Luận văn: Hàm và chuỗi Hilbert

Chia sẻ: Bfvhgfff Bfvhgfff | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

108
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn: Hàm và chuỗi Hilbert nhằm hệ thống hóa và minh họa chi tiết các tính chất cơ bản của hàm và chuỗi Hilbert của modulue, ngoài ra khóa luận còn trình bày về một số kiến thức về hàm đa thức, đa thức số học và có liên hệ với một số bài toán THPT.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Hàm và chuỗi Hilbert

Më ®Çu 1. LÝ do chän ®Ò t i Nghiªn cøu cÊu tróc v nh v module ®Ó ph©n líp chóng l mét trong nh÷ng nhiÖm vô quan träng cña §¹i sè Giao ho¸n. KÕt qu¶ cña viÖc l m n y cho ta c¸c th«ng tin cÇn thiÕt ®Ó nghiªn cøu c¸c ®a t¹p trong H×nh häc §¹i sè, bëi lÏ mçi ®a t¹p l tËp c¸c kh«ng ®iÓm cña mét ideal v viÖc nghiªn cøu ®a t¹p t−¬ng øng víi viÖc nghiªn cøu v nh th−¬ng theo ideal x¸c ®Þnh ®a t¹p ®ã, (®iÒu n y còng cho thÊy §¹i sè Giao ho¸n cã quan hÖ mËt thiÕt, l mét c«ng cô chñ yÕu cña H×nh häc §¹i sè). Cã nhiÒu lÝ thuyÕt cho phÐp ta ®Æc t¶ cÊu tróc v nh v module, ch¼ng h¹n: LÝ thuyÕt ®ång ®iÒu, LÝ thuyÕt d y phÇn tö, LÝ thuyÕt béi, ... CÇn nhÊn m¹nh r»ng sè béi cã liªn quan chÆt chÏ ®Õn sè c¸c giao ®iÓm cña mét ®a t¹p ®¹i sè bÊt kh¶ quy khi c¾t nã bëi hÖ thèng c¸c siªu ph¼ng ®ñ tæng qu¸t. Muèn tiÕp cËn theo h−íng n y, chóng ta cÇn ph¶i x¸c ®Þnh ®−îc sè béi (kÌm theo l chiÒu Krull) cña v nh hay module ®ang xÐt. §iÒu n y dÉn ®Õn b¾t buéc ph¶i kh¶o s¸t h m v chuçi Hilbert cña c¸c líp v nh, module ph©n bËc hay ®a ph©n bËc. Nh− vËy viÖc nghiªn cøu hai kh¸i niÖm n y l mét kh©u thiÕt yÕu ®Ó ta cã thÓ tiÕp cËn gÇn h¬n víi cÊu tróc cña v nh v module. §ã l lÝ do chóng t«i chän ®Ò t i: “ H m v chuçi Hilbert ”. 2. Môc ®Ých nghiªn cøu HÖ thèng ho¸ v minh ho¹ chi tiÕt c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña h m v chuçi Hilbert cña module. Ngo i ra, kho¸ luËn cßn tr×nh b y mét sè kiÕn thøc vÒ h m ®a thøc, ®a thøc sè häc v cã liªn hÖ víi mét sè b i to¸n cña THPT. 3. §èi t−îng v ph¹m vi nghiªn cøu §èi t−îng chÝnh m kho¸ luËn nghiªn cøu l h m v chuçi Hilbert, trong ®ã tËp trung nhiÒu h¬n v o kh¸i niÖm h m Hilbert. Bªn c¹nh ®ã, kho¸ luËn cßn nghiªn cøu mét lo¹t c¸c kh¸i niÖm bæ trî cã thÓ coi nh− kiÕn thøc chuÈn bÞ phôc vô cho viÖc kh¶o s¸t c¸c ®èi t−îng chÝnh nh−: V nh v module ph©n bËc, ®é d i module, chiÒu Krull, h m ®a thøc v ®a thøc sè häc, ... 3
4. Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu + Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu lÝ luËn: Tr−íc hÕt l ®äc c¸c t i liÖu liªn quan ®Õn líp v nh v module ph©n bËc, ®é d i module, ®a thøc sè häc v h m ®a thøc ®Ó t×m hiÓu c¬ së lÝ luËn l m tiÒn ®Ò cho viÖc nghiªn cøu ®èi t−îng chÝnh. TiÕp ®ã vËn dông c¸c kiÕn thøc c¬ së trªn ®Ó ®äc, hiÓu vÒ ®Þnh nghÜa v c¸c tÝnh chÊt cña h m v chuçi Hilbert qua c¸c t i liÖu liªn quan. + Ph−¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm: Tæng hîp v hÖ thèng ho¸ c¸c kiÕn thøc vÒ vÊn ®Ò nghiªn cøu ®Çy ®ñ v khoa häc, kÕt hîp víi ®−a v o c¸c vÝ dô minh ho¹ chi tiÕt. + Ph−¬ng ph¸p lÊy ý kiÕn chuyªn gia: LÊy ý kiÕn cña gi¶ng viªn trùc tiÕp h−íng dÉn v c¸c gi¶ng viªn kh¸c ®Ó ho n thiÖn vÒ mÆt néi dung còng nh− h×nh thøc cña kho¸ luËn. 5. ý nghÜa khoa häc v thùc tiÔn Kho¸ luËn cã thÓ l t i liÖu tham kh¶o cho nh÷ng sinh viªn chuyªn ng nh To¸n cã mong muèn t×m hiÓu s©u h¬n vÒ cÊu tróc cña module m cô thÓ l vÒ h m v chuçi Hilbert. §ång thêi, sö dông c¸c kiÕn thøc vÒ ®a thøc sè häc gióp gi¶i quyÕt mét sè b i to¸n THPT ®¬n gi¶n h¬n. Víi b¶n th©n, nghiªn cøu vÒ h m v chuçi Hilbert gióp t«i hiÓu râ h¬n vÒ cÊu tróc cña v nh v module, thÊy ®−îc sù liªn hÖ chÆt chÏ gi÷a §¹i sè Giao ho¸n v H×nh häc §¹i sè. 6. Bè côc cña kho¸ luËn Ngo i c¸c phÇn Më ®Çu, KÕt luËn v T i liÖu tham kh¶o, néi dung cña kho¸ luËn gåm ba ch−¬ng. Ch−¬ng 1 gåm ba phÇn. PhÇn thø nhÊt tr×nh b y c¸c kiÕn thøc c¬ së vÒ v nh ph©n bËc, ch¼ng h¹n: PhÇn tö thuÇn nhÊt, ideal thuÇn nhÊt, th nh phÇn ph©n bËc, ... PhÇn thø hai nghiªn c−ó vÒ module ph©n bËc trªn v nh ph©n bËc víi c¸c kh¸i niÖm liªn quan v mét v i tÝnh chÊt c¬ b¶n cña chóng. PhÇn ba t×m hiÓu vÒ v nh v module Rees. Ch−¬ng 2 nghiªn cøu vÒ ®é d i module. Ch−¬ng n y gåm hai phÇn tr×nh b y vÒ kh¸i niÖm ®é d i module v mét v i ®Æc tr−ng cña module cã ®é d i h÷u h¹n. §©y l mét trong nh÷ng ®Æc tr−ng quan träng khi nghiªn cøu vÒ cÊu tróc cña module. 4
Ch−¬ng 3 gåm ba phÇn. §©y l ch−¬ng chøa ®ùng néi dung chÝnh cña kho¸ luËn. Trong ®ã phÇn ®Çu cña ch−¬ng l nh÷ng kiÕn thøc vÒ ®a thøc sè häc v h m ®a thøc. PhÇn thø hai kh¶o s¸t vÒ h m v chuçi Hilbert. PhÇn cuèi cña ch−¬ng l ®a thøc Hilbert - Samuel cïng víi ®Þnh lÝ c¬ b¶n cña LÝ thuyÕt chiÒu. Trong to n bé kho¸ luËn, kh¸i niÖm v nh lu«n ®−îc gi¶ thiÕt l v nh giao ho¸n cã ®¬n vÞ 1 ≠ 0 . 5
Ch−¬ng 1. vµnh vµ module ph©n bËc Néi dung cña ch−¬ng n y gåm c¸c vÊn ®Ò sau: Kh¸i niÖm v mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña v nh ph©n bËc, module ph©n bËc trªn v nh ph©n bËc, v nh v module Rees. 1.1. V nh ph©n bËc §©y l néi dung c¬ së cña kho¸ luËn, l m nÒn cho viÖc x©y dùng kh¸i niÖm h m v chuçi Hilbert cña module. §ång thêi ®©y còng l líp v nh ®ãng vai trß quan träng khi nghiªn cøu vÒ LÝ thuyÕt chiÒu. 1.1.1. V nh ph©n bËc v c¸c ®èi t−îng thuÇn nhÊt cña nã §Þnh nghÜa 1.1.1.1. Cho (G , + ) l mét vÞ nhãm céng giao ho¸n víi phÇn tö trung ho 0. Mét v nh R ®−îc gäi l v nh G - ph©n bËc nÕu tån t¹i mét hä c¸c nhãm con céng giao ho¸n {Rα }α∈G cña R tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i ) R = ⊕Rα α ∈G (ii ) Rα Rβ ⊂ Rα + β , mäi α , β ∈ G . Ng−êi ta gäi Rα l th nh phÇn ph©n bËc α cña R , kÝ hiÖu: [ Rα ] VÝ dô. (i ) Cho A l v nh giao ho¸n, cã ®¬n vÞ. Khi ®ã:  A khi α = 0 A = R = ⊕Rα víi Rα =  α ∈G 0 khi α ≠ 0 l mét v nh G - ph©n bËc. (ii ) Cho K l mét tr−êng, ta cã v nh ®a thøc R = K [ x1 , x2 ,..., xd ] . Khi ®ã cã thÓ ph©n bËc v nh n y nh− sau: 1. Gäi Rn l tËp tÊt c¶ c¸c ®a thøc thuÇn nhÊt bËc n , tÝnh c¶ ®a thøc kh«ng. Ta cã R = ⊕Rn l mét v nh ℕ - ph©n bËc. Khi ®ã R ®−îc gäi l cã ph©n bËc chuÈn n≥0 hay ph©n bËc tù nhiªn. 6
2. V× ℕ d = {(α1 ,α 2 ,...,α d ), α i ∈ ℕ, i = 1, d } l mét vÞ nhãm céng giao ho¸n nªn víi mçi α = (α1 ,α 2 ,...,α d ) ∈ℕ d ®Æt Rα = Kx1α x2α ...xd α th× R = 1 2 d ⊕ Rα l mét v nh α ∈ℕ d ℕ d - ph©n bËc. NhËn xÐt 1.1.1.2. Nh− vËy, mçi v nh giao ho¸n ®Òu cã thÓ coi l mét v nh G - ph©n bËc v trªn cïng mét v nh cã thÓ cã nhiÒu c¸ch ph©n bËc kh¸c nhau. §Þnh nghÜa 1.1.1.3. (C¸c ®èi t−îng thuÇn nhÊt cña v nh ph©n bËc) Cho v nh G - ph©n bËc R = ⊕Rα . Khi ®ã: α ∈G (i ) Mçi phÇn tö x ∈ Rα ®−îc gäi l mét phÇn tö thuÇn nhÊt bËc α v kÝ hiÖu: deg x = α . Quy −íc: PhÇn tö 0 l phÇn tö thuÇn nhÊt bËc tïy ý. (ii ) V nh con S cña R ®−îc gäi l mét v nh con ph©n bËc hay v nh con thuÇn nhÊt nÕu S = ⊕ (S ∩ Rα ) . α ∈G (iii ) Mét ideal I cña R ®−îc gäi l ideal ph©n bËc hay ideal thuÇn nhÊt nÕu I = ⊕( I ∩ Rα ) . α ∈G (iv) Mét ideal I cña R ®−îc gäi l thõa nhËn ®−îc nÕu víi mçi tËp con h÷u h¹n J cña G , th× tõ ∑ xα ∈ I víi xα ∈ Rα sÏ kÐo theo xα ∈ I víi ∀α ∈ J . α ∈J VÝ dô. Cho R = K [ x1 , x2 ,..., xd ] l v nh ®a thøc d biÕn trªn tr−êng K cã ph©n bËc R = ⊕Rn víi Rn l tËp tÊt c¶ c¸c ®a thøc thuÇn nhÊt bËc n . Khi ®ã, I l n≥0 ideal thuÇn nhÊt cña R nÕu nã sinh bëi c¸c ®a thøc thuÇn nhÊt. 1.1.2. Mét sè tÝnh chÊt cña v nh ph©n bËc MÖnh ®Ò 1.1.2.1. NÕu R = ⊕Rα l mét v nh G - ph©n bËc th× R0 l mét v nh α ∈G con cña R chøa ®¬n vÞ 1. §ång thêi Rα l c¸c R0 - module víi ∀α ∈ G . Chøng minh. Theo ®Þnh nghÜa ta cã ngay R0 R0 ⊂ R0 , suy ra R0 l mét nhãm céng giao ho¸n ®ãng víi phÐp nh©n trong R , do ®ã nã l mét v nh con cña R . MÆt kh¸c, do 1∈ R = ⊕Rα nªn 1 ®−îc viÕt duy nhÊt d−íi d¹ng 1 = ∑ xα víi α ∈G α ∈G 7
xα ∈ Rα , xα = 0 hÇu hÕt trõ mét sè h÷u h¹n. Khi ®ã, víi ∀β ∈ G ta cã xβ = 1xβ = ∑ xα xβ ∈ Rβ , m xα xβ ∈ Rα Rβ ⊂ Rα + β , ∀α ∈ G . Do ®ã: xα xβ = 0 , ∀α ≠ 0 α ∈G hay xβ = x0 xβ , ∀β ∈ G . KÕt hîp víi R = ⊕Rα ta suy ra x = x0 x , ∀x ∈ R . VËy α ∈G x0 = 1 hay 1∈ R0 . Cuèi cïng, tõ R0 Rα ⊂ Rα , ∀α ∈ G ta suy ra Rα l c¸c R0 - module víi ∀α ∈ G . MÖnh ®Ò 1.1.2.2. Cho I l mét ideal cña v nh ph©n bËc R. Khi ®ã ba mÖnh ®Ò sau l t−¬ng ®−¬ng: (i) Ideal I l thõa nhËn ®−îc. (ii) Ideal I l thuÇn nhÊt. (iii) Ideal I ®−îc sinh bëi nh÷ng phÇn tö thuÇn nhÊt n o ®ã cña R. Chøng minh. (i) ⇒ (ii) Mçi x ∈ I gi¶ sö x = ∑ xα víi xα ∈ Rα v J l mét tËp con h÷u h¹n α ∈J cña G . Do I l thõa nhËn ®−îc nªn xα ∈ I víi ∀α ∈ J . Do ®ã xα ∈ I ∩ Rα , suy ra x ∈ ⊕( I ∩ Rα ) hay I ⊂ ⊕( I ∩ Rα ) . Bao h m thøc ng−îc l¹i l hiÓn nhiªn. α ∈G α ∈G (ii) ⇒ (iii) Do I = ⊕( I ∩ Rα ) nªn mçi x ∈ I ta cã x = ∑ xα víi xα ∈ I ∩ Rα . Suy α ∈G α∈G ra xα ∈ Rα hay xα l phÇn tö thuÇn nhÊt. (iii) ⇒ (i) Gi¶ sö I sinh bëi tËp S nh÷ng phÇn tö thuÇn nhÊt cña R . Khi ®ã, mçi n x ∈ I ta cã: x = ∑ λi yi , λi ∈ R, yi ∈ S . Gäi xα l tæng tÊt c¶ c¸c h¹ng tö cïng i =1 bËc α trong biÓu diÔn cña x , th× xα = ∑ λy deg( λi yi )=α i i v x = ∑ xα . Do S l hÖ sinh α ∈J cña I nªn xα ∈ I hay I l thõa nhËn ®−îc. MÖnh ®Ò 1.1.2.3. NÕu I , J l c¸c ideal thuÇn nhÊt cña mét v nh ph©n bËc R th× I + J , IJ , I ∩ J còng l c¸c ideal thuÇn nhÊt. §Æc biÖt, nÕu R = ⊕Rn l mét n∈ℤ v nh ℤ - ph©n bËc, th× I , ( I : J ) còng l c¸c ideal thuÇn nhÊt. 8
NhËn xÐt 1.1.2.4. Cho v nh G - ph©n bËc R = ⊕Rα , I l mét ideal ph©n bËc cña α ∈G R . Khi ®ã, ⊕ R   α ∈G α  I ∩ Rα  l mét v nh ph©n bËc víi phÐp nh©n ®−îc hiÓu l :   Rα   Rβ  Rα + β    ⊂ I ∩ Rα   I ∩ Rβ  I ∩ Rα + β .  Tõ ®ã, ta cã mÖnh ®Ò sau: MÖnh ®Ò 1.1.2.5. NÕu I l mét ideal thuÇn nhÊt cña mét v nh ph©n bËc R th× v nh th−¬ng R I còng l mét v nh ph©n bËc.  Rα  Khi ®ã, ⊕ α ∈G I ∩ Rα  ®−îc gäi l mét d¹ng biÓu diÔn cña R I v ta cã  thÓ viÕt: R = ⊕  Rα  I α∈G  I ∩ Rα  .   MÖnh ®Ò 1.1.2.6. Cho R = ⊕Rn l mét v nh ℕ - ph©n bËc v {x1 , x2 ,..., xn } l n≥0 tËp c¸c phÇn tö thuÇn nhÊt cã bËc d−¬ng trong R . Khi ®ã, {x1 , x2 ,..., xn } l hÖ sinh cña R+ khi v chØ khi R = R0 [ x1 , x2 ,..., xn ] . Chøng minh. (⇒) Gi¶ sö R+ = ( x1 , x2 ,..., xn ) . Ta sÏ chøng minh Rr ⊂ R0 [ x1 , x2 ,..., xn ] víi mäi r ≥ 0 b»ng qui n¹p theo r . Víi r = 0 , hiÓn nhiªn cã R0 ⊂ R0 [ x1 , x2 ,..., xn ] . Gi¶ sö mÖnh ®Ò trªn ® ®óng víi mäi t < r , tøc l Rt ⊂ R0 [ x1 , x2 ,..., xn ] , ∀t < r . Ta chøng minh nã còng ®óng víi r . ThËt vËy, lÊy x ∈ Rr , khi ®ã v× R+ = ( x1 , x2 ,..., xn ) nªn x ®−îc viÕt d−íi d¹ng: x = a1 x1 + a2 x2 + ... + ar xr , víi ai ∈ R . V× lu«n cã thÓ coi ai l c¸c phÇn tö thuÇn nhÊt nªn víi mäi i ta cã: deg(ai xi ) = deg ai + degxi = r . Suy ra deg ai < r hay ai ∈ R0 [ x1 , x2 ,..., xn ] víi mäi i , (theo gi¶ thiÕt qui n¹p). Ta nhËn ®−îc x = a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn ∈ R0 [ x1 , x2 ,..., xn ] . Tõ ®ã Rr ⊂ R0 [ x1 , x2 ,..., xn ] . MÖnh ®Ò ®óng víi r . Suy ra R = ⊕Rn ⊂ R0 [ x1 , x2 ,..., xn ] . Bao h m thøc ng−îc l¹i n≥0 l hiÓn nhiªn. 9
(⇐) HiÓn nhiªn. Ta nh¾c l¹i r»ng, mét R - module M ®−îc gäi l module Noether nÕu nã tho¶ m n mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i ) Mäi tËp hîp kh«ng rçng nh÷ng module con cña M ®Òu cã mét phÇn tö cùc ®¹i. (ii ) Mäi d y t¨ng nh÷ng module con cña M : M 1 ⊂ M 2 ⊂ ... ⊂ M n ⊂ ... ®Òu dõng, nghÜa l tån t¹i m ®Ó M k = M m víi mäi k ≥ m . (iii ) Mäi module con cña M ®Òu l h÷u h¹n sinh. Mét v nh R ®−îc gäi l v nh Noether nÕu nã l R - module Noether. Tõ ®ã kÕt hîp víi MÖnh ®Ò 1.1.2.6 ta cã hÖ qu¶: HÖ qu¶ 1.1.2.7. Cho R = ⊕Rn l mét v nh ℕ - ph©n bËc. Khi ®ã R l Noether n≥0 khi v chØ khi R0 l Noether v R l mét R0 - ®¹i sè h÷u h¹n sinh. 1.1.3. §ång cÊu ph©n bËc §Þnh nghÜa 1.1.3.1. Cho R = ⊕Rα v S = ⊕Sα l hai v nh G - ph©n bËc v α∈G α ∈G f : R → S l mét ®ång cÊu v nh. Khi ®ã, f ®−îc gäi l ®ång cÊu ph©n bËc hay ®ång cÊu thuÇn nhÊt bËc β nÕu f ( Rα ) ⊂ Sα + β , víi ∀α ∈ G . Mét ®ång cÊu thuÇn nhÊt víi bËc n o ®ã ®−îc gäi t¾t l ®ång cÊu thuÇn nhÊt hay ®ång cÊu ph©n bËc. VÝ dô. (i ) Cho R l mét v nh G - ph©n bËc v r ∈ Rβ . Khi ®ã ®ång cÊu nh©n ϕ : R → R cho bëi f ( x) = rx , ∀x ∈ R l ®ång cÊu thuÇn nhÊt bËc β . (ii ) XÐt v nh ®a thøc hai biÕn R = K [ X , Y ] trªn tr−êng K víi ph©n bËc chuÈn R = ⊕Rn . Khi ®ã ®ång cÊu f : R → R x¸c ®Þnh bëi f ( X ) = X + Y v n ≥0 f (Y ) = X l mét tù ®ång cÊu ph©n bËc cña R . Nh−ng ®ång cÊu h : R → R x¸c ®Þnh bëi h( X ) = X + 1, h(Y ) = Y + 1 kh«ng ph¶i l mét ®ång cÊu ph©n bËc (v× X + 1, Y + 1 kh«ng ph¶i l c¸c phÇn tö thuÇn nhÊt). 10
T−¬ng tù nh− ®èi víi ®ång cÊu v nh, ®ång cÊu ph©n bËc còng cã tÝnh chÊt sau: MÖnh ®Ò 1.1.3.2. Cho R, S, T l c¸c v nh G- ph©n bËc. NÕu ϕ : R → S l mét ®ång cÊu thuÇn nhÊt bËc β v ψ : S → T l mét ®ång cÊu thuÇn nhÊt bËc γ th× ψ °ϕ : R → T l mét ®ång cÊu thuÇn nhÊt bËc β + γ . MÖnh ®Ò 1.1.3.3. NÕu ϕ : R → S l mét ®ång cÊu thuÇn nhÊt th× Ker ϕ l mét ideal thuÇn nhÊt cña R, Im ϕ l mét v nh con thuÇn nhÊt cña S . Chøng minh. Gi¶ sö ϕ l mét ®ång cÊu thuÇn nhÊt bËc β . Khi ®ã v× R sinh bëi c¸c phÇn tö thuÇn nhÊt nªn Im ϕ sinh bëi tËp A = {ϕ ( xα ) / xα ∈ Rα , ∀α ∈ G} . Víi mçi α , v× ϕ ( Rα ) ⊂ Sα + β nªn ϕ ( xα ) ∈ Sα + β l mét phÇn tö thuÇn nhÊt cña S . Suy ra A l tËp con c¸c phÇn tö thuÇn nhÊt cña S , hay Im ϕ l v nh con thuÇn nhÊt cña S . TiÕp theo ta chøng minh Kerϕ l mét ideal thuÇn nhÊt cña R . Víi mçi x ∈ Kerϕ , gi¶ sö x = ∑ xα víi xα ∈ Rα , J l mét tËp con h÷u h¹n cña G . Khi α ∈J ®ã, 0 = ϕ ( x) = ∑ ϕ ( xα ) víi ϕ ( xα ) ∈ Sα + β . M 0 = 0 + 0 + ... v biÓu diÔn l duy α∈G nhÊt nªn ta suy ra ϕ ( xα ) = 0, mäi α ∈ J . VËy xα ∈ Kerϕ víi mäi α ∈ J . Do ®ã Kerϕ l ideal thõa nhËn ®−îc cña R . Bëi MÖnh ®Ò 1.1.2.2, Kerϕ l ideal thuÇn nhÊt cña R . 1.2. Module ph©n bËc §Þnh nghÜa 1.2.1. Cho (G , + ) l mét vÞ nhãm con cña vÞ nhãm céng giao ho¸n (G * , + ) , R = ⊕Rα l mét v nh G - ph©n bËc. Mét R - module M ®−îc gäi l α ∈G mét R - module G*- ph©n bËc nÕu tån t¹i mét hä {M β }β ∈G c¸c nhãm con céng * cña M tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i ) M = ⊕Mβ β ∈G* (ii ) Rα M β ⊂ M α + β víi mäi α ∈ G, β ∈ G* . Khi ®ã, M β ®−îc gäi l th nh phÇn thuÇn nhÊt bËc β cña M v kÝ hiÖu l [ M ]β . VÝ dô. (i ) Mçi v nh ph©n bËc R ®Òu l mét R - module ph©n bËc. 11
(ii ) Cho M = ⊕M β l R - module ph©n bËc, p ∈ℤ . §Æt M ( p) β = M p + β . Khi ®ã, β ∈ℤ M ( p) = ⊕M ( p) β còng l mét R - module ph©n bËc. H¬n n÷a, M ( p ) cßn ®−îc β ∈ℤ gäi l module dÞch chuyÓn cña M v p l sè dÞch chuyÓn. NhËn xÐt 1.2.2. Do R0 M β ⊂ M β víi mäi β ∈ G* nªn M v hä {M β }β ∈G ®Òu l * c¸c R0 - module. §Þnh nghÜa 1.2.3. (C¸c ®èi t−îng thuÇn nhÊt) Cho R = ⊕Rα l mét v nh G - ph©n bËc v M = α ∈G ⊕Mβ β ∈G* l R - module ph©n bËc. Khi ®ã: (i ) PhÇn tö x ∈ M β ®−îc gäi l mét phÇn tö thuÇn nhÊt bËc β v kÝ hiÖu degx = β . Quy −íc: PhÇn tö 0 l phÇn tö thuÇn nhÊt bËc tuú ý. (ii ) Mét R - module con N cña M ®−îc gäi l mét module con ph©n bËc hay module con thuÇn nhÊt nÕu N = ⊕ (N ∩ M β ) . β ∈G* (iii ) Mét R - module con N cña M ®−îc gäi l thõa nhËn ®−îc nÕu víi mçi J l tËp con h÷u h¹n cña G * m ∑ xβ ∈ N β ∈J víi xβ ∈ M β sÏ kÐo theo xβ ∈ N víi mäi β ∈J . Chó ý 1.2.4. NÕu a ∈ R v x∈M l c¸c phÇn tö thuÇn nhÊt th× hoÆc deg ax = deg a + degx hoÆc ax = 0. §Þnh nghÜa 1.2.5. Cho M = ⊕Mβ β ∈G * v M '= ⊕ M β′ β ∈G* l c¸c R = ⊕Rα - module α ∈G ph©n bËc v ϕ : M → M' l mét ®ång cÊu R - module. Khi ®ã, ϕ ®−îc gäi l ′ ®ång cÊu ph©n bËc hay ®ång cÊu thuÇn nhÊt bËc γ nÕu ϕ (M β ) ⊂ M β +γ víi mäi β ∈ G* . NÕu ϕ l ®ång cÊu thuÇn nhÊt bËc n o ®ã th× ϕ ®−îc gäi t¾t l ®ång cÊu thuÇn nhÊt hay ®ång cÊu ph©n bËc. D−íi ®©y l mét sè tÝnh chÊt cña module ph©n bËc trªn v nh ph©n bËc m viÖc chøng minh chóng ho n to n t−¬ng tù nh− ®èi víi v nh ph©n bËc. 12
MÖnh ®Ò 1.2.6. Cho N l mét module con cña module ph©n bËc M . Khi ®ã, ba mÖnh ®Ò sau l t−¬ng ®−¬ng: (i) Module con N l thõa nhËn ®−îc. (ii) Module con N l thuÇn nhÊt. (iii) Module con N sinh bëi tËp nh÷ng phÇn tö thuÇn nhÊt cña M . MÖnh ®Ò 1.2.7. NÕu N v L l c¸c module con thuÇn nhÊt cña mét R - module ph©n bËc M v I l mét ideal thuÇn nhÊt cña R th× L + N , L ∩ N , IL ®Òu l c¸c module con thuÇn nhÊt cña M . Thªm n÷a, nÕu M = ⊕M n v R = ⊕Rn th× n∈ℤ n∈ℤ ( L : N ) l mét ideal thuÇn nhÊt cña R. MÖnh ®Ò 1.2.8. Cho v nh R = ⊕Rα v M = α ∈G ⊕Mβ β ∈G* l R - module ph©n bËc. Khi ®ã, nÕu N l mét R - module con ph©n bËc cña M th× M N l mét R - module ph©n bËc v M N ≅ ⊕  β N ∩ M  . M   β ∈G  * β  MÖnh ®Ò 1.2.9. Cho M = ⊕Mβ β ∈G* v M '= ⊕ M β′ β ∈G* l c¸c R = ⊕Rα - module ph©n α ∈G bËc v ϕ : M → M' l mét ®ång cÊu thuÇn nhÊt R - module. Khi ®ã Ker ϕ , Im ϕ t−¬ng øng l c¸c module con thuÇn nhÊt cña M , M '. Mét trong nh÷ng líp module quan träng khi nghiªn cøu vÒ h m v chuçi Hilbert l module Rees m ta sÏ t×m hiÓu sau ®©y. 1.3. V nh v module Rees §Þnh nghÜa 1.3.1. Cho v nh R v mét hä F = {I n }n≥0 c¸c ideal cña R . Hä F ®−îc gäi l mét läc c¸c ideal cña R nÕu nã ®ång thêi tho¶ m n hai ®iÒu kiÖn sau: (i ) R = I 0 ⊃ I1 ⊃ ... ⊃ I n ⊃ ... (ii ) I m I n ⊂ I m+ n víi mäi m v n. Läc F ®−îc gäi l läc t¸ch ®−îc nÕu ∩I n = 0. n ≥0 VÝ dô. XÐt v nh sè nguyªn ℤ , F = {(2n ) / n ≥ 0} l hä c¸c ideal cña ℤ . Khi ®ã, F l mét läc c¸c ideal cña ℤ . H¬n n÷a ®©y cßn l mét läc t¸ch ®−îc cña ℤ . §Þnh nghÜa 1.3.2. Cho F = {I n }n≥0 l mét läc c¸c ideal cña v nh R . Khi ®ã, c¸c 13
v nh ph©n bËc R( F ) = ⊕I nt n ; G ( F ) = R( F ) ; T ( F ) = ⊕I nt n víi I n = R, ⊕I n+1t n n ≥0 n∈ℤ n ≥0 ∀n ≤ 0 t−¬ng øng ®−îc gäi l : ®¹i sè Rees, v nh ph©n bËc liªn kÕt v ®¹i sè Rees më réng cña läc F . NÕu R( F ) = ⊕I nt n l v nh Noether th× läc F = {I n }n≥0 ®−îc gäi l läc Noether. n ≥0 Chó ý 1.3.3.  In  n (i ) Ta cã, ⊕  n≥ 0 I n +1  t l mét v nh ph©n bËc víi phÐp nh©n ®−îc hiÓu l :   Im  m I  n I  t m + n , ∀m, n .  I  t  n I  t ⊂  m+n I   m +1   n +1   m + n +1  Do ®ã ta cßn cã thÓ viÕt: G ( F ) = ⊕  I n I  t n v   ⊕  In  n I n +1  t ®−îc gäi l mét  n≥0  n +1   n≥ 0 d¹ng biÓu diÔn cña G ( F ) . (ii ) NÕu F = {I n }n≥0 th× F ®−îc gäi l mét läc I - adic sinh bëi ideal I . Khi ®ã, R( I ) = R( F ) = ⊕I nt n ; n≥0 G( I ) = G( F ) = ⊕ I n n≥0 ( I n+1 )t ; n T ( I ) = T ( F ) = ⊕I nt n n∈ℤ víi I n = R khi n < 0 t−¬ng øng ®−îc gäi l ®¹i sè Rees, v nh ph©n bËc liªn kÕt, ®¹i sè Rees më réng cña I . Sö dông ®Þnh lÝ c¬ së Hilbert (xem[5], tr. 136, §Þnh lÝ 1.10) ta suy ra ®−îc mÖnh ®Ò d−íi ®©y. MÖnh ®Ò 1.3.4. Cho I l mét ideal cña v nh Noether R. Khi ®ã c¸c v nh: R( I ) = ⊕I nt n ; G ( I ) = ⊕ I n ≥0 n n ≥0 ( I n +1 )t ; n T ( I ) = ⊕I nt n l c¸c v nh Noether. n∈ℤ §Þnh nghÜa 1.3.5. Cho F = {I n }n≥0 l mét läc c¸c ideal cña R, W = {M n }n≥0 l mét hä c¸c R - module con cña R - module M . W ®−îc gäi l läc t−¬ng thÝch víi läc F nÕu nã ®ång thêi tho¶ m n ba ®iÒu kiÖn sau: (i ) M 0 = M (ii ) M n+1 ⊂ M n víi mäi n ≥ 0 (iii ) I n M m ⊂ M m+n víi mäi m v n. 14
NhËn xÐt 1.3.6. Gi¶ sö W = {M n }n≥0 l mét läc t−¬ng thÝch víi läc F = {I n }n≥0 c¸c ideal cña R . Khi ®ã R(W ) = ⊕M nt n l mét R( F ) - module ph©n bËc, v n ≥0 G (W ) = ⊕M nt n ⊕M tn l n +1 G ( F ) - module ph©n bËc, cã d¹ng biÓu diÔn: n ≥0 n ≥0 G (W ) = ⊕  M n M   t n víi phÐp nh©n ngo i ®−îc hiÓu l :  n≥ 0  n +1   Im  m M  n M  t m+ n ,  I  t  n M  t ⊂  m+n M   m +1   n +1   m + n +1  víi mäi m v n. §Þnh nghÜa 1.3.7. Cho M l mét R - module v I l mét ideal cña R . Hä W = {M n }n≥0 c¸c module con cña M ®−îc gäi l mét I - läc nÕu W = {M n }n≥0 l mét läc t−¬ng thÝch víi läc I - adic F = {I n }n≥0 . §Æc biÖt, mét I - läc ®−îc gäi l mét I - läc æn ®Þnh hay läc I - æn ®Þnh nÕu IM n = M n +1 víi mäi n ®ñ lín. D−íi ®©y l mét v i tÝnh chÊt c¬ b¶n cña I - läc æn ®Þnh cña mét R - module, l c¬ së cho viÖc nghiªn cøu vÒ ®a thøc Hilbert - Samuel. MÖnh ®Ò 1.3.8. Cho M l mét module h÷u h¹n sinh trªn v nh Noether R, I l mét ideal cña R, W = {M n }n≥0 l mét I - läc cña M . Khi ®ã hai mÖnh ®Ò sau l t−¬ng ®−¬ng: (i) {M n }n≥0 l mét I - läc æn ®Þnh. (ii) R(W ) l mét R( I ) - module ph©n bËc Noether. Chøng minh. Bëi MÖnh ®Ò 1.3.4 th× R( I ) l mét v nh Noether. Do ®ã, R(W ) l mét R( I ) - module ph©n bËc Noether khi v chØ khi R(W ) l R( I ) - module ph©n bËc h÷u h¹n sinh. MÆt kh¸c, R(W ) = ⊕M nt n l mét R( I ) - module ph©n bËc h÷u n ≥0 h¹n sinh khi v chØ khi tån t¹i n ∈ ℤ*+ ®Ó : n n R(W ) = R( I )[⊕ M i ] = [⊕ M i ] ⊕ [ IM n ⊕ I 2 M n ⊕ ...] . i =0 i =0 §iÒu n y chØ x¶y ra nÕu v chØ nÕu M n+ k = I k M n víi ∀k ≥ 1, hay {M n }n≥0 l mét I - läc æn ®Þnh cña M . 15
Tõ mÖnh ®Ò trªn ta cã ngay c¸c kÕt qu¶: HÖ qu¶ 1.3.9. Cho M l mét module h÷u h¹n sinh trªn v nh Noether R, I l mét ideal cña R, W = {M n }n≥0 l mét läc I - æn ®Þnh cña M . Khi ®ã, nÕu N l mét module con cña M th× V = {N n = N ∩ M n }n≥0 l mét I - läc æn ®Þnh cña N . Bæ ®Ò 1.3.10 (Bæ ®Ò Artin - Rees). Cho M l mét module h÷u h¹n sinh trªn v nh Noether R v I l mét ideal cña R, N l module con cña M . Khi ®ã, víi mäi sè nguyªn m ®ñ lín ta cã: I k ( ( I m M ) ∩ N ) = ( I m+k M ) ∩ N , víi mäi k ≥ 0. Chó ý 1.3.11. Bæ ®Ò Artin - Rees vÉn ®óng trong tr−êng hîp läc F = {I n }n≥0 v R( F ) l v nh Noether. NghÜa l : Cho M l mét module h÷u h¹n sinh trªn v nh Noether R v F = {I n }n≥0 l mét läc c¸c ideal cña R tho¶ m n R( F ) l v nh Noether, N l mét module con cña M . Khi ®ã, víi mäi sè nguyªn m ®ñ lín ta cã: I k ( ( I m M ) ∩ N ) = ( I m+k M ) ∩ N , víi mäi k ≥ 0 . 16
Ch−¬ng 2. ®é dµi module Néi dung cña ch−¬ng n y bao gåm: Kh¸i niÖm vÒ ®é d i module v nh÷ng ®Æc tr−ng c¬ b¶n cña module cã ®é d i h÷u h¹n, trong ®ã ®Æc biÖt chó ý tíi hai líp module quan träng l module Noether v module Artin. 2.1. Kh¸i niÖm ®é d i module Tr−íc hÕt ta t×m hiÓu vÒ module ®¬n, mét trong nh÷ng c¨n cø quan träng ®Ó nghiªn cøu vÒ ®é d i cña module. §Þnh nghÜa 2.1.1. Mét R - module M kh¸c module kh«ng ®−îc gäi l mét module ®¬n nÕu nã chØ cã hai module con l kh«ng v chÝnh nã. VÝ dô. (i ) Cho K l mét tr−êng. Khi ®ã, mäi K - kh«ng gian vect¬ cã sè chiÒu l 1 ®Òu l K - module ®¬n. (ii ) V nh ℤ l ℤ - module kh«ng ®¬n v× ℤ cã c¸c module con 2 ℤ , 3 ℤ , ... NhËn xÐt 2.1.2. Gi¶ sö M l mét R - module ®¬n, khi ®ã tån t¹i x ®Ó M = Rx ≅ R Annx . Do ®ã, mét R - module M l module ®¬n khi v chØ khi nã ®¬n sinh v AnnM l mét ideal cùc ®¹i. §Þnh nghÜa 2.1.3. Cho R - module M . Mét d y gi¶m gåm mét sè h÷u h¹n c¸c module con: M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M n = {0} tho¶ m n M i M i +1 , (0 ≤ i ≤ n −1) l c¸c module ®¬n, ®−îc gäi l mét d y hîp th nh cña M . Khi ®ã, n ®−îc gäi l ®é d i cña d y hîp th nh. Module M cã d y hîp th nh ®−îc gäi l module cã d y hîp th nh. VÝ dô. (i ) Cho K - kh«ng gian vect¬ V cã dimV = n , {e1 , e2 ,..., en } l mét c¬ së cña V . Khi ®ã: V = V0 ⊃ V1 ⊃ ... ⊃ Vn = {0}, 17
víi Vi l kh«ng gian vect¬ con cña V sinh bëi {ei +1 , ei+2 ,..., en } , (i = 0,1,..., n − 1), Vn = {0} l mét d y hîp th nh cña V víi ®é d i n. (ii ) V nh sè nguyªn ℤ l mét ℤ - module kh«ng cã d y hîp th nh. Gi¶ sö R - module M cã d y hîp th nh, kÝ hiÖu L( M ) l ®é d i cña mét d y hîp th nh cña M cã ®é d i nhá nhÊt. Khi ®ã ta cã bæ ®Ò sau: Bæ ®Ò 2.1.4. Gi¶ sö R - module M cã d y hîp th nh v N l mét module con cña M . Khi ®ã ta cã c¸c kh¼ng ®Þnh sau: (i) N còng cã d y hîp th nh víi L( N ) ≤ L( M ) , dÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi v chØ khi N = M . (ii) Module th−¬ng M N còng cã d y hîp th nh víi L( M N ) ≤ L( M ). Chøng minh. Gi¶ sö L( M ) = n , khi ®ã, M cã d y hîp th nh: M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M n = {0}. Víi N l mét module con cña M ta cã d y: N = ( N ∩ M 0 ) ⊃ ( N ∩ M 1 ) ⊃ ... ⊃ ( N ∩ M n ) = {0} (1) Víi mçi i, (1 ≤ i ≤ n) xÐt ¸nh x¹ f i : N ∩ M i −1 N ∩ M i → M i −1 M i cho bëi: fi ( x) = x + M i víi x = x + N ∩ M i , x ∈ N ∩ M i −1 . Ta cã: f i ( x) = 0 khi v chØ khi f i ( x + N ∩ M i ) = 0 hay x + M i = 0. Tõ ®ã cã x ∈ M i . Suy ra x ∈ N ∩ M i hay x = 0 . VËy fi l ®¬n cÊu. MÆt kh¸c do M i −1 M i l module ®¬n nªn N ∩ M i −1 N ∩ M i l module kh«ng (khi N ∩ M i −1 = N ∩ M i ) hoÆc N ∩ M i −1 N ∩ M i ≅ M i −1 M i l module ®¬n. Nh− vËy, b»ng c¸ch l−îc bá c¸c th nh phÇn b»ng nhau trong d y (1) ta ®−îc mét d y hîp th nh cña N víi ®é d i kh«ng v−ît qu¸ n, tøc l L( N ) ≤ L( M ) . §Ó dÊu b»ng x¶y ra th× (1) ph¶i l mét d y hîp th nh cña N , ®iÒu n y t−¬ng ®−¬ng víi N ∩ M i −1 N ∩ M i ≅ M i −1 M i , (1 ≤ i ≤ n) . KÕt hîp víi M n = {0} ta suy ra N ∩ M n −1 = M n −1 . Tõ ®ã: M n −2 M n −1 ≅ N ∩ M n −2 N ∩ M n −1 = N ∩ M n −2 M n −1 hay M n−2 = N ∩ M n−2 . B»ng qui n¹p ta nhËn ®−îc M i = N ∩ M i , víi mäi i, (1 ≤ i ≤ n) . §Æc biÖt ta cã: M 0 = N ∩ M 0 , suy ra N = M . TiÕp theo ta chøng minh (ii ). Tõ d y hîp th nh cña M ta nhËn ®−îc d y: 18
M N = N + M 0 N ⊃ N + M 1 N ⊃ ... ⊃ N + M n N (2) MÆt kh¸c, theo ®Þnh lÝ ®¼ng cÊu Noether thø nhÊt v thø hai ta cã: ( N + M i −1 N ) ( N + M i N ) ≅ N + M i −1 N + M i ≅ M i −1 M i + N ∩ M i −1 . M M i −1 M i + N ∩ M i −1 l module th−¬ng cña module ®¬n M i −1 M i nªn nã hoÆc l module kh«ng, hoÆc l module ®¬n. Do ®ã, ( N + M i −1 N ) ( N + M i N ) hoÆc l module kh«ng hoÆc l module ®¬n. Cuèi cïng, b»ng c¸ch l−îc bá c¸c th nh phÇn b»ng nhau cña (2) ta thu ®−îc mét d y hîp th nh cña M N cã ®é d i kh«ng v−ît qu¸ n, hay L( M N ) ≤ L( M ) . §Þnh lÝ sau cña Jordan - Holder cho ta biÕt c¸c d y hîp th nh cña cïng mét module M cã quan hÖ víi nhau nh− thÕ n o. §Þnh lÝ 2.1.5 (§Þnh lÝ Jordan - Holder). NÕu R - module M cã mét d y hîp th nh víi ®é d i n, th× tÊt c¶ c¸c d y hîp th nh cña M còng cã ®é d i n. H¬n thÕ n÷a, mçi d y t¨ng hoÆc gi¶m thùc sù c¸c module con cña M ®Òu cã ®é d i kh«ng v−ît qu¸ ®é d i cña c¸c d y hîp th nh, v ®Òu cã thÓ më réng th nh mét d y hîp th nh. Chøng minh. Gi¶ sö M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M n = {0} l mét d y hîp th nh cña M cã ®é d i n. Bëi Bæ ®Ò 2.1.4 ta cã L( M ) > L( M 1 ) > ... > L( M n ) = 0. Suy ra L( M ) ≥ n . MÆt kh¸c, theo ®Þnh nghÜa cña L( M ) th× L( M ) ≤ n . Tõ ®ã suy ra L( M ) = n . TiÕp theo ta gi¶ sö trong M cã mét d y t¨ng hoÆc gi¶m thùc sù c¸c module con, theo chøng minh ë phÇn ®Çu ®Þnh lÝ ta suy ra ngay d y ph¶i cã ®é d i h÷u h¹n v kh«ng v−ît qu¸ ®é d i cña c¸c d y hîp th nh. B»ng viÖc bæ sung M v {0} v o d y ® cho (nÕu chóng ch−a cã trong d y), ta lu«n cã thÓ coi d y cã d¹ng: M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M d = {0}, (3) Theo Bæ ®Ò 2.1.4 th× v× M cã d y hîp th nh nªn víi mçi i, (0 ≤ i ≤ d ) M i −1 M i còng cã d y hîp th nh, ch¼ng h¹n l : M i −1 M i = F0 M i ⊃ F1 M i ⊃ ... ⊃ Ft M i = {0} , 19
víi Fk −1 Fk ≅ ( Fk −1 M i ) ( Fk M i ) l module ®¬n. TiÕp theo ta thay mçi d y ng¾n M i −1 ⊃ M i bëi d y cã d¹ng: M i −1 = F0 ⊃ F1 ⊃ ... ⊃ Ft = M i m cã F k −1 Fk l module ®¬n víi mäi k , (1 ≤ k ≤ t ) ta nhËn ®−îc d y hîp th nh cña M ®−îc më réng tõ (3). §Þnh lÝ trªn l c¬ së ®Ó dÉn tíi ®Þnh nghÜa vÒ ®é d i module. §Þnh nghÜa 2.1.6. NÕu R - module M cã mét d y hîp th nh, th× tÊt c¶ c¸c d y hîp th nh cña M cã cïng mét ®é d i. Khi ®ã, ®é d i cña c¸c d y hîp th nh cña M ®−îc gäi l ®é d i cña module M , kÝ hiÖu lR ( M ) . NÕu M kh«ng cã d y hîp th nh th× ta quy −íc lR ( M ) = ∞ v gäi M l module cã ®é d i v« h¹n. VÝ dô. (i ) Cho V l K - kh«ng gian vect¬. Khi ®ã, lK (V ) = dim K (V ) . (ii ) Cho p, q l hai sè nguyªn tè ph©n biÖt. Khi ®ã, ℤ pq cã d y hîp th nh: ℤ pq ⊃ pℤ pq ⊃ {0} , víi pℤ pq = { pa / a ∈ ℤ pq } . Do ®ã, lℤ (ℤ pq ) = 2 . (iii ) ℤ - module ℤ cã ®é d i v« h¹n. 2.2. Mét v i ®Æc tr−ng cña module cã ®é d i h÷u h¹n Tr−íc hÕt, ta nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa module Artin: Mét R - module M ®−îc gäi l mét R - module Artin nÕu nã tho¶ m n mét trong hai ®iÒu kiÖn sau ®©y: (i ) Mçi tËp kh¸c rçng c¸c module con cña M ®Òu cã phÇn tö cùc tiÓu. (ii ) Mçi d y gi¶m c¸c module con cña M : M 1 ⊃ M 2 ⊃ ... ⊃ M n ⊃ ... ®Òu dõng, nghÜa l M k = M k +1 víi mäi k ®ñ lín. V nh R ®−îc gäi l v nh Artin nÕu nã l R - module Artin. Tõ ®Þnh nghÜa cña module Noether v module Artin ta dÔ d ng chøng minh ®−îc ®Þnh lÝ sau: 20
§Þnh lÝ 2.2.1. Mét R - module M cã ®é d i h÷u h¹n khi v chØ khi M võa l Noether, võa l Artin. §Þnh lÝ sau cho ta biÕt vÒ mèi liªn hÖ gi÷a c¸c module cã ®é d i h÷u h¹n th«ng qua d y khíp. §Þnh lÝ 2.2.2 (TÝnh céng tÝnh cña ®é d i). Cho mét d y khíp ng¾n c¸c R - module: 0 → N → M → P → 0 . Khi ®ã, M cã ®é d i h÷u h¹n khi v chØ khi N v P cã ®é d i h÷u h¹n. H¬n n÷a ta lu«n cã: lR ( M ) = lR ( N ) + lR ( P ) . Chøng minh. Do M l Artin (Noether) khi v chØ khi N v P l Artin (Noether) nªn tõ §Þnh lÝ 2.2.1 ta cã M cã ®é d i h÷u h¹n khi v chØ khi N v P cã ®é d i h÷u h¹n. Nh− vËy, nÕu M cã ®é d i v« h¹n th× N hoÆc P ph¶i cã ®é d i v« h¹n, trong tr−êng hîp n y ta cã ngay: lR ( M ) = lR ( N ) + lR ( P) . Ta xÐt tr−êng hîp M , N v P ®Òu cã ®é d i h÷u h¹n. Gi¶ sö cã d y khíp ng¾n: 0 → N  M  P → 0 f → g → v N = N 0 ⊃ N1 ⊃ ... ⊃ N n = {0}, P = P0 ⊃ P ⊃ ... ⊃ Pp = {0} lÇn l−ît l c¸c d y 1 hîp th nh cña N v P. Khi ®ã, trong M ta nhËn ®−îc d y c¸c module con: M = g −1 ( P0 ) ⊃ g −1 ( P ) ⊃ ... ⊃ g −1 ( Pp ) = Kerg 1 = Im f = f ( N 0 ) ⊃ f ( N1 ) ⊃ ... ⊃ f ( N n ) = {0}. Do f l ®¬n cÊu nªn f ( N 0 ) ⊃ f ( N1 ) ⊃ ... ⊃ f ( N n ) = {0} l mét d y hîp th nh cña f ( N ) = f ( N 0 ). MÆt kh¸c, ta dÔ d ng kiÓm tra ®−îc g −1 ( Pi ) g −1 ( Pi +1 ) ≅ Pi Pi +1 víi mäi i, 0 ≤ i ≤ p −1 . Do ®ã, g −1 ( Pi ) g −1 ( Pi +1 ) l module ®¬n víi mäi i. VËy, M = g −1 ( P0 ) ⊃ g −1 ( P ) ⊃ ... ⊃ g −1 ( Pp ) ⊃ f ( N1 ) ⊃ ... ⊃ f ( N n ) = {0} 1 l mét d y hîp th nh cña M . Suy ra lR ( M ) = lR ( N ) + lR ( P) . NhËn xÐt 2.2.3. NÕu N l mét R - module con cña R - module M th× theo ®Þnh lÝ trªn ta cã ngay: lR ( M ) = lR ( N ) + lR ( M N ) . HÖ qu¶ 2.2.4. Cho mét d y khíp c¸c R - module cã ®é d i h÷u h¹n: 0 → M 1 → M 2 → ... → M n → 0 21
n Khi ®ã, ∑ (−1) l i =1 i R (M i ) = 0 . Chøng minh. XÐt d y khíp: 0  M 1  M 2  M 3  ...  M n −1 → M n  0 f → f 0 → f → f → 1 f → 2 f f →3 n−2 n−1 n Khi ®ã ta cã c¸c d y khíp ng¾n: 0 → M 1  M 2  Im f 2 → 0 f → 1f → 2 0 → Im f 2 = Kerf 3  M 3  Im f 3 → 0 i → f → 3 0 → Im f 3 = Kerf 4  M 4  Im f 4 → 0 i → f → 4 … Theo tÝnh chÊt céng tÝnh cña ®é d i, ta cã: lR ( M 2 ) = lR (M 1 ) + lR ( Imf 2 ) (1) lR ( M 3 ) = lR ( Imf 2 ) + lR ( Imf 3 ) (2) lR ( M 4 ) = lR ( Imf 3 ) + lR ( Imf 4 ) (3) … Tõ (1), (2) v (3) suy ra: −lR ( M 1 ) + lR ( M 2 ) − lR (M 3 ) + lR (M 4 ) = lR ( Imf 4 ) . n Tõ ®ã, qui n¹p mét c¸ch h×nh thøc ta nhËn ®−îc: ∑ (−1)i lR (M i ) = lR ( Imf n ) = 0 . i =1 Chó ý 2.2.5. (i ) Cho M l mét R - module, S l mét tËp ®ãng nh©n cña R. Trªn tËp M × S ta x¸c ®Þnh quan hÖ ~ nh− sau: ( x, s ) ∼ ( y, t ) nÕu tån t¹i r ∈ S sao cho r ( xt − sy ) = 0. Khi ®ã ~ l mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn tËp M × S . TËp c¸c líp t−¬ng ®−¬ng cña M × S theo quan hÖ n y ®−îc kÝ hiÖu l S −1M , cßn c¸c líp x t−¬ng ®−¬ng cã ®¹i diÖn l ( x, s ) ®−îc kÝ hiÖu l . Trong tr−êng hîp M = R ta s cã v nh S −1 R v nã ®−îc gäi l ®Þa ph−¬ng ho¸ cña R bëi tËp ®ãng nh©n S . NÕu P l mét ideal nguyªn tè cña R th× S = R \ P l mét tËp ®ãng nh©n trong R. Khi ®ã ng−êi ta viÕt S −1 R = RP v S −1M = M P v gäi l ®Þa ph−¬ng ho¸ t¹i ideal nguyªn tè P. TËp { P ∈ SpecP / M P ≠ 0} ®−îc gäi l gi¸ cña module M v kÝ hiÖu l SuppR ( M ). 22