Luận văn: Nghiệm toàn cục của một số lớp phương trình vi phân thức

Chia sẻ: Qsczaxewd Qsczaxewd | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

Thêm vào BST

Báo xấu

98
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Vào năm 1925, Nevanlinna đã phát triển lý thuyết phân phối giá trị với xuất phát điểm là công thức nổi tiếng Jensen. Lý thuyết có nội dung chủ yếu là định lý cơ bản thứ nhất, định lý cơ bản thứ 2...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Nghiệm toàn cục của một số lớp phương trình vi phân thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - năm 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH: HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - Năm 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Më §Çu Lý thuyÕt ph©n phèi gi¸ trÞ cña Nevanlinna ®-îc ®¸nh gi¸ lµ mét trong nh÷ng thµnh tùu s©u s¾c cña to¸n häc trong thÕ kû hai m-¬i. §-îc h×nh thµnh tõ nh÷ng n¨m ®Çu cña thÕ kû, lý thuyÕt Nevanlinna cã nguån gèc tõ nh÷ng c«ng tr×nh cña Hadamard, Borel vµ ngµy cµng cã nhiÒu øng dông trong c¸c lÜnh vùc kh¸c nhau cña to¸n häc. Vµo n¨m 1925, Nevanlinna ®· ph¸t triÓn lý thuyÕt ph©n phèi gi¸ trÞ víi xuÊt ph¸t ®iÓm lµ c«ng thøc næi tiÕng Jensen. Lý thuyÕt cã néi dung chñ yÕu lµ ®Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt, ®Þnh lý c¬ b¶n thø 2 vµ quan hÖ sè khuyÕt. Néi dung luËn v¨n gåm hai ch-¬ng: Ch-¬ng I: Tr×nh bµy c¬ së lý thuyÕt ph©n phèi gi¸ trÞ cña Nevanlinna. Ch-¬ng II: Tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ vÒ nghiÖm toµn côc cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n phøc dùa trªn bµi b¸o nghiÖm toµn côc cña mét sè líp ph-¬ng tr×nh vi ph©n phøc cña t¸c gi¶ Ping Li. KÕt qu¶ cña luËn v¨n: Cho P(f) lµ ®a thøc vi ph©n ®èi víi f vµ nã cã ®¹o hµm ( víi hµm nhá cña f z coi nh- lµ hÖ sè) cã bËc kh«ng lín h¬n n - 1 , p1, p2 lµ 2 hµm nhá cña e vµ 1 ,  2 lµ 2 h»ng sè kh¸c kh«ng. Sö dông lý thuyÕt ph©n phèi gi¸ trÞ cña Nevanlinna ®Ó t×m ra nghiÖm toµn côc siªu viÖt cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n phi tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian phøc: f n  z   P  f   p1e1z  p2e2 z . LuËn v¨n ®-îc hoµn thµnh d-íi sù h-íng dÉn vµ chØ b¶o tËn t×nh cña GS - TSKH Hµ Huy Kho¸i. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c vµ thµnh kÝnh nhÊt ®Õn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1
ThÇy, ThÇy kh«ng chØ h-íng dÉn t«i nghiªn cøu khoa häc mµ ThÇy cßn th«ng c¶m, t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi nhÊt ®Ó t«i hoµn thµnh luËn v¨n. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o khoa To¸n, khoa sau §¹i häc tr-êng §¹i häc S- ph¹m thuéc §¹i häc Th¸i Nguyªn, c¸c thÇy c« ViÖn To¸n häc ViÖt Nam ®· gi¶ng d¹y, t¹o mäi ®iÒu kiÖn gióp ®ì t«i h oµn thµnh khãa häc vµ luËn v¨n. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n ban Gi¸m hiÖu tr-êng cao ®¼ng C«ng NghÖ vµ Kinh TÕ C«ng NghiÖp, ®Æc biÖt lµ c¸c ®ång nghiÖp trong khoa KHCB, gia ®×nh, b¹n bÌ ®· quan t©m, gióp ®ì t«i trong qu¸ tr×nh häc vµ hoµn thµnh luËn v¨n. Th¸i Nguyªn, th¸ng 8 n¨m 2010 Häc viªn L-u ThÞ Minh T©m Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2
Ch-¬ng I C¬ së lý thuyÕt Nevanlinna 1.1. Hµm ph©n h×nh 1.1.1.§Þnh nghÜa: §iÓm a ®-îc gäi lµ ®iÓm bÊt th-êng c« lËp cña hµm f(z) nÕu hµm f(z) chØnh h×nh trong mét l©n cËn nµo ®ã cña a, trõ ra t¹i chÝnh ®iÓm ®ã. 1.1.2. §Þnh nghÜa: §iÓm bÊt th-êng c« lËp z = a cña hµm f(z) ®-îc gäi lµ cùc ®iÓm cña f(z) nÕu lim f  z    . z a  ®-îc 1.1.3. §Þnh nghÜa: Hµm f(z) chØnh h×nh trong toµn mÆt ph¼ng phøc gäi lµ hµm nguyªn. Nh- vËy, hµm nguyªn lµ hµm kh«ng cã c¸c ®iÓm bÊt th-êng h÷u h¹n. 1.1.4. §Þnh nghÜa: Hµm f(z) ®-îc gäi lµ hµm ph©n h×nh trong miÒn D   nÕu nã lµ hµm chØnh h×nh trong D, trõ ra t¹i mét sè ®iÓm bÊt th-êng lµ cùc ®iÓm. NÕu D =   , hay ®¬n gi¶n, f(z) lµ hµm th× ta nãi f(z) ph©n h×nh trªn ph©n h×nh. *NhËn xÐt: NÕu f(z) lµ hµm ph©n h×nh trªn D th× trong l©n cËn cña mçi ®iÓm z  D, f  z  cã thÓ biÓu diÔn ®-îc d-íi d¹ng th-¬ng cña hai hµm chØnh h×nh. 1.1.5. §Þnh nghÜa: §iÓm z0 gäi lµ cùc ®iÓm cÊp m>0 cña hµm f(z) nÕu trong 1 l©n cËn cña z0 , hµm f  z   h  z  , trong ®ã h(z) lµ hµm chØnh h×nh trong  z  z0  m l©n cËn cña z0 vµ h  z0   0 . 1.1.6. TÝnh chÊt: NÕu f(z) lµ hµm ph©n h×nh trªn D th× f’(z) còng lµ hµm ph©n h×nh trªn D. Hµm f(z) vµ f’(z) còng cã c¸c cùc ®iÓm t¹i nh÷ng ®iÓm nh- Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3
nhau. §ång thêi, nÕu z0 lµ cùc ®iÓm cÊp m>0 cña hµm f(z) th× z0 lµ cùc ®iÓm cÊp m+1 cña hµm f’(z). *NhËn xÐt: Hµm f(z) kh«ng cã qu¸ ®Õm ®-îc c¸c cùc ®iÓm trªn D. 1.1.7. TÝnh chÊt: Cho hµm f(z) chØnh h×nh trong  , ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó f(z) kh«ng cã c¸c ®iÓm bÊt th-êng kh¸c ngoµi cùc ®iÓm lµ f(z) lµ hµm h÷u tû. 1.2. §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt 1.2.1. C«ng thøc Poisson-Jensen f  z   0 lµ mét hµm ph©n h×nh trong h×nh trßn §Þnh lý: Gi¶ sö  z  R víi 0  R   . Gi¶ sö a    1, 2,...M  lµ c¸c kh«ng ®iÓm, mçi kh«ng ®iÓm ®-îc kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã, bv(v = 1,2,… lµ c¸c cùc ®iÓm cña f trong N) h×nh trßn ®ã, mçi cùc ®iÓm ®-îc kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã. Khi ®ã nÕu z  r.ei ,  0  r  R  , f  z   0; f  z    th×: 2 R2  r 2  log f  Re  1 log f  z   i d R 2  2 Rrcos      r 2 2 0 R  z  a  R  z  bv  (1.1) M N   log   log . R 2  a z R 2  bv z  1 v 1 Chøng minh  z  R . *Tr-êng hîp 1. Hµm f(z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong Khi ®ã ta cÇn chøng minh: 2 R2  r 2  log f  Re  1 log f  z   i d . R 2  2 Rrcos      r 2 2 (1.1a) 0 + Tr-íc hÕt ta chøng minh c«ng thøc ®óng t¹i z = 0, nghÜa lµ cÇn chøng minh: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4
2  log f  Re  d. 1 log f  0    i 2 0 Do f(z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong h×nh trßn nªn hµm log f(z) chØnh h×nh trong h×nh trßn ®ã. Theo ®Þnh lý Cauchy ta cã: 2  log f  Re  d. 1 dz 1 log f  0   log f  z     i 2 i z 2 z R 0 LÊy phÇn thùc ta thu ®-îc kÕt qu¶ t¹i z = 0. 2  log f  Re  d. 1 log f  0    i 2 0 + Víi z tïy ý, chóng ta xÐt ¸nh x¹ b¶o gi¸c biÕn   R thµnh   1 vµ biÕn   z thµnh   0 . §ã lµ ¸nh x¹: R   z   . R 2  z Nh- vËy   R t-¬ng øng víi   1 . Trªn   R , ta cã: R   z     log R  log  z   log R 2  z . log   log R  z 2 R  d z 2 2 d d zd  2 2 .     z  Nªn (1*)    z R  z R  z z  R , theo ®Þnh lý Cauchy ta cã: Do log f(z) lµ chØnh h×nh trong d 1 log f  z    R log f     z . (2*) 2 i  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5
MÆt kh¸c zd d  1 1 log f   2 log f   2 i   R R  z 2 i   R  . (3*) R2    z R2 R2 Do z  z  R suy ra  R nghÜa lµ ®iÓm n»m ngoµi vßng trßn z z 1   R , nªn hµm log f   R 2 lµ hµm chØnh h×nh. Nh- vËy tÝch ph©n trong  z vÕ ph¶i cña (3*) b»ng 0. KÕt hîp víi (1*) vµ (2*) ta cã: R  d z 2 2 1 log f  z   log f   2 2 i   R .   (1.2)   z  R  z  H¬n n÷a, trªn   R ,   R.e , d  iRe d vµ i i    z   R  R  re     Re R  rei   i    z i 2  Rei R 2  2 Rrcos      r 2 . KÕt hîp víi (1.2) ta thu ®-îc: R  r 2  d 2 2  log f  Re  R 1 log f  z   i .  2 Rrcos      r 2 (1.3) 2 2 0 LÊy phÇn thùc hai vÕ cña ®¼ng thøc (1.3) ta ®-îc: R  r 2  d 2 2  log f  Re  R 1 log f  z   i .  2 Rrcos      r 2 2 2 0 §©y lµ ®iÒu cÇn ph¶i chøng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6
* Tr-êng hîp 2: Hµm f(z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm bªn trong  z  R , vµ cùc ®iÓm cj trªn biªn nh-ng cã h÷u h¹n kh«ng ®iÓm   R . Víi   0 nhá tïy ý, ta ®Æt:   D   z  R  U j   c j   .  Gäi  D lµ chu tuyÕn cña D vµ lµ c¸c cung lâm vµo trªn  D bao gåm nh÷ng phÇn trªn ®-êng trßn   R cïng víi c¸c phÇn lâm vµo cña ®-êng trßn  vµ t©m lµ c¸c kh«ng ®iÓm hoÆc cùc ®iÓm f(z) trªn   R . Gi¶ nhá b¸n kÝnh z  D . Khi ®ã:  i sö z  re trong miÒn z  R , tån t¹i ®ñ nhá sao cho   d R2  z 2 1 log f  z   log f   2 2 i      z  (1.2a) R  z D  Gi¶ sö z0 lµ mét kh«ng ®iÓm hay cùc ®iÓm cña f(z) trªn   R vµ lµ 0 , cung trßn øng víi z0 trªn  D . Khi ®ã trªn f  z   c  z  z0   ... m trong ®ã m > 0 nÕu z0 lµ kh«ng ®iÓm vµ m < 0 nÕu z0 lµ cùc ®iÓm. Suy ra  1 log f  z   O  log  khi   0 .   Nh- vËy:  1 1  2   O  log  .M . ,     trong ®ã M lµ mét ®¹i l-îng bÞ chÆn. Ta thÊy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7
 1 O  log  .M .  0 khi   0 .    0 Cho trong c«ng thøc (1.2a), tÝnh tÝch ph©n thø nhÊt sÏ dÇn ®Õn tÝch ph©n trong vÕ ph¶i cña (1.3), tÝch ph©n thø hai sÏ dÇn ®Õn 0. Nh- vËy ta còng thu ®-îc c«ng thøc (1.3) trong tr-êng hîp nµy vµ tõ ®ã suy ra (1.1). *Tr-êng hîp 3. B©y giê ta xÐt tr-êng hîp tæng qu¸t, tøc lµ f(z) cã c¸c kh«ng ®iÓm vµ c¸c cùc ®iÓm trong z  R ®Æt: R   bv  N 1 .     f   . R    a  R 2  bv (1.4) M  v 1 R 2  a   1 HiÓn nhiªn    kh«ng cã kh«ng ®iÓm hoÆc cùc ®iÓm trong z  R . Nh- vËy chóng ta cã thÓ ¸p dông c«ng thøc (1.1a) cho hµm    . H¬n thÕ n÷a, nÕu   Re th× : i R   a  R   a  R   bv  R   bv    1,   1,     vµ R  a R  bv    a    bv 2 2 f       . nªn VËy R  r 2  d 2 2  log   Re  R 1 log   z   i  2 Rrcos      r 2 2 2 0 R  r 2  d 2 2  log f  Re  R 1 i  .  2 Rrcos      r 2 2 (1.5) 2 0 MÆt kh¸c: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8
R  z  a  R  z  bv  M N log   z   log f  z   log   log  R2  a z R 2  bv z  1 v 1 R  z  a  R  z  bv  M N  log f  z    log   log . R2  a z R 2  bv z  1 v 1 Thay log   z  vµo (1.5) ta thu ®-îc kÕt qu¶. *ý nghÜa: C«ng thøc Poisson-Jensen chØ ra r»ng, nÕu biÕt gi¸ trÞ cña modulus f(z) trªn biªn, c¸c cùc ®iÓm, kh«ng ®iÓm cña hµm f(z) trong z  R , th× ta cã thÓ t×m ®-îc gi¸ trÞ cña modulus f(z) bªn trong ®Üa z  R . Khi z = 0 ta ®-îc hÖ qu¶ quan träng hay ®-îc sö dông vÒ sau: f  z   0,  * HÖ qu¶: Trong nh÷ng gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý, ®ång thêi nÕu th× khi z = 0 trong ®Þnh lý (1.2.1) ta thu ®-îc c«ng thøc Jensen. 2 a  log f  Re  d   log M N bv 1   log log f  0   i . (1.6) 2 R R  1 v 1 0 Khi f  z   0,  c«ng thøc trªn ®©y chØ cÇn thay ®æi chót Ýt. ThËt vËy, nÕu f  z   0,  hµm f(z) cã khai triÓn t¹i l©n cËn z = 0 d¹ng: f  z   c z x  ...,    Z  R f  z    z    0   0,  , ®ång thêi khi XÐt hµm ta thÊy z   Rei ,     f   . Tõ ®ã ta cã: 2 a  log f  Re  d   log M N bv 1   log   log R. i log c  2 R R  1 v 1 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9
NhËn xÐt: Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh trong mét miÒn G nµo ®ã. Ta gäi cÊp cña hµm f(z) t¹i ®iÓm z0  G , ký hiÖu o r d ,f lµ sè nguyªn m sao cho hµm z0 f  z g  z   z  z0  chØnh h×nh vµ kh¸c 0 t¹i z0. Nh- vËy: m ord z0 f  m > 0 nÕu z0 lµ kh«ng ®iÓm cÊp m , b»ng 0 nÕu f(z) chØnh h×nh, kh¸c 0 t¹i z0, b»ng – m nÕu z0 lµ cùc ®iÓm cÊp m. Víi ký hiÖu trªn c«ng thøc Poisson-Jensen cã thÓ viÕt d-íi d¹ng: Rz   2 R2  z 2  log f  Re . d    ord f  .log 1 log f  z   i , 2 R2   z 2 Rei  z 0 trong ®ã tæng lÊy theo mäi  trong h×nh trßn    R . 1.2.2. Hµm ®Æc tr-ng 1.2.2.1. Mét sè kh¸i niÖm PhÇn nµy tr×nh bµy kh¸i niÖm hµm ®Õm, hµm xÊp xØ, hµm ®Æc tr-ng vµ c¸c tÝnh chÊt cña chóng. Tr-íc hÕt ta ®Þnh nghÜa: log+x = max{logx,0}. Râ rµng nÕu x > 0 th× logx = log+x – log+(1/x). Nh- vËy: 2 2 2 log f  Re  d  log f  Re  d  1 1 1 1    log i i d ,   f  Rei  2 2 2 0 0 0 ta ®Æt: 2 f  Rei  d . 1 m  R, f    log  (1.7) 2 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10
Hµm m(R,f) ®-îc gäi lµ hµm xÊp xØ. Gäi r1,r2,… N lµ c¸c m«dun cña c¸c cùc ®iÓm b1,b2,… N cña f(z) trong .,r b z  R. Khi ®ã R N N R R R  b v1 r   log   log dn  t , f  , log (1.8) t v 1 v v 0 trong ®ã n(t,f) lµ sè cùc ®iÓm cña hµm f(z) trong z  t , cùc ®iÓm bËc q ®-îc ®Õm q lÇn. ThËt vËy, tr-íc hÕt b»ng ph-¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn ta cã: R R R R R R R dt  log t dn  t , f   log t .n  t , f  0   n t , f  d log t  n t , f  t , (a) 0 0 0 mÆt kh¸c kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö 0  r1  r2  ...rN  R . Khi ®ã: r r R R dt 1 dt 2 dt dt n  t , f    n  t , f    n  t , f   ...   n  t , f  ,  t0 t r1 t t 0 rN ta thÊy r»ng: 0, t  r1 1, r  t  r 1 2  n  t , f   2, r2  t  r3 ...   N , rN  t  R  nªn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11
r r R R dt 1 dt 2 dt dt  n  t , f  t   n  t , f  t   n  t , f  t  ...  r n t , f  t 0 0 r1 N r1 r R dt 2 dt dt   0.   1.  ...   N . t r1 t t 0 rN  log t r2  2 log t r3  ...  N log t r r r R 1 2 N  log r2  log r1  2  log r3  log r2   ...  N  log R  log rN  (b)  N log R   log r1  log r2  ...  log rN    log R  log r1    log R  log r2   ...   log R  log rN  N R   log ; rv v 1 tõ (a) vµ (b) ta ®-îc (1.8). B©y giê ta ®Þnh nghÜa hµm ®Õm N(R,f). Gi¶ sö n(t,f) lµ sè cùc ®iÓm cña hµm f(z) trong h×nh trßn z  t ; r1,r2, …rN lµ m«dun cña c¸c cùc ®iÓm b1,b2,… N ,b ( mçi cùc ®iÓm ®-îc tÝnh mét sè lÇn b»ng bËc cña nã). Khi ®ã ta cã: R N N R R R  log b   log r   log t dn t, f  . v 1 v 1 v v 0 Hµm ®Õm ®-îc ®Þnh nghÜa bëi c«ng thøc sau: R N R dt N  R, f    log   n t, f  . (1.9) bv 0 t v 1  1 N  1  dt R R N  R,    log   n  t,  . (1.10)  f   1 a 0  f  t Víi c¸ch ®Þnh nghÜa nµy c«ng thøc Jensen (1.6) sÏ ®-îc viÕt l¹i nh- sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12
 1  1 log f  0   m  R, f   m  R,   N  R, f   N  R,  .  f  f  1  1 m  R, f   N  R, f   m  R,   N  R,   log f  0  . HoÆc  f  f B©y giê ta ®Æt: T  R, f   m  R , f   N  R , f  . (1.11) Khi ®ã c«ng thøc Jensen ®-îc viÕt l¹i mét c¸ch rÊt ®¬n gi¶n lµ:  1 T  R, f   T  R,   log f  0  . (1.12)  f Gi¸ trÞ m  R, f  lµ hµm xÊp xØ ®é lín trung b×nh cña log f  z  trªn z  R trong ®ã f lµ lín. Gi¸ trÞ N  R, f  cã quan hÖ víi cùc ®iÓm. Hµm T  R, f  ®-îc gäi lµ hµm ®Æc tr-ng Nevanlinna cña hµm ph©n h×nh f  z  , cã vai trß quan träng chñ yÕu trong lý thuyÕt cña hµm ph©n h×nh. 1.2.2.2. Mét sè tÝnh chÊt cña hµm ®Æc tr-ng Chóng ta tiÕp tôc nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt ®¬n g i¶n cña hµm m  R, f  , N  R, f  , T  R, f  . Chó ý a1, … p lµ c¸c sè phøc th× ,a p p  a   log   log av , v v 1 v 1   p p  av  log p max av   log av  log p. log  vµ v 1,..., p v 1 v 1 ¸p dông c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn cho hµm ph©n h×nh f1  z  ,..., f p  z  vµ sö dông (1.7) chóng ta thu ®-îc c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13
p p 1) m  r ,  f v  z     m  r , f v  z    log p.  v 1  v 1 p p m  r ,  f v  z     m  r , f v  z  . 2)  v 1  v 1 p p N  r ,  f v  z     N  r , f v  z  . 3)  v 1  v 1 p p N  r ,  f v  z     N  r , f v  z  . 4)  v 1  v 1 Sö dông (1.11) ta thu ®-îc p p T  r ,  f v  z     T  r , f v  z    log p. 5)  v 1  v 1 p p T  r ,  f v  z     T  r , f v  z  . 6)  v 1  v 1 Trong tr-êng hîp ®Æc biÖt khi p  2, f1  z   f  z  , f 2  z   a = constant, ta suy ra T  r , f  a   T  r , f   log a  log 2 . Vµ tõ ®ã chóng ta cã thÓ thay  thÕ f + a, f bëi f, f ’a vµ a bëi - a, suy ra: T  r , f   T  r , f  a   log  a  log 2. (1.13) 1.2.3. §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cña Nevanlinna 1.2.3.1 .§Þnh lý Gi¶ sö f lµ hµm ph©n h×nh, a lµ mét sè phøc tïy ý, khi ®ã ta cã:  1  1   T  R, f   log f  0   a    a, R  ,  N  R, m  R,   f a  f a  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14
  a, R   log  a  log 2. trong ®ã: Ta th-êng dïng ®Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt d-íi d¹ng:  1  1   T  R, f   O 1 ,   N  R, m  R, f a f a    trong ®ã O(1) lµ ®¹i l-îng giíi néi khi r   . Chøng minh: Theo (1.11) vµ (1.12) ta cã:  1  1  1   T  R, f  a   log f  0   a .  N  R,  T  R, m  R,    f a  f a  f a  T  R, f  a   T  R , f     a , R  . Tõ (1.13) ta suy ra: Víi   a, R   log a  log 2 . Tõ ®ã ta cã:   1  1   T  R, f   log f  0   a    a, R  .   N  R, m  R, f a f a    Víi   a, R   log a  log 2 . §Þnh lý ®-îc chøng minh xong.  *ý nghÜa: Tõ ®Þnh nghÜa c¸c hµm Nevanlinna, ta thÊy râ ý nghÜa cña ®Þnh lý c¬ b¶n thø  1 nhÊt. Hµm ®Õm N  R,  ®-îc cho bëi c«ng thøc:  f a  1M R   log N  R,  ,  f  a   1 a f  z   a trong h×nh trßn a lµ c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh trong ®ã z  R. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15
2  1 1 1  log d .   m  R, f  Rei  a  Hµm xÊp xØ:  f  a  2 0 Nh- vËy, nÕu f nhËn c¯ng nhiÒu gi¸ trÞ “gÇn a” ( tøc l¯ f  Rei   a nhá, th× hµm m cµng lín. Cã thÓ nãi tæng trong vÕ tr¸i cña ®Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt lµ hµm “ ®o ®é lín cña tËp nghiÖm ph¬ng tr×nh f  z   a ” v¯ ®é lín tËp hîp t¹i ®ã f(z) nhËn gi¸ trÞ gÇn b»ng a. Trong khi ®ã, vÕ ph¶i cña ®¼ng thøc trong ®Þnh lý c¬ b¶n cã thÓ xem lµ kh«ng phô thuéc a ( sai kh¸c mét ®¹i l-îng giíi néi). V× thÕ, ®Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cho thÊy r»ng, hµm ph©n h×nh f(z) “ nhËn mçi gi¸ trÞ a ( vµ gi¸ trÞ “gÇn a “) mét sè lÇn nh nhau”. §©y l¯ mét t¬ng tù cña ®Þnh lý c¬ b°n cña ®¹i sè. Hµm ®Æc tr-ng Nevanlinna, vÒ ý nghÜa nµo ®ã, cã thÓ xem nh- ®Æc tr-ng cho “ cÊp t¨ng” cña mét h¯m ph©n h×nh. NhËn xÐt: m  R, a  , N  R, a  , n  R, a  , T  R  lÇn l-ît NÕu hµm f cè ®Þnh, ta cã thÓ viÕt  1  1  1  , T  R, f  nÕu a lµ h÷u h¹n vµ thay cho m  R,  , N  R,  , n  R, f a   f a   f a   m  R,   , N  R,   , n  R,   thay cho m  R, f  , N  R, f  , n  R, f  . NÕu chóng ta cho R biÕn thiªn th× ®Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cã thÓ ®-îc viÕt m  R, a   N  R, a   T  R   O 1 . d-íi d¹ng nh- sau: Víi mçi a lµ h÷u h¹n hay v« h¹n. Sè h¹ng m(R,a) dÇn tíi trung b×nh nhá z  R , sè h¹ng N(R,a) dÇn ®Õn sè nhÊt cã thÓ ®-îc cña f ’ a trªn vßng trßn nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh f  z   a trong z  R . Víi mçi gi¸ trÞ cña a, tæng cña hai sè h¹ng nµy cã thÓ xem lµ kh«ng phô thuéc vµo a. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16
1.2.3.2. Mét sè vÝ dô VÝ dô 1: XÐt hµm h÷u tû z  ...  a p f  z  c p c  0. , trong ®ã z  ...  b q q Gi¶ sö p > q. Khi ®ã f  z    khi z   , nh- vËy khi a h÷u h¹n m(r,a) = 0 víi mäi r > r0 nµo ®ã. Ph-¬ng tr×nh f(z) = a cã p nghiÖm sao cho n(t,a) = p(t>t0), nh- vËy: r dt N  r, a    n t, a   p log r  O 1 khi r, t a Do ®ã, khi r   , T  r , f   p log r  O 1 , N  r , a   p log r  O 1 , m  r, a   O 1 , víi a   . vµ T  r , f   q log r  O 1 , NÕu p < q, N  r , a   q log r  O 1 , m  r , a   O 1 , víi a  0. NÕu p = q, N  r , f   q log r  O 1 , N  r , a   q log r  O 1 , m  r , a   O 1 , ac. víi Nh- vËy, trong mäi tr-êng hîp T  r , f   d log r  O 1 , a  f  , N  r , a   d log r  O 1 , m  r , a   O 1 , víi d = max(p, q). trong ®ã Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17
Trong tr-êng hîp nµy, m(r, a) lµ bÞ chÆn khi r   ngo¹i trõ mét gi¸ trÞ f    . NÕu ph-¬ng tr×nh f(z) = a cã nghiÖm béi  t¹i  víi cña a lµ 0    d , th× m  r , a    log r  O 1 , N  r , a    d  a  log r  O 1 . r  cos  i sin   VÝ dô 2: XÐt hµm f  z   e  e i , víi z  re . Khi ®ã z    log log f  z   log f re i r cos  ir sin  r cos      log e e , log er cos , cos   0   , 0, cos   0     r cos ,   log e   2 2  0,     3 , 2  2    r cos  ,       2 2  0,     3 = . 2  2  2  2 1 1 r m f , a  i   log  r cos  d   . d  f re Tõ ®ã: 2 2 0  2 Do hµm e kh«ng cã kh«ng ®iÓm trong z  r nªn N(r, f) = 0, z r T  r, f   r nh- vËy, T  r , f   m  r ,    N  r ,    . Do ®ã .   P z  VÝ dô 3: XÐt P  z   az  ...  ap , lµ mét ®a thøc vµ f  z   e p . Khi ®ã Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18