Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các bất đẳng thức đặc trưng của không gian Banach lồi đều và trơn đều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ TÌNH

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU VÀ TRƠN ĐỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ TÌNH

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG

GIAN BANACH LỒI ĐỀU VÀ TRƠN ĐỀU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS. TS. NGUYỄN BƯỜNG

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

Mục lục i

Lời cam đoan ii

Lời nói đầu iii

Lời cảm ơn iv

Danh sách ký hiệu 1

Mở đầu 1

1 Các khái niệm cơ bản 3

1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Các bất đẳng thức đặc trưng của không gian Banach lồi đều và

m .

. . . . . . . 10

trơn đều 2.1 Một số bất đẳng thức trong không gian Lp, Wp 2.2 Đặc trưng của bất đẳng thức trong không gian Banach lồi đều 12

2.3 Đặc trưng của bất đẳng thức trong không gian Banach trơn đều 19

Kết luận 26

Tài liệu tham khảo 27

Phụ lục 28

Lời cam đoan

Tác giả luận văn xin cam đoan về tính trung thực, tính đúng đắn và hợp pháp

của luận văn. Đây không phải là sự sao chép bất cứ luận văn nào đã có trước đó,

mà là sự tham khảo, tổng hợp và trình bày theo suy nghĩ chủ quan của tác giả

luận văn về những kết quả khoa học đã có liên quan tới chủ đề đặt ra cho luận

văn.

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015

Học viên

Lê Thị Tình

LỜI NÓI ĐẦU

Luận văn trình bày các kết quả chủ yếu về các bất đẳng thức của không gian

Banach lồi đều và trơn đều.

Dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện luận văn này nhưng do thời gian

và trình độ hạn chế chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót nhất định. Kính mong

sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn hoàn chỉnh và nhiều ý nghĩa

hơn.

Lê Thị Tình

Học viên Cao học Toán Khóa 7: 2013-2015

Chuyên ngành Toán ứng dụng

iii

Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học -

Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tận

tình giảng dạy, bồi dưỡng kiến thức trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và

rèn luyện tại trường.

Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Bường đã tận tình

hướng dẫn trong suốt quá trình viết luận văn.

Xin chân thành cảm ơn.

Thái Nguyên, 2015 Lê Thị Tình

Học viên Cao học Toán Khóa 7: 2013-2015

Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

Danh sách ký hiệu

(cid:107).(cid:107) Không gian định chuẩn

B(X) Hình cầu đóng tâm 0, bán kính 1

S(X) Mặt cầu đóng tâm 0, bán kính 1

Tích vô hướng

Không gian các hàm liên tục

(cid:104)., .(cid:105) C[a,b] Kn Không gian Euclid n-chiều

Mở đầu

Như chúng ta đã biết trong không gian Hilbert có đẳng thức hình bình hành

(cid:107)x(cid:107)2 + (cid:107)y(cid:107)2(cid:17) (cid:16) (cid:107)x + y(cid:107)2 + (cid:107)x − y(cid:107)2 = 2 (1)

và là không gian có cấu trúc đẹp đẽ. Lý do nói như vậy là vì vấn đề đặt ra trong

không gian này có thể được phân tích một cách dễ dàng và hoàn chỉnh. Tuy

nhiên trong nhiều ứng dụng cần phải xét trên không gian Banach, liệu không

gian Banach có tính chất gần và đẹp đẽ như không gian Hilbert không?

Mục đích của luận văn này trình bày các đặc trưng dạng tương tự (1) trong

không gian Banach lồi đều và trơn đều, không phải là không gian Hilbert.

Bố cục luận văn gồm 2 chương:

Chương I. Một số khái niệm cơ bản.

Chương II. Các bất đẳng thức đặc trưng của không gian Banach lồi đều và trơn

đều.

Chương 1

Các khái niệm cơ bản

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản thuộc không gian Hilbert và

không gian Banach. Trong đó nêu lên các tính chất, ví dụ cụ thể của từng loại

không gian.

1.1 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1. Cho X là một không gian tuyến tính trên R. Một tích vô hướng trong X là một ánh xạ (cid:104)., .(cid:105) thỏa mãn các điều kiện sau:

i) (cid:104)x, x(cid:105) > 0, ∀x (cid:54)= 0; (cid:104)x, x(cid:105) = 0 ⇐⇒ x = 0;

ii) (cid:104)x, y(cid:105) = (cid:104)y, x(cid:105), ∀x, y ∈ X; iii) (cid:104)αx, y(cid:105) = α(cid:104)x, y(cid:105), ∀x, y ∈ X, α ∈ R; iv) (cid:104)x + y, z(cid:105) = (cid:104)x, z(cid:105) + (cid:104)y, z(cid:105), ∀x, y, z ∈ X.

Không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng (cid:104)., .(cid:105) được gọi là không gian

tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.

Tính chất 1.1. Nếu X là không gian tiền Hilbert thì tích vô hướng của nó liên

tục trên X × X .

Tính chất 1.2. (Đẳng thức Pythagore). Nếu x⊥y thì

(cid:107)x + y(cid:107)2 = (cid:107)x(cid:107)2 + (cid:107)y(cid:107)2.

Một cách tổng quát nếu x1, ....., xn ∈ X với xi.x j = 0 với mọi i (cid:54)= j thì

n ∑ i=1

n ∑ i=o với (cid:107)x(cid:107) = (cid:112)(cid:104)x, x(cid:105), (cid:107)y(cid:107) = (cid:112)(cid:104)y, y(cid:105).

= (cid:107)xi(cid:107)2, xi (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

Tính chất 1.3. (Đẳng thức hình bình hành).

(cid:107)x(cid:107)2 + (cid:107)y(cid:107)2(cid:17) (cid:16) , ∀x, y ∈ X, (cid:107)x + y(cid:107)2 + (cid:107)x − y(cid:107)2 = 2

với (cid:107)x(cid:107) = (cid:112)(cid:104)x, x(cid:105), (cid:107)y(cid:107) = (cid:112)(cid:104)y, y(cid:105).

Ví dụ 1.1. (Không gian Euclide n-chiều). Xét không gian vectơ

Cn = {x = (x1, ....., xn) : x1, ....., xn ∈ C}.

Khi đó dễ có công thức

n ∑ j=1

(cid:104)x, y(cid:105) = x jy j, x = (x1, ....., xn), y = (y1,...., yn) ∈ C

xác định một tích vô hướng trên C. Bởi vì C là đầy do đó Cn là đầy với mọi chuẩn, đặc biệt với chuẩn Euclide

(cid:33) 1 2

= (cid:112)(cid:104)x, x(cid:105) (cid:107)x(cid:107) = (cid:12) (cid:12)x j (cid:12) 2 (cid:12) (cid:32) n ∑ j=1

nên Cn là một không gian Hilbert.

Ví dụ 1.2. (Không gian l2). Xét không gian các dãy số bình phương khả tổng

(cid:32) (cid:33) 1 2

< ∞}. |xn|2 l2 = {x = {xn}n≥1 : (cid:107)x(cid:107)2 =

∑ n≥1

Vì (cid:33)

∞ ∑ n=1

|yn|2 |xnyn| ≤ |xn|2 + 1 2 (cid:32) ∞ ∑ n=1

nên dễ thấy, công thức

∞ ∑ n=1

(cid:104)x, y(cid:105) = xnyn, x, y ∈ l2,

xác định một tích vô hướng trên l2. Mặt khác, do

(cid:107)x(cid:107)2 = (cid:112)(cid:104)x, x(cid:105), x ∈ l2

nên l2 là đầy với chuẩn này và do đó l2 là một không gian Hilbert.

1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.2. Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K các số thực R hay các số phức C. Hàm ρ xác định trên X gọi là một chuẩn trên X nếu ρ thỏa mãn các điều kiện sau: (N1)ρ(x) ≥ 0 với mọi x ∈ X và ρ(x) = 0 ⇒ x = 0, (N2)ρ(λ x) = |λ | ρ(x) với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ X, (N3)ρ (x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y) , với mọi x, y ∈ X. khi ρ thõa mãn N2 và N3 còn N1 thay bởi điều kiện:

1)ρ(x) ≥ 0

(N(cid:48)

với mọi x ∈ X, thì ρ được gọi là nửa chuẩn trên X. Khi ρ thỏa mãn N3 còn N2 thay bởi điều kiện:

1)ρ(λ x) = λ ρ(x), ∀0 ≤ λ ∈ R, ∀x ∈ X,

(N(cid:48)

thì ρ gọi là một sơ chuẩn trên X.

Định nghĩa 1.3. Không gian vectơ X cùng với một chuẩn ρ trên nó gọi là không

gian định chuẩn.

Không gian định chuẩn X là một không gian mêtric với khoảng cách sinh bởi

chuẩn

d(x, y) := ρ(x − y), (x, y ∈ X).

Nếu không gian mêtric này đầy thì X gọi là không gian Banach.

Chú ý: sau này ta viết (cid:107)x(cid:107) thay cho ρ(x) đối với x ∈ X và gọi chuẩn của vectơ

Tính chất 1.4. Nếu X là không gian định chuẩn thì hàm chuẩn x (cid:55)→ (cid:107)x(cid:107) là liên

tục đều trên X.

Tính chất 1.5. Nếu X là không gian định chuẩn thì các phép toán

+ : X × X → X, (x, y) (cid:55)→ x + y × : K × X → X, (λ , x) (cid:55)→ λ x

là liên tục.

Ví dụ 1.3. (Không gian Euclide n-chiều).

Với mỗi số tự nhiên n, ký hiệu Kn là tích n lần trường vô hướng K,

Kn := {x = (x1, x2, ..., xn) : x1, x2, ..., xn ∈ K}.

Ta xác định chuẩn (cid:107).(cid:107)2 trên K bởi

(cid:33) 1 2

|xi|2 , x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Kn. (cid:107)x(cid:107)2 = (cid:32) n ∑ i=1

Hiển nhiên hàm x (cid:55)→ (cid:107)x(cid:107)2 thỏa mãn các điều kiện tiên đề (N1) và (N2) trong định nghĩa chuẩn. Từ bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakowski

(cid:33) 1 (cid:33) 1 2

n ∑ i=1

2 (cid:32) n ∑ i−1

, |ai|2 |aibi| ≤ |bi|2 (cid:32) n ∑ i=1

n ∑ i=1

n ∑ i=1 (cid:32)(cid:18) n ∑ i=1

= |yi|2 |xi| |yi| + |xi + yi|2 ≤ suy ra hàm (cid:107).(cid:107)2 thỏa mãn (N3). Với mọi x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Kn ta có n ∑ i=1 |xi|2 + 2 (cid:19) 1 2 ≤ + |yi|2 |xi|2 |xi|2 + 2 (cid:18) n ∑ i=1 |yi|2 (cid:33) |xi|2 + |yi|2(cid:17)2 (cid:16) (cid:19) 1 2 (cid:18) n ∑ i=1 (cid:19) 1 2 (cid:19) 1 2 + . = |yi|2 |xi|2 (cid:18) n ∑ i=1

Hay

(cid:107)x + y(cid:107)2 ≤ (cid:107)x(cid:107)2 + (cid:107)y(cid:107)2, ∀x, y ∈ Kn. Nghĩa là hàm (cid:107).(cid:107)2 thỏa mãn (N3). Vậy Kn là một không gian định chuẩn với chuẩn (cid:107).(cid:107)2. Không gian này gọi là không gian Euclide n-chiều. Vì

|xi| max 1≤i≤n |xi| ≤ (cid:107)x(cid:107)2 ≤ n max 1≤i≤n

nên sự hội tụ trong Kn là sự hội tụ theo tọa độ. Do K là không gian metric đầy, từ đó suy ra Kn là không gian đầy. Vậy Kn là không gian Banach.

Ví dụ 1.4. (Không gian các hàm liên tục).

Ký hiệu C [a, b] là không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn [a, b]. Bởi

vì mọi hàm liên tục trên một đoạn là bị chặn nên ta có thể xác định

f ∈ C [a, b] . (cid:107) f (cid:107) = sup{| f (x)| : x ∈ [a, b] },

Dễ thấy rằng hàm f (cid:55)→ (cid:107) f (cid:107) xác định như trên là một chuẩn trên không gian

C [a, b]. Như vậy C [a, b] là một không gian định chuẩn. Sự hội tụ trong C [a, b]

đối với chuẩn này chính là sự hội tụ đều. Ta sẽ kiểm lại C [a, b] là một không gian Banach. Cho { fn} là một dãy Cauchy trong C [a, b]. Khi đó

n=1 là một dãy Cauchy trong

(1.1) ∀ε> 0,∃n0, ∀n, m ≥ n0, ∀x ∈ [a, b] , | fn(x) − fm(x)| ≤ ε.

Như vậy với mỗi x ∈ C [a, b] cố định, dãy số { fn(x)}∞ K. Do K đầy nên tồn tại

fn (x) , ∀x ∈ C [a, b] . f (x) = lim n→∞

Ta sẽ chỉ ra f ∈ C [a, b] và fn → f trong C [a, b]. Trong (1.1) bằng cách cố định x ∈ C [a, b] và n ≥ n0, cho m → ∞ ta được

(1.2) | fn (x) − f (x0)| ≤ ε, ∀x ∈ [a, b] , ∀n ≥ n0.

(cid:12) ≤ ε, ∀ |x − x0| < δ , ∀x ∈ [a, b] . Vì fn0 liên tục tại x0 nên tồn tại δ > 0 sao cho (cid:12) fn0(x) − fn0(x0)(cid:12) (cid:12)

(cid:12) fn0(x) − fn0(x0)(cid:12) (cid:12)

n=1 hội tụ

(cid:12) ≤ 3ε, với mọi x ∈ [a, b] , |x − x0| < δ . (cid:12) fn0(x0) − f (x0)(cid:12)

Từ (1.2) suy ra | f (x) − f (x0) ≤ | f (x) − fn0(x0) + (cid:12) + (cid:12) Tính liên tục của f được chứng minh. Cũng từ (1.2) suy ra { fn(x)}∞ đến f trong C [a, b].

Ví dụ 1.5. (Không gian các hàm bị chặn).

Giả sử S là tập tùy ý. Ký hiệu B(S) là không gian tất cả các hàm bị chặn trên

S và

(1.3) (cid:107) f (cid:107) := sup{| f (s)| : x ∈ S} < +∞.

Có thể thấy B(S) là không gian Banach với chuẩn xác định như trên.

Ví dụ 1.6. (Không gian các dãy khả tổng bậc p).

Với mỗi số thực p ≥ 1 tùy ý, ta ký hiệu tập tất cả các dãy số (thực hoặc phức)

khả tổng bậc p bởi:

(cid:40) (cid:41)

∞ ∑ n=1

|xn|p < +∞ lp = x = (xn) ⊂ N∗ :

lp là không gian Banach với chuẩn cho bởi

(cid:33) 1 p

. |xn|p (cid:107)x(cid:107)p = (cid:32) ∞ ∑ n=1

Định nghĩa 1.4. Cho không gian vectơ X

- Đoạn thẳng [a, b] là tập hợp [a, b] = {λ a + (1 − λ )b ∈ X : 0 ≤ λ ≤ 1}. - Đoạn thẳng không tầm thường là [a, b] mà a (cid:54)= b. Đoạn thẳng tầm thường là

[a, b] mà a=b.

- Tập con A của một không gian vectơ X được gọi là lồi nếu nó có tính chất:

nếu hai vectơ a, b ∈ A thì đoạn [a, b] nằm trọn trong A.

Cho X là không gian định chuẩn, trong suốt luận văn này chúng tôi sử dụng

các ký hiệu sau:

- S(x)là mặt cầu tâm 0, bán kính 1 trong X, S(x) = {x ∈ X : (cid:107)x(cid:107) = 1},

- B(x) là hình cầu đóng tâm 0, bán kính 1 trong X, B(x) = {x ∈ X : (cid:107)x(cid:107) ≤ 1}.

Định nghĩa 1.5. Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại δ = δ (ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ S(X) mà (cid:107)x − y(cid:107) ≥ ε ta có

1 − ≥ δ . x + y 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

Ta gọi mođun lồi của không gian Banach X là hàm số

x+y 2

δX : [0; 2] → R δX (ε) = inf {1 − (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) : x, y ∈ S(X), (cid:107)x − y(cid:107) = ε}.

Ta gọi đặc trưng lồi của không gian Banach X là số được xác định bởi

ε0(X) = sup{ε ∈ [0; 2] : δX (ε) = 0}.

Ví dụ 1.7. Không gian Hilbert có số chiều bằng 1 không là không gian lồi đều.

Mọi không gian Hilbert có số chiều lớn hơn hoặc bằng 2 là không gian lồi đều. Thật vậy, khi không gian Hilbert X có dimX=1 trên S(X) chỉ có hai điểm e1 và

≥ δ e2 = −e1. Với x = e1, y = −e2 không tồn tại δ > 0 sao cho 1 − x + y 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

vì 1 − = 0, mặc dù khi đó (cid:107)x − y(cid:107) = 2 > ε = 1. Vậy X không phải là (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

x + y 2 không gian lồi đều.

Giả sử X là không gian Hilbert có dimX ≥ 2. Giả sử ε ∈ (0; 2], với mọi

x, y ∈ S(X) và (cid:107)x − y(cid:107) ≥ ε. Từ đẳng thức hình bình hành

(cid:107)x + y(cid:107)2 + (cid:107)x − y(cid:107)2 = 2(cid:107)x(cid:107)2 + 2(cid:107)y(cid:107)2

ta có

(cid:107)x + y(cid:107)2 = 2(cid:107)x(cid:107)2 + 2(cid:107)y(cid:107)2 − (cid:107)x − y(cid:107)2 ≤ 4 − ε 2

⇔

≤ 1 − (cid:114)

⇔ ≤ ε 2 4 ε 2 4 (cid:33) 1 − (cid:32) (cid:114)

⇔ , 1 − ≤ 1 − 1 − x + y 2 x + y 2 x + y 2 ε 2 4 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

từ đó, suy ra rằng với mọi ε ∈ (0; 2] khi đặt

(cid:114)

1 − > 0, δ = 1 − ε 2 4

thì với mọi x, y ∈ S(X) mà (cid:107)x − y(cid:107) > ε ta có 1 − > δ . Vậy X là không x + y 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

gian Hilbert lồi đều.

Định nghĩa 1.6. Không gian Banach X được gọi là trơn nếu mọi điểm x ∈ S(X) đều tồn tại duy nhất hàm f ∈ X ∗ (X ∗ là không gian đối ngẫu) sao cho (cid:107) f (cid:107) = 1 và f (x) = 1.

Chúng ta xét một khái niệm mạnh hơn tính trơn đó là tính trơn đều.

Định nghĩa 1.7. Một không gian Banach X gọi là trơn đều nếu

= 0, ρX (t) t lim t→0+

trong đó ρX (t) là mođun trơn được xác định bởi

− 1 : (cid:107)x(cid:107) ≤ 1, (cid:107)y(cid:107) ≤ 1}. ρX (t) = sup{ (cid:107)x + ty(cid:107) + (cid:107)x − ty(cid:107) 2

Tóm lại trong chương này tôi đã trình bày lại các khái niệm cơ bản của không

gian Hilbert, không gian Banach đặc biệt là không gian Banach trơn, trơn đều,

lồi, lồi đều. Chương tiếp theo dành cho việc xét các bất đẳng thức đặc trưng

trong không gian Banach là mở rộng các đẳng thức trong không gian Hilbert.

Chương 2

Các bất đẳng thức đặc trưng của không

gian Banach lồi đều và trơn đều

Chương 2 sẽ trình bày các bất đẳng thức đặc trưng trong không gian Banach

lồi đều và trơn đều. Các kết quả trình bày trong chương này được lấy từ bài báo

[5].

2.1 Một số bất đẳng thức trong không gian Lp, Wp m

Cho X là không gian Banach và X ∗ được gọi là không gian đối ngẫu. Gọi B(x) và S(x) tương ứng mặt cầu đơn vị đóng và hình cầu đơn vị trong X. Từ bất kỳ cặp x ∈ X và x∗ ∈ X ∗, x∗(x) biểu thị bởi (cid:104)x∗, x(cid:105). Cho (cid:26) (cid:27) (x + y) , 1 − : x, y ∈ S(X), (cid:107)x − y(cid:107) ≥ ε δx(ε) = inf 1 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

và

m,(1

sup {(cid:107)x + y(cid:107) + (cid:107)x − y(cid:107) − 2 : x ∈ S(x), (cid:107)y(cid:107) ≤ τ} . ρx(τ) = 1 2

Được nêu trong [5] rằng tất cả không gian Hilbert và không gian Banach lp, Lp,W p < p < ∞) có các bất đẳng thức đặc trưng sau:

(cid:113) (2.1) 1 − (1/4)ε 2; δH(ε) = 1 −

p−1 8 ε 2 + o(ε 2) > 1 p >

ε 2, 1 < p < 2 p − 1 8 (2.2) (ε) = δl p(ε) = δLp(ε) = δWp

)p(cid:105) ( (cid:104) 1 − ( )p, p ≥ 2;    1 − 1 p ε 2 ε 2

1 p − 1 <

(2.3) − 1; ρH(τ) = (cid:0)1 + τ 2(cid:1)1/2

  (2.4) (τ) = ρl p(τ) = ρLp(τ) = ρWp 1 p τ 2 + o(τ 2) < τ 2, p ≥ 2.  (1 + τ p) p − 1 2 τ p, 1 < p < 2 p − 1 2

Chúng ta xét các tính chất cơ bản sau đây của hàm δx(ε) và ρx(τ):

(δ 1) δx(0) = 0, δx(ε) ≤ 1 (<1 nếu lồi đều); (δ 2) δx(ε) là liên tục và không giảm, δx(ε) là tăng chặt nếu và chỉ nếu X là

lồi đều;

(δ 3) δx(ε) ≤ δH(ε); (δ 4) nếu X là lồi đều, thì δx(ε) = δx(ε)/ε là không giảm. (ρ1) ρx(0) = 0, ρx(τ) ≤ τ; (ρ2) ρx(τ) là lồi, liên tục, không giảm; (ρ3) ρx(τ)/τ là không giảm; (ρ4) ρx(τ) > ρH(τ); (ρ5) ρx∗(τ) = sup{τε/2 − δx(ε) : 0 ≤ ε ≤ 2}; (ρ6) ρx(τ) là tương đương với các hàm giảm, cụ thể là, tồn tại một hằng số

c sao cho ρx(η)/η 2 ≤ cρx(τ)/τ 2 tuy nhiên η ≥ τ > 0. cho ϕ : R+ → R+, ϕ(0) = 0, là liên tục, hàm tăng chặt. Ánh xạ Jϕ : X → 2X ∗ định nghĩa bởi

Jϕ = {x∗ ∈ X ∗ : (cid:104)x∗, x(cid:105) = (cid:107)x ∗(cid:107) (cid:107)x (cid:107) , (cid:107)x ∗(cid:107) = ϕ((cid:107)x (cid:107))},

được gọi là ánh xạ đối ngẫu với biến ϕ. Trong trường hợp riêng hàm ϕ(t) = t

ký hiệu bởi J được gọi là các ánh xạ đối ngẫu. Chúng ta sẽ sử dụng tính chất cơ

bản của ánh xạ đối ngẫu được thành lập trong [5], tương ứng:

(J1) J = I nếu và chỉ nếu X là không gian Hilbert; (J2) X là trơn đều nếu và chỉ nếu J và (Jϕ) là giá trị đều duy nhất liên tục

trên tập co bị chặn của X;

(J3) J là toàn ánh nếu và chỉ nếu X là phản xạ;

(J4) Jϕ(λ x) = sign(λ )(ϕ |λ | (cid:107)x(cid:107))/ (cid:107)x(cid:107))Jx, λ ∈ R1; (J5) Jϕ(x) ⊂ ∂ φ ((cid:107)x(cid:107)), ở đây ∂ φ ((cid:107)x(cid:107)) là vi phân của φ ((cid:107).(cid:107)) với x và φ được

(cid:90)

cho bởi

φ (t) = ϕ(s)ds.

Mặt khác, nếu X là phản xạ, thì Jϕ(x) = ∂ φ ((cid:107)x(cid:107)). Trong các mục sau, các ký hiệu Jp là ánh xạ đối ngẫu với hàm φ (t) = t p−1, jp là một ký hiệu tùy ý lựa chọn từ Jp (nếu jpx ∈ Jpx với mọi x ∈ X). Cho số thực tùy ý a và b ta luôn có

a ∨ b = max(a, b), a ∧ b = min(a, b)

và khi λ , µ ∈ [0; 1] , p, q ∈ (1, ∞) giả sử rằng

+ = 1. λ + µ = 1, 1 p 1 q

, D(F), R(F), G(F),

Cũng như vậy, cho một đa giá trị ánh xạ F : X → 2X ∗ F −1 và sẽ ký hiệu là miền, biểu đồ, đồ thị, ánh xạ ngược, ở đây được định nghĩa bởi

D(F) = {x ∈ X : Fx (cid:54)= φ };

R(F) = {x∗ ∈ X ∗, x∗ ∈ Fx, x ∈ D(F)};

G(F) = { (cid:98)x, x∗(cid:99) ∈ X × X ∗ : x ∈ D(F), x∗ ∈ Fx};

F −1x∗ = {x ∈ D(F) : x∗ ∈ Fx}.

2.2 Đặc trưng của bất đẳng thức trong không gian Banach

lồi đều

Cho X là không gian Banach với mođun lồi δX (ε), số thực p > 1 tùy ý, và A = {φ : R+ → R+ : φ (0) = 0, φ (t) là tăng chặt và có hằng số K sao cho φ (t) ≥ KδX (t/2)}. Bây giờ chúng ta thiết lập các kết quả chính của phần này:

Định lý 2.1. Các tính chất sau là tương đương:

(i) X là lồi đều; (ii) Tồn tại một hàm φp ∈ A như sau

); (2.5) (cid:10) jpx − jpy, x − y(cid:11) ≥ ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))pφp( (cid:107)x − y(cid:107) (cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107)

(iii) Tồn tại một số thực a của φp ∈ A như sau

(cid:107)x + y(cid:107)p ≥ (cid:107)x(cid:107)p + p (cid:10) jpx, j(cid:11) + σp(x, y),

1 (cid:90)

sao cho x, y ∈ X, ở đây

)dt; (2.6) φp( σp(x, y) = p ((cid:107)x + ty(cid:107) ∨ (cid:107)x(cid:107))p t t (cid:107)y(cid:107) (cid:107)x + ty(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107)

Để chứng minh định lý này chúng ta cần có các bổ đề sau:

Bổ đề 2.1. Cho x, y ∈ S(X)và t ∈ (0, 1) cho ε = (cid:107)x − y(cid:107) (cid:54)= 0 thì

(cid:107)λ x + µty(cid:107) ≤ λ + µt − 2(λ ∧ µ)tδX (ε).

Chứng minh. Giả sử rằng x và y là độc lập tuyến tính và ký hiệu E là không

gian con sinh bởi các phần tử x, y và phần tử 0, thì phần tử λ x + µty thuộc E. Cho z là giao điểm của vectơ x − y và tia τ(λ x + µty), τ ≥ 0, trong không gian

con E, thì tồn tại một số thực α và β như sau

(2.7) z = α(λ x + µty), α ≥ 0;

(2.8) z = β x + (1 − β )(λ x + µy), 0 ≤ β ≤ 1,

từ x và y độc lập tuyến tính, ta có

αλ = β + (1 − β )λ α µt = µ(1 − β ).

Giải phương trình và tìm được

α = (λ + µt)−1; β = (λ + µt)−1λ (1 − t).

Do đó từ (2.7) và (2.8), được kết quả

(cid:107)λ x + µty(cid:107) = α −1 (cid:107)z(cid:107) = (λ + µt) (cid:107)β x + (1 − β )(λ x + µy)(cid:107)

(2.9) ≤ (λ + µt)[β (cid:107)x(cid:107) + (1 − β ) (cid:107)λ x + µy(cid:107) ].

Tiếp theo, xét hàm f (s, w) = s−1((cid:107)x + sw(cid:107) − (cid:107)x(cid:107)), s > 0 là không giảm theo s và mỗi s và w cố định trong X. Do đó theo định nghĩa mođun lồi suy ra

, y − x) (cid:107)λ x + µy(cid:107) = 1 + µ[ (cid:107)x + µ(y − x)(cid:107) − (cid:107)x(cid:107) ]/µ 1 2

= 1 − 2µ[1 − (cid:107)x + y(cid:107) ] ≤ 1 − 2µδx(ε), = 1 + µ f (µ, y − x) ≤ 1 + µ f ( 1 2

2 và tương tự, ta thu được

ở đây µ ≤ 1

. (cid:107)λ x + µy(cid:107) = 1 − 2λ δx(ε), λ ≤ 1 2

Kết hợp với (2.9), ta có

(cid:107)λ x + µty(cid:107) ≤ (1 − t)λ + t[1 − 2(µ ∧ λ )δx(ε)

= λ + µt − 2(µ ∧ λ )tδx(ε),

suy ra bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 2.2. X là lồi đều khi và chỉ khi, với mỗi p ∈ (1, ∞) luôn tồn tại một hàm

tăng chặt

(2.10) ) ≤ λ (cid:107)x(cid:107)p + µ(cid:107)y(cid:107)p, (cid:107)λ x + µy(cid:107)p + ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y)(cid:107)pδp(λ , µ, (cid:107)x − y(cid:107) (cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107)

với mọi x, y ∈ X.

2 ta được

Chứng minh. Ở đây (2.10) nói rằng, với mọi x, y ∈ S(X), (cid:107)x − y(cid:107) ≥ ε ta đặt λ = µ = 1

, , ε) ≤ 1. + δp( x + y 2 1 2 1 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

khi đó suy ra

, , ε)]i/p > 0, δx(ε) ≥ 1 − [1 − δp( 1 2 1 2

do đó, X là lồi đều. Ngược lại, giả sử rằng X là lồi đều. Chúng ta xét hàm δp(λ , µ, .) như trong (2.10). Để chứng minh chúng ta định nghĩa ánh xạ ϕp : [0, 1] × [0, 1] × R+ bởi

p (λ , µ, ε), f (2)

p (λ , µ, ε)},

(2.11) δp(λ , µ, ε) = min{ f (1)

2)p − (1 − µ ε

2)p;

ở đây

f(1) p (λ , µ, ε) = λ + µ(1 − ε f(2) p (λ , µ, ε) = λ [1 − µλ p−1/{µ 1/p−1 − [µ − 2(µ ∧ λ )δX (ε/2)]p(p−1)}p−1]. Với hàm ϕp thì ta xác định bất đẳng thức

0 y, ε = (cid:107)x − y(cid:107) và

(2.12) (cid:107)λ x + µy(cid:107)p + ϕp(λ , µ, ε) ≤ λ (cid:107)x(cid:107)p + µ(cid:107)y(cid:107)p,

với mỗi x ∈ S(X) và y ∈ B(X). Thật vậy, cho t0 = (cid:107)y(cid:107) , y = t−1 ε = (cid:107)x − y(cid:107). Ta xét hàm g định nghĩa bởi

g(t) = λ + µt p − [λ + µt − 2(µ ∧ λ )tδX (ε)]p, 0 ≤ t ≤ 1.

Theo Bổ đề 1, ta có

0 − (cid:107)λ x + µt0y(cid:107)p = λ + µt p

0 − (cid:107)λ x + µy(cid:107)p

(2.13) g(t0) = λ + µt p

= λ (cid:107)x(cid:107)p + µ(cid:107)y(cid:107)p − (cid:107)λ x + µy(cid:107)p.

Bây giờ chúng ta xét 2 trường hợp:

p (λ , µ, ε).

Trường hợp 1. t0 ≤ 1 − ε/2. Khi đó các đơn điệu giảm chặt của hàm (λ + µt p) − (λ + µt)p suy ra

0 − (λ + µt0)p ≥ f (1)

g(t0) ≥ λ + µt p

Do đó, từ (2.13) suy ra (2.12). Trường hợp 2. t0 ≥ 1 − ε/2, thì ε = (cid:107)x − y(cid:107) ≥ (cid:107)x − y(cid:107) − (cid:107)y − y(cid:107) = ε − (1 −t0) ≥ ε/2. Theo tính chất (δ 2), ta có

0 − [λ + µt0 − 2(µ ∧ λ )t0δX (

)]p =: h(t0). g(t0) ≥ λ + µt p ε 2

Chúng ta thu được hàm h(t0), 0 ≤ t0 ≤ 1, đạt giá trị nhỏ nhất tại

(cid:104) (cid:17)(cid:105)(p−1)−1 (cid:110) / µ (p−1)−1 µ − 2 (µ ∧ λ ) δX t∗ = λ (cid:16)ε 2

(cid:17)(cid:105)p/(p−1) (cid:104) }. - µ − 2 (µ ∧ λ ) δX (cid:16)ε 2 Đó là nghiệm duy nhất của phương trình

0 −

(cid:26) (cid:105)p−1 ) µt p−1 h(cid:48)(t0) = p (cid:104) λ + µt0 − 2(µ ∧ λ )t0δX ( ε 2

(cid:104) × (cid:105) ) }= 0, µ − 2(µ ∧ λ )δX ( ε 2 với

2)]

µt p−1 0 )]p = , [λ + µt0 − 2(µ ∧ λ )t0δX ( ε 2 [λ + µt0 − 2(µ ∧ λ )t0δX ( ε µ − 2(µ ∧ λ )δX ( ε 2)

khi đó

2)]

∗ −

µt p−1 ∗ h(t0) = h(t∗) = λ + µt p inf 0≤t0≤1 [λ + µt∗ − 2(µ ∧ λ )t∗δX ( ε µ − 2(µ ∧ λ )δX ( ε 2)

p (λ , µ, ε).

∗

2)]−1 = f (2)

= λ − λ µt p−1 [µ − 2(µ ∧ λ )δX ( ε

Do đó, (2.12) được chứng minh. Dễ dàng thấy hàm δp(λ , µ, ε) là tăng chặt

trong ε. Vì thế, từ (2.12) suy ra (2.10) với

(2.14) δp (λ , µ, ε) = min (cid:8)φp (λ , µ, ε) , φp (µ, λ , ε)(cid:9) .

Do đó bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 2.3. Cho δp(λ , µ, ε) được cho trong (2.14). Khi đó

), sup δp(λ , µ, ε)/λ ≥ Kp( lim µ→0 sup δp(λ , µ, ε)/µ + lim λ →0 ε 2

với Kp là hằng số được định nghĩa bởi

(cid:19) √ p(p − 1) ∧ 1 p ∧ 1 (p − 1), Kp = 4(2 + (cid:18)1 2 (cid:26)1 2

3)p

√ (cid:104) 1 + (2−

p−1

(cid:105)1−p (p - 1) 3) min 3 − 1(cid:1)p(p−1)−1(cid:21) (cid:20) 1 − (cid:0)√ , 1 − }.(2.15)

Chứng minh. Từ δp(λ , µ, ε) là đối xứng ứng với λ và µ, ta có

sup δp(λ , µ, ε)/λ lim µ→0 sup δp(λ , µ, ε)/µ + lim λ →0

f (i) p (λ , µ, ε)/λ , i = 1, 2}. ≥ 2 min{ lim µ→0 f (i) p (λ , µ, ε)/µ + lim λ →0

Ta có

(cid:16) (cid:17) (cid:17)p (cid:16) − 1 − ε f (1) p (λ , µ, ε)/µ = lim µ→0 ε 2 1 − (cid:20) p 2 (cid:21) (cid:16) =: g1(ε); (cid:17)p−1 1 − ε f (1) p (λ , µ, ε)/λ = 1 − =: g2(ε); lim λ →0 p − 1 2 1 + (cid:34) (cid:16) (cid:17)(cid:17)p(p−1)−1 (cid:35) 1 − f (2) p (λ , µ, ε)/µ = (p − 1) 1 − 2δX = h1(δ ); lim µ→0

(cid:20) ε 2 (cid:16)ε 2 (cid:17)(cid:21)1−p 1 + f (2) p (λ , µ, ε)/λ = 1 − δX =: h2(δ ), lim λ →0 2p p − 1 (cid:16)ε 2

2). Áp dụng tính chất (δ 3) ta có

khi δ = δX ( ε

(cid:20) (cid:17) (cid:17) (cid:17)2(cid:21)1/2 , = 1 − 1 − δ = δX ≤ δH (cid:16)ε 2 (cid:16)ε 2 1 4 (cid:16)ε 2

√ √ ( (2 − )2 ≥ 4δ (2 − δ ) ≥ (4 + 2 3) và δ ≤ 3) với ε ∈ (0, 2] , chúng ta thu 1 2 trong đó ε 2 được

0≤ε≤2

√ √ 3) inf )2 = (4 + 2 3)(p − 1)( ∧ 1); g1(ε)/δ = (4 + 2 g1(ε)/(

0≤ε≤2

√ √ )2 = (4 + 2 3)( ∧ 1); 3) inf g2(ε)/δ = (4 + 2 g2(ε)/( ε 2 ε 2 p 2 p(p − 1) 2

√

0≤δ ≤

h1(δ )/δ ≥ h1(δ )/δ

(2− √

3)p

√

p−1

√ inf 1 2 = (4 + 2 3)(p − 1)[1 − ( √ (cid:17)1−p(cid:21) . 3 − 1)p(p−1)−1 ]; (cid:20) √ (cid:16) 1 + (2− 1 − 3) h2(δ )/δ = (4 + 2 h2(δ )/δ ≥ inf 0≤δ ≤(2−

Do đó bổ đề được chứng minh.

Chứng minh định lý 2.1. (i) ⇒ (ii). Từ ánh xạ đối ngẫu Jp và tính chất (J4) không mất tính tổng quát, ta giả sử (cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107) = 1. Thật vậy, áp dụng Bổ đề 2.2, ta có

(cid:107)λ x + µy(cid:107)p + δp(λ , µ, (cid:107)x − y(cid:107)) ≤ λ (cid:107)x(cid:107)p + µ(cid:107)y(cid:107)p, ∀x, y ∈ X,

ở đây đặc biệt chú ý

(2.16) (cid:107)x + µ(y − x)(cid:107)p − (cid:107)x(cid:107)p ≤ µ((cid:107)y(cid:107)p − (cid:107)x(cid:107)p) − δp(λ , µ, (cid:107)x − y(cid:107));

(2.17) (cid:107)y + λ (x − y)(cid:107)p − (cid:107)y(cid:107)p ≤ λ ((cid:107)x(cid:107)p − (cid:107)y(cid:107)p) − δp(λ , µ, (cid:107)x − y(cid:107)).

Vì X là lồi đều, X cũng là phản xạ. Từ đó áp dụng (J5) ta có Jpx = ∂ ((1/p)(cid:107)x(cid:107)p) cho mỗi x ∈ X.

Dựa vào đẳng thức (2.16) và (2.17) suy ra

sup δp(λ , µ, (cid:107)x − y(cid:107))/µ

sup δp(λ , µ, (cid:107)x − y(cid:107))/λ . p (cid:10) jpx, y − x(cid:11) ≤ (cid:107)y(cid:107)p − (cid:107)x(cid:107)p − lim µ→0 p (cid:10) jpx, y − x(cid:11) ≤ (cid:107)x(cid:107)p − (cid:107)y(cid:107)p − lim λ →0

Kết hợp hai đẳng thức thì ta được

p (cid:10) jpx − jpy, x − y(cid:11) ≥ sup δp(λ , µ, (cid:107)x − y(cid:107))/µ [ lim µ→0 1 p

sup δp(λ , µ, (cid:107)x − y(cid:107))/λ ]. + lim λ →0 Theo Bổ đề 3, ta có

(cid:10) jpx − jpy, x − y(cid:11) ≥ KpδX (λ , µ, (cid:107)x − y(cid:107))/λ ,

từ đó, cho φp(t) = KpδX (t/2) thì suy ra (ii). (ii) ⇒ (iii). Cho Φ(t) = (1/p)(cid:107)x + ty(cid:107)p và 0=t0 < t1 < .... < tN = 1

là một phân hoạch của [0, 1]. Dựa vào (J5), ta có

p(cid:107)x + y(cid:107)p − 1

p(cid:107)x(cid:107)p = Φ(t) − Φ(0) =

N−1 ∑ n=o

(Φ(tk+1) − Φ(t))

N−1 ∑ k=0

≥ (cid:10) jp(x + tky), y(cid:11)(tk+1 − tk).

Từ (ii) ta có

(cid:107)x + y(cid:107)p − (cid:107)x(cid:107)p − p (cid:10) jp, y(cid:11)

≥ p

N−1 ∑ k=0 N−1 ∑ k=0

≥ p φp( )(tk+1 − tk). (cid:10) jp(x + tky) − jpx, y(cid:11)(tk+1 − tk) ((cid:107)x + tky(cid:107) ∨ (cid:107)x(cid:107)p) tk (cid:107)y(cid:107) (cid:107)x + tky(cid:107) ∨ (cid:107)x(cid:107) tk

Từ φp là tăng chặt và (cid:107)x + ty(cid:107) ∨ (cid:107)x(cid:107) là liên tục trong t, hàm

S(t) = ), φp( (cid:107)x + ty(cid:107) ∨ (cid:107)x(cid:107)p t t (cid:107)y(cid:107) (cid:107)x + ty(cid:107) ∨ (cid:107)x(cid:107)

là khả tích (trong Bổ đề Riemann). Ta có

N−1 ∑ k=o

1 (cid:82)

p S(tk)(tk+1 − tk) (cid:107)x + y(cid:107)p − (cid:107)x(cid:107)p − p (cid:10) jpx, y(cid:11) ≥ lim N→∞

S(t)dt, = p

suy ra (iii).

(iii) ⇒ (i). Với mỗi x, y ∈ S(x), dựa vào (iii) ta có

1 (cid:82)

0 = (cid:107)x + (y − x)(cid:107)2 − (cid:107)x(cid:107)2

≥ 2 (cid:104) jx, y − x(cid:105) + 2 (cid:107)x + t(y − x)(cid:107) ∨ (cid:107)x(cid:107) )2 t

1 (cid:82)

)dt ×φ2( t (cid:107)y − x(cid:107) (cid:107)x + t(y − x)(cid:107) ∨ (cid:107)x(cid:107)

0 (cid:107)x−y(cid:107) (cid:82)

≥ 2 (cid:104) jx, y − x(cid:105) + 2 t−1φ2(t (cid:107)y − x(cid:107))dt

= 2 (cid:104) jx, y − x(cid:105) + 2 φ2(η)/ηdη.

ε (cid:82)

Khi đó từ đơn điệu tăng của φ2, ta được

1 − (cid:104) jx, y(cid:105) ≥ φ2(η)/ηdη khi (cid:107)x − y(cid:107) ≥ ε.

ε (cid:82)

Từ đây, kết hợp với kết quả (ii) và φp(η) ∈ A ta có tồn tại một hàm tăng

δX (η/2)/ηdη. Như vậy (cid:104) jx, y(cid:105) ≥ 1 − Y (ε) với mọi x, y ∈ chặt Y (ε) = K2

S(x), (cid:107)x − y(cid:107) ≥ ε. Do đó, ta có X là lồi đều. Định lý được chứng minh.

2.3 Đặc trưng của bất đẳng thức trong không gian Banach

trơn đều

Cho X là không gian Banach với mođun trơn ρX (τ) và ℑ = {ϕ:R+ → R+ : ϕ(0) = 0, ϕ lồi, không giảm và tồn tại một hằng số K>0 sao cho ϕ(τ) ≤ K pX (τ)}. Trong phần này chúng tôi chứng minh tính hai mặt của Định lý 2.1:

Định lý 2.2. Với mỗi 1 < p < ∞, các kết quả sau là tương đương:

(i) X là trơn đều; (ii) Jp là duy nhất và có giá trị là ϕp ∈ ℑ như sau:

), ∀x, y ∈ X, (2.18) (cid:13)Jpx − Jpy(cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤ ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))p−1ϕ p( (cid:107)x − y(cid:107) (cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107)

khi ϕ p(t) = ϕp(t)/t;

(iii) Tồn tại một ϕp ∈ ℑ như sau

(2.19) (cid:107)x + y(cid:107)p ≤ (cid:107)x(cid:107)p + p (cid:10)Jpx, y(cid:11) + σp(x, y), ∀x, y ∈ X,

1 (cid:90)

ở đây

)dt; ϕp( σp(x, y) = p ((cid:107)x + ty(cid:107) ∨ (cid:107)x(cid:107)) t t (cid:107)y(cid:107) (cid:107)x + ty(cid:107) ∨ (cid:107)x(cid:107)

(iv) Tồn tại một

(2.20) (cid:107)x + y(cid:107)p ≤ (cid:107)x(cid:107)p + p (cid:10) jpx, y(cid:11) + σp(x, y), ∀x, y ∈ X.

Để chứng minh định lý này chúng ta có các bổ đề sau.

p = J∗ q .

Bổ đề 2.4. Cho X là trơn đều trong không gian Banach, Jp : X → X ∗ và J∗ p : X ∗ → X là ánh xạ đối ngẫu tương ứng với hàm φ (t) = t p−1 và φ (s) = sq−1. Khi đó J−1

p x∗ = {x ∈ X : jpx = x∗}, ∀x∗ ∈ X ∗. J−1

: X ∗ = D(J−1 Chứng minh. X là trơn đều do đó X là phản xạ và X ∗ là lồi đều. Do đó từ kết quả (J2) và (J3), Jp là duy nhất và toàn ánh. Điều này chứng tỏ rằng tồn tại ánh p ) → X = X ∗∗ và được kết quả xạ ngược J−1

Mặt khác, cho φ (x) = (1/p)(cid:107)x(cid:107)p với mọi x trong X. Từ đó dễ dàng có được φ là liên tục, lồi, và liên hợp của nó được cho bởi φ ∗(x) = (1/q)(cid:107)x∗(cid:107)q, ∀x∗ ∈ X ∗. Từ kết quả (J5), thu được

q = ∂ φ ∗(x∗), ∀x∗ ∈ X ∗.

q,∀x∗ ∈ X ∗. Bổ đề được chứng minh.

Jpx = ∂ φ (x), ∀x ∈ X; J∗x∗

Bằng cách sử dụng x∗ ∈ ∂ φ (x) nếu và chỉ nếu x ∈ ∂ φ ∗(x∗) , ta kết luận rằng J−1 p x∗ = J∗x∗ Chứng minh định lý 2.2: (i) ⇒ (ii) ta đã biết rằng Jp là duy nhất và X ∗ là lồi X (ε) là mođun lồi của X ∗. Khi đó, theo Định lý 2.1 (ii), có bất đẳng đều. Cho δ ∗ thức

q x∗ − J∗

q y∗, x∗ − y∗(cid:11) ≥ Kq((cid:107)x∗(cid:107) ∨ (cid:107)y∗(cid:107))qδX ∗(

q là chọn tùy ý của ánh xạ ngược J∗

q : X ∗ → 2X và Kq là

(cid:10)J∗ ), (cid:107)x∗ − y∗(cid:107) 2((cid:107)x∗(cid:107) ∨ (cid:107)y∗(cid:107))

với ∀x∗, y∗ ∈ X ∗, ở đây J∗ hằng số cho trong (2.15).

Khi đó, ta có

qx∗ − j∗

qy∗(cid:13)

(cid:19) (cid:18) (cid:107)x∗ − y∗(cid:107) , Kq((cid:107)x∗(cid:107) ∨ (cid:107)y∗(cid:107))q−1δ X ∗ (cid:13) ≥ (cid:13) (cid:13) j∗ 1 2 2 ((cid:107)x∗(cid:107) ∨ (cid:107)y∗(cid:107))

với

δ X ∗ = δX ∗(ε)/ε, ∀ε ∈ (0, 2).

(cid:107)x − y(cid:107) ≥ Kq((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))δ X ∗( 1 2 Đặc biệt, đặt x∗ = Jpx và y∗ = Jpy, theo Bổ đề 2.4, ta được (cid:13) (cid:13)Jpx − Jpy(cid:13) (cid:13) 2((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))p−1 ),

hoặc tương đương

≥ δ X ∗( 2 (cid:107)x − y(cid:107) Kq((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107)) (cid:13)Jpx − Jpy(cid:13) (cid:13) (cid:13) 2((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))p−1 ).

Bằng tính chất (ρ3) của mođun trơn đều, ta được

) ≥ (4δ X ∗( ρ X ( 8 (cid:107)x − y(cid:107) Kq((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107)) (cid:13)Jpx − Jpy(cid:13) (cid:13) (cid:13) 2((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))p−1 )),

ở đây

ρ X (τ) = ρX (τ)/τ, ∀τ > 0.

Mặt khác, theo tính chất (ρ5), ta có

ρX (τ) ≥ τε − δX ∗(ε), ∀ε ∈ (0, 2), τ > 0. 1 2

Điều này hàm ý đặc biệt là

) ≥ − δX ∗(ε) = δX ∗(ε), ∀ε ∈ (0, 2) . ρX ( ε 2 4δX ∗(ε) ε 4δX ∗(ε) ε

Khi đó

(2.21) ρX (4δ X ∗(ε)) ≥ ε(4δ X ∗(ε)), 1 4

ε. Từ (2.21), ta thu được cụ thể là, ρ X (4δ X ∗(ε)) ≥

(cid:32) (cid:33)(cid:33) (cid:32) (cid:13) (cid:19) 1 4 (cid:18) 8 (cid:107)x − y(cid:107) ¯ρX ≥ ¯ρX 4 ¯δX ∗ Kq ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107)) (cid:13)Jpx − Jpy(cid:13) (cid:13) 2((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))p−1

≥ 1 8

(cid:19) (cid:13) (cid:13)Jpx − Jpy(cid:13) (cid:13) ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))p−1 . (cid:18) 8 (cid:107)x − y(cid:107) Đó là, (cid:13)Jpx − Jpy(cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤ 8((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))p−1 ¯ρX Kq ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))

(cid:19) (cid:18) 8 (cid:107)x − y(cid:107) . (2.22) ρX = Kp ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))p (cid:107)x − y(cid:107) Kq ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))

Bây giờ chúng ta xét các trường hợp sau: Trường hợp I. 8/Kq ≤ 1. Từ ρX (.) là lồi (từ kết quả (ρ1)), ta có

(cid:19) (cid:18) (cid:107)x − y(cid:107) ρX (cid:13)Jpx − Jpy(cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤ 8 ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))p (cid:107)x − y(cid:107) ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107)) (cid:19) (cid:18) 8 (cid:107)x − y(cid:107) . = 8((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))p−1 ¯ρX Kq ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))

Trường hợp II. 8/Kq > 1. Theo (ρ6), ta được

(cid:13)Jpx − Jpy(cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤

q ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))p−1 ¯ρX

(cid:19) (cid:19)2 82((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))p−2 (cid:107)x − y(cid:107) Kq (cid:18) 8 (cid:107)x − y(cid:107) (cid:18) 8 (cid:107)x − y(cid:107) / ×ρX Kq ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107)) Kq ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107)) (cid:19) (cid:19)2 (cid:18) (cid:107)x − y(cid:107) (cid:18) (cid:107)x − y(cid:107) / ≤ c ρX ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107)) ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107)) (cid:19) (cid:18) (cid:107)x − y(cid:107) = ρX ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107)) 82((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))p−2 (cid:107)x − y(cid:107) Kq 82c((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))p Kq (cid:107)x − y(cid:107) (cid:19) (cid:18) (cid:107)x − y(cid:107) . = 82cK−1 ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))

q }ρX (t).

Do đó, suy ra (2.18) với ϕp(t) = max{8, 82cK−1

(ii) ⇒ (iii). Từ Jp là duy nhất, cũng như J. Điều này chứng tỏ rằng X là trơn đều và ta nói rằng J là liên tục từ tô pô hội tụ yếu của X đến cấu trúc liên hợp của X ∗. Thật vậy, hàm φ (t) = (cid:107)x + ty(cid:107)p,t ∈ (0, 1] là liên tục khả vi với đạo hàm φ (cid:48)(t) = p (cid:10)Jp(x + ty), y(cid:11). Theo công thức Newton-Leibnitz và (2.18) ta được

(cid:107)x + y(cid:107)p − (cid:107)x(cid:107)p − p (cid:10)Jpx, y(cid:11)

1 (cid:82)

= φ (1) = φ (0) − φ (cid:48)(0)

0 1 (cid:82)

= p (cid:10)Jp(x + ty) − Jpx, y(cid:11)dt

≤ p (cid:13)Jp(x + ty) − Jpx(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:107)y(cid:107) dt

1 (cid:82)

(cid:18) (cid:19) dt ≤ p (cid:107)y(cid:107) ((cid:107)x + ty(cid:107) ∨ (cid:107)x(cid:107))p−1 ¯ϕp

1 (cid:82)

(cid:18) (cid:19) dt. ≤ p ϕp ((cid:107)x + ty(cid:107) ∨ (cid:107)x(cid:107))p t t (cid:107)y(cid:107) (cid:107)x + ty(cid:107) ∨ (cid:107)x(cid:107) t (cid:107)y(cid:107) (cid:107)x + ty(cid:107) ∨ (cid:107)x(cid:107)

Do đó ta được (2.19).

(iii) ⇒ (iv). Hiển nhiên.

(iv) ⇒ (i). Với mỗi x ∈ S(X) và (cid:107)y(cid:107) ≤ τ, đẳng thức (2.20) cho ta

(cid:107)x + y(cid:107)p ≤ (cid:107)x(cid:107)p + p (cid:10)Jpx, y(cid:11) + σp(x, y) = 1 + σp(x, y) + p (cid:10)Jpx, y(cid:11)

và

(cid:107)x − y(cid:107)p ≤ (cid:107)x(cid:107)p − p (cid:10)Jpx, y(cid:11) + σp(x, y) = 1 + σp(x, −y) − p (cid:10)Jpx, y(cid:11) .

Cho α = 1 + max{σp(x, y), σp(x, −y)}. Ta được

(cid:107)x + y(cid:107) + (cid:107)x − y(cid:107) ≤ (α + p (cid:10)Jpx, y(cid:11))1/p + (α − p (cid:10)Jpx, y(cid:11))1/p

= α 1/p[(1 + (cid:10)Jpx, y(cid:11))1/p + (1 − (cid:10)Jpx, y(cid:11))1/p]. p α

(cid:10)Jpx, y(cid:11)(cid:12) p α (cid:12) ≤ [1 + max{σp(x, y), σp(x, −y)}]−1, pτ → 0 khi τ → 0, khi

Từ (cid:12) p (cid:12) α τ đủ nhỏ ta có

1/p n

(cid:16) (cid:10)Jpx, y(cid:11)(cid:1)n (1 + p α (cid:17)(cid:0) p α

1/p n

∞ ∑ n=0 ∞ ∑ n=0

(cid:16) (cid:17)(cid:0)− p (cid:10)Jpx, y(cid:11))1/p = (cid:10)Jpx, y(cid:11))1/p = (cid:10)Jpx, y(cid:11)(cid:1)n, (1 − p α

1/p n

khi (cid:16) (cid:17) = . (1/p) (1/p − 1) ... (1/p − n + 1) n!

Từ kết quả trên, với τ đủ nhỏ ta có

1/p 2n

(cid:35) (cid:18) (cid:107)x + y(cid:107) + (cid:107)x − y(cid:107) ≤ 2α 1/p (cid:10)Jpx, y(cid:11)(cid:17)2n (cid:19)(cid:16) p α (cid:34) ∞ ∑ n=0

≤ 2α 1/p ≤ 2α ≤ 2 (1 + σ (τ)) ,

ở đây

1/p 2n

σ (τ) = sup {σp(x, y), σp(x, −y) : x ∈ S(X), (cid:107)y(cid:107) ≤ τ}, (cid:18) (cid:19) (chú ý rằng ≤ 0 với mỗi n ≥ 1 và α > 1).

Từ định nghĩa của mođun X trơn đều, ta thấy rằng

ρX (τ) ≤ σ (τ), ∀τ > 0.

Từ biểu thức của σp(x, y), cho ta σ (τ)/τ → 0 khi τ → 0. Đặc biệt, ρX (τ)/τ → 0 khi τ → 0, X là trơn đều. Với những điều trên Định lý 2.2 được chứng minh.

Nhận xét 2.1. Từ chứng minh Định lý 2.2, các đẳng thức (2.18)-(2.19) có thể

viết lại như sau

); (2.23) (cid:13)Jpx − Jpy(cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤ ((cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107))p−1ρ X ( (cid:107)x − y(cid:107) (cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107)

(2.24) (cid:107)x + y(cid:107)p ≤ (cid:107)x(cid:107)p + p (cid:10)Jpx, y(cid:11) + σX (x, y),

1 (cid:90)

với

q }, Kq được định nghĩa trong (2.15) và với c

)dt, σp(x, y) = pL ρx( ((cid:107)x + ty(cid:107) ∨ (cid:107)x(cid:107))p−1 t t (cid:107)y(cid:107) (cid:107)x + ty(cid:107) ∨ (cid:107)x(cid:107)

ở đây hằng số L = max{8, 64cK−1 được định nghĩa bởi

∞

√

j=1

c = . (1 + (2.25) 15τ0 4 × 2 j ), τ0 = 339 − 18 30 4τ0 ρH (τ0)

Nhận xét 2.2. Đẳng thức (2.23) và (2.24) nói rằng khi X là mođun trơn đều bậc s (s>1) có tồn tại một hằng số thực L1 sao cho

(2.26) (cid:13)Jpx − Jpy(cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤ L1(cid:107)x − y(cid:107)s−1;

(2.27)

(cid:107)x + y(cid:107)s ≤ (cid:107)x(cid:107)s + s (cid:10)Jpx, y(cid:11) + L1(cid:107)y(cid:107)s. Mặt khác, từ (iv) ⇒ (i) trong Định lý 2.2, ta được L1ρX (τ) ≤ (1/2τ s) nên (2.27) là đúng.

Do đó, ta thấy các kết quả sau là tương đương:

(i) X là mođun trơn đều mũ s(s>1); (ii) Js là Holder liên tục với thứ tự liên tục s − 1; (iii) Đẳng thức (2.27) luôn đúng với mọi x, y ∈ X.

Wp(t) = sup{(cid:13) Nhận xét 2.3. Nhớ lại rằng mođun liên tục của Jp được định nghĩa bởi (cid:13)Jpx − Jpy(cid:13) (cid:13) : (cid:107)x − y(cid:107) ≤ t}, ∀t > 0

Khi đó, từ (2.24) ta có

(a) Ws(t) ≤ L1ts−1, khi X là mođun trơn bậc mũ s(s>1).

Nói chung, từ (2.16) và bằng lý luận tương tự như (2.20) trong định lý 2, ta có

(b) W2(t) ≤ L(t)ρ X (t), trong đó L(t) = L max{2t, c} là khoảng bị chặn của

R1. Như "nhận xét 2.2" và tính chất (J2) của ánh xạ, nói rằng không gian Banach

trơn đều (tương ứng, có mođun trơn có bậc s(s>1)), nếu và chỉ nếu ánh xạ J là liên tục đều trên mọi giới hạn của X (tương ứng Js là Holder liên tục). Mặc dù, Định lý 2.2 không chỉ làm rõ mối quan hệ định lượng giữa không gian trơn X và ánh xạ Jp, mà còn cung cấp một cách trực tiếp và mang tính xây dựng chứng minh cho tính chất (J2) của ánh xạ. Đặc biệt, Nhận xét 2.2 (i)-(ii) củng cố lại

tính chất (J2).