)|dudvdx 1 2π

∞ (cid:90) |k(v)|dv = (cid:107)f (cid:107)L1(R+)(cid:107)k(cid:107)L1(R+) < ∞.

≤ |f (u)k(v)|dudv = |f (u)|du

Vậy ta có

γ ∗ 5

(cid:0)f (1.38) k(cid:1)(x) ∈ L1(R+).

Từ biểu thức xác định tích chập (1.27), bằng cách sử dụng công thức (1.7),

∞ (cid:90)

ta có biến đổi

γ ∗ 5

(cid:0)f k(cid:1)(x) = f (u)k(v)e−(v+µ)y(cid:110)(cid:2) cos(x − 1 − u)y − cos(x − 1 + u)y(cid:3)

∞ (cid:90)

1 2π − (cid:2) cos(x + 1 − u)y − cos(x + 1 + u)y(cid:3)(cid:111) dudvdy

0 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

0 0 (cid:104) (cid:90) ∞

= − f (u)k(v)e−(v+µ)y cos xy. sin y. sin uydudvdy 2 π

∞ (cid:90)

= − f (u) sin uydu. k(v)e−vydv (cid:105) e−µy sin y cos xydy 2 π

= − (cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y)e−µy sin y cos xydy. (cid:114) 2 π

Suy ra đẳng thức kiểu Parseval (1.34). Kết hợp với (1.36), ta nhận được

đẳng thức nhân tử hóa

γ ∗ 5

(cid:0)f Fc k(cid:1)(y) = −e−µy sin y(cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y).

γ ∗ 5

Từ (1.34) kết hợp với bổ đề Riemann-Lebesgue cho phép biến đổi Fourier cosine, suy ra (cid:0)f (cid:50) k(cid:1)(x) ∈ C0(R+). Định lý đã được chứng minh.

γ ∗ 5

k(cid:1)(x) trong không gian hàm Lα,β

Ngoài không gian L1(R+), chúng ta còn có thể chứng minh sự tồn tại của tích chập (cid:0)f (R+) và một số bất đẳng thức chuẩn trong không gian tương ứng.

γ ∗ 5

Định lý 1.2.3. Giả sử rằng p > 1, r ≥ 1, 0 < β ≤ 1, các hàm f (x) ∈ Lp(R+) và k(x) ∈ L1(R+). Khi đó tích chập suy rộng (cid:0)f k(cid:1)(x) tồn tại, liên tục và bị

chặn trong Lα,β (R+). Hơn nữa, tích chập này thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn

γ ∗ 5

Lα,β r

(R+)

r .Γ1/r(α + 1) với Γ là hàm Gamma.

πµ)1/p.β− α+1

(cid:107)(cid:0)f k(cid:1)(cid:107) (1.39) ≤ C(cid:107)f (cid:107)Lp(R+)(cid:107)k(cid:107)L1(R+),

γ ∗ 5

k(cid:1)(x) thuộc

ở đó C = ( 2 Ngoài ra, nếu f (x) ∈ L1(R+) ∩ Lp(R+) thì tích chập suy rộng (cid:0)f C0(R+), thỏa mãn (1.33) và (1.34).

γ ∗ 5 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

Chứng minh. Bằng cách áp dụng bất đẳng thức H¨older với q > 1 sao cho p + 1 1 q = 1, và sử dụng các đánh giá (1.35), (1.37), ta có |(cid:0)f k(cid:1)|

0 ∞ (cid:90)

(cid:104) (cid:105)1/p ≤ |f (u)|p(cid:12) (cid:12)θ2(x − 1, u, v + µ) − θ2(x + 1, u, v + µ)(cid:12) (cid:12)|k(v)|dudv 1 2π

0 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

(cid:104) (cid:105)1/q × |k(v)|(cid:12) (cid:12)θ2(x − 1, u, v + µ) − θ2(x + 1, u, v + µ)(cid:12) (cid:12)dudv

∞ (cid:90)

(cid:104) (cid:105)1/p(cid:104) (cid:105)1/q ≤ |f (u)|p|k(v)| dudv |g(v)|2πdv 1 2π 4 µ

(cid:17)1/p(cid:104) (cid:105)1/p(cid:104) (cid:105) |f (u)|pdu |k(v)|dv = (cid:16) 2 πµ

(cid:17)1/p = (cid:107)f (cid:107)Lp(R+)(cid:107)k(cid:107)L1(R+) < ∞. (cid:16) 2 πµ

γ ∗ 5

k(cid:1)(x) tồn tại và liên tục. Sử dụng công thức (3.225.3)

∞ (cid:90)

Vậy tích chập (cid:0)f (trang 115 trong [25]), ta có

Lp(R+)(cid:107)k(cid:107)r

L1(R+).

γ ∗ 5

(cid:0)f dx ≤ C r(cid:107)f (cid:107)r xαe−βx(cid:12) (cid:12) k(cid:1)(x)(cid:12) (cid:12)

γ ∗ 5

k(cid:1)(x) thuộc không gian Lα,β (R+) và thỏa mãn

Suy ra tích chập suy rộng (cid:0)f bất đẳng thức chuẩn (1.39).

Cũng từ các giả thiết của định lý này và lập luận tương tự Định lý 1.2.2,

γ ∗ 5

ta nhận được đẳng thức kiểu Parseval (1.34) và đẳng thức nhân tử hóa (1.33).

Từ đẳng thức kiểu Parseval (1.34) kết hợp với bổ đề Riemann-Lebesgue cho k(cid:1)(x) ∈ C0(R+). Định lý đã phép biến đổi Fourier cosine, ta cũng suy ra (cid:0)f (cid:50) được chứng minh.

γ ∗ 5

k(cid:1)(x) tồn tại, liên tục và bị chặn trong Lα,β

Định lý 1.2.4. Cho α > −1, 0 < β ≤ 1, p > 1, q > 1, r ≥ 1 thỏa mãn q = 1. Khi đó, nếu các hàm f (x) ∈ Lp(R+) và k(x) ∈ Lq(R+, e(q−1)x) thì p + 1 1 tích chập (cid:0)f (R+). Hơn nữa, ta có bất đẳng thức chuẩn

γ ∗ 5

(R+)

r .Γ1/r(α + 1).

(cid:107)(cid:0)f k(cid:1)(cid:107) (1.40) ≤ C(cid:107)f (cid:107)Lp(R+)(cid:107)k(cid:107)Lq(R+,e(q−1)x),

Lα,β r πµ)1/q.β− α+1

trong đó C = ( 2

γ ∗ 5

Ngoài ra, nếu f (x) ∈ L1(R+) ∩ Lp(R+) và k(x) ∈ L1(R+) ∩ Lq(R+, e(q−1)x) k(cid:1)(x) cũng thuộc C0(R+) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

thì tích chập (cid:0)f (1.33) và đẳng thức kiểu Parseval (1.34).

Chứng minh. Bằng cách áp dụng bất đẳng thức H¨older với p, q > 1 và sử

dụng các đánh giá (1.35) và (1.37), ta có

γ ∗ 5 ∞ (cid:90)

(cid:0)f (cid:12) (cid:12)

0 ∞ (cid:90)

k(cid:1)(cid:12) (cid:12) ∞ (cid:90) (cid:104) (cid:105)1/p ≤ |f (u)|p(cid:12) (cid:12)θ2(x − 1, u, v + µ) − θ2(x + 1, u, v + µ)(cid:12) (cid:12)e−vdudv 1 2π

0 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

(cid:104) (cid:105)1/q × |k(v)|q(cid:12) (cid:12)θ2(x − 1, u, v + µ) − θ2(x + 1, u, v + µ)(cid:12) (cid:12)e(q−1)vdudv

∞ (cid:90)

(cid:104) (cid:105)1/q (cid:105)1/p(cid:104) ≤ |f (u)|pdu e−vdv |k(v)|qe(q−1)v2πdv 1 2π 4 µ

(cid:105)1/p(cid:104) (cid:105)1/q (cid:1)1/p(cid:104) |f (u)|pdu |k(v)|qe(q−1)vdv =(cid:0) 2 πµ

(cid:1)1/p(cid:107)f (cid:107)Lp(R+)(cid:107)k(cid:107)Lq(R+,e(q−1)x) < ∞. =(cid:0) 2 πµ

γ ∗ 5

k(cid:1)(x) tồn tại và liên tục. Từ đó sử dụng công

∞ (cid:90)

Suy ra tích chập suy rộng (cid:0)f thức (3.225.3) (trang 115 trong [25]), ta có

Lp(R+)(cid:107)k(cid:107)r

Lq(R+,e(q−1)x).

γ ∗ 5

(cid:0)f dx ≤ C r(cid:107)f (cid:107)r xαe−βx(cid:12) (cid:12) k(cid:1)(x)(cid:12) (cid:12)

γ ∗ 5

k(cid:1)(x) tồn tại trong Lα,β (R+) và thỏa mãn bất

Vậy tích chập suy rộng (cid:0)f đẳng thức chuẩn (1.40).

Từ các giả thiết của định lý này và bằng cách lập luận tương tự Định lý

1.2.2, ta nhận được đẳng thức kiểu Parseval (1.34) và đẳng thức nhân tử hóa

γ ∗ 5

(1.33). Kết hợp với bổ đề Riemann-Lebesgue cho phép biến đổi Fourier cosine, ta cũng nhận được (cid:0)f (cid:50) k(cid:1)(x) ∈ C0(R+). Định lý đã được chứng minh.

γ ∗ 5

k(cid:1)(x) tồn tại, thuộc Lα,β

Định lý 1.2.5. a) Giả sử các hàm f (x) ∈ L2(R+) và k(x) ∈ L1(R+). Khi đó tích chập (cid:0)f (R+) (r ≥ 1, β ≥ 0, α > −1), và ta có bất đẳng thức chuẩn

r .Γ1/r(α + 1)(cid:107)f (cid:107)L2(R+)(cid:107)k(cid:107)L1(R+).

γ ∗ 5

Lα,β r

(R+)

γ ∗ 5

.β− α+1 (1.41) ≤ (cid:107)(cid:0)f k(cid:1)(cid:107) (cid:114) 2 πµ

b) Nếu các hàm f (x) và k(x) thuộc không gian L1(R+) thì tích chập (f tồn tại, thuộc Lα,β k)(x) (R+) (r ≥ 1, β ≥ 0, α > −1), và ta có bất đẳng thức chuẩn

r .Γ1/r(α + 1)(cid:107)f (cid:107)L1(R+)(cid:107)k(cid:107)L1(R+).

γ ∗ 5

Lα,β r

(R+)

(cid:107)(cid:0)f k(cid:1)(cid:107) ≤ .β− α+1 (1.42) 2 πµ

Chứng minh. a) Bằng cách áp dụng bất đẳng thức Schwartz và các đánh giá

∞ (cid:90)

(1.35), (1.37), ta có

γ ∗ 5

(cid:105)1/2 (cid:104) (cid:105)1/2(cid:104) |(cid:0)f k(cid:1)(x)|≤ dudv 2π|k(v)|dv |f (u)|2|k(v)| 1 2π 4 µ

∞ (cid:90)

(cid:105)1/2(cid:104) (cid:105) (cid:104) |f (u)|2du |k(v)|dv =

= (cid:107)f (cid:107)L2(R+)(cid:107)k(cid:107)L1(R+). (cid:114) 2 πµ (cid:114) 2 πµ

Kết hợp với công thức (3.225.3) (trang 115 trong [25]), ta có

r .Γ1/r(α + 1)(cid:107)f (cid:107)L2(R+)(cid:107)k(cid:107)L1(R+).

γ ∗ 5

Lα,β r

(R+)

(cid:107)(cid:0)f k(cid:1)(cid:107) ≤ .β− α+1 (cid:114) 2 πµ

Từ đó suy ra (1.41).

∞ (cid:90)

b) Áp dụng bất đẳng thức Schwartz và sử dụng đánh giá (1.35), ta có

γ ∗ 5

0 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

(cid:104) (cid:105)1/2 |f (u)||k(v)| dudv(cid:3)1/2(cid:104) |f (u)||k(v)| dudv (cid:0)f k(cid:1)(x)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ 1 2π 4 µ 4 µ

(cid:104) (cid:105) = |f (u)|du(cid:3)(cid:104) |k(v)|dv 2 πµ

= (cid:107)f (cid:107)L1(R+)(cid:107)k(cid:107)L1(R+). 2 πµ

γ ∗ 5

Kết hợp với công thức (3.225.3) (trang 115, trong [25]), ta nhận được (1.42).(cid:50)

∞ (cid:90)

.(cid:1), nếu thay thế Nhận xét 1.2.2. Trong biểu thức tích chập suy rộng (cid:0). θ2(x−1, u, v+µ)−θ2(x+1, u, v+µ) bởi nhân θ1(x−1, u, v+µ)−θ1(x+1, u, v+µ) với θ1(x, u, v) được cho bởi (1.2), ta nhận được tích chập suy rộng mới. Đó là tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm trọng γ(y) = e−µy sin y (µ > 0). Tích chập này được kí hiệu và xác định bởi

γ ∗ 6

(cid:0)f k(cid:1)(x) = (cid:2)θ1(x − 1, u, v + µ) − θ1(x + 1, u, v + µ)(cid:3)f (u)k(v)dudv, 1 2π

(1.43)

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau

γ ∗ 6

(cid:0)f (1.44) Fs k(cid:1)(y) = e−µy sin y(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y), ∀y > 0, f, k ∈ L1(R+).

γ ∗ 6

γ .(cid:1) có các tính chất tương tự. Về cơ bản, hai tích chập suy rộng (cid:0). ∗ 5 Tuy nhiên, đi sâu vào nghiên cứu thì hai tích chập trên có sự khác nhau và

.(cid:1) và (cid:0).

chúng có thể bổ trợ cho nhau trong một số ứng dụng nhất định. Đặc biệt là

trong việc giải các hệ nhiều phương trình tích phân.

1.3 Mối liên hệ giữa tích chập suy rộng Fourier-

Laplace và các tích chập khác

(cid:1) cho bởi (0.4), tích chập (cid:0). ∗ FsFc .(cid:1) được xác định cụ thể như sau: Bản thân mỗi tích chập suy rộng Fourier-Laplace không có tính chất giao hoán, không có tính chất kết hợp. Tuy nhiên trong không gian L1(R+) các tích chập đó có thể liên hệ với nhau hoặc liên hệ với một số tích chập quan γ trọng khác như tích chập (cid:0). .(cid:1) cho bởi (0.6) ∗. Fs .(cid:1), (cid:0). ∗ và các tích chập (cid:0). ∗ FcFs Fc

∞ (cid:90)

Tích chập Fourier cosine (xem [33])

f (y)(cid:2)k(x + y) + k(|x − y|)(cid:3)dy, x > 0, (1.45) k(cid:1)(x) = (cid:0)f ∗ Fc 1 √ 2π

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (xem [33, 49])

(1.46) Fc k(cid:1)(y) = (cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Fck(cid:1)(y), ∀y > 0, f, k ∈ Lp(R+) (p = 1, 2). (cid:0)f ∗ Fc

∞ (cid:90)

Tích chập Fourier cosine và Fourier sine (xem [18])

f (y)(cid:2)k(x + y) + sign(y − x)k(|y − x|)(cid:3)dy, x > 0, k(cid:1)(x) = (cid:0)f ∗ FcFs 1 √ 2π

(1.47)

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (xem [2, 18])

Fc k(cid:1)(y) = (cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Fsk(cid:1)(y), ∀y > 0, f, k ∈ Lp(R+)(p = 1, 2). (1.48) (cid:0)f ∗ FcFs

Mệnh đề 1.3.1. Cho f (x), k(x) và h(x) là các hàm trong L1(R+). Khi đó, ta có các đẳng thức sau

γ ∗ Fs

a) f (cid:0)k h(cid:1) = (cid:0)f h. k(cid:1) γ ∗ 2

γ ∗ 2 γ ∗ 1

γ ∗ Fs h(cid:1) = (cid:0)f ∗ Fc

(cid:0)k h. k(cid:1) γ ∗ 1 b) f ∗ Fc

(cid:0)k h. k(cid:1) γ ∗ 1 c) f ∗ FsFc

γ ∗ 1 γ ∗ 2

(cid:0)k h. k(cid:1) γ ∗ 1 d) f ∗ FcFs h(cid:1) = (cid:0)f ∗ FsFc h(cid:1) = (cid:0)f ∗ FcFs

γ ∗ 2

γ ∗. Fs

Chứng minh. a) Bằng cách sử dụng các đẳng thức nhân tử hóa (0.5) và (1.26) của các tích chập (cid:0). .(cid:1) tương ứng, ta có (cid:1) và (cid:0).

γ ∗ 2

γ ∗ Fs

(cid:16) f (cid:0)g h(cid:1)(cid:17) (cid:0)g h(cid:1)(y) (y) = sin y(cid:0)Fsf (cid:1)(y)Fs Fs

(cid:0)f g(cid:1)(y)(cid:0)Lh(cid:1)(y)

γ ∗ Fs g(cid:1) γ ∗ 2

γ ∗ Fs

(cid:17) =e−µy sin y(cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Fsg(cid:1)(y)(cid:0)Lh(cid:1)(y) =e−µyFs (cid:16)(cid:0)f (y). h =Fs

γ ∗ 2

γ ∗ Fs

h(cid:1) = (cid:0)f (cid:0)g h. Suy ra f

(cid:50) g(cid:1) γ ∗ 1 Việc chứng minh các phần b), c) và d) là hoàn toàn tương tự.

∞ (cid:90)

Mệnh đề 1.3.2. Cho f (x) và k(x) là hai hàm trong không gian L1(R+). Khi đó, ta có các đẳng thức sau

γ ∗ 1

0 ∞ (cid:90)

a)(cid:0)f k(cid:1)(x) = (cid:1)(x)dv. k(v)(cid:0)f (u) ∗ Fc v + µ (v + µ)2 + u2 (cid:114) 2 π

γ ∗ 2

(cid:1)(x)dv. b)(cid:0)f k(cid:1)(x) = k(v)(cid:0)f (u) ∗ FsFc v + µ (v + µ)2 + u2 (cid:114) 2 π

.(cid:1) lần lượt được xác .(cid:1) và tích chập suy rộng (cid:0). ∗ FsFc

Trong đó, tích chập (cid:0). ∗ Fc định bởi (1.45) và (0.6).

Chứng minh. a) Từ các biểu thức xác định tích chập suy rộng (1.16) và tích

∞ (cid:90)

chập (1.45), ta có

γ ∗ 1

0 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

(cid:0)f k(cid:1)(x) = θ1(x, u, v + µ)f (u)k(v)dudv 1 π

∞ (cid:90)

(cid:111) (cid:110) k(v) dv = f (u)θ1(x, u, v + µ)du 1 π

= (cid:1)(x)dv. k(v)(cid:0)f (u) ∗ Fc (cid:114) 2 π v + µ (v + µ)2 + u2

(cid:50) Việc chứng minh b) là hoàn toàn tương tự.

∞ (cid:90)

Mệnh đề 1.3.3. Giả sử f (x), k(x) ∈ L1(R+). Khi đó ta có các đẳng thức

γ ∗ 5

0 ∞ (cid:90)

a)(cid:0)f k(cid:1)(x) = θ2(1, u, v + µ)(cid:1)(x)(cid:3)dv, k(v)(cid:2)(cid:0)f (u) ∗ Fc 1 √ 2π

γ ∗ 6

b)(cid:0)f k(cid:1)(x) = θ1(1, u, v + µ)(cid:1)(x)(cid:3)dv. k(v)(cid:2)(cid:0)f (u) ∗ FsFc 1 √ 2π

.(cid:1) lần lượt được xác .(cid:1) và tích chập suy rộng (cid:0). ∗ FsFc

Trong đó, tích chập (cid:0). ∗ Fc định bởi (1.45) và (0.6).

Chứng minh. a) Từ các biểu thức xác định tích chập suy rộng (1.32) và tích

∞ (cid:90)

chập (1.45), ta có

γ ∗ 5

∞ (cid:90)

(cid:0)f k(cid:1)(x) = (cid:2)θ2(x − 1, u, v + µ) − θ2(x + 1, u, v + µ)(cid:3)f (u)k(v)dudv 1 2π

= (cid:104) k(v) dv f (u)θ1(x + 1, u, v + µ)du − (cid:105) f (u)θ1(x − 1, u, v + µ)du 1 2π

∞ (cid:90)

0 ∞ (cid:90)

v + µ = (cid:104) k(v) (cid:105) dv f (u) ∗ Fc (v + µ)2 + (1 + u)2 − f (u) ∗ v + µ (v + µ)2 + (1 − u)2 1 √ 2π

= θ2(1, u, v + µ)(cid:1)(x)(cid:3)dv. k(v)(cid:2)(cid:0)f (u) ∗ Fc 1 √ 2π

(cid:50) Việc chứng minh phần b) là tương tự.

Nhận xét 1.3.1. Mối liên hệ giữa các tích chập suy rộng Fourier-Laplace

với các tích chập quan trọng đã biết là sự kế thừa về mặt toán học. Điều đó

sẽ giúp việc nghiên cứu các tích chập này được tiện lợi và thêm phần ý nghĩa.

Đây cũng là cơ sở khoa học để có thể mở rộng hơn việc nghiên cứu các tích

chập này cũng như ứng dụng chúng.

1.4 Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng

Fourier cosine-Laplace với hàm trọng

Ta biết rằng, một trong những tích chập đầu tiên được xây dựng và nghiên

∞ (cid:90)

cứu là tích chập Fourier

−∞

f (y)k(x − y)dy, x ∈ R, (1.49) (cid:0)f ∗ k(cid:1)(x) = 1 √ 2π

nếu f, k ∈ L1(R) thì tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

F (cid:0)f ∗ k(cid:1)(y) = (cid:0)F f (cid:1)(y)(cid:0)F k(cid:1)(y), ∀y ∈ R. (1.50)

Khi nghiên cứu tích chập này, nhà toán học Young đã nhận được một kết

quả quan trọng, đó là định lý sau (xem [1, 35])

q + 1

Định lý 1.4.1 (Định lý Young). Giả sử p, q, r > 1 thỏa mãn điều kiện r = 2 và f (x) ∈ Lp(R), k(x) ∈ Lq(R), h(x) ∈ Lr(R). Khi đó, ta có p + 1 1

∞ (cid:90)

đánh giá

(1.51) (cid:0)f ∗ (cid:12) k(cid:1)(x).h(x)dx (cid:12) (cid:12) ≤ (cid:107)f (cid:107)Lp(R)(cid:107)k(cid:107)Lq(R(cid:107)h(cid:107)Lr(R). (cid:12) (cid:12) (cid:12) −∞

Một hệ quả quan trọng nhận được từ định lý này là bất đẳng thức Young

cho bởi (0.11) đối với tích chập Fourier. Tuy nhiên, như ta đã biết các bất đẳng thức (1.51) và (0.11) không còn đúng trong trường hợp f, k ∈ L2(R). Saitoh S. đã khắc phục hạn chế đó bằng cách xét không gian hàm Lp(R, ρ) và nhận được bất đẳng thức đối với tích chập Fourier cho bởi định lý sau

(xem [26]).

Định lý 1.4.2 ( Định lý Saitoh). Với các hàm không triệt tiêu ρj(j = 1, 2), ta có bất đẳng thức trong không gian Lp(R) (p > 1) có trọng đối với tích chập Fourier

(cid:16) (cid:107) (1.52) (F2ρ2) (cid:17)(cid:0)ρ1 ∗ ρ2 (cid:1) 1 p −1(cid:107)Lp(R) ≤ (cid:107)F1(cid:107)Lp(R,|ρ1|)(cid:107)F2(cid:107)Lp(R,|ρ2|), (F1ρ1) ∗ F

thỏa mãn với mọi Fj ∈ Lp(R, |ρj|).

Trong các bài toán ứng dụng, ta thường xét trường hợp

(1.53) ρ2(x) = 1, F2(x) = G(x),

trong đó G(x − y) là hàm Green nào đó. Khi đó, nếu ρ ∈ L1(R+), G ∈ Lp(R) và F ∈ Lp(R, |ρ|), bất đẳng thức (1.52) trở thành

1− 1 p L1(R+)(cid:107)G(cid:107)Lp(R)(cid:107)F (cid:107)Lp(R,|ρ|),

(1.54) G(cid:107)Lp(R) ≤ (cid:107)ρ(cid:107) (cid:107)(F ρ) ∗ F

∞ (cid:90)

Bất đẳng thức (1.54) cho phép ta đánh giá kết quả hàm đầu ra

−∞

F (y)ρ(y)G(x − y)dy (1.55)

dựa vào thông số hàm đầu vào F trong các bài toán ứng dụng. Trong phần

γ ∗ 1

k(cid:1)(x). này, chúng tôi sẽ nghiên cứu các bất đẳng thức dạng trên đối với tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng (cid:0)f

1.4.1 Định lý kiểu Young

p + 1

q + 1

γ ∗ 1

∞ (cid:90)

1−q

Định lý 1.4.3 (Định lý kiểu Young). Cho p, q, r > 1, 1 r = 2 và giả sử f (x) ∈ Lp(R+), k(x) ∈ Lq(R+, (x + µ)q−1) (µ > 0), h(x) ∈ Lr(R+). Khi đó, tích chập suy rộng (cid:0)f k(cid:1)(x) thỏa mãn

q (cid:107)f (cid:107)Lp(R+)(cid:107)k(cid:107)Lq(R+,(x+µ)q−1)(cid:107)h(cid:107)Lr(R+).

γ ∗ 1

(1.56) (cid:0)f k(cid:1)(x).h(x)dx (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ µ (cid:12) (cid:12) (cid:12)

∞ (cid:90)

Chứng minh. Trước hết, ta có đánh giá

dv (cid:12)dv ≤ 2 . (1.57) (cid:12)θ1(x, u, v + µ)(cid:12) (cid:12) v + µ (v + µ)2 ≤ 2 dv v2 + µ2 = π µ

Giả sử p1, q1, r1 tương ứng là các liên hợp mũ của p, q, r, nghĩa là

= 1, = 1, = 1. + + + 1 q 1 p 1 r 1 p1 1 q1 1 r1

Khi đó 1/p1 + 1/q1 + 1/r1 = 1. Đặt

1/p1,

1/q1

U (x, u, v) = |g(v)|q/p1|v + µ|q−1/p1|h(x)|r/p1(cid:12) (cid:12)θ1(x, u, v + µ)(cid:12) (cid:12)

, V (x, u, v) = |f (u)|p/q1|h(x)|r/q1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) θ1(x, u, v + µ) v + µ

1/r1.

W (x, u, v) = |f (u)|p/r1|k(v)|q/r1|v + µ|q−1/r1(cid:12) (cid:12)θ1(x, u, v + µ)(cid:12) (cid:12)

Ta có

(cid:0)U.V.W (cid:1)(x, u, v) = |f (u)||k(v)||h(x)|(cid:12) (1.58) (cid:12)θ1(x, u, v + µ)(cid:12) (cid:12).

∞ (cid:90)

Mặt khác, sử dụng (1.19) ta có

+) =

Lp1(R3

(cid:107)U (cid:107)p1 |k(v)|q|v + µ|q−1|h(x)|r(cid:12) (cid:12)θ1(x, u, v + µ)(cid:12) (cid:12)dudvdx (1.59)

∞ (cid:90)

0 = π(cid:107)k(cid:107)q

0 Lr(R+),

Lq(R+,(x+µ)q−1)(cid:107)h(cid:107)r

∞ (cid:90)

≤ π |k(v)|q|v + µ|q−1dv |h(x)|rdx

+) =

Lr1 (R3

0 0 ≤ π(cid:107)f (cid:107)p

Lp(R+)(cid:107)k(cid:107)q

Lq(R+,(x+µ)q−1).

(cid:107)W (cid:107)r1 |f (u)|p|k(v)|q|v + µ|q−1(cid:12) (cid:12)θ1(x, u, v + µ)(cid:12) (cid:12)dudvdx (1.60)

∞ (cid:90)

Sử dụng đánh giá (1.57), ta có

+) =

Lq1(R3

(cid:107)V (cid:107)q1 (1.61) |f (u)|p|h(x)|r(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)dudvdx θ1(x, u, v + µ) v + µ

0 0 (cid:107)f (cid:107)p

Lr(R+).

Lp(R+

0 π µ

≤ (cid:107)h(cid:107)r

Từ (1.59), (1.60) and (1.61), ta có

+)(cid:107)V (cid:107)Lq1 (R3

+)(cid:107)W (cid:107)Lr1 (R3

+) ≤ πµ−1/q1(cid:107)f (cid:107)Lp(R+)(cid:107)k(cid:107)Lq(R+,(x+µ)q−1)(cid:107)h(cid:107)Lr(R+). (1.62)

(cid:107)U (cid:107)Lp1 (R3

∞ (cid:90)

Từ (1.58) và (1.62) và sử dụng bất đẳng thức H¨older cho ba hàm, ta có

γ ∗ 1

0 ∞ (cid:90)

(cid:0)f k(cid:1)(x).h(x)dx |f (u)||k(v)|h(x)||θ1(x, u, v + µ)|dudvdx (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ 1 π

U (x, u, v)V (x, u, v)W (x, u, v)dudvdx = 1 π

+)(cid:107)V (cid:107)Lq1(R3

+)(cid:107)W (cid:107)Lr1(R3 +)

1−q

≤ (cid:107)U (cid:107)Lp1 (R3 1 π

≤ µ−1/q1(cid:107)f (cid:107)Lp(R+)(cid:107)k(cid:107)Lq(R+,(x+µ)q−1)(cid:107)h(cid:107)Lr(R+) q (cid:107)f (cid:107)Lp(R+)(cid:107)k(cid:107)Lq(R+,(x+µ)q−1)(cid:107)h(cid:107)Lr(R+). = µ

(cid:50) Định lý đã được chứng minh.

1.4.2 Định lý kiểu Saitoh

Định lý 1.4.4 (Định lý kiểu Saitoh). Giả sử ρj ∈ L1(R+) (j = 1, 2) là hai hàm số dương, khi đó ta có bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng sau đây đúng với mọi Fj ∈ Lp(R+, ρj)

γ ∗ 1

(cid:16) (cid:1)1/p−1(cid:13) (1.63) (F1ρ1) (F2ρ2) (cid:17)(cid:0)ρ1 ρ2 (cid:13) (cid:13) (cid:13)Lp(R+) ≤ (cid:107)F1(cid:107)Lp(R+,ρ1)(cid:107)F2(cid:107)Lp(R+,ρ2).

Chứng minh. Bằng cách lũy thừa bậc p biểu thức bên trái của (1.63), ta có

γ ∗ 1

γ ∗ 1 ∞ ∞ (cid:90) (cid:90)

∞ (cid:90)

(cid:16) (F1ρ1) (F2ρ2) (cid:17)(cid:0)ρ1 ρ2 (cid:13) (cid:13) (cid:1)1/p−1(cid:13) p (cid:13) Lp(R+)

∞ (cid:90)

0 ∞ (cid:90)

1−p(cid:105)

= θ1(x, u, v + µ)(F1ρ1)(u)(F2ρ2)(v)dudv (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:104)(cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 π

× (1.64) dx. θ1(x, u, v + µ)ρ1(u)ρ2(v)dudv (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

∞ (cid:90)

Mặt khác,

0 0 ∞ ∞ (cid:90) (cid:90)

θ1(x, u, v + µ)(F1ρ1)(u)(F2ρ2)(v)dudv (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

0 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

(cid:16) (cid:17)1/p ≤ (cid:12)θ1(x, u, v + µ)(cid:12) (cid:12) (cid:12)|F1(u)|pρ1(u)|F2(v)|pρ2(v)dudv

(cid:16) (cid:17)1/q × . (1.65) (cid:12)θ1(x, u, v + µ)(cid:12) (cid:12) (cid:12)ρ1(u)ρ2(v)dudv

Từ (1.64) và (1.65), ta có

p Lp(R+)

γ ∗ 1

γ ∗ 1 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

(cid:16) ρ2 (F1ρ1) (F2ρ2) (cid:17)(cid:0)ρ1 (cid:1)1/p−1(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

(cid:104)(cid:16) (cid:17) ≤ (cid:12) (cid:12)θ1(x, u, v + µ)(cid:12) (cid:12)|F1(u)|pρ1(u)|F2(v)|pρ2(v)dudv 1 π

∞ (cid:90)

0 ∞ (cid:90)

(cid:17)p/q (cid:16) × (cid:12)θ1(x, u, v + µ)(cid:12) (cid:12) (cid:12)ρ1(u)ρ2(v)dudv

0 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

(cid:17)1−p(cid:105) (cid:16) dx × (cid:12)ρ1(u)ρ2(v)dudv (cid:12)θ1(x, u, v + µ)(cid:12) (cid:12)

0 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

= (cid:12)|F1(u)|pρ1(u)|F2(v)|pρ2(v)dudvdx (cid:12)θ1(x, u, v + µ)(cid:12) (cid:12) 1 π

≤ |F1(u)|pρ1(u)du |F2(v)|pρ2(v)dv (cid:12)θ1(x, u, v + µ)(cid:12) (cid:12) (cid:12)dx 1 π

0 ≤(cid:107)F1(cid:107)p

Lp(R+,ρ1)(cid:107)F2(cid:107)p

0 Lp(R+,ρ2).

(1.66)

(cid:50) Từ đó suy ra (1.63). Định lý đã được chứng minh.

Kết luận Chương 1

.(cid:1),

γ ∗ 1

γ ∗ 3

γ ∗ 5

Xây dựng và nghiên cứu bốn tích chập suy rộng Fourier-Laplace: (cid:0). ∗ .(cid:1). Nhận được các kết quả chính sau: .(cid:1), (cid:0). .(cid:1) và (cid:0). (cid:0).

• Các đánh giá chuẩn của toán tử tích chập trong một số không gian

hàm.

• Các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu

Titchmarch.

• Các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh cho tích chập suy rộng

Fourier cosine-Laplace với hàm trọng.

Nội dung của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [1], [2], [3] và

[4] trong Danh mục công trình đã công bố của luận án.

Chương 2

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP

SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE

Phép biến đổi tích phân là đối tượng nghiên cứu quan trọng của Giải tích

toán học, nói riêng là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập. Các phép biến

đổi tích phân kiểu tích chập Mellin, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-

Lebedev đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và cho nhiều ứng

dụng thú vị (xem [2, 5, 14, 20, 40, 41, 42, 49, 53]). Mục đích của chương này

là thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân dựa trên tích chập suy

rộng Fourier-Laplace đã được nghiên cứu trong Chương 1.

2.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập

suy rộng Fourier cosine-Laplace

Trong phần này, ta sẽ nghiên cứu phép biến đổi tích phân liên quan đến

tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace được xác định bởi (1.1). Ta gọi đó là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Tk. Phép biến đổi tích phân này có dạng

(cid:16) k(cid:1)(x), x > 0, (2.1) (cid:17)(cid:0)f ∗ 1 − f (x) (cid:55)→ g(x) = (cid:0)Tkf (cid:1)(x) = d2 dx2

trong đó k là nhân của phép biến đổi.

2.1.1 Định lý kiểu Watson

Định lý 2.1.1 (Định lý kiểu Watson). Giả sử rằng k(x) ∈ L2(R+), hoặc k(x) ∈ H(R+) sao cho tích phân (1.1) hội tụ như tích phân lặp. Khi đó điều kiện cần và đủ để phép biến đổi tích phân (2.1) unita trong L2(R+) là

(2.2) (cid:12)(1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:12) (cid:12) (cid:12) = 1, y > 0.

Hơn nữa, phép biến đổi ngược tồn tại và được xác định bởi

(cid:16) (cid:17)(cid:0)g ∗ k(cid:1)(x), (2.3) f (x) = 1 − d2 dx2

trong đó k là hàm liên hợp phức của k.

(cid:0)F h(cid:1)(x), d2 dx2

Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử k thỏa mãn điều kiện (2.2). Ta đã biết rằng h(y), y2h(y) ∈ L2(R) nếu và chỉ nếu (cid:0)F h(cid:1)(x), d (cid:0)F h(cid:1)(x) ∈ L2(R) (Định lý 68, trang 92, [44]), ở đó F là phép biến đổi Fourier. Trong trường hợp, nếu h là hàm chẵn sao cho h(y), y2h(y) ∈ L2(R+), khi đó ta có đẳng thức sau

(cid:16) (cid:0)(1 + y2)h(y)(cid:1)(x). (2.4) 1 − (cid:17)(cid:0)Fch(cid:1)(x) = Fc d2 dx2

Từ điều kiện (2.2) ta có (1+y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y) bị chặn, suy ra (1+y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:0)Fcf (cid:1)(y) ∈ L2(R+) nếu f (x) ∈ L2(R+). Sử dụng công thức (1.3) và (2.4), ta có

(cid:16) (cid:17) (x) g(x) = Fc d2 dx2 1 − (cid:104) (x). (2.5) (cid:105) (cid:104)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y) (cid:105) (1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:0)Fcf (cid:1)(y) =Fc

Vậy, từ đẳng thức Parseval (cid:107)f (cid:107)L2(R+) = (cid:107)Fcf (cid:107)L2(R+) và điều kiện (2.2) cho ta đánh giá

(cid:107)g(cid:107)L2(R+) =(cid:107)(1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:107)L2(R+)

=(cid:107)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:107)L2(R+) = (cid:107)f (cid:107)L2(R+).

Điều đó chứng tỏ phép biến đổi tích phân (2.1) là đẳng cự trong L2(R+). Mặt khác, do (1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:0)Fcf (cid:1)(y) ∈ L2(R+) nên ta có

(cid:0)Fcg(cid:1)(y) = (1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:0)Fcf (cid:1)(y).

Sử dụng điều kiện (2.2), ta nhận được

(cid:0)Fcf (cid:1)(y) = (1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:0)Fcg(cid:1)(y).

Điều kiện (2.2) cho ta biết rằng

(1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:0)Fcg(cid:1)(y) ∈ L2(R+).

Từ (2.4) ta có

f (x) =Fc (cid:104) (cid:105) (1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:0)Fcg(cid:1)(y)

(cid:17) (cid:16) = 1 − (cid:104)(cid:0)Fcg(cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y) (cid:105)

(cid:16) Fc (cid:17)(cid:0)g ∗ = 1 − k(cid:1)(x). d2 dx2 d2 dx2

Vậy phép biến đổi (2.1) là unita trong L2(R+) và phép biến đổi ngược của nó được cho dưới dạng (2.3).

Điều kiện đủ. Giả sử ngược lại, phép biến đổi tích phân (2.1) là unita trong L2(R+). Khi đó sử dụng đẳng thức Parseval đối với phép biến đổi Fourier cosine, ta có

(cid:107)g(cid:107)L2(R+) =(cid:107)(1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:107)L2(R+)

=(cid:107)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:107)L2(R+) = (cid:107)f (cid:107)L2(R+).

Suy ra, toán tử Mθ[f ](y) = θ(y)f (y) với θ(y) = (1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y), là unita trong L2(R+). Điều đó tương đương với điều kiện (2.2). Định lý đã được (cid:50) chứng minh.

Định lý kiểu Watson đã cho ta điều kiện cần và đủ của k trong không gian H(R+) để phép biến đổi tích phân Tk là unita trong L2(R+). Đây là một

kết quả quan trọng, đặc biệt điều kiện k ∈ H(R+) là một sự mở rộng thú vị về mặt không gian so với L2(R+) trong các kết quả trước đây. Tuy vậy điều kiện (2.2) rõ ràng vẫn là điều kiện rất chặt đối với k, mệnh đề sau đây là một

sự mở rộng đối với điều kiện (2.2).

Mệnh đề 2.1.1. Giả thiết k(x) là hàm thỏa mãn các điều kiện của Định lý

2.1.1, trong đó điều kiện (2.2) được thay bằng điều kiện sau

(2.6) 0 < C1 ≤ (cid:12) (cid:12) ≤ C2 < ∞. (cid:12)(1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:12)

Khi đó, trong L2(R+) ta có đánh giá bất đẳng thức chuẩn sau

(2.7) C1(cid:107)f (cid:107)L2(R+) ≤ (cid:107)g(cid:107)L2(R+) ≤ C2(cid:107)f (cid:107)L2(R+).

Hơn nữa, phép biến đổi ngược tồn tại và được xác định qua tích chập Fourier

cosine như sau

(cid:16) (cid:17)(cid:0)g ∗ (cid:1)(x), (2.8) f (x) = 1 − k1 d2 dx2

ở đó k1 ∈ L2(R+) sao cho

(cid:1)(y) = . (cid:0)Fck1 1 (1 + y2)2(cid:0)Lk(cid:1)(y)

Chứng minh. Từ biểu thức (2.5) và điều kiện (2.6), ta có

C1(cid:107)f (cid:107)L2(R+) = C1(cid:107)Fcf (cid:107)L2(R+) ≤ (cid:107)(1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:107)L2(R+) = (cid:107)g(cid:107)L2(R+), (cid:107)g(cid:107)L2(R+) = (cid:107)(1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:107)L2(R+) ≤ C2(cid:107)Fcf (cid:107)L2(R+) = C2(cid:107)f (cid:107)L2(R+),

suy ra (2.7).

Bên cạnh đó, từ điều kiện (2.6) ta có

≤ ≤ . 1 (1 + y2)2(cid:0)Lk(cid:1)(y) 1 C2(1 + y2) 1 C1(1 + y2)

Suy ra

∈ L2(R+), 1 (1 + y2)2(cid:0)Lk(cid:1)(y)

theo đó tồn tại hàm k1(x) ∈ L2(R+) sao cho

. (2.9) (cid:1)(y) = (cid:0)Fck1 1 (1 + y2)2(cid:0)Lk(cid:1)(y)

Từ biểu thức (2.5), (2.9) và đẳng thức nhân tử hóa (1.46), ta có

(cid:0)Fcf (cid:1)(y) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y)

= (1 + y2) (cid:0)Fcg(cid:1)(y)

1 (1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y) 1 (1 + y2)2(cid:0)Lk(cid:1)(y) (cid:1)(y)(cid:0)Fcg(cid:1)(y) (cid:1)(y). (2.10) k1 = (1 + y2)(cid:0)Fck1 (cid:0)g ∗ = (1 + y2)Fc Fc

Bằng cách tác động phép biến đổi Fourier cosine Fc vào hai vế của (2.10) ta có thể biến đổi như sau

(cid:104) (cid:105) (cid:1)(y) (x) f (x) = Fc (1 + y2)Fc k1

(cid:16) (cid:104) (cid:17) = 1 − (cid:105) (cid:1)(y) (x) k1

(cid:16) = 1 − Fc Fc (cid:17)(cid:0)g ∗ (cid:0)g ∗ Fc (cid:0)g ∗ Fc (cid:1)(x), k1 d2 dx2 d2 dx2

(cid:50) Từ đó, ta nhận được phép biến đổi ngược (2.8).

2.1.2 Liên hệ giữa phép biến đổi tích phân với các đạo

hàm

Định lý sau cho sự liên hệ giữa phép biến đổi tích phân Tk với các đạo

hàm của nhân k.

(cid:48)(cid:48)

(cid:48)

Định lý 2.1.2. Giả sử k(x) có đạo hàm đến cấp hai, và k(x), k(cid:48)(cid:48)(x) ∈ L2(R+) hoặc k(x), k(cid:48)(cid:48)(x) ∈ H(R+) sao cho tích phân (1.1) hội tụ như tích phân lặp đối với k cũng như đối với k(cid:48)(cid:48), và k(0) = 0. Khi đó, ta có

(k + k )(cid:1)(x) − k (0)f (x). (2.11) (cid:0)Tkf (cid:1)(x) = (cid:0)f ∗

Chứng minh. Từ (2.1) và (2.5) ta có

(cid:104) (x). (cid:0)Tkf (cid:1)(x) = Fc (cid:105) (1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)

(cid:48)

Mặt khác, từ

(cid:48)

(0)

(cid:48)(cid:48)(cid:1)(y) − yk(0) − k (cid:48)(cid:48)(cid:1)(y) − k

y2(cid:0)Lk(cid:1)(y) = (cid:0)Lk = (cid:0)Lk (0),

(cid:48)

ta có

(cid:48)

(cid:48)(cid:48)

(cid:104) (cid:104) L(cid:0)k + k k (x) (cid:0)Tkf (cid:1)(x) = Fc (x) − Fc (cid:105) (0)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)

(cid:105) (cid:48)(cid:48)(cid:1)(y)(cid:0)Fcf (cid:1)(y) )(cid:1)(x) − k (0)f (x). = (cid:0)f ∗ (k + k

(cid:50) Định lý đã được chứng minh.

.(cid:1), ta cũng có thể thiết lập phép Nhận xét 2.1.1. Với tích chập suy rộng (cid:0).∗ biến đổi tích phân tương ứng. Đó là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập

suy rộng Fourier sine-Laplace, có dạng

(cid:16) (cid:17)(cid:0)f ∗ k(cid:1)(x), x > 0. (2.12) f (x) (cid:55)→ g(x) = 1 − d2 dx2

Nghiên cứu phép biến đổi tích phân này ta cũng nhận được các kết quả tương tự phép biến đổi tích phân Tk được cho bởi (2.1). Ngoài ra, nếu các điều kiện trong Mệnh đề 2.1.1 được thỏa mãn thì bất đẳng thức chuẩn (2.7)

vẫn còn đúng đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier

sine-Laplace và khi đó phép biến đổi ngược tồn tại được xác định bởi

FsFc

(cid:16) f (x) = 1 − (cid:17)(cid:0)g ∗ (cid:1)(x), (2.13) k1 d2 dx2

.(cid:1) là tích

ở đó k1 ∈ L2(R+) được xác định như trong Mệnh đề 2.1.1, và (cid:0). ∗ FsFc chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine xác định bởi (0.6).

2.2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập

suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace

với hàm trọng

γ ∗ 3

các tích chập suy rộng (cid:0). Trong phần này, ta sẽ nghiên cứu phép biến đổi tích phân liên quan đến .(cid:1) .(cid:1) cho bởi (1.27) và tích chập suy rộng (cid:0). ∗ FcFs

cho bởi (1.47). Đó là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace Tk1,k2 với hàm trọng. Phép biến đổi này có dạng

f (x) (cid:55)→ g(x) = (cid:0)Tk1,k2f (cid:1)(x)

γ ∗ 3

(cid:16) (cid:111) (cid:1)(x) , x > 0, (2.14) (cid:17)(cid:110)(cid:0)f = 1 − k1 k2 (cid:1)(x) + (cid:0)f ∗ FcFs d2 dx2

trong đó k1, k2 là nhân của phép biến đổi.

2.2.1 Định lý kiểu Watson

Định lý 2.2.1 (Định lý kiểu Watson). Giả sử k1(x) ∈ H(R+) và k2(x) ∈ L2(R+), khi đó điều kiện cần và đủ để phép biến đổi tích phân (2.14) unita trong L2(R+) là

(cid:1)(y)(cid:12) (2.15) (cid:1)(y) + (cid:0)Fsk2 (cid:12) (cid:12) − sin y(cid:0)Lk1 (cid:12) = 1 1 + y2 .

Hơn nữa, phép biến đổi ngược có dạng

γ ∗ 4

(cid:17)(cid:110) (cid:16) f (x) = 1 − − (cid:0)g (cid:111) g(cid:1)(x) , (2.16) k1 (cid:1)(x) + (cid:0)k2 ∗ FsFc d2 dx2

trong đó k1 và k2 lần lượt là các hàm liên hợp phức của k1 và k2.

+∞ (cid:90)

(cid:0)F h(cid:1)(x) ∈ L2(R) (Định lý 68, trang 92, [44]). Hơn nữa, Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử k1 và k2 thỏa mãn điều kiện (2.15). Ta (cid:0)F h(cid:1)(x), biết rằng h(y), yh(y), y2h(y) ∈ L2(R) khi và chỉ khi (cid:0)F h(cid:1)(x), d d2 dx2

−∞

(cid:0)F h(cid:1)(x) = h(y)e−ixydy = F (cid:2)(−iy)2h(y)(cid:3)(x). d2 dx2 d2 dx2 1 √ 2π

Trường hợp đặc biệt, nếu h là hàm chẵn thỏa mãn h(y), y2h(y) ∈ L2(R+), thì ta có đẳng thức sau

(cid:16) (cid:2)(1 + y2)h(y)(cid:3)(x). (2.17) 1 − (cid:17)(cid:0)Fch(cid:1)(x) = Fc

(cid:1)(y) bị chặn, và (cid:1)(y) + (cid:0)Fsk2

d2 dx2 Từ điều kiện (2.15), suy ra biểu thức − sin y(cid:0)Lk1 ta cũng có

(cid:1)(y)(cid:3)(cid:0)Fsf (cid:1)(y) ∈ L2(R+). (cid:1)(y) + (cid:0)Fsk2 (1 + y2)(cid:2) − sin y(cid:0)Lk1

Từ (2.14), bằng cách sử dụng các đẳng thức (1.48), (1.28), và công thức

(2.17), ta có

(cid:16) (cid:104) (cid:17) (cid:105) (cid:1)(y) (x) g(x) =

s}f (cid:107)L2(R+) và điều kiện (2.15),

1 − (cid:104) Fc (cid:16) d2 dx2 (1 + y2) (cid:1)(y) (x). − sin y(cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Lk1 − sin y(cid:0)Lk1 (cid:1)(y) + (cid:0)Fsk2 (cid:1)(y) + (cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Fsk2 (cid:105) (cid:17)(cid:0)Fsf (cid:1)(y) =Fc

Kết hợp đẳng thức Parseval (cid:107)f (cid:107)L2(R+) = (cid:107)F{ c suy ra

(cid:1)(y) + (cid:0)Fsk2 (cid:107)g(cid:107)L2(R+) =(cid:107)(1 + y2)(cid:2) − sin y(cid:0)Lk1 (cid:1)(y)(cid:3)(cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:107)L2(R+)

=(cid:107)(cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:107)L2(R+) = (cid:107)f (cid:107)L2(R+).

Điều đó chứng tỏ phép biến đổi tích phân (2.14) là đẳng cự.

Mặt khác, từ

(1 + y2)(cid:2) − sin y(cid:0)Lk1 (cid:1)(y) + (cid:0)Fsk2 (cid:1)(y)(cid:3)(cid:0)Fsf (cid:1)(y) ∈ L2(R+),

ta có

(cid:0)Fcg(cid:1)(y) = (1 + y2)(cid:2) − sin y(cid:0)Lk1 (cid:1)(y) + (cid:0)Fsk2 (cid:1)(y)(cid:3)(cid:0)Fsf (cid:1)(y).

Sử dụng điều kiện (2.15), ta có

(cid:1)(y) + (cid:0)Fsk2 (cid:1)(y)(cid:3)(cid:0)Fcg(cid:1)(y). (cid:0)Fsf (cid:1)(y) = (1 + y2)(cid:2) − sin y(cid:0)Lk1

Cũng từ điều kiện (2.15) cho ta

(1 + y2)(cid:2) − sin y(cid:0)Lk1 (cid:1)(y) + (cid:0)Fsk2 (cid:1)(y)(cid:3)(cid:0)Fsg(cid:1)(y) ∈ L2(R+).

Bằng cách sử dụng công thức (2.17), kết hợp với các đẳng thức kiểu Parseval

(1.48) và (1.28), ta có

(cid:16) (cid:104) (1 + y2) (cid:1)(y) (cid:1)(y) + (cid:0)Fsk2 (cid:105) (cid:17)(cid:0)Fcg(cid:1)(y) f (x) =Fs

− sin y(cid:0)Lk1 (cid:104) (cid:17) (cid:16) (cid:105) (cid:1)(y) = 1 − − sin y(cid:0)Fcg(cid:1)(y)(cid:0)Lk1 (cid:1)(y) + (cid:0)Fcg(cid:1)(y)(cid:0)Fsk2 Fs

γ ∗ 4

(cid:16) (cid:17)(cid:110) = 1 − − (cid:0)g (cid:111) g(cid:1)(x) . k1 (cid:1)(x) + (cid:0)k2 ∗ FsFc d2 dx2 d2 dx2

Như vậy, phép biến đổi tích phân (2.14) là unita trong L2(R+) và có biến đổi ngược cho bởi (2.16). Điều kiện đủ. Giả sử phép biến đổi (2.14) là unita trong L2(R+). Khi đó từ đẳng thức Parseval đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine, ta có

(cid:1)(y) + (cid:0)Fsk2 (cid:107)g(cid:107)L2(R+) =(cid:107)(1 + y2)(cid:2) − sin y(cid:0)Lk1 (cid:1)(y)(cid:3)(cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:107)L2(R+)

=(cid:107)(cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:107)L2(R+) = (cid:107)f (cid:107)L2(R+).

γ ∗ 4

(cid:1)(y) + (cid:1)(y)(cid:3) là unita trong L2(R+), hay tương đương với điều kiện (2.15) được (cid:50) Suy ra, toán tử Mθ[f ](y) = θ(y)f (y), ở đó θ(y) = (1 + y2)(cid:2) − sin y(cid:0)Lk1 (cid:0)Fsk2 thỏa mãn. Định lý đã được chứng minh.

.(cid:1), ta cũng có thể thiết lập và Nhận xét 2.2.1. Với tích chập suy rộng (cid:0). nghiên cứu phép biến đổi tích phân tương ứng. Đó là phép biến đổi tích phân

kiểu tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm trọng có

dạng

γ ∗ 4

(cid:16) (cid:17)(cid:110)(cid:0)f (cid:111) (cid:1)(x) , x > 0, (2.18) f (x) (cid:55)→ g(x) = 1 − k1 k2 (cid:1)(x) + (cid:0)f ∗ FsFc d2 dx2

.(cid:1) là tích chập suy rộng xác định bởi (0.6). trong đó (cid:0). ∗ FsFc

Khi đó bằng kỹ thuật tương tự, ta cũng có thể chứng minh được Định lý kiểu

Watson đối với phép biến đổi này.

Định lý 2.2.2. Giả sử k1(x) ∈ H(R+) và k2(x) ∈ L2(R+), khi đó điều kiện cần và đủ để phép biến đổi (2.18) là unita trong L2(R+) là

(2.19) (cid:1)(y)(cid:12) (cid:1)(y) + (cid:0)Fsk2 (cid:12) = (cid:12) (cid:12) sin y(cid:0)Lk1 1 1 + y2 .

Hơn nữa, phép biến đổi ngược có dạng

γ ∗ 3

(cid:16) (cid:17)(cid:110) f (x) = 1 − − (cid:0)g (cid:111) (cid:1)(x) , (2.20) k1 k2 (cid:1)(x) + (cid:0)g ∗ FcFs d2 dx2

trong đó k1 và k2 lần lượt là các hàm liên hợp phức của k1 và k2.

Sau đây là một ví dụ minh họa cho sự tồn tại của k1 và k2 thỏa mãn các

điều kiện (2.15) và (2.19).

Ví dụ 2.2.1.

Ta chọn k1(x) = i sin x thì k1(x) ∈ H(R+). Bằng cách sử dụng (3.2.9) trong [6], ta có

(2.21) (cid:1)(y) = (cid:0)Lk1 i 1 + y2 .

∞ (cid:90)

Mặt khác, theo công thức (2.2.14) trong [6], ta có

(cid:105) = dy Fs (cid:104) cos y 1 + y2 sin y(x + 1) + sin y(x − 1) 1 + y2 1 √ 2π

= (cid:104) e−(x+1)Ei(x + 1) − e(x+1)Ei(−x − 1)

(cid:105) 1 √ 2 2π + e−(x−1)Ei(x − 1) − e(x−1)Ei(−x + 1) ∈ L2(R+).

Vậy nên, ta chọn

(cid:104) e−(x+1)Ei(x + 1) − e(x+1)Ei(−x − 1) k2(x) = 1 √ 2π (cid:105) , 2 + e−(x−1)Ei(x − 1) − e(x−1)Ei(−x + 1)

trong đó, Ei(x) là tích phân mũ được xác định với mỗi số thực x. Suy ra

(cid:1)(y) = (2.22) (cid:0)Fsk2 cos y 1 + y2 .

Khi đó từ (2.21) và (2.22), suy ra các điều kiện (2.15) và (2.19) được thỏa

mãn, nghĩa là

(cid:1)(y)(cid:12) (cid:1)(y) + (cid:0)Fsk2 (cid:12) (cid:12) ∓ sin y(cid:0)Lk1 (cid:12) = 1 1 + y2 .

2.2.2 Định lý kiểu Plancherel

Định lý 2.2.3 (Định lý kiểu Plancherel). Giả sử k1(x) ∈ H(R+) và k2(x) ∈ L2(R+), thỏa mãn điều kiện (2.19) đồng thời

Θ1(x, u, v) = (cid:0)1 − (cid:1)(cid:2)θ2(x − 1, u, v) − θ2(x + 1, u, v)(cid:3),

(cid:1)(cid:2)θ1(x − 1, u, v) − θ1(x + 1, u, v)(cid:3), Θ2(x, u, v) = (cid:0)1 −

K(x) = (cid:0)1 − (cid:1)k2(x) d2 dx2 d2 dx2 d2 dx2

∞ (cid:90)

N (cid:90)

là các hàm bị chặn. Cho f ∈ L2(R+) và với mỗi số tự nhiên N, đặt

gN (x) = Θ2(x, u, v)f (u)k1(v)dudv 1 2π

N (cid:90)

+ f (u)(cid:2)K(|x − u|) − K(x + u)(cid:3)du. 1 √ 2π

∞ (cid:90)

Khi đó: 1) Ta có gN ∈ L2(R+), và nếu N → ∞ thì gN hội tụ theo chuẩn trong L2(R+) đến hàm g ∈ L2(R+) với (cid:107)g(cid:107)L2(R+) = (cid:107)f (cid:107)L2(R+). 2) Đặt gN = g.χ(0, N ), thì

0 ∞ (cid:90)

Θ1(x, u, v)gN (u)k1(v)dudv fN (x) = − 1 2π

+ gN (u)(cid:2)K(x + u) + sign(u − x)K(|x − u|)(cid:3)du, 1 √ 2π

cũng thuộc L2(R+), và nếu N → ∞ thì fN hội tụ theo chuẩn đến f .

∞ (cid:90)

N (cid:90)

Chứng minh. Từ biểu thức xác định của fN và gN , suy ra đây là các tích phân hội tụ. Đặt f N = f.χ(0, N ), ta có

N (cid:90)

gN (x) = Θ2(x, u, v)f (u)k1(v)dudv 1 2π

∞ (cid:90)

+ f (u)(cid:2)K(|x − u|) − K(x + u)(cid:3)du 1 √ 2π

∞ (cid:90)

=(cid:0)1 − (cid:2)θ1(x − 1, u, v) − θ1(x + 1, u, v)(cid:3)f N (u)k1(v)dudv d2 dx2 (cid:1)(cid:110) 1 2π

(cid:111) . + f N (u)(cid:2)k2(|x − u|) − k2(x + u)(cid:3)du 1 √ 2π

Trong Định lý kiểu Watson, ta biết rằng gN ∈ L2(R+). Với g là hàm ảnh của f qua phép biến đổi tích phân (2.18), ta có (cid:107)g(cid:107)L2(R+) = (cid:107)f (cid:107)L2(R+), và suy ra

∞ (cid:90)

phép biến đổi ngược (2.20). Ta có

0 ∞ (cid:90)

(g − gN )(x) = (cid:0)1 − (cid:2)θ1(x − 1, u, v) − θ1(x + 1, u, v)(cid:3) d2 dx2 (cid:1)(cid:110) 1 2π

× (f − f N )(u)k1(v)dudv + (cid:111) (f − f N )(u)(cid:2)k2(|x − u|) − k2(x + u)(cid:3)du . 1 √ 2π

Bằng cách sử dụng Định lý kiểu Watson, ta có (g − gN )(x) ∈ L2(R+) và

(cid:107)g − gN (cid:107)L2(R+) = (cid:107)f − f N (cid:107)L2(R+).

(cid:50) Khi (cid:107)g − gN (cid:107)L2(R+) → 0 với N → ∞ thì dãy hàm gN hội tụ theo chuẩn đến g trong L2(R+). Phần còn lại của định lý, được chứng minh hoàn toàn tương tự.

Kết luận Chương 2

Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Tk và Fourier cosine-Fourier sine-Laplace Tk1,k2 với hàm trọng. Nhận được các kết quả chính:

• Định lý kiểu Watson về điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi Tk và

Tk1,k2 là unita trong L2(R+).

• Xác định được điều kiện đủ để Tk là toán tử bị chặn và có biến đổi

ngược.

• Định lý kiểu Plancherel về sự tồn tại các dãy toán tử hội tụ theo chuẩn

về toán tử tích phân Tk1,k2 và toán tử ngược của nó.

Nội dung của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [3] và [4], trong

Danh mục công trình đã công bố của luận án.

Chương 3

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Trong chương này, chúng ta sử dụng các kết quả nghiên cứu của Chương 1

và Chương 2 để giải một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích

phân, phương trình vi-tích phân và cho công thức nghiệm dưới dạng đóng.

3.1 Giải phương trình và hệ phương trình tích

phân

Ta biết rằng, phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng trong các

lĩnh vực toán học cũng như kỹ thuật. Không có phương pháp giải chung nhất

cho loại phương trình này, mà chỉ giải được trong một số trường hợp cụ thể

nào đó. Trong phần này, chúng ta xét một lớp phương trình và hệ phương

trình tích phân mà bằng các cách giải thông thường rất khó thực hiện được.

Các tích chập suy rộng Fourier-Laplace đã được nghiên cứu trong Chương

1 cùng với Định lý Wiener-Levy (trang 63 trong [24]) sau đây là công cụ

quan trọng giúp ta trong việc xây dựng công thức nghiệm tường minh cho

lớp phương trình và hệ phương trình tích phân.

Định lý 3.1.1 (Định lý Wiener-Levy). Giả sử f là biến đổi Fourier của một hàm thuộc L1(R), và ϕ là hàm giải tích trong một lân cận của gốc, chứa miền {f (y), ∀y ∈ R} thỏa mãn ϕ(0) = 0, khi đó ϕ(f ) cũng là ảnh qua phép biến đổi Fourier của một hàm nào đó thuộc L1(R).

Nhận xét 3.1.1. Đối với phép biến đổi Fourier cosine, Định lý Wiener-Levy

cũng cho ta kết quả tương tự. Nghĩa là nếu f là biến đổi Fourier cosine của

một hàm trong L1(R+) và ϕ là hàm giải tích trong một lân cận của gốc chứa miền {f (y), ∀y ∈ R+} sao cho ϕ(0) = 0, thì ϕ(f ) cũng là biến đổi Fourier cosine của một hàm nào đó trong L1(R+).

3.1.1 Giải phương trình tích phân

∞ (cid:90)

a) Xét phương trình tích phân loại một có dạng

(3.1) K1(x, u)f (u)du = g(x), x > 0,

∞ (cid:90)

trong đó

(3.2) θ1(x, u, v)k(v)dv, K1(x, u) = 1 π

với θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2).

∈ Ac. Hơn nữa, nghiệm Định lý 3.1.2. Cho g(x), k(x) ∈ L1(R+). Khi đó, điều kiện cần và đủ để phương trình (3.1) có nghiệm trong L1(R+) là (cid:0)Fcg(cid:1)(y) (cid:0)Lk(cid:1)(y)

∞ (cid:90)

được cho dưới dạng

f (x) = cos xydy. (3.3) (cid:0)Fcg(cid:1)(y) (cid:0)Lk(cid:1)(y)

Chứng minh. Từ giả thiết của định lý và nhân K1(x, u) cho bởi (3.2), ta có thể viết lại phương trình (3.1) dưới dạng tương đương

(cid:0)f ∗ k(cid:1)(x) = g(x), x > 0, (3.4)

.(cid:1) được cho bởi (1.1).

trong đó tích chập suy rộng (cid:0).∗ Điều kiện cần. Giả thiết rằng, phương trình (3.1) có nghiệm trong L1(R+) cho bởi (3.3). Từ giả thiết hàm g(x) ∈ L1(R+) suy ra tích chập suy rộng

k(cid:1)(x) ∈ L1(R+). Từ đó, bằng cách sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.4)

(cid:0)f ∗ đối với đẳng thức (3.4), ta có

(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y),

suy ra

. (3.5) (cid:0)Fcf (cid:1)(y) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y) (cid:0)Lk(cid:1)(y)

∈ Ac. Mặt khác, do f (x) ∈ L1(R+) nên (cid:0)Fcf (cid:1)(y) ∈ Ac. Kết hợp với (3.5) ta suy ra (cid:0)Fcg(cid:1)(y) (cid:0)Lk(cid:1)(y)

∈ Ac, suy ra tồn tại hàm f (x) ∈ L1(R+) (cid:0)Fcg(cid:1)(y) (cid:0)Lk(cid:1)(y)

. Vậy ta có thỏa mãn (cid:0)Fcf (cid:1)(y) = Điều kiện đủ. Từ giả thiết (cid:0)Fcg(cid:1)(y) (cid:0)Lk(cid:1)(y)

(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y).

Suy ra

(cid:0)f ∗ k(cid:1)(x) = g(x),

(cid:50) và ta nhận được (3.3). Định lý đã được chứng minh.

∞ (cid:90)

b) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng

f (x) + (3.6) K1(x, u)f (u)du = g(x), x > 0,

trong đó nhân K1(x, u) cho bởi (3.2) và k(x), g(x) là hàm cho trước trong L1(R+), và f (x) là hàm cần tìm.

Định lý 3.1.3. Giả sử điều kiện sau được thỏa mãn

1 + (cid:0)Lk(cid:1)(y) (cid:54)= 0, ∀y > 0. (3.7)

Khi đó phương trình (3.6) có nghiệm duy nhất trong L1(R+). Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạng

g(cid:1)(x), (3.8) f (x) = g(x) − (cid:0)q ∗ Fc

ở đó q(x) ∈ L1(R+) được xác định bởi

(cid:33) (cid:32) (cid:0)Lk(cid:1)(y) (x). (3.9) q(x) = Fc 1 + (cid:0)Lk(cid:1)(y)

Chứng minh. Với nhân K1(x, u) cho bởi (3.2), phương trình (3.6) có thể viết lại dưới dạng tích chập

f (x) + (cid:0)f ∗ k(cid:1)(x) = g(x), x > 0. (3.10)

Áp dụng phép biến đổi Fourier cosine Fc đối với phương trình (3.10) và sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.3), ta nhận được

(3.11) (cid:0)Fcf (cid:1)(y) + (cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y).

Do đó

. (cid:0)Fcf (cid:1)(y) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y) − (cid:0)Fcg(cid:1)(y) (cid:0)Lk(cid:1)(y) 1 + (cid:0)Lk(cid:1)(y)

Theo Bổ đề 1.1.1, vì k(x) ∈ L1(R+) nên (cid:0)Lk(cid:1)(y) ∈ Ac. Từ điều kiện (3.7)

suy ra là ∈ Ac và sử dụng Định lý Wiener-Levy, suy ra (cid:0)Lk(cid:1)(y) 1+(cid:0)Lk(cid:1)(y) (cid:0)Lk(cid:1)(y) 1+(cid:0)Lk(cid:1)(y)

biến đổi Fourier cosine Fc của hàm q(x) ∈ L1(R+), được cho bởi (3.9). Khi đó ta có

(3.12) (cid:0)Fcf (cid:1)(y) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y) − (cid:0)Fcg(cid:1)(y)(cid:0)Fcq(cid:1)(y).

Do (cid:0)Fcg(cid:1)(y), (cid:0)Fcq(cid:1)(y) ∈ Ac nên (cid:0)Fcf (cid:1)(y) ∈ Ac. Suy ra, f (x) ∈ L1(R+). Áp dụng phép biến đổi Fourier cosine Fc đối với (3.12) và sử dụng (1.46) ta nhận (cid:50) được nghiệm cho bởi (3.8). Định lý đã được chứng minh.

∞ (cid:90)

c) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng

f (x) + (3.13) K2(x, t)f (t)dt = g(x), x > 0,

ở đó

(cid:90)

R+ 2

K2(x, t) = θ1(x, u, v + µ)(cid:2)ψ(|u − t|) + ψ(u + t)(cid:3)ϕ(v)dudv, µ > 0, 1 √ 2π π

(3.14)

với θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2).

Định lý 3.1.4. Giả sử rằng ϕ(x), ψ(x) ∈ L1(R+). Khi đó, điều kiện cần và đủ để phương trình (3.13) có nghiệm duy nhất trong L1(R+) với mọi hàm g(x) thuộc L1(R+) là 1 + e−µy(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) (cid:54)= 0, ∀y > 0. Hơn nữa, nghiệm có thể được biểu diễn dưới dạng sau

(3.15) q(cid:1)(x), f (x) = g(x) − (cid:0)g ∗ Fc

.(cid:1) được định nghĩa bởi (1.45), hàm q ∈ L1(R+) được xác ở đó tích chập (cid:0). ∗ Fc

định bởi

(3.16) . (cid:0)Fcq(cid:1)(y) = e−µy(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) 1 + e−µy(Fcψ)(y)(Lϕ)(y)

(cid:17) (x) = g(x). (3.17) ϕ Chứng minh. Với nhân K2(x, t) cho bởi (3.14), phương trình (3.13) có thể viết lại dưới dạng tích chập như sau (cid:16)(cid:0)f ∗ f (x) + ψ(cid:1) γ ∗ 1

Điều kiện cần. Giả thiết rằng, phương trình tích phân (3.13) có nghiệm duy nhất trong L1(R+), với mọi hàm g(x) trong L1(R+). Suy ra, tồn tại hàm g(x) ∈ L1(R+) sao cho

(3.18) (cid:0)Fcg(cid:1)(y) (cid:54)= 0, ∀y > 0.

Bằng cách sử dụng các đẳng thức nhân tử hóa (1.18) và (1.46) đối với (3.17),

ta có

(cid:0)Fcf (cid:1)(y) + e−µy(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Fcψ(cid:1)(y)(cid:0)Lϕ(cid:1)(y) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y).

Kết hợp với (1.18), ta có

γ ∗ 1

(cid:0)ψ (3.19) (cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:2)1 + Fc ϕ(cid:1)(y)(cid:3) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y).

γ ∗ 1

(cid:0)ψ Bằng cách sử dụng phản chứng, giả thiết tồn tại y0 > 0 thỏa mãn điều kiện 1 + Fc ϕ(cid:1)(y0) = 0.

Kết hợp với (3.19), ta có

(3.20) (cid:0)Fcg(cid:1)(y0) = 0, ∀g ∈ L1(R+).

γ ∗ 1

(cid:0)ψ ϕ(cid:1)(y) (cid:54)= 0, ∀y > 0. Điều đó mâu thuẩn với (3.18). Suy ra 1 + Fc

Điều kiện đủ. Từ (3.18) và các giả thiết của Định lý 3.1.4, ta có

γ ∗ 1 (cid:0)ψ

γ ∗ 1

(cid:0)ψ ϕ(cid:1)(y) Fc (cid:105) (cid:104) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y) 1 − (cid:0)Fcf (cid:1)(y) = ϕ(cid:1)(y) ϕ(cid:1)(y) 1 + Fc 1 + Fc (cid:0)Fcg(cid:1)(y) γ (cid:0)ψ ∗ 1

γ ∗ 1 (cid:0)ψ

γ ∗ 1

(cid:0)ψ ϕ(cid:1)(y) Fc (3.21) . = (cid:0)Fcg(cid:1)(y) − (cid:0)Fcg(cid:1)(y) ϕ(cid:1)(y) 1 + Fc

γ ∗ 1

ϕ(cid:1)(y) (cid:54)= 0, ∀y > 0, theo Định lý Wiener-Levy, tồn (cid:0)ψ

Với điều kiện 1 + Fc tại hàm q(x) ∈ L1(R+) thỏa mãn (3.16). Kết hợp với (3.21), ta có

q(cid:1)(y). (cid:0)Fcf (cid:1)(y) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y) − (cid:0)Fcg(cid:1)(y)(cid:0)Fcq(cid:1)(y) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y) − Fc (cid:0)g ∗ Fc

(cid:50) Từ đó suy ra (3.15). Định lý 3.1.4 đã được chứng minh.

Ngoài ra, ta cũng có thể xét phương trình tích phân (3.13) với nhân

(cid:90)

R+ 2

K3(x, t) = θ2(x, u, v + µ)(cid:2)ψ(|u − t|) − ψ(u + t)(cid:3)ϕ(v)dudv, µ > 0, 1 √ 2π π

(3.22)

trong đó θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.11). Khi đó, chứng minh bằng kỹ thuật tương tự như trong Định lý 3.1.4, ta cũng nhận được kết quả sau.

Hệ quả 3.1.1. Với các giả thiết như trong Định lý 3.1.4, phương trình (3.13) với nhân K3(x, t) được xác định bởi (3.22) có nghiệm duy nhất trong L1(R+) với mọi hàm g(x) thuộc L1(R+) và nghiệm được xác định bởi

(3.23) q(cid:1)(x), f (x) = g(x) − (cid:0)g ∗ FsFc

.(cid:1) được xác định bởi (0.6), hàm q ∈ L1(R+) được cho ở đó tích chập (cid:0). ∗ FsFc

bởi (3.16).

∞ (cid:90)

d) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng

f (x) + (3.24) K4(x, t)f (t)dt = g(x), x > 0,

trong đó

R+ 2

(cid:90) 1 √ (cid:2)θ2(x − 1, u, v + µ) − θ2(x + 1, u, v + µ)(cid:3) K4(x, t) = 2π 2π

× (cid:2)ϕ(u + t) + sign(u − t)ϕ(|u − t|)(cid:3)ψ(v)dudv, µ > 0, (3.25)

với θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.11).

Định lý 3.1.5. Giả sử các hàm g(x), ϕ(x), ψ(x) ∈ L1(R+). Khi đó điều kiện cần và đủ để phương trình tích phân (3.24) có duy nhất nghiệm trong L1(R+)

với mọi hàm g(x) thuộc L1(R+) là 1+e−µy sin y(Fcϕ)(y)(Lψ)(y) (cid:54)= 0, ∀y > 0. Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạnh sau

q(cid:1)(x), f (x) = g(x) + (cid:0)g ∗ Fc

trong đó q là hàm thuộc L1(R+) sao cho

, (cid:0)Fcq(cid:1)(y) = −e−µy sin y(Fcϕ)(y)(Lψ)(y) 1 + e−µy sin y(Fcϕ)(y)(Lψ)(y)

.(cid:1) được xác định bởi (1.45). và tích chập (cid:0). ∗ Fc

Chứng minh. Với nhân K4(x, t) cho bởi (3.25), phương trình (3.24) có thể viết lại dưới dạng

FsFc

(cid:17) (cid:16)(cid:0)ϕ ∗ f (x) + ψ (x) = g(x), (3.26) f (cid:1) γ ∗ 5

.(cid:1) được xác định bởi (0.6).

trong đó, tích chập suy rộng (cid:0). ∗ FsFc Điều kiện cần. Giả sử phương trình (3.24) có nghiệm trong L1(R+), với mọi hàm g thuộc L1(R+). Suy ra, tồn tại g(x) ∈ L1(R+) sao cho

(3.27) (cid:0)Fcg(cid:1)(y) (cid:54)= 0, ∀y > 0.

Tác động phép biến đổi Fourier cosine lên hai vế của phương trình (3.26) và

sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.29), ta có

(cid:0)Fcf (cid:1)(y) − e−µy sin yFs f (cid:1)(y)(cid:0)Lψ(cid:1)(y) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y). (cid:0)ϕ ∗ FsFc

Kết hợp với (0.7), ta có

(cid:0)Fcf (cid:1)(y) − e−µy sin y(cid:0)Fsϕ(cid:1)(y)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lψ(cid:1)(y) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y).

Từ đó và (1.29), ta có

γ ∗ 5

(3.28) (cid:0)ϕ ψ(cid:1)(y)(cid:3) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y). (cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:2)1 − Fc

Điều này là mâu thuẩn với giả thiết tồn tại y0 > 0 sao cho

γ ∗ 5

(cid:0)ϕ 1 − Fc ψ(cid:1)(y0) = 0.

Kết hợp với (3.28), ta có

(3.29) (cid:0)Fcg(cid:1)(y0) = 0, ∀g ∈ L1(R+).

γ ∗ 5

(cid:0)ϕ Suy ra (3.27). Từ đó ta nhận được 1 − Fc

ψ(cid:1)(y) (cid:54)= 0, ∀y > 0. Điều kiện đủ. Từ (3.27) và giả thiết của phương trình (3.24), ta có

γ ∗ 5 (cid:0)ϕ

γ ∗ 5

(cid:0)ϕ ψ(cid:1)(y) Fc (cid:105) 1 + (cid:104) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y) (cid:0)Fcf (cid:1)(y) = ψ(cid:1)(y) ψ(cid:1)(y) 1 − Fc 1 − Fc (cid:0)Fcg(cid:1)(y) γ (cid:0)ϕ ∗ 5

γ ∗ 5 (cid:0)ϕ

γ ∗ 5

(cid:0)ϕ ψ(cid:1)(y) Fc . (3.30) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y) + (cid:0)Fcg(cid:1)(y). ψ(cid:1)(y) 1 − Fc

Khi đó theo Định lý Wiener-Levy, tồn tại một hàm q(x) trong L1(R+) sao cho

γ ∗ 5 (cid:0)ϕ

γ ∗ 5

(cid:0)ϕ ψ(cid:1)(y) Fc (3.31) . (cid:0)Fcq(cid:1)(y) = ψ(cid:1)(y) 1 − Fc

Từ (3.30), (3.31) và q(x) ∈ L1(R+) ta có

q(cid:1)(y). (cid:0)Fcf (cid:1)(y) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y) + (cid:0)Fcg(cid:1)(y)(cid:0)Fcq(cid:1)(y) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y) + Fc (cid:0)g ∗ Fc

Suy ra,

q(cid:1)(x), f (x) ∈ L1(R+). f (x) = g(x) + (cid:0)g ∗ Fc

(cid:50) Định lý đã được chứng minh.

Ngoài ra, ta cũng có thể xét phương trình tích phân (3.24) với nhân

R+ 2

(cid:90) 1 √ K5(x, t) = (cid:2)θ1(x − 1, u, v + µ) − θ1(x + 1, u, v + µ)(cid:3) 2π 2π

× (cid:2)ϕ(u + t) − sign(u − t)ϕ(|u − t|)(cid:3)ψ(v)dudv, µ > 0, (3.32)

trong đó θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2). Khi đó chứng minh bằng kỹ thuật tương tự như trong Định lý 3.1.5, ta nhận được kết quả sau.

Hệ quả 3.1.2. Cho g(x), ϕ(x), ψ(x) ∈ L1(R+). Khi đó điều kiện cần và đủ để phương trình (3.24) với nhân K5(x, t) cho bởi (3.32) có duy nhất nghiệm trong L1(R+) với mọi hàm g(x) thuộc L1(R+) là 1−e−µy sin y(Fcϕ)(y)(Lψ)(y) (cid:54)= 0, ∀y > 0. Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạnh sau

q(cid:1)(x). f (x) = g(x) − (cid:0)g ∗ FsFc

Trong đó q là hàm thuộc L1(R+) sao cho

, (cid:0)Fcq(cid:1)(y) =

−e−µy sin y(Fcϕ)(y)(Lψ)(y) 1 − e−µy sin y(Fcϕ)(y)(Lψ)(y) .(cid:1) được xác định bởi (0.6). và tích chập suy rộng (cid:0). ∗ FsFc

Sau đây ta chỉ ra một trường hợp cụ thể để minh họa cho Định lý 3.1.5.

Ví dụ 3.1.1. Ta chọn các hàm ϕ(x), ψ(x) như sau

ϕ(x) = e−ax, ψ(x) = e−bx (a, b > 0).

Khi đó dễ thấy ϕ(x), ψ(x) ∈ L1(R+) và ta có

y . (3.33) (cid:0)Fsϕ(cid:1)(y) = (cid:114) 2 π a2 + y2 , (cid:0)Lψ(cid:1)(y) = 1 b + y

Từ đẳng thức nhân tử hóa (1.29) và (3.33), ta có

γ ∗ 5

(cid:0)ϕ Fc ψ(cid:1)(y) = −e−µy sin y(cid:0)Fsϕ(cid:1)(y)(cid:0)Lψ(cid:1)(y)

= − e−µy sin y. . (cid:114) 2 π y (a2 + y2)(b + y)

γ ∗ 5

ψ(cid:1)(y) (cid:54)= 0, ∀y > 0. (cid:0)ϕ

Khi đó, ta có 1 − Fc Theo Định lý Wiener-Levy, tồn tại hàm q(x) ∈ L1(R+) sao cho

y (a2+y2)(b+y)

π e−µy sin y. (cid:113) 2

π e−µy sin y.

y (a2+y2)(b+y)

(cid:113) 2 − . (3.34) (cid:0)Fcq(cid:1)(y) = 1 +

Suy ra

y (a2+y2)(b+y)

π e−µy sin y. (cid:113) 2

π e−µy sin y.

y (a2+y2)(b+y)

∞ (cid:90)

(cid:113) 2 (cid:104) − (cid:105) (x) q(x) = Fc 1 +

π y sin y

y sin y cos xy = − dy, (cid:113) 2 2 π (a2 + y2)(b + y)eµy +

q(cid:1)(x). và nghiệm được cho bởi f (x) = g(x) + (cid:0)g ∗ Fc

3.1.2 Giải hệ phương trình tích phân

∞ (cid:90)

a) Xét hệ hai phương trình tích phân loại hai có dạng

0 ∞ (cid:90)

f (x) + K6(x, t)g(t)dt = p(x),

g(x) + (3.35) K7(x, t)f (t)dt = q(x), x > 0.

Trong đó

(cid:90)

R+ 2 (cid:90)

K6(x, t) = θ1(x, u, v + µ)(cid:2)k(|u − t|) + k(u + t)(cid:3)ϕ(v)dudv, 1 √ 2π π

R+ 2

K7(x, t) = θ1(x, u, v + µ)(cid:2)l(|u − t|) + l(u + t)(cid:3)ψ(v)dudv, µ > 0, 1 √ 2π π

(3.36)

với θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2).

Định lý 3.1.6. Giả thiết ϕ(x), ψ(x), p(x), q(x), k(x), l(x) ∈ L1(R+), thỏa mãn

1 − e−2µy(Fck)(y)(Fcl)(y)(Lϕ)(y)(Lψ)(y) (cid:54)= 0, ∀y > 0. Khi đó hệ (3.35) có nghiệm duy nhất (f, g) trong (cid:0)L1(R+), L1(R+)(cid:1) được cho bởi các biểu thức

γ ∗ 1

(cid:16) (cid:17) f (x) = p(x) − (cid:0)k ϕ(cid:1)(cid:17) ξ(cid:1)(x) − (cid:16)(cid:0)q ∗ (k ξ (x), q ∗ Fc (x) + (cid:0)p ∗ Fc ϕ)(cid:1) ∗ Fc

(3.37)

γ ∗ 1

(cid:16) (cid:17) g(x) = q(x) − (cid:0)l ψ(cid:1)(cid:17) ξ(cid:1)(x) − (cid:16)(cid:0)p ∗ (l ξ (x). p ∗ Fc (x) + (cid:0)q ∗ Fc ψ)(cid:1) ∗ Fc

(3.38)

Trong đó, ξ(x) ∈ L1(R+) thỏa mãn

. (3.39) (cid:0)Fcξ(cid:1)(y) = e−2µy(Fck)(y)(Fcl)(y)(Lϕ)(y)(Lψ)(y) 1 − e−2µy(Fck)(y)(Fcl)(y)(Lϕ)(y)(Lψ)(y)

Chứng minh. Ta có thể viết lại hệ hai phương trình (3.35) dưới dạng

(cid:17) f (x) + ϕ (x) = p(x), k(cid:1) γ ∗ 1 (cid:17) (cid:16)(cid:0)g ∗ (cid:16)(cid:0)f ∗ ψ (x) = q(x). (3.40) g(x) + l(cid:1) γ ∗ 1

Tác động phép biến đổi Fourier cosine lên hệ (3.40) và sử dụng các đẳng

thức nhân tử hóa (1.4), (1.46), ta có

(cid:0)Fcf (cid:1)(y) + e−µy(cid:0)Fcg(cid:1)(y)(cid:0)Fck(cid:1)(y)(cid:0)Lϕ(cid:1)(y) = (cid:0)Fcp(cid:1)(y), (cid:0)Fcg(cid:1)(y) + e−µy(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Fcl(cid:1)(y)(cid:0)Lψ(cid:1)(y) = (cid:0)Fcq(cid:1)(y).

Suy ra

γ ∗ 1

(cid:0)k (cid:0)Fcf (cid:1)(y) + (cid:0)Fcg(cid:1)(y)Fc ϕ(cid:1)(y) = (cid:0)Fcp(cid:1)(y),

γ ∗ 1

(cid:0)l (3.41) (cid:0)Fcg(cid:1)(y) + (cid:0)Fcf (cid:1)(y)Fc ψ(cid:1)(y) = (cid:0)Fcq(cid:1)(y).

Giải hệ hai phương trình tuyến tính (3.41), ta có

(cid:16) (y) (cid:0)k (cid:0)Fcp(cid:1)(y) − Fc

γ ∗ 1

(3.42) (cid:0)Fcf (cid:1)(y) = (cid:16)(cid:0)k (cid:0)l ϕ(cid:1)(cid:17) γ ∗ 1 ψ(cid:1)(cid:17) (y) 1 − Fc q ∗ Fc ϕ(cid:1) ∗ Fc

γ ∗ 1

γ ∗ 1 (cid:16)(cid:0)k

γ ∗ 1

(cid:16)(cid:0)k (cid:0)l Fc (cid:105) (cid:16) (cid:105)(cid:104) ϕ(cid:1) ∗ Fc . = (cid:0)k ϕ(cid:1)(cid:17) (y) 1 + (cid:104)(cid:0)Fcp(cid:1)(y) − Fc q ∗ Fc (cid:0)l ψ(cid:1)(cid:17) (y) ψ(cid:1)(cid:17) (y) 1 − Fc ϕ) ∗ Fc

Theo Định lý Wiener-Levy, tồn tại hàm ξ(x) ∈ L1(R+) thỏa mãn (3.39). Kết hợp với (3.42), ta có

(cid:16) (cid:0)k (y) (cid:0)Fcf (cid:1)(y) =

γ ∗ 1

(y) + Fc (cid:105)(cid:2)1 + (cid:0)Fcξ(cid:1)(y)(cid:3) (cid:0)p ∗ ξ(cid:1)(y) Fc (cid:104)(cid:0)Fcp(cid:1)(y) − Fc (cid:16) =(cid:0)Fcp(cid:1)(y) − Fc (cid:104)(cid:16) ϕ(cid:1)(cid:17) γ ∗ 1 ϕ(cid:1)(cid:17) (cid:105) q ∗ Fc (cid:0)k q ∗ Fc ϕ(cid:1)(cid:17) (cid:0)k (y). ξ − Fc q ∗ Fc ∗ Fc

Từ đó ta nhận được (3.37). Tương tự, ta cũng có (3.38). Định lý 3.1.6 đã (cid:50) được chứng minh.

Ngoài ra, ta có thể xét hệ phương trình (3.35) với cặp nhân

(cid:90)

R+ 2 (cid:90)

θ2(x, u, v + µ)(cid:2)k(|u − t|) − k(u + t)(cid:3)ϕ(v)dudv, K8(x, t) = 1 √ 2π π

R+ 2

K9(x, t) = θ2(x, u, v + µ)(cid:2)l(|u − t|) − l(u + t)(cid:3)ψ(v)dudv, µ > 0, 1 √ 2π π

(3.43)

với θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.11). Khi đó bằng kỹ thuật biến đổi tương tự như trong phần chứng minh Định lý 3.1.6, ta cũng nhận được kết quả sau

đây.

γ ∗ 1

FsFc

γ ∗ 1

FsFc

(cid:17) (cid:16) f (x) = p(x) − ξ(cid:1)(x) − (cid:0)k (k ξ (x), ϕ)(cid:1) ∗ FsFc q ∗ FsFc (cid:17) (cid:16) g(x) = q(x) − ξ(cid:1)(x) − (cid:0)l (l (x). ξ Hệ quả 3.1.3. Với các giả thiết như trong Định lý 3.1.6, thì hệ (3.35) với cặp nhân K8(x, t) và K9(x, t) được xác định bởi (3.43) có nghiệm duy nhất (f, g) trong (cid:0)L1(R+), L1(R+)(cid:1). Hơn nữa nghiệm có dạng (cid:16)(cid:0)q ∗ ϕ(cid:1)(cid:17) γ ∗ 1 (cid:16)(cid:0)p ∗ ψ(cid:1)(cid:17) γ ∗ 1 (x) + (cid:0)p ∗ FsFc (x) + (cid:0)q ∗ FsFc ψ)(cid:1) ∗ FsFc p ∗ FsFc

.(cid:1) được xác định bởi (0.6). Trong đó, ξ(x) là hàm thuộc L1(R+) được xác định bởi (3.39) và tích chập suy rộng (cid:0). ∗ FsFc

∞ (cid:90)

b) Xét hệ hai phương trình tích phân loại hai có dạng

0 ∞ (cid:90)

f (x) + K10(x, u)g(u)du = p(x),

g(x) + (3.44) K11(x, u)f (u)du = q(x), x > 0.

∞ (cid:90)

Trong đó

ϕ(v)(cid:2)θ2(x − 1, u, v + µ) − θ2(x + 1, u, v + µ)(cid:3)dv, K10(x, u) = 1 2π

(cid:2)ψ(u + x) − sign(u − x)ψ(|u − x|)(cid:3), µ > 0, K11(x, u) = 1 √ 2π

với θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.11).

Định lý 3.1.7. Giả sử rằng ϕ(x), ψ(x), p(x), q(x) ∈ L1(R+) thỏa mãn

1 − e−µy sin y(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) (cid:54)= 0, ∀y > 0.

Khi đó hệ (3.44) có nghiệm duy nhất (f, g) trong (cid:0)L1(R+), L1(R+)(cid:1) cho bởi

γ ∗ 5

(cid:17) ξ (x), ξ(cid:1)(x) + (cid:16)(cid:0)q f (x) = p(x) − (cid:0)q ϕ(cid:1) ∗ Fc ϕ(cid:1)(x) − (cid:0)p ∗ Fc

FsFc

(cid:17) ξ(cid:1)(x) + (cid:16)(cid:0)ψ ∗ ξ (x). g(x) = q(x) − (cid:0)ψ ∗ FsFc p(cid:1)(x) − (cid:0)q ∗ FsFc p(cid:1) ∗ FsFc

Trong đó ξ(x) ∈ L1(R+) là hàm thỏa mãn

, (cid:0)Fcξ(cid:1)(y) = −e−µy sin y(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) 1 − e−µy sin y(Fcψ)(y)(Lϕ)(y)

.(cid:1) tương ứng được xác định bởi biểu thức (0.6) các tích chập (cid:0). ∗ FsFc .(cid:1) và (cid:0). ∗ Fc

và (1.45).

Chứng minh. Ta có thể viết lại hệ hai phương trình (3.44) dưới dạng

ϕ(cid:1)(x) = p(x),

γ f (x) + (cid:0)g ∗ 5 g(x) + (cid:0)f ∗ FsFc

f (cid:1)(x) = q(x). (3.45)

Bằng cách tác động phép biến đổi Fourier cosine lên hệ (3.45) đồng thời sử

dụng các đẳng thức nhân tử hóa (1.33) và (1.48), ta có

(3.46) (cid:0)Fcf (cid:1)(y) − e−µy sin y(cid:0)Fsg(cid:1)(y)(cid:0)Lϕ(cid:1)(y) = (cid:0)Fcp(cid:1)(y), (cid:0)Fsg(cid:1)(y) + (cid:0)Fsψ(cid:1)(y)(cid:0)Fcf (cid:1)(y) = (cid:0)Fsq(cid:1)(y).

Giải hệ hai phương trình tuyến tính (3.46), ta có

(cid:0)Fcf (cid:1)(y) = (cid:0)Fcp(cid:1)(y) + e−µy sin y(cid:0)Fsq(cid:1)(y)(cid:0)Lϕ(cid:1)(y) 1 + e−µy sin y(cid:0)Fsψ(cid:1)(y)(cid:0)Lϕ(cid:1)(y)

γ ∗ 5

γ ∗ 5 (cid:0)ψ

(cid:105) (cid:0)q ϕ(cid:1)(y)(cid:3)(cid:104) = (cid:2)(cid:0)Fcp(cid:1)(y) − Fc ϕ(cid:1)(y) 1 (cid:0)ψ 1 + Fc

γ ∗ 5

γ ∗ 5 (cid:0)ψ

γ ∗ 5

ϕ(cid:1)(y) Fc (cid:105) . (3.47) (cid:0)q ϕ(cid:1)(y)(cid:3)(cid:104) 1 − = (cid:2)(cid:0)Fcp(cid:1)(y) − Fc ϕ(cid:1)(y) 1 + Fc

Theo Định lý Wiener-Levy, tồn tại hàm ξ(x) ∈ L1(R+) sao cho

γ ∗ 5 (cid:0)ψ

γ ∗ 5

(cid:0)ψ ϕ(cid:1)(y) Fc (3.48) . (cid:0)Fcξ(cid:1)(y) = ϕ(cid:1)(y) 1 + Fc

Từ (3.47) và (3.48), ta có

(cid:0)q

γ ∗ 5

γ ϕ(cid:1)(y)(cid:3)(cid:2)1 − (cid:0)Fcξ(cid:1)(y)(cid:3) ∗ 5 (cid:0)p ∗ ϕ(cid:1)(y) − Fc Fc

(cid:17) (cid:16)(cid:0)q ξ (x). (cid:0)Fcf (cid:1)(y) =(cid:2)(cid:0)Fcp(cid:1)(y) − Fc (cid:0)q =(cid:0)Fcp(cid:1)(y) − Fc ξ(cid:1)(x) + Fc ϕ(cid:1) ∗ Fc

Suy ra,

γ ∗ 5

(cid:17) f (x) = p(x) − (cid:0)q ξ(cid:1)(x) + (cid:16)(cid:0)q ξ (x), ϕ(cid:1)(x) − (cid:0)p ∗ Fc ϕ(cid:1) ∗ Fc

và dễ thấy rằng f (x) ∈ L1(R+). Biến đổi tương tự, ta cũng nhận được

FsFc

(cid:17) ξ(cid:1)(x) + (cid:16)(cid:0)ψ ∗ ξ (x), g(x) = q(x) − (cid:0)ψ ∗ FsFc p(cid:1)(x) − (cid:0)q ∗ FsFc p(cid:1) ∗ FsFc

(cid:50) và g(x) ∈ L1(R+). Định lý đã được chứng minh.

∞ (cid:90)

Ngoài ra, ta có thể xét hệ phương trình (3.44) với cặp nhân

ϕ(v)(cid:2)θ1(x − 1, u, v + µ) − θ1(x + 1, u, v + µ)(cid:3)dv, K12(x, u) = 1 2π

(cid:2)ψ(u + x) + sign(u − x)ψ(|u − x|)(cid:3), µ > 0, (3.49) K13(x, u) = 1 √ 2π

với θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2). Khi đó bằng kỹ thuật biến đổi tương tự như trong phần chứng minh Định lý 3.1.7, ta cũng nhận được kết quả sau

đây.

Hệ quả 3.1.4. Giả sử các điều kiện như trong Định lý 3.1.7 được thỏa mãn và 1 − e−µy sin y(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) (cid:54)= 0, ∀y > 0. Khi đó hệ phương trình tích phân (3.44) với cặp nhân K12(x, t) và K13(x, t) được xác định bởi (3.49) có nghiệm duy nhất (f, g) trong (cid:0)L1(R+), L1(R+)(cid:1). Hơn nữa nghiệm có dạng

γ ∗ 6

(cid:17) f (x) = p(x) − (cid:0)q ξ(cid:1)(x) − ξ (x),

FcFs

(cid:17) ξ(cid:1)(x) − (cid:16)(cid:0)q γ ∗ 6 (cid:16)(cid:0)ψ ∗ ξ (x). g(x) = q(x) − (cid:0)ψ ∗ FcFs ϕ(cid:1)(x) + (cid:0)p ∗ FsFc p(cid:1)(x) + (cid:0)q ∗ Fc ϕ(cid:1) ∗ FsFc p(cid:1) ∗ Fc

Trong đó ξ(x) ∈ L1(R+) là hàm thỏa mãn

, (cid:0)Fcξ(cid:1)(y) =

e−µy sin y(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) 1 − e−µy sin y(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) .(cid:1) được xác định bởi (1.47). và tích chập suy rộng (cid:0). ∗ FcFs

3.2 Giải phương trình vi-tích phân

Cũng như phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân đến nay vẫn

chưa có một phương pháp giải chung nhất. Đúng hơn, người ta chỉ mới giải

quyết được một số trường hợp cụ thể nào đó. Đặc biệt việc giải các phương

trình vi-tích phân cho nghiệm dưới dạng đóng là không nhiều. Trong mục

này, bằng cách sử dụng các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Tk và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace Tk1,k2 đã nghiên cứu trong Chương 2 với sự hổ trợ của Định lý Wiener-Levy cho phép biến đổi Fourier cosine, chúng

ta sẽ giải một lớp phương trình vi-tích phân cho nghiệm dưới dạng đóng.

3.2.1 Giải phương trình vi-tích phân cấp hai

Xét phương trình vi-tích phân có dạng

(3.50)

f (x) − f (cid:48)(cid:48)(x) + (cid:0)Tkf (cid:1)(x) = g(x), x > 0, f (cid:48)(0) = f (0) = 0.

Trong đó k(x), g(x) là các hàm cho trước trong không gian L1(R+) và f (x) là hàm cần tìm.

Định lý 3.2.1. Nếu 1 + (cid:0)Lk(cid:1)(y) (cid:54)= 0, ∀y > 0, thì phương trình (3.50) có nghiệm duy nhất trong L1(R+). Hơn nữa, nghiệm có thể viết dưới dạng

(cid:17) (cid:104)(cid:0)g(t) ∗ e−t(cid:1)(x) − (cid:16)(cid:0)g(t) ∗ (cid:105) (x) , q (3.51) f (x) = e−t(cid:1) ∗ Fc (cid:114)π 2

(cid:19) (x). trong đó q(x) ∈ L1(R+) là hàm được xác định bởi q(x) = Fc (cid:18) (cid:0)Lk(cid:1)(y) 1+(cid:0)Lk(cid:1)(y)

Chứng minh. Phương trình (3.50) có thể viết lại dưới dạng

f (x) − f (cid:48)(cid:48)(x) + (cid:0)1 − (cid:1)(cid:0)f ∗ k(cid:1)(x) = g(x), (3.52) d2 dx2

f (cid:48)(0) = f (0) = 0.

Từ công thức (2.14.4) trong [6]

f (cid:48)(0) (cid:2)f (cid:48)(cid:48)(cid:3)(y) = −y2(cid:0)Fcf (cid:1)(y) − Fc (cid:114) 2 π

kết hợp với điều kiện của phương trình (3.52), suy ra

(3.53) (cid:2)f (cid:48)(cid:48)(cid:3)(y) = −y2(cid:0)Fcf (cid:1)(y) Fc

Khi đó, tác động phép biến đổi Fourier cosine Fc vào hai vế của phương trình (3.52), sử dụng công thức (3.53) và đẳng thức kiểu Parseval (1.3), ta có

(cid:0)Fcf (cid:1)(y) + y2(cid:0)Fcf (cid:1)(y) + (1 + y2)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y),

suy ra

(3.54) (cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:2)1 + y2 + (1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:3) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y).

Từ (3.54) và sử dụng công thức (2.13.5) trong [6]

(cid:0)Fce−t(cid:1)(y), 1 1 + y2 = (cid:114)π 2

ta có

(cid:104) (cid:105) 1 − (cid:0)Fcf (cid:1)(y) = (cid:0)Lk(cid:1)(y) 1 + (cid:0)Lk(cid:1)(y)

(cid:105) = (cid:104) (cid:0)Fcg(cid:1)(y)(cid:0)Fce−t(cid:1)(y) 1 − (cid:0)Fcg(cid:1)(y) 1 + y2 (cid:114)π 2 (cid:0)Lk(cid:1)(y) 1 + (cid:0)Lk(cid:1)(y)

(cid:105) (cid:104) e−t(cid:1)(y) 1 − . (3.55) = Fc (cid:0)g(t) ∗ Fc (cid:114)π 2 (cid:0)Lk(cid:1)(y) 1 + (cid:0)Lk(cid:1)(y)

∈ Ac. Hay (cid:0)Lk(cid:1)(y) 1+(cid:0)Lk(cid:1)(y)

là biến đổi Fourier cosine Fc của hàm q(x) ∈ L1(R+), sao cho Theo Bổ đề 1.1.1, do k(x) ∈ L1(R+) nên (cid:0)Lk(cid:1)(y) ∈ Ac. Từ điều kiện 1 + (cid:0)Lk(cid:1)(y) (cid:54)= 0, ∀y > 0 và Định lý Wiener-Levy, suy ra (cid:0)Lk(cid:1)(y) 1+(cid:0)Lk(cid:1)(y)

. (3.56) (cid:0)Fcq(cid:1)(y) = (cid:0)Lk(cid:1)(y) 1 + (cid:0)Lk(cid:1)(y)

Từ (3.55) và (3.56), ta có

(cid:0)Fcf (cid:1)(y) = e−t(cid:1)(y)(cid:2)1 − (cid:0)Fcq(cid:1)(y)(cid:3) Fc

(cid:17) (cid:16)(cid:0)g(t) ∗ (cid:105) (y) . q (3.57) = (cid:104) Fc e−t(cid:1)(y) − Fc (cid:0)g(t) ∗ Fc (cid:0)g(t) ∗ Fc e−t(cid:1) ∗ Fc (cid:114)π 2 (cid:114)π 2

Áp dụng phép biến đổi Fourier cosine Fc đối với (3.57) ta nhận được (3.51).(cid:50)

3.2.2 Giải phương trình vi-tích phân

a)Xét phương trình vi-tích phân có dạng

x > 0, (3.58)

f (x) + (cid:0)Tkf (cid:1)(x) = g(x), f (cid:48)(0) = f (0) = 0.

Trong đó k(x), g(x) là các hàm cho trước trong không gian L1(R+) và f (x) là hàm cần tìm.

Định lý 3.2.2. Nếu k(x), k(cid:48)(cid:48)(x) ∈ L1(R+), k(cid:48)(0) = k(0) = 0, với điều kiện 1 + L(cid:0)k + k(cid:48)(cid:48)(cid:1)(y) (cid:54)= 0, ∀y > 0 được thỏa mãn, thì phương trình (3.58) có nghiệm duy nhất trong L1(R+). Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạng

q(cid:1)(x), (3.59) f (x) = g(x) − (cid:0)g ∗ Fc

(cid:48)(cid:48)(cid:1)(y) 1+L(cid:0)k+k(cid:48)(cid:48)(cid:1)(y)

(cid:19) (cid:18) L(cid:0)k+k (x). ở đó q(x) ∈ L1(R+) là hàm được xác định bởi q(x) = Fc

Chứng minh. Phương trình (3.58) có thể viết lại dưới dạng

f (x) + (cid:0)1 − (cid:1)(cid:0)f ∗ k(cid:1)(x) = g(x), (3.60)

d2 dx2 f (cid:48)(0) = f (0) = 0.

Tác động phép biến đổi Fourier cosine Fc lên hai vế của phương trình (3.60) và sử dụng (1.3), ta có

(cid:0)Fcf (cid:1)(y) + (1 + y2)(cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:0)Lk(cid:1)(y) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y).

Suy ra

(3.61) (cid:0)Fcf (cid:1)(y)(cid:2)1 + (1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y)(cid:3) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y).

Từ (3.61) và các giả thiết của Định lý 3.2.2, ta có

(cid:105) (cid:104) (cid:0)Fcf (cid:1)(y) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y) 1 −

(3.62) (cid:104) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y) 1 − (1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y) 1 + (1 + y2)(cid:0)Lk(cid:1)(y) L(cid:0)k + k(cid:48)(cid:48)(cid:1)(y) (cid:105) . 1 + L(cid:0)k + k(cid:48)(cid:48)(cid:1)(y)

Lập luận tương tự như trong chứng minh của Định lý 3.2.1, suy ra tồn tại hàm q(x) ∈ L1(R+) sao cho

(3.63) . (cid:0)Fcq(cid:1)(y) = L(cid:0)k + k(cid:48)(cid:48)(cid:1)(y) 1 + L(cid:0)k + k(cid:48)(cid:48)(cid:1)(y)

Từ (3.62) và (3.63), ta có

q(cid:1)(y). (3.64) (cid:0)Fcf (cid:1)(y) = (cid:0)Fcg(cid:1)(y) − (cid:0)Fcg(cid:1)(y)(cid:0)Fcq(cid:1)(y) =(cid:0)Fcg(cid:1)(y) − Fc (cid:0)g ∗ Fc

Suy ra nghiệm được cho dưới dạng (3.59). Định lý đã được chứng minh. (cid:50)

b) Xét phương trình vi-tích phân có dạng

f (x) + (3.65) (cid:0)Tϕ,ψf (cid:1)(x) = g(x), x > 0.

d dx (cid:1)(x), ϕ1(x) ∈ H(R+), ϕ2(x) = (cid:0) sin t ∗

sin t(cid:1)(x) ϕ2 (cid:1)(x), ψ1(x) ∈ L2(R+). Hàm g(x) cho trước trong

Trong đó, ϕ(x) = (cid:0)ϕ1 ∗ L và ψ(x) = (cid:0) sech t ∗ ψ1 FsFc L2(R+) và f (x) là hàm cần tìm.

Định lý 3.2.3. Giả sử điều kiện sau thỏa mãn

(cid:16) < ∞, ∀y > 0. (3.66) (cid:104) 1 + (y + y3) sin y(cid:0)Lϕ(cid:1)(y) − (cid:0)Fsψ(cid:1)(y) (cid:17)(cid:105)−1(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Khi đó phương trình (3.65) có nghiệm duy nhất trong L2(R+). Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạng

g(cid:1)(x),

f (x) = g(x) − (cid:0)q ∗ FsFc ở đó q(x) ∈ L2(R+) là hàm được xác định bởi

(cid:0)Fcq(cid:1)(y) = (y + y3)(cid:2) sin y(cid:0)Lϕ(cid:1)(y) − (cid:0)Fsψ(cid:1)(y)(cid:3) 1 + (y + y3)(cid:2) sin y(cid:0)Lϕ(cid:1)(y) − (cid:0)Fsψ(cid:1)(y)(cid:3).

Chứng minh. Trước hết, ta viết lại phương trình (3.65) dưới dạng tương

đương sau

γ ∗ 3

− (cid:1)(cid:2)(cid:0)f ψ(cid:1)(x)(cid:3) = g(x). (3.67) ϕ(cid:1)(x) + (cid:0)f ∗ FcFs f (x) + (cid:0) d dx d3 dx3

Bằng cách sử dụng các đẳng thức kiểu Parseval (1.34) và (1.48), ta có

γ ∗ 3

− − (cid:1)(cid:0)f (cid:2)(cid:0) − sin yFsf (cid:1)(cid:0)Lϕ(cid:1)(cid:3)(x) (cid:1)Fc (cid:0) d dx d3 dx3 d3 dx3

(3.68) = Fs ϕ(cid:1)(x) = (cid:0) d dx (cid:2)(y + y3) sin y(cid:0)Fsf (cid:1)(cid:0)Lϕ(cid:1)(cid:3)(x),

và

− − (cid:1)Fs (cid:1)(cid:0)f ∗ FcFs (cid:0) d dx d3 dx3 d3 dx3

(3.69) ψ(cid:1)(x) = (cid:0) d dx = −Fs (cid:2)(cid:0)Fsf (cid:1)(cid:0)Fsψ(cid:1)(cid:3)(x) (cid:2)(y + y3)(cid:0)Fsf (cid:1)(cid:0)Fsψ(cid:1)(cid:3)(x).

Từ (3.67), (3.68) và (3.69), ta có

f (x) + Fs (cid:2)(y + y3) sin y(cid:0)Fsf (cid:1)(cid:0)Lϕ(cid:1)(cid:3)(x) − Fs (cid:2)(y + y3)(cid:0)Fsf (cid:1)(cid:0)Fsψ(cid:1)(cid:3)(x) = g(x).

Suy ra

(cid:0)Fsf (cid:1)(y) + (y + y3)(cid:2) sin y(cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Lϕ(cid:1)(y) − (cid:0)Fsf (cid:1)(y)(cid:0)Fsψ(cid:1)(y)(cid:3) = (cid:0)Fsg(cid:1)(y),

hay

(cid:17)(cid:105) (cid:16) 1 + (y + y3) (3.70) (cid:104) (cid:0)Fsf (cid:1)(y) sin y(cid:0)Lϕ(cid:1)(y) − (cid:0)Fsψ(cid:1)(y) = (cid:0)Fsg(cid:1)(y).

Từ (3.70) và điều kiện (3.66), ta có

(cid:105) . (3.71) 1 − (cid:104) (cid:0)Fsf (cid:1)(y) = (cid:0)Fsg(cid:1)(y) (y + y3)(cid:2) sin y(cid:0)Lϕ(cid:1)(y) − (cid:0)Fsψ(cid:1)(y)(cid:3) 1 + (y + y3)(cid:2) sin y(cid:0)Lϕ(cid:1)(y) − (cid:0)Fsψ(cid:1)(y)(cid:3)

Mặt khác, sử dụng (1.7) trong [34] và đẳng thức nhân tử hóa đối với tích

chập Laplace, ta có

(cid:1)(y)

= (cid:1)(y). (3.72) (cid:0)Lϕ1 (cid:0)Lϕ(cid:1)(y) = (cid:0)Lϕ1 (cid:1)(y)(cid:0)Lϕ2 (cid:1)(y)L(cid:0) sin t(cid:1)(y)L(cid:0) sin t(cid:1)(y) = (cid:0)Lϕ1 1 (1 + y2)2

Hơn nữa, từ công thức (1.9.1) trong [4]

(cid:0) sech t(cid:1)(y) = sech , Fc (cid:114)π 2 πy 2

và công thức (1.9.4) trong [4] cho trường hợp n = 1

√

(1 + y2) sech (cid:0) sech3 t(cid:1)(y), = Fc 2π 4 πy 2

kết hợp với đẳng thức nhân tử hóa (0.7), ta có

(cid:1)(y) (cid:0)Fsψ(cid:1)(y) = Fc

= (cid:1)(y). (3.73) (cid:0) sech3 t(cid:1)(y)(cid:0)Fsψ1 (cid:0) sech t(cid:1)(y)(cid:0)Fsψ1 2 1 + y2 Fc

Từ (3.72) và (3.73), ta có

= sin y (cid:1)(y). (y + y3)(cid:2) sin y(cid:0)Lϕ(cid:1)(y) − (cid:0)Fsψ(cid:1)(y)(cid:3) (cid:0)Lϕ1 (cid:1)(y) − 2yFc (cid:0) sech3 t(cid:1)(cid:0)Fsψ1 y 1 + y2

Khi đó, sử dụng công thức (2.13.6) trong [6]

(cid:0)Fse−t(cid:1)(y) = y 1 + y2 ,

và lấy tích phân từng phần, dễ dàng chứng minh được công thức sau

(cid:0) sinh t sech4 t(cid:1)(y), yFc (cid:0) sech3 t(cid:1)(y) = −3Fs

kết hợp với các đẳng thức nhân tử hóa (1.29) và (1.48), ta có

(y + y3)(cid:2) sin y(cid:0)Lϕ(cid:1)(y) − (cid:0)Fsψ(cid:1)(y)(cid:3)

(cid:1)(y) = (cid:0) sinh t sech4 t(cid:1)(cid:0)Fsψ1 (cid:1)(y) + 6Fs sin y(cid:0)Fse−t(cid:1)(y)(cid:0)Lϕ1

(cid:17) = (cid:16)(cid:0) sinh t sech4 t(cid:1) ∗ (y) (cid:1)(y) + 6Fc ψ1 ϕ1 (cid:0)e−t γ ∗ 3

FcFs (cid:105) (y) ∈ L2(R+).

(3.74) = Fc ϕ1 ψ1 (cid:0)e−t γ ∗ 3 (cid:1) + 6(cid:0) sinh t sech4 t(cid:1) ∗ FcFs (cid:114)π 2 (cid:114)π Fc 2 (cid:104)(cid:114)π 2

Từ (3.74) và điều kiện (3.66), suy ra tồn tại hàm q(x) ∈ L2(R+) sao cho

(3.75) (cid:0)Fcq(cid:1)(y) =

(y + y3)(cid:2) sin y(cid:0)Lϕ(cid:1)(y) − (cid:0)Fsψ(cid:1)(y)(cid:3) 1 + (y + y3)(cid:2) sin y(cid:0)Lϕ(cid:1)(y) − (cid:0)Fsψ(cid:1)(y)(cid:3). Từ (3.71) và (3.75), sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (0.7), ta có

(cid:0)Fsf (cid:1)(y) =(cid:0)Fsg(cid:1)(y) − (cid:0)Fsg(cid:1)(y)(cid:0)Fcq(cid:1)(y)

g(cid:1)(y). =(cid:0)Fsg(cid:1)(y) − Fs (cid:0)q ∗ FsFc

Suy ra

g(cid:1)(x), f (x) ∈ L2(R+). f (x) = g(x) − (cid:0)q ∗ FsFc

(cid:50) Định lý đã được chứng minh.

Tương tự phép biến đổi Tk1,k2, ta có thể ứng dụng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace để giải một lớp

phương trình vi-tích phân có dạng

γ ∗ 4

− (cid:1)(cid:2)(cid:0)f ψ(cid:1)(x)(cid:3) = g(x). (3.76) ϕ(cid:1)(x) + (cid:0)f ∗ FsFc f (x) + (cid:0) d dx d3 dx3

Ở đó các thông số được xác định như trong bài toán (3.65). Bằng kỹ thuật

biến đổi tương tự trong chứng minh Định lý 3.2.3 ta nhận được kết quả sau.

(cid:16) < ∞, ∀y > 0. (cid:104) 1 + (y + y3) sin y(cid:0)Lϕ(cid:1)(y) + (cid:0)Fsψ(cid:1)(y) Hệ quả 3.2.1. Giả sử điều kiện sau được thỏa mãn (cid:17)(cid:105)−1(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Khi đó phương trình (3.76) có nghiệm duy nhất trong L2(R+). Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạng

g(cid:1)(x),

f (x) = g(x) − (cid:0)q ∗ Fc ở đó q(x) ∈ L2(R+) là hàm được xác định bởi

(cid:0)Fcq(cid:1)(y) = (y + y3)(cid:2) sin y(cid:0)Lϕ(cid:1)(y) + (cid:0)Fsψ(cid:1)(y)(cid:3) 1 + (y + y3)(cid:2) sin y(cid:0)Lϕ(cid:1)(y) + (cid:0)Fsψ(cid:1)(y)(cid:3).

Kết luận chương 3

Ứng dụng từ các kết quả Chương 1 và Chương 2, ta nhận được:

• Điều kiện cần và đủ giải được một lớp các phương trình tích phân.

• Điều kiện đủ giải được một lớp hệ phương trình tích phân.

• Điều kiện đủ giải được một lớp phương trình vi-tích phân.

Các lớp phương trình và hệ phương trình trên đều cho nghiệm dưới dạng

đóng. Nội dung chính của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [1],

[2], [3] và [4], trong Danh mục công trình đã công bố của luận án.

KẾT LUẬN

Các kết quả chính của luận án là:

1. Xây dựng bốn tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi

Fourier cosine, Fourier sine và Laplace. Nhận được tính chất toán tử

của các tích chập, đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval,

Định lý kiểu Titchmarch. Thiết lập các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu

Saitoh đối với tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng trong các không gian Lp(R+) và Lp(R+, ρ) tương ứng.

2. Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Tk và tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine- Laplace Tk1,k2 với hàm trọng trong L2(R+). Nhận được Định lý kiểu Watson về điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi là unita, điều kiện

đủ để tồn tại biến đổi ngược. Định lý kiểu Plancherel về sự tồn tại một dãy hàm hội tụ theo chuẩn đến toán tử Tk1,k2 cũng được chứng minh.

3. Nhận được ứng dụng giải một số lớp phương trình tích phân, hệ phương

trình tích phân, phương trình vi-tích phân trong các không gian hàm L1(R+), L2(R+) và cho công thức nghiệm dưới dạng đóng.

Luận án mở ra một số hướng nghiên cứu mới sau:

• Nghiên cứu tích chập suy rộng Laplace rời rạc, các bất đẳng thức đối

với tích chập này và ứng dụng.

• Nghiên cứu tích chập Laplace, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập

Laplace và bất đẳng thức đối với tích chập này trong Time scales.

• Nghiên cứu tích chập Laplace hữu hạn, phép biến đổi tích phân kiểu

tích chập, bất đẳng thức đối với tích chập này và ứng dụng.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Adams R.A. and Fournier J.J.F. (2003), Sobolev Spaces, 2nd ed., Aca-

demic Press, 300pp.

[2] Al-Musallam F. and Tuan V.K. (2000), Integral transforms related to a

generalized convolution, Results in Mathematics, 38, No.3-4, pp.197-208.

[3] Anh P.K., Tuan N.M. and Tuan P.D. (2013), The finite Hartley new

convolutions and solvability of the integral equations with Toeplitz

plus Hankel kernels, Journal of Mathematical Analysis and Applications,

Vol.397, pp.537–549.

[4] Baterman H. and Erdelyi A. (1954), Tables of Intergral Transforms, Vol.

1, McGraw - Hill, New York, Toronto, London.

[5] Britvina L.E. (2005), A class of integral transforms related to the Fourier

cosine convolution, Intergral Transforms and Special Funtions, 16, No.5-

6, pp.379-389.

[6] Debnath L., Bhatta D. (2007), Integral Transforms and Their Applica-

tions, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton.

[7] Duc D.T. and Nhan N.D.V. (2008), On some convolution norm inequal- ities in weighted Lp(Rn; ρ) spaces and their applications, Math. Inequal. Appl., 11(3), pp.495-505.

[8] Gakhov F.D. and Cherskii Yu.I. (1948), Equation of Convolution Type,

Nauka, Moscow.

[9] Giang B.T., Mau N.V. and Tuan N.M. (2010), Convolutions for the

Fourier transforms with geometric variables and applications, Math.

Nachr., Vol.283, No.12, pp.1758-1770.

[10] Glaeske J. and Tuan V.K. (1995), Some applications of the convolu-

tion theorem of the Hilbert transform, Intergral Transforms and Special

Funtions, 3 p.263-268.

[11] Hai N.T. and Yakubovich S.B. (1992), The double Mellin-Barners type

integrals and their applications to convolution theory, World. Sci. Inter.

Publ. Singapore.

[12] Hirchman I.I. and Widder O.V. (1955), The convolution Transform,

Princeton, New Jersey.

[13] Hong N.T.(2010), Inequalities for Fourier cosine convolution and applica-

tions, Intergral Transforms and Special Funtions, Vol.21, No.10, pp.755-

763.

[14] Hong N.T., Tuan T. and Thao N.X. (2013), On the Fourier cosine-

Kontorovich-Lebedev generalized convolution transforms, Applications

of Mathematics, 58, No.4, pp.473-486.

[15] Kakichev V.A. (1967), On the convolution for integral transforms, Izv.

Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., (2), pp.53-62. (In Russian).

[16] Kakichev V.A., Thao N.X. and Hai N.T. (1996), Composition method to

construting convolutions for intergral transforms, Intergral Transforms

and Special Funtions, No.3, pp.235-242.

[17] Kakichev V.A. and Thao N.X. (1998), On the design method for the

generalized integral convolutions, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., (1),

pp.31-40. (In Russian).

[18] Kakichev V.A., Thao N.X. and Tuan V.K. (1998), On the generalized

convolutions for Fourier cosine and sine transforms, East-West Journal

of Mathematics, Vol.1 (1), pp.85-90.

[19] Kryzhniy V.V. (2003), Regularized inversion of integral transformations

of Mellin convolution type, Inverse Problems, Vol.19, pp.1227-1240.

[20] Luchko Y. (2008), Integral transforms of the Mellin convolution type and

their generating operators, Integral Transforms and Special Functions

Vol.19(11), pp.809-851.

[21] Naimark S. (1993), Inequalities in the most simple Sobolev space and Convolution of L2 Functions with weight, Proc. Amer. Math. Soc, 118, pp. 515-520.

[22] Nair V.C., Samar M.S. (1975), A relation between the Laplace transform

and the Mellin transform with applications, Sociedade Portuguesa de

Matemática, Vol.34 (3) pp.149-155.

[23] Nhan N.D.V. and Duc D.T. (2008), Fundamental inequalities for the it- erated Laplace convolution in weighted Lp spaces and their applications, Integr. Transform. and Special Funct., Vol.19, No.9, pp.655 - 664.

[24] Paley R.C. and Wiener N. (1949), Fourier Transforms in the Complex

Domain, Amer. Math. Soc., New York.

[25] Ryzhik I.M. and Gradshteyn I.S. (1951), Tables of Integrals, Sum, Series

and Products, Moscow.

[26] Saitoh S. (2000), Weighted Lp-norm inequalities in convolution, Sur- vey on Classical Inequalities, Kluwer Academic Pulishers, Amsterdam,

Vol.517, pp.225-234.

[27] Saitoh S., Tuan V.K. and Yamamoto M. (2000), Reverse weighted Lp- norm inequalities in convolutions and stability in inverse problems, J. of

Ineq. in Pure and App. Math., Vol.1(1), pp.1-7.

[28] Saitoh S., Tuan V.K. and Yamamoto M. (2002), Reverse convolution

inequalities and applications to inverse heat source problems, J. of Ineq.

in Pure and App. Math., 3, No.5, pp.1-11.

[29] Saitoh S., Tuan V.K. and Yamamoto M. (2003), Convolution inequalities

and applications, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathemat-

ics, Vol.4(3), pp.1-8.

[30] Saitoh S., Tuan V.K. and Yamamoto M. (2001), Conditional stability of

a real inverse formula for the Laplace transform, Zeitschrift f¨ur Analysis

und ihre Anwendungen, 20, No.1, pp.131-142.

[31] Saitoh S., Tuan V.K. and Yamamoto M. (2002), Reverse convolution in-

equalities and applications to inverse heat source problem, J. of Inequal.

Pure and Appl. Math., 3(5), Article 80.

[32] Sirvastava H.M. and Tuan V.K. (1995), A new convolution theorem for

the Stieltjes transform and its application to a class of singular integral

equations, Arch. Math., 64, No.2, pp.144-149.

[33] Sneddon I.N. (1951), Fourier Transforms, McGray-Hill, New York.

[34] Schiff J.L. (1999), The Laplace Transforms: Theory and Applications,

Springer-Verlag, New York, Inc.

[35] Stein E.M. and Weiss G. (1971), Introduction to Fourier Analysis on

Euclidean Spaces, Princeton University Press, Princeton, N.J.

[36] Thao N. X. and Hai N.T. (1997), Convolutions for integral transform and

their application, Computer Centre of the Russian Academy, Moscow, 44

pp. (In Russian).

[37] Thao N.X. and Khoa N.M. (2005), On the generalized convolution with a

weight function for Fourier, Fourier cosine and sine transforms, Vietnam

Journal of Mathematies, Vol.33, No.4, pp.421-436.

[38] Thao N.X. and Virchenko N.O. (2012), On the generalized convolution for Fc, Fs , and K-L integral transforms, Ukrainian Mathematical Jour- nal, Vol.64, (1), pp.89-101.

[39] Thao N.X., Tuan V.K. and Khoa N.M. (2004), A generalized convolu-

tion with a weight-function for the Fourier cosine and sine transforms,

Fractional Calculus and Applied Analysis, Vol.7, No.3, pp.323-337.

[40] Thao N.X., Tuan V.K. and Hong N.T. (2007), Integral transforms of

Fourier cosine and sine generalized convolution type, Int. J. Math. Math.

Sci., Vol.2007, pp.1-11.

[41] Thao N.X., Tuan V.K. and Hong N.T. (2008), Integral transforms related

to the Fourier sine convolution with a weight function, Vietnam J. Math.,

(1), pp.83-101.

[42] Thao N.X., Tuan V.K. and Hong N.T. (2012), A Fourier generalized

convolution transform and applications to integral equations, Fractional

Calculus and Applied Analysis, 15, No.3, pp.493-508.

[43] Thao N.X. and Anh H.T.V. (2014), On the Hartley-Fourier sine general-

ized convolution, Mathematical Methods in the Applied Sciences, Vol.37

(15), pp.2308-2319.

[44] Titchmarch E.C. (1986), Introduction the Theory of Fourier Intergrals,

Third Edition. Chelsea Publishing Co., New York.

[45] Tuan T., Thao N.X., Mau N.V. (2010), On the generalized convolution

for the Fourier sine and the Kontorovich-Lebedev transforms, Acta Math.

Vietnam., Vol.35 (2), pp.303-317.

[46] Tuan V.K. (1990), Modified Laplace transforms and a multidimensional

H-transform, Dokl. Akad. Nauk. USSR, 313, No.6, pp.1299-1302. (In

Russian)

[47] Tuan V.K. and Saigo M. (1995), Convolution of Hankel transform and its

application to an integral involving Bessel function of first kind, Internat.

J. Math. Math. Sci., 18, No.3, pp.545-550.

[48] Tuan V.K. and Tuan T. (2012), A real-variable inverse formula for the

Laplace transform, Intergral Transforms and Special Funtions, Vol.23,

No.8, pp.551-555.

[49] Tuan V.K. (1999), Integral transforms of Fourier cosine convolution type,

J. Math. Anal. Appl., 229, pp.519-529.

[50] Vilenkin Y.Ya. (1958), Matrix elements of midecomsale unitary repre-

sentations for motions group of the Lobachevskii’s space and generalized

Mehler-Fox transforms, Dokl. Akad. Nauk. USSR, Vol.118(2), pp.219-

222. (In Russian).

[51] Yakubovich S.B. (1990), On the construction method for construction

of integral convolution, DAN BSSSR, 34(7), pp.588-591.

[52] Yakubovich S.B. (2006), Certain isometrics related to the bilaterral

Laplace transforms, Modeling and Analysis, Vol.11, No.3, pp.331-346.

[53] Yakubovich S.B. (2003), Integral transforms of the Kontorovich-Lebedev

convolution type, Collect. Math., Vol.54(2), pp.99-110.

[54] Yakubovich S.B. and Britvina L.E. (2010), Convolution related to the

Fourier and Kontorovich-Lebedev transforms revisited, Int. Trans. and

Spec. Func., Vol.21 (4), pp.259-276.

[55] Yakubovich S.B. and Moshinskii A.I. (1993), Integral equations and con-

volutions related to the Kontorovich-Lebedev type integral transforms,

Differentzial’nye uravneniya, 29, No.7, pp.1272-1284. (in Russian).

[56] Widder D.V.(1941), The Laplace Transforms,Princeton University Press.

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA

LUẬN ÁN

1. Nguyen Xuan Thao, Trinh Tuan and Le Xuan Huy (2013), The

Fourier-Laplace generalized convolutions and applications to

integral equations, Vietnam Journal of Mathematics, Vol.41,

pp.451-464.

2. Nguyen Xuan Thao, Trinh Tuan and Le Xuan Huy (2014), The

generalized convolutions with a weight function for Laplace

transform, Nonlinear Functional Analysis and Applications,

Vol.19, No.1, pp.61–77.

3. Le Xuan Huy and Nguyen Xuan Thao (2014), On the Laplace

generalized convolution transform, Annales Univ. Sci. Budapest.

Sect. Comp., Vol.43, pp.303–316.

4. Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan, Le Xuan Huy and Nguyen

Thanh Hong (2015), On the Fourier–Laplace convolution trans-

forms, Integral Transforms and Special Functions, Vol.26 (4),

pp.303-313. (ISI)

Luận án Tiến sĩ: Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và ứng dụng

TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE,

FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE,

FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã ngành: 62460102

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

a. Một số phép biến đổi tích phân và tích chập

b. Một số không gian hàm

MỞ ĐẦU

Chương 1

TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE

1.1 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace

1.2 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier

sine-Laplace với hàm trọng

1.3 Mối liên hệ giữa tích chập suy rộng Fourier-

Laplace và các tích chập khác

1.4 Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng

Fourier cosine-Laplace với hàm trọng

1.4.1 Định lý kiểu Young

1.4.2 Định lý kiểu Saitoh

Kết luận Chương 1

Chương 2

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP

SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE

2.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập

suy rộng Fourier cosine-Laplace

2.1.1 Định lý kiểu Watson

2.1.2 Liên hệ giữa phép biến đổi tích phân với các đạo

hàm

2.2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập

suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace

với hàm trọng

2.2.1 Định lý kiểu Watson

2.2.2 Định lý kiểu Plancherel

Kết luận Chương 2

Chương 3

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

3.1 Giải phương trình và hệ phương trình tích

phân

3.1.1 Giải phương trình tích phân

3.1.2 Giải hệ phương trình tích phân

3.2 Giải phương trình vi-tích phân

3.2.1 Giải phương trình vi-tích phân cấp hai

3.2.2 Giải phương trình vi-tích phân

Kết luận chương 3

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA

LUẬN ÁN

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi