Luận văn Thạc sĩ: Tam thức bậc hai và một số ứng dụng

MỤC LỤC<br /> CHƯƠNG I: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TAM THỨC BẬC HAI ...... 5<br /> 1.1. Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai .................................. 5<br /> 1.1.1. Nghiệm của phương trình bậc hai .............................................. 5<br /> 1.1.2. Định lý Vi - ét ........................................................................... 7<br /> 1.2. Bài toán dấu của tam thức bậc hai ..................................................... 8<br /> 1.2.1. Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai ................................ 8<br /> 1.2.2. Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai ................................. 10<br /> 1.3. So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số và biện luận<br /> phương trình bậc hai ............................................................................... 11<br /> CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC<br /> BẬC HAI VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH<br /> CHỨA THAM SỐ ..................................................................................... 15<br /> 2.1. Hệ phương trình hỗn hợp và phương trình chứa dấu<br /> giá trị tuyệt đối. ....................................................................................... 15<br /> 2.1.1. Hệ phương trình hỗn hợp .......................................................... 15<br /> 2.1.2. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ................................... 16<br /> 2.2. Dấu của tam thức bậc hai trên một miền và bài toán giải biện luận<br /> bất phương trình ...................................................................................... 18<br /> 2.3. Phương trình vô tỷ và phương trình bậc cao.................................... 23<br /> 2.3.1. Phương trình vô tỷ..................................................................... 23<br /> 2.3.2. Phương trình bậc cao................................................................ 26<br /> 2.4. Phương trình mũ và phương trình lôgarit ........................................ 31<br /> 2.4.1. Phương trình mũ ....................................................................... 31<br /> 2.4.2. Phương trình lôgarit ................................................................. 33<br /> 2.5. Một số phương trình lượng giác....................................................... 35<br /> 1<br /> <br /> 2.6. Một số sai lầm của học sinh khi sử dụng định lý đảo về dấu của tam<br /> thức bậc hai ............................................................................................. 37<br /> CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM<br /> THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC KHẢO SÁT HÀM SỐ PHỤ THUỘC<br /> THAM SỐ .................................................................................................. 39<br /> 3.1. Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số ................................ 39<br /> 3.2. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên một miền.................... 40<br /> 3.2.1. Hàm số bậc 3: ........................................................................... 41<br /> 3.2.2 Hàm phân thức:.......................................................................... 43<br /> 3.3. Cực trị và dạng đồ thị của hàm số .................................................... 44<br /> 3.4. Xác định giá trị tham số để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ<br /> nhất thỏa mãn điều kiện cho trước .......................................................... 46<br /> 3.5. Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc ba với một đường thẳng........ 48<br /> 3.6. Giao điểm của đường thẳng với hàm số bậc bốn và với các nhánh<br /> của hypebol ............................................................................................. 52<br /> 3.6.1. Giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm bậc 4.................... 52<br /> 3.6.2. Giao điểm của đường thẳng với nhánh của hypebol ................ 53<br /> CHƯƠNG IV: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM<br /> THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ<br /> BÀI TOÁN HÌNH HỌC ........................................................................... 55<br /> 4.1. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong việc chứng<br /> minh bất đẳng thức. ................................................................................. 55<br /> 4.2. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong việc giải<br /> các bài toán hình học. .............................................................................. 57<br /> KẾT LUẬN ................................................................................................ 59<br /> DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO ......... Error! Bookmark not<br /> defined.<br /> <br /> 2<br /> <br /> Thang Long University Libraty<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> Trong chương trình môn toán ở trường phổ thông trung học có một<br /> chương trong sách đại số lớp 10 viết về tam thức bậc hai. Các kết quả của<br /> nó đã được đề cập và ứng dụng nhiều liên quan đến giải và biện luận<br /> phương trình, bất phương trình, khảo sát hàm số…. Là một giáo viên đang<br /> giảng dạy môn toán ở trường phổ thông, tôi muốn đi sâu tìm hiểu và nghiên<br /> cứu kỹ vấn đề này để công việc giảng dạy môn toán nói chung và giảng dạy<br /> môn đại số nói riêng của bản thân tôi được tốt hơn. Xuất phát từ lý do trên<br /> trong luận văn này tôi chọn đề tài “ Tam thức bậc hai và một số ứng<br /> dụng”.<br /> Nội dung luận văn gồm các phần sau:<br /> Chương I. Một số dạng toán về tam thức bậc hai. Trong chương<br /> này, tôi hệ thống hóa lại một cách ngắn gọn về các dạng toán như các<br /> phương pháp giải phương trình bậc hai, so sánh nghiệm của tam thức bậc<br /> hai với các số đã cho.<br /> Chương II. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai vào<br /> việc giải phương trình, bất phương trình. Trong chương này chúng tôi<br /> nêu lên một số ứng dụng trực tiếp định lý đảo của tam thức bậc hai và các<br /> bài toán áp dụng gián tiếp định lý trên. Đó là giải hệ phương trình hỗn hợp<br /> và phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, giải phương trình vô tỷ và<br /> phương trình bậc cao, giải phương trình mũ và phương trình lôgarit, giải<br /> một số phương trình lượng giác, dấu của tam thức bậc hai trên một miền và<br /> bài toán giải biện luận bất phương trình, một số sai lầm của học sinh khi sử<br /> dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai .<br /> Chương III. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai<br /> vào việc khảo sát hàm số. Tôi sử dụng định lý đảo của tam thức bậc hai<br /> vào một số bài toán về khảo sát hàm số và đồ thị như: hàm số đồng biến,<br /> hàm số nghịch biến trên một miền, cực trị và dạng đồ thị của hàm số, xác<br /> định giá trị tham số để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thỏa mãn<br /> điều kiện cho trước,…<br /> <br /> 3<br /> <br /> Chương IV. Ứng dụng định lý đảo về tam thức bậc hai vào việc<br /> chứng minh bất đẳng thức và bài toán hình học. Trong chương này tôi<br /> trình bày về những ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong<br /> việc chứng minh bất đẳng thức và một số bài toán hình học.<br /> Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long với<br /> sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS. Bùi Huy Hiền. Cuối cùng tôi xin<br /> được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm hướng dẫn của Thầy.<br /> Đồng thời, tôi xin cảm ơn các Thầy, Cô thuộc khoa Toán – Tin, Phòng sau<br /> đại học trường đại học Thăng Long đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tôi<br /> hoàn thành luận văn này.<br /> Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do kinh nghiệm và thời gian có hạn,<br /> nên bản luận văn này không thể tránh khỏi thiếu sót, tôi mong sự đóng góp<br /> ý kiến của các Thầy Cô và độc giả.<br /> Hải Phòng, ngày 8 tháng 7 năm 2015<br /> Người thực hiện<br /> <br /> Ngô Kim Trang<br /> <br /> 4<br /> <br /> Thang Long University Libraty<br /> <br /> CHƯƠNG I<br /> MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TAM THỨC BẬC HAI<br /> 1.1. Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai<br /> 1.1.1. Nghiệm của phương trình bậc hai<br /> Xét phương trình bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a, b, c <br /> f( x)  x 2 <br /> <br /> và a  0).<br /> <br /> b<br /> c<br /> x<br /> a<br /> a<br /> 2<br /> <br /> b <br /> b2 c<br /> <br /> x<br /> <br />  <br /> 2a  4a 2 a<br /> <br /> b  b 2  4ac<br /> <br /> x<br /> .<br />  <br /> 2a <br /> 4a 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Đặt  = b 2 – 4ac, ta có:<br /> * Nếu  < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.<br /> * Nếu  = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép x  <br /> <br /> b<br /> .<br /> 2a<br /> <br /> * Nếu   0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, 2 <br /> <br /> b <br /> .<br /> 2a<br /> <br /> Để ý thấy rằng nếu ac < 0 thì   0 khi đó tam thức bậc hai luôn<br /> có hai nghiệm phân biệt.<br /> b '   '<br /> Nếu b là số chẵn, b = 2b thì x1,2 <br /> với<br /> a<br /> '<br /> <br />  '  b ' 2  ac,   4 ' .<br /> <br /> Ví dụ 1.1. Giải và biện luận theo tham số m phương trình sau<br /> (m-1)x 2 - 2(m-3)x + m - 1 = 0<br /> <br /> (1.1)<br /> <br /> Lời giải.<br /> a) Nếu m = 1 thì (1.1) trở thành phương trình bậc nhất 4x = 0 có<br /> nghiệm là x = 0.<br /> b) Nếu m  1  0  m  1  ta có phương trình bậc hai với<br /> <br /> '  (m  3)2  (m  1)2   4(m  2) .<br /> Nếu '  0  4(m  2) 0 m >2 : Phương trình (1.1) vô nghiệm.<br /> 5<br /> <br />