ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI
———————————–
NGUYỄN THẾ LÂM
ĐỘ ĐO XÁC SUẤT TRÊN KHÔNG GIAN HÀM
VÀ KHÔNG GIAN HILBERT
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng
Hà Nội - 2013
i
Mục lục
Mục lục ii
1 Độ đo xác suất trên không gian Metric 1
1.1 Tínhchínhquy ............................. 1
1.2 Giácủamộtđộđo ........................... 2
1.3 TínhchấtRadon ............................ 3
1.4 Độđohoànhảo............................. 4
1.5 Liên hệ giữa phiếm hàm tuyến tính và độ đo . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Tôpô yếu trong không gian các độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Sự hội tụ của phân phối mẫu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Độ đo xác suất trên không gian Hilbert 21
2.1 Giớithiệu ................................ 21
2.2 Hàm đặc trưng và tiêu chuẩn compact . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Một ước lượng của phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Phân phối chia vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Tiêuchuẩncompact .......................... 40
2.6 Luậtkếthợp .............................. 46
3 Độ đo xác suất trên C[0,1] 51
3.1 Giớithiệu ................................ 51
3.2 Các độ đo xác suất trên C[0,1] .................... 52
3.3 Một điều kiện cho sự tồn tại một quá trình ngẫu nhiên với quỹ đạo
trong C[0,1] ............................... 55
3.4 Sự hội tụ tới chuyển động Brownian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Phân bố của biến ngẫu nhiên liên hệ với chuyển động Brownian . . 60
Tài liệu tham khảo ............................. 65
ii
Lời mở đầu
Độ đo xác suất trên không gian metric là một lĩnh vực quan trọng của xác suất
thống kê. Để giúp độc giả hiểu rõ hơn về độ đo, các tính chất của độ đo, vai trò
của độ đo cũng như mối liên hệ của độ đo với các lĩnh vực toán học khác, tôi đã
hoàn thành luận văn này.
Luận văn được chia thành 3 chương cùng với phần mở đầu, kết luận, danh mục tài
liệu tham khảo và phụ lục.
Chương 1: Trình bày về độ đo xác suất trên không gian metric.
Chương 2: Trình bày về độ đo xác suất trên không gian Hilbert.
Chương 3: Trình bày về độ đo xác suất trên C[0,1].
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH.Đặng
Hùng Thắng thuộc khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên -
ĐHQGHN. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy về sự giúp đỡ khoa
học mà thầy đã dành cho tôi và đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn
thành luận văn.
Nhân dịp này, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy phản biện,
những người đã đọc và đóng góp ý kiến cho tôi để luận văn được hoàn thiện hơn.
Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trường Đại học Khoa học Tự
nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội đã tận tình giảng dạy, cung cấp kiến thức để tôi
ngày một hoàn thiện hơn về chuyên môn. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia
đình và người thân đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian làm luận văn.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót.
Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để luận văn của em được
hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 9 năm 2013
iii
Danh mục các ký hiệu
1. C(X): Không gian các hàm liên tục và bị chặn trên X;
2. C[0,1]: Không gian các hàm liên tục trên [0,1];
3. Cµ: Giá của µ;
4. d(x, A) = inf
y∈Ad(x, y);
5. ¯µlà độ đo xác định bởi : ¯µ(A) = µ(−A);
6. µ(A): Độ đo của tập A;
7. |µ|2:= µ∗¯µ;
8. ˆµ(y): Hàm đặc trưng của µ;
9. µα⇒µ:µαhội tụ yếu tới µ;
10. µ∗ν: Tích chập của µvà ν;
11. M(X): Không gian các độ đo xác suất trên X;
12. f|A: f hạn chế trên A;
13. W: Độ đo wiener.
iv
Chương 1
Độ đo xác suất trên không gian
Metric
1.1 Tính chính quy
Chúng ta hiểu một độ đo µtrên một không gian Metric là một hàm tập không âm,
cộng tính đếm được µtrên lớp các tập Borel BXthỏa mãn µ(X) = 1.
Định nghĩa 1.1. Cho µlà một độ đo trên không gian Metric X. Một tập Borel
A⊆Xđược gọi là µ−chính quy nếu
µ(A) = sup µ(C) : C⊆A, C đóng
= inf µ(U) : A⊆U, U mở.
Nếu mọi tập Borel là µ−chính quy ta nói rằng µlà chính quy.
Định lý 1.1. Cho X là một không gian Metric và µlà một độ đo trong X. Khi đó
một tập A∈BXlà µ−chính quy khi và chỉ khi với mọi ε > 0tồn tại tập mở Uεvà
tập đóng Cεsao cho:
(i) Cε⊆A⊆Uε;
(ii) µ(Uε−Cε)< ε.
Định lý 1.2. Cho X là một không gian Metric và µlà độ đo bất kì trên X. Khi đó
µlà chính quy.
Chứng minh. Kí hiệu B={A⊂X : A−µchính quy}
⇒B⊂BX.
1
