Luận văn Thạc sĩ Khoa học máy tính: Nghiên cứu phương pháp phân tích hồi quy ứng dụng trong phân tích dữ liệu kê khai nộp thuế phục vụ thanh tra

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:97

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày cơ sở toán học trong việc xác định công thức hàm nội suy và hàm hồi quy cùng các thuật toán tương ứng, đây là một lĩnh vực quan trong của toán học đối với lớp các bài toán thực nghiệm nhằm xây dựng các công thức gần đúng miêu tả mối ràng buộc giữa các số liệu xuất hiện trong các thí nghiệm tại các phòng thí nghiệm. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học máy tính: Nghiên cứu phương pháp phân tích hồi quy ứng dụng trong phân tích dữ liệu kê khai nộp thuế phục vụ thanh tra

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG --------------- o0o --------------- VŨ THỊ LAN ANH NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH HỒI QUY ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH DỮ LIỆU KÊ KHAI NỘP THUẾ PHỤC VỤ THANH TRA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH THÁI NGUYÊN - 2016 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG --------------- o0o --------------- VŨ THỊ LAN ANH NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH HỒI QUY ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH DỮ LIỆU KÊ KHAI NỘP THUẾ PHỤC VỤ THANH TRA Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60480101 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Người hướng dẫn khoa học GS.TS.Vũ Đức Thi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
THÁI NGUYÊN - 2016 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
LỜI CẢM ƠN Trong thời gian hai năm của chương trình đào tạo thạc sỹ, trong đó gần một nửa thời gian dành cho các môn học, thời gian còn lại dành cho việc lựa chọn đề tài, giáo viên hướng dẫn, tập trung vào nghiên cứu, viết, chỉnh sửa và hoàn thiện đề tài. Với quỹ thời gian như vậy và với vị trí công việc đang phải đảm nhận, không riêng bản thân em mà hầu hết các sinh viên cao học muốn hoàn thành tốt luận văn của mình trước hết đều phải có sự sắp xếp thời gian hợp lý, có sự tập trung học tập và nghiên cứu với tinh thần nghiêm túc, nỗ lực hết mình; tiếp đến cần có sự ủng hộ về tinh thần, sự giúp đỡ về chuyên môn một trong những điều kiện không thể thiếu quyết định đến việc thành công của đề tài. Để hoàn thành được đề tài này trước tiên em xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo hướng dẫn GS.TS Vũ Đức Thi, thầy đã có những định hướng cho em về nội dung và hướng phát triển, đã có những đóng góp quý báu cho em về những vấn đề chuyên môn của đề tài, giúp em tháo gỡ kịp thời những vướng mắc trong quá trình làm luận văn. Em xin gửi lời cảm ơn tới Tập thể cán bộ nghiên cứu nhóm thực hiện đề tài do TS Nguyễn Long Giang Viện Công nghệ Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam làm chủ nhiệm đã cung cấp đầy đủ các số liệu thu được từ Chi cục thuế Hà Nội hỗ trợ và giúp đỡ Em tiến hành các thử nghiệm thành công. Em cũng xin cám ơn các thầy cô giáo Trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Thái Nguyên, cũng như bạn bè cùng lớp đã có những ý kiến đóng góp bổ sung cho đề tài luận văn của em. Xin cảm ơn gia đình, người thân cũng như đồng nghiệp luôn quan tâm, ủng hộ hỗ trợ về mặt tinh thần trong suốt thời gian từ khi nhận đề tài đến khi hoàn thiện đề tài này. Trong nội dung của luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Em rất mong các Thầy cô cùng bạn bè đó góp để bản luận văn của Em được hoàn thiện hơn. Em xin trân trọng cảm ơn. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 08 năm 2016 Sinh viên Vũ Thị Lan Anh i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng em. Các số liệu, trong luận văn được sử dụng từ nguồn số liệu được cung cấp bởi chi cục thuế Hà Nội thực hiện năm 2014. Kết quả nghiên cứu này chưa được sử dụng trong bất kể nghiên cứu nào khác. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 8 năm 2016 TÁC GIẢ Vũ Thị Lan Anh ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1 Chương 1. Tổng quan hồi quy, bài toán tính điểm rủi ro thuế ...................................... 3 1.1. Kiến thức cơ bản về phân tích hồi quy ............................................................. 3 1.1.1 Khái niệm cơ bản về hàm nội suy ................................................................. 3 1.1.2 Bài toán hồi quy ............................................................................................ 8 1.2. Phát biểu bài toán phân tích điểm rủi ro ......................................................... 13 1.2.1 Mục tiêu của bài toán .................................................................................. 13 1.2.2 Yêu cầu của bài toán phân tích tính điểm rủi ro ......................................... 13 Chương 2. Mô hình hồi quy tuyến tính........................................................................ 16 2.1. Mô hình hồi quy tuyến tính đơn ..................................................................... 16 2.1.1 Vấn đề mô hình hồi quy ............................................................................... 16 2.1.2 Ước lượng hệ số hồi quy ............................................................................. 18 2.1.3 Tính chất của ước lượng của các hệ số hồi quy .......................................... 19 2.1.4 Kiểm định giả thuyết ................................................................................... 20 2.1.5 Khoảng tin cậy ............................................................................................ 23 2.1.6 Tính phù hợp của mô hình........................................................................... 27 2.1.7 Tuyến tính hóa một số mô hình ................................................................... 31 2.2. Mô hình hồi quy tuyến tính bội ...................................................................... 32 2.2.1 Phương trình hồi quy .................................................................................. 32 2.2.2 Ước lượng hệ số hồi quy và tính chất của ước lượng ................................. 34 2.2.3 Kiểm định giả thuyết ................................................................................... 35 2.2.4 Ước lượng và dự đoán ................................................................................ 37 2.2.5 Phân tích phần dư ....................................................................................... 38 2.2.6 Sử dụng phần mềm ...................................................................................... 38 2.2.7 Lựa chọn biến và xây dựng mô hình ........................................................... 41 2.3. Phân tích hồi quy logistic................................................................................ 49 2.3.1 Mô hình hồi quy logistic ............................................................................. 49 2.3.2 Phân tích hồi quy logistic đa thức ............................................................... 51 Chương 3. Bài toán tính điểm rủi ro của doanh nghiệp phục vụ thanh tra, kiểm tra thuế 53 3.1. Tính cấp thiết xây dựng hệ thống tính điểm rủi ro của doanh nghiệp phục vụ thanh tra, kiểm tra thuế ................................................................................................. 53 3.2. Bài toán tính điểm rủi ro của doanh nghiệp .................................................... 54 3.3. Các bước xây dựng mô hình giải quyết bài toán ............................................ 56 iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
3.3.1 Xây dựng mô hình hồi quy tuyến tính bội ................................................... 57 3.3.2 Mô hình tổng thể bài toán tính điểm rủi ro cho doanh nghiệp ................... 59 3.3.3 Thực thi mô hình để tính điểm rủi ro cho doanh nghiệp ............................. 60 3.3.4 Tiền xử lý dữ liệu......................................................................................... 61 3.4. Thử nghiệm và đánh giá kết quả ..................................................................... 63 3.4.1 Mục tiêu thử nghiệm.................................................................................... 63 3.4.2 Công cụ thử nghiệm và môi trường thử nghiệm ......................................... 63 3.4.3 Quy trình thử nghiệm .................................................................................. 64 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 70 PHỤ LỤC ................................................................................................................... 71 iv Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Danh mục hình vẽ Hình 2.1. Đồ thị rải điểm, đường hồi quy cho số liệu độ sạch của oxy ................17 Hình 2.2. Độ lệch và các đường hồi quy lý thuyết, thực nghiệm .........................18 Hình 2.3. Khoảng tin cậy (2 đường Hyperbol giữa) và khoảng dự đoán (2 đường hyperbol ngoài) cho mức tiêu thụ nhiên liệu ........................................................26 Hình 2.4. Độ lệch và các đường hồi quy lý thuyết, thực nghiệm .........................27 Hình 2.5. Dáng điệu phần dư ................................................................................28 Hình 2.6. Đồ thị phần dư chuẩn hóa cho số liệu độ kéo .......................................31 Hình 2.7. Miền biến thiên của các biến hồi quy ...................................................38 Hình 2.8. Đồ thị xác suất chuẩn và phần dư chuẩn hóa của số liệu lực kéo .........41 Hình 2.9. Phần dư chuẩn hóa theo quan sát của số liệu độ tan ............................. 48 Hình 2.10. Mối liên hệ giữa logit(p) và p, cho 1
Danh mục bảng Bảng 1.1. Độ sạch của oxy ứng với tỷ lệ phần trăm hydrocarbon ........................... 16 Bảng 2.1. Phân tích phương sai để kiểm định tính hiệu quả của hồi quy ................23 Bảng 2.2. Phân tích hệ số và phân tích phương sai cho Ví dụ 2.2........................... 30 Bảng 2.4. Số liệu cho mô hình hồi quy bội.............................................................. 32 Bảng 2.5. Kết quả xử lý với số liệu lực kéo dây dẫn ..............................................39 Bảng 2.6. Tóm tắt, phân tích phương sai và phân tích hệ số cho Ví dụ 2.3 ............40 Bảng 2.7. Số liệu độ tan ........................................................................................... 45 Bảng 2.8. Tóm tắt, phân tích phương sai và phân tích các hệ số cho mô hình đầy đủ của số liệu độ tan ......................................................................................................47 Bảng 2.9. Tóm tắt, phân tích phương sai, phân tích hệ số của mô hình cuối cùng theo phương pháp cân nhắc từng bước của số liệu độ tan .......................................48 vi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
MỞ ĐẦU Dữ liệu thống kê rất đa dạng và phong phú, khai thác được dữ liệu này góp phần đưa ra được những ý kiến tốt cho kết luận đối với hoạt động của các công ty, doanh nghiệp. Dựa trên các phương pháp phân tích dữ liệu hồi quy trên cơ sở đề xuất phương pháp hiệu quả. Vấn đề gian lận trong thuế có ảnh hưởng lớn trong nguồn thu ngân sách của các quốc gia. Dựa trên phân tích dữ liệu hồi quy phân tích rủi ro nhằm phát hiện các gian lận của người nộp thuế và các doanh nghiệp tham gia đóng thuế để đưa ra quyết định thanh tra trường hợp có biểu hiện gian lận thuế. Kết quả phân tích này nhằm phát hiện trường hợp gian lận đem lại lợi ích tăng nguồn thu ngân sách, thúc đẩy sự phát triển kinh tế, xã hội của đất nước. Phân tích rủi ro là một phương pháp quản lý khoa học và hiệu quả để giải quyết bài toán quản lý thuế trong điều kiện số lượng người nộp thuế ngày càng tăng lên nhanh chóng, mức độ quản lý ngày càng phức tạp do trình độ của người nộp thuế ngày càng cao, các hoạt động kinh tế phát sinh ngày càng đa dạng và phong phú dẫn đến khối lượng công việc của công tác quản lý thuế tăng lên vượt quá khả năng tăng nguồn lực bị hạn chế nhất định của các cơ quan thuế. Từ các nội dung được nêu trên tôi lựa chọn đề tài “Nghiên cứu phương pháp phân tích hồi quy ứng dụng trong phân tích dữ liệu kê khai nộp thuế phục vụ thanh tra” làm luận văn tốt nghiệp thạc sỹ của mình. Nội dung chính của luận văn gồm 3 chương bao gồm Chương 1: Luận văn trình bày cơ sở toán học trong việc xác định công thức hàm nội suy và hàm hồi quy cùng các thuật toán tương ứng, đây là một lĩnh vực quan trong của toán học đối với lớp các bài toán thực nghiệm nhằm xây dựng các công thức gần đúng miêu tả mối ràng buộc giữa các số liệu xuất hiện trong các thí nghiệm tại các phòng thí nghiệm. các kiến tức này là rất cần thiết làm cơ sở để nghiên cứu các nội dung trong luận văn. 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Chương 2: Luận văn trình bày các kiến thức cơ bản về Mô hình hồi quy tuyến tính, một trong những mô hình đã và đang được phát triển trong công nghệ thông tin giải quyết các bài toán tối ưu hóa theo tư tưởng quần thể ngẫu nhiên. Mô hình hồi quy bội chính là cơ sở để xây dựng thuật toán giải bài toán thực tế được đưa ra trong chương 3. Chương 3: Nội dung chính của chương 3 trình bày mô hình bài toán tính điểm rủi ro của doanh nghiệp phục vụ thanh tra kiểm tra thuế, một bài toán quan trọng trong ngành thuế. Trên cơ sở mô hình bài toán, luận văn đã xây dựng phương tình tính điểm rủi ro giải quyết bài toán, tiến hành thực nghiệm với số liệu được cung cấp của chi cục thuế Hà Nội. Tiến hành đánh giá và kết luận về mối ràng buộc giữa các số liệu thực nghiệm. 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Chương 1. TỔNG QUAN HỒI QUY, BÀI TOÁN TÍNH ĐIỂM RỦI RO THUẾ 1.1. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHÂN TÍCH HỒI QUY 1.1.1 Khái niệm cơ bản về hàm nội suy Chúng ta xét một dạng bài toán xuất phát từ các số liệu thực nghiệm sau đây Cho trước (n+1) cặp các giá trị thực nghiệm (x i , y i ), i = 0,1,..., n x0 x1 x2 x3 x4 ….. xn y0 y1 y2 y3 y4 ….. yn Các giá trị (x i , y i ), i = 0,1,..., n được gọi là các mốc nội suy. Cần xác định một hàm số 𝑓(𝑥) để sao cho thỏa mãn các điều kiện 𝑓(𝑥𝑖 ) = 𝑦𝑖 𝑖 = 0,1, … , 𝑛 Tức là đồ thị của hàm f (x ) cần đi qua tất cả các mốc nội suy. Nế u hàm f (x ) tồ n ta ̣i thì hàm số đó đươ ̣c go ̣i là hàm hồi quy và bài toán xác đinh ̣ 𝑓(𝑥) đươ ̣c go ̣i là bài toán nô ̣i suy. Bài toán này rấ t có ý nghiã trong thực tế vì nế u xác định đươ ̣c hàm 𝑓(𝑥) thì ta có thể xác đinh ̣ đươ ̣c mo ̣i giá tri cu ̣ ̉ a y ứng với mo ̣i 𝑥 = {𝑥0 , 𝑥𝑛 } - các giá tri đo ̣ ́ đươ ̣c go ̣i là các giá tri ̣nô ̣i suy. Trong toán ho ̣c, người ta thường xác đinh ̣ da ̣ng hàm 𝑓(𝑥) bởi mô ̣t trong các da ̣ng công thức hàm số sau đây: + Đa thức đa ̣i số + Phân thức đa ̣i số + Đa thức lươ ̣ng giác + Hàm ghép trơn (Spline) + Hàm mũ Sau đây chúng ta sẽ xét cơ sở toán học của các phương pháp xác định hàm hồi quy trong từng trường hợp cụ thể 1.1.1.1. Đa thức nội suy Ta sẽ xác đinh ̣ 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
f (x ) = a 0x n + a1x n - 1 + ... + an (1.1) Xuất phát từ điều kiện hàm f (x ) cần phải đi qua tất cả các mốc nội suy, dễ thấy rằng các hệ số ak , k = 0,1,..., n sẽ đươ ̣c xác đinh ̣ thông qua hệ phương trình đa ̣i số tuyế n tiń h sau đây: 𝑎0 𝑥0𝑛 + 𝑎1 𝑥0𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 𝑦0 𝑎0 𝑥1𝑛 + 𝑎1 𝑥1𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 𝑦1 (1.2) ……… 𝑛 𝑛−1 {𝑎0 𝑥𝑛 + 𝑎1 𝑥𝑛 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 𝑦𝑛 Có thể thấy rằ ng định thức của hê ̣ đại số tuyến tính (1.2) thỏa mãn 1 1. … .1 𝑥0 𝑥1 .. . . 𝑥𝑛 | 2 2 2 |=0 𝑥 0 𝑥1 .. . . 𝑥𝑛 (1.3) | | ….. 𝑥0𝑛 𝑥1𝑛 .. . . 𝑥𝑛𝑛 Do đó hê ̣ phương triǹ h đa ̣i số trên có nghiê ̣m duy nhấ t, tức là đa thức nội suy luôn luôn tồ n tại và duy nhấ t. Nhâ ̣n xét: Để xác đinh ̣ đa thức nô ̣i suy theo phương pháp đa ̣i số , ta cầ n phải giải hê ̣ phương trin ̀ h đại số tuyến tiń h với (n+1) ẩ n ak , k = 0,1,..., n . Khi đó về mặt toán học, chúng ta cần phải sử dụng các phương pháp giải các hệ phương trình đại số tuyến tính như phương pháp Krame, phương pháp khử Gauss, … với đô ̣ phức ta ̣p tiń h toán rấ t cao. Điều này sẽ bất lợi trong việc xác định đa thức nội suy với số mốc nôi suy là rất lớn. Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu các phương pháp xác đinh ̣ đa thức nội suy tránh đươ ̣c viê ̣c giải hê ̣ đại số tuyế n tính. 1.1.1.2. Đa thức nội suy Lagrange Đinh ̣ nghiã 1.1: Đa thức bâ ̣c n thỏa mañ tin ́ h chấ t 1, 𝑥 = 𝑥𝑘 𝐿𝑘 (𝑥) = { 0, 𝑥 ≠ 𝑥𝑘 Đươ ̣c gọi là nhân tử Lagrange Dễ thấ y rằ ng 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
(x - x 0 )(x - x 1)...(x - x k - 1)(x - x k + 1)....(x - x n ) Lk (n ) = , k = 0,1, 2,..., n (x k - x 0 )(x k - x 1 )...(x k - x k - 1)(x k - x k + 1)....(x k - x n ) 0 𝑘ℎ𝑖 𝑘 ≠ 𝑖 Hay 𝐿𝑘 (𝑥𝑖 ) = { (1.4) 1 𝑘ℎ𝑖 𝑘 = 𝑖 Khi đó ta thấy rằng Pn ( x)  yo Lo ( x)  y1L1 ( x)  ....  yn Ln ( x)   yk Lk ( x) (1.5) Như vậy khác với phương pháp đại số, để xác định đa thức nội suy, ta chỉ cần xác định các giá trị của nhân tử Lk ( x)k  0,1,..., n . Xuất phát từ khái niệm về nhân tử Lagrange, chúng ta có thể xây dựng thuật toán xác định đa thức nội suy theo phương pháp nhân tử như sau: Thuật toán: Input: (x k , y k ), k = 0,1,..., n ; giá trị mốc cần xác định x. Output: Giá trị đa thức Pn (x ) Pn = 0 For k = 0 to n do Begin + Xác định nhân tử Lk (x ) + Pn = Pn + y k Lk (x ) End; Trong đó giá trị của nhân tử Lk (x ) được xác định bởi công thức (1.4). Dễ thấy rằng đối với thuật toán trên thì độ phức tạp của thuật toán là O(n2) Nếu kí hiệu f (x ) là hàm nghiệm đúng thì bằng cơ sở của toán học giải tích, chúng ta có thể chứng minh rằng sai số của phép nội suy được đánh giá bằng công thức M f ( x)  Pn ( x)  ( x  xo )( x  x1 )....( x  x1 ) (n  1)! Trong đó 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
M  sup f ( n1) ( x) xo  x  xn (1.6) Như vậy nếu với số mốc nội suy là lớn thì việc xấp xỉ bằng đa thức nội suy sẽ đạt độ chính xác rất cao. Ngoài phương pháp nhân tử lagrange, người ta có thể sử dụng các phương pháp khác như phương pháp Newton để xác định đa thức nội suy trong trường hợp các mốc nội suy là cách đều. Điều này sẽ giảm đáng kể khối lượng tính toán trong thuật toán 1.1.1.3. Hàm ghép trơn (Spline) Khi sử du ̣ng đa thức nô ̣i suy, khi số mới nô ̣i suy là lớn thì dẫn tới bâ ̣c của đa thức là rấ t lớn, điề u này không thuâ ̣n tiê ̣n cho quá triǹ h tiń h toán và sai số có thể là tăng lên. Để khắ c phu ̣c nhươ ̣c điể m này, người ta có thể sử du ̣ng phương pháp ghép các đa thức bâ ̣c thấ p la ̣i với nhau để thu đươ ̣c mô ̣t đường cong trơn. Hàm trơn trên toàn đoa ̣n {𝑥0 , 𝑥𝑛 } đươ ̣c go ̣i là hàm ghép trơn (Spline). Sau đây chúng ta sẽ trình bày phương pháp hàm ghép trơn bằng việc sử du ̣ng các đa thức bâ ̣c ba S3(x) để xây dựng hàm ghép trơn bâ ̣c 3 Xét đoa ̣n 𝐷𝑖 = {𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 }, chúng ta xét các đa thức bậc 3 được biểu diễn dưới dạng S i (x ) = ai + bi (x - x i - 1) + ci (x - x i - 1)2 + di (x - x i - 1)3 (1.7) Trong đó các hệ số ai, bi, ci, di cần phải thỏa mãn các điều kiện sau đây: + Điều kiện ghép trơn tại các mốc nội suy Si ( xi )  Si 1 ( xi ) (i  1,..., n  1) Si' ( xi )  Si'1 ( xi ) (i  1,..., n  1) (1.8) Si'' ( xi )  Si''1 ( xi ) (i  1,..., n  1) + Điều kiện nội suy Si(xi) = fi (i = 0,…,n) (1.9) Xuất phát từ công thức (1.7) ta sẽ thu được ai = fi - 1,(i = 1, 2,..., n ) 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
an  bnhn  cnhn2  dnhn3  f n (1.10) Trong đó kí hiệu hi = x i - x i - 1 Từ điều kiện liên tục, ta có ai  bi hi  ci hi2  di hi3  ai 1 (i  1, 2,.., n  1) (1.11) Xuất phát từ điều kiện (1.8), ta thu được các hệ thức sau bi  2ci hi  3di hi2  bi 1 (i  1,2,.., n  1) ci hi  3di hi  ci 1 (i  1,2,.., n  1) (1.12) Như vậy các hệ thức (1.10) - (1.12) lập thành hệ 4n-2 phương trình với 4n ẩn số. Để thêm vào 2 phương trình nữa, người ta đặt thêm điều kiện đạo hàm của S (x ) tại 2 mút biên x 0, x n . Chẳng hạn xét điều kiện S”(x1) = S”(xn) = 0 được gọi là điều kiện biên tự nhiên, khi đó ta có c1 = 0, cn + 3dnhn = 0 (1.13) Như vậy ta có đủ 4n phương trình để xác định 4n ẩn. Do các hệ số ai đã được xác định bởi phương trình (1.10) nên ta chỉ cần xác định các ẩn bi, ci, di qua hệ 3n phương trình. Qua các phép biến đổi ta có hệ sau đây: 𝑐𝑖+1 −𝑐𝑖 𝑑𝑖 = (𝑖 = 1,2, … , 𝑛) 3ℎ𝑖 { 𝑓𝑖 −𝑓𝑖−1 ℎ𝑖 (1.14) 𝑏𝑖 = − (𝑐𝑖+1 − 2𝑐𝑖 ) (𝑖 = 1,2, … , 𝑛) ℎ𝑖 3 𝑐1 = 𝑐𝑛+1 = 0 { 𝑓𝑖+1 −𝑓𝑖 𝑓𝑖 −𝑓𝑖−1 (1.15) ℎ𝑖 𝑐𝑖 + 2(ℎ𝑖 + ℎ𝑖+1 )𝑐𝑖+1 + ℎ𝑖+1 𝑐𝑖+2 = 3 [ − ] ℎ𝑖+1 ℎ𝑖 Hệ (1.15) là hệ phương trình với ma trận 3 đường chéo trội, do đó dễ dàng giải được hệ bằng thuật toán truy đuổi với độ phức tạp tính toán là O(n). Sau khi giải được các ẩn ci, qua (1.14) ta sẽ xác định được bi và di. Đánh giá sai số: Nếu kí hiện f (x ) là hàm nghiệm đúng S (x ) là hàm ghép trơn thì có thể chứng minh rằng sai số được đánh giá qua công thức 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
5 |𝑓 (𝑥) − 𝑆(𝑥)| ≤ 𝑀ℎ3 trong đó 𝑀 = max |𝑓𝑥3 | 2 𝑥0 ≤𝑥≤𝑥𝑛 Nhận xét: Việc xác định hàm hồi quy bằng phương pháp hàm ghép trơn có ưu điểm là việc tính toán được chuyển về việc giải hệ đại số bằng thuật toán truy đuổi 3 3 đường chéo. Tuy nhiên độ chính xác của phương pháp chỉ tương đương với O (h ) 1.1.1.4. Nội suy bằng hàm hữu tỉ m a x k k Ta xác định hàm  ( x)  k 0 n với bn = 1 (1.16) b x k 0 k k Tại các điểm x i ,(i = 1, 2,..., n + m + 1) sao cho thỏa mãn hàm đi qua tất cả các mốc nội suy, tức là  ( xi )  f ( xi )i  1,2,..., n  m  1) n 1   ak xik  f ( xi ) bk xik  f ( xi ) xin ,(i  1,2,.., n  m  1) k 0 (1.17) Hệ phương trình đại số trên là hệ phương trình đối với các ẩn a0,a1, …, am,b0,b1,…,bn-2. Như vậy, để xác định hàm nội suy hữu tỉ thì ta phải giải hệ phương trình đại số tuyến tính với (n+m+1) ẩn. 1.1.2 Bài toán hồi quy Đặt vấn đề: Khi xét bài toán nội suy, ta đã giả thiết rằng mối quan hệ giữa đại lượng 𝑥 (𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) và 𝑦(𝑦0 , 𝑦1 , … , 𝑦𝑛 ) là tồn tại với quan hệ 𝑦 = 𝑓 (𝑥). Việc xác định đa thức nội suy chẳng hạn Pn (x ) còn thỏa mãn điều kiện Pn ( xk )  f ( xk )k. Tuy nhiên trong trường hợp khi 𝑥 và 𝑦 là các đại lượng ngẫu nhiên, chẳng hạn là các kết quả của các phương pháp đo đạc trọng địa chất hay các số liệu quan trắc môi trường hoặc số liệu của các thí nghiệm hóa sinh, mối quan hệ giữa x và 𝑦 (Hay còn gọi là mối tương quan) là chưa đánh giá được thì việc xác định đa thức nội suy là không thực tế và khó thực hiện. Trong những trường hợp như vậy, người ta thường sử dụng phương pháp dự đoán 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
tức là mong muốn xác định một hàm gần đúng với quy luật của các số liệu thực nghiệm tức là giá trị của hàm cần đảm bảo lệch ít nhất so với các số liệu thực nghiệm, các hàm như vậy được gọi là các hàm hồi quy. Sau đây chúng ta đưa ra một số kết quả về mặt toán học thực nghiệm đối với lớp các hàm hồi quy. 1.1.2.1. Phương pháp bình phương cực tiểu Giả sử chúng ta có n cặp các giá trị thực nghiệm (x i , y i ), i = 1, 2,..., n đối với các đối tượng ngẫu nhiên x và 𝑦 x1 x2 x3 x4 ….. xn y1 y2 y3 y4 ….. yn Ta cần xác định mối tương quan giữa 2 đại lượng x và 𝑦 theo công thức y =F(x, a0, a1, … , am) sao cho F  xk , a 0 , a1, , a m   ykk  1,2,..., n trong đó a0, a1, …, am là các tham số cần xác định. Để xác định các tham số a0, a1, …, am, ta đưa ra điều kiện là tổng bình phương độ lệch giữa giá trị thực nghiệm và giá trị hàm F  x, a 0 , a1, , a m  tại các điểm x k , k = 1, 2,..., n là nhỏ nhất, tức là: n (a 0 , a1, , a m )   F ( xk , a0 ,..., am )  yk    min 2 k 1 (1.18) Để hàm F đạt cực trị thì theo lý thuyết về hàm số nhiều biến số, điều kiện cần là: (a0 , a1,..., am )  0k  0,1,.., m ak (1.19) Hệ thức (1.19) chính là các hệ phương trình để giải ra các ẩn số a0 , a1 ,..., am 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Tùy thuộc vào công thức của hàm F  x, a 0 , a1, , a m  , chúng ta sẽ thu được các dạng hàm hồi quy khác nhau. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu một số dạng hàm hồi quy cụ thể. 1.1.2.2. Hàm hồi quy tuyến tính Chúng ta tìm hàm hồi quy dưới dạng tuyến tính bậc nhất F (x ) = ax + b Khi đó các hệ số a, b cần xác định từ điều kiện cực trị hàm số n 2 (a, b)  ax k  b  yk    min k 1 Điều kiện cần  n   2x k (ax k  b  yk )  0 a k 1  n   2(ax k  b  yk )  0 b k 1  n 2 n n  a  x k  b  x k   x k yk  k 1 k 1 k 1 Hay  n n (1.20) a x  nb  y  k 1 k  k 1 k Hệ (1.20) là hệ phương trình với a,b. Giải hệ trên ta xác định được a và b n n n n  x k yk   x k  yk a k 1 n k 1 n k 1 n x 2k  ( x k ) 2 k 1 k 1 n n n n n x 2 k  y  x y x k k k k b k 1 k 1 n k 1 n k 1 n x 2k  ( x k ) 2 k 1 k 1 (1.21) 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
1.1.2.3. Hàm hồi quy bậc 2 Chúng ta tìm hàm hồi quy dưới dạng tuyến tính bậc hai F (x ) = ax 2 + bx + c Khi đó các hệ số a, b, c cần xác định từ điều kiện cực trị hàm số n 2 (a, b, c)   ax  bx k  c  yk   2 k  min k 1 Điều kiện cần  n   2x 2k (axk2  bx k  c  yk )  0 a k 1  n   2x k (axk2  bx k  c  yk )  0 b k 1  n   2(axk2  bx k  c  yk )  0 c k 1 Hay  n 4 n n n a  xk b xk c  xk   xk yk 3 2 2  k 1 k 1 k 1 k 1  n n n n a  xk b xk c  xk   xk yk 3 2  k 1 k 1 k 1 k 1  n n n a  xk   xk  nc   yk 2  k 1 k 1 k 1 (1.22) Hệ (1.22) chính là hệ phương trình đại số cho phép xác định ra các hệ số a, b, c. Hoàn toàn tương tự, chúng ta có thể xác định được các hàm hồi quy bậc 3, bậc 4, bậc 5 … 1.1.2.4. Các phương pháp đưa về dạng tuyến tính 1/ Dạng hàm mũ f  aebx , (c  0) Lấy logarit 2 vế, ta có: ln F  ln a  bx khi đó đặt Y  ln F ; A  ln a, B  b ta thu được Y  A  Bx 2/ Dạng hàm lũy thừa F  ax b 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn