Luận án Tiến sỹ Vật lý: Hiệu ứng trộn của các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1 và mô hình 3-3-1-1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------

ĐẶNG TRUNG SĨ

HIỆU ỨNG TRỘN CỦA CÁC BOSON CHUẨN TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VÀ MÔ HÌNH 3-3-1-1

LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ

HÀ NỘI – 2017

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ……..….***…………

ĐẶNG TRUNG SĨ HIỆU ỨNG TRỘN CỦA CÁC BOSON CHUẨN TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VÀ MÔ HÌNH 3-3-1-1

LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 62440103

Người hướng dẫn khoa học

1. PGS.TS. Nguyễn Thanh Phong

2. TS. Phùng Văn Đồng

Hà Nội – 2017

i

Lời cảm ơn

Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến

hai thầy hướng dẫn, PGS.TS. Nguyễn Thanh Phong, Trường Đại học Cần

Thơ, TS. Phùng Văn Đồng, Viện Vật lý Hà Nội đã nhận tôi làm Nghiên

cứu sinh và đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi

để tôi hoàn thành luận án này.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý thầy cô đã tham gia giảng dạy, hướng

dẫn tôi hoàn thành chương trình Nghiên cứu sinh. Quý thầy cô đã truyền

đạt cho tôi những kiến thức vô cùng quý báu. Đó chính là nền tảng để tôi

hoàn thành luận án của mình, cũng như công tác giảng dạy và hoạt động

khoa học sau này.

Tôi xin cảm ơn Phòng đào tạo Sau Đại học, Viện Vật lý Hà Nội, Học

viện Khoa học và Công nghệ và cơ quan tôi công tác đã giúp tôi hoàn

thành các thủ tục hành chính trong quá trình tôi làm nghiên cứu sinh và

bảo vệ luận án.

Cuối cùng, tôi chân thành biết ơn sâu sắc nhất đến gia đình, đặc biệt

là vợ và con trai tôi đã động viên và hỗ trợ về mọi mặt để tôi yên tâm

nghiên cứu và hoàn thành luận án này.

ii

Lời cam đoan

Luận án này là kết quả mà tôi đã thực hiện trong suốt thời gian làm

nghiên cứu sinh. Cụ thể, chương hai và chương ba tôi đã sử dụng kết quả

hai công trình đã công bố năm 2014 và 2016 mà tôi thực hiện cùng với

thầy hướng dẫn TS Phùng Văn Đồng. Phần kết luận là tổng kết lại các

kết quả mà luận án đạt được.

Tôi cam đoan rằng tất cả kết quả trình bày trong luận án này là mới

và trung thực.

iii

Mục lục

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan

ii

Danh sách thuật ngữ viết tắt v

Danh sách hình vẽ vi

Danh sách bảng x

Mở đầu 1

Chương 1. Tổng quan 6

1.1 Mô hình chuẩn ….…………………………………………..……….. 7

1.2 Các vấn đề ngoài SM ……………………...……………………….. 11

Chương 2. Tách biệt các mô hình 3-3-1 16

2.1 Mô hình 3-3-1 .................................................................................... 16

2.2 Đồng nhất các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1 ............................... 20

2.3 Tham số ρ, cực Landau và FCNCs trong mô hình 3-3-1 ................... 25

2.3.1 Tham số ρ trong mô hình 3-3-1 ................................................ 25

2.3.2 Cực Landau trong mô hình 3-3-1 ............................................. 27

2.3.3 FCNCs trong mô hình 3-3-1 ..................................................... 32

2.4 Biện luận kết quả ............................................................................... 40

Chương 3. Hiệu ứng trộn động năng trong mô hình 3-3-1-1 42

3.1 Mô hình 3-3-1-1 ................................................................................. 42

3.2 Đồng nhất các boson chuẩn có tính đến trộn động năng trong

mô hình 3-3-1-1 …………………………………………………….. 51

3.3 Tham số ρ và FCNCs trong mô hình 3-3-1-1 .. …………………….. 58

iv 3.3.1 Tham số ρ trong mô hình 3-3-1-1 ............................................ 58

3.3.2 FCNCs trong mô hình 3-3-1-1 ................................................. 71

3.4 Biện luận kết quả ............................................................................... 78

Chương 4. Kết luận 80

Danh sách các công bố của tác giả 82

Tài liệu tham khảo 83

Phụ lục 89

A. Các quá trình phá vỡ đối xứng 3-3-1 89

B. Tìm các hệ số

,α ,β γ và

',α ',β 'γ của toán tử điện tích Q

và tích B-L 92

B.1 Tìm các hệ số

,α ,β γ của toán tử điện tích Q …………………… 92

B.2 Tìm các hệ số

',α ',β 'γ của tích B-L …….……………………….. 93

v

Danh sách thuật ngữ viết tắt

Trong luận án tôi sử dụng các ký hiệu sau:

Tên

Viết tắt SM LHC FCNCs

Standard Model (Mô hình chuẩn) Large Hadron Collider (Máy gia tốc Hadron lớn) Flavor-Changing Neutral Currents (Dòng trung hòa thay đổi số vị) Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire

CERN

ATLAS CMS QCD BBN CMB

LEP

(Trung tâm nghiên cứu hạt nhân Châu Âu) A Toroidal LHC ApparatuS Compact Muon Solenoid Quantum Chromodynamics (Sắc động học lượng tử) Big-Bang nucleosynthesis Cosmic Microwave Background (Bức xạ nền vũ trụ) Charge conjugation-Parity (Liên hiệp điện tích-Chẵn lẻ) CP Large Electron-Positron collider (Máy gia tốc tán xạ Electron-Positron năng lượng cao)

vi

Danh sách hình vẽ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1 Sự thay đổi của góc trộn điện yếu theo thang năng lượng µ trong M331 (đường đứt) và C331 (đường liền) trong trường hợp µ < µ331.

2.2 Miền giá trị (u, w) được giới hạn bởi các tham số 0.00016 < ∆ρ < 0.00064 và 3.6 TeV < w < 5 TeV. Trong đó u chạy từ 0 đến 246 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 Miền giá trị (u, w) được giới hạn bởi các tham số −0.001 < ϕ < 0.001 và 3.6 TeV < w < 5 TeV. Trong đó u chạy từ 0 đến 246 GeV.

3.1 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤

. . . 59

3.2 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤

√ 3 và Λ (cid:29) w. ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = −1/

. . . . 60

√ 3 và Λ (cid:29) w. ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = 1/

3.3 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ 3, Λ (cid:29) w và đường

. . . . . . . . 61

√

∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = − nằm ngang ướng với cực Landau w = 5 TeV.

3.4 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ 3,

√ √

3, β(cid:48) = −2/ . . . . . . . . . . . . . . . 62 ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = −1/ tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = −0.9.

3.5 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ 3,

√ √

3, β(cid:48) = −2/ . . . . . . . . . . . . . . . 63 ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = −1/ tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = −0.5.

3.6 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ 3,

√ √ 3, β(cid:48) = −2/

∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = −1/ tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = −0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 64

vii

3.7 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ 3,

√ √

3, β(cid:48) = −2/ . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = −1/ tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = 0.1.

3.8 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ 3,

√ √

3, β(cid:48) = −2/ . . . . . . . . . . . . . . . . 65 ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = −1/ tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = 0.5.

3.9 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ 3,

√ √

3, β(cid:48) = −2/ . . . . . . . . . . . . . . . . 66 ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = −1/ tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = 0.9.

3.10 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ 3,

√ √

3, β(cid:48) = −2/ . . . . . . . . . . . . . . . 66 ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = 1/ tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = −0.9.

3.11 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ 3,

√ √

3, β(cid:48) = −2/ . . . . . . . . . . . . . . . 67 ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = 1/ tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = −0.5.

3.12 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ 3,

√ √

3, β(cid:48) = −2/ . . . . . . . . . . . . . . . 67 ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = 1/ tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = −0.1.

3.13 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ 3,

√ √

3, β(cid:48) = −2/ . . . . . . . . . . . . . . . . 68 ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = 1/ tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = 0.1.

3.14 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ 3,

√ √

3, β(cid:48) = −2/ . . . . . . . . . . . . . . . . 68 ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = 1/ tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = 0.5.

3.15 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ 3,

√ √

3, β(cid:48) = −2/ . . . . . . . . . . . . . . . . 69 ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = 1/ tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = 0.9.

3.16 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = − 3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = −0.8. Trong trường hợp này cực Landau được chọn là w = 5 TeV. . . . . . . . . . . . . . . . 69

√ √ 3, β(cid:48) = −2/

viii

3.17 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ 3, ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = − tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = −0.3. Trong trường hợp này cực Landau được chọn là w = 5 TeV. . . . . . . . . . . . . . . . 70

√ √ 3, β(cid:48) = −2/

3.18 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = − 3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = −0.1. Trong trường hợp này cực Landau được chọn là w = 5 TeV. . . . . . . . . . . . . . . . 70

√ √ 3, β(cid:48) = −2/

3.19 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ 3, ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = − tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = 0.1. Trong trường hợp này cực Landau được chọn là w = 5 TeV. . . . . . . . . . . . . . . . 71

√ √ 3, β(cid:48) = −2/

3.20 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = − 3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = 0.5. Trong trường hợp này cực Landau được chọn là w = 5 TeV. . . . . . . . . . . . . . . . 72

√ √ 3, β(cid:48) = −2/

3.21 Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số 0.00016 ≤ 3, ∆ρ ≤ 0.00064 cho trường hợp β = − tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = 0.9. Trong trường hợp này cực Landau được chọn là w = 5 TeV. . . . . . . . . . . . . . . . 73

√ √ 3, β(cid:48) = −2/

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.22 Đồ thị giới hạn thang vật lý mới theo tham số trộn động năng δ bởi các đường contour |E1,2| = 10−3, cho mô hình 3, tN = 0.5, Λ = 2w, u = v = β = −1/ √ 246/

√ √ 3, β(cid:48) = −2/

2 GeV.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.23 Đồ thị giới hạn thang vật lý mới theo tham số trộn động năng δ bởi các đường contour |E1,2| = 10−3, cho mô hình β = 1/ 3, tN = 0.5, Λ = 2w, u = v = 246/

√ √ 3, β(cid:48) = −2/ √ 2 GeV.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.24 Đồ thị giới hạn thang vật lý mới theo tham số trộn động năng δ bởi các đường contour |E1,2| = 10−3, cho mô hình β = − 3, tN = 0.5, Λ = 2w, u = v = √ 246/

√ √ 3, β(cid:48) = −2/

2 GeV.

3.25 Giới hạn thang vật lý mới theo tham số trộn động năng δ từ biểu thức ràng buộc (3.80) cho mô hình có β = −1/

√ 3. . 77

ix

√ 3. . 77

3.26 Giới hạn của thang vật lý mới theo tham số trộn động năng δ từ biểu thức ràng buộc (3.80) cho mô hình có β = 1/ 3.27 Giới hạn của thang vật lý mới theo tham số trộn động năng δ từ biểu thức ràng buộc (3.80) cho mô hình có β = −

√ 3. . 78

x

Danh sách bảng

2.1 Giá trị của các hằng số tương tác của Z với các fermion. . . 35 2.2 Giá trị của các hằng số tương tác của Z (cid:48) với các fermion. . 36

1

Mở đầu

Mô hình chuẩn (SM) mô tả các hạt cơ bản và tương tác đã rất thành công, nhất là khi hạt Higgs (nguồn gốc của khối lượng cho mọi hạt khác) đã được kiểm chứng ở thực nghiệm LHC - Thuỵ Sĩ. Điều này tiếp tục khẳng định thêm sự thành công của SM. Tuy vậy, SM không trả lời được các câu hỏi như: số thế hệ fermion, sự lượng tử hóa điện tích, khối lượng neutrino khác không, vật chất tối, bất đối xứng số baryon của vũ trụ và một số vấn đề khác của vật lý mới. Đã có các giải thích như: cơ chế seesaw, lý thuyết thêm chiều, và thống nhất lớn SU (5) và SO(10). Ngoài ra, vấn đề neutrino, bất đối xứng số baryon của vũ trụ cũng đã được nghiên cứu qua các nhóm gián đoạn S4, A4. . . thông qua cơ chế seesaw. Tuy nhiên, hầu hết các lý thuyết này làm việc ở thang quá cao (cỡ 1016 GeV) nên rất khó kiểm chứng bởi các máy gia tốc hiện nay.

Những khó khăn trên của SM phần nào được giải quyết hợp lý trong phạm vi các mô hình 3-3-1, các mô hình này được mở rộng trực tiếp từ SM (xem mục 1.2). Tuy nhiên, các thang vật lý trong lớp mô hình 3-3-1 tối thiểu bị giới hạn rất chặt bởi cực Landau và dòng trung hòa thay đổi số vị (FCNCs). Mô hình 3-3-1 tối thiểu có ba phiên bản là mô hình 3-3-1 tối giản (reduced 3-3-1 model), mô hình 3-3-1 đơn giản (simple 3-3-1 model) và mô hình 3-3-1 tối thiểu với ba tam tuyến vô hướng (minimal 3-3-1 model). Cực Landau trong mô hình 3-3-1 tối thiểu có giá trị < 4 − 5.7 TeV còn kết quả thực nghiệm về FCNCs cho giới hạn thang vật lý mới w > 3.6 TeV. Trong luận án này, chúng tôi xác định khoảng giá trị cho phép của các thang vật lý khi tính đến tham số ρ (hay ∆ρ) phải thỏa mãn điều kiện thực nghiêm, 0.0016 < ∆ρ < 0.0064. Kết quả là miền được phép của các thang vật lý

2

trong các mô hình này được xác định như sau: (i) mô hình 3-3-1 tối giản là không phù hợp do vật lý mới trong mô hình này trên cực Landau; (ii) mô hình 3-3-1 đơn giản cho giá trị của vật lý mới dưới cực Landau, nhưng giá trị này lại quá nhỏ so với giới hạn thực nghiệm về FCNCs; (iii) mô hình 3-3-1 tối thiểu với ba tam tuyến vô hướng, vật lý mới bị giới hạn rất chặt bởi các ràng buộc trên. Trong miền giới hạn này, chúng ta luôn có được giá trị của thang điện yếu và thang vật lý mới (u, w) sao cho góc trộn giữa boson chuẩn trung hòa trong SM và boson chuẩn trung hòa trong mới trong mô hình 3-3-1 (Z − Z (cid:48)) là nhỏ, phù hợp với các dữ liệu thực nghiệm.

Mô hình 3-3-1 khi kể đến bảo toàn số baryon trừ lepton (B − L) chính là mô hình 3-3-1-1. Hiệu ứng trộn động năng giữa hai nhóm chuẩn U (1) trong mô hình 3-3-1-1 không được xét đến trong các mô hình (công bố) trước đây, mặc dù số hạng này bất biến chuẩn và không bị loại bỏ bởi định nghĩa lại trường chuẩn. Hiệu ứng trộn động năng làm thay đổi phổ khối lượng của các boson chuẩn trung hòa trong mô hình 3-3-1-1 ban đầu. Trộn giữa hai boson chuẩn trung hòa mới Z (cid:48), C (cid:48) ngoài đóng góp do đối xứng chuẩn 3-3-1-1 bị phá vỡ còn do đóng góp từ số hạng trộn động năng. Hai đóng góp này là tương đương nhau. Đặc biệt, trộn của Z (cid:48)-C (cid:48) bằng không, khi đó hệ thức sau thỏa mãn (xuất hiện): δ = (β(cid:48)gN )/(βgX), trong đó gN , gX tương ứng là hằng số tương tác của U (1)N và U (1)X, trong khi đó β(cid:48) và β xác định tích B − L và điện tích Q trong đối xứng chuẩn 3-3-1-1. Khi có đóng góp của trộn động năng thì vật lý mới trong mô hình 3-3-1-1 không cần quá cao. Hơn nữa, trộn của các meson cũng được đóng góp từ trộn động năng. Điều này rất có ý nghĩa cho những nghiên cứu mới có liên quan.

Các vấn đề trên, chúng ta sẽ thấy rõ hơn ở những phần sau của luận

án.

3

Mục đích nghiên cứu

• Nghiên cứu hiệu ứng trộn của các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1, khảo sát tham số ρ khi xét đến cực Landau và kết quả thực nghiệm về FCNCs ở mức cây để tách biệt các mô hình 3-3-1.

• Nghiên cứu hiệu ứng trộn của các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1-1 có xét đến số hạng trộn động năng. So sánh với kết quả thực nhiệm về FCNCs, tham số ρ để giới hạn thang vật lý mới.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3-3-1 và mô hình 3-3-1-1.

• Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu các boson chuẩn trong mô hình

• Phạm vi nghiên cứu: Mô hình 3-3-1 và mô hình 3-3-1-1.

Nội dung nghiên cứu

• Nghiên cứu lý thuyết của mô hình 3-3-1.

và FCNCs trong mô hình 3-3-1.

• Đồng nhất các boson chuẩn; khảo sát tham số ρ; xác định cực Landau

• Nghiên cứu lý thuyết của mô hình 3-3-1-1.

• Đồng nhất các boson chuẩn; khảo sát tham số ρ; FCNCs trong mô hình 3-3-1-1 trong trường hợp có xét đến số hạng trộn động năng giữa hai nhóm chuẩn U (1).

Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng lý thuyết trường lượng tử.

4

• Lý thuyết nhóm.

tham số trong mô hình.

• Sử dụng phần mềm Mathematica để hỗ trợ tính toán và khảo sát các

Đóng góp của luận án

Miền giá trị khả dĩ của thang điện yếu và thang vật lý mới (u, w) trong lớp mô hình 3-3-1 tối thiểu bị giới hạn rất chặt bởi cực Landau và từ thực nghiệm về FCNCs ở mức cây do trộn của meson K 0 − ¯K 0. Theo đó, mô hình 3-3-1 tối giản và mô hình 3-3-1 đơn giản là không phù hợp với các giới hạn trên vì giá trị khả dĩ của thang vật lý mới w trong hai mô hình này nằm ngoài miền giới hạn cho phép. Trong khi đó, mô hình 3-3-1 tối thiểu với ba tam tuyến vô hướng thì miền giá trị khả dĩ của (u, w) là rất hẹp. Trong miền cho phép đó, chúng ta luôn có được giá trị của (u, w) đảm bảo cho góc trộn giữa Z − Z (cid:48) nhỏ, phù hợp với các dữ liệu thực nghiệm.

Hiệu ứng trộn động năng giữa hai nhóm chuẩn U (1) trong mô hình 3- 3-1-1 không được xét đến trong các mô hình (công bố) trước đây, mặc dù số hạng này bất biến chuẩn và không bị loại bỏ bởi định nghĩa lại trường chuẩn. Đóng góp của trộn động năng làm thay đổi phổ khối lượng của các boson chuẩn trung hòa trong mô hình 3-3-1-1 ban đầu. Các hằng số tương tác (đo được) của boson chuẩn Z với các fermion cũng bị thay đổi. Đặc biệt là khi có đóng góp của trộn động năng thì vật lý mới không phải quá cao (cỡ 3 TeV). Mức năng lượng này nằm trong miền đo được của các máy gia tốc hiện nay.

Mặt khác, hiệu ứng trộn động năng cũng liên quan đến các vấn đề như trộn của các meson, và các vấn đề liên quan đến vật lý mới, v.v. Điều này rất có ý nghĩa cho những nghiên cứu mới có liên quan.

5

Bố cục luận án

Trong luận án này, ngoài phần mở đầu và phụ lục, nội dung chính của

luận án gồm 3 chương và phần kết luận:

Chương 1, chúng tôi giới thiệu sơ lược về SM và những vấn đề ngoài

SM cần phải được giải quyết bởi các mô hình mở rộng.

Chương 2, chúng tôi giới thiệu mô hình 3-3-1 một cách tổng quát, xác định cực Landau, đồng nhất các boson chuẩn, tính tham số ∆ρ và FCNCs.

Chương 3, chúng tôi giới thiệu tổng quát về mô hình 3-3-1-1, đồng nhất các boson chuẩn có tính đến trộn động năng, tính tham số ∆ρ và FCNCs. Khảo sát tham số E, tham số ∆ρ trong điều kiện ràng buộc với kết quả thực nghiệm. Từ đó, giới hạn cho miền giá trị phù hợp với thực nghiệm của các thang năng lượng u, v, w và Λ.

Phần kết luận, chúng tôi tóm tắt lại những kết quả chính của luận án

và đưa ra hướng nghiên cứu tiếp theo.

6

Chương 1

Tổng quan

Đối với Vật lý hạt cơ bản, thế kỉ 20 là thế kỉ dành cho việc hoàn thiện các lý thuyết (mô hình) vật lý đã có dựa vào các phép đo thực nghiệm được tiến hành trên các thiết bị thí nghiệm hiện đại, đặc biệt với Vật lý hạt cơ bản là các máy gia tốc hadron lớn (máy gia tốc năng lượng cao) mới được hoàn thiện gần đây. Một trong những lý thuyết thành công ở thế kỉ này là SM mô tả các hạt cơ bản và các tương tác, tiếp tục khẳng định sự phù hợp với thực nghiệm liên quan đến sự kiện khám phá một loại hạt mới có spin nguyên và khối lượng vào cỡ 125 GeV vào ngày 4 tháng 7 năm 2012, bởi máy gia tốc năng lượng cao LHC tại CERN-Thụy Sĩ bằng hai thiết bị đo độc lập là ATLAS và CMS. Và gần đây nhất, ngày 14 tháng 3 năm 2013, người ta đã xác nhận hạt mới tìm được tại LHC là hạt vô hướng thực (spin 0, số parity là chẵn), mang nhiều tính chất tương đồng với hạt Higgs được tiên đoán trong lý thuyết của SM. Như vậy, các tiên đoán của SM đều đã được thực nghiệm xác nhận. Có thể nói, SM với ba thế hệ fermion, các hạt truyền tương tác và hạt Higgs đã giải thích mọi hiện tượng vi mô liên quan đến vật chất thông thường của vũ trụ với độ chính xác rất cao.

7

1.1 Mô hình chuẩn

SM mô tả thống nhất giữa lý thuyết điện yếu và lý thuyết sắc động lực học lượng tử, dựa trên nhóm chuẩn: SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y , trong đó SU (3)C là nhóm đối xứng màu tác động lên các quark mang tích màu, SU (2)L là nhóm tác động lên các fermion phân cực trái, U (1)Y là nhóm chuẩn gắn với số lượng tử là siêu tích yếu Y .

Thành phần vật chất thông thường cấu tạo nên vũ trụ [3] được chia như sau: (1) các fermion có spin bằng 1/2, bao gồm các lepton e, νe, µ, νµ, τ , ντ và các quark u, c, d, s, t, b. Đối với quark còn có thêm số lượng tử màu nhưng trong thực nghiệm thì không quan sát thấy màu của quark, nghĩa là không có quark tự do, các quark đã bị cầm tù trong các hadron. Các hadron bao gồm các bayron và meson, các bayron có spin bán nguyên (1/2, 3/2,...) được tạo thành từ ba quark, chẳng hạn như proton và neutron. Các meson có spin nguyên (0, 1, 2...) được tạo thành từ một quark và một phản quark; (2) các boson truyền tương tác có spin bằng 1 gồm: photon (hạt không có khối lượng) là hạt truyền tương tác điện từ, ba boson W ±, Z là những hạt có khối lượng và truyền tương tác yếu, 8 gluon (không khối lượng) là hạt truyền tương tác mạnh giữa các quark.

Lý thuyết điện yếu được xây dựng nhằm khắc phục những hạn chế của lý thuyết Fermi (không tái chuẩn hóa được), khi mà Glashow nhận thấy tương tác yếu được truyền bởi ba hạt W ± và Z nên có thể thống nhất tương tác yếu và tương tác điện từ cùng nhau. Như vậy, khi hai loại tương tác này được thống nhất thì có bốn dòng: dòng mang điện J ± µ tương tác với boson chuẩn W ±; dòng trung hòa J 0 µ tương tác với Zµ; và dòng điện từ J em tương tác với photon Aµ. Để mô tả bốn dòng này thì cần bốn vi tử. µ Nhưng thực tế không có nhóm đơn nào chứa bốn vi tử để tạo tạo thành đại số đóng kín. Do đó, sử dụng một nhóm đơn SU (2) thì không thể mô tả được các dòng này. Phương pháp giải quyết vấn đề này là cần mở rộng nhóm đối xứng chuẩn, bốn vi tử bị phá vỡ phải thuộc nhóm tích trực tiếp SU (2) ⊗ U (1) là nhóm đơn giản nhất thỏa mãn các đòi hỏi trên.

8

Để có dòng dạng V − A của tương tác yếu, các fermion được tách thành hai thành là fermion phân cực trái (left-handed fermion) và fermion phân phải (right-handed fermion). Các fermion phân cực trái được xếp vào lưỡng tuyến và các fermion phân cực phải được xếp vào đơn tuyến của SU (2)L: ψiL = (νiL eiL)T , QiL = (uiL diL)T , eiR, uiR, diR, trong đó i là chỉ số thế hệ.

Để sinh khối lượng cho các hạt trong mô hình thì phải phá vỡ đối xứng SU (2)⊗U (1) bởi trường vô hướng φ = (cid:0)ϕ+ ϕ0(cid:1)T ∼ (2, 1), trong đó giá trị trung bình chân không của trường φ là (cid:104)φ(cid:105) = (cid:0)0 v/ . Việc phá vỡ đối xứng chuẩn được thực hiện qua cơ chế Higgs (cơ chế Higgs thực hiện phá vỡ đối xứng tự phát để sinh khối lượng cho các boson chuẩn). Lý thuyết chuẩn áp dụng cho tương tác yếu buộc phải phá vỡ đối xứng để các boson chuẩn W ±, Z 0 có khối lượng.

Khối lượng của các chuẩn boson được xác định bởi Lagrangian chứa chứa đạo hàm hiệp biến Dµ tác dụng lên thành phần trung bình chân không của trường φ như sau:

(1.1)

√ 2(cid:1)T

A = 0, m2

W ± = g2v2/4, và m2

trong đó ta là các vi tử của SU (2)L, ta = 1 2σa đối với biểu diễn lưỡng tuyến (σa là các ma trận Pauli) và Y là siêu tích yếu, Aµa và Bµ là các trường chuẩn tương ứng của hai nhóm chuẩn SU (2)L và U (1)Y . Lagrangian (1.1) cho chúng ta xác định được khối lượng của photon, các boson chuẩn Z = g(cid:48)2v2/4, trong đó W ±, Z 0 lần lượt là m2 g(cid:48) = g/cW, cW là cosin của góc Weinberg. Tương tác của các boson chuẩn với các fermion được xác định qua Lagrangian sau:

Bµ, L = (Dµ(cid:104)φ(cid:105))†(Dµ(cid:104)φ(cid:105)), Dµ = ∂µ − igtaAµa − ig(cid:48) Y 2

µ + J −W − µ )

(J +W + Lint =

(cid:88) g √ 2 +gsW Q(F ) ¯F γµF Aµ

F (cid:88)

V (F ) − gZµ gZµ

A (F )γ5

F

(cid:105) + ¯F γµ (cid:104) F Zµ, g 2cW

9

trong đó F tính cho tất cả các fermion và

[¯νaLγµ(1 − γ5)eaL + ¯uaLγµ(1 − γ5)daL], J +µ W =

W Q(F ),

g 2 V (F ) ≡ T3(FL) − 2s2 gZ gZ A(F ) ≡ T3(FL).

Z)/

Đối với Higgs, khối lượng của các Higgs được xác định qua thế vô hướng viết cho trường φ: V (φ) = −m2φ†φ + λ 4 (φ†φ)2, trong đó m có thứ nguyên khối lượng, λ là hằng số không thứ nguyên, trường φ được khai triển quanh giá trị trung bình chân không, φ = (ϕ+ (v + h0 + iG0 2)T . Sau khi phá vỡ đối xứng tự phát, 3 trường Higgs ϕ+, ϕ− và G0 Z có khối lượng bằng không, các Higgs này được gọi là các goldstone boson, một trường Higgs h0 có khối lượng. Hạt h0 chính là hạt Higgs (còn gọi là hạt của chúa) được tìm thấy bởi máy gia tốc năng lượng cao LHC, có khối lượng 125 GeV.

Khối lượng các fermion, được xác định thông qua Lagrangian Yukawa

bất biến dưới đối xứng SM, được viết như dưới đây:

√

(1.2)

i( ¯ψiLφeiR + ¯eiRφ†ψiL) +hu +hd

i ( ¯QiLφcuiR + ¯uiRφc†QiL) i ( ¯QiLφdiR + ¯diRφ†QiL),

trong đó hi là các hằng số tương tác. Khai triển Lagrangian này, chúng ta i = − hl iv xác định được khối lượng của các lepton và các quark lần lượt là ml , √ 2

.

LY = hl

và md

i = − hd i v √ 2

i = − hu i v √ 2 Khi nghiên cứu mô hình vật lý, chúng ta cần quan tâm đến tham số thực nghiệm ρ. Tham số này được xác định dựa vào tương tác của Higgs với các boson chuẩn, ρ = gHW W /(gHZZ.cW ), trong đó gHW W là hằng số của Higgs với boson chuẩn mang điện và gHZZ là hằng số của Higgs với boson chuẩn trung hòa. Trong SM, các hằng số tương tác của Higgs với các boson chuẩn được xác định từ Lagrangian tương tác dưới đây:

(1.3)

mu

µ +

Lagrangian này cho chúng ta xác định được các hằng số tương tác gHW W = g2v/2 và gHZZ = g(cid:48)2v/2. Do đó, tham số ρ được xác định là

h0W µ+W − LHB = (Dµφ)†(Dµφ) ⊃ h0Z µZµ. g2v 2 g(cid:48)2v 2

10

(1.4)

Tuy nhiên, kết quả thực nghiệm cho thấy ρex > 1 [1]. Như vậy, có sự khác biệt rất nhỏ ∆ρ giữa lý thuyết SM và thực nghiệm. Sự lệch rất nhỏ này được kì vọng do đóng góp từ bổ đính bậc cao, tuy nhiên đóng góp từ bổ đính cũng chưa phù hợp với thực nghiệm [2]. Như vậy, sự lệch rất nhỏ này rất có thể là do sai số thống kê từ thực nghiệm, cũng có thể do đóng góp từ vật lý mới ngoài SM. Vấn đề đóng góp từ vật lý mới vào tham số ρ sẽ được thảo luận ở các phần sau của luận án.

Lý thuyết sắc động học lượng tử SU (3)C được xây dựng nhằm giải quyết một số khó khăn về mặt lý thuyết liên quan đến sự tồn tại của quark như: các hạt cộng hưởng được cấu tạo từ ba quark giống nhau nên các hạt này cùng trạng thái spin. Điều này vi phạm nguyên lý loại trừ Pauli; các quá trình hủy cặp e+e− → µ+µ− và e+e− → qi ¯qi. Các quá trình này cho tỷ số phân nhánh theo lý thuyết Rlt = 2 3 (không màu), mà theo thực nghiệm Rtn = 2. Để giải quyết vấn đề trên, Gell-mann với ý tưởng các quark chứa các số lượng tử màu NC đã giải quyết những vấn đề trên.

Sắc động học lượng tử (QCD) là lý thuyết chuẩn của tương tác mạnh và cũng đã dự đoán thành công các hệ quả thực nghiệm sau: giả thuyết về các quark màu, tính tiệm cận tự do (asymptotic freedom) đã được thực nghiệm kiểm chứng. QCD được xây dựng trên nhóm đối xứng chuẩn của tương tác mạnh. Nhóm đối xứng chuẩn này được sinh ra bởi các phép biến đổi màu SU (3)C. Các gluon là các boson chuẩn đồng hành với nhóm đối xứng này, có 8 gluon, tương ứng với số vi tử của nhóm SU (3). Các gluon là các hạt vector trung gian truyền tương tác mạnh giữa các quark. Thông thường các quark và các gluon được kí hiệu: quark qi, i = 1, 2, 3, gluon gα, α = 1, 2, ..., 8.

Đạo hàm hiệp biến dưới đối xứng SU (3)C được xác định là Dµ = µ, trong đó q = (q1 q2 q3)T , gs là hằng số tương tác mạnh,

2 )gα

. = 1 = ρSM = g2 g(cid:48)2cW m2 W ± m2 ZcW

∂µ − igs( λα λα (α = 1, 2, .., 8) là các ma trận Gell-mann.

11

Lagrangian của QCD được viết: LQCD = ¯q(iγµDµ − mq)q − 1

µν = ∂µgα

ν − ∂νgα

µνF µν 4F α α ,, µ + gsf αβγgµβgνγ,

trong đó tensor cường độ trường gluon: F α và f αβγ(α, β, γ = 1, 2, ..., 8) là các hằng số cấu trúc.

Tóm lại, lý thuyết điện yếu SU (2)L ⊗ U (1)Y cho sự thống nhất tương tác điện yếu, thông qua việc phá vỡ đối xứng tự phát bằng trường Higgs, SM đã dự đoán sự tồn tại của ba boson chuẩn W ±, Z, khối lượng của các hạt này đã được thực nghiệm xác nhận. Trong tương tác mạnh với giả thuyết về các quark màu và tiệm cận tự do đã được kiểm chứng. Một trong những thành công rực rỡ không thể không nhắc đến của SM đó là việc thực nghiệm đã tìm ra hạt Higgs giống như tiên đoán của SM. Bên cạnh những thành công trên, còn một số vấn đề mà SM chưa giải quyết được. Các vấn đề này sẽ được thảo luận trong phần dưới đây.

1.2 Các vấn đề ngoài SM

Ngày nay, các kết quả thực nghiệm quan sát Vũ trụ [3] cho thấy Vũ trụ đang giãn nở nhanh dần và tổng năng lượng trong Vũ trụ bao gồm ít nhất ba thành phần. Phần nhiều nhất chi phối Vũ trụ gọi là năng lượng tối, chiếm khoảng 73% và vật chất tối, chiếm khoảng 23%. Hai thành phần này nằm ngoài SM và kể cả thuyết tương đối rộng của Einstein. Phần còn lại, chiếm khoảng 4% lượng vật chất trong Vũ trụ chính là đóng góp của các hạt thông thường mô tả bởi SM. Ngoài ra, SM cũng không giải thích được các vấn đề sau:

(1) Vấn đề khối lượng (rất nhỏ) của các neutrino và sự chuyển hoá qua lại giữa các neutrino thế hệ là các đặc điểm đã được thực nghiệm xác nhận hơn mười lăm năm qua, bắt đầu bằng thí nghiệm Super- Kamiokande vào năm 1998 [4]. Điều này hoàn toàn khác biệt với các đặc điểm của neutrino trong lý thuyết SM là có khối lượng bằng không tuyệt đối và không có sự trộn lẫn;

(2) Tại sao có ba thế hệ fermion quan sát thấy trong tự nhiên cũng như

có sự lượng tử hóa điện tích;

12

(3) Tại sao Top quark có khối lượng rất lớn so với các fermion còn lại, hay là tại sao giữa các thế hệ fermion có sự phân bậc về khối lượng;

(4) Theo Mô hình chuẩn về Vũ trụ thì vật chất và phản vật chất được sinh ra và biến đổi như nhau trong quá trình tiến hóa của Vũ trụ. Tuy nhiên, dự đoán của BBN [5] và các kết quả thực nghiệm về bức xạ nền của Vũ trụ (CMB) cho thấy có sự bất đối xứng giữa vật chất và phản vật chất (hay còn gọi là bất đối xứng baryon).

Những vấn đề trên đã được thảo luận sôi nổi trên toàn thế giới trên cả phương diện thực nghiệm lẫn lý thuyết trong nhiều thập kỉ qua bởi nhiều hướng giải thích khác nhau. Chẳng hạn như: lý thuyết thống nhất lớn SU (5) và SO(10) vì chúng cho các tương tác vi phạm số baryon và CP, cơ chế seesaw... Tuy nhiên, các cách giải thích trên gặp phải vấn đề là các lý thuyết này làm việc ở thang năng lượng quá cao (vào khoảng 1016 GeV), vì vậy rất khó kiểm chứng bằng thực nghiệm. Ngoài ra, những vấn đề trên còn được giải thích bởi các mô hình siêu đối xứng. Các mô hình này làm việc ở thang năng lượng TeV có thể kiểm chứng ở thực nghiệm LHC, nhưng đến nay các hạt siêu đối xứng vẫn chưa được tìm thấy. Mặt khác, không gian tham số của các mô hình này bị giới hạn rất hẹp bởi các thực nghiệm LEP và LHC.

Song song đó, vào những năm đầu của thập niên 90 của thế kỉ trước, có những mô hình mở rộng dựa trên SM, trong đó nhóm đối xứng SU (2)L của SM được mở rộng thành SU (3)L, tạo thành nhóm đối xứng chuẩn SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ U (1)X, do đó các mô hình mở rộng này được gọi chung là mô hình 3-3-1. Mô hình này được phát triển bởi các nhà khoa học Pisano, Pleitez, Foot, Tuan và Long và một số phiên bản của các tác giả khác [6–11]. Các phiên bản của mô hình này phần nào cho giải thích hợp lý các vấn đề trên, đồng thời có thể kiểm chứng ở thực nghiệm LHC mà không gian tham số ít bị giới hạn. Có rất nhiều công bố trên các tạp chí quốc tế có uy tín về mô hình 3-3-1. Dưới đây, chúng tôi dẫn ra một số kết quả chính mà mô hình 3-3-1 đã đạt được:

13

Vấn đề số thế hệ fermion đã được giải thích một cách tự nhiên từ hệ quả của việc khử dị thường trong mô hình 3-3-1 [6, 7, 12]. Sự lượng tử hóa điện tích cũng như vấn đề nặng bất thường của Top quark cũng đã được giải thích bởi các công trình trên.

Mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải (the 3-3-1 model with right- handed neutrinos) [13]: Để hoàn thành các biểu diễn tam tuyến lepton, các neutrino phân cực phải được đưa vào tam tuyến này. Hệ quả là, neutrino trong mô hình 3-3-1 có thể nhận các khối lượng nhỏ thông qua cơ chế seesaw. Tuy nhiên, thang seesaw sẽ rất cao, có thể vào thang thống nhất lớn và dẫn đến vấn đề phân bậc không tự nhiên trong mô hình 3-3-1 làm việc ở thang TeV. Ngoài ra, cơ chế seesaw chính tắc trước đây [14–16] xuất hiện trong các lý thuyết: đối xứng trái phải, thống nhất lớn SO(10), hoặc SM với các neutrino phân cực phải, cũng gặp phải vấn đề tương tự. Vì neutrino phân cực phải chưa được quan sát, các đặc tính của nó hoàn toàn chưa được biết, có một khả năng nó có số lepton bằng không. Hệ quả, vấn đề phân bậc trong thang seesaw được giải quyết, với giá trị tự nhiên cỡ TeV [17]. Tuy nhiên, vấn đề khác phát sinh là tính tự nhiên và nguồn gốc của neutrino phân cực phải, tại sao neutrino phân cực phải không mang số lepton, các vấn đề này được giải thích bởi công trình [18].

Mô hình 3-3-1 tiết kiệm (the economical 3-3-1 model) [19]: cho khối lượng neutrino, khối lượng bổ đính của các quark, các quá trình vi phạm số lepton, các Higgs mới, v.v. và mô hình 3-3-1 với fermion trung hoà cũng cho khối lượng neutrino với thang seesaw cỡ TeV, giải thích hợp lý ma trận trộn lepton, ma trận trộn quark, v.v.

Vật chất tối đã được nghiên cứu trong mô hình 3-3-1 với lepton mang điện ngoại lai [20], tuy nhiên các tác giả đã đồng nhất hạt sai. Thực tế, mô hình này không có vật chất tối. Trong mô hình 3-3-1 với các neutrino phân cực phải [21], hạt vật chất tối đã được đồng nhất đúng, tuy nhiên tính bền của vật chất tối không được đảm bảo do hiệu ứng lượng tử. Hơn nữa, vật chất tối bị giới hạn bởi thực nghiệm nằm trong miền khối lượng rất thấp cỡ MeV sẽ không tự nhiên. Thực tế những hạt này có khối lượng nằm trong thang phá vỡ 3-3-1 của vật lý mới cỡ TeV. Ngoài ra, có những

14

mở rộng đơn giản của SM cũng cho vật chất tối như: thêm một đơn tuyến vô hướng thực trung hoà với đối xứng Z2 [22–25].

Các mô hình 3-3-1, như đã đề cập ở trên, tuy có những thành công không thể bàn cãi, nhưng vẫn còn một số vấn đề của SM chưa được giải quyết một cách trọn vẹn. Mặt khác, không gian tham số của lớp mô hình 3-3-1 tối thiểu [25–33], bị giới hạn mạnh bởi cực Landau và thực nghiệm về FCNCs. Ngoài ra, đối xứng số baryon trừ lepton (B − L) được bảo toàn trong lý thuyết [34], vì vậy đối xứng này cần được xem xét trong các lý thuyết mới. Và gần đây, các nhà khoa học đã đề xuất mô hình mở rộng mới từ SM tương tự như mở rộng mô hình 3-3-1, đồng thời đưa thêm nhóm chuẩn U (1)N vào để diễn tả đối xứng B − L gọi là mô hình 3-3-1-1 (SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ U (1)X ⊗ U (1)N ) [35].

Mặc dù mô hình 3-3-1-1 mới ra đời trong thời gian không lâu. Tuy nhiên, mô hình này không chỉ giải quyết được các vấn đề đã nghiên cứu trong các mô hình 3-3-1 mà còn giải thích một cách tự nhiên một số vấn đề mới như ứng cử viên vật chất tối [35, 36], bất đối xứng baryon của Vũ trụ [37]. Đồng thời các phiên bản mô hình này cũng tiên đoán một số hạt mới nằm ngoài SM, trong đó có hai hạt boson chuẩn trung hòa Z (cid:48) (bắt nguồn từ mô hình 3-3-1) và Z (cid:48)(cid:48) (bắt nguồn từ nhóm mới U (1)N ). Các hạt mới này nhận khối lượng ở thang TeV, nằm trong khả năng tìm kiếm và phát hiện của máy gia tốc LHC.

Vấn đề tham số ρ cũng đã được nghiên cứu trước đây trong mô hình 3-3-1 và mô hình 3-3-1-1 do đóng góp từ các boson chuẩn trung hòa mới (do Z trong SM trộn với Z (cid:48) và Z (cid:48)(cid:48)). Tuy nhiên, các phiên bản trước đây chỉ xét trường hợp đặc biệt là cho hai thang điện yếu u, v bằng nhau, do đó hai thang năng lượng này là một hằng số, đồng thời trong mô hình 3-3-1-1 trước đây không xét đến đóng góp của trộn động năng. Vì vậy, nghiên cứu tham số ρ trong trường hợp tổng quát và xét đến đóng góp của trộn động năng (đối với mô hình 3-3-1-1) là rất cần thiết để đảm bảo cho các thang năng lượng được giới hạn phù hợp với thực nghiệm. Mặt khác, dòng trung hòa trong SM luôn bảo toàn số vị ở mức cây và bị chặn ở mức đóng góp vòng. Ngược lại, trong các mô hình 3-3-1 và 3-3-1-1 thì FCNCs xuất hiện

15

cả ở mức cây do có sự đóng góp trực tiếp của Z (cid:48) và Z (cid:48)(cid:48). Cũng như tham số ρ, FCNCs được nghiên cứu trong mô hình 3-3-1-1 trước đây đã bỏ qua đóng góp của trộn động năng.

Như vậy, hai vấn đề liên quan đến thực nghiệm là tham số ρ và FCNCs điều có liên quan đến đóng góp của các boson chuẩn. Tuy nhiên, các đóng góp phải nằm trong giới hạn đo được bởi thực nghiệm với giá trị nhỏ. Điều kiện này sẽ cho các hệ quả trực tiếp có liên quan đến các đặc điểm của các hạt nói trên, cụ thể là khối lượng và góc trộn của chúng. Để xác định cụ thể các đặc điểm này, chúng tôi chọn nghiên cứu cho luận án là "Hiệu ứng trộn của các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1 và mô hình 3-3-1-1".

16

Chương 2

Tách biệt các mô hình 3-3-1

Trong chương này, chúng tôi trình bày mô hình 3-3-1 với β tổng quát. Xác định cực Landau, tính tham số ρ (hay ∆ρ = ρ − 1) và FCNCs ở mức cây, khảo sát sự trộn của các meson để xác định Lagrangian hiệu dụng, đồng thời ràng buộc với kết quả thực nghiệm. Từ đó, giới hạn miền khả dĩ của các thang vật lý trong lớp mô hình 3-3-1 tối thiểu.

2.1 Mô hình 3-3-1

Mô hình 3-3-1 là mô hình được xây dựng dựa trên nhóm chuẩn SU (3)C⊗ SU (3)L ⊗ U (1)X [6, 7], mô hình này là sự mở rộng nhóm chuẩn của SM. Các biểu diễn tam tuyến và phản tam tuyến của SU (3)L, được xây dựng bằng cách sử dụng các lưỡng tuyến SU (2)L của SM và các hạt mới kaL, jαL và j3L là thành phần thứ ba của các tam tuyến và phản tam tuyến. Toán tử điện tích trong mô hình này được xác định là Q = T3 + βT8 + X, trong đó Ti là các vi tử của nhóm chuẩn SU (3)L, trong biểu diễn cơ sở thì Ti = 1 2λi (λi là các ma trận Gell-Mann, i = 1, 2...8), X là tích chuẩn của nhóm chuẩn U (1)X và β = −(1 + 2q)/ 3, với q là điện tích của lepton mới ka, giá trị của q được giới hạn trong khoảng −2.08011 < q < 1.08011. Đồng nhất toán tử điện tích trên với toán tử điện tích trong SM, Q = T3 + Y , siêu tích yếu được xác định là Y = βT8 + X.

√

17

Các fermion dưới đối xứng 3-3-1 được sắp xếp như sau:

Các lepton phân cực trái được xếp vào tam tuyến của nhóm SU (3)L:

(2.1)

Đối với các quark phân cực trái, hai thế hệ đầu được xếp vào phản tam

tuyến, thế hệ còn lại xếp vào tam tuyến của nhóm SU (3)L: 

  (cid:19) (cid:18) . 1, 3, ψaL ≡     ∼ −1 + q 3 νaL eaL kaL



(2.2)

(cid:16) (cid:17) 3, 3∗, − , QαL ≡     ∼ q 3 dαL −uαL jαL

(2.3)

Các fermion phân cực phải được xếp vào đơn tuyến của nhóm SU (3)L:

(2.4)

  (cid:18) (cid:19) 3, 3, . Q3L ≡   ∼   1 + q 3 u3L d3L j3L

(2.5)

(2.6)

trong đó a = 1, 2, 3 và α = 1, 2 là các chỉ số thế hệ, các giá trị trong dấu ngoặc đơn lần lượt là các số lượng tử tương ứng của nhóm đối xứng 3-3-1 và νaR, ka và ja là các fermion mới (ngoài SM). Các lepton và các quark còn lại là các hạt của SM. Các fermion mới có điện tích lần lượt là

(2.7)

νaR ∼ (1, 1, 0) , eaR ∼ (1, 1, −1), kaR ∼ (1, 1, q), (cid:19) (cid:18) (cid:18) (cid:19) 3, 1, − , 3, 1, uaR ∼ , daR ∼ 1 3 (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) 3, 1, + q 3, 1, − − q , j3R ∼ , jαR ∼ 2 3 2 3 1 3

Trong trường hợp, nếu kaL được thay bởi (eaR)c (eaR là hạt lepton mang điện phân cực phải trong SM) hoặc (νaR)c hoặc (NR)c (NR là hạt không

− q. + q, Q(jα) = − Q(νR) = 0, Q(k) = q, Q(j3) = 2 3 1 3

18

có số lepton, L(NR) = 0), chúng ta lần lượt được các phiên bản tương ứng là mô hình 3-3-1 tối thiểu, mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải và mô hình 3-3-1 với lepton trung hòa.

Với cách sắp xếp hạt như trên, chúng ta thấy: có 6 tam tuyến gồm 3 tam tuyến lepton của 3 thế hệ, 3 tam tuyến của thế hệ quark thứ 3 (kể cả tam tuyến màu) và 6 phản tam tuyến của hai thế hệ quark đầu (kể cả tam tuyến màu). Như vậy, số tam tuyến và phản tam tuyến bằng nhau, do đó dị thường của nhóm SU (3)L đã được khử. Hệ quả của việc khử dị thường này cho chúng ta số thế hệ fermion phải là bội của 3 (số màu). Mặt khác, theo điều kiện tiệm cận tự do trong sắc động học lượng tử thì số thế hệ fermion phải không lớn hơn 5. Từ đó, chúng ta được số thế hệ là 3. Như vậy, với cách sắp xếp hạt như trên thì bài toán số thế hệ fermion đã được giải quyết một cách tự nhiên.

Để phá vỡ đối xứng SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ U (1)X về đối xứng SU (3)C ⊗ U (1)Q và sinh khối lượng cho các hạt trong mô hình, chúng ta cần ba tam tuyến vô hướng như sau: 

(2.8)

 (cid:18) (cid:19) , η = 1, 3,     ∼ q − 1 3

(2.9)

  (cid:18) (cid:19) ρ = 1, 3, ,   ∼   q + 2 3

(2.10)

Các tam tuyến trên có giá trị trung bình chân không lần lượt là

  (cid:19) (cid:18) . χ = 1, 3, −   ∼   2q + 1 3 η0 1 η−1 2 ηq 3 ρ1 1 ρ0 2 ρq+1 3 χ−q 1 χ−q−1 2 χ0 3

     

Các giá trị trung bình chân không w, u, v sẽ phá vỡ đối xứng 3-3-1 xuống đối xứng SU (3)C ⊗ U (1)Q theo hai bước:

(cid:104)η(cid:105) =   , (cid:104)ρ(cid:105) =   , (cid:104)χ(cid:105) =   . (2.11)       1 √ 2 1 √ 2 1 √ 2 0 v 0 0 0 w u 0 0

19

Đầu tiên là đối xứng 3-3-1 bị phá vỡ xuống đối xứng SU (3)C ⊗SU (2)L⊗ U (1)Y bởi giá trị trung bình chân không w, trong lần phá vỡ này, các quark ngoại lai và các boson chuẩn mới nhận khối lượng.

Sau đó, đối xứng SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y bị phá vỡ xuống đối xứng SU (3)C ⊗ U (1)Q bởi các giá trị trung bình chân không u, v để sinh khối lượng cho các fermion và các boson chuẩn trong SM.

Quá trình phá vỡ đối xứng 3-3-1 được minh họa như sơ đồ sau:

Các quá trình này được chứng minh ở phần phụ lục A.

Cần chú ý rằng, w là thang khối lượng của các hạt vật lý mới (cỡ TeV), trong khi đó u, v là thang khối lượng của các hạt vật lý thông thường trong SM. Để phù hợp với SM thì cần điều kiện u, v (cid:28) w.

Lagrangian toàn phần dưới đối xứng 3-3-1 (bỏ qua số hạng cố định

chuẩn và trường ma) được xác định một cách tổng quát như sau:

SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ U (1)X ↓ (cid:104)χ(cid:105) SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y ↓ (cid:104)η(cid:105), (cid:104)ρ(cid:105) SU (3)C ⊗ U (1)Q.

S

(2.12)

(cid:88) (cid:88) L = ¯F iγµDµF + (DµS)†(DµS) + LYukawa − V (η, ρ, χ)

i −

i −

F 1 4

trong đó F và S tính cho tất cả các đa tuyến fermion và đa tuyến vô hướng. LYukawa và V (η, ρ, χ) lần lượt là Lagrangian Yukawa và thế vô hướng.

Đạo hàm hiệp biến và các tensor cường độ trường lần lượt được định

nghĩa như các biểu thức dưới đây:

(2.13)

− GiµνGµν AiµνAµν BµνBµν, 1 4 1 4

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Dµ = ∂µ + igstiGiµ + igTiAiµ + igXXBµ,

Giµν = ∂µGiν − ∂νGiµ − gsfijkGjµGkν, Aiµν = ∂µAiν − ∂νAiµ − gfijkAjµAkν, Bµν = ∂µBν − ∂νBµ,

20

các ký hiệu {gs, g, gX}, {ti, Ti, X} và {Giµ, Aiµ, Bµ} lần lượt là các hằng số tương tác chuẩn, các toán tử và các boson chuẩn tương ứng của nhóm đối xứng 3-3-1.

2.2 Đồng nhất các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1

Trong phần này, chúng ta sẽ xác định phổ khối lượng của các trạng thái vật lý của boson chuẩn sau khi đối xứng chuẩn bị phá vỡ bởi các trung bình chân không của các trường vô hướng. Các trạng thái khối lượng này được xác định từ số hạng thứ hai trong Lagrangian (2.12), chứa các trung bình chân không của các trường vô hướng như dưới đây:

(2.17)

mass =

S

trong đó S tính cho tất cả các đa tuyến vô hướng η, ρ và χ, đạo hàm hiệp biến được định nghĩa như biểu thức (2.13). Khai triển Lagrangian này, chúng ta xác định được phổ khối lượng của các boson chuẩn (mang điện và trung hòa). Để xác định các thành phần này, đầu tiên chúng ta tác dụng đạo hàm hiệp biến lên các đa tuyến (2.11). Kết quả như sau:

(cid:88) Lgauge (Dµ(cid:104)S(cid:105))†(Dµ(cid:104)S(cid:105)),

(2.18)

  A3µ + A8µ√ 3

Dµ(cid:104)η(cid:105) =   ,   igu √ 2 2

(2.19)

 

Dµ(cid:104)ρ(cid:105) =   ,   igv √ 2 2

√  

(2.20)

√

√

(cid:16)

Dµ(cid:104)η(cid:105) = −

,

(2.21)

+ 2

2W µ+

3 + Aµ Aµ

8√ 3

2X µ−q (cid:17) √

(cid:16) √

,

(2.22)

Dµ(cid:104)ρ(cid:105) = −

2W µ− −Aµ

+ 2

2Y µ−(q+1) (cid:17)

3 (q − 1)tX Bµ 3 + Aµ

3 (q + 2)tX Bµ

8√ 3

igu √ 2 2 igv √ 2 2

√ Dµ(cid:104)χ(cid:105) =     , igw √ 2 2 + 2 3(q − 1)tXBµ √ 2W − µ√ 2X +q µ √ 2W + µ −A3µ + A8µ√ + 2 3(q + 2)tXBµ 3 √ 2Y +(q+1) µ 2X −q µ 2Y −(q+1) µ A8µ − 2 3(2q + 1)tXBµ − 2√ 3

21

√

(cid:16) √

Dµ(cid:104)χ(cid:105) = −

,

(2.23)

2W µ+q

Aµ

8 − 2

3 (2q + 1)tX Bµ (cid:17)

2Y µ+(q+1) − 2√ 3

igw √ 2 2

trong đó tX = gX/g, W ±, X ±q và Y ±(q+1) là các trạng thái tổ hợp của các trường chuẩn Aiµ, i = 1, ..., 8, được định nghĩa như biểu thức dưới đây:

µ =

µ =

Tiếp theo, chúng ta thay các biểu thức (2.18)-(2.23) vào biểu thức (2.17). Lagrangian khối lượng được viết lại dưới dạng tách riêng thành phần mang điện và thành phần trung hòa như sau:

(2.25)

, X ±q = . (2.24) W ± , Y ±(q+1) µ A1µ ∓ iA2µ √ 2 A4µ ± iA5µ √ 2 A6µ ± iA7µ √ 2

mass = Lcharged

mass + Lneutral

mass

Lagrangian khối lượng của các boson chuẩn mang điện:

Lgauge .

[2W +W − + 2X +qX −q] = Lcharged mass

[2W +W − + 2Y +(q+1)Y −(q+1)] +

+ [2X +qX −q + 2Y +(q+1)Y −(q+1)]

(2.26)

(cid:0)u2 + w2(cid:1) X +qX −q = g2 4 g2 4

Các boson chuẩn không Hermitian W , X và Y có khối lượng tương ứng là

(2.27)

+ (cid:0)v2 + w2(cid:1) Y +(q+1)Y −(q+1). g2u2 8 g2v2 8 g2w2 8 (cid:0)u2 + v2(cid:1) W +W − + g2 4

W =

(2.28)

g2(u2 + v2), m2

X =

(2.29)

m2 g2(u2 + w2),

Y =

Do điều kiện u ∼ v (cid:28) w nên W được đồng nhất với hạt boson chuẩn mang điện trong SM, do đó u2 + v2 = (246 GeV)2. Trong khi đó, các hạt mới X và Y là các boson chuẩn mang điện mới, nhận khối lượng thang w (cỡ TeV).

m2 g2(v2 + w2). 1 4 1 4 1 4

22

Lagrangian khối lượng của các boson chuẩn trung hòa:

mass =

(cid:18) (cid:19)2 + Lneutral A3 + (q − 1)tXB 2 3 A8√ 3

(2.30)

(cid:18) (cid:19)2 + + (q + 2)tXB 2 3 A8√ 3

(cid:19)2 + + . (2q + 1)tXB g2u2 8 g2v2 8 g2w2 8 2 3

Sử dụng liên hệ β = −(2q + 1)/ trên được viết lại như sau:

√ −A3 + (cid:18)2A8√ 3 √ 3 hay q = −( 3β + 1)/2, Lagrangian

mass =

3 +

8 +

Lneutral (u2 + v2)A2 (u2 + v2 + 4w2)A2 (u2 − v2)A3A8 g2 24 g2 8 g2 √ 4 3 √ √ (cid:104) ( 3 + β)u2 + ( − A3B

3 − β)v2(cid:105) √ (cid:104) √ ( 3 + β)u2 − ( − A8B

(2.31)

Để tìm các trạng thái riêng vật lý của các boson này, chúng ta viết La- grangian (2.31) dưới dạng ma trận sau:

(cid:104) √ ( 3 + β)2u2 + ( 3 − β)v2 + 4βw2(cid:105) √ 3 − β)2v2 + 4β2w2(cid:105) + B2. g2tX √ 3 4 g2tX 12 g2t2 X 24

(2.32)

 

mass =

trong đó M 2 là ma trận đối xứng (ma trận 3 × 3), các yếu tố ma trận M 2 = {m2

ij} của ma trận này lần lượt được xác định như dưới đây:

Lneutral (A3 A8 B) M 2   ,   1 2 A3 A8 B

11 =

(u2 + v2), m2

12 =

13 = −

m2 (u2 − v2), g2 4 g2 √ 4 √ (cid:104) m2 √ ( 3 − β)v2(cid:105) , 3 + β)u2 + (

22 =

m2 (u2 + v2 + 4w2), 3 g2tX √ 3 4 g2 12

23

23 = −

√ (cid:104) √ ( m2

33 =

Ma trận M 2 có một trị riêng bằng không (khối lượng của photon) và vectơ riêng trực chuẩn tương ứng là

3 + β)u2 − ( √ g2tX 12 (cid:104) 3 + β)2u2 + ( √ ( 3 − β)v2 + 4βw2(cid:105) , 3 − β)2v2 + 4β2w2(cid:105) . m2 g2t2 X 12

(2.33)

W B

trong đó sW = e/g = tX/(cid:112)1 + (1 + β2)t2 X là sin góc Weinberg, được xác định từ đỉnh của tương tác điện từ [38]. Hai trạng thái còn lại của boson chuẩn Z trong SM và boson chuẩn mới Z (cid:48), thỏa mãn điều kiện trực chuẩn đồng thời giữa chúng và với trạng thái photon A, được xác định như sau:

(cid:19) (cid:18) (cid:113) , 1 − β2t2 A = sW A3 + cW βtW A8 +

(2.34)

W B

(cid:19) (cid:18) (cid:113) 1 − β2t2 , Z = cW A3 − sW βtW A8 +

(2.35)

W A8 − βtW B.

Để tìm khối lượng của các boson chuẩn Z và Z (cid:48), chúng ta chuyển cơ sở ban đầu (A3, A8, B) sang cơ sở mới (A, Z, Z (cid:48)), bởi ma trận chuyển cở sở U1 dưới đây:

(cid:113) 1 − β2t2 Z (cid:48) =

(2.36)

   

trong đó

    = U1     , A3 A8 B A Z Z (cid:48)

(2.37)

 

W

W

W −sW

Trong cơ sở này, trị riêng của photon được tách khỏi các trạng thái còn lại bởi ma trận U1:

U1 =   .   sW βsW (cid:112)1 − β2t2 cW −βsW tW (cid:112)1 − β2t2 0 (cid:112)1 − β2t2 −βtW cW

(2.38)

(cid:32) (cid:33)

1 M 2U1 =

M (cid:48)2 = U T , 0 0 0 M (cid:48)2 s

24

trong đó

(2.39)

(cid:33) (cid:32)

s ≡

Z m2 m2 ZZ (cid:48) ZZ (cid:48) m2 m2 Z (cid:48)

Ở đây, chúng ta thấy photon tách khỏi Z, Z (cid:48). Trong khi đó, Z, Z (cid:48) vẫn còn trộn lẫn nhau thông qua ma trận trộn khối lượng M (cid:48)2 s (ma trận 2 × 2), với các yếu tố ma trận này lần lượt như sau:

(2.40)

. M (cid:48)2

Z =

m2

W )v2(cid:3)

(2.41)

ZZ (cid:48) =

(u2 + v2), √ √ g2 4c2 W g2 (cid:2)(1 + 3βt2 m2 ,

W )2v2 + 4w2(cid:3)

Z (cid:48) =

W )u2 − (1 − (cid:112)1 − β2t2 3cW W √ W )2u2 + (1 − 12(1 − β2t2

W )

Chúng ta có hai boson chuẩn vật lý trung hòa Z1 và Z2 trộn lẫn nhau:

(2.43)

3βt2 √ 4 √ 3βt2 3βt2 g2 (cid:2)(1 + m2 . (2.42)

trong đó sϕ = sin ϕ, cϕ = cos ϕ, ϕ là góc trộn giữa Z1 − Z2, được xác định theo hệ thức sau:

Z1 = cϕZ − sϕZ (cid:48), Z2 = sϕZ + cϕZ (cid:48),

t2ϕ =

W )v2(cid:3)

W )

W )u2 − (1 − w2

Khối lượng của hai boson chuẩn này lần lượt là

√ √ (cid:2)(1 + 3βt2 3βt2 . (2.44) (cid:39) 2m2 ZZ (cid:48) m2 Z (cid:48) − m2 Z (cid:112)3(1 − β2t2 2cW

Z + m2

Z (cid:48) −

Z − m2

Z (cid:48))2 + 4m4

ZZ (cid:48)

(2.45)

(cid:20) (cid:21) (cid:113) = m2 (m2 m2 Z1

(u2 + v2), (cid:39)

Z + m2

Z (cid:48) +

Z − m2

Z (cid:48))2 + 4m4

ZZ (cid:48)

(2.46)

(cid:21) (cid:113) = m2 (m2 m2 Z2 1 2 g2 4c2 W (cid:20) 1 2

W )

(cid:39) w2. g2 3(1 − β2t2

25

Boson chuẩn Z1 nhận khối lượng ở thang điện yếu u, v nên chúng ta đồng nhất boson này với boson trung hòa trong SM. Trong khi đó, boson chuẩn Z2 nhận khối lượng ở thang vật lý mới, w.

Sau khi xác định được khối lượng các boson chuẩn trung hòa, chúng ta thấy rằng, các trạng thái vật lý ban đầu liên quan đến các trạng thái riêng khối lượng thông qua ma trận UM như dưới đây:

(2.47)

(A3 A8 B) = UM (A Z1 Z2), UM = U1Uϕ,

(2.48)

 

Như vậy, sau khi khai triển Lagrangian (2.17), chúng ta tìm được chín boson chuẩn (sáu boson chuẩn mang điện và ba boson chuẩn trung hòa). Trong đó, chúng ta đồng nhất boson chuẩn W và Z1 với hai boson chuẩn trong SM, các boson chuẩn còn lại là X, Y và Z2 đều nhận khối lượng ở thang vật lý mới w. Đây là dự đoán mới của mô hình 3-3-1.

Uϕ =     . 0 0 1 0 sϕ cϕ 0 −sϕ cϕ

2.3 Tham số ρ, cực Landau và FCNCs trong mô

hình 3-3-1

2.3.1 Tham số ρ trong mô hình 3-3-1

Trong SM, tham số thực nghiệm ρ = 1. Tuy nhiên, các số liệu thực nghiệm cho thấy ρ > 1 [1]. Vì vậy, khi tính tham số ρ trong các mô hình mở rộng, chúng ta cần xét đến đóng góp từ vật lý mới. Trong phần này, chúng ta khảo sát tham số thực nghiệm ρ (hoặc ∆ρ ≡ ρ − 1) trong mô 3 (β xác định toán tử điện tích). Để so hình 3-3-1 cho trường hợp β = − sánh với thực nghiệm, chúng ta tính tham số ρ từ hai nguồn: từ đóng góp bậc cây (tree-level), (∆ρ)tree và từ đóng góp bổ đính một vòng (one-loop), (∆ρ)rad.

√

26

Đầu tiên, chúng ta tính ∆ρ từ đóng góp bậc cây do trộn giữa Z-Z (cid:48),

được xác định như sau:

(2.49)

. − 1 (cid:39) (∆ρ)tree ≡ m4 ZZ (cid:48) Zm2 m2 Z (cid:48) m2 W W m2 c2 Z1

Kết hợp biểu thức (2.49) với các biểu thức (2.40), (2.41) và (2.42), đồng thời thay β = −

√

W )v2(cid:3)2

(2.50)

W )u2 − (1 + 2s2 ww2 W v2

3, chúng ta được: (cid:2)(1 − 4s2 . (∆ρ)tree (cid:39) 4c4

Tiếp theo, chúng ta tính ∆ρ từ bổ đính một vòng do đóng góp của lưỡng tuyến nặng không Hermitian, (X −, Y −−). Các hạt mới như quark ngoại lai, boson chuẩn Z (cid:48), và các hạt Higgs boson mới thì không cho đóng góp vào ∆ρ [39–41]. Kết quả tính cụ thể từ [39–41] như sau: (cid:19)

Y + m2

X −

W ln

Y + m2 X Y − m2 X w, vw = 246 GeV, α = g2s2

W /(4π), khối lượng m2 X Y được xác định từ các biểu thức (2.28) và (2.29). Thay các giá trị

trong đó và m2 này vào (2.51), chúng ta được:

(cid:18) √ 3 m2 ln (∆ρ)rad = m2 Y m2 X (cid:19) + − 2 + 3t2 , (2.51) ln (cid:18)m2 m2 2GF 16π2 α 4πs2 W 2m2 Y m2 X m2 Y − m2 X m2 Y m2 X m2 Y m2 X √ 2GF = 1/v2

w + 2w2 − v2

(cid:18) (cid:19) ln (∆ρ)rad =

W ln

w + 2w2 v2 − u2 ln

Tổng hợp kết quả trên, chúng ta có đóng góp vào ∆ρ xét đến một vòng như sau:

(2.53)

v2 + w2 u2 + w2 (cid:19) (cid:18)v2 + . (2.52) 3g2 64π2v2 w g2 16π2 2(v2 + w2)(u2 + w2) v2 − u2 v2 + w2 u2 + w2 − 2 + 3t2 v2 + w2 u2 + w2

Kết quả trên cho thấy (∆ρ)rad có thể âm hoặc dương, tùy thuộc vào khối lượng của X và Y , trong khi đó, (∆ρ)tree là luôn dương. Ngoài ra, (∆ρ)rad và (∆ρ)tree là cùng tỉ lệ với (u/w, v/w)2, do đó đóng góp của chúng là nhỏ và tương đương nhau.

∆ρ = (∆ρ)tree + (∆ρ)rad.

27

2.3.2 Cực Landau trong mô hình 3-3-1

Lớp mô hình 3-3-1 tối thiểu (M331) [25–33] và mô hình 3-3-1 với lepton 3. mang điện (C331) [20], có hệ số của T8 trong toán tử điện tích là β = − Do đó, thang vật lý mới trong hai mô hình này bị giới hạn bởi cực Landau. Cực Landau là thang năng lượng mà tại đó hằng số tương tác tiến đến vô cùng. Dưới đây chúng ta sẽ xác định cực Landau trong hai mô hình trên.

Dưới đối xứng 3-3-1, các fermion trong hai mô hình trên được sắp xếp

như dưới đây:

Cho M331:

√

(2.54)

 

và cho C331:

ψaL ≡   ∼ (1, 3, 0) ,   νaL eaL (eaR)c

(2.55)

 

ψaL ≡     ∼ (1, 3, 0) .

Đối với các đơn tuyến lepton, C331 cần các đơn tuyến eaR ∼ (1, 1, −1), EaR ∼ (1, 1, 1) và νaR ∼ (1, 1, 0). Trong khi đó, M331 chỉ cần đơn tuyến neutrino phân cực phải, νaR. Đối với các đa tuyến quark, cả hai mô hình đều giống nhau: hai thế hệ đầu của quark phân cực trái được xếp vào phản tam tuyến, thế hệ quark thứ ba được xếp vào tam tuyến SU (3)L và các quark phân cực phải được xếp vào đơn tuyến SU (3)L. Cụ thể như sau:

νaL eaL E+ aL

(2.56)

  (cid:19) (cid:18) , 3, 3∗, − QαL ≡   ∼   1 3 dαL −uαL jαL

(2.57)

  (cid:19) (cid:18) , 3, 3, Q3L ≡     ∼ 2 3 u3L d3L j3L

28

(2.58)

(cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) , 3, 1, − , 3, 1, daR ∼ uaR ∼

(2.59)

trong đó a = 1, 2, 3 và α = 1, 2 là các chỉ số thế hệ. Để phá vỡ đối xứng tự phát và sinh khối lượng cho các hạt trong mô hình, cả hai mô hình cần ba tam tuyến Higgs như sau:

(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) , 3, 1, 3, 1, − , j3R ∼ jαR ∼ 2 3 5 3 1 3 4 3

(2.60)

 

η =     ∼ (1, 3, 0) ,

(2.61)

 

ρ =     ∼ (1, 3, 1) ,

(2.62)

 

χ =     ∼ (1, 3, −1) ,

η0 1 η−1 2 η+ 3 ρ1 1 ρ0 2 ρ++ 3 χ− 1 χ−− 2 χ0 3

, (cid:104)χ(cid:105) = (cid:0)0, 0, w/

Các tam tuyến trên có giá trị trung bình chân không lần lượt là (cid:104)η(cid:105) = , (cid:104)ρ(cid:105) = (cid:0)0, v/ (cid:0)u/ . Ngoài ra, M331 còn có thêm một lục tuyến vô hướng

√ √ √ 2, 0, 0(cid:1)T 2, 0(cid:1)T 2(cid:1)T

(2.63)

 

S =     ,

2

trong đó (cid:104)σ0

1(cid:105) (cid:54)= 0.

2(cid:105) = v(cid:48)/

Các hằng số tương tác chuẩn gL và gX tương ứng của nhóm chuẩn SU (3)L và U (1)X liên hệ nhau qua góc trộn điện yếu, được xác định bởi [42] như dưới đây:

(2.64)

h− h+ σ0 1 1 2 1 H −− h− σ0 2 1 2 H ++ h+ σ0 2 √ 2 và (cid:104)σ0

trong đó µ là thang năng lượng đang xét trong lý thuyết.

= , sin2 θW (µ) 1 − 4 sin2 θW (µ) g2 X(µ) g2 L(µ)

29

Biểu thức trên cho thấy, khi sin2 θW (µ) = 1/4 thì gX(µ) → ∞, khi đó sẽ xuất hiện một cực Landau như đã đề cập. Chúng ta sẽ xác định cực Landau trong hai trường hợp sau:

Trong trường hợp này, sin2 θW (µ) được xác định như trong SM:

(2.65)

• Trường hợp µ ≤ µ331

trong đó α1(µ) và α2(µ) được xác định từ phương trình tái chuẩn hóa các hằng số tương tác xét đến đóng góp một vòng bởi [42] như sau:

, µ ≤ µ331, sin2 θW (µ) = α1(µ) α1(µ) + α2(µ)

(2.66)

i (MZ) +

(cid:19) , i = 1, 2, 3, bi ln α−1 i (µ) = α−1 1 2π (cid:18)MZ µ

Trong gần đúng một vòng thì hệ số bi được xác định bởi [43] như sau: (cid:88)

αi = g2 i /(4π) và g1, g2, g3 tương ứng là hằng số tương tác của nhóm U (1)Y , SU (2)L, SU (3)C. Cần chú ý rằng, trong mô hình 3-3-1 thì gi lần lượt là hằng số tương tác gX, gL, g3 tương ứng của các nhóm chuẩn U (1)X, SU (3)L, SU (3)C.

S

F

Đối với nhóm SU (N ), N (cid:54)= 1 và các trường fermion hoặc vô hướng trong biểu diễn cơ sở thì Ci(vector) = N , Ti(Dirac fermion, scalar) = 1/2 và Ci(vector) = 0 cho nhóm U (1). Trong SM, đối với nhóm U (1)Y thì Ti được xác định qua siêu tích yếu: (cid:80) Ti(Dirac fermion, scalar) = (cid:80)(Y /2)2, và (cid:80) Ti(Dirac fermion, scalar) = (cid:80) X 2 cho U (1)X trong mô hình 3-3-1.

Hai giá trị α1(µ) và α2(µ) được xác định từ (2.66) như dưới đây:

(2.68)

(cid:88) bi = Ci(vector). (2.67) Ti(Dirac fermion) + Ti(scalar) − 11 3 1 3 4 3

(2.69)

α1(µ) = (cid:19), ln 1 + α1(MZ) (cid:18)MZ µ

α2(µ) = (cid:19). ln 1 + α2(MZ) α1(MZ) b1 2π α2(MZ) b2 2π (cid:18)MZ µ

30

Thay các biểu thức (2.68) và (2.69) vào (2.65), chúng ta được: (cid:19)(cid:21)

(2.70)

sin2 θW (MZ) (cid:20) 2π + α2(MZ)b2 ln

Đối với hệ số bi trong trường hợp này phụ thuộc vào số lưỡng tuyến có siêu tích yếu bằng ±1, NH, và số tam tuyến vô hướng không Hermitian có siêu tích yếu bằng 2, NT . Cụ thể như sau:

(2.71)

sin2 θW (µ) = (cid:19). 2π + (b1 + b2) ln (cid:18)MZ µ (cid:18)MZ µ α1(MZ)α2(MZ) α1(MZ) + α2(MZ)

(2.72)

, b1 =

1, η−

2 ) ∼ (1, 2, −1) và (ρ+

1 , ρ0

2 , σ0

Như vậy, cả hai mô hình trên đều có chung hai lưỡng tuyến có siêu tích yếu bằng ±1 là (η0 2) ∼ (1, 2, 1). Tuy nhiên, do M331 có thêm lục tuyến nên mô hình này còn có thêm một lưỡng tuyến có siêu tích yếu bằng 1 là (h+ 2) ∼ (1, 2, 1) và một tam tuyến vô hướng không Hermitian có siêu tích yếu bằng 2 là T ∼ (1, 3, 2). Do đó, các giá trị bi của hai mô hình lần lượt là (b1, b2) = (7, −3) cho C331 và (b1, b2) = (49/6, −13/6) cho M331.

Thay lần lượt các giá trị (b1, b2) của hai mô hình trên vào (2.70) và sử dụng các giá trị thực nghiệm MZ = 91.1880 GeV, α−1 1 (MZ) = 98.36461, α−1 2 (MZ) = 29.56938, α−1(MZ) = 127.9340 và sin2 θW (MZ) = 0.23113 để khảo sát sin2 θW (µ) theo sự thay đổi của µ. Đồ thị biểu thị giá trị của sin2 θW (µ) theo µ của hai mô hình trên được thể hiện trên hình 2.1, trong đó đồ thị đường đứt ứng với M331 và đồ thị đường liền ứng với C331. Từ đó, chúng ta xác định được cực Landau tại giá trị sin2 θW (M ) = 0.25 là µ → M (cid:39) 4 TeV cho C331 và µ → M (cid:39) 5.7 TeV cho M331. Chú ý rằng, nếu M331 không sử dụng lục tuyến S thì giá trị cực Landau của hai mô hình này là như nhau ((cid:39) 4 TeV).

. b2 = NH + NT − 1 6 1 6 NH + NT + 2 3 20 3 10 3

Đối với trường hợp này, giá trị của sin2 θW (µ) trong (2.64) được viết lại như sau:

• Trường hợp µ ≥ µ331

31

Hình 2.1: Sự thay đổi của góc trộn điện yếu theo thang năng lượng µ trong M331

(đường đứt) và C331 (đường liền) trong trường hợp µ < µ331.

(2.73)

trong đó αX(µ) được xác định từ phương trình tái chuẩn hóa cho bởi [42]:

sin2 θW (µ) = , µ ≥ µ331, 1 4 1 + 1 αL(µ) 4αX(µ)

(2.74)

Giá trị của bX được xác định từ (2.67) lần lượt là bX = 22 cho M331 và bX = 26 cho C331. Phương trình (2.73) cho thấy khi αX(µ) → ∞ thì sin2 θW (µ) = 0, 25 và µ → M (cực Landau). Tuy nhiên, đối với phương trình (2.74) khi αX(M (cid:48)) > 1 thì lý thuyết nhiễu loạn không áp dụng được nữa. Vì vậy, chúng ta cần xác định giới hạn của lý thuyết nhiễu loạn khi µ = M (cid:48) tương ứng với αX(M (cid:48)) = 1. Giới hạn này được xác định từ (2.74) như sau:

(cid:19) + = (cid:2)1 − 4 sin2 θW (MZ)(cid:3) (b1 − 3b2) ln 1 2π 1 αX(µ) 1 α(MZ) (cid:18) MZ µ331 (cid:19) + . bX ln 1 2π (cid:18)µ331 µ

(2.75)

(cid:19)(cid:21) (cid:19) b1−3b2 bX exp − 1 . M (cid:48) = µ331 (cid:18) MZ µ331 (cid:20)2π bX (cid:18)1 − 4 sin2 θW (MZ) α(MZ)

32

Giá trị của µ331 trong phương trình trên được xác định trong điều kiện µ331 < M (cid:48). Dĩ nhiên là M (cid:48) < M .

. Những mô hình này cực Landau

với lepton nặng trung hòa, β = −

Ngoài ra, mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải hoặc mô hình 3-3-1 1 √ 3

phát sinh có thể cỡ thang Planck. Vì vậy, các thang vật lý trong các mô hình này không bị giới hạn bởi cực Landau.

Dưới đối xứng SU (3)L ⊗ U (1)X và X = Q − T3 − βT8, dòng trung hòa

được xác định tổng quát bởi Lagrangian dưới đây:

(2.76)

2.3.3 FCNCs trong mô hình 3-3-1

trong đó, F được tính cho tất cả các fermion, và

(2.77)

LNC = −g ¯F γµ(P N C)F,

Kết hợp (2.77), (2.36) và (2.37), P NC được viết lại là

P NC ≡ T3A3 + T8A8 + tXXB.

W )Z

W T8

W

Thay biểu thức (2.78) vào (2.76), dòng trung hòa được viết lại là

P NC = QsW Aµ + (T3 − Qs2 1 cW (cid:32) (cid:33) (cid:113) − + 1 − (1 + β2)s2 Z (cid:48). (2.78) + 1 cW βs2 W X (cid:112)1 − (1 + β2)s2

µ F

F

(cid:88) ¯F γµP NC LNC = −g

W Q(cid:1) F Zµ

µ.(2.79)

W T8 −

W

Số hạng thứ nhất cho tương tác của các fermion với photon:

(2.80)

= −gsW Q ¯F γµF Aµ − ¯F γµ (cid:0)T3 − s2 g cW (cid:32) (cid:33) (cid:113) − ¯F γµ 1 − (1 + β2)s2 F Z (cid:48) g cW βs2 W X (cid:112)1 − (1 + β2)s2

−gsW Q ¯F γµF Aµ = −eQ(f ) ¯f γµf Aµ,

33

trong đó e = gsW , f là fermion trong mô hình.

Số hạng thứ hai trong biểu thức (2.79) cho tương tác của các fermion

với boson chuẩn Zµ: ¯F γµ (cid:0)T3 − s2

W Q(cid:1) F Zµ = −

(2.81)

W Q(fL)(cid:3) fL (cid:9) Zµ.

− g cW g cW

Các ký hiệu fL và fR lần lượt là các fermion phân cực trái và các fermion phân cực phải, được định nghĩa như sau:

(2.82)

+ ¯fRγµ (cid:2)−s2 (cid:8) ¯fLγµ (cid:2)T3(fL) − s2 W Q(fR)(cid:3) fR

fL = (1 − γ5)f, fR = (1 + γ5)f. 1 2 1 2

−

W Q(f ) − T3(fL)γ5

g cW = − (cid:3) f Zµ

(2.83)

W Q(cid:1) F Zµ ¯f γµ (cid:2)T3(fL) − 2s2 ¯f γµ (cid:104)

A (f )γ5

Thay fL và fR trong biểu thức (2.82) vào (2.81), tương tác của các fermion với boson chuẩn Zµ được viết lại như dưới đây: ¯F γµ (cid:0)T3 − s2 g 2cW g 2cW

trong đó

(2.84)

W Q(f ),

(cid:105) = − f Zµ, gZµ V (f ) − gZµ

Số hạng cuối cùng trong phương trình (2.79) cho tương tác của các fermion với boson chuẩn Z (cid:48) µ:

gZµ V (f ) ≡ T3(fL) − 2s2 gZµ A (f ) ≡ T3(fL).

W T8 −

W

(cid:34)(cid:32) (cid:33)(cid:35) (cid:113) ¯F γµ 1 − (1 + β2)s2 X − F Z (cid:48) µ g cW

W T8 −

W

(cid:40)(cid:34) (cid:35)(cid:41) (cid:113) ¯f γµ 1 − (1 + β2)s2 = − f Z (cid:48) µ g cW

W T3

(cid:34)(cid:32) (cid:33)

W

W

¯f γµ = − T8 + g cW βs2 W (cid:112)1 − (1 + β2)s2 βs2 W (Q − T3 − βT8) (cid:112)1 − (1 + β2)s2 βs2 (cid:112)1 − (1 + β2)s2

W Q

c2 W (cid:112)1 − (1 + β2)s2 (cid:35)

W

− f Z (cid:48) µ βs2 (cid:112)1 − (1 + β2)s2

34

(cid:33) (cid:40) (cid:32)

W

= − ¯fLγµ T8(fL)fL g cW

(cid:33) (cid:32)

W

T3(fL)fL + ¯fLγµ

W Q(f )

W

(cid:33) (cid:32) c2 W (cid:112)1 − (1 + β2)s2 βs2 W (cid:112)1 − (1 + β2)s2 βs2 − fL + ¯fLγµ (cid:112)1 − (1 + β2)s2

W Q(f )

W

(cid:32) (cid:33) (cid:41) βs2 − + ¯fRγµ fR Z (cid:48) µ

(2.85)

A (f )γ5

trong đó

(cid:17) ¯f γµ (cid:16) = − f Z (cid:48) µ, (cid:112)1 − (1 + β2)s2 V (f ) − gZ2 gZ2 g 2cW

(cid:32) (cid:33)

W

W

(2.86)

(2.87)

T3(fL) + T8(fL), gZ (cid:48) A (f ) = βs2 W (cid:112)1 − (1 + β2)s2 c2 W (cid:112)1 − (1 + β2)s2

V (f ) = gZ (cid:48) gZ (cid:48)

A (f ) −

W

Giá trị của gV (f ) và gA(f ) tương ứng với Z và Z (cid:48) được liệt kê trong bảng 2.1 và bảng 2.2.

Kết quả trên cho thấy, tương tác của fermion với photon và Zµ trong mô hình này là trùng khớp với tương tác của fermion với photon và Zµ trong SM.

FCNCs được xác định từ phương trình (2.76) như sau:

(2.88)

Q(f ). 2βs2 W (cid:112)1 − (1 + β2)s2

Chúng ta thấy rằng, các lepton, kể cả các hạt mới νR, k và các quark ngoại lai (exotic quarks) không cho đóng góp vào FCNCs, các số hạng gắn với các toán tử T3 và Q cũng không cho đóng góp vào FCNCs, bởi vì các hế hệ tương ứng νaL, eaL, kaL, uaL, daL, jαL, νaR, eaR, kaR, uaR, daR và jαR là giống nhau đối với các toán tử này. Có thể lấy ví dụ cho các quark thông thường gắn với số hạng chứa T3 (T3u = 1/2, T3d = −1/2) để minh họa điều này.

LFCNCs = −g ¯F γµ[T3A3µ + T8A8µ + tX(Q − T3 − βT8)Bµ]F.

35

f

gZ V 1 2

− 1

W

W

W

W

W

gZ A 1 νa 2 ea − 1 2 + 2s2 2 −2qs2 0 ka W 2 − 4 1 1 3s2 ua 2 2 + 2 − 1 da − 1 3s2 2 2( 1 3 + q)s2 0 Jα 0 −2( 2 3 + q)s2 J3

Bảng 2.1: Giá trị của các hằng số tương tác của Z với các fermion.

Từ (2.88), các số hạng gắn với T3 được viết lại cho quark u và d như sau:

L + ¯d(cid:48)

Lγµ(V †

L](A3µ − tXBµ)

LT3 ⊃ −g[¯uaLγµT3(uaL)uaL + ¯daLγµT3(daL)daL](A3µ − tXBµ)

dLT3dVdL)d(cid:48) L](A3µ − tXBµ)

(2.89)

= −

Lγµ(V † = −g[¯u(cid:48) Lγµ(V † [¯u(cid:48) Lγµ(V †

L](A3µ − tXBµ),

uLT3uVuL)u(cid:48) uLDiag(1, 1, 1)VuL)u(cid:48) dLDiag(1, 1, 1)VdL)d(cid:48)

trong đó u = (u1, u2, u3)T hoặc d = (d1, d2, d3)T , qL,R = VqL,qRq(cid:48) L,R, u(cid:48) = (u, c, t)T hoặc d(cid:48) = (d, s, b)T . Biểu thức (2.89) cho thấy, ma trận trộn là đơn vị, do đó số hạng gắn với T3 không cho đóng góp vào FCNCs. Như vậy, FCNCs chỉ gắn với các số hạng chứa T8 như dưới đây:

(2.90)

[ ¯d(cid:48) + g 2 g 2

Giống như số hạng chứa toán tử T3, đối với số hạng chứa T8 thì các lepton, các hạt mới νR, k và các quark ngoại lai (exotic quarks) cũng không cho đóng góp vào FCNCs, bởi vì các thế hệ tương ứng của chúng là giống nhau đối với toán tử này. Vì vậy, chỉ có thể xảy ra chuyển vị giữa các quark thông thường qα và q3. Chúng ta viết FCNCs bởi đóng góp của các quark thông thường như sau:

LFCNCs ⊃ −g ¯F γµT8[A8µ − tXβBµ]F.

LFCNCs ⊃ −g[¯uaLγµT8(uaL)uaL + ¯daLγµT8(daL)daL](A8µ − βtXBµ),(2.91)

trong đó các giá trị (T8(u1) = T8(d1), T8(u2) = T8(d2), T8(u3) = T8(d3)) = 1 √ 2

3

(−1, −1, 1).

36

f

3β)s2 W

3β)s2 W

νa

W

W

3β)s2 W

ea

W

√

−

ka

W

W

√

uα −

W

gZ(cid:48) A √ 1 − (1 − √ 3(cid:112)1 − (1 + β2)s2 2 √ 1 − (1 + √ 3(cid:112)1 − (1 + β2)s2 2 −c2 W 3(cid:112)1 − (1 + β2)s2 √ 3β)s2 1 − (1 + W √ 3(cid:112)1 − (1 + β2)s2 2 √

3β)s2 W

u3

W

3 + (

dα −

W

1 − (1 − √ 3(cid:112)1 − (1 + β2)s2 2 √ 3β)s2 1 − (1 − W √ 3(cid:112)1 − (1 + β2)s2 2 √

3 − (

3β)s2 W

d3

gZ(cid:48) V √ 1 − (1 − √ 3(cid:112)1 − (1 + β2)s2 2 √ 3β)s2 1 − (1 − 3 W √ 3(cid:112)1 − (1 + β2)s2 2 √ W 3β)qs2 1 − (1 − 2 W √ 3(cid:112)1 − (1 + β2)s2 √ 3 − 5β)s2 3 + ( − W 6(cid:112)1 − (1 + β2)s2 √ √ W 3 + 5β)s2 3 − ( W 6(cid:112)1 − (1 + β2)s2 √ √ W 3 + β)s2 − W 6(cid:112)1 − (1 + β2)s2 √ √ W 3 − β)s2 W 6(cid:112)1 − (1 + β2)s2

W

W

√

√

3 − [

3 + (4 + 6q)β)]s2 W

√

Jα

W

W

√

√

−

3 + (2 + 6q)β)]s2 W

√

J3

1 − (1 + √ 3(cid:112)1 − (1 + β2)s2 2 c2 W 3(cid:112)1 − (1 + β2)s2 −c2 W 3(cid:112)1 − (1 + β2)s2

3(cid:112)1 − (1 + β2)s2 3 + [ 3(cid:112)1 − (1 + β2)s2

W

W

Bảng 2.2: Giá trị của các hằng số tương tác của Z (cid:48) với các fermion.

Thay giá trị này vào Lagrangian trên, chúng ta được:

Lγµ(V †

L](A8µ − βtXBµ)

uLDiag(1, 1, −1)VuL)u(cid:48)

[¯u(cid:48) LFCNCs ⊃ g √ 2

Lγµ(V †

L](A8µ − βtXBµ)

dLDiag(1, 1, −1)VdL)d(cid:48)

3 g √ + [ ¯d(cid:48)

Lγµ(V †

L](A8µ − βtXBµ)

uLDiag(1, 1, 1)VuL)u(cid:48)

3 [¯u(cid:48) = 2 g √ 2

Lγµ(V †

L](A8µ − βtXBµ)

uLDiag(0, 0, −2)VuL)u(cid:48)

3 g √ [¯u(cid:48) + 2 3

Lγµ(V †

L](A8µ − βtXBµ)

dLDiag(1, 1, 1)VdL)d(cid:48)

g √ [ ¯d(cid:48) + 2 3

Lγµ(V †

L](A8µ − βtXBµ).(2.92)

dLDiag(0, 0, −2)VdL)d(cid:48)

Kết quả trên cho thấy, FCNCs gắn với thành phần chứa ma trận chéo Diag(0, 0, -2). Vì vậy, FCNCs được viết lại như sau:

g √ [ ¯d(cid:48) + 2 3

37

(2.93)

iLγµq(cid:48) ¯q(cid:48)

jL(V ∗

qL)3i(VqL)3jZ2µ,

W

W , được xác định

trong đó q(cid:48) là u(cid:48) hoặc d(cid:48), (A8µ −βtXBµ) = Z2µ/(cid:112)1 − β2t2 từ phương trình (2.47) và (2.48). FCNCs khi i (cid:54)= j. Trộn giữa các meson cho ta xác định được Lagrangian hiệu dụng

(2.94)

LFCNCs ⊃ − 1 √ 3 g (cid:112)1 − β2t2

iLγµq(cid:48)

jL)2,

FCNCs ⊃

qL)3i(VqL)3j]2 W )m2 Z2

(¯q(cid:48) Leff g2[(V ∗ 3(1 − βt2

W )]. Do đó, Lagrangian hiệu dụng được

trong đó m2 Z2 viết lại là

= g2w2/[3(1 − β2t2

(2.95)

FCNCs (cid:39)

iLγµq(cid:48)

jL)2.

s , lần lượt được gây ra bởi các quark (q(cid:48)

s − ¯B0

i, q(cid:48)

qL)3i(VqL)3j]2 w2 Lagrangian này mô tả hệ trộn của các meson K 0 − ¯K 0, D0 − ¯D0, B0 − ¯B0 và B0 j) = (d, s), (u, c), (d, b) và (s, b). Giới hạn trộn của meson K 0 − ¯K 0 được xác định bởi [3]:

[(V ∗ Leff (¯q(cid:48)

(2.96)

dL)31(VdL)32]2 w2

Giả sử các thế hệ quark ua không trộn lẫn. Khi đó, ma trận trộn Cabibbo- Kobayashi-Maskawa là do sự trộn của các quark da. Do đó, VCKM = VdL. Vì vậy, |(V ∗ dL)31(VdL)32| (cid:39) 3.6 × 10−4 [3]. Thay giá trị này vào biểu thức (2.96), chúng ta được:

(2.97)

[(V ∗ < 1 (104 TeV)2 .

w > 3.6 TeV.

Như vậy, tương tác hiệu dụng của Z (cid:48) với các quark thông thường làm phát sinh FCNCs ở mức cây. Thông qua tương tác này, giá trị của thang vật lý mới trong mô hình 3-3-1 được xác định là w > 3.6 TeV. Mặt khác, ở đề mục 2.3.2 đã trình bày về cực Landau của lớp mô hình 3-3-1 tối thiểu W (µ) = g2 3), giá trị s2 X(µ)/[g2(µ) + 4g2 (β = − X(µ)] < 1/4, mô hình gặp phải cực Landau (M ) khi s2 W (M ) = 1/4 hoặc gX(M ) = ∞, giá trị của cực Landau (M ) được xác định khoảng 4 − 5 TeV, phụ thuộc vào

√

38

thang phá vỡ 3-3-1 chưa được xác định (µ331 < M ). Các hình vẽ 2.2 và 2.3 dưới đây, cực Landau được chọn M = 5 TeV, tham số ρ được giới hạn ρ = 1.00040 ± 0.00024, với độ tin cậy 1.7 σ [1] khi khảo sát giá trị của (u, w).

Hình 2.2: Miền giá trị (u, w) được giới hạn bởi các tham số 0.00016 < ∆ρ < 0.00064

và 3.6 TeV < w < 5 TeV. Trong đó u chạy từ 0 đến 246 GeV.

Mô hình 3-3-1 tối thiểu với ba tam tuyến vô hướng η = (η0

1, η−

1 , ρ0

2, ρ++ 3

1 , χ−− 2

, χ0

√

2 , η+ 3 ) ∼ ) ∼ (1, 3, 1) và χ = (χ− (1, 3, 0), ρ = (ρ+ 3) ∼ (1, 3, −1). Đối với mô hình 3-3-1 tối giản chỉ làm việc với hai tam tuyến (ρ, χ) bỏ qua tam tuyến η, trong khi đó mô hình 3-3-1 đơn giản cũng chỉ làm việc với hai tam tuyến (η, χ) mà không cần đến tam tuyến ρ. Các giá trị trung 2, 0, 0)T , bình chân không của các trường vô hướng lần lượt là (cid:104)η(cid:105) = (u/ (cid:104)ρ(cid:105) = (0, v/

Chúng ta có 3 nhận xét sau đây:

√ √ 2, 0)T và (cid:104)χ(cid:105) = (0, 0, w/ 2)T .

định gần đúng như sau:

(2.98)

• Đối với mô hình 3-3-1 tối giản (u = 0, v = vw): tham số ∆ρ được xác

∆ρ (cid:39) (cid:19)2 v2 w w2 . (cid:18)1 + 2s2 W 2c2 W

39

Hình 2.3: Miền giá trị (u, w) được giới hạn bởi các tham số −0.001 < ϕ < 0.001 [1]

và 3.6 TeV < w < 5 TeV. Trong đó u chạy từ 0 đến 246 GeV.

Sử dụng điều kiện thực nghiệm, 0.00016 < ∆ρ < 0.00064 và s2 W = 0.231 [1], miền giá trị của thang vật lý mới w được xác định trong khoảng 9.243 TeV < w < 18.487 TeV. Miền giá trị này lớn hơn giới hạn cực Landau, w < 5 TeV.

• Mô hình 3-3-1 đơn giản (v = 0, u = vw): tham số ∆ρ được xác định

W

(2.99)

như biểu thức dưới đây: (cid:34)(cid:18)1 − 4s2 2c2 W

Giá trị của thang vật lý mới được xác định là w ∼ 555 GeV, trong đó s2 W = 0.231 và α = 1/128 [1]). Vật lý mới được xác định dưới cực Landau. Tuy nhiên, giá trị này nhỏ hơn giới hạn từ FCNCs, w > 3.6 TeV. Vì vậy, mô hình này có sự khác biệt về thực nghiệm.

(cid:19)2 (cid:19)(cid:35) + ∆ρ ∼ − t2 W (cid:18)1 4 v2 w w2 . 3α 4πs2 W

w): tham số ∆ρ là một hàm hai biến (u, w). Chúng ta vẽ các đường contour cho ∆ρ và miền của ∆ρ được giới hạn 0.00016 < ∆ρ < 0.00064. Cực Landau giới hạn được w < 5 TeV và FCNCs ràng buộc

• Mô hình 3-3-1 tối thiểu với ba tam tuyến vô hướng (u2 + v2 = v2

40

w > 3.6 TeV. Kết quả được hiển thị trong hình 2.2. Để hoàn chỉnh, góc trộn ϕ giữa Z1 − Z2 cũng được khảo sát ở hình 2.3.

2.4 Biện luận kết quả

Mô hình 3-3-1 tối giản cho miền giá trị của thang vật lý mới lớn hơn cực Landau hay nói cách khác giả sử mô hình làm việc dưới cực Landau (w < 5 TeV), khi đó sẽ cho tương ứng giá trị tham số ∆ρ > 0.0022, lớn hơn giới hạn cho phép từ thực nghiệm [1]. Vì vậy, mô hình này là không thực tế (không phù hợp về mặt toán học). Do đó, mô hình này cần phải được mở rộng.

Mô hình 3-3-1 đơn giản, mặc dù điều kiện ràng buộc tham số ∆ρ cho thang vật lý mới w nhỏ hơn cực Landau, w = 555 GeV, nhưng giá trị này lại quá nhỏ so với giới hạn thực nghiệm về FCNCs, w > 3.6 TeV. Giống như mô hình 3-3-1 tối giản, mô hình này cũng cần phải mở rộng để làm việc tốt với các ràng buộc trên.

Mô hình 3-3-1 tối thiểu với ba tam tuyến vô hướng phù hợp với tất cả các ràng buộc thực nghiệm kể trên khi 3.6 TeV < w < 4-5 TeV và 162.5 GeV < u < 215.6 GeV (hoặc 0.55 < v/u < 1.14). Trong miền giá trị này, chúng ta luôn có được giá trị (u, w) sao cho góc trộn ϕ giữa Z − Z (cid:48) nhỏ, phù hợp với các dữ liệu thực nghiệm.

Lớp mô hình 3-3-1 với β = ±

√

3 (trong đó β xác định toán tử điện tích Q = T3 + βT8 + X) và ba tam tuyến vô hướng, bao gồm các mô hình đã đề cập và mô hình 3-3-1 với lepton mang điện ngoại lai [44], là những mô hình phải thỏa mãn các điều kiện các ràng buộc trên.

X/[g2 + (1 + β2)g2

W = g2

Tuy nhiên, các điều kiện nói trên có thể được mở rộng bởi vì cực Landau có thể được nâng lên bằng cách mở rộng phổ hạt [45]. Ngoài ra, đối với 3, trong đó s2 các mô hình 3-3-1 với |β| < X] < 1/(1 + β2), thì cực Landau có giá trị khá lớn. Ví dụ, các mô hình 3-3-1 không có các tích ngoại lai, chẳng hạn như mô hình 3-3-1 với neutrino phân

√

41

cực phải [7–9], cực Landau có thể đến thang Planck. Do đó, các thang năng lượng trong các mô hình này không bị ràng buộc bởi cực Landau.

Cuối cùng, chúng ta cần chú ý rằng tham số ρ và góc trộn ϕ giữa Z −Z (cid:48) không những phụ thuộc vào các thang phá vỡ u, v, w mà còn phụ thuộc vào β.

42

Chương 3

Hiệu ứng trộn động năng trong mô

hình 3-3-1-1

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu mô hình 3-3-1-1 mới được đề xuất gần đây bởi [35]. Mô hình này đã cho nhiều phiên bản giải quyết các vấn đề như cung cấp ứng cử viên vật chất tối, khối lượng neutrino, lạm phát của vũ trụ, và leptogenesis đã được nghiên cứu trong [35–37]. Tuy nhiên, trong luận án này, chúng tôi tập trung vào vấn đề là hiệu ứng trộn của các boson chuẩn trung hòa trong mô hình này. Hiệu ứng trộn này đến từ hai nguồn: do sự phá vỡ đối xứng 3-3-1-1 như thông thường và do sự trộn động năng giữa các boson chuẩn của hai nhóm U (1).

3.1 Mô hình 3-3-1-1

Trong SM các fermion biến đổi theo lưỡng tuyến hoặc đơn tuyến đối với SU (2)L. Trong tường hợp đối xứng chuẩn SU (2)L được mở rộng thành SU (3)L thì các biểu diễn fermion tương ứng cũng được mở rộng. Dưới đối xứng chuẩn SU (3)L, các fermion được sắp xếp vào các đa tuyến được cho bởi [35, 46] như sau:

Các lepton phân cực trái và thế hệ thứ ba của quark phân cực trái được xếp vào tam tuyến đối với nhóm SU (3)L, hai thế hệ đầu của quark phân

43

cực trái được xếp vào phản tam tuyến đối với nhóm SU (3)L, các lepton và các quark phân cực phải được xếp vào đơn tuyến đối với nhóm SU (3)L như dưới đây:

(3.1)

 

ψaL ≡     ∼ 3, νaL eaL kaL

(3.2)

 

Q3L ≡     ∼ 3, u3L d3L j3L

(3.3)



(3.4)

QαL ≡     ∼ 3∗,  dαL −uαL jαL

trong đó a = 1, 2, 3 và α = 1, 2 là các chỉ số thế hệ. Các hạt mới kaL,R, jaL,R và νaR được đưa vào để hoàn thành các biểu diễn tam tuyến và phản tam tuyến đối với nhóm SU (3)L, đồng thời để khử dị thường.

Chúng ta thấy toán tử điện tích Q và tích (B − L) của các thành phần

tam tuyến lepton (3.1) được xác định như sau:

(3.5)

νaR, eaR, kaR, uaR, daR, jaR ∼ 1,

trong đó q và n lần lượt là điện tích và hiệu số B − L của hạt mới ka, điện tích và số B − L của các hạt mới còn lại được xác định thông qua q và n. Các toán tử Q và B − L không giao hoán và cũng không đóng kín đại số với đối xứng chuẩn SU (3)L [47]. Điều này được thấy rõ từ các hệ thức liên hệ sau:

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Q = Diag(0, 1 q), B − L = Diag(−1, 1 n),

[Q, T1 ± iT2] = ±(T1 ± iT2) (cid:54)= 0, [Q, T4 ± iT5] = ∓q(T4 ± iT5) (cid:54)= 0, [Q, T6 ± iT7] = ∓(1 + q)(T6 ± iT7) (cid:54)= 0, [B − L, T4 ± iT5] = ∓(1 + n)(T4 ± iT5) (cid:54)= 0, [B − L, T6 ± iT7] = ∓(1 + n)(T6 ± iT7) (cid:54)= 0,

44

trong đó Ti là các vi tử của nhóm chuẩn SU (3)L, i = 1, 2, 3, ..., 8, trong biểu diễn cơ sở Ti = 1 2λi, λi là các ma trận Gell-Mann. Ngược lại, nếu đại số đóng kín thì Q và B − L phải là tổ hợp tuyến tính của các vi tử của SU (3)L, tức là Q = xiTi và B − L = aiTi và do các vi tử Ti có vết bằng không nên TrQ = 0, Tr(B − L) = 0. Tuy nhiên, ở đây đại số không đóng kín là vì tam tuyến lepton, tam tuyến, phản tam tuyến quark phân cực trái, các đơn tuyến phân cực phải của quark và lepton đều có vết của Q và vết của B − L khác không (TrQ (cid:54)= 0 và Tr(B − L) (cid:54)= 0). Vì vậy, để khôi phục tính đóng kín đại số, bảo đảm tính tự hợp của lý thuyết, chúng ta phải thêm vào đối xứng chuẩn của lý thuyết ít nhất hai nhóm Abelian mới: U (1)X có số lượng tử là tích X sao cho điện tích Q đóng kín đại số với SU (3)L ⊗ U (1)X, trong đó tích X là sự mở rộng từ siêu tích yếu Y của SM, và U (1)N có số lượng tử là tích N sao cho B − L đóng kín đại số với SU (3)L ⊗ U (1)N . Đối xứng mới thu được là

(3.11)

và được gọi là đối xứng 3-3-1-1 (bao gồm cả nhóm đối xứng màu SU (3)C) [35]. Như vậy, tích X sẽ cho xác định toán tử điện tích và tích N sẽ cho xác định toán tử tích B − L. Bởi vì SU (3)L là đối xứng chuẩn nên Q, và B − L (tích X và N ) cũng phải là đối xứng chuẩn. Đây là hệ quả của tính không giao hoán giữa các đại số SU (3)L, U (1)X và U (1)N . Mô hình thu được là sự thống nhất tương tác yếu, tương tác điện từ và tương tác B − L, điều này tương tự như thống nhất tương tác yếu và tương tác điện từ trong lý thuyết của Glashow-Weinberg- Salam. Có thể nói rằng, đây cũng là sự mở rộng mới từ mô hình 3-3-1, bởi vì mô hình 3-3-1 không xét đến tương tác B − L.

Sau khi phá vỡ đối xứng 3-3-1-1 bởi các giá trị trung bình chân không của các đa tuyến vô hướng, điện tích Q và tích B − L là những tích bảo toàn. Vì thế, chúng là tổ hợp của các vi tử chéo T3, T8, X và N của đối xứng SU (3)L ⊗ U (1)X ⊗ U (1)N . Khi đó, điện tích Q và tích B − L được xác định một cách tổng quát như sau:

(3.12)

SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ U (1)X ⊗ U (1)N

Q = αT3 + βT8 + γX,

45

(3.13)

Các hệ số α, β, γ, α(cid:48), β(cid:48) và γ(cid:48) tìm được bằng cách lần lượt tác dụng toán tử điện tích Q và B − L lên tam tuyến lepton (phụ lục B.1 và B.2). Kết quả thu được như sau:

(3.14)

B − L = α(cid:48)T3 + β(cid:48)T8 + γ(cid:48)N.

(3.15)

Q = T3 + βT8 + X,

B − L = β(cid:48)T8 + N,

√ √

Sự sắp xếp các hạt vào các đa tuyến và các số lượng tử tương ứng, dưới

đối xứng 3-3-1-1, được xác định bởi [46] như dưới đây:

3, β(cid:48) = −2(1 + n)/ 3. Đồng nhất (3.14) với trong đó β = −(1 + 2q)/ toán tử điện tích trong SM, Q = T3 + Y , chúng ta thu được biểu thức xác định siêu tích yếu là Y = βT8 + X. Biểu thức mô tả điện tích Q trong (3.14) phù hợp với biểu thức đã có trong phần 2.1, giống như trong mô hình 3-3-1, trong đó giá trị cụ thể của hệ số β phụ thuộc vào các mô hình 3-3-1 khác nhau. Sự bảo toàn điện tích là nguyên nhân dẫn đến tương tác điện từ. Đối xứng B − L phải được phá vỡ để cung cấp khối lượng đủ lớn cho các boson chuẩn của U (1)N để phù hợp với thực nghiệm hiện nay là các hạt này không bị phát hiện bởi các máy gia tốc năng lượng cao. Đối xứng B − L bị phá vỡ đẫn đến sự xuất hiện đối xứng dư W-parity P đảm bảo tính bền cho vật chất tối.

(3.16)

  (cid:18) (cid:19) 1, 3, , , ψaL ≡   ∼   −1 + q 3 −2 + n 3 νaL eaL kaL

νaR ∼ (1, 1, 0, −1) , eaR ∼ (1, 1, −1, −1), kaR ∼ (1, 1, q, n),(3.17)

 

(3.18)

(cid:16) (cid:17) 3, 3∗, − , − , QαL ≡   ∼   q 3 n 3 dαL −uαL jαL

(3.19)

  (cid:19) (cid:18) , , 3, 3, Q3L ≡     ∼ 1 + q 3 2 + n 3 u3L d3L j3L

46

(3.20)

(cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) , 3, 1, − , , , 3, 1, daR ∼ uaR ∼ 2 3 1 3 1 3 1 3

trong đó các số lượng tử trong dấu ngoặc đơn lần lượt là các số lượng tử của các đối xứng con SU (3)C, SU (3)L, U (1)X, U (1)N , trong nhóm tổng 3-3-1-1. Chú ý rằng, trong trường hợp đặc biệt, kaR được bỏ đi, còn kaL được thay thế bởi một trong hai (eaR)c hoặc (νaR)c thì chúng ta lần lượt được các phiên bản khác nhau của mô hình, tương ứng gọi là 3-3-1-1 tối thiểu và 3-3-1-1 với neutrino phân cực phải. Các tính toán dưới đây được áp dụng tổng quát cho tất cả các trường hợp.

Điện tích (Q) và tích (B − L) của các hạt mới lần lượt là Q(νR) = 0, 3 −q, [B −L](νR) = −1, [B −L](k) =

(cid:19) (cid:18) (cid:18) (cid:19) 3, 1, + q, + n , 3, 1, − − q, − − n , (3.21) j3R ∼ jαR ∼ 4 3 2 3 1 3 2 3

3 +q, Q(jα) = − 1 3 + n, [B − L](jα) = − 2

3 − n.

Để phá vỡ đối xứng 3-3-1-1 và sinh khối lượng thích hợp cho các hạt, chúng ta cần ba tam tuyến và một đơn tuyến được xác định bởi [46] như sau:

Q(k) = q, Q(j3) = 2 n, [B − L](j3) = 4

(3.22)

  (cid:19) (cid:18) , , η = 1, 3,     ∼ q − 1 3 n + 1 3

(3.23)

  (cid:18) (cid:19) , ρ = 1, 3, ,   ∼   q + 2 3 n + 1 3

(3.24)

(3.25)

  (cid:19) (cid:18) , − (n + 1) , χ = 1, 3, −     ∼ 2q + 1 3 2 3 η0,0 1 η−1,0 2 ηq,n+1 3 ρ1,0 1 ρ0,0 2 ρq+1,n+1 3 χ−q,−n−1 1 χ−q−1,−n−1 2 χ0,0 3

trong đó chỉ số trên viết của các trường định nghĩa tương ứng các tích (Q, B − L), còn các chỉ số dưới phân biệt các thành phần khác nhau của tam tuyến SU (3)L.

φ ∼ (1, 1, 0, 2),

47

Các giá trị trung bình chân không lần lượt là

(3.26)

   

(cid:104)η(cid:105) = (cid:104)ρ(cid:105) =       ,   , 1 √ 2 1 √ 2 u 0 0 0 v 0

(3.27)

 

Các giá trị trung bình chân không w, u, v phát vỡ đối xứng 3-3-1-1 xuống đối xứng SU (3)C ⊗ U (1)Q ⊗ U (1)B−L qua hai giai đoạn: đầu tiên là đối xứng 3-3-1-1 bị phá vỡ xuống SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y ⊗ U (1)B−L bởi giá trị trung bình chân không w. Trong lần phá vỡ này, các quark ngoại lai và các boson chuẩn mới nhận khối lượng. Sau đó, SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y ⊗ U (1)B−L bị phá vỡ xuống SU (3)C ⊗ U (1)Q ⊗ U (1)B−L bởi các giá trị trung bình chân không u, v và sinh khối lượng cho các fermion và các boson chuẩn trong mô hình chuẩn. Ở đây, u, v, w chỉ phá vỡ N nhưng không phá vỡ B − L, bởi vì [B − L](cid:104)η(cid:105) = [B − L](cid:104)ρ(cid:105) = [B − L](cid:104)χ(cid:105) = 0 cho u, v, w (cid:54)= 0. Trong khi đó, giá trị trung bình chân không Λ phá vỡ đối xứng B − L và N xuống đối xứng gián đoạn P , U (1)B−L → P vì [B − L](cid:104)φ(cid:105) (cid:54)= 0. Tóm lại, đối xứng 3-3-1-1 bị vỡ như sơ đồ sau:

(cid:104)φ(cid:105) = Λ. (cid:104)χ(cid:105) =     , 1 √ 2 1 √ 2 0 0 w

Đối xứng P còn lại được xác định bằng cách xét biến đổi của trường Φ

qua nhóm U (1)B−L như dưới đây:

(3.28)

SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ U (1)X ⊗ U (1)N ↓ (cid:104)χ(cid:105) SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y ⊗ U (1)B−L ↓ (cid:104)η(cid:105), (cid:104)ρ(cid:105) SU (3)C ⊗ U (1)Q ⊗ U (1)B−L ↓ (cid:104)φ(cid:105) SU (3)C ⊗ U (1)Q ⊗ P .

trong đó α là một tham số biến đổi.

Φ → Φ(cid:48) = U (α)Φ, U (α) = eiα(B−L),

48

Bởi vì B − L bị phá vỡ bởi (cid:104)φ(cid:105) nên √

(3.29)

Thực hiện biến đổi bảo toàn chân không sau đây:

(3.30)

[B − L](cid:104)φ(cid:105) = 2Λ (cid:54)= 0.

Do đó α = mπ và m = 0, ±1, ±2, ... Vì vậy, chúng ta được:

U (α)(cid:104)φ(cid:105) = (cid:104)φ(cid:105) hay ei2α = 1 = ei2mπα.

Đây là nhóm đối xứng Z2 nên P = (−1)3(B−L), gọi là đối xứng chẵn lẻ vật chất. Ngoài ra, lý thuyết là bất biến Lorentz dẫn đến sự bảo toàn số fermion. Vì vậy, toán tử chẵn lẻ spin (−1)2s cũng được bảo toàn.

Tổng hợp các kết quả trên, chúng ta viết lại biểu thức của P như sau:

(3.32)

P = U (mπ) = eiα(B−L) = eimπ(B−L) = (−1)m(B−L) = {1, −1}. (3.31)

trong đó s là spin. P là một đối xứng chính xác và không bị phá vỡ, đặc trưng cho hạt mang số lepton sai (wrong lepton particle) trong mô hình 3-3-1-1. Chú ý rằng, do w, Λ là thang khối lượng của các hạt vật lý mới, trong khi đó u, v là thang khối lượng của các hạt vật lý thông thường. Để phù hợp với mô hình chuẩn thì cần điều kiện u, v (cid:28) w, Λ.

Chú ý rằng, điện tích q của hạt mới ka được giới hạn từ góc Weinberg

[46] như dưới đây:

(3.33)

P = (−1)3(B−L)+2s = (−1)3(β(cid:48)T8+N )+2s,

< s2 W = g2 X g2 + (1 + β2)g2 X

1 1 + β2 . Mô hình có thể gặp cực Landau (M ) khi s2 W (M ) = 1/(1 + β2) hoặc gX(M ) = ∞. Do đó, mô hình sẽ phù hợp khi M lớn hơn các giá trị trung bình chân không w, Λ và dĩ nhiên là lớn hơn so với thang điện yếu yếu u, v. Từ biểu thức trên chúng ta có thể đưa ra được giới hạn cho β tại thang điện yếu,

(3.34)

(cid:115)

|β| < − 1 (cid:39) 1.82455, 1 s2 W (u, v)

49

trong đó giá trị thực nghiệm s2 W (u, v) (cid:39) 0.231. Sử dụng liên hệ β = 3, chúng ta có giới hạn cho điện tích của ka là −2.08011 < −(1 + 2q)/ q < 1.08011. Bởi vì q là số nguyên nên q = −2, −1, 0, 1. Trong khi đó, điều kiện xác định n là n (cid:54)= (2m − 1)/3, với m là một số nguyên bất kỳ để đảm bảo đối xứng dư thu được là đối xứng gián đoạn, có liên quan đến sự bền của ứng cử viên vật chất tối.

Lagrangian toàn phần (bỏ qua số hạng cố định chuẩn và trường ma)

được xác định một cách tổng quát bởi biểu thức sau:

√

F

(cid:88) (cid:88) L = ¯F iγµDµF + (DµS)†(DµS) + LYukawa

i −

i −

S 1 GiµνGµν 4

(3.35)

−V (η, ρ, χ, φ) − AiµνAµν BµνBµν 1 4 1 4

trong đó F và S được tính cho tất cả các đa tuyến fermion và các đa tuyến vô hướng, và δ là một tham số không thứ nguyên, LYukawa và V (η, ρ, χ, φ) lần lượt là Lagrangian Yukawa và thế vô hướng.

Lagrangian Yukawa và thế vô hướng được cho bởi dạng chuẩn mà không

chứa các số hạng vi phạm số lepton, được viết bởi [35] như sau:

− CµνC µν − BµνC µν, 1 4 δ 2

ab¯νc

aRνbRφ + hU ¯Q3LχUR

¯ψaLηνbR + h(cid:48)ν ¯ψaLρebR + hν ab

(3.36)

¯Q3LρdaR

LYukawa = he ab +hD αβ +hd αa ¯QαLχ∗DβR + hu ¯Q3LηuaR + hd a a ¯QαLρ∗uaR + H.c, ¯QαLη∗daR + hu αa

2χ†χ + µ2

3η†η + λ1(ρ†ρ)2 + λ2(χ†χ)2

(3.37)

1ρ†ρ + µ2 +λ3(η†η)2 + λ4(ρ†ρ)(χ†χ) + λ5(ρ†ρ)(η†η) +λ6(χ†χ)(η†η) + λ7(ρ†χ)(χ†ρ) + λ8(ρ†η)(η†ρ) +λ9(χ†η)(η†χ) + (f (cid:15)mnpηmρnχp + H.c.) + µ2φ†φ +λ(φ†φ)2 + λ10(φ†φ)(ρ†ρ) + λ11(φ†φ)(χ†χ) +λ12(φ†φ)(η†η),

trong đó h, h(cid:48) và λ1,...12 là các hằng số không thứ nguyên, trong khi đó f và µ1,2,3,4 là các hằng số có thứ nguyên khối lượng, (cid:15)mnp là một tensor hoàn toàn phản xứng theo chỉ số 1, 2, 3.

V (ρ, η, χ, φ) = µ2

50

Đạo hàm hiệp biến được xác định như sau:

(3.38)

trong đó gs, g, gX, gN là các hằng số tương tác chuẩn, ti, Ti, X, N là các toán tử và Gi, Ai, B, C là các boson chuẩn tương ứng của nhóm đối xứng 3-3-1-1. Các tensor cường độ trường Giµν, Aiµν và Bµν tương ứng của nhóm chuẩn SU (3)C, SU (3)L và U (1)X được xác định như các biểu thức (2.14), (2.15) và (2.16). Tensor cường độ trường Cµν của nhóm mới U (1)N cũng được xác định tương tự như tensor cường độ trường Bµν của nhóm U (1)X nhưng với boson chuẩn C, Cµν = ∂µCν − ∂νCµ.

Điều cần lưu ý là số hạng trộn động năng trong Lagrangian toàn phần (số hạng chứa δ) không được xét đến trong những nghiên cứu trước đây, mặc dù số hạng này bất biến chuẩn và không bị loại bỏ bởi định nghĩa lại trường chuẩn. Thậm chí nếu nó bị triệt tiêu ở mức cây, thì nó có thể được sinh ra từ đóng góp bổ đính. Trong phần dưới đây của luận án, chúng tôi trình bày kết quả nghiên cứu mới về hiệu ứng trộn của các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1-1 có xét đến số hạng trộn động năng. Để đảm bảo cho động năng nhận giá trị dương nên δ chỉ nhận giá trị |δ| < 1.

Do sự xuất hiện của số hạng trộn động năng, các boson chuẩn Bµ và Cµ nói chung không trực chuẩn. Phần động năng của hai trường này viết lại như sau:

Dµ = ∂µ + igstiGiµ + igTiAiµ + igXXBµ + igN N Cµ,

µν −

µν −

(3.39)

L = · · · − C 2 B2

µν.

Khi đó, các trạng thái ban đầu được chuyển về các trạng thái chính tắc (trực chuẩn), (Bµ, Cµ) → (B(cid:48)

µ), theo phép biến đổi sau:

µ, C (cid:48)

(1 − δ2)C 2 = · · · − δ 1 2 4 (Bµν + δCµν)2 − 1 4 1 4 BµνC µν 1 4

(3.40)

Biểu thức này cho chúng ta xác định được các trạng thái ban đầu,

(cid:112) 1 − δ2C. B(cid:48) = B + δC, C (cid:48) =

(3.41)

√ √ C (cid:48), B = B(cid:48) − C (cid:48). C = 1 1 − δ2 δ 1 − δ2

51

Thay kết quả này vào biểu thức (3.38), đạo hàm hiệp biến được định nghĩa lại như biểu thức sau:

Dµ = ∂µ + igstiGiµ + igTiAiµ + igXXB(cid:48) µ

(3.42)

Các trường vật lý (B(cid:48)

µ, C (cid:48)

µ), thỏa mãn điều kiện trực chuẩn.

√ + (gN N − gXXδ) C (cid:48) µ. i 1 − δ2

3.2 Đồng nhất các boson chuẩn có tính đến trộn

động năng trong mô hình 3-3-1-1

Đối xứng 3-3-1-1 bị phá vỡ bởi các giá trị trung bình chân không u, v, w và Λ, khi đó các boson chuẩn sẽ nhận khối lượng tương ứng. Lagrangian khối lượng của các boson chuẩn này được viết như sau:

(3.43)

mass =

S

trong đó đạo hàm hiệp biến Dµ được định nghĩa như biểu thức (3.42), S bao gồm tất cả các đa tuyến vô hướng η, ρ, χ và φ. Khai triển Lagrangian trên chúng ta thu được hai thành phần: thành phần thứ nhất bao gồm các boson chuẩn mang điện W ±, X ±q và Y ±(q+1) được xác định như trong mô nhình 3-3-1 - biểu thức (2.26), khối lượng của các boson chuẩn này lần lượt được xác định bởi các biểu thức (2.27), (2.28) và (2.29); thành phần thứ hai chứa các boson chuẩn trung hòa A3, A8, B(cid:48) và C (cid:48) trộn lẫn nhau và có biểu thức Lagrangian khối lượng được viết dưới dạng ma trận như dưới đây:

(cid:88) Lgauge (Dµ(cid:104)S(cid:105))†(Dµ(cid:104)S(cid:105)),

(3.44)

 

mass =

trong đó M2 là ma trận đối xứng (4 × 4). Các phần tử của ma trận này là M2 = {m(cid:48)2 ij}, được xác định cụ thể bởi các biểu thức sau:

Lneutral , (A3 A8 B(cid:48) C (cid:48)) M2 1 2         A3 A8 B(cid:48) C (cid:48)

52

11 =

(u2 + v2), m(cid:48)2

12 =

13 = −

m(cid:48)2 (u2 − v2), g2 4 g2 √ 4 √ (cid:104) m(cid:48)2 √ ( 3 + β)u2 + ( 3 − β)v2(cid:105) ,

14 =

√ (cid:110) m(cid:48)2 3 + β)tX − β(cid:48)tN ]u2 √ 4 √ +[δ( , 3 g2tX √ 3 4 g2 √ [δ( 1 − δ2 3 3 − β)tX + β(cid:48)tN ]v2(cid:111)

22 =

23 = −

m(cid:48)2 g2 12 √ (cid:104) , (u2 + v2 + 4w2), √ ( m(cid:48)2

24 =

3 − β)v2 + 4βw2(cid:105) √ 3 + β)u2 − ( √ (cid:110) √ m(cid:48)2 [δ( 3 + β)tX − β(cid:48)tN ]u2 − [δ( 3 − β)tX + β(cid:48)tN ]v2 g2tX 12 g2 1 − δ2

33 =

√ (cid:104) √ ( m(cid:48)2 ,

34 =

3 − β)2v2 + 4β2w2(cid:105) √ (cid:110) 12 +4(δβtX − β(cid:48)tN )w2(cid:9) , g2t2 X 12 −g2tX √ 3 + β)2u2 + ( √ ( m(cid:48)2 1 − δ2 12 √ √ +( 3 − β)[δ( ,

44 =

3 + β)tX − β(cid:48)tN ]u2 3 + β)[δ( 3 − β)tX + β(cid:48)tN ]v2 + 4β (δβtX − β(cid:48)tN ) w2(cid:111) √ √ (cid:110) m(cid:48)2 [δtX( 3 + β) − β(cid:48)tN ]2u2 + [δtX( 3 − β) + β(cid:48)tN ]2v2

N Λ2(cid:9) ,

với giá trị của tX, tN được định nghĩa tX = gX/g và tN = gN /g.

Ma trận M2 có một trị riêng bằng không (khối lượng của photon),

tương ứng với một vector riêng trực chuẩn sau:

g2 12(1 − δ2) +4(δβtX − β(cid:48)tN )2w2 + 48(1 − δ2)t2

(3.45)

W B(cid:48)

trong đó sW = e/g = tX/(cid:112)1 + (1 + β2)t2 X là sin góc Weinberg, được xác định từ đỉnh của tương tác điện từ [38]. Phần trong dấu ngoặc đơn của

(cid:18) (cid:19) (cid:113) 1 − β2t2 , βtW A8 + A = sW A3 + cW

53

biểu thức (3.45) mang siêu tích yếu Y = βT8 + X. Trạng thái của boson chuẩn Z trong SM và Z (cid:48) trực giao với nhau và trực giao với photon A lần lượt được xác định như sau:

(3.46)

W B(cid:48)

(cid:18) (cid:19) (cid:113) 1 − β2t2 , Z = cW A3 − sW βtW A8 +

(3.47)

W A8 − βtW B(cid:48),

trạng thái của boson chuẩn mới còn lại C (cid:48) trực giao với A, Z và Z (cid:48).

Như vậy, chúng ta có thể làm việc trong cơ sở mới (A, Z, Z (cid:48), C (cid:48)). Trong cơ sở này photon A là trạng thái vật lý trực chuẩn với tất cả các trạng thái còn lại, trong khi đó các boson chuẩn còn lại Z, Z (cid:48) và C (cid:48) trộn lẫn với nhau.

Để tìm khối lượng của các boson chuẩn này, chúng ta chéo hóa ma trận

(cid:113) Z (cid:48) = 1 − β2t2

Đầu tiên, chúng ta chuyển từ cơ sở ban đầu (A3, A8, B(cid:48), C (cid:48)) sang cơ

sở mới (A, Z, Z (cid:48), C (cid:48)) bởi ma trận chuyển cở sở S1 như sau: 

M2 qua ba bước dưới đây:

(3.48)

  

trong đó

, = S1                 A3 A8 B(cid:48) C (cid:48) A Z Z (cid:48) C (cid:48)

(3.49)

 

W

W −sW

Trong cơ sở này, trạng thái riêng khối lượng của photon A được tách khỏi các trạng thái còn lại bởi ma trận S1 như sau:

. S1 = cW −βsW tW (cid:112)1 − β2t2 cW         sW βsW (cid:112)1 − β2t2 0 0 0 (cid:112)1 − β2t2 −βtW 0 0 W 0 0 1

(3.50)

1 M2S1 =

(cid:32) (cid:33) 0 . M(cid:48)2 = ST 0 0 M(cid:48)2 s

54

Rõ ràng, photon là trường vật lý có khối lượng bằng không và tách khỏi Z, Z (cid:48), C (cid:48). Ngược lại, các boson chuẩn Z, Z (cid:48) và C (cid:48) trộn lẫn nhau qua ma trận đối xứng M(cid:48)2

s (3 × 3),

ZC (cid:48)

(3.51)

 

s ≡

Z (cid:48)C (cid:48)

ZZ (cid:48) m2 Z (cid:48) m2 Z (cid:48)C (cid:48) m2 C (cid:48)

Z m2 m2 ZZ (cid:48) m2 m2 ZC (cid:48) m2 m2

Các yếu tố của ma trận này lần lượt được xác định là

M(cid:48)2   .  

Z =

m2 (u2 + v2), g2 4c2 W

W )v2(cid:3)

ZZ (cid:48) =

W )u2 − (1 − (cid:112)1 − β2t2 3cW

W

√ √ g2 (cid:2)(1 + 3βt2 3βt2 √ m2 , 4

ZC (cid:48) =

√ (cid:40)(cid:34) (cid:35) 3 + β) g2 √ √ m2 u2 − β(cid:48)tN 4 1 − δ2 √ δtW ( (cid:112)1 − β2t2 W (cid:41) (cid:35) 3cW (cid:34) 3 − β) v2 , + + β(cid:48)tN

W )2v2 + 4w2(cid:3)

Z (cid:48) =

W )

√ g2 (cid:2)(1 + 3βt2 m2 , δtW ( (cid:112)1 − β2t2 W √ W )2u2 + (1 − 3βt2 12(1 − β2t2

Z (cid:48)C (cid:48) =

W )

W )

√ (cid:110) m2 3βt2 (1 +

W (cid:34)

W )

g2 12(cid:112)(1 − δ2)(1 − β2t2 √ (cid:35) (cid:34) 3 + β) u2 × − β(cid:48)tN δtW ( (cid:112)1 − β2t2 √ (cid:35) √ 3 − β) −(1 − 3βt2 v2 + β(cid:48)tN

W (cid:41)

(cid:34) δtW ( (cid:112)1 − β2t2 (cid:35)

W

w2 , +4 − β(cid:48)tN δβtW (cid:112)1 − β2t2

55

C (cid:48) =

√ (cid:35)2 (cid:34)   3 + β) m2 u2 − β(cid:48)tN g2 12(1 − δ2) 

W

√ δtW ( (cid:112)1 − β2t2 W (cid:35)2 (cid:34) 3 − β) v2 + + β(cid:48)tN

N Λ2

W

Z (cid:48)C (cid:48),

ZC (cid:48) (cid:28) m2

ZZ (cid:48), m2

Z, m2

δtW ( (cid:112)1 − β2t2 (cid:34) (cid:35)2   +4 w2 + 48(1 − δ2)t2 . − β(cid:48)tN δβtW (cid:112)1 − β2t2 

Z (cid:48), m2 s được chéo hóa bởi công thức seesaw [48–54] dưới đây.

Do điều kiện u, v (cid:28) w, Λ nên chúng ta có m2 C (cid:48). Vì vậy, M(cid:48)2 Tiếp theo, chúng ta chéo hóa ma trận M(cid:48)2

s theo công thức seesaw [48–54] để tách trạng thái nhẹ của Z ra khỏi trạng thái nặng của Z (cid:48), C (cid:48). Để thực hiện việc này, chúng ta chuyển sang cơ sở mới (A, Z1, Z (cid:48), C(cid:48)) sao cho (A, Z1) tách khỏi (Z (cid:48), C(cid:48)) bởi ma trận chuyển cơ sở S2. Khi đó, trạng thái riêng khối lượng của Z1 tách khỏi (Z (cid:48), C(cid:48)) bởi ma trận S2 như sau:

m2

     

2 M(cid:48)2S2 =

trong đó

, M(cid:48)(cid:48)2 = ST 0 0 = S2   ,(3.52)                   0 0 0 m2 Z1 0 M(cid:48)(cid:48)2 0 s A Z1 Z (cid:48) C(cid:48) A Z Z (cid:48) C (cid:48)

Z (cid:48)C (cid:48)

 (cid:32) (cid:33)−1

ZZ (cid:48) m2

ZC (cid:48))

, (3.53) S2 (cid:39)   , E ≡ (m2    m2 Z (cid:48) m2 m2 Z (cid:48)C (cid:48) m2 C (cid:48) 0 0 1 0 E 1 0 −E T 1

ZZ (cid:48)

Z (cid:48)C (cid:48)

(3.54)

(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)

Z − E

s (cid:39)

ZC (cid:48)

Z (cid:48) m2 m2 m2 Z (cid:48)C (cid:48) m2 C (cid:48)

Ma trận M(cid:48)(cid:48)2 trong biểu thức (3.52) cho thấy Z1 là trường vật lý và tách khỏi Z (cid:48) và C(cid:48), trong khi đó Z (cid:48) và C(cid:48) trộn lẫn nhau qua ma trận M(cid:48)(cid:48)2 s .

(cid:39) m2 , M(cid:48)(cid:48)2 . m2 Z1 m2 m2

56

Hơn thế nữa, E gồm hai thành phần và được xác định gần đúng như sau: Ei (cid:39) E 0

i + E δ

W )u2 − (1 −

W )v2(cid:105)

(3.55)

√ √ √ (cid:104) 3βt2 3βt2 Λ2 3 E 0 1 =

i , trong đó i = 1, 2 và (cid:112)1 − β2t2 W 16cW Λ2w2 +ββ(cid:48)2t2 ββ(cid:48)t2

W (u2 + v2)

(3.56)

(cid:110) 4 (1 + W (u2 + v2)w2(cid:9) ,

W (u2 + v2)

(3.57)

, E 0 2 =

, E δ 1 = (cid:112)1 − β2t2 16cW Λ2

W (u2 + v2) N Λ2

δ2 tW √ √ + E δ 2 = (cid:112)1 − β2t2 16cW t2 1 + 1 − δ2 − δ2

W (u2 + v2)

(3.58)

i và E δ

i xác định trộn lẫn của Z với Z (cid:48), C (cid:48) do đối xứng chuẩn bị phá Tham số E 0 vỡ giống như trong mô hình 3-3-1-1 thông thường không xét đến số hạng trộn động năng [35, 46]. Trong khi đó, tham số E δ i xác định trộn lẫn của i và E δ Z với Z (cid:48), C (cid:48) đến từ số hạng trộn động năng. Độ lớn của E 0 i cho đóng góp tương đương nhau. Tuy nhiên, cả hai E 0 i đều rất nhỏ do u, v (cid:28) w, Λ.

Cuối cùng, chúng ta dễ dàng chéo hóa ma trận M(cid:48)(cid:48)2

s qua ma trận chuyển cở sở S3, thu được hai boson chuẩn vật lý còn lại là Z2 và Z3. Biểu thức liên hệ giữa các trạng thái trước và các trạng thái sau khi chéo hóa được viết như dưới đây:

16cW tN Λ2 ββ(cid:48)2t2 δ2 W 1 − δ2 δ 1 − δ2 ββ(cid:48)t2 × . 16cW tN Λ2

(3.59)

     

, = S3 , S3 =                         A Z1 Z (cid:48) C(cid:48) A Z1 Z2 Z3 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 sξ cξ 0 0 −sξ cξ

(3.60)

 

3 M(cid:48)(cid:48)2S3 =

M(cid:48)(cid:48)(cid:48)2 = ST .

       

0 0 0 0 0 m2 0 0 Z1 0 m2 0 0 Z2 0 m2 0 0 Z3

57

Góc trộn ξ giữa Z (cid:48) − C(cid:48) và khối lượng của Z2 và Z3 được xác định bởi biểu thức sau:

(3.61)

trong đó

, t2ξ (cid:39) t1 t2

(3.62)

W tN

(cid:19) (cid:112) w2, 1 − δ2 1 − β2t2 t1 = 2

(3.63)

và

(cid:20) (cid:18) δβtW − β(cid:48)(cid:113) t2 = 12(1 − δ2)(1 − β2t2 W )Λ2t2 N (cid:113) + 1 − β2t2 w2, (δβtW − β(cid:48)tN (cid:21) W )2 − (1 − δ2)

(3.64)

Z (cid:48) + m2

C (cid:48) ∓

Z (cid:48) − m2

C (cid:48))2 + 4m4

Z (cid:48)C (cid:48)

Z2,Z3

Rõ ràng số hạng trộn động năng cũng cho đóng góp vào góc trộn giữa Z (cid:48) và C(cid:48) với độ lớn tương đương với sự đóng góp do phá vỡ đối xứng chuẩn. Không giống như các trường hợp trước đây, sự trộn giữa các boson này sẽ thay đổi đáng kể khi Λ ∼ w. Tuy nhiên, hiệu ứng trộn sẽ không còn khi ξ = 0 hoặc

(3.65)

(cid:20) (cid:21) (cid:113) . m2 m2 = (m2 1 2

trong đó tX = tW /(cid:112)1 − β2t2 W .

Các trạng thái chính tắc liên quan đến các trạng thái riêng khối lượng qua ma trận unitary U (cid:48), (A3 A8 B(cid:48) C (cid:48))T = U (cid:48)(A Z1 Z2 Z3)T , trong đó U (cid:48) = U1U2U3, trong khi đó các trạng thái chuẩn ban đầu liên quan đến các trạng thái riêng khối lượng qua ma trận không unitary U , (A3 A8 B C)T = U (A Z1 Z2 Z3)T , với U = UδU (cid:48) và

δ = , β(cid:48)tN βtX

(3.66)

 

1−δ2

. Uδ =

1−δ2

          0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 − δ√ 1√ 0 0 0

58

Các trường A, Z1 có thể được đồng nhất với photon và boson chuẩn trung hòa Z trong SM, còn Z2 và Z3 là những boson chuẩn mới trung hòa, nặng, có nguồn gốc từ boson chuẩn Z (cid:48) của mô hình 3-3-1 [6–11] và boson chuẩn C của đối xứng U (1)N . Tham số trộn E1,2 giữa boson chuẩn trung hòa trong SM với các boson chuẩn mới trung hòa có giá trị nhỏ do |E1,2| (cid:28) 1 hoặc u, v (cid:28) w, Λ, ngược lại trộn giữa các boson chuẩn mới trung hòa Z (cid:48) và C có thể lớn do ξ là hữu hạn, với điều kiện w ∼ Λ.

3.3 Tham số ρ và FCNCs trong mô hình 3-3-1-1

2

2

Tham số ρ (hay ∆ρ ≡ ρ−1 dưới đây) nhận thêm đóng góp từ vật lý mới, gồm hai nguồn, được ký hiệu ∆ρ = (∆ρ)tree + (∆ρ)rad, trong đó số hạng đầu tiên là kết quả từ đóng góp bậc cây do trộn giữa các boson chuẩn Z với Z (cid:48) và C (cid:48), trong khi đó số hạng thứ hai là do đóng góp từ bổ đính của lưỡng , Y −1−q,−1−n = A6−iA7√ tuyến nặng không Hermitian, (X −q,−1−n = A4−iA5√ ) tương tự như trong mô hình 3-3-1 [39–41,55]. Hai loại đóng góp này là nhỏ bởi tỉ số (u2, v2)/(w2, Λ2) và có thể tương đương nhau, lần lượt được xác định bởi các biểu thức dưới đây:

3.3.1 Tham số ρ trong mô hình 3-3-1-1

ZC (cid:48))T − 1

ZC (cid:48))T

− 1 = (∆ρ)tree = m2 m2 Z ZZ (cid:48) m2 Z − E(m2

(cid:39)

W )v2(cid:3)2

W (u2 + v2)

W )u2 − (1 − 4(u2 + v2)w2

√ (cid:2)(1 + m2 W c2 W m2 Z1 ZZ (cid:48) m2 E(m2 m2 Z √ 3βt2 3βt2 β2β(cid:48)2t4 (cid:39) +

W

(3.67)

(cid:32) 16(1 − δ2)Λ2 (cid:33) (cid:40)√ δtW √ 3 1 + + × u2 + v2 Λ2 ββ(cid:48)tW tN (cid:112)1 − β2t2 3(1 − δ2)cW t2 N (cid:33) (cid:41) 16 (cid:32)

W

, + β − β(cid:48)tN + u2 − v2 Λ2 β2β(cid:48)tW tN (cid:112)1 − β2t2

59

Y + m2

X −

W ln

Y + m2 X Y − m2 X

Y m2 2m2 X Y − m2 m2 X m2 Y m2 X

(cid:19) (cid:18) √ 3 ln m2 (∆ρ)rad = m2 Y m2 X (cid:19) √ ln + − 2 − ,(3.68) 3βt2 (cid:18)m2 m2 2GF 16π2 α 4πs2 W

W = g2

4 (u2 + w2), m2

trong đó m2 √

4 (u2 + v2), m2 2GF = 1/(u2 + v2) và α = g2s2

boson chuẩn W , chúng ta có được u2 + v2 = v2

X = g2 4 (v2 + w2), W /(4π). Chú ý rằng từ khối lượng của w = (246 GeV)2.

Chúng ta có nhận xét như sau:

Nếu Λ (cid:29) w thì ∆ρ chỉ phụ thuộc vào β và w, không phụ thuộc vào Λ,

m2 Y m2 X Y = g2

Hình 3.1: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

0.00064) cho trường hợp β = −1/

3 và Λ (cid:29) w.

tN , β(cid:48) và δ, trường hợp này tương tự như trong mô hình 3-3-1.

Nếu Λ ∼ w, tất cả các tham số trên đều cho đóng góp vào ∆ρ. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ chọn Λ = 2w và tN = 0, 5 khi tiến hành khảo sát số. Đối với các tham số khác như β, β(cid:48), thì để đảm bảo mô hình có cử viên vật chất tối, chúng ta lần lượt chọn q = 0 hoặc q = −1, tức là 3. Ngoài ra, để các ứng cử viên vật chất tối β = −1/

√ √ 3 hoặc β = 1/

60

√

được ổn định (nếu đối xứng dư P là không tầm thường như đã đề cập) và để cho đơn giản chúng ta chọn n = 0, do đó β(cid:48) = −2/ 3. Hơn nữa, chúng ta cũng quan tâm đến các mô hình 3-3-1-1 có cực Landau [42], ứng với các trường hợp q = 1 hoặc q = −2, do đó β = −

Hình 3.2: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

0.00064) cho trường hợp β = 1/

3 và Λ (cid:29) w.

Các hình 3.1, 3.2 và 3.3, biểu diễn giới hạn các thang vật lý (u, w) được ràng buộc bởi ∆ρ trong trường hợp Λ (cid:29) w. Rõ ràng những giới hạn chỉ ra trong hình vẽ không phụ thuộc vào vật lý mới gắn với nhóm U (1)N và số hạng trộn động năng, đây là trường hợp xuất hiện trong mô hình 3-3-1.

√ √ 3 hoặc β = 3.

√ √ √ 3 và β = − 3, β = 1/

Giới hạn thực nghiệm từ tham số ∆ρ trong trường hợp Λ ∼ w được biểu diễn bởi các hình 3.4-3.9, 3.10-3.15 và 3.16-3.21, tương ứng cho các trường hợp β = −1/ 3. Các hình vẽ cho thấy, các giới hạn cho thang vật lý mới w, Λ tăng khi δ tăng. Do đó, hiệu ứng trộn động năng là rất quan trọng khi vật lý mới được xem xét. Đối với các 3, các thang điện yếu u, v bị giới hạn rất mạnh khi trường hợp β = − trạng thái vật lý mới được giới hạn dưới cực Landau [42]. Hơn nữa, thang

√

61

Hình 3.3: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ ( 0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

0.00064) cho trường hợp β = −

3, Λ (cid:29) w và đường nằm ngang ướng với cực Landau

w = 5 TeV.

vật lý mới w, Λ được đề cập từ các hình vẽ vừa trình bày cũng phải chịu ràng buộc khác sẽ trình bày ở phần sau, với giá trị giới hạn lớn hơn vài TeV.

Mặt khác, các giới hạn từ tham số ρ cho thang phá vỡ 3-3-1-1, w, Λ cũng phụ thuộc đáng kể vào u và thậm chí có thể tiến về không tại một số giá trị nào đó của u, khi δ nhỏ và âm. Tương ứng, bởi vì ∆ρ tỷ lệ với E–xác định trộn của Z với Z (cid:48) và C (cid:48) ở mức cây, vật lý mới tách rời khỏi SM khi w, Λ trở về thang điện yếu và tiến về không, ở đây chúng ta thấy rằng hiệu ứng trộn và tương tác từ bổ đính của Z mất đi.

Tổng quát hóa các kết quả đã có trong các công bố [35–37, 46], xét trong giới hạn u, v (cid:28) w, Λ, −µ, thì đóng góp chính vào trạng thái của Higgs SM là H (cid:39) (uS1 + vS2)/ 2Re(η1) − u, S2 = 2Re(ρ2) − v, và µ là hằng số tương tác bậc 3 của cả ba Higgs η, ρ, và χ. Các vô hướng khác bao gồm: chín Goldstone boson không có khối lượng bị ăn bởi chín boson chuẩn nặng và mười Higgs boson mới nặng với

√ √ u2 + v2, trong đó S1 = √

62

Hình 3.4: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

√

0.00064) cho trường hợp β = −1/

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = −0.9.

khối lượng ở thang w, (cid:112)|µw| hoặc Λ. Khối lượng của boson Higgs H phù hợp với giá trị 125 GeV và không phụ thuộc tỉ số v/u. Ở bậc đóng góp chính, các hệ số tương tác của H trùng khớp với các hệ số tương tác tương ứng của Higgs SM,

(3.69)

µ W −µ +

cho f = t, d, s, mf = −hf

u√ 2

v√ 2

trong đó mf = −hf cho f = b, e, µ, τ và v√ cho f = u, c. Các hiệu chỉnh vào các tương tác này, xuất hiện mf = hf 2 do trộn của H với các hạt mới là rất nhỏ vì chúng chứa các hệ số tỉ lệ (u, v)/(w, Λ, −µ) [35–37,46]. Các hệ số tương tác của Higgs SM, cũng như khối lượng Higgs và khối lượng các fermion có thể tìm lại được khi xét đến bậc đóng góp chính, mà không cần bất kỳ điều kiện giới hạn nào áp đặt lên tỉ số hai thang điện yếu v/u.

L ⊃ − ¯f f H + H 2), (W + ZµZ µ)(H + g2vw 2 mf vw 1 2vw 1 2c2 W

63

Hình 3.5: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

√

0.00064) cho trường hợp β = −1/

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = −0.5.

v u

v u

Giới hạn v/u chỉ xuất hiện từ các nguồn sau: (i) giới hạn thực nghiệm tham số ρ; (ii) khi µ nhỏ; (iii) điều kiện về giới hạn áp dụng lý thuyết nhiễu loạn của các tương tác quark với các vô hướng mới có liên quan tới ¯ttH1 và − mt top quark, ví dụ như mt 2 + H.c., trong đó H1 trực vw vw giao với H trong khi đó H2 là do kết hợp của ρ1, η2; và (iv) giới hạn va chạm của các tương tác mới bao gồm tương tác Yukawa, tương tác chuẩn và tương tác vô hướng. Ba trường hợp cuối cùng chỉ là giả định, không xét đến trong luận án này.

Sự trộn của boson chuẩn trung hòa Z trong SM với các boson chuẩn trung hòa mới sẽ làm thay đổi các hằng số tương tác (đo được) của Z với fermion. Trong cơ sở trên chúng ta có Z = Z1 + E1Z (cid:48) + E2C(cid:48), Z (cid:48) = −E1Z1 + Z (cid:48) và C (cid:48) = −E2Z1 + C(cid:48). Do đó, tương tác của Z1 với fermion còn có thêm đóng góp đến từ tương tác của Z (cid:48) và C (cid:48), đóng góp này tỉ lệ với E1 và E2 nhưng không phụ thuộc vào góc trộn giữa Z (cid:48) và C(cid:48). Để đảm bảo vật lý mới được đóng góp nếu tham số trộn tỉ lệ với 10−3, do đó chúng ta chọn giới hạn |E1,2| = 10−3.

¯bLtRH −

64

Hình 3.6: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

√

0.00064) cho trường hợp β = −1/

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = −0.1.

Hình 3.7: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

√

0.00064) cho trường hợp β = −1/

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = 0.1.

65

Hình 3.8: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

√

3, β(cid:48) = −2/

0.00064) cho trường hợp β = −1/

3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = 0.5.

Các biểu thức (3.55)-(3.58) cho thấy, sự trộn của các tham số thang điện yếu u, v có trong số hạng E1 là giống với kết quả thu được trong mô hình 3-3-1 tương ứng, bởi hệ thức không đổi u2 + v2 = (246 TeV)2. Ngoài ra, nếu Λ (cid:29) w thì E2 = 0, trong khi đó E1 trở về E 0 1 , giống như trong mô hình 3-3-1 tương ứng. Do đó, chúng ta không xét đến hai trường hợp này. Chúng ta chỉ tập trung nghiên cứu sự thay đổi của thang vật lý mới gây ra bởi đóng góp của trộn động năng. Trong trường hợp này, chúng ta có thể đặt u = v. Các tham số Λ = 2w, tN , β, β(cid:48) được giữ nguyên như trước.

Các hình 3.22, 3.23 và 3.24 chỉ rõ miền giá trị khả thi của thang vật lý mới (miền phía trên cả hai đường E1,2). Đối với trường hợp β = − 3, thang vật lý mới còn bị giới hạn bởi cực Landau, do đó miền này là rất hẹp.

√

66

Hình 3.9: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

√

0.00064) cho trường hợp β = −1/

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = 0.9.

Hình 3.10: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

√

0.00064) cho trường hợp β = 1/

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = −0.9.

67

Hình 3.11: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

√

0.00064) cho trường hợp β = 1/

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = −0.5.

Hình 3.12: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

√

0.00064)cho trường hợp β = 1/

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = −0.1.

68

Hình 3.13: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

√

0.00064)cho trường hợp β = 1/

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = 0.1.

Hình 3.14: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

√

0.00064) cho trường hợp β = 1/

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = 0.5.

69

Hình 3.15: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

√

0.00064) cho trường hợp β = 1/

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = 0.9.

Hình 3.16: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

√

0.00064) cho trường hợp β = −

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = −0.8.

Trong trường hợp này cực Landau được chọn là w = 5 TeV.

70

Hình 3.17: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

√

0.00064) cho trường hợp β = −

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = −0.3.

Trong trường hợp này cực Landau được chọn là w = 5 TeV.

Hình 3.18: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

√

0.00064) cho trường hợp β = −

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = −0.1.

Trong trường hợp này cực Landau được chọn là w = 5 TeV.

71

Hình 3.19: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

√

0.00064) cho trường hợp β = −

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = 0.1. Trong

trường hợp này cực Landau được chọn là w = 5 TeV.

Các thế hệ fermion nói chung là biến đổi không giống nhau dưới đối xứng SU (3)L ⊗ U (1)X ⊗ U (1)N , vì thế có thể làm xuất hiện FCNCs. Với các tích chuẩn X = Q − T3 − βT8 và N = B − L − β(cid:48)T8, dòng trung hòa được viết một cách tổng quát như sau:

3.3.2 FCNCs trong mô hình 3-3-1-1

trong đó F tính cho tất cả các đa tuyến fermion.

Chúng ta thấy rằng các lepton, bao gồm các hạt mới νaR, ka và các quark ngoại lai không cho đóng góp vào FCNCs, bởi vì các trường fermion (f1L,R, f2L,R, f3L,R) ở ba thế hệ khác nhau không trộn lẫn do có cùng trị riêng tích chuẩn đối với các toán tử T3, Q và B − L. Kết quả này cũng đúng đối với vi tử T8, ngoại trừ các quark thông thường như quark ua, da.

LNC = −g ¯F γµ[T3A3µ+T8A8µ+tX(Q−T3−βT8)Bµ+tN (B−L−β(cid:48)T8)Cµ]F, (3.70)

72

Hình 3.20: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

√

0.00064) cho trường hợp β = −

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = 0.5. Trong

trường hợp này cực Landau được chọn là w = 5 TeV.

Do đó, FCNCs chỉ gắn với các quark thông thường và T8, vì vậy chúng ta chỉ quan tâm đến các tương tác có liên quan đến các thành phần này nên FCNCs được viết như sau:

(3.71)

3

trong đó q biểu thị cho một trong hai loại quark: up-quark q = (u1, u2, u3) hoặc down-quark q = (d1, d2, d3) và T8q = 1 diag (−1, −1, 1) tương ứng √ 2 là các giá trị riêng của T8.

Chúng ta chuyển sang cơ sở khối lượng: qL,R = VqL,qRq(cid:48)

L,R, với q(cid:48) = (u, c, t) hoặc q(cid:48) = (d, s, b) lần lượt là các trị riêng khối lượng của quark và A3, A8, B, C được xác định bởi phép chuyển cơ sở (A3, A8, B, C)T = U (A, Z1, Z2, Z3)T , trong đó U là ma trận không unitary đã được định nghĩa ở trên. Trong cơ sở này, FCNCs được viết lại như sau:

LFCNCs ⊃ −g ¯qLγµT8qqL(A8µ − βtXBµ − β(cid:48)tN Cµ),

73

Hình 3.21: Miền giá trị của (u, w) được giới hạn bởi tham số ∆ρ (0.00016 ≤ ∆ρ ≤

√

√

0.00064) cho trường hợp β = −

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w, và δ = 0.9. Trong

trường hợp này cực Landau được chọn là w = 5 TeV.

L(g1Z1µ + g2Z2µ + g3Z3µ),

qLT8qVqL)q(cid:48) jL(V ∗

qL)3i(VqL)3j(g1Z1µ + g2Z2µ + g3Z3µ).(3.72)

Lγµ(V † LFCNCs ⊃ −¯q(cid:48) 1 iLγµq(cid:48) ¯q(cid:48) √ 3

Lagrangian trên cho thấy, FCNCs xuất hiện khi i (cid:54)= j. Các hằng số tương tác của Z1,2,3 được xác định bởi các biểu thức sau:

= −

(cid:35) (cid:34)

(3.73)

W

√ , − E1 + (β(cid:48)tN − δβtX)E2 g1 = g 1 1 − δ2 1 (cid:112)1 − β2t2

(cid:34) (cid:35)

(3.74)

W

(3.75)

√ , g2 = g cξ + (β(cid:48)tN − δβtX)sξ 1 1 − δ2

Sự trộn của các meson cho chúng ta xác định được Lagrangian hiệu dụng

1 (cid:112)1 − β2t2 g3 = g2(sξ → −cξ, cξ → sξ).

(3.76)

FCNCs =

iLγµq(cid:48)

jL)2[(V ∗

qL)3i(VqL)3j]2

(cid:19) Leff + + . (¯q(cid:48) 1 3 (cid:18) g2 1 m2 Z1 g2 2 m2 Z2 g2 3 m2 Z3

74

√

√

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w,

√

2 GeV.

Hình 3.22: Đồ thị giới hạn thang vật lý mới theo tham số trộn động năng δ bởi các đường contour |E1,2| = 10−3, cho mô hình β = −1/ u = v = 246/

1/m2 Z1

2/m2 Z2

3/m2 Z3

Chúng ta thấy đóng góp của Z1 là không đáng kể, bởi vì (g2 )/ ) tỉ lệ với (u2, v2)/(w2, Λ2) là rất nhỏ khi xét đóng góp (g2 chính. Do đó, chỉ có Z2 và Z3 là đóng góp chính vào FCNCs. Điều đó dẫn đến:

+ g2

(3.77)

FCNCs (cid:39)

iLγµq(cid:48)

jL)2[(V ∗

qL)3i(VqL)3j]2

Giới hạn mạnh nhất đối với (3.77) từ hệ trộn B0

s , được cho bởi [1]

(cid:19) Leff (¯q(cid:48) . + 1 3 g2 3 m2 Z3

(cid:18) g2 2 m2 Z2 s − ¯B0

(3.78)

dL)32(VdL)33]2

Giả sử các thế hệ up-quark là không trộn, khi đó ma trận Cabibbo- Kobayashi-Maskawa (CKM) trùng với ma trận trộn của down-quark. Các yếu tố của ma trận này được cho bởi [1]:

(3.79)

(cid:19) [(V ∗ + < 1 3 1 (100 TeV)2 . (cid:18) g2 2 m2 Z2 g2 3 m2 Z3

dL)32(VdL)33| (cid:39) 3.9 × 10−2.

|(V ∗

75

√

√

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w,

√

Hình 3.23: Đồ thị giới hạn thang vật lý mới theo tham số trộn động năng δ bởi các đường contour |E1,2| = 10−3, cho mô hình β = 1/ u = v = 246/

2 GeV.

Thay kết quả này vào (3.78), chúng ta được:

(3.80)

(cid:115)

Kết quả này cho giới hạn mZ2 > 2.25 × g2 TeV và mZ3 > 2.25 × g3 TeV, giá trị này cỡ TeV nếu các hằng số tương tác g2,3 cỡ đơn vị.

Chúng ta có hai nhận xét sau:

1. Nếu Z3 rất nặng hơn Z2, nghĩa là Λ (cid:29) w. Chúng ta có:

(3.81)

+ < . 1 2.25 TeV g2 2 m2 Z2 g2 3 m2 Z3

N Λ2,

W )

(cid:39) (cid:39) 4g2 ξ (cid:39) 0, m2 Z2 , m2 Z3

(3.82)

W

√ , . g3 (cid:39) − g2 (cid:39) g(β(cid:48)tN − δβtX) 1 − δ2 g2w2 3(1 − β2t2 g (cid:112)1 − β2t2

76

√

√

3, β(cid:48) = −2/

3, tN = 0.5, Λ = 2w,

√

Hình 3.24: Đồ thị giới hạn thang vật lý mới theo tham số trộn động năng δ bởi các đường contour |E1,2| = 10−3, cho mô hình β = − u = v = 246/

2 GeV.

Từ các điều kiện trên chúng ta được w > 3.9 TeV, giá trị này không phụ thuộc vào β, β(cid:48), g, gX, gN và δ. Đây là giới hạn chung cho tất cả các mô hình 3-3-1 với β tùy ý.

2. Nếu Z2 và Z3 có khối lượng tương đương nhau, khi đó chúng ta chọn Λ = 2w. Các tham số khác như tN , β, và β(cid:48) được chọn như trên. Do u, v (cid:28) w, Λ nên vế trái của (3.80) chỉ phụ thuộc vào thang vật lý mới mà không phụ thuộc vào thang điện yếu. Ngoài ra, sự ràng buộc của (3.80) còn tuân theo sự phụ thuộc của tham số w, Λ vào tham số trộn động năng δ được khảo sát ở hình 3.25, 3.26 và 3.27. Ba hình vẽ này cho thấy, miền giới hạn của vật lý mới thay đổi (mặc dù thay đổi nhỏ trong miền không gian rộng của δ) khi δ thay đổi. Miền giới hạn vật lý mới trong trường hợp này rõ ràng là thấp hơn so với trường hợp Λ (cid:29) w được đưa ra ở trên.

77

Hình 3.25: Giới hạn của thang vật lý mới theo tham số trộn động năng δ từ biểu thức √

ràng buộc (3.80) cho mô hình có β = −1/

3.

Hình 3.26: Giới hạn của thang vật lý mới theo tham số trộn động năng δ từ biểu thức

√

ràng buộc (3.80) cho mô hình có β = 1/

3.

78

Hình 3.27: Giới hạn của thang vật lý mới theo tham số trộn động năng δ từ biểu thức

√

ràng buộc (3.80) cho mô hình có β = −

3.

3.4 Biện luận kết quả

Từ các kết quả trên, chúng ta nhận thấy lý thuyết có chứa hai nhóm chuẩn U (1) thì xuất hiện số hạng trộn động năng. Sự trộn động năng giữa các boson chuẩn của hai nhóm chuẩn U (1)X và U (1)N (hai nhóm này được sử dụng để xác định điện tích Q và tích baryon trừ lepton B − L cũng như sự cần thiết để đóng kín đại số của các tích với SU (3)L) trong mô hình 3-3-1-1 làm thay đổi phổ khối lượng của các boson chuẩn trung hòa của mô hình 3-3-1-1 ban đầu. Do đó, phổ khối lượng này đã được chéo hóa một cách cẩn thận và xác định được khối lượng của các boson này. Theo đó, photon và boson chuẩn Z1 được xác định tương tự như trong SM. Hai boson chuẩn trung hòa mới Z2, Z3 bắt nguồn từ mô hình 3-3-1 và từ nhóm mới U (1)N , cả hai đều là các hạt nặng do khối lượng đóng góp từ các thang phá vỡ đối xứng 3-3-1, w và thang phá vỡ B − L, Λ.

Tham số trộn của boson chuẩn Z với các boson chuẩn trung hòa mới Z (cid:48), C (cid:48) (E) có giá trị nhỏ và bị chặn bởi cơ chế giống như cơ chế seesaw,

79

mặc dù tham số trộn động năng δ đóng góp và hữu hạn. Ngược lại, sự trộn giữa hai boson chuẩn trung hòa mới Z (cid:48), C (cid:48) (ξ) nói chung là lớn, được đóng góp từ hai nguồn: đối xứng chuẩn 3-3-1-1 bị phá vỡ và từ số hạng trộn động năng. Đặc biệt, trộn của Z (cid:48)-C (cid:48) bằng không, khi đó hệ thức sau thỏa mãn (xuất hiện): δ = (β(cid:48)gN )/(βgX), trong đó gN , gX tương ứng là hằng số tương tác của U (1)N và U (1)X, β(cid:48) và β xác định tích B − L và điện tích Q trong đối xứng chuẩn 3-3-1-1.

Miền vật lý bị thay đổi khi có đóng góp của trộn động năng. Hằng số tương tác của boson chuẩn trong SM bị thay đổi bởi tham số trộn E1,2, tham số này đến từ hai nguồn là đối xứng chuẩn bị phá vỡ và đóng góp của trộn động năng bị suy giảm bởi cơ chế giống như cơ chế seesaw. Khảo sát tính số cho giới hạn cụ thể E1,2 = 10−3 và giới hạn −1 < δ < 1, cùng với việc chọn các tham số khác như đã trình bày, cho trường hợp w = Λ/2, dẫn đến giới hạn dưới của w khoảng 3 TeV. Trộn của Z-Z (cid:48) (E1) thay đổi ít theo δ, trong khi đó trộn của Z-C (cid:48) (E2) là thay đổi mạnh theo δ. Vật lý mới đóng góp vào tham số ρ ở mức cây do trộn của các boson chuẩn Z với các boson chuẩn Z (cid:48), C (cid:48) (do hai nguồn phá vỡ đối xứng 3-3-1-1 và trộn động năng) cũng như đóng góp từ bổ đính một vòng bởi các boson chuẩn nặng không Hermitian. Sử dụng các dữ liệu thực nghiệm về tham số ρ, chúng ta xác định được miền giá trị của (u, w), giá trị này cũng thay đổi mạnh theo δ (do u, w thay đổi theo δ). Thang vật lý mới w cỡ TeV, trong khi đó giá trị trung bình chân không u bị giới hạn bởi thang điện yếu. Khi |β| lớn, gần giá trị biên của nó, cực Landau có thể tiệm cận thang điện yếu và trong trường hợp này các giá trị trung bình chân không u, v bị giới hạn mạnh nhất, bởi vì miền khả thi của nó là rất hẹp.

Cuối cùng, cần nhấn mạnh rằng khi vật lý mới trong các mô hình 3- 3-1-1 được nghiên cứu thì hiệu ứng trộn động năng cần phải được xem xét. Khi đó, các vấn đề như vật chất tối, khối lượng neutrino, lạm phát vũ trụ và leptogenesis, bên cạnh các khía cạnh lý thuyết được biết trong mô hình 3-3-1, với sự ra đời của mô hình 3-3-1-1 thì các vấn đề trên cần được nghiên cứu cẩn thận hơn.

80

Chương 4

Kết luận

Nội dung luận án tập trung nghiên cứu hiệu ứng trộn của các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1 và mô hình 3-3-1-1. Các kết quả chính như sau:

Sau khi khai triển Lagrangian khối lượng của các boson chuẩn, đã xác định được sáu boson chuẩn mang điện, trong đó W là hạt trong SM, các boson mới X và Y nhận khối lượng thang vật lý mới w (∼ TeV). Sau khi chéo hóa ma trận khối lượng, thu được ba boson chuẩn trung hòa, boson chuẩn Aµ, Z1 được đồng nhất với photon và boson chuẩn trong SM và hạt mới Z2 nhận khối lượng thang w.

• Đối với mô hình 3-3-1

Đối với lớp mô hình 3-3-1 có hệ số β = −

√

Chúng tôi tính tham số thực nghiệm ∆ρ từ đóng góp bậc cây do trộn của boson chuẩn Z với boson chuẩn Z (cid:48) và do đóng góp từ bổ đính của lưỡng tuyến nặng không Hermitian. Khảo sát tham số này thỏa mãn giới hạn thực nghiệm, 0.00016 ≤ ∆ρ ≤ 0.00064. Từ đó, chúng tôi xác định được miền giá trị khả thi của các thang điện yếu u, v và thang vật lý mới w cho từng mô hình như sau:

3 (M331 và C331), giới hạn trên của thang vật lý mới được xác định từ cực Landau khoảng 4−5.7 TeV, và kết quả thưc nghiệm về FCNCs khi khảo sát trộn của meson K 0 − ¯K 0 cho giới hạn thang vật lý mới w > 3.6 TeV.

81

(i) Mô hình 3-3-1 tối giản cho giá trị của thang vật lý mới 9.243 TeV < w < 18.487 TeV. Mô hình này là không hợp lệ do giới hạn cực Landau w < 5.7 TeV;

(ii) Mô hình 3-3-1 đơn giản cho giá trị của w < 555 GeV. Vật lý mới trong mô hình này là dưới cực Landau, tuy nhiên mô hình này là không phù hợp giữa thực nghiệm về FCNCs cho giới hạn w > 3.6 TeV và giới hạn thực nghiệm tham số ρ;

(iii) Mô hình 3-3-1 tối thiểu làm việc với ba tam tuyến vô hướng là phù hợp khi 3.6 TeV < w < 4-5.7 TeV và 162.5 GeV

Hiệu ứng trộn của các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1-1, khi có đóng góp của số hạng trộn động năng giữa hai nhóm chuẩn U (1) thì phổ khối lượng của các boson chuẩn trung hòa đã thay đổi so với mô hình 3-3-1-1 ban đầu. Sau khi chéo hóa một cách chi tiết đã xác định được sáu boson chuẩn mang điện và bốn boson chuẩn trung hòa, trong đó các boson W , photon và Z1 được đồng nhất là hạt boson chuẩn trong SM, các boson mới X, Y , Z2 và Z3 nhận khối lượng thang vật lý mới cỡ TeV. Hiệu ứng trộn động năng đã làm thay đổi các hằng số tương tác (đo được) của boson chuẩn Z trong SM với các fermion. Trộn của các meson cũng được đóng góp từ trộn động năng, đóng góp này dẫn đến thang vật lý mới không cần phải quá cao (cỡ 3 TeV). Giới hạn này phù hợp với miền đo được của các máy gia tốc hiện nay.

Cuối cùng, khi nghiên cứu các hiện tượng luận trong mô hình 3-3-1-1 thì cần xem xét đến đóng góp của hiệu ứng trộn động năng, khi đó các hiện tượng luận có liên quan đến đóng góp này sẽ được nghiên cứu cẩn thận hơn.

• Đối với mô hình 3-3-1-1

82

Danh sách các công bố của tác giả

1. P. V. Dong and D. T. Si, "Discriminating the minimal 3-3-1 models",

Physical Review D 90, 117703 (2014).

2. P. V. Dong and D. T. Si, "Kinetic mixing effect in the 3-3-1-1 model",

Physical Review D 93, 115003 (2016).

3. Dang Trung Si, Nguyen Thanh Phong, "The effects of renormalzation evolution group on a S4 flavor symmetry", Proc. Natl. Conf. Theor. Phys. 37 (2012).

4. Nguyễn Thanh Phong, Đặng Trung Sĩ, Nguyễn Văn Điệp và Trương Trọng Thúc, "Tác động của tái chuẩn hóa lên mô hình đối xứng thế hệ S4 và leptogenesis", tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ (2012).

Trong luận án này tôi chỉ sử dụng các công bố 1 và 2.

83

Tài liệu tham khảo

[1] K. A. Olive et al., "Review of Particle Physics", Chin. Phys. C 38,

090001 (2014).

[2] J. L. Diaz-Cruz, D. A. Lopez-Falcon, "Probing the mechanism of EWSB with a rho parameter defined in terms of Higgs couplings", Phys. Lett. B 568, 245 (2003).

[3] J. Beringer et al, "Review of Particle Physics", Phys. Rev. D 86,

010001 (2012).

[4] Y. Fukuda et al., "Evidence for oscillation of atmospheric neutrinos",

Phys. Rev. Lett. 81, 1562 (1998)

[5] E. W. Kolb and M. S. Turner, The Early Universe, Westview Press,

1994.

[6] F. Pisano and V. Pleitez, "An SU (3) ⊗ U (1) model for electroweak

interactions", Phys. Rev. D 46, 410 (1992).

[7] Robert Foot, Hoang Ngoc Long and Tuan A.Tran, "SU (3)L ⊗ U (1)N and SU (4)L ⊗ U (1)N gauge models with right-handed neutrinos", Phys. Rev. D 50, R34 (1994).

[8] M. Singer, J. W. F. Valle, and J. Schechter, "Canonical Neutral Current Predictions From the Weak Electromagnetic Gauge Group SU (3) × U(1)", Phys. Rev. D 22, 738 (1980).

84

[9] J. C. Montero, F. Pisano, and V. Pleitez, "Neutral currents and GIM mechanism in SU (3)L × U (1)N models for electroweak interactions", Phys. Rev. D 47, 2918 (1993).

[10] P. H. Frampton, "Chiral dilepton model and the flavor question",

Phys. Rev. Lett, 69, 2889 (1992).

[11] R. Foot, O. F. Hernandez, F. Pisano, and V. Pleitez, "Lepton Masses in an SU (3)L ⊗ U (1)N Gauge Model ", Phys. Rev. D 47, 4158 (1993).

[12] P. V. Dong, H. N. Long, D. T. Nhung, and D. V. Soa, "SU (3)(C) ⊗ SU (3)L ⊗ U (1)X model with two Higgs triplets", Phys. Rev. D 73, 035004 (2006).

[13] P.V. Dong, Hoang Ngoc Long, "Neutrino masses and lepton flavor violation in the 3-3-1 model with right-handed neutrinos", Phys. Rev. D 77, 057302 (2008).

[14] Minkowski, "µ −→ eγ at a rate of one out of 109 muon decays", Phys.

Lett. 67, 421 (1977).

[15] Yanagida, "Horizontal Symmetry and Masses of Neutrinos",

Prog.Theor.Phys. 64, 1103 (1980).

[16] Mohapatra and Senjanovic,"Neutrino Mass and Spontaneous Parity

Violation", Phys. Rev. Lett. 44, 912 (1980).

[17] Ernest Ma, "Naturally small seesaw neutrino mass with no new physics beyond the TeV scale", Phys. Rev. Lett. 86, 2502 (2001).

[18] P.V. Dong, L.T. Hue, H.N. Long, and D.V. Soa, "The 3-3-1 model

with A4 flavor symmetry", Phys. Rev. D 81, 053004 (2010).

[19] P. V. Dong, H. N. Long, "The economical SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ U (1)X

model", Adv. High Energy Phys. 2008, 739492 (2008).

[20] Douglas Fregolente, Mauro D. Tonasse, "Selfinteracting dark matter from an SU (3)L ⊗ U (1)N electroweak model", Phys. Lett. B 555, 712 (2003).

85

[21] Hoang Ngoc Long, Nguyen Quynh Lan, "Selfinteracting dark matter and Higgs bosons in the SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ U (1)N model with right- handed neutrinos", Europhys. Lett. 64, 571 (2003)

[22] V. Silveira and A. Zee, "The Minimal Model of Nonbaryonic Dark

Matter: A Singlet Scalar", Phys. Lett. B161, 136 (1985).

[23] K. Cheung, Yne-Lin S. Tsai, Po-Yan Tseng, "Global Study of the Simmplest Scalar phantom Dark Matter Model", JCAP 1210, 042 (2012).

[24] J. M. Cline, P. Scott, K. Kainulainen, and C. Weniger, "LHC con- straints on dark matter with (130 GeV) gamma ray lines", Phys. Rev. D88, 055025 (2013).

[25] P. V. Dong, N. T. K. Ngan, D.V. Soa, "Simple 3-3-1 model and im-

plication for dark matter", Phys. Rev. D 90, 075019 (2014).

[26] J. G. Ferreira Jr, P. R. D. Pinheiro, C. A. de S. Pires, and P. S. Rodrigues da Silva, "The Minimal 3-3-1 model with only two Higgs triplets", Phys. Rev. D 84, 095019 (2011).

[27] D.T. Huong, L.T. Hue, M.C. Rodriguez, and H. N. Long, "Supersym- metric reduced minimal 3-3-1 model", Nucl. Phys. B 870, 293 (2013).

[28] W. Caetano, C. A. de S. Pires, P. S. Rodrigues da Silva, D. Cogollo, and F. S. Queiroz, "Explaining ATLAS and CMS Results Within the Reduced Minimal 3-3-1 model". Eur. Phys. J. C 73, 2607 (2013).

[29] C. -X. Yue, Q. -Y. Shi, and T. Hua,"Vector bileptons and the decays

[30] J. G. Ferreira, C. A. de S. Pires, P. S. Rodrigues da Silva, and A. Sampieri, "Higgs sector of the supersymmetric reduced 331 model", Phys. Rev. D 88, 105013 (2013).

[31] D. Cogollo, F. S. Queiroz, and P. Vasconcelos, "Flavor Changing Neu- tral Current Processes in a Reduced Minimal Scalar Sector", Mod. Phys. Lett. A 29, 1450173 (2014).

h −→ γγ, Zγ", Nucl. Phys. B 876, 747 (2013).

86

[32] C. Kelso, P. R. D. Pinheiro, F. S. Queiroz, and W. Shepherd, "The Muon Anomalous Magnetic Moment in the Reduced Minimal 3-3-1 Model", Eur. Phys. J. C 74, 2808 (2014).

[33] C. A. de S. Pires, F. Queiroz, and P. S. Rodrigues da Silva, " A minimal 3-3-1 model with naturally sub-eV neutrinos", Phys. Rev. D 82, 065018 (2010).

[34] M. B. Tully and G. C. Joshi, "Generating neutrino mass in the 3-3-1

model", Phys. Rev. D 64, 011301(R).

[35] P. V. Dong, H. T. Hung, and T. D. Tham, "3-3-1-1 model for dark

matter", Phys. Rev. D 87, 115003 (2013).

[36] P. V. Dong, D. T. Huong, F. S. Queiroz, and N. T. Thuy, "Phe- nomenology of the 3-3-1-1 model", Phys. Rev. D 90, 075021 (2014).

[37] D. T. Huong, P. V. Dong, C. S. Kim, and N. T. Thuy, "Inflation and

leptogenesis in the 3-3-1-1 model”, Phys. Rev. D 91, 055023 (2015).

[38] P. V. Dong and H. N. Long, "U (1)Q invariance and SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ U (1)X models with beta arbitrary", Eur. Phys. J. C 42, 325 (2005).

[39] K. Sasaki, "Effects of dilepton gauge bosons on electroweak parame-

ters S, T and U ", Phys. Lett. B 308, 297 (1993).

[40] P. H. Frampton and M. Harada, "Constraints from precision elec- troweak data on leptoquarks and bileptons" Phys. Rev. D 58, 095013 (1998).

[41] H. N. Long and T. Inami, "S, T, U parameters in SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ U (1) model with right-handed neutrinos", Phys. Rev. D 61, 075002 (2000).

[42] A. G. Dias, R. Martinez, and V. Pleitez, "Concerning the Landau pole

in 3-3-1 models", Eur. Phys. J. C 39, 101 (2005).

87

[43] R. Slansky,"Group Theory for United Model Building", Phys. Rep. 79,

1-128 (1981).

[44] V. Pleitez and M. D. Tonasse, "Heavy charged leptons in an SU (3)L ×

[45] A. G. Dias, "Evading the few TeV perturbative limit in 3-3-1 models",

Phys. Rev. D 71, 015009 (2005).

[46] P. V. Dong, "Unifying the electroweak and B − L interactions", Phys.

Rev. D 92, 055026 (2015).

[47] Howard Georgi, "Lie Algebras in Particle Physics", Westview press

(1999).

[48] M. Gell-Mann, P. Ramond and R. Slansky, Complex spinors and uni- fied theories, in Supergravity, edited by P. van Nieuwenhuizen and D. Z. Freedman (North Holland, Amsterdam, 1979), p. 315.

[49] T. Yanagida, in Proceedings of the Workshop on the Unified Theory and the Baryon Number in the Universe, edited by O. Sawada and A. Sugamoto (KEK, Tsukuba, Japan, 1979), p. 95.

[50] S. L. Glashow, The future of elementary particle physics, in Proceed- ings of the 1979 Cargèse Summer Institute on Quarks and Leptons, edited by M. Lévy et al. (Plenum Press, New York, 1980), pp. 687-713.

[51] R. N. Mohapatra and G. Senjanovi´c, "Neutrino Mass and Spontaneous

Parity Violation", Phys. Rev. Lett. 44, 912 (1980).

[52] R. N. Mohapatra and G. Senjanovi´c, "Neutrino Masses and Mixings in Gauge Models with Spontaneous Parity Violation", Phys. Rev. D 23, 165 (1981).

[53] G. Lazarides, Q. Shafi and C. Wetterich, "Proton Lifetime and Fermion Masses in an SO(10) Model", Nucl. Phys. B 181, 287 (1981).

[54] J. Schechter and J. W. Valle, "Neutrino Decay and Spontaneous Vio-

lation of Lepton Number", Phys. Rev. D 25, 774 (1982).

U (1)N model", Phys. Rev. D 48, 2353 (1993).

88

[55] P. V. Dong and D. T. Si, "Discriminating the minimal 3-3-1 models",

Phys. Rev. D 90, 117703 (2014).

89

Phụ lục A

Các quá trình phá vỡ đối xứng 3-3-1

Phá vỡ đối xứng 3-3-1 xuống đối xứng SM:

SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ U (1)X ↓ (cid:104)χ(cid:105) SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y ,

. Trong biểu diễn cơ sở các vi tử của nhóm

trong đó (cid:104)χ(cid:105) = (cid:0)0 0 w/ chuẩn SU (3)L là Ti = λi/2, λi là các ma trận Gell-Mann, i = 1, 2...8.

Ta có:

√ 2(cid:1)T

(A.1)

   

= 0, T1(cid:104)χ(cid:105) =     1 2       0 1 0 1 0 0 0 0 0

(A.2)

   

= 0, T2(cid:104)χ(cid:105) =     1 2       0 −i 0 0 0 i 0 0 0

(A.3)

   

= 0, T3(cid:104)χ(cid:105) =     1 2       0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 w √ 2 0 0 w √ 2 0 0 w √ 2

90

(A.4)

     

(A.5)

(cid:54)= 0, = T4(cid:104)χ(cid:105) =     1 2 1 2             0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 w √ 2      

= (cid:54)= 0, T5(cid:104)χ(cid:105) =     1 2 1 2             0 0 −i 0 0 0 0 i 0

(A.6)

w √ 2 0 0 −iw √ 2 0 0  0 0 w √ 2     

(A.7)

= (cid:54)= 0, T6(cid:104)χ(cid:105) =     1 2 1 2             0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 w √ 2 0 0 0 w √ 2      

= (cid:54)= 0, T7(cid:104)χ(cid:105) =     1 2 1 2             0 0 0 0 0 −i 0 0 i

0 −iw √ 2 0    0 0 w √ 2   

Kết quả trên cho thấy T4,5,6,7,8 bị phá vỡ còn T1,2,3 được bảo toàn dưới tác (cid:104)χ(cid:105) −→ SU (2)L. dụng của (cid:104)χ(cid:105). Tức là, SU (3)L

Mặt khác:

= (cid:54)= 0. (A.8) T8(cid:104)χ(cid:105) =                 1 √ 2 3 1 √ 3 0 1 0 0 1 0 0 0 −2 0 0 w √ 2 0 0 −w √ 2

(A.9)

 

(cid:54)= 0. Xχ(cid:104)χ(cid:105) = − (1 + 2q) 3      

Điều này cho thấy tích X bị phá vỡ.

0 0 w √ 2

Siêu tích yếu Y = βT8 + X, trong đó β = −(1 + 2q)/

tuyến χ ta được:

√ 3. Đối với tam

91

(A.10)

    − 0

Kết quả này cho thấy siêu tích yếu Y cũng được bảo toàn dưới tác dụng của (cid:104)χ(cid:105). Tổng hợp các kết quả trên dẫn đến:

= 0. Yχ(cid:104)χ(cid:105) = 0 1 + 2q 2 0 −               0 0 w √ 2 0 0 1 + 2q 2 0 0

Tương tự, chúng ta cũng có được:

(A.11)

(A.12)

(A.13)

SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ U (1)X ↓ (cid:104)χ(cid:105) SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y .

Như vậy,

T1,2,3(cid:104)η(cid:105) (cid:54)= 0, T1,2,3(cid:104)ρ(cid:105) (cid:54)= 0, Yη(cid:104)η(cid:105) (cid:54)= 0, Yρ(cid:104)ρ(cid:105) (cid:54)= 0, Qη(cid:104)η(cid:105) = 0, Qρ(cid:104)ρ(cid:105) = 0.

SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y (cid:104)η(cid:105) ↓ (cid:104)ρ(cid:105) SU (3)C ⊗ U (1)Q.

92

Phụ lục B

Tìm các hệ số α, β, γ và α(cid:48), β(cid:48), γ(cid:48) của toán tử điện tích Q và tích B − L

B.1 Tìm hệ số α, β và γ của toán tử điện tích Q

Dưới đối xứng chuẩn SU (3)L ⊗ U (1)X, toán tử điện tích có dạng chéo

(B.1)

trong đó, T3 = λ3/2, T8 = λ8/2 là các vi tử chéo, λ3, λ8 là các ma trận Gell-Mann, α, β, γ là các hằng số. Toán tử điện tích Q viết lại dưới dạng ma trận như sau:

Q = αT3 + βT8 + γXI3×3,

  β √ + + γX 0 0 α 2 2 3

(B.2)

Để tìm α, β và γ, chúng ta tác dụng toán tử điện tích Q lên tam tuyến lepton:

(B.3)

β √ + + γX 0 − 0 Q = . α 2 2 3             0 0 − + γX β √ 3

QψaL = QψaψaL.

93

Từ biểu thức trên, chúng ta được hệ phương trình sau:

(B.4)

β √ + + γX = 0 2 3

(B.5)

(B.6)

β √ − + + γX = −1 α 2 α 2 2

− + γX = q 3 β √ 3

Giải hệ các phương trình trên, chúng ta được: α = 1, β = −(1 + 2q)/ tùy ý. Để đơn giản ta chọn γ = 1.

Như vậy, dưới đối xứng chuẩn SU (3)L ⊗ U (1)X, toán tử điện tích được

xác định là

(B.7)

√ 3, γ

Q = T3 + βT8 + X.

B.2 Tìm hệ số α(cid:48), β(cid:48) và γ(cid:48) của tích B − L

Dưới đối xứng chuẩn SU (3)L ⊗ U (1)N , tích B − L có dạng chéo

(B.8)

trong đó α(cid:48), β(cid:48), γ(cid:48) là các hằng số. Tích B − L viết lại như sau:

B − L = α(cid:48)T3 + β(cid:48)T8 + γ(cid:48)N I3×3,

 

+ + γ(cid:48)N 0 0 α(cid:48) 2 β(cid:48) √ 2 3

+ + γ(cid:48)N 0 0 − .(B.9) B − L = α(cid:48) 2 β(cid:48) √ 2 3

Để tìm α(cid:48), β(cid:48), γ(cid:48) chúng ta tác dụng tích B −L lên tam tuyến lepton. Chúng ta được hệ phương trình sau đây:

(B.10)

              0 0 − + γ(cid:48)N β(cid:48) √ 3

+ + γ(cid:48)N = −1 α(cid:48) 2 β(cid:48) √ 2 3

94

(B.11)

(B.12)

− + + γ(cid:48)N = −1 α(cid:48) 2 β(cid:48) √ 2

− + γ(cid:48)N = n 3 β(cid:48) √ 3

Giải hệ phương trình trên, chúng ta được: α(cid:48) = 0, β(cid:48) = −2(1 + n)/ γ(cid:48) = 1.

Như vậy, dưới đối xứng chuẩn SU (3)L ⊗ U (1)N , tích B − L được xác

định là

(B.13)

√ 3 và

B − L = β(cid:48)T8 + N.