1
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1
CHƯƠNG I: KHÁI NIỆM VỀ BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH ............. 4
1.1. Khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh ........................................... 4
1.2. Ví dụ về bài toán không chỉnh .................................................................. 5
CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HIỆU CHỈNH ....................... 10
2.1.Bài toán tính gần đúng đạo hàm .............................................................. 10
2.2.
Phương pháp chọn bước lưới thích ngh
i
................................................ 10
2.3. Phương pháp sai phân hiệu chỉnh để tính gần đúng đạo hàm một phía
tại điểm mút khi dữ liệu có nhiễu ................................................................. 13
CHƯƠNG III: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HIỆU CHỈNH ĐỂ
DỰ BÁO ĐƯỜNG HUYẾT ........................................................................... 25
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 33
2
LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn,chỉ bảo tận
tình và giúp đỡ nghiêm túc của GS.TSKH Phạm Kỳ Anh (Khoa Toán - Cơ - Tin học,
Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội). Tôi xin chân thành bày
tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến Thầy.Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải
đáp thắc mắc của tôi. Thầy đã giúp đỡ tôi bổ sung nhiều về kiến thức, khả năng nghiên
cứu,chọn lọc và tổng hợp các tài liệu để hoàn thành luận văn.Tôi xin kính chúc thầy và gia
đình mạnh khỏe, hạnh phúc.
Qua đây, tôi xin gửi tới các Thầy, Cô tham gia giảng dạy khóa Cao học Toán 2012
- 2014 tại trường Đại Học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên và Viện Toán học lời cảm ơn
sâu sắc nhất - Các Thầy, Cô đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bố ích không chỉ về
chuyên môn mà còn cả trong cuộc sống.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các bạn đồng môn đã giúp đỡ tôi trong thời gian
học tập tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn thiện
luận văn này.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình tôi.Những người đã động viên, chăm
sóc và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi để tôi có được thành quả ngày hôm nay.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2014
Người thực hiện
Nguyễn Hải Đăng
3
LỜI MỞ ĐẦU
Có rất nhiều vấn đề trong khoa học cũng như trong cuộc sống thực tế dẫn
tới các bài toán đặt không chỉnh, như xử lý ảnh, xử lý tiếng nói, thăm dò tài
nguyên bằng phương pháp đo trọng lực, chụp ảnh cắt lớp bằng máy tính, vv...
Bài toán tính gần đúng đạo hàm hàm sổ tại điểm mút là một bài toán đặt
không chỉnh. Giải quyết bài toán này và ứng dụng của nó trong dự báo đường
huyết có ý nghĩa quan trọng trong việc điều trị bệnh tiểu đường.
Điều này thúc đẩy tôi tìm hiểu và nghiên cứu về ứng dụng của bài toán tính
gần đúng đạo hàm hàm số tại điểm mút và áp dụng vào dự báo đường huyết.
Trong luận văn này, tôi xin trình bày những kết quả lý thuyết của bài toán
tính gần đúng đạo hàm hàm số tại điểm mút và ứng dụng trong dự báo đường
huyết của nó theo bài báo V. Naumova, s.v. Pereverzyev, and s. Sivananthan,
Adaptive parameter choice for one-sided íĩnite difference schemes and its
application in diabetes technology, Journal of Complexity, 28(2012) 524-538.
Nội dung luận văn được chia làm 3 chương:
Chương 1 giới thiệu một số khái niệm cơ bản và ví dụ về bài toán đặt
không chỉnh.
Chương 2 trình bày bài toán tính gần đúng đạo hàm hàm số tại điểm mút,
bao gồm phương pháp tiếp cận giải quyết bài toán, phương pháp chọn bước lưới
thích nghi, phương pháp sai phân hiệu chỉnh để giải bài toán.
Chương 3 trình bày về áp dụng của bài toán tính gần đúng đạo hàm hàm
số tại điếm mút vào dự báo đường huyết.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót. Kính mong các Thầy, Cô và các bạn đóng góp ý kiến để luận
văn này được hoàn thiện.
4
CHƯƠNG I: KHÁI NIỆM VỀ BÀI TOÁN ĐẶT
KHÔNG CHỈNH
1.1. Khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh
Năm 1932 J.H’adamard đưa ra khái niệm bài toán đặt chỉnh khi nghiên
cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của phương trình đạo hàm
riêng dạng elliptic hoặc parabolic.
Bài toán tìm nghiệm
x X
∈
theo dữ kiện
f Y
∈
từ phương trình
A (x) = f , (1.1)
trong đó A là toán tử đưa không gian metric X vào không gian metric Y,
được gọi là bài toán chỉnh the H’Adamard nếu có:
1. Với mỗi
f Y
∈
tồn tại nghiệm
x X
∈
.
2. Nghiệm
x
đó được xác định một cách duy nhất.
3. Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện f và A.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thoả mãn, bài toán (1.1)
được gọi là bài toán không chỉnh (còn gọi là bài toán đặt không chính quy hoặc
bài toán thiết lập không đúng đắn).
Cần lưu ý rằng một bài toán có thể đặt không chỉnh trên một cặp không gian
metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên một cặp không gian metric khác.
Để đơn giản, sau đây ta luôn giả sử rằng toán tử A cho trước một cách
chính xác, còn vế phải
f
cho bởi
f
δ
với sai số ( , )
Yf f
δ
ρ δ
≤
. Như vậy, với
( , )
fδ
δ
ta cần phải tìm một phần tử
x X
δ
∈
hội tụ đến
0
x
là nghiệm chính xác
của (1.1) khi
0.
δ
→
Phần tử
x
δ
có tính chất như vậy được gọi là nghiệm xấp xỉ
của bài toán đặt không chỉnh nói trên. Nếu ta kí hiệu:
{
}
: ( ( ), )
Y
Q x X A x f
δ δ
ρ δ
= ∈ ≤
thì nghiệm đúng của phương trình trên phải nằm trong tập
Q
δ
. Nhưng tập
Q
δ
này còn quá rộng, vì vậy, không phải mọi phần tử của
Q
δ
đều có thể coi là
nghiệm xấp xỉ của (1.1) được. Bài toán đặt ra là phải chọn phần tử nào của
Q
δ
làm nghiệm xấp xỉ cho (1.4). Để thực hiện được điều này ta cần có thêm thông
5
tin về nghiệm chính xác
0
x
. Việc sử dụng thông tin định tính về nghiệm (tính
trơn hoặc tính đơn điệu của nghiệm,vv...) cho ta một hướng khác trong việc xây
dựng thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán đặt không chỉnh (1.1).
1.2. Ví dụ về bài toán không chỉnh
1. Bài toán tính gần đúng đạo hàm.
Giả sử hàm
( )
y f x
=
có đạo hàm. Ta cần tính đạo hàm bằng số
0
( ) ( )
'( ) lim
h
f x h f x
f x
h
→
+ −
=
tại điểm
x
. Trong thực tế nhiều khi ta không biết chính xác hàm f mà chỉ
biết xấp xỉ của nó là fδ. Vấn đề này ta sẽ bàn kỹ ở mục sau. Ở đây ta giả sử hàm f
đã cho chính xác.
Bằng cách chọn dãy
{
}
k
h
sao cho
0
k
h
→
khi
k
→ ∞
và tính tỷ sai phân.
( ) ( )
, 0,1,..., .
k
k
k
f x h f x
D k N
h
+ −
= =
Khi đó, ta có thể nghĩ rằng với N đủ lớn, tức
N
h
đủ nhỏ,
N
D
sẽ là xấp xỉ
tốt của
'( )
f x
. Vậy thì với
N
h
nhỏ bao nhiêu ta sẽ nhận được xấp xỉ tốt. Liệu
N
h
càng nhỏ có cho ta xấp xỉ càng tốt hay không? Để trả lời cho câu hỏi đó ta xét ví
dụ sau. Cho hàm số
( ) exp( )
f x x
=
, tính đạo hàm
'(1)
f
với
10
k
k
h
−
=
ta có bảng
kết quả
k
k
h
(1 )
k k
f f h
= +
k
f e
−
k
k
k
f e
D
h
−
=
1 0.1 3.0041660 0.285884196 2.858841560
2 0.01 2.7456011 0.027319187 2.731918700
3 10
-
3
2.7210014 0.002719642 2.719642000
4 10
-
4
2.7185536 0.000271842 2.7184200000
5 10
-
5
2.7183090 0.000027183 2.718300000
6 10
-
6
2.7182845 0.000002719 2.719000000
7 10
-
7
2.7182827 0.000000272 2.720000000
8 10
-
8
2.7182818 0.000000028 2.800000000
