Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Gần đúng eikonal trong lý thuyết trường lượng tử

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn nghiên cứu tính đúng đắn của phép gần đúng eikonal bằng phương pháp tích phân phiếm hàm qua việc xét quá trình tán xạ hai hạt trong mô hình tương tác Lm (x) = gu2 (x) ơ(x).Phương pháp tích phân phiếm hàm trong toán học còn được gọi phương pháp tích phân liên tục, trong vật lý nó được gọi là phương pháp tích phân quỹ đạo hay tích phân đường.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Gần đúng eikonal trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- PHẠM NGỌC MINH CHÂU GẦN ĐÚNG EIKONAL TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2016
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- PHẠM NGỌC MINH CHÂU GẦN ĐÚNG EIKONAL TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán Mã số: 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VI BA Hà Nội – 2016
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS.Cao Thị Vi Ba, là người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho tôi để tôi có thể hoàn thành khóa luận này, cũng như đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Khoa Vật lý, Bộ môn Vật Lý Lí Thuyết. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy, cô và toàn thể cán bộ bộ môn Vật lý Lý thuyết nói riêng cũng như khoa Vật lý nói chung, những người đã luôn tận tình dạy bảo, giúp đỡ và động viên cho tôi. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các bạn trong bộ môn đã đóng góp, thảo luận và trao đổi ý kiến khoa học quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót,tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và các bạn. Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 9 năm 2016 Học viên Phạm Ngọc Minh Châu
MỤC LỤC MỞ ĐẦU……………………………………...................................................1 CHƢƠNG 1. BIỂU DIỄN HÀM GREEN HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM………………………………………………..............4 1.1.Hàm Green hai hạt…………………………………………………...........4 1.2.Chuỗi nhiễu loạn thông thường ứng với giản đồ Feynman………….........9 CHƢƠNG 2. BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM………………………………………………………….........12 2.1.Biên độ tán xạ hai hạt………………………………………………........12 2.2.Tính các tích phân phiếm hàm………………………………………......20 CHƢƠNG 3. BIỂU DIỄN GLAUBER CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT Ở VÙNG NĂNG LƢỢNG CAO.........................................................23 3.1.Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hai hạt……………………….......23 3.2.Bổ chính cho quá trình tán xạ hai hạt……………………………….......28 KẾT LUẬN…………………………………………………………............30 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………....31 PHỤ LỤC……………………………………………………………..........34
MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài: Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ tìm được đầu tiên vào năm 1959 trong cơ học lượng tử phi tương đối tính [12] và đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các số liệu thực nghiệm cho tán xạ các hạt với năng lượng lớn. Phép gần đúng eikonal thực tế tương ứng với việc tuyến tính hóa hàm truyền của các hạt tán xạ, theo xung lượng của các hạt trao đổi là nhỏ. Phép gần đúng này được sử dụng để nghiên cứu các quá trình tán xạ hạt năng lượng cao và được gọi là phép gần đúng quỹ đạo thẳng .Vậy biểu diễn eikonal liệu có thể ứng dụng trong lý thuyết trường lượng tử hay không? Vấn đề này cũng được các nhà vật lý nghiên cứu trong lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến [5] và phương trình chuẩn thế [13]. Mục đích của Luận văn: Nghiên cứu tính đúng đắn của phép gần đúng eikonal bằng phương pháp tích phân phiếm hàm qua việc xét quá trình tán xạ hai hạt trong mô hình tương tác Lint  x   g 2  x    x  [7]. Phương pháp tích phân phiếm hàm trong toán học còn được gọi phương pháp tích phân liên tục, trong vật lý nó được gọi là phương pháp tích phân quỹ đạo hay tích phân đường. Phƣơng pháp nghiên cứu: Dựa vào biểu thức của hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm, chúng tôi tìm hàm Green hai hạt [7-19]. Tách bốn cực liên quan đến hàm Green hai hạt, thu được biên độ tán xạ của hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm. Vấn đề đặt ra là việc tính toán tích phân phiếm hàm bằng cách sử dụng gần đúng quỹ đạo -1-
thẳng ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ liệu trong lý thuyết trường lượng tử có thu được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ giữa hai hạt? Nội dung nghiên cứu chính được trình bày trong ba chương, kèm theo tài liệu tham khảo và năm phụ lục. Chương 1. Biểu diễn hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm. Trong mục §1.1, bằng cách sử dụng biểu thức chính xác cho hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm, chúng tôi thu được biểu thức cho hàm Green hai hạt. Việc phân tích ý nghĩa của biểu thức cho hàm Green liên quan đến các thừa số được bàn luận tại mục §1.2. Chương 2. Tính biên độ tán xạ dưới dạng tích phân phiếm hàm. Bằng cách chuyển tới mặt khối lượng các hàm Green nêu trên, chúng tôi thu được biên độ tán xạ hai hạt với nhau dưới dạng tích phân phiếm hàm tương ứng. Mục §2.1 dành cho việc tìm biên độ tán xạ cho hai hạt dưới dạng tích phân phiếm hàm. Việc tính các tích phân phiếm hàm trong gần đúng quỹ đạo thẳng được trình bày tại mục §2.2. Chương 3. Xác định dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ tại vùng năng lượng cao. Việc đánh giá các tích phân phiếm hàm sử dụng gần đúng quỹ đạo thẳng dựa trên ý tưởng các quỹ đạo của hạt ở vùng tiệm cận năng lượng cao và xung aâlượng truyền nhỏ là thẳng. Kết quả chúng tôi tìm được các biểu diễn Glauber cho tán xạ năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ ở mục §3.1. Việc tái chuẩn hóa khối lượng các hạt tán xạ được tiến hành ở mục §3.2. -2-
Kết luận. Chúng tôi tóm tắt lại các kết quả thu được trong Luận văn và thảo luận cách tổng quát hóa phương pháp này cho những trường hợp tương tác các hạt phức tạp hơn. Trong Luận văn chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c  1 và metric Feynman . Các véctơ phản biến: x    x0  t , x1  x, x2  y, x3  z  . Các véctơ hiệp biến: x  g x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z  . Tenxơ metric: 1 0 0 0    0 1 0 0  g  g   .  0 0 1 0     0 0 0 1 Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3. -3-
CHƢƠNG 1 BIỂU DIỄN HÀM GREEN HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM §1.1 Hàm Green hai hạt Muốn tìm biên độ tán xạ chúng ta sử dụng công thức rút gọn mà nó liên hệ yếu tố S-ma trận với trung bình chân không của tích các toán tử trường [11]. Đối với biên độ tán xạ của hai hạt, công thức này có dạng  2   4  p1  p2  q1  q2  T  p1 , p2 ; q1 , q2   4 2      i 4   dxk dyk K xm1 K xm2  0 | T   x1    x2    y1    y2   | 0  K ym1 K ym1 , (1.1) k 1 trong đó p1 , p2 và q1 , q2 là các xung lượng tương ứng của các hạt thuộc   trường trước và sau tán xạ,   K xmi  i 2 2 , xi  m2 , i  1, 2 , và     K ymi  i 2 2 , yi  m2 , i  1, 2 , còn thừa số chứa T-tích ở vế phải của công thức (1.1) chính là hàm Green hai hạt G  x1 , x 2 ; y1 , y2  của trường   x  G  x1, x2 ; y1, y2   0 | T   x1   x2   y1   y2  | 0  . (1.2) Hàm Green cho hai hạt theo công thức [6]  i 2  G  x1 , x2 ; y1 , y2     exp    D 2    2   (1.3)  G  x1 , y1 |   G  x2 , y2 |    G  x1 , y2 |   G  x2 , y1 |    S0  . Lưu ý S0   là giá trị trung bình của S-ma trận trên các thăng giáng chân không của trường “nucleon”   x  dưới ảnh hưởng của trường ngoài meson   x  và đặt bằng S0    1 -4-
i 2G  x1, x2 ; y1, y2 |    G  x1, y1 |   G  x2 , y2 |    G  x1, y2 |   G  x2 , y1 |   (1.4) trong đó (xem Phụ lục A.5):   s  s   G  x, y |    i dse    0  0     d   s   im02 s 4 v  exp ig  x  2   d 0      s     x  y  2 ( )d  . 4 (1.5)  0  Bỏ qua giao hoán hai hạt, tức là loại bỏ thành phần G  x1, y2 |   và G  x2 , y1 |   , ta thu được biểu thức sau: i G  x1 , x2 ; y1 , y2 |    G  x1 , y1 |   G  x2 , y2 |   2 2   sn  sn sn   i 2   ds e n  im02 sn   n  0  0  n  n   dn    v4  exp ig  x  2   d n 1 0   n   (1.6)  sn     xn  yn  2  vn   d  . 4    0  Kết quả ta có hàm Green hai hạt trong biểu diễn tọa độ: i  G  x1 , y1; x2 , y2   C  exp     z1  D 1  z1  z2   z2  dz1dz2   2  2    n  s sn      dsn exp ig    xn  2  n   d d n     n 1 0  0   n     sn     xn  yn  2  vn   d  , 4 (1.7)    0  -5-
ở đây m0 là khối lượng trần của “nucleon”. Để cho thuận tiện, ta viết lại biểu thức sau dưới dạng: 2   n  s sn     exp    n ig   x  2   n   d d n   n 1   0  n    2   n s  sn    exp ig  d n  dz  z    z  xn  2  n   d   4 (1.8)   n 1  0   n    2 2   exp ig  dz  z  jn  z    expigjn  expig  j1  j2  , n 1 n 1 với sn  sn  jn  z    d n  z  xn  2  n   d  . 4   0  n  (1.9) Trong mô hình của hạt vô hướng jn  z  mô tả mật độ không gian của “nucleon” khi nó chuyển động theo quỹ đạo cổ điển. Song trong trường hợp ở đây jn  z  được gọi là mật độ dòng. Sử dụng công thức tích phân Gauss dưới dạng phiếm hàm [12] ta có: D  i  i  C exp   A1    j   exp   jAj  , (1.10) A  2  2  trong đó D   d  x  x  A     dz dz   z  A  z 1 1 2 1 1 1  z2   z2   j    dzj  z   z . Ta nhận được: -6-
i  2  sn  sn   C  exp     z1  D  z1  z2   z2  dz1dz2    exp ig    xn  2  n   d d n . 1 2  n1    0  n   i   C  exp     z1  D 1  z1  z2   z2  dz1dz2  ig   j1  j2   2   i   exp    ig  j1  j2   D ig  j1  j2      2  2  ig 2    exp  jn Djn  expig 2 j1Dj2 . (1.11) n 1  2  Từ (1.8) và (1.11) ta thu được:  2 sn  ig 2  G  x1 , y1; x2 , y2      dsne  im02 sn   vn  exp  4 jn Djn   n 1  0 0  2   sn    xn  yn  2  vn   d   exp ig 2 j1Dj2  , 4    0   (1.12) chú ý rằng: jn Djm   dz1dz2 jn  z1  D  z1  z2  j  z2  m Xét biến đổi Fourier cho hàm Green hai hạt: 2 G  p1 , p2 ; q1 , q2     d 4 xn d 4 yn expi  p n xn  qn yn G  x1 , x2 ; y1, y2 . (1.13) n 1 Thay công thức (1.12) vào (1.13) ta có: G  p1, p2 ; q1, q2   2  4 4 i p n xn qn yn   sn  ig 2      d xn d yne  dsne  im02 sn   vn  exp  4 jn Djn   n 1  0 0  2   sn     xn  yn  2  vn   d   expig 2 j1Dj2  4    0  -7-
2  4  sn  ig 2      d xn  dsne im0 sn   4vn  exp  jn Djn   d 4 yne  n n n n   2  i p x q y n 1  0 0  2  (1.14)  sn     xn  yn  2  vn   d   exp ig 2 j1Dj2 . 4    0   sn  Tính tích phân theo d yn , lưu ý hàm Delta Dirac   xn  yn  2  vn   d  , 4 4    0  ta có:  sn   n d 4 y exp i  p x n n  q y n n   x  n  y n 4  2 0 n v   d         sn    exp i  pn xx  qn  xn  2  vn   d           0     sn    exp i  pn  qn  xn  2iqn  vn   d . (1.15)   0   Ta thu được hàm Green hai hạt trong biểu diễn xung lượng: G  p1 , p2 ; q1 , q2   2   4   sn     d xn  dsn exp  im0 sn  i  pn  qn  xn  2iqn  vn   d    2    n 1  0  0   ig 2  jn Djn  exp ig 2 j1 Dj2  , sn   vn  exp  4 (1.16) 0  2  ở đây chúng tôi sử dụng ký hiệu  j Dj   dz dz j  z  D  z n k 1 2 n 1 1  z2  jk  z2  . (1.17) Biểu thức (1.16) là biểu thức tổng quát cho hàm Green hai hạt dưới dạng tích phân phiếm hàm. Nếu chúng ta khai triển biểu thức (1.16) theo hằng số tương tác g 2 và lấy tích phân phiếm hàm đối với  , nó sẽ đưa đến tích phân -8-
dạng Gauss, chúng ta sẽ nhận được chuỗi nhiễu loạn thông thường cho hàm Green hai hạt G  p1 , p2 ; q1 , q2  . §1.2.Chuỗi nhiễu loạn thông thƣờng cho hàm Green hai hạt tƣơng ứng với giản đồ Feynman Dựa vào hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm, thực hiện phép lấy trung bình theo trường ngoài  , ta thu được biểu thức (1.16) chính xác cho hàm Green hai hạt G  p1 , p2 ;q1 , q2  dưới dạng tích phân phiếm hàm ở mục trên. Viết lại biểu thức (1.16) ở đây G  p1 , p2 ; q1 , q2   2   4   sn     d xn  dsn exp  im0 sn  i  pn  qn  xn  2iqn  vn   d    2 n 1     0  0   ig 2  jn Djn  exp ig 2 j1 Dj2 . sn   vn  exp  4 (1.16) 0  2  Phân tích biểu thức (1.16) cho hàm Green hai hạt thành chuỗi nhiễu loạn thông thường theo hằng số tương tác g 2 và lấy các tích phân phiếm hàm, ta thu được kết quả tương ứng với chuỗi các giản đồ Feynman quen thuộc cho hàm Green hai hạt (1.16) biểu diễn ở hình 1 . Các thừa số trong (1.16) có thể giải thich như sau:  ig 2  i/ Thừa số exp  j1Dj2  trong công thức (1.16) mô tả tương tác hai hạt  2  qua việc trao đổi các meson ảo. -9-
t p1 p1 q1 q1 p2   s     q2 p2 q2 Hình 1. Mô tả tương tác giữa hai hạt bằng việc trao đổi các meson ảo với nhau  ig 2  ii/ Thừa số exp  jn Djn  trong công thức (1.16) tương ứng với các bổ  2  chính cho các hạt tán xạ, và nó là các biểu thức phân kỳ dạng  n m2   A    , n  1, 2 . Để khử phần phân kỳ này ta tiến hành tái chuẩn hóa khối lượng của các hạt tán xạ. Điều này có nghĩa ta phải tách từ thừa số  ig 2  exp  jn Djn  này các số hạng  n m2   A    , n  1.2 và tiến hành tái  2  chuẩn hóa lại khối lượng của hạt tán xạ. Việc này được thực hiện ở chương sau, kết quả khối lượng của hạt tán xạ sẽ được tái chuẩn hóa bằng khối lượng đo trên thực nghiệm mR , cụ thể mn, R  mn, 0   n m2 , trong đó m0 là khối lượng “trần” của hạt tán xạ, tức là khối lượng khi chúng chưa tham gia tương tác và khối lượng cần được tái chuẩn hóa p1 q1 p2      q2 Hình 2. Mô tả các hạt tán xạ tương tác với chân không vật lý của trường boson qua các bổ chính cho các hạt tham gia quá trình tán xạ nhưng không tương tác giữa các hạt với nhau. - 10 -
 ig 2  iii/ Các thành phần exp  ji Dji  trong công thức (1.16) tương ứng với  2  các bổ chính vòng cho quá trình tán xạ hai hạt, còn biểu thức liên quan tới trao đổi một meson ảo giữa hai hạt tán xạ là expig 2 j1Dj2  có kể thêm các bổ chính cho các hạt tham gia quá trình tán xạ. Các giản đồ Feynman mô tả quá trình tán xạ tương ứng được mô tả bằng hình 3. p1 q1 p2        q2        Hình 3. Tán xạ hai hạt và các giản đồ Feynman theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến - 11 -
CHƢƠNG 2 BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM Trong chương này chúng tôi nghiên cứu việc tách các điểm cực từ hàm Green hai hạt để thu được biên độ tán xạ hai hạt tương ứng dưới dạng tích phân phiếm hàm trong mục §2.1 và thảo luận các cách tính gần đúng – gần đúng quỹ đạo thẳng hay còn gọi là gần đúng eikonal ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ ở mục §2.2. §2.1. Biên độ tán xạ hai hạt Từ công thức (1.1) ở chương 1, ta có công thức tính biên độ tán xạ cho hai hạt trong biểu diễn xung lượng như sau:  2   4  p1  p2  q1  q2  iT  p1, p2 ; q1, q2   4  2 lim 2 pn ,qn m 2  p n 1,2 2 n  m2  qn2  m2  G  p1, p2 | q1, q2  2  2   sn      pn  m  qn  m   dxn  dsn exp  im0 sn  2iqn  vn   d  i  pn  qn  xn . 2 2 2 2    n 1  0  0  - 12 -
 ig 2  jn Djn   exp ig 2 j1Dj2 . sn .  4vn  exp    2 0  (2.1) Để lấy giới hạn p12 , p22 , q12 , q22  m2 , ta tách các cực từ hàm Green hai hạt bằng hàng loạt những phép biến đổi để rút ra từ hàm Green hai hạt các thừa số có dạng ( pn  m ) ,(qn  m ) , n  1,2 . Trong lý thuyết nhiễu loạn sự triệt 2 2 1 2 2 1 tiêu các cực điểm này là rõ, vì biên độ được xây dựng bằng các biểu thức của hàm truyền tự do, song việc sử dụng hàm Green bằng các phương pháp khác với lý thuyết nhiễu loạn thì việc tách cực khỏi hàm Green chứa một số khó khăn nhất định. Ở đây chúng ta quan tâm tới cấu trúc của biên độ tán xạ một cách tổng thể, khi đó việc tiến hành cách tiếp cận đúng trên mặt khối lượng có một vai trò quan trọng. Nhiều phương pháp gần đúng khi chuyển sang mặt khối lượng trước đây, chúng có thể là hợp lý nếu xuất phát từ góc độ vật lý, song làm dịch chuyển các vị trí của các cực của hàm Green và như vậy cách tìm biên độ tán xạ về mặt toán học là không chuẩn, không đúng. Trong luận này chúng ta sẽ sử dụng việc tách các cực của hàm Green bằng việc tổng quát hóa phương pháp được đề xuất trong [7,8] để tìm biên độ tán xạ trong mô hình Lint  g 2  x   x  , trong đó đóng góp của các vòng kín của trường “nucleon”   x  được bỏ qua. Ta loại bỏ trong biểu thức (2.1) đóng góp của giản đồ Feynman mô tả sự lan truyền của các hạt không tương tác giữa các “nucleon”, vì chúng không cho đóng góp vào biên độ tán xạ. Để làm được việc này trong công thức (2.1) ta thay thừa số expig 2 j1Dj2  bằng hiệu 1  exp ig 2  j Dj   1  ig 1 2 2 j1Dj2  d  exp  i g 2 j1Dj2 . 0 (2.2) - 13 -
Ta có:  2   4  p1  p2  q1  q2  iT  p1 , p2 ; q1 , q2   4  lim  pn2  m02  qn2  m02  G '  p1, p2 ; q1 , q2  , 2 2 2 (2.3) p , q m n n với: sn 2   im02 sn  2iqn  vn  d i  pn qn xn G '  p1, p2 ; q1, q2     d x  ds e n 1 4 n n 0  0  ig 2  1   sn   vn  exp  4 jn Djn  j1Dj2  d  exp ig 2  j1Dj2 .  2 0  0 (2.4) Tiếp tục tính công thức (2.2) 1  exp ig 2  j Dj   1  ig 1 2 2 j1Dj2  d  exp  i g 2 j1Dj2  0  s1 s2  s1   s2    ig 2   d1  d 2  dz1dz2 4  z1  x1  2  v1   d  D  z1  z2  4  z2  x2  2  v2   d         0 0  1   2   1  d  exp  i g 2 j1Dj2  0  1 s s2  s1 s2  1  ig   d1  d 2 D  x1  2  v1   d x2  2  v2   d    d  exp  i g 2 j1Dj2 . 2   0 0  0  1 2  (2.5) Thay biểu thức (2.5) vào (2.4), thu được biểu thức cho hàm Green hai hạt trong biểu diễn xung lượng G '  p1, p2 ;q1,q 2  : G '  p1, p2 ; q1, q2   - 14 -
  n s  sn  im02 sn  2 iqn  vn  d i  pn  qn  xn 2  sn  ig 2   ig   d xn  dsn  d n   vn  e 2 4 4 0 exp   jn Djn    n 1  0  2   0 0    s1 s2 1 D  x1  2  v1   d x2  2  v2   d   d  exp  i g 2 j1Dj2 .  0  1 2  (2.6) Sử dụng đồng nhất thức sau 2  sk 2     ds  d    d  ds , n 1 0 n n n 1 0 n k (2.7) 0  n và thay thế các biến phiếm hàm và các biến số thông thường sau  si  si'  i  si  '  xi  xi  2  vi   d (2.8)  i v     v     q    p  i i i    i   i  x1'   y  x  2  ' , (2.9) x  2   y  x  2 và lưu ý  y d 4 x1' d 4 x2'  d 4 xd 4   . (2.10) 2 Áp dụng (2.8), (2.9), (2.10) ta có các công thức (xem (B.1) và (B.6) ở phụ lục B): - 15 -
 sn           2    n            4 d v n exp i v qn pn d  sn n  0   vn   4 0  sn           2 n             4 d vn exp  i vn qn pn  d   0    ' sn 0 sn'     vn  exp 2ipn  vn   d  2iqn  vn   d  ipn2 sn'  iqn2 n  , 4 (2.12)  n   0  n   và sn i  qn  pn  xn  2iqn  vn   d  0 sn' 0  i  qn  pn  x  2ip s  2iq   2ipn  vn   d  2iqn ' n 2 ' n n 2 n n  v   d , n (2.13) 0  n và: i  qn  pn  xn'  i  q1  p1  x1'  i  q2  p2  x2'  y (2.14)  i  q1  q2  p1  p2   i  q1  p1  x. 2 Thay (2.12), (2.13) và (2.14) vào (2.6) ta được:  y  iy  G '  p1, p2 ; q1, q2   ig 2  d 4 xd 4   exp i  q1  p1  x    p1  p2  q1  q2    2  2     ig 2   2 jn Djn  .exp im02  sn'   n   2ipn2 sn'  sn' D  x     d n  dsn   vn  exp   ' 4 n 1  0 0  n  2  - 16 -