intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

luận văn:bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương (hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu) để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm

Chia sẻ: Nguyễn Thị Bích Ngọc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:68

Thêm vào BST
Báo xấu
181
lượt xem 59
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cùng với sự phát triển nội tại của toán học và các ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng. Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số là môn khoa học thuộc lĩnh vực toán ứng dụng nghiên cứu cách giải gần đúng các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: luận văn:bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương (hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu) để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm

  1. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- ----- ----- ÁN T T NGHI P tài: “bài toán dùng phương pháp x p x trung bình phương (hay còn g i là phương pháp bình phương t i thi u) x p x hàm trong th c nghi m.” ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 1 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  2. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- M CL C Trang Chương I Phương pháp bình phương t i thi u l p công th c t th c nghi m: 1.1. Gi i thi u chung…...………………………………………………..1 1.1.1. tv n …………………………………………………..1 1.1.2. Bài toán t ra………………………………………………2 1.2. Sai s trung bình phương và phương pháp bình phương t i thi u tìm x p x t t nh t v i m t hàm……………………………………………...3 1.2.1. Sai s trung bình phương…………………………………...3 1.2.2. nh nghĩa………………………………………………….3 1.2.3. ý nghĩa c a sai s trung bình phương……………………....3 1.2.4. X p x hàm theo nghĩa trung bình phương…………………5 Chương II Các phương pháp x p x : 2.1 . X p x hàm trong th c nghi m b ng a th c suy r ng…………..…7 2.1.1. nh nghĩa……………….…………………………………….7 2.1.2. N i dung……………………………………………………….7 2.1.3. Sai s c a phương pháp…………………………………..........9 2.1.4. M r ng trên h tr c giao ơn gi n hóa k t qu ……….…..11 2.1.4.1. nh nghĩa……………………………………………...11 2.1.4.2. Ti p c n l i gi i………………………………………...11 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 2 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  3. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- 2.1.4.3. Sai s c a phương pháp………………………………....12 2.1.4.4. Chú ý …………………………………………………...12 2.2. X p x hàm trong th c nghi m b ng a th c i s ………………..14 2.2.1. tv n …………………………………………………….14 2.2.2. Ti p c n l i gi i………………………………………............14 2.2.3. Sai s trung bình……………………………………………...14 2.2.4. Trư ng h p các m c cách u………………………………..15 2.3. X p x hàm trong th c nghi m b ng a th c tr c giao…………..20 2.3.1. nh nghĩa h hàm tr c giao………………………..………...20 2.3.2. tv n …………………………………………………….20 2.3.3. N i dung c a phương pháp………………………….………...21 2.3.4. Sai s c a phương pháp……………………………..………...30 2.4. X p x hàm trong th c nghi m b ng a th c lư ng giác…………32 2.4.1. nh nghĩa a th c lư ng giác………………………………..32 2.4.2. Thu t toán……………………………………………………..32 Chương III Các ví d minh h a: 3.1. a th c i s …………………………………………………………..39 3.1.1. Ví d 1………………………………………………………..39 3.1.2. Ví d 2………………………………………………………...40 3.2. a th c tr c giao………………………………………………………..43 3.2.1. Ví d 1………………………………………………………...43 3.2.1. Ví d 2………………………………………………………...48 3.3. a th c lư ng giác……………………………………………………...52 Chương IV ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 3 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  4. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- SƠ KH I BI U DI N THU T TOÁN VÀ CHƯƠNG TRÌNH VI T B NG NGÔN NG C: 4.1. Sơ kh i bi u di n thu t toán…………………………………………54 4.1.1. Trư ng h p d ng a th c i s ………………………………. 54 4.1.2. Trư ng h p d ng a th c tr c giao…………………………… 55 4.1.3. Trư ng h p d ng a th c lư ng giác………………………… .56 4.2. K t qu ch y chương trình……………………………………………...57 4.2.1. Trư ng h p a th c i s …………………………………..…57 4.2.2. Trư ng h p a th c tr c giao……………………………….....57 4.2.3. Trư ng h p a th c lư ng giác………………………………..58 K t lu n…………………………………………………………….....……59 Tài li u tham kh o…………………………………………………............60 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 4 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  5. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- L I NÓI U Toán h c là m t môn khoa h c chi m v trí quan tr ng không th thi u trong cu c s ng con ngu i. Cùng v i s phát tri n n i t i c a toán h c và các ngành khoa h c khác, toán h c chia thành toán lý thuy t và toán ng d ng. Gi i tích s hay còn g i là phương pháp s là môn khoa h c thu c lĩnh v c toán ng d ng nghiên c u cách gi i g n úng các phương trình, các bài toán x p x hàm s và các bài toán t i ưu. Vi c gi i m t bài toán x p x hàm s nh m m c ích thay m t hàm s dư i d ng ph c t p như d ng bi u th c ho c m t hàm s dư i d ng b ng b ng nh ng hàm s ơn gi n hơn. Trong lý thuy t x p x hàm ngư i ta thư ng nghiên c u các bài toán n i suy, bài toán x p x u và bài toán x p x trung bình phương. Trong án này em c p n bài toán dùng phương pháp x p x trung bình phương hay còn g i là phương pháp bình phương t i thi u x px hàm trong th c nghi m. hoàn thành án này em xin chân thành c m ơn các th y cô trong khoa Toán tin ng d ng- Trư ng i h c Bách Khoa Hà N i ã quan tâm giúp em và t o m i i u ki n cho em trong su t quá trình làm án. c bi t em xin chân thành g i l i c m ơn n PGS-TS LÊ TR NG VINH, ngư i ã tr c ti p t n tình hư ng d n, ch b o v kinh nghi m và tài li u trong su t quá trình em làm án t t nghi p. Em xin chân thành c m ơn! Hà N i, tháng 5 năm 2008 Bùi Văn B ng ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 5 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  6. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- CHƯƠNG I PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG T I THI U L P CÔNG TH C T TH C NGHI M 1.1 Gi i thi u chung 1.1.1 tv n Có r t nhi u phương pháp khác nhau l p nh ng a th c t th c nghi m mà ta ã bi t n như phép n i suy l p a th c c p n: ϕ ( x ) ( i s ho c lư ng giác) x p x hàm s y = f ( x ) mà ta ã bi t các giá tr c a hàm này là y = yi t i các i m x = xi . Phương pháp n i suy nói trên khi s d ng trong th c ti n thì có nh ng i u c n cân nh c là: 1. Trong các a th c n i suy ϕ ( x ) ta òi h i ϕ ( xi ) = yi . Tuy nhiên s òi h i này không có ý nghĩa nhi u trong th c t . B i vì các s yi là giá tr c a hàm y = f ( x ) t i các i m x = xi , trong th c t chúng ta cho dư i d ng b ng và thư ng thu ư c t nh ng k t qu o c ho c tính toán trong th c hành. Nh ng s y i này nói chung ch x p x v i các giá tr úng f ( xi ) c a hàm y = f ( x) t i x = xi . Sai s m c ph i ε i = yi − f ( xi ) nói chung khác không. N u bu c ϕ ( xi ) = yi thì th c ch t ã em vào bài toán các sai s ε i c a các s li u ban u nói trên (ch không ph i là làm cho giá tr c a hàm n i suy ϕ (x) và hàm f ( x ) trùng nhau t i các i m x = xi ). 2. cho a th c n i suy ϕ (x) bi u di n x p x hàm f ( x ) m t cách sát th c ương nhiên c n tăng s m c n i suy xi (nghĩa là làm gi m sai s c a công th c n i suy). Nhưng i u này l i kéo theo c p c a a th c n i suy tăng lên do ó nh ng a th c n i suy thu ư c khá c ng k nh ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 6 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  7. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- gây khó khăn cho vi c thi t l p cũng như d a vào ó tính giá tr g n úng ho c kh o sát hàm f ( x ) . 1.1.2 Bài toán t ra Chính vì nh ng lý trên nên phương pháp tìm hàm x p x có th s sát th c hơn thông qua hai bài toán: Bài toán 1(tìm hàm x p x ). Gi s ã bi t giá tr yi (i = 1,2,..., n) c a hàm y = f ( x) t i các i m tương ng x = xi . Tìm hàm φm ( x) x p x v i hàm f(x) trong ó m φm ( x) = ∑ aiϕi ( x). (1 - 1) i =0 v i ϕ i (x) là nh ng hàm ã bi t, ai là nh ng h s h ng s . Trong khi gi i quy t bài toán này c n ch n hàm φ m (x) sao cho quá trình tính toán ơn gi n ng th i nhưng sai s ε i có tính ch t ng u nhiên (xu t hi n khi thu ư c các s li u yi ) c n ph i ư c ch nh lý trong quá trình tính toán. Trong bài toán tìm hàm x p x trên vi c ch n d ng c a hàm x p x φ m (x) là tùy thu c ý nghĩa th c ti n c a hàm f(x) . Bài toán 2 (tìm các tham s c a m t hàm có d ng ã bi t). Gi s ã bi t d ng t ng quát c a hàm Y = f ( x, a0 , a1,..., am ) (1 – 2) Trong ó: ai (i = 1,2,..., m) là nh ng h ng s . Gi s qua th c nghi m ta thu ư c n giá tr c a hàm y = yi (i = 1,2,..., m) ng v i các giá tr x = xi c a i. V n là t nh ng s li u th c nghi m thu ư c c n xác nh các giá tr c a tham s a0 , a1 ,..., am tìm ư c d ng c th c a bi u th c (1 – 2): y = f ( x) v s ph thu c hàm s gi a y và x . ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 7 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  8. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- 1.2 Sai s trung bình phương và phương pháp bình phương t i thi u tìm x p x t t nh t v i m t hàm 1.2.1 Sai s trung bình phương Nh ng hàm trong th c nghi m thu ư c thư ng m c ph i nh ng sai s có tính ch t ng u nhiên. Nh ng sai s này xu t hi n do s tác ng c a nh ng y u t ng u nhiên vào k t qu th c nghi m thu ư c các giá tr c a hàm. Chính vì lý do trên, ánh giá s sai khác gi a hai hàm trong th c nghi m ta c n ưa ra khái ni m v sai s (ho c l ch) sao cho m t m t nó ch p nh n ư c trong th c t , m t m t l i san b ng nh ng sai s ng u nhiên (nghĩa là g t b ư c nh ng y u t ng u nhiên tác ng vào k t qu c a th c nghi m). C th n u hai hàm th c ch t khá g n nhau thì sai s chúng ta ưa ra ph i khá bé trên mi n ang xét. Khái ni m v sai s nói trên có nghĩa là không chú ý t i nh ng k t qu có tính ch t cá bi t mà xét trên m t mi n nên ư c g i là sai s trung bình phương. 1.2.2 nh nghĩa Theo nh nghĩa ta s g i σ n là sai s (ho c l ch) trung bình phương c a hai hàm f ( x) và ϕ ( x) trên t p X = ( x1 , x2 ,..., xn ) , n u 1 n σn = ∑ [ f ( xi ) − ϕ ( xi )]2 . n i =1 (2 – 1) 1.2.3 Ý nghĩa c a sai s trung bình phương ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 8 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  9. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- tìm hi u ý nghĩa c a sai s trung bình phương ta gi thi t f ( x) , ϕ (x) là nh ng hàm liên t c trên o n [ a, b ] và X = ( x1 , x2 ,..., xn ) là t p h p các i m cách u trên [ a, b ] a = x1 < x2 < ... < xn = b Theo nh nghĩa fích phân xác nh ta có lim σ n = σ (2 – 2) n →∞ Trong ó: b 1 ∫ [ f ( x) − ϕ ( x)] dx . 2 σ 2 = (2 – 3) b−a a Gi s f ( x ) − ϕ ( x ) có trên [ a, b ] m t s h u h n c c tr và α là m t s dương nào ó cho trư c. Khi ó trên [ a, b ] s có k o n riêng bi t [ ai , bi ] (i = 1,2,..., k ) sao cho f ( x ) − ϕ ( x ) ≥ α (v i x ∈ [ ai , bi ] , (i = 1,2,..., k ) ) G i ω là t ng các dài c a k o n nói trên. V in l n và σ n bé, t (2 – 2) ta suy ra σ < ε ( ε bé tùy ý). T (2 – 3) suy ra b k bi ε (b − a ) > ∫ [ f ( x) − ϕ ( x)] dx ≥ 2 2 ∑ ∫ [ f ( x) − ϕ ( x)] i =1 ai 2 dx ≥ α 2ω . a Do ó 2 ε  ω < (b − a)   . α  Nghĩa là t ng dài ω c a các o n [ ai , bi ] s bé tùy ý. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 9 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  10. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- Tóm l i: v i σ n bé (n khá l n) thì trên o n [ a, b ] (tr t i nh ng i m c a nh ng o n [ ai , bi ] mà có t ng dài ω bé tùy ý), ta có f ( x) − ϕ( x) < α . Trong ó α là m t s dương tùy ý cho trư c. T nh n xét trên ta rút ra nh ng ý nghĩa th c ti n c a sai s trung bình phương như sau: N u sai s trung bình phương σ n c a hai hàm f(x) và ϕ (x) trên t p h p n i m [ a, b ] ⊂ X (n l n) mà khá bé thì v i tuy t i a s giá tr c a x trên [a, b] cho sai s tuy t i gi a f(x) và ϕ (x ) khá bé. 1.2.4 X p x hàm theo nghĩa trung bình phương T ý nghĩa c a sai s trung bình phương nói trên Ta nh n th y n u các giá tr yi (i = 1,2,..., n) c a hàm f ( x) t i các i m xi và n u sai s trung bình phương 1 n σn = ∑ [ yi − ϕ ( xi )]2 n i =1 khá bé thì hàm ϕ (x ) s x p x khá t t v i hàm f ( x) . Cách x p x m t hàm s l y sai s trung bình phương làm tiêu chu n ánh giá như trên g i là x p x hàm theo nghĩa trung bình phương. Rõ ràng: N u hàm f ( x) thu ư c b ng th c nghi m (nghĩa là yi ≈ f ( xi ) ) thì cách x p x nói trên ã san b ng nh ng sai l c t i t ng i m (n y sinh do nh ng sai s ng u nhiên c a th c nghi m). ó là lý do gi i thích lý do vì sao phương pháp x p x theo nghĩa trung bình phương ư c s d ng r ng rãi trong th c ti n. Ta xét trư ng h p ϕ ( x) là ph thu c các tham s a0 , a1 ,..., am ϕ ( x) = ( x; a0 , a 1 ,..., am ) . (2 – 4) ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 10 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  11. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- Trong s nh ng hàm ϕ ( x) có d ng (2 – 4) ta s g i hàm ϕ ( x) = ( x; a 0 , a1 ,..., a m ) (2 – 5) là x p x t t nh t theo nghĩa trung bình phương v i hàm f ( x) n u sai s trung bình phương ϕ ( x ) v i f ( x) là bé nh t. C th là σ n ( a 0 , a1 ,..., a m ) = min σ n ( a0 , a1 ,..., am ) trong ó 1 n ∑ [ yi − ϕ ( x; a0 , a1,..., am )] . 2 σ n (a0 , a1 ,..., am ) = (2 – 6) n i =1 T (2 – 6) ta nh n th y (2 – 5) tương ương v i ng th c: n n ∑ [ y − ϕ ( x; a , a ,..., a )] = min ∑ [ yi − ϕ ( x; a0 , a1 ,..., am )] . 2 2 i 0 1 m (2 – 7) i =1 i =1 T ó vi c tìm hàm x p x t t nh t (trong s nh ng hàm d ng (2 – 4) v i n hàm f ( x) ) s ưa v tìm c c ti u c a t ng bình phương ∑ε i =1 i 2 trong ó ε i = yi − ϕ ( x; a0 , a1 ,..., am ) . B i v y phương pháp tìm x p x t t nh t theo nghĩa trung bình còn g i là phương pháp bình phương t i thi u x p x hàm trong th c nghi m. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 11 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  12. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- CHƯƠNG II CÁC PHƯƠNG PHÁP X P X 2.1 X p x hàm trong th c nghi m b ng a th c suy r ng 2.1.1 nh nghĩa Gi s cho h hàm: ϕ0 ( x),ϕ1 ( x),...,ϕm ( x),... Ta s g i hàm ϕm ( x) là a th c suy r ng c p m n u φm ( x) có d ng m φm ( x) = ∑ aiϕi ( x) . (3 – 1) i =0 Trong ó a0 , a1 ,..., am là các h s h ng s . H hàm {ϕm ( x)} ã cho g i là h cơ b n. 2.1.2 N i dung Theo ph n trên v tìm hàm x p x gi s ã bi t n giá tr th c nghi m yi (i = 1,2,..., n) c a hàm y = f ( x) t i các i m tương ng xi . Khi ó vi c tìm m t a th c suy r ng có d ng (3 – 1) mà x p x v i hàm f ( x) nói trên { x1, x2 ,..., xn } ⊂ [ a, b] s chuy n v vi c tìm m+1 h s ai trong (3 – 1). quá trình tính toán ư c ơn gi n ta xét a th c suy r ng φm ( x) v i c p m không l n l m. Tuy nhiên ta v n ph i ch n n l n do ó có th gi thi t n ≥ m+1. Khác v i bài toán n i suy ây ta không c n xác nh m+1 giá tr ai t n phương trình: yi = φm ( xi ) (i = 1,2,..., n) (vì s phương trình thư ng nhi u hơn s n). ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 12 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  13. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- Ta s áp d ng phương pháp bình phương t i thi u tìm a th c suy m r ng φ m ( x) = ∑ ai ϕ i ( x) x p x t t nh t v i hàm f ( x) trên [ a, b ] . i =0 Trong (2 – 7) ta coi m ϕ ( x; a0 , a1,..., am ) = φ m (x) = ∑ aiϕ i ( x) . i =0 T ( ) ó ta suy ra: a 0 , a1 ,..., a m là i m c c ti u c a hàm m+1 bi n n F (a0 , a1 ,..., am ) = ∑[ y i =1 i − ϕ 0 ( xi ) a 0 − ϕ1 ( xi ) a1 − .... − ϕ m ( xi ) a m ] 2 . (3 – 2) Do ó ( a0 , a1 ,..., am ) là nghi m c a h phương trình ∂F ∂F ∂F =0; = 0 ; ……; = 0. ∂a 0 ∂a1 ∂a m Ho c d ng tương ương v i nó  2 n y − ϕ ( x )a − ϕ ( x )a − ... − ϕ ( x )a −ϕ ( x ) = 0  ∑[ i i =1 0 i 0 1 i 1 m i m ][ 0 i ]  n  2∑ [ yi − ϕ 0 ( xi )a0 − ϕ1 ( xi )a1 − ... − ϕ m ( xi )am ][ −ϕ1 ( xi )] = 0   i =1 (3 - 3)  ...............................................................................  n 2∑ [ y − ϕ ( x )a − ϕ ( x )a − ... − ϕ ( x )a ][ −ϕ ( x )] = 0  i =1 i  0 i 0 1 i 1 m i m m i G i ϕ r là véc tơ n chi u v i thành ph n th i là ϕ r ( xi ) . G i y là véc tơ n chi u v i thành ph n th i là yi . Theo nh nghĩa tích vô hư ng các véc tơ ta có m n [ y,ϕr ] = ∑ yiϕr ( xi ) ; [ϕr ,ϕ s ] = ∑ϕr ( xi )ϕs ( xi ) (3 – 4) i =1 i =1 Do ó (3 – 3) ư c chuy n v d ng ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 13 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  14. án t t nghi p --------------------------------------------------------------------------------------------  [ϕ 0 ,ϕ 0 ] a0 + [ϕ 0 ,ϕ1 ] a1 + ... + [ϕ 0 ,ϕ m ] = [ y,ϕ 0 ]   [ϕ1 ,ϕ 0 ] a0 + [ϕ1 ,ϕ1 ] a1 + ... + [ϕ1 ,ϕ m ] = [ y,ϕ1 ]  (3 - 5)  .................................................................... [ϕ m ,ϕ 0 ] a0 + [ϕ m ,ϕ1 ] a1 + ... + [ϕ m ,ϕ m ] = [ y,ϕ m ]  Ta nh n th y (3 – 5) là h (m + 1) phương trình i s tuy n tính dùng xác nh m + 1 h s : a 0 , a1 ,..., a m trong a th c x p x φm (x) . Ma tr n c a h phương trình tuy n tính (3 – 5) có các ph n t là [ϕ i , ϕ j ] , do ó là m t ma tr n i x ng (d a vào tính ch t giao hoán c a tích vô hư ng). Ta s g i h phương trình (3 – 5) là h phương trình chu n. nh th c c a h phương trình chu n có d ng [ϕ 0 , ϕ 0 ][ϕ 0 , ϕ1 ]......[ϕ 0 , ϕ m ] [ϕ1 , ϕ 0 ][ϕ1 , ϕ1 ]......[ϕ1 , ϕ m ] G( ϕ 0 , ϕ1 ,....., ϕ m ) = (3 – 6) ............................................ [ϕ m , ϕ 0 ][ϕ m , ϕ1 ].....[ϕ m , ϕ m ] Ta g i nh th c G = (ϕ0 ,ϕ1 ,...,ϕm ) là nh th c Gram c a h véc tơ ϕ 0 , ϕ1 ,.....ϕ m trên t p i m X = { x1 , x2 ,..., xn } . Mà ta ã bi t: N u hàm cơ s ϕ 0 ( x), ϕ1 ( x),...., ϕ m ( x) là h hàm c l p tuy n tính trên X = { x1 , x2 ,..., xn } ⊂ [ a, b ] thì trong s nh ng a th c suy r ng c p m có d ng (3 – 1) luôn t n t i m t a th c suy r ng m φ m ( x) = ∑ a iϕ i ( x) . (3 – 1’) i=0 Là x p x t t nh t theo nghĩa trung bình phương i v i hàm f ( x) . Ngoài ra còn có th ch ng minh khi h cơ s ϕ 0 ( x), ϕ1 ( x),...., ϕ m ( x) là nh ng c l p tuy n tính trên { x1 , x2 ,..., xn } ⊂ [ a, b ] thì G = (ϕ0 ,ϕ1 ,...,ϕm ) > 0 . Nghĩa là trong trư ng h p này h phương trình chu n (3 – 5) có và duy nh t ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 14 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  15. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- nghi m a 0 , a1 ,..., a m ng v i các h s c a a th c (3 – 1’) x p x t t nh t v i hàm f ( x) (theo nghĩa trung bình phương). Do v y ta có th cho r ng h hàm cơ s nghĩa là h hàm c l p tuy n tính trên o n [ a, b ] . 2.1.3 Sai s c a phương pháp. Cùng v i vi c tìm hàm x p x φm (x) cho hàm f ( x) ta c n ánh giá sai s ho c l ch c a nó i v i hàm f ( x) . Sai s ây hi u theo nghĩa trung bình phương. C th là ta i tìm i lư ng 1 n σm = ∑ [ yi − φ m ( x)]2 . n i =1 (3 – 7) T (3 – 1’) ta có 2 n n  m  ∑ [ y i − φ m ( xi )] = ∑  yi − ∑ a jϕ j ( xi ) 2 i =1 i =1  j =0  m m = [ y − ∑ a jϕ j , y − ∑ a j ϕ j ] j =0 j =0 m m m = [ y − ∑ a jϕ j , y ] − [ y − ∑ a jϕ j , ∑ a jϕ j ] . (3 – 8) j =0 j =0 j =0 M t khác  m m  m  m   y − ∑ a jϕ j , ∑ a j ϕ j  = ∑ a j  y − ∑ a jϕ j , ϕ j  =  j =0 j =0  i =0  j =0   m m  [ = ∑ ai [ y, ϕ i ] − ∑ a j ϕ i , ϕ j  . ] (3 – 9) i =0  j =0  K t h p (3 – 9) v i (3 – 5) ta có: m  m  ∑ [ ] ai [ y, ϕ i ] − ∑ a j ϕ i , ϕ j  = 0 . i =0  j =0  ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 15 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  16. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- Thay k t qu trên vào (3 – 8) ta có: n  m  ∑ [ yi − φm ( xi )] =  y − ∑ a jϕ j , y  2 i =1  j =0  m [ ] = [ y , y ] − ∑ a j y, ϕ j . (3 – 10) j =0 Thay (3 – 10) vào (3 – 7) ta có 1 m  σn = n [ [ y, y ] − ∑ a j y, ϕ j  .] (3 – 11) j =0  Trong ó a j là nghi m c a h phương trình chu n (3 – 5). 2.1.4. M r ng trên h tr c giao. 2.1.4.1 nh nghĩa: ơn gi n hóa k t qu trên thì ta nh nghĩa v h hàm tr c giao như sau: H hàm ϕ0 ( x),ϕ1 ( x),...,ϕm ( x) g i là h tr c giao trên t p X = ( x1, x2 ,..., xn ) n u  n  [ϕ r , ϕ s ] = ∑ ϕ r ( xi )ϕ s ( xi ) = 0.(r ≠ s)  i =1  n (3 – 12) [ϕ r , ϕ s ] = ∑ ϕ r2 ( xi ) ≠ 0.( r = 0,1,...., m)   i =1 n = [ϕ r , ϕ r ] = ∑ ϕ r2 ( xi ) g i là chu n c a hàm ϕ r (x) trên t p 2 S ϕ r mà ϕ r i =1 h p X. Trong trư ng h p h hàm ϕ0 ( x),ϕ1 ( x),...,ϕm ( x) tr c giao mà ϕ r = 1 (r = 0,1,..., m) thì h hàm ư c g i là h tr c chu n trên t p h p X . 2.1.4.2 Ti p c n l i gi i ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 16 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  17. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- T m t h cơ s b t kỳ ϕ 0 ( x ),ϕ 1 ( x ),...,ϕ m ( x) bao gi cũng l p ư c m t h tr c chu n tương ng ϕ0 ( x),ϕ1 ( x),...,ϕm ( x) sao cho m i hàm c a h tr c chu n là m t t h p tuy n tính c a các hàm trong h cơ s ã cho: m ϕ r ( x) = ∑ α s( r ) ϕ s ( x) (r = 0,1,..., m) . (3 – 13) s =0 T (3 – 5) và (3 – 12) ta nh n th y r ng: N u ϕ0 ( x),ϕ1 ( x),...,ϕm ( x) là h tr c giao thì a th c x p x t t nh t (3 – 1’) c a f ( x) có các h s a j cho b i công th c [ϕ i , ϕ i ]ai = [ y, ϕ i ] (i = 0,1,..., m) . [ y , ϕ i ] = [ y, ϕ i ] Hay ai = (i = 0,1,..., m) . (3 – 14) [ϕ i , ϕ i ] ϕ i 2 T ó ta có m m [ y, ϕ i ]2 ∑ a [y, ϕ ] = ∑ i =0 i i i =0 ϕi 2 2.1.4.3 Sai s c a phương pháp D a trên (3 – 11) ta suy ra sai s trung bình phương c a a th c x p x là: 1  2  m [ y, ϕ i ]  σn = [ y, y ] − ∑ 2 . (3 – 15) n ϕi   j =0  [y , ϕ ] 2 m [y, ϕ ] 2 ∑ j j Vì 2 ≥ 0 nên t ng: 2 là m t i lư ng ơn i u tăng theo ϕj j =0 ϕj m. Do ó t (3 – 15) ta suy ra sai s trung bình phương σ n s gi m khi m ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 17 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  18. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- tăng. Tóm l i n u c p m c a a th c x p x (3 – 1’) (v i h cơ s ϕ0 ( x),ϕ1 ( x),...,ϕm ( x) là tr c giao) càng l n thì a th c x p x f ( x) càng t t. 2.1.4.4. Chú ý M t c i m chú ý ây là: Trong trư ng h p chung khi c n thay i c p m c a a th c x p x (3 – 1’) thì h phương trình chu n (3 – 5) dùng xác nh các h s a 0 , a1 ,..., a m c a a th c hoàn toàn thay i. Do ó quá trình tình toán (gi i h phương trình chu n) c n làm l i t u. Tuy nhiên khi h hàm cơ s là tr c giao thì mu n thay i c p m c a a th c x p x (3 – 1’) (ch ng h n tăng t m lên m+1) ta ch c n thêm s a m+1 t công th c (3 – 14). Còn các h s a 0 , a1 ,..., a m ã thu ư c cho a th c φ m ( x ) v n dùng ư c cho a th c m +1 φ m+1 ( x) = ∑ a iϕi ( x) . i =0 Nh n xét trên r t b ích v m t th c hành tính toán vì khi mu n x p x m t hàm th c nghi m b ng m t a th c suy r ng c p m (3 – 1’): do khuôn kh c a s tính toán ta không c n ch n ngay t us m l n. Khi ó n u h hàm cơ s ϕ0 ( x),ϕ1 ( x),...,ϕm ( x),... là m t h tr c giao thì khi xu t phát ta có th ch n s m nh (ch ng h n m = 1 ho c 2). Sau khi th c hành tính toán n u th y sai s trung bình phương tương ng chưa bé (so v i yêu c u) thì ta có th tăng d n s m lên và tính thêm các h s a i b sung (t công th c (3 – 14)). ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 18 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  19. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- 2.2 X p x hàm trong th c nghi m b ng a th c is 2.2.1 tv n Gi s bi t n giá tr th c nghi m yi (i = 1,2,..., n) c a hàm f ( x) t i các i m xi tương ng. Ta tv n x p x hàm f ( x) b i m t a th c c p m có d ng Pm ( x) = a0 + a1 x + ... + am x m . (4 – 1) 2.2.2 Ti p c n l i gi i gi i bài toán này ta áp d ng nh ng k t qu t ng quát ph n II, trong ó h hàm cơ s {ϕ i (x)} có d ng ϕ 0 ( x) = 1 , ϕ1 ( x) = x , …, ϕ m ( x) = x m . (4 – 2) khi ó t (3 – 4) ta có n n [ y, ϕ r ] = ∑ yiϕ r ( xi ) = ∑ yi xir i =1 i −1 n n và [ϕ r , ϕ s ] = ∑ ϕ r ( xi )ϕ s ( xi ) = ∑ xir + s . (4 – 3) i =1 i =1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 19 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
  20. án t t nghi p -------------------------------------------------------------------------------------------- D a vào (3 – 5) ta suy ra các h s ai c a a th c x p x (4 – 1) là nghi m c a h phương trình chu n có d ng sau  n n n n  a 0 n + a1 ∑ xi + a 2 ∑ xi2 + .... + a m ∑ xim = ∑ y i  n i =1 n i =1 n i =1 n i =1 n   a 0 ∑ xi + a1 ∑ xi2 + a 2 ∑ xi3 + ... + a m ∑ xim +1 = ∑ xi y i  i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 (4 – 4)  .......................................................................................  n n n n n a0 ∑ xim + a1 ∑ xim +1 + a 2 ∑ xim + 2 + ... + a m ∑ xi2 m = ∑ xim y i  i =1  i =1 i =1 i =1 i =1 2.2.3 Sai s trung bình T (3 – 7) và (3 – 11) ta suy ra sai s trung bình c a a th c x p x có d ng (4 – 4) là: 1 n 1 n 2 m n  ∑ [yi − Pm ( xi )] = ∑ y i − ∑ a j ∑ y i x i  . 2 σn = j (4 – 5) n i =1 n  i =1 j =0 i =1  V m t th c hành, tìm các h s c a phương trình chu n (4 – 4) ta làm theo lư c trong b ng 1. Các h s v trái c a phương trình u tiên cho b i các t ng ô l n lư t t c t (1) n c t (m), c a phương trình th 2 cho b i các t ng l n lư t t c t 2 n c t (m+1), … còn các v ph i c a (4 – 4) cho b i các t ng l n lư t t c t (2m+2) n c t cu i cùng (3m+2). x0 x1 x2 … x2m y xy x2 y … xm y (1) (2) (3) (2m+1) (2m+2) (2m+3) (2m+4) (3m+2) 1 x1 x12 … x12 m y1 x1 y1 x12 y1 … x1m y1 1 x2 2 … 2 y2 x2 y2 2 … x2 x2 m x2 y2 m x2 y2 … … … … … … … … … … 1 … … xn 2 xn 2m xn yn xn yn 2 xn yn m xn yn ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 20 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng L p: To n Tin_2 – K48
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2431 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2