BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TPHCM
NGUYỄN QUỐC HUY
ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƢỜNG SỐ P-ADIC
Chuyên ngành: Đại số
Mã số: 01.01.03
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : PGS.TS. MỴ VINH QUANG
TP Hồ Chí Minh - 2003
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành tỏ lòng tôn kính và biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS.TS. Mỵ Vinh
Quang, thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện
luận văn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy PGS.TS. Bùi Tường Trí, PGS.TS. Bùi
Xuân Hải, TS. Trần Huyên và TS. Nguyễn Viết Đông, quý thầy đã trực tiếp trang bị cho tôi
kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu, cũng như dành nhiều thời gian quý
báu đọc và góp ý cho luận văn.
Tôi vô cùng cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý thầy cô trong Khoa Toán Trường Đại Học
Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, quý thầy cô phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư
Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và UBND Tỉnh Cà Mau, quý thầy cô Trường CĐSP Cà Mau
đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập và hoàn thành luận văn.
Tôi rất biết ơn gia đình, quý đồng nghiệp và bạn bè gần xa đã giúp đỡ và hỗ trợ tinh
thần cũng như vật chất cho tôi trong thời gian qua.
TP Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2003.
Nguyễn Quốc Huy
MỤC LỤC
BẢNG KÝ HIỆU ....................................................................................................................... 1
LỜI NÓI ĐẦU ........................................................................................................................... 2
CHƢƠNG 1: XÂY DỰNG TRƢỜNG SỐ P - ADIC ........................................................... 3
1.1. Các khái niệm cơ bản. ................................................................................................. 3
1.2. Xây dựng trƣờng số p-adic. ........................................................................................ 6
1.3. Biểu diễn p-adic của số α trong Qp. ............................................................................ 9
1.4. Bổ đề Hensel. ............................................................................................................ 11
1.5. Tính chất tô pô của Qp. ............................................................................................. 16
CHƢƠNG 2: PHÂN PHỐI P-ADIC.................................................................................... 25
2.1. Hàm hằng địa phƣơng. .............................................................................................. 25
2.2. Phân phối p-adic. ...................................................................................................... 27
2.3. Một số phân phối p-adic thƣờng dùng. ..................................................................... 31
2.4. Phân phối Bernoulli. ................................................................................................. 34
CHƢƠNG 3: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƢỜNG SỐ P-ADIC ............................ 39
3.1. Khái niệm về độ đo và tích phân trong Qp. ............................................................... 39
3.2. Mở rộng khái niệm tích phân. ................................................................................... 47
3.3. Độ đo và tích phân Bernoulli. ................................................................................... 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... 61
1
BẢNG KÝ HIỆU
: Tập các số tự nhiên. N
: Tập các số nguyên. Z
: Tập các số hữu tỷ. Q
: Tập các số thực. R
: Tập các số nguyên p-adic. Zp
: Tập các phần tử khả nghịch trong Zp.
: Giá trị tuyệt đối thông thƣờng. | |
: Trƣờng số p-adic. Qp
: Giá trị tuyệt đối p-adic. | |p
: số mũ của p trong sự phân tích a thành thừa số nguyên tố. ordp a
B(a,r) : Hình cầu mở tâm a bán kính r trong Qp.
B[a,r] : Hình cầu đóng tâm a bán kính r trong Qp.
D(a,r) : Mặt cầu tâm a bán kính r trong Qp.
a + (pN ) : Khoảng trong Qp.
: Số Bernoulli thứ k . Bk
: Đa thức Bernoulli thứ k . Bk (x)
: Phần nguyên của x. [x]
: Hàm đặc trƣng của tập A.
: Phân phối Haar. Haar
: Phân phối Dirac.
: Phần Phối Mazur. Mazar
: Phân phối Bernoulli thứ k . B, k
: Độ đo Bernoulli. k, α
: Một điểm tùy ý thuộc khoảng a + (pN). xa,N
: Tổng Riemann của hàm f. SN,{xa,N}(f)
: Tích phân của hàm, f ứng với độ đo μ. ∫
2
LỜI NÓI ĐẦU
Nhờ định lý Oxtropxki ta biết rằng trên trƣờng các số hữu tỷ Q chỉ có hai loại chuẩn,
đó là giá trị tuyệt đối thông thƣờng | | và chuẩn phi Archimede | |P . Làm đầy đủ trƣờng số hữu
tỷ Q theo chuẩn | | ta đƣợc trƣờng các số thực R và làm đầy đủ Q theo chuẩn | |P ta đƣợc
trƣờng các số p-adic Qp. Bộ môn toán học nghiên cứu các hàm với biến số là số p-adic gọi là
giải tích p-adic. Mục tiêu chính của luận văn là xây dựng độ đo và tích phân trên trƣờng số
Qp . Luận văn gồm 3 chƣơng.
Chƣơng 1: XÂY DƢNG TRƢỜNG SỐ P-ADIC Qp
Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày cách xây dựng trƣờng số p-adic và một số tính
chất tô pô của nó. Cách xây dựng trƣờng số p-adic đã đƣợc nhiều tác giả trình bày bằng nhiều
phƣơng pháp khác nhau. Ở đây chúng tôi trình bày cách xây dựng trƣờng số p-adic Qp bằng
phƣơng pháp giải tích của NEAL KOBLITZ. Vì theo chúng tôi đây là cách xây dựng Qp một
cách "tự nhiên" nhất. Sau khi xây dựng trƣờng Qp chúng tôi đƣa ra một số tính chất tô pô cơ
bản nhất của Qp nhằm phục vụ cho chƣơng 2. Các kết quả trình bày trong phần này hầu hết
không chứng minh, ở đây chúng tôi chỉ chứng minh một số kết quả cơ bản, quan trọng có liên
quan đến các chƣơng chính của luận văn đó là chƣơng 2 và 3.
Chƣơng 2: PHÂN PHỐI P-ADIC
Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản nhƣ: Định nghĩa hàm
hằng địa phƣơng, phân phối p-adic, số Bernoulli và đa thức Bernoulli. Từ đó chúng tôi chứng
minh đƣợc một số kết quả quan trọng làm cơ sở cho chƣơng 3.
Chƣơng 3: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƢỜNG SỐ P-ADIC
Trong chƣơng này, trƣớc tiên chúng tôi trình bày khái niệm độ đo, từ đó chúng tôi
định nghĩa tổng Riemann và định nghĩa tích phân p-adic cho hàm liên tục ứng với độ đo bất
kỳ. Trên cơ sở đó, chúng tôi mở rộng tích phân cho một lớp các phân phối rộng hơn độ đo.
Vì thời gian có hạn, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong
quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp vui lòng chỉ bảo và lƣợng thứ.
3
CHƢƠNG 1: XÂY DỰNG TRƢỜNG SỐ P - ADIC
Trong phần này chúng tôi trình bày cách xây dựng trƣờng số p-adic và một số tính
chất tô pô của nó. Cách xây dựng trƣờng số p-adic đã đƣợc nhiều tác giả trình bày bằng nhiều
phƣơng pháp khác nhau. Ở đây chúng tôi trình bày cách xây dựng trƣờng số p-adic Qp bằng
phƣơng pháp giải tích của N.KOBLITZ. Vì theo chúng tôi đây là cách xây dựng Qp một cách
"tự nhiên" nhất. Sau khi xây dựng trƣờng Qp chúng tôi đƣa ra một số tính chất tô pô cơ bản
nhất của Qp. Các kết quả trình bày trong phần này hầu hết không chứng minh, ở đây chúng
tôi chỉ chứng minh một số kết quả cơ bản, quan trọng có liên quan đến chƣơng chính của luận
văn đó là chƣơng 2 và 3.
1.1. Các khái niệm cơ bản.
1.1.1. Định nghĩa.
Cho K là một trường. Giá trị tuyệt đối trên K là một ánh xạ (kí hiệu là | | ) từ tập K
vào tập các số thực không âm thỏa mãn các điều kiện sau:
Từ định nghĩa ta thấy |1| = |-1| = 1.
1.1.2. Ví dụ về giá trị tuyệt đối trên trƣờng.
Ví dụ 1. Trƣờng các số hữu tỷ Q với giá trị tuyệt đối thông thƣờng thỏa mãn các điều
kiện của định nghĩa.
Ví dụ 2. Cho K là một trƣờng tùy ý. Anh xạ
là một giá trị tuyệt đối trên trƣờng K và đƣợc gọi là giá trị tuyệt đối tầm thƣờng.
1.1.3. Chú ý.
Giả sử | | là một giá trị tuyệt đối trên trƣờng K. Ta có thể chứng minh hàm d từ K x K
vào tập các số thực không âm xác định bởi d(x,y) = |x - y| là một mêtric trên trƣờng K và
đƣợc gọi là mêtric tƣơng ứng với giá trị tuyệt đối | |. Tô pô sinh bởi mêtric tƣơng ứng đƣợc
gọi là tô pô tƣơng ứng của giá trị tuyệt đối.
4
1.1.4. Định nghĩa.
Hai giá trị tuyệt đối | |1 và | |2 trên trƣờng K đƣợc gọi là tƣơng đƣơng nếu tô pô tƣơng
ứng của chúng là nhƣ nhau. Kí hiệu | |1 ~ | |2 .
1.1.5. Định lý.
Giả sử | |1, | |2 là hai giá trị tuyệt đối trên trƣờng K, các mệnh đề sau là tƣơng đƣơng:
với mọi với mọi x K
với mọi x K.
với mọi với mọi x K.
3. Tồn tại hằng số dƣơng C > 0 sao cho |x|1 = | |
4. (xn) là dãy Cauchy đối với | |1 ⟺ (xn) là dãy Cauchy đối với | |2
5. | |1 ~ | |2
Chứng minh.
1) ⇒ 2)
Với mọi x K, giả sử |x|1 ≤ 1 ta cần chứng minh |x|2 ≤ 1.
Giả sử ngƣợc lại, tức là |x|2 > 1. Ta có
suy ra
Điều này vô lý vì |x|1 ≤ 1 .Vậy |x|2 ≤ 1.
2) ⇒ 1) Chứng minh tƣơng tự nhƣ trên.
1) ⇒3)
• Nếu chuẩn | |1 tầm thƣờng thì chuẩn | |2 cũng tầm thƣờng.
Thật vậy, với mọi x K, x ≠ 0 ta giả sử |x|1 = 1. Nếu |x|2 ≠ 1 thì ta xét hai trƣờng hợp
sau
|x|2 < 1 ⇒ |x|1 < 1 (vô lý)
|2 < 1⇒ | |1 <1 (vô lý) 1 |x|2 > 1⇒ | x 1 x
Do đó |x|2 = 1 hay chuẩn | |2 là tầm thƣờng. Vậy | |1 ≡ | |2
5
• Nếu chuẩn | |1 không tầm thƣờng thì tồn tại x0 K sao cho |x0|1 > 1, do đó |x0|1 > 1.
Đặt |x0|1 = a và |x0|2 = b.
Khi đó, với mọi x K ta viết |x|1=aα, a = logα |x|1. Ta chứng minh |x|2 = bα .
Thật vậy, xét > α ta có m n
do đó
.
suy ra |x|2 <
Khi → α ta có |x|2 ≤ b α . Tƣơng tự nếu lấy α > . Ta có |x|2 ≥ b α. m n m n
Vậy |x|2 = bα. Do đó
3) ⇒ 4)
Giả sử {xn} là dãy Cauchy đối với chuẩn | |1 , nghĩa là
|xn - xm |1 → 0 khi m,n → ∞
hay
Do đó
|xn - xm |2 → 0 khi m,n → ∞
Vậy {xn} là dãy Cauchy đối với chuẩn | |2.
4) ⇒1)
Giả sử |x|1 < 1 ta cần chứng minh |x|2 < 1. Từ giả thiết |x|1 < 1 suy ra xn → 0 đối với chuẩn | |1. Do đó {xn} là dãy Cauchy đối với | |1 hay là dãy Cauchy đối với | |2. Điều này có nghĩa là xn+1 - xn → 0 đối với chuẩn | |2 hay xn
(x - 1) → 0 đối với chuẩn | |2.
Do đó |xn|2 |1-x|2 → 0. Mà |1 - x|2 ≠ 0 suy ra |xn|2 → 0 hay |x|2 <1
3) ⇒ 5)
Giả sử A , với mọi x A thì tồn tại Bx (x,r) ⊂ A. Lấy
6
Điều này có nghĩa là tồn tại
5) ⇒ 1)
Giả sử |x|1 < 1 suy ra |xn|1 → 0. Do | |1 ~ | |2 nên |xn|2 → 0. Vậy |x|2 < 1. □ 1.1.6. Định nghĩa.
Nếu giá trị tuyệt đối | | trên trường K thỏa mãn điều kiện mạnh hơn GT3 là GT3: |x +
y| ≤ max {|x|, |y|} thì nó được gọi là giá trị tuyệt đối phi Archimede.
1.1.7. Ví dụ về giá trị tuyệt đối phi Archimede.
Ví dụ 1. Giá trị tuyệt đối tầm thƣờng trên trƣờng K là phi Archimede.
Ví dụ 2. Nếu K là trƣờng hữu hạn thì mọi giá trị tuyệt đối trên K đều tầm thƣờng, vì
vậy nó là giá trị tuyệt đối phi Archimede.
1.1.8. Mệnh đề ( nguyên lý tam giác cân ).
Cho | | là một giá trị tuyệt đối trên trƣờng K. Nếu |x| ≠ |y| thì
|x + y| = max {|x|,|y|}
1.1.9. Mệnh đề.
Cho | |là giá trị tuyệt đối phi Archimede trên trường K.
Nếu dãy {xn}→ x ≠ 0 thì tồn tại n0 N : ∀ n > n0 ⇒ |xn| = |x|. Một dãy hội tụ thì dãy
các giá trị tuyệt đối tương ứng là dãy dừng.
1.1.10. Định lý.
Cho | | là một giá trị tuyệt đối trên trƣờng K, các mệnh đề sau là tƣơng đƣơng:
1. | | là giá trị tuyệt đối phi Archimede.
2. |2| ≤ 1.
3. |n| ≤ 1, ∀ n N.
1.2. Xây dựng trƣờng số p-adic.
1.2.1. Định nghĩa.
Giả sử p là một số nguyên tố nào đó. Với mỗi a Z, a ≠ 0 ta gọi ordpa là số mũ của p
trong sự phân tích a thành các thừa số nguyên tố.
7
Nếu a = 0 thì ta quy ước ordpa = ∞.
1.2.2. Định nghĩa.
Giả sử p là một số nguyên tố nào đó. Với mỗi x Q, ta giả sử x = trong đó a, b a b
Z, (a, b) = 1. Ta định nghĩa ordpx = ordpa - ordpb.
1.2.3. Mệnh đề.
Trên trường Q nếu ta định nghĩa ánh xạ | |P như sau
thì | |P là một giá trị tuyệt đối phi Archimede.
1.2.4. Định lý (Oxtropxki).
Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường || || trên trường Q đều tương đương với | |P
với p là một số nguyên tố nào đó hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường trên Q.
Chứng minh.
1. Nếu ||2|| > 1 thì || || là chuẩn Archimede. Lấy n N, giả sử n = a0 +aa2 + ... +as2s, trong đó
Ta có
≤ 2sα.C ( Vì tổng trong dấu ngoặc hội tụ)
≤ nα. C
Suy ra
Cho k → ∞ ta đƣợc ||n|| ≤ nα. Mặt khác, do 2S ≤ n < 2S+1 nên ta có
Suy sa
hay
8
Suy ra
Cho k → ∞ ta đƣợc ||n|| ≥ nα . Vậy ||n|| = nα với mọi n Do đó ||x|| = |x|α với mọi x Q.
2. Nếu ||2|| ≤ 1 thì || || là chuẩn phi Archimede.
Từ giả thiết ||2|| ≤ 1 ta có ||n|| ≤ 1 với mọi n N. Do || || là chuẩn không tầm thƣờng
nên tồn tại n N sao cho ||n|| < 1. Gọi p là số tự nhiên bé nhất thỏa ||p|| < 1. Khi đó p là số
nguyên tố. Gọi q là số nguyên tố khác p. Ta chứng minh ||p|| = 1.
Giả sử ||p|| < 1 vì (qk,pk) = 1 nên tồn tại m,n Z sao cho mpk + nqk = 1.
αk. Ta có
α1...pk
Ta có
Cho k → ∞ ta đƣợc 1≤ 0 , điều này vô lý. Vậy ||q|| = 1. Lấy n N, giả sử x = pα p1
1.2.5. Xây dựng trƣờng số số p-adic Qp.
Từ định lý Oxtropxki ta thấy giá trị tuyệt đối không tầm thƣờng trên Q là giá trị tuyệt
đối thông thƣờng | |, hoặc là giá trị tuyệt đối phi Archimede | |p. Mặt khác, ta biết rằng làm
đầy đủ Q theo | | ta đƣợc trƣờng số thực R. Vậy làm đầy đủ Q theo | |p ta sẽ đƣợc trƣờng
mới mà ta gọi là trƣờng các số p-adic Qp .
Cụ thể cách xây dựng nhƣ sau:
Kí hiệu S là tập tất cả các dãy Cauchy hữu tỷ theo | | . Trên S ta xác định một quan hệ
tƣơng đƣơng nhƣ sau
Ta gọi Qp là tập hợp tất cả các lớp tƣơng đƣơng theo quan hệ trên và ta trang bị cho
Qp hai phép toán cộng và nhân nhƣ sau:
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ } Phép cộng: { ̅̅̅} { ̅̅̅} {
9
̅̅̅̅̅̅̅ }
Phép nhân: { ̅̅̅} { ̅̅̅} { Khi đó, ta có thể chứng minh (Qp, + ,.) là một trƣờng, trƣờng này gọi là trƣờng số p-
adic Qp. Trƣờng Q có thể xem là trƣờng con của Qp nhờ ánh xạ
i : Q → Qp , a { ̅}
Giá trị tuyệt đối trên Qp xác định nhƣ sau
1.2.6. Định nghĩa đổng dƣ trong Q . Với a, b Qp ta nói a = b (mod pN) nếu |a-b|p < p-N. Từ định nghĩa ta có nhận xét: Nếu a, b Z thì định nghĩa đồng dƣ trong Qp sẽ trùng
với định nghĩa đồng dƣ thông thƣờng trên tập hợp số nguyên Z.
1.2.7. Vành các số nguyên p-adic.
Tập hợp Zp = {a Qp / |a|p ≤ 1} cùng với phép toán cộng và nhân trong Qp lập thành
một vành. Vành này được gọi là vành các số nguyên p-adic.
Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành Zp là
1.3. Biểu diễn p-adic của số α trong Qp.
Ta biết rằng nếu α Qp thì ta có thể viết α = { ̅ } với {ai} là dãy Cauchy nào đó trong
Q. Tuy nhiên nếu| α |p ≤ 1 thì ta có thể chọn {ai} thỏa mãn định lý sau đây.
1.3.1. Định lý.
Với mỗi dãy α Qp mà | α |p ≤ 1 có duy nhất một đại diện là dãy Cauchy các số tự
nhiên {ai} thỏa mãn:
1. 0 ≤ ai < pi, ∀i=1,2,... 2. ai ≡ ai+1 (mod pi). 1.3.2. Bổ đề. Nếu α = { ̅ } Qp thì = α
10
Chứng minh.
Ta có
do đó
Do {ai} là dãy Cauchy trong Q nên với mọi > 0 tốn tại N sao cho với moi i, i'>
N ta có |ai - ai'| < ε.
Suy ra
Chọn n > N, khi đó với mọi i > N sao cho |ai- an|p < ε
Do đó
(khi i đủ lớn)
Vậy
1.3.3. Biểu diễn p-adic của số a trong Qp .
i) Với các {ai} thỏa mãn các điều kiện trong định lý 1.3.1, ta có thể viết
ai=b0+b1p + ... + bi- 1 pi-1 đó 0 ≤ bi ≤ p - 1 với i=1,2,3,... Khi đó với mỗi α Zp ta có
Theo bổ đề 1.3.2 ta có thể viết a dƣới dạng
Công thức này đƣợc gọi là biểu diễn p-adic của a trong Zp. ii) Nếu α Qp không thỏa mãn điều kiện thì |α|p ≤ 1 thì ta sẽ nhân α với một số pm thích hợp sao cho số α’ = α pm thỏa mãn | α’| ≤ 1. Sau đó theo định lý 1.3.1 chúng ta chọn
đƣợc một dãy {bi} sao cho
Bằng cách đánh lại chỉ số cho thích hợp ta có biểu diễn của α có dạng
11
Công thức này gọi là công thức biểu diễn p-adic của α trong Qp.
1.4. Bổ đề Hensel.
Nhƣ chúng ta đã biết các phép toán số học nhƣ: cộng, trừ, nhân và chia trong Qp đƣợc
thực hiện một cách khá dễ (xem [6]). Tuy nhiên, việc khai căn của một số nguyên và việc tìm
nghiệm của một phƣơng trình nào đó trong Qp nói chung là vấn đề không phải lúc nào chúng
ta cũng thực hiện đƣợc. Bổ đề Hensel và bổ đề Hensel mở rộng đƣợc trình bày dƣới đây sẽ
giúp chúng ta giải quyết một phần nào về vấn đề trên.
1.4.1.Bổ đề Hensel. Cho F(x) = c0 +C1x + ... + cnxn Zp có đạo hàm F'(x) = c1+2c2x + ... + ncnxn-1] Zp. Giả sử a0 Zp thỏa F(a0) = 0(mod p) và F'(a0) (mod p). Khi đó, tồn tại duy nhất a
Zp sao cho F(a) = 0 và a ≡ a0 (mod p).
1.4.2. Bổ đề. Nếu x Q và |x|p ≤ 1 thì với mọi i N, tồn tại α Z sao cho |α - x|p ≤ p-i. Hơn nữa, số
α có thể chọn trong tập {0, 1, 2,..., pi - 1}.
Chứng minh.
Giả sử x = Q, (a,b) =1. Do |x|p ≤ 1 nên (b,p) =1 từ đó ta thấy b và pi là hai số a b
nguyên tố cùng nhau, do đó tồn tai m,n Z sao cho mb +npi =1
Đặt α = am Z, khi đó:
Hơn nữa, số a có thể chọn trong tập {0, 1, 2,..., pi - 1}. Thật vậy, ta viết α dƣới dạng α
= piq + r trong đó 0 ≤ 1 ≤ pi -1.
Do đó
Vậy ta có thể tìm đƣợc r {0,1,2,..., pi-1} sao cho | α - x|p ≤ pi 1.4.3. Bổ đề Hensel mở rộng.
Cho F(x) là đa thức với hệ số trong ZP, nếu có a0 trong ZP thỏa
12
thì tồn tại duy nhất một số nguyên p-adic a sao cho F(a) = 0 và
Chứng minh.
Trƣớc hết ta cần xây dựng dãy số nguyên a1, a2,..., an thỏa
Ta xây dựng bằng quy nạp theo n.
• Với n = 1 Ta chọn ̃ {0,1,..., pm+1 -1 } sao cho ̃ ≡ a0 (mod pm+1) khi đó ̃ thỏa (1),(2) và (3), tức là :
Đặt a1 = ̃ +b1pm+1, trong đó b1 {0,1,..., p-1}. Khi đó: * a1 thỏa (1)
Do đó
a1 ≡ a0 (mod pm+1)
* a1 thỏa (2) Hiển nhiên a1 ≥ 0 và a1 < pm+2 vì nếu a1 ≥ pm+2 thì ̃ +b1pm+1 ≥ pm+2 hay ̃ ≥ pm+2 - (p - 1) pm+1 = pm+1 > pm+1 - 1
Điều này trái với giả thiết về cách trọn ̃ * a1 thỏa (3)
Ta có
13
Từ giả thiết
suy ra
theo bổ đề 1.4.2 thì tồn tại α {0,1 ,...,p-1} sao cho
do đó
Mặt khác, từ giả thiết
bằng cách lý luận tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có
suy ra
Vậy
Ta chọn
sao cho
Từ giả thiết
suy ra
do đó
14
theo bổ đề 1.4.2 thì tồn tại duy nhất b1 {0, 1,..., p-1} sao cho
từ đó ta có đồng dƣ thức sau
Vậy
• Giả sử ta đã chọn đƣợc a1 a2,..., an-1 thỏa các điều kiện (1), (2) và (3). Ta cần tìm an
thỏa các điều kiện trên.
Đặt an = an-1 + bnpm+n, với cách đặt nhƣ vậy ta thấy an thỏa (1) và (2) ta cần chứng
minh an thỏa (3). Tức là F(an) ≡ 0 (mod p2m+n+1). Từ cách đặt an, ta có
Ta có
an-1 ≡ a0 (mod pm+1)
nên
Mặt khác, vì ,suy ra
Theo giả thiết quy nạp, ta có
Bằng cách lý luận tƣơng tự nhƣ phần chứng minh trong trƣờng hợp n = 1. thì tồn tại
duy nhất α’ {0,1..., p-1} sao cho
15
Mặt khác, từ
Áp dụng bổ đề 1 .4.2, tồn tại duy nhất β {0,1,..., p-1}sao cho
hay
Từ giả thiết
suy ra
Áp dụng bổ đề 1.4.2 thì tồn tại duy nhất bn {0, 1,..., p-1} thỏa
hay
Vậy
Từ đó bằng cách chọn
Khi đó, a là duy nhất vì ̃ và bi ,i =1,2... đƣợc chọn là duy nhất và , với mọi n
suy ra
,với mọi n
do đó
Vậy F (an) = 0. Từ cách chọn a ta có a ≡ ̃ ≡ a0 (mod pm+1). Ta thấy rằng với m = 0 thì cách chứng minh bổ đề Hensel mở rộng trùng với cách
chứng minh bổ đề Hensel.
16
1.4.4. Ứng dụng của bổ đề Hensel.
Áp dụng bổ đề Hensel mở rộng ta có thể tìm √ trong Q2 . Xét đa thức F(x) = x2+7, F'(x) = 2x và p = 2.
Chọn a0 =1 Z2 và m =1.
Ta có
Chọn ̃ {0,1,..., 22 -1 } sao cho ̃ ≡ 1 (mod 22). Ta thấy ̃ =1 Đặt a1 = ̃ + b1pm+1 = 1 + b122. Ta có b1 {0,1} sao cho
hay
từ đó ta tìm đƣợc b1 = 1 thỏa điều kiện trên. Đặt a2 = a1 + b2 23. Chọn b2 {0,1} sao cho F(a2) ≡ 0 (mod 25), từ đó ta tìm đƣợc b2 = 0 thỏa mãn điều kiện trên. Đặt a3 = a2 +b324. Chọn b3 {0,1} sao cho F (a3) ≡ 0 (mod 26). Phƣơng trình có
nghiệm b3 =1.
Quá trình cứ tiếp tục nhƣ vậy ta tìm đƣợc nghiệm của phƣơng trình F(x) = 0 là a = l + 1.22+0.23+1.24+ ...
Vậy giá trị của √ trong Q2 chính là a.
Nghĩa là,
√ = l + 1.22+0.23+1.24+ ...
1.5. Tính chất tô pô của Qp.
Vì tô pô trong Qp là tô pô cảm sinh bởi chuẩn phi Archimede nên nó có nhiều tính
chất khác lạ so với tô pô thông thƣờng. Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất
tô pô cơ bản của Qp nhằm mục đích phục vụ cho chƣơng 2 và chƣơng 3. Các mệnh đề, bổ đề
cơ bản đƣợc chứng minh chi tiết để thấy đƣợc các tính chất khác lạ nhƣ: mọi hình cầu, mặt
cầu trong Qp đều có vô số tâm, mọi hình cầu đều có vô số bán kính...
17
1.5.1. Định nghĩa hình cầu, mặt cầu trong Qp .
• Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập hợp
• Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập hợp
• Mặt cầu tâm a bán kính r là tập hợp
p là mặt cầu tâm
Từ định nghĩa ta thấy Zp là hình cầu mở tâm 0 bán kính bằng 1 và Z*
0 bán kính bằng 1.
1.5.2. Mệnh đề.
1. Mọi hình cầu, mặt cầu trong Qp đều là những tập vừa mở, vừa đóng.
2. Hai hình cầu bất kỳ trong Qp hoặc lồng nhau hoặc rời nhau.
3. Mọi hình cầu, mặt cầu trong Qp đều có vô số tâm. Mọi hình cầu đều có vô số bán
kính.
4. Qp chỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu.
Chứng minh. 1. Giả sử a Qp , r R+ xét hình cầu mở:
Hiển nhiên B(a,r) là tập mở. Ta cần chứng minh B(a,r) là tập đóng nghĩa là B(a,r)\Qp
là tập mở. Thật vậy, lấy bất kỳ b B (a,r) \ Qp điều này có nghĩa là |b - a|p ≥ r . Khi đó, luôn
tồn tại hình cầu mở S (b,r) nằm hoàn toàn trong B(a,r)\Qp vì với mọi y S(b,r) suy ra |y - b|p
< b.
Mặt khác
Theo nguyên lý tam giác cân, ta phải có
do đó
suy ra
Vậy B(a,r)\Qp là tập mở.
18
Tƣơng tự, ta cũng có
là những tập vừa mở vừa đóng.
ta chứng 2. Xét hai hình cầu mở B1 (a,r) và B2 (b,s). Giả sử
minh chúng phải lồng nhau.
Thật vậy, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử r < s. Sau đây chúng ta sẽ chứng
minh
Từ giả thiết
suy ra tồn tại
hay
Bây giờ với mọi
Do đó
suy ra
y B2 (b,s).
Vậy
B1 (a,r) ⊂ B2(b,s).
Ngƣợc lại, nếu s ≤ r thì bằng cách chứng minh tƣơng tự nhƣ trên, ta cũng có
B1 (a,r) ⊂ B2(b,s).
Đối với hình cầu đóng, chứng minh hoàn toàn tƣơng tự.
3. Mọi hình cầu, mặt cầu trong Qp đều có vô số tâm. Mọi hình cầu đều có vô số bán
kính.
• Chứng minh mọi hình cầu, mặt cầu đều có vô số Tâm. Bây giờ với a Qp, r R+ ta xét một điểm b bất kỳ b ≠ a trong hình cầu mở
19
Ta có
|b - a|p < r (do cách chọn b).
Hơn thế nữa, ta còn có
B(a,r) = B(b,r) vì
Nếu x B (a,r) thì |x - a|p < r. Khi đó,
Do đó
Ngƣợc lại, chứng minh tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có
Vậy
với mọi b B (a,r).
Nói cách khác B(b,r) có vô số tâm.
Bằng cách chứng minh tƣơng tự ta cũng có B[a,r] và D(a,r) có vô số tâm.
• Chứng minh mọi hình cầu đều có vô số bán kính.
Trƣớc hết, ta xét hình cầu mở B(a,r). Nhƣ ta đã biết hàm chuẩn | |p chỉ nhận các giá
trị trong tập {pn /n Z} ∪{0} nên tồn tại n Z sao cho
pn < r ≤ pm+1.
Ta chứng minh
B(a,s) = B( a,pn+1) với mọi s thỏa pn < s ≤ pn+1
Thật vậy, với mọi
x B (a,r) ta có |x - a|p < s ≤ pn+1
do đó
x B(a, pn+1).
Ngƣợc lại, với mọi
suy ra
hay
Vậy
20
Nhƣ vậy, với bất kỳ hình cầu B(a,r) với r thỏa pn < r ≤ pn+1 ta đều có
Do đó
B(a,r) = B( a,s) với mọi s thỏa pn < s ≤ pn+1.
Điều này có nghĩa là mọi hình cầu mở B(a,r) có vô số bán kính. Đối với hình cầu đóng B[a,r] luôn tồn tại n sao cho pn ≤ r < pn+1. Ta sẽ chứng minh
B[a,s] =B [a,pn] với mọi s thỏa pn ≤ s < pn+1.
Thật vậy, với mọi
x B [a,s] ta có |x - a|p ≤ s mà pn ≤ s < pn+1.
nên
|x - a|p ≤ pn
Vậy
x B [a,pn]
Ngƣợc lại, với mọi
suy ra
y B [a,s].
Do đó
B[a,s] = B[a,pn].
Với pn ≤ r < pn+1, ta có
B[a,r] = B[a,pn],
nên với mọi s thỏa pn ≤ s < pn+1 thì B[a,r] = B[a,s].
Vậy hình cầu đóng B[a,r] có vô số bán kính.
4. Ta chứng minh Qp chỉ có một số đếm đƣợc các hình cầu và mặt cầu.
Theo (3) ta có mọi điểm trong hình cầu, mặt cầu đều là tâm của nó. Dùng tính chất
này ta sẽ chứng minh Qp chỉ có một số đếm đƣợc các hình cầu và mặt cầu. Thật vậy, lấy bất kỳ a Qp, r R+. Theo (3) tồn tại n Z sao cho B(a,r) = B(a,pn)
Vậy
21
+...(n < m, m Z).
là tập đêm đƣợc. Mặt khác, mọi hình cầu trong Q đều có thể chọn tâm là một số hữu tỷ. Chẳng hạn, đối với hình cầu mở B(a, pn). Do a Qp nên ta giả sử khai triển p-adic của a có dạng a = ampm + am+1pm+1 +...+ anpn
Đặt
suy ra
nên
b B (a,pn)
do đó
B (a,pn) = B (b,pn).
Vậy mọi hình cầu trong Qp đều có dạng B(b,pn) trong đó b Q và n Z, do đó số
hình cầu trong Qp là tập đếm đƣợc.
Tƣơng tự, ta cũng chứng minh đƣợc mọi hình cầu đóng, mặt cầu trong Qp đều là
những tập đếm đƣợc.
Ta đã biết vành số nguyên p-adic Zp chính là hình cầu mở B (0,1) nên Zp là tập mở.
Hơn thế nữa, B (0,1) còn là tập compact. Đó là nội dung của mệnh đề
1.5.3 sau đây.
1.5.3. Mệnh đề.
Hình cầu mở B(0, 1) là tập compact.
Chứng minh.
Để chứng minh mệnh đề ta chỉ cần chứng minh Zp là tập compact.
Giả sử {xn} là một dãy tùy ý trong Zp và
trong đó 0 ≤ ain ≤ p -1, với mọi i = 0,1,2,...
Xét các phần tử a0n (n = 1, 2, 3,..., p-1), ta thấy các phần tử này nhận các giá trị trong
tập hữu hạn {0, 1, 2,..., p-1}.
22
Vậy phải tồn tại b0 {0,1,2,..., p-1} đƣợc nhận giá trị vô hạn lần. Lấy dãy con {x0n}
của dãy {xn} sao cho số hạng đầu tiên trong khai triển p-adic của mỗi phần tử đều bằng b0.
Trong dãy {x0n} các số hạng thứ 2: a1n (n = 0, 1, 2,...,p-1) nhận các giá trị trong tập
hữu hạn {0, 1, 2,..., p-1). Vậy phải tồn tại b1 {0,1,2,..., p-1} đƣợc nhận giá trị vô hạn lần, từ
đó ta lấy dãy con {x1n} của dãy {x0n} sao cho số hạng thứ hai của mỗi phần tử trong dãy con
bằng b1 .
Nhƣ vậy với mỗi m N tồn tại dãy con {xm,n} của dãy {xm-1,n} sao cho số hạng thứ m
của mỗi phần tử bằng bm {0,1,2,..., p-1}. Đặt
b = b0+b1p+b2p2+...+ bmpm+bm+1 pm+1 +...
Xét dãy các đƣờng chéo {xmn} với phần tử x0m có khai triển p-adic mà số hạng thứ
nhất là b0 , số hạng thứ hai là b1,... Phần tử xmn có số hạng thứ nhất là b0,số hạng thứ hai là
b1,..., số hạng thứ m + 1 là bm .Ta có
Do đó {xmn} là một dãy con lấy ra từ dãy {xn) mà {xmn) hội tụ về b.
Vậy Zp là tập compact.
Nhận xét. Chúng ta đã chứng minh đƣợc B(0,1) là tập compact điều này có nghĩa là
Zp là tập compact. Do đó với mọi a Qp thì a +Zp là lân cận compact của a trong Qp vậy Qp
là tập compact địa phƣơng.
1.5.4. Khoảng trong Qp
Khoảng trong Qp là hình cầu đóng tâm a bán kính 1 pN với N Z
Kí hiệu:
Từ mệnh đề 1.5.2 ta thấy khoảng là tập vừa mở vừa đóng, hai khoảng bất kỳ hoặc
lồng nhau hoặc rời nhau và không gian mêtric Qp có một cơ sở gồm các tập mở có dạng
khoảng.
Một khoảng bất kỳ luôn đƣợc phân tích thành hợp hữu hạn của các khoảng con và
mọi tập mỡ compact trong Zp luôn phân tích đƣợc thành hợp rời nhau của các khoảng. Điều
này đƣợc thể hiện trong mệnh đề 1.5.5 sau đây.
1.5.5. Mệnh đề. Cho a + (pN) là khoảng bất kỳ trong Qp. Khi đó,
23
2. Mọi tập mở trong Zp là compact nếu và chỉ nếu nó đƣợc viết dƣới dạng hợp hữu
hạn rời nhau của các khoảng trong Qp .
Chứng minh. 1. Giả sử a + (pN ) là khoảng bất kỳ trong Qp . Với mọi x a+ (pN), x có thể đƣợc viết dƣới dạng x = a + pNq
Ta viết
q = pq1 + b trong đó 0 ≤ b ≤ p -1
suy ra
Ngƣợc lại, với mọi
thì tồn tại
sao cho
Khi đó, X đƣợc viết dƣới dạng
x = a +bpN +qpN+1
hay x = a + (b +qp) pN a +(pN).
2. Với mọi tập mở U trong Zp , giả sử U là tập compact. Do U là tập mở trong Zp nên
U là hợp của các khoảng Ii:U = ∪ Ii . Mặt khác, hai khoảng bất kỳ trong Qp hoặc lồng nhau
hoặc rời nhau nên ta có thể giả sử U = ∪ Ii, trong đó Ii ∩ Ij = ∅ nếu i ≠ j.
Do U là tập compact nên tồn tại J hữu hạn sao cho U =
Ngƣợc lại, giả sử U = trong đó I là tập hữu hạn và Ii ∩ Ij = ∅ nếu i ≠ j. Do ZP
là tập compact và Ii là tập đóng nên Ii là tập compact. Vậy U là tập compact.
24
Tổng quát: Tập mở U trong Qp là compact nếu và chỉ nếu nó đƣợc viết dƣới dạng hợp
hữu hạn rời nhau của các khoảng Ii.
Thật vậy, chiều thuận là hiển nhiên. Ngƣợc lại, giả sử U là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ii và Ii = a + (pN). Do Zp là tập compact nên Ii là lân cận compact của a trong Qp. Vậy U = ∪ Ii là tập compact trong Qp.
Đặc biệt: , với mọi số tự nhiên n.
25
CHƢƠNG 2: PHÂN PHỐI P-ADIC
Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản nhƣ: khái niệm hàm
hằng địa phƣơng, phân phối p-adic, số Bernoulli và đa thức Bernoulli. Từ đó chúng tôi chứng
minh đƣợc một số kết quả quan trọng làm cơ sở cho chƣơng 3.
2.1. Hàm hằng địa phƣơng.
Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm hàm hằng địa phƣơng trên không gian
tô pô bất kỳ. Khái niệm hàm hằng địa phƣơng đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết độ đo
và tích phân trên trƣờng số p-adic.
2.1.1. Định nghĩa.
Cho X và Y là các không gian tôpô. Ánh xạ f: X → Y được gọi là hàm hằng địa
phương nếu với mỗi x X thì tồn tại một lân cận U của x sao cho f(U) là một một điểm của
Y.
Từ định nghĩa hàm hằng địa phƣơng chúng ta rút ra đƣợc nhận xét sau.
2.1.2. Nhận xét.
1. Nếu f là hàm hằng địa phƣơng thì f là hàm số liên tục. Điều này suy ra trực tiếp từ
định nghĩa hàm hằng địa phƣơng.
2. Nếu Y là T1 không gian và f: R → Y là hàm hằng địa phƣơng thì f là hàm hằng trên
R.
Thật vậy, lấy a f(R). Ta chứng minh f-1(a) là tập mở trong R. Lấy x f-1 (a) suy ra f(x) = a. Do f là hàm hằng địa phƣơng nên tồn tại lân cận Ux của x sao cho f(Ux) = {a}, do đó Ux ⊂ f-1 (a). Vậy f-1(a) là tập mở. Mặt khác, do Y là T1 không gian và f là hàm số liên tục nên f-1 (a) là tập đóng. Ta có ∅ =f-1 (a) ⊂ R suy ra f-1 (a) = R. Vậy
f là hàm hằng trên R.
Từ nhận xét 2.1.2 ta thấy trên R không có hàm hằng địa phƣơng, nếu có thì nó là hàm
hằng nhƣ chúng ta đã biết. Tuy nhiên trên trƣờng số P-adic Qp thì có rất nhiều thí dụ về hàm
hằng địa phƣơng. Sau đây là một thí dụ.
2 1.3 Ví dụ.
Cho U là tập mở compact của Zp và f : Zp → Qp là hàm đặc trưng được định nghĩa
bởi
26
khi đó f là hàm hằng địa phương.
Chứng minh.
Lấy x X nếu f(x) = 1 thì x U. Ta chọn Ux = U, khi đó f(Ux) ={1}. Nếu f(x) = thì x X\U. Đặt Ux = X \U. Ta thấy Ux là một lân cận mở của x và f-1 (Ux)
= {0}. Vậy f là hằng địa phƣơng.
Từ ví dụ 2.1.3 ta thấy hàm đặc trƣng của tập mở compact U ⊂ Zp là hàm hằng địa
phƣong. Dựa vào các hàm đặc trƣng này, ta có thể mô tả tất cả các hàm hằng địa phƣơng trên
Zp. Cụ thể ta có mệnh đề sau.
2.1.4. Mệnh đề.
Giả sử X là một tập mở compact của Qp. Khi đó f : X → Qp là hàm hằng địa phương
nếu và chỉ nếu f là một tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập mở compact
trong X.
Chứng minh.
• Chiều thuận, giả sử f là hàm hằng địa phƣơng. Khi đó, với mọi x X ta chọn Ux là
.Mặt khác, do một lân cận của x sao cho f(Ux) là tập chỉ gồm một điểm. Ta thấy X = ⋃
X là tập compact nên ta có thể viết X dƣới dạng hợp hữu hạn của các Ux . Do đó f(X) là tập
hữu hạn.
Giả sử f(X) = {a1, a2,..., an), trong đó ai Qp và ai ≠ aj nếu i ≠ j. Đặt Ui = f-1(ai) với mọi i = ̅̅̅̅̅. Do f là hàm số liên tục nên Ui là tập mở compact với
mọi i = ̅̅̅̅̅ và Ui ∩ Uj = ∅ nếu i ≠ j. Ta cần chứng minh
Thật vậy, với mọi x X thì tồn tại duy nhất k {1,2,...,n} sao cho x Uk và x ∉ Ui
với mọi i ≠ k.
Khi đó,
Vậy với mọi x X
Ngƣợc lại, giả sử f là một tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trƣng của các tập mở
compact trong X ,
27
Với mọi x X, nếu x ∉ Ui, với mọi i {1, 2,..., n} thì
Chọn lân cận của x là , khi đó f(Ux) = {0}.
Nếu tồn tại i sao cho x Ui thì không mất tính tổng quát ta giả sử {1,2,..,n} = I ∩ J
. sao cho x Ui với i I và x ∉ Ui với i J. Do đó x ∉ ⋂
, khi đó U’ là tập mở. Chọn lân cận của x là Ux = U’ ∩ Ui với i Đặt U’ = X \ ⋂
I. Ta thấy
Vậy f là hàm hằng địa phƣơng.
2.2. Phân phối p-adic.
Trong phần này chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của phân phối p-
adic.
2.2.1. Định nghĩa.
là hợp của các tập mở compact rời Một phân phối p-adic trên X là ánh xạ cộng tính từ tập tất cả các tập mở compact
trong X vào Qp. Nghĩa là, nếu U ⊂ X và U = ⋃ nhau: U1, U2,..., Un thì μ(U) = ∑ .
2.2.2. Mệnh đề.
Cho μ là một phân phối p-adic trên X và với mọi tập mở compact U trong X. Nếu ta
đặt μ ( = μ (U) thì μ là một Qp - phiếm hàm tuyến tính từ Qp- không gian véctơ của các hàm hằng địa phƣơng trên X đến Qp . Ngƣợc lại, cho μ là một Qp -phiếm hàm tuyến tính từ
Qp -không gian véctơ của các hàm hằng địa phƣơng trên X đến Qp và với mọi tập mở
compact U trong X, nếu đặt μ (U) = μ( thì μ là một phân phối p-adic trên X.
Chứng minh.
• Giả sử μ là một phân phối p-adic trên X. Ta cần chứng minh:
trong đó f, g là các hàm hằng địa phƣơng trên X và a Qp.
28
Trƣớc tiên, chúng ta chứng minh: Nếu A1, A2 và B là các tập con mở compact trong
X, A1 ∩ A2 = ∅ và với mọi α Qp thì
Thật vậy, ta đã biết μ ( ) = μ (A1) và μ ( ) = μ (A2) do đó
Chứng minh tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có: μ( ) = αμ( ).
Tổng quát: Nếu A1, A2, A3,..., Ak là các tập mở compact đôi một không giao nhau
trong X thì
Do f và g là các hàm hằng địa phƣơng trên X nên ta có thể viết f, g dƣới dạng:
trong đó A1, A2,...,Am và B1, B2,...,Bn là các tập con mở compact trong X đôi một rời nhau
và Khi đó với α QP, ta có
Tiếp theo ta chứng minh μ (f + g) = μ(f) + μ(g).
Ta có
do đó
Mặt khác, do
29
và do tính chất cộng tính của μ, ta có
Lý luận tƣơng tự, ta cũng có
Vậy
• Ngƣợc lại, giả sử μ là một Qp -phiếm hàm tuyến tính từ Qp -không gian véctơ của
các hàm hằng địa phƣơng trên X đến Qp và với mọi tập mở compact U trong X. Ta chứng
minh μ là một phân phối trên X. Tức là, giả sử U ⊂ X và trong đó Ui là các tập
con mở compact không giao nhau trong X.
Ta cần chứng minh
Hiển nhiên ta có
do đó
Theo định nghĩa phân phối, để cho phân phối μ trên tập compact X ⊂ Zp ta cần phải
cho giá trị μ (U) với mọi tập mở compact U ⊂ X. Tuy nhiên, thực tế ta chỉ cần biết giá trị μ( a+(pN)) là đủ. Cụ thể, ta có mệnh đề sau.
2.2.3. Mệnh đề. Mọi ánh xạ μ từ tập các khoảng a +(pN) ⊂ X đến Qp thỏa
có thể thác triển một cách duy nhất đến một phân phối p-adic trên X.
Chứng minh.
30
Ta biết rằng mọi tập mở compact U ⊂ X đều đƣợc viết dƣới dạng hợp hữu hạn rời
. Với định nghĩa này ta có thể nhau các khoảng Ii, U = ∪ Ii. Ta định nghĩa
. Thật vậy, giả sử U = ∪ Ii và U = ∪ Khi đó,
kiểm tra μ (U) không phụ thuộc vào việc phân chia U thành các khoảng.
Lý luận tƣơng tự nhƣ trên, ta cũng có Nếu Ii = a + (pN ) thì Iij =a’ +(pN) , trong đó N' là một số tự nhiên cố định N'> N và a’ ≡ a(mod pN). Vì vậy, bằng việc áp dụng nhiều lần đẳng thức đƣợc cho trong mệnh đề, ta đƣợc
do đó
Mặt khác,
suy ra
Vậy
Để kết thúc chứng minh, ta cần phải chứng minh μ có tính chất cộng tính. Giả sử U là
hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ui, chúng ta viết Ui là hợp rời nhau của các khoảng con
và Iij, nghĩa là
31
2.3. Một số phân phối p-adic thƣờng dùng.
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số phân phối p-adic thƣờng dùng nhƣ: Phân
phối Haar, phân phối Dirac và phân phối Mazur.
2.3.1. Phân phối Haar μHaar. Cho (a + (pN)) là một khoảng bất kỳ trong Zp. Ta định nghĩa ánh xạ μHaar nhƣ sau:
μHaar = (a + (pN)) = 1 pN . Khi đó, μHaar đƣợc thác triển tới một phân phối trên ZP vì
Ánh xạ μHaar đƣợc gọi là phân phối Haar.
2.3.2. Phân phối Dirac μα .
Với a Zp cố định, ta định nghĩa ánh xạ μα trên tập mở compact U ⊂ Zp nhƣ sau:
Ta thấy μα có tính chất cộng tính, do đó μα là một phân phối và đƣợc gọi là phân phối
Dirac.
2.3.3. Phân phối Mazur μMazur. Cho (a + (pN)) là một khoảng bất kỳ trong Zp. Ta định nghĩa ánh xạ μMazur nhƣ sau:
Khi đó μMazur có tính chất cộng tính trong mệnh đề 2.2.3 vì
Vậy μMazur là một phân phối và dƣợc gọi là phân phối μMazur .
Sau đây chúng ta sẽ dùng mệnh đề 2.2.3 để khẳng định ánh xạ μ trong mệnh đề 2.3.4
dƣới đây lầ một phân phối trên Zp.
2.3.4. Mệnh đề.
Với a Zp, giả sử khai triển p-adic của a có dạng
32
a = a0 + a1p + a2p2 +... + akpk +... nghĩa hàm μ trên khoảng a + (pN) như sau
trong các trường hợp còn lại.
Khi đó, μ là một phân phối p-adic trên Zp.
Chứng minh.
Để chứng minh μ thác triển tới một phân phối p-adic trên Zp, theo mệnh đề 2.2.3 ta
cần chỉ ra:
Xét hai khả năng sau:
Khả năng 1. Tồn tại ak ≠ 0 trong [N/2] hệ số đầu tiên trong khai triển p-adic của a ứng
với p mũ lẻ. Theo dịnh nghĩa μ, ta có
do đó,
Khả năng 2. Trong khai triển p-adic của a các hệ số
Ta xét hai trƣờng hợp sau.
• Trƣờng hợp 1. Xét N là số chẩn, giả sử N = 2M . Khi đó, khai triển p-adic của a có
dạng:
Từ giả thiết của mệnh đề ta có: và
Do [ ] = M và ta thấy trong khai triển p-adic của a + bpN có M hệ số đầu tiên ứng N+1 2
với p mũ lẻ triệt tiêu, vì vậy theo định nghĩa μ ta có
33
do đó,
Vậy
• Trƣờng hợp 2. Xét N là số lẻ, giả sử N = 2M + 1. Khi đó, khai triển p-adic của a có
dạng:
trong đó có M số ak đầu tiên triệt tiêu với k-lẻ. Do đó:
Ta tiếp tục tính
Ta có
và
* Nếu a2M+l = 0 thì
Vậy
* Nếu a2M+1
Với 0 ≤ b < p - a2M+l ta luôn có 0 < a2M+1 ≤ a2M+1 +b < p.Do đó,
34
Với b = p- a2M+l, suy ra a2M+l + b = p. Do đó, hệ số của p2M+1 trong khai triển p-adic
của a + bpN bằng 0.
Vậy
Với p- a2M+1 < b ≤ p-1, ta có a2M+1 + b > p. Giả sử a2M+1 + b= pq +r, trong đó 0 ≤ r <
p. Nếu r = 0 thì a2M+1 + b chia hết cho p, suy ra a2M+1 + b =0 hoặc a2M+1 + b =p. Điều này vô lý , vì a2M+1 + b >p. Vậy hệ số của p2M+1 trong khai triển p-adic của a +bpN là r ≠ 0 với mọi b thỏa p -a2M+1 < b ≤ p-1.
Do đó
Vậy
2.4. Phân phối Bernoulli.
Trong phần này, trƣớc tiên chúng tôi trình bày định nghĩa số Bernoulli Bk và đa thức
Bernoulli Bk (x). Trên cơ sở đó chúng ta thấy đƣợc mối quan hệ giữa đa thức Bernoulli và số
p) để làm cơ sở cho chƣơng sau.
Bernoulli. Sau đó chúng tôi định nghĩa phân phối Bernoulli μB,k, từ đó tính đƣợc μB,k(Zp) và μB,k (Z*
2.4.1. Định nghĩa số Bernoulli.
Số Bernoulli thứ k, kí hiệu là Bk được định nghĩa bằng k! lần hệ số thứ k trong khai
triển Taylor của hàm một biến
Một vài số Bernoulli Bk đầu tiên là:
B0=1, B1 = -1/2, B2=1/6, B3=0, B4= -1/30, B5=0, B6=1/4,...
2.4.2. Định nghĩa đa thức Bernoulli. Đa thức Bernoulli Bk(x) bằng kỉ lần hệ số của tk trong khai triển Taylor của hàm hai
biến
35
Một vài đa thức Bernoulli đầu tiên là
Mối quan hệ giữa số Bernoulli Bk và đa thức Bernoulli Bk (x) đƣợc thể hiện trong
mệnh đề dƣới đây.
2.4.3. Mệnh đề.
Cho Bk (x) là đa thức Bernoulli. Khi đó,
Chứng minh.
hệ số của tk trong biểu thức trên ở vế phải là
trong đó 0 ≤ i, j ≤ k
Do đó
Theo kết quả trên, hiển nhiên ta có Bk (0) = Bk
36
Ta có
suy ra
So sánh hệ số của tk ở hai vế của đẳng thức trên ta đƣợc
Ta có đồng nhất thức
suy ra
Lấy vi phân hai vế biểu thức trên ta đƣợc
hay
do đó
So sánh hệ số của tk-1 ở hai vế của biểu thức trên ta đƣợc
Vậy
37
Cố định một số nguyên dƣơng k. Ta định nghĩa ánh xạ μ B,K trên khoảng a + (pN) nhƣ
sau
Khi đó, μ B,K đƣợc thác triển tới một phân phối trên Zp. Đó là nội dung của mệnh đề
2.4.4 dƣới đây.
2.4.4. Mệnh đề.
Ánh xạ μ B,K trên khoảng a + (pN) ⊂ Zp được thác triển tới một phân phối trên Zp .
Chứng minh.
Theo mệnh đề 2.2.3, ta chỉ cần chứng minh
Điều này tƣơng đƣơng với việc chứng minh
Nhân hai vế của đẳng thức cần chứng minh với p-N(k-1) và đặt bất đẳng α = a pN+1 ,thức
cần chứng minh tƣơng đƣơng với
Ta có vế phải của đẳng thức trên bằng k! lần hệ số của tk trong biểu thức
38
Do đó k! lần hệ số của tk trong biểu thức trên là
Đây là điều cần chứng minh.
2.4.5. Định nghĩa.
Phân phối μB,k trong mệnh đề 2.4.4 được gọi là phân phối Bernoulli thứ k.
Sau đây chúng tôi đƣa ra một vài phân phối Bernoulli μB,k đầu tiên cho chúng ta các
phân phối đã biết:
p).
2.4.6. Áp dụng tính μB,k (Zp) và μB,k (Z*
Ta đã biết
với mọi khoảng a + (pN) ⊂ Zp
Mặt khác, ta có
do đó,
p) ta lƣu ý rằng Zp = pZp ∪ Z*
p, trong đó pZp ∪ Z*
p = ∅.
và
Để tính μB,k (Z*
Từ tính chất cộng tính của μ B,k, ta có
suy ra
39
CHƢƠNG 3: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƢỜNG SỐ P-ADIC
Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày khái niệm độ đo p-adic, từ đó chúng tôi định
nghĩa tích phân cho hàm liên tục nhƣ là giới hạn của tổng Riemann p-adic. Nhƣ là một áp
dụng chúng tôi tính các tích phân của các hàm cụ thể ứng với các độ đo cụ thể. Sau đó chúng
tôi mở rộng khái niệm tích phân cho một số lớp các phân phối rộng hơn độ đo.
Cuối cùng, chúng tôi trình bày khái niệm độ đo Bernoulli hiệu chỉnh hay gọi tắt là độ
* Trong chƣơng này, chúng tôi giả sử X là tập mở compact trong Qp nhƣ là Zp hoặc ZP
đo Bernoulli, từ đó chúng tôi xét một số tích phân ứng với độ đo này.
, một cách đơn giản giả sử X ⊂ Zp.
3.1. Khái niệm về độ đo và tích phân trong Qp.
3.1.1. Định nghĩa.
Một phân phối μ trên X là một độ đo nếu giá trị của nó trên tập mở compact U ⊂ X
bị chặn bởi hằng số B R nào đó. Nghĩa là | μ(U)|p ≤ Bvới mọi tập mở compact U.
Ta nhận thấy: Tổng hai độ đo là một độ đo và nhân một số khác 0 trong Qp với một độ
đo là một độ đo. Từ nhận xét này ta thây rằng tập tất cả các độ đo trên X cùng với hai phép
toán cộng và nhân ở trên là một không gian véc tơ trên Qp . Hơn thế nữa, nếu μ là một độ đo
thì ta có thể tìm đƣợc a Zp, a ≠ 0 sao cho aμ lấy giá trị trong Zp. Đó là nội dung của mệnh
đề sau.
3.1.2. Mệnh đề.
Một phân phối p-adic μ là độ đo nếu và chỉ nếu tồn tại a Zp, a ≠ 0 sao cho aμ lấy
giá trị trong Zp.
Chứng minh.
Giả sử n là một độ đo trên X và U là một tập mở compact bất kỳ trong X. Do μ là một
độ đo nên tồn tại B R sao cho | μ (U)|p ≤ B.
Khi đó,
40
Nếu chọn a Zp, a ≠ 0 sao cho |a|p ≤ thì ta nhận đƣợc |(aμ)(U)|p ≤1. 1 B
Vậy
(aμ)(U) Zp
Ngƣợc lại, giả sử U là tập mở compact bất kỳ trong X và aμ lấy giá trị trong Zp. Khi
đó,
Vậy μ là một độ đo trên X.
Ta đã biết, để định nghĩa tích phân trong trƣờng số thực R ta dùng giới hạn của tổng
Riemann. Trong trƣờng số p-adic Qp tích phân cũng đƣợc xây dựng theo ý tƣởng đó.
3.1.3. Định nghĩa tổng Riemann
Cho hàm f và μ là một phân phối trên Zp. Với mọi N chúng ta chia Zp thành
giả sử xa,N là một điểm tùy ý thuộc khoảng a + (pN), chúng ta định nghĩa
tổng Riemann thứ N của hàm f tƣơng ứng với {xa,N} là
Sau đây chúng ta lấy một thí dụ về hàm liên tục và xét tổng Riemann của nó bằng
cách chọn điểm xa, N theo hai cách khác nhau. Giả sử μ = μHaar và lấy hàm đơn giản f: Zp →
Zp đƣợc cho bởi f(x) = x. Trong thí dụ này ta có tổng Riemann
* Nếu chúng ta chọn điểm xa,N = a a+(pN) thì chúng ta thu đƣợc
tổng này có giới hạn bằng - trong Qp khi N → ∞. 1 2
* Nhƣng nếu chúng ta chọn điểm xa,N =a +a0pN a+(pN) trong đó a0 Zp cố định thì
chúng ta thu đƣợc
41
khi N → ∞. tổng này có giới hạn bằng a0 - 1 2
Ta thấy trong trƣờng hợp này tổng Riemann không có một giới hạn duy nhất mà nó phụ thuộc vào việc chọn điểm xa,N thuộc khoảng a + (pN). Vấn đề đặt ra là khi nào tổng
Riemann có duy nhất một giới hạn mà nó không phụ thuộc vào cách chọn điểm xa,N thuộc khoảng a + (pN). Định lý sau sẽ cho ta một tiêu chuẩn để nhận biết tổng Riemann có duy nhất
một giới hạn.
3.1.4. Định lý.
Giả sử n là một độ đo p-adic trên X và f : X → Qp là một hàm liên tục. Khi đó, tổng
Riemann
hội tụ đến một giới hạn trong Qp khi N → ∞ mà nó không phụ thuộc vào việc chọn điểm xa.N thuộc khoảng a+(pN).
Chứng mình.
Do μ là độ đo nên với mọi tập mở compact U ⊂ X ta luôn có | μ(U)|p ≤ B, với B .
Trƣớc tiên, với mọi M > N chúng ta ƣớc lƣợng
Ta viết X là hợp hữu hạn của các khoảng, chúng ta chọn N đủ lớn để mỗi khoảng a + (pN) hoặc là tập con của X hoặc là rời với X. Dùng tính cộng tính của μ chúng ta viết lại tổng
Riemann SN,{a,N}(f) nhƣ sau
trong đó ̅ ≡ a (mod pN) , 0 ≤ ̅ < pN .
Hơn thế nữa, với mọi x,y X, x ≡ y (mod pN) và với mọi ɛ > 0 bé tùy ý ta có thể
chọn N đủ lớn để
vì X là không gian compact nên từ tính liên tục của f kéo theo tính liên tục đều của f.
42
Khi đó,
vì ̅ ≡ xa,M (mod pN), ɛ > 0 bé tùy ý và B là hằng số cố định.
Vậy tổng Riemann có duy nhất một giới hạn, giới hạn này không phụ thuộc vào việc
chọn {xa,N} vì lý luận tƣơng tự nhƣ trên ta có
Sự tồn tại của tổng Riemann và giới hạn của tổng Riemann là duy nhất đƣợc chứng
minh trong định lý 3.1.4 sẽ làm cơ sở cho cho tính hợp lý của định nghĩa dƣới đây.
3.1.5. Định nghĩa.
Nếu f: X → Qp là một hàm liên tục và μ là một độ đo trên X thì theo định lý 3.1.4 tổng
Riemann SN{xa,N} (f) có duy nhất một giới hạn trong Qp. Chúng ta định nghĩa tích phân p-adic
của hàm f ứng với độ đo μ là giới hạn của tổng Riemann, ký hiệu ∫ .
Từ định nghĩa ta có nhận xét 3.1.6 sau.
3.1.6. Nhận xét.
1. Ta đã biết, với mọi tập mở compact U trong X thì hàm đặc trƣng χU là hàm liên tục.
Khi đó, với mọi phân phối p-adic μ ta thấy giới hạn của tổng Riemann của χU bằng μ(U). Vậy
∫ .
2. Nếu f là hàm hằng địa phƣơng trên X thì theo mệnh đề 2.1.4 ta có thể viết f dƣới
dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trƣng của các tập mở compact trong X. Giả sử
, trong đó Ui là các tập mở compact trong
43
X. Khi đó, với mọi phân phối p-adic μ ta thấy giới hạn của tổng Riemann của hàm f bằng
Nhận xét 3.1.6 sẽ giúp cho chúng ta tính đƣợc tích phân của hàm hằng địa phƣơng
ứng với phân phối p-adic bất kỳ. Sau đây là một ví dụ minh họa.
3.1.7.Ví dụ.
Cho f: ZP → QP xác định bởi f(x) = i với i là hệ số đầu tiên trong khai triển p-adic của
x, x Zp. Khi đó,
Chứng minh.
Giả sử khai triển p-adic của x có dạng:
x = i +a1p +a2p2 + ...
trong đó i {0,1,..., p-1} và x ≡ i (mod p) hay x i +(p).
Khi đó, ta có thể viết f dƣới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trƣng của các tập
mở compact Ai trong ZP nhƣ sau:
, trong đó Ai =i + (p).
Theo nhận xét 3.1.6, ta có
Vậy
1. Nếu μ = μα thì
2. Nếu μ = μHaar thì
44
3. Nếu μ = μMazur thì
Đây là điều cần chứng minh.
- 1}. Ký hiệu Sa là tổng tất cả các hệ số trong khai triển p-adic của a. Ta định nghĩa ánh xạ μ trên khoảng a + (pN) như sau μ(a + (pN)) = . Khi đó,
3.1.8. Ví dụ. Cho p là một số nguyên tố lẻ và với mọi a {0,1,..., pN
1. μ là một độ đo trên Zp.
2. là hàm chẵn liên tục.
Chứng minh.
1. Trƣớc tiên, chúng tôi chứng minh μ là một độ đo trên Zp, tức là
-1} ta có thể giả sử khai triển p-adic của a có dạng
Thật vậy, với mọi a {0,1,..., pN
do đó
Theo giả thiết của mệnh đề ta rút ra đƣợc
Vậy
(do p là số nguyen tố lẻ)
45
Cuối cùng, ta chỉ ra μ là một độ đo trên Zp. Giả sử U là tập mở compact bất kỳ trong
Zp, ta có thể giả sử U là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ii, tức là U = ∪ Ii .
Do
nên
Vậy μ là một độ đo trên Zp.
2. Chứng minh
Xét tổng Riemann
hay
Nếu chúng ta chọn
thì tổng Riemann đƣợc viết lại nhƣ sau
46
nhƣng
do đó
hay
Từ định nghĩa tích phân ta có kết quả sau.
3.1.9. Mệnh đề.
Cho f : X → Qp là hàm liên tục và | f(x)|p ≤ A với mọi x X. Nếu với mọi tập mở
compact U ⊂ X thỏa |μ(U)|p ≤ B thì |∫ |p ≤ A.B.
Chứng minh.
Theo định nghĩa tích phân, ta có
trong đó
suy ra
do đó
Hệ quả sau đƣợc suy ra trực tiếp từ từ mệnh đề 3. 1 .9.
3.1.10. Hệ quả.
Nếu f,g: X → Qp là hàm liên tục thỏa |f(x) - g(x)|p ≤ ɛ với mọi x X và|μ(U)|p ≤ B với
mọi tập mở compact U ⊂ X thì
47
Chứng minh.
Đặt
Ta có
Theo mệnh đề 3.1.9, ta đƣợc .
hay
Sau đây, chúng tôi xây dựng một số mở rộng tích phân cho một lớp các phân phối
rộng hơn độ đo.
3.2. Mở rộng khái niệm tích phân.
3.2.1. Định nghĩa.
Một phân phối μ trên X được gọi là "boundedly increasing" nếu
3.2.2. Mệnh đề.
Giả sử μ là một phân phối "boundedly increasing" trên X và f là hàm từ X đến Qp
thỏa điều kiện Lipshitz, tức là với mọi x,y X thì tồn tại A R sao cho
Khí đó, tổng Riemann
hội tụ đến một giới hạn trong Qp khi N → ∞ mà nó không phụ thuộc vào việc chọn điểm xa,N thuộc khoảng a+(pN).
Chứng minh.
Với mọi M >N chúng ta ƣớc lƣợng
Ta viết tổng Riemann SN,{xa,N} (f ) nhƣ sau
48
trong đó ̅ ≡ a(mod pN ) và 0 ≤ ̅ < pN .
Ta có
Do f thỏa điều kiện Lipshitz nên tồn tại A R sao cho
Mặt khác,
nên
Vậy
Điều này có nghĩa là tổng Riemann có duy nhất một giới hạn. Hơn thế nữa, giới hạn
này không phụ thuộc vào việc chọn {xa,N}.
Thật vậy, lý luận tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có
Sau đây là một ví dụ về phân phối "boudedly increasing" và tích phân ứng với phân
phối này.
3.2.3. Ví dụ.
Giả sử μ là phần phối trong mệnh đề 2.3.4. Khi đó, μ là phân phối "boudedly
increasing" và nếu hàm f :Zp → Zp được cho bởi f(x) = x với mọi x Zp thì
49
Chứng minh.
• Giả sử khai triển p-adic của a có dạng a = a0 + a1p +... + akpk +...
Để chứng minh
ta chỉ cần xét trƣờng hợp trong khai triển p-adic của a có [N/2] hệ số đầu tiên ứng với p mũ lẻ
triệt tiêu. Khi đó, với N = 2M hoặc N = 2M +1 ta luôn có
nghĩa là,
Vậy μ là phân phối "boudedly increasing".
• Ta chỉ cần xét trƣờng hợp N chẩn, N = 2M và khai triển p-adic của a mà trong [N/2]
hệ số đầu tiên ứng với p mũ lẻ có ít nhất một số khác 0. Theo định nghĩa tích phân, ta có
3.2.4. Định nghĩa hàm kiểu r.
Cho r là một số thực dương. Hàm f :Zp → Qp được gọi là kiểu r nếu tồn
50
tại A R sao cho với mọi x, y Zp thì
3.2.5. Nhận xét.
Nếu f là hàm kiểu r thì f là hàm liên tục đều và nếu r ≥ 1 thì f thỏa điều kiện Lipshitz.
Thật vậy, với mọi ɛ > 0 và mọi x,y Zp . Do f là hàm kiểu r nên tồn tại A R sao
cho
Nếu chúng ta chọn thì với mọi x,y Zp :|x -y|p < δ ta luôn có
Vậy f là hàm liên tục đều.
Bây giờ, ta chứng minh nếu r ≥ 1 thì f thỏa điều kiện Lipshitz.
Do f là hàm kiểu r nên
Mặt khác, vì x,y Zp suy ra | x -y|p ≤ 1 do đó với r ≥ 1 ta luôn có
Vậy f thỏa điều kiện Lipshitz.
3.2.6. Mệnh đề.
Giả sử μ là một phân phối trên Zp thỏa với s là số thực dƣơng thì
và f là hàm kiểu r (r ≥ s) Khi đó, tổng Riemann
hội tụ đến một giới hạn trong Qp khi N → ∞ mà nó không phụ thuộc vào việc chọn điểm xa,N thuộc khoảng a + (pN).
Chứng minh. • Ta viết Zp là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng a + ( pN), tức là:
51
Khi đó, với mọi M > N, dùng tính chất cộng tính của μ ta viết lại tổng
Riemann { }(f) nhƣ sau:
trong đó
Do đó, ta có
Mặt khác, do f là hàm kiểu r nên tồn tại A R sao cho
nhƣng vì
hay
Do đó
Vậy với mọi số thực dƣơng s < r, ta luôn có
Từ đó, ta đƣợc
Vậy tổng Riemann có duy nhất một giới hạn. Hơn thế nữa, giới hạn này không phụ
thuộc vào việc chọn {xa,N}. Thật vậy, bằng cách lý luận tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có
52
3.3. Độ đo và tích phân Bernoulli.
Ta đã biết phân phối Bernoulli μB,0 chính là phân phối Haar μHaar. Nhƣng phân phối
μHaar không phải là một độ đo trên Zp. Vì thế không phải mọi phân phối Bernoulli nào cũng là
độ đo. Có một phƣơng pháp chuẩn, gọi là sự chính quy hóa (regularizations) để đƣa phân
phối Bernoulli trở thành độ đo.
Chúng ta đƣa ra một số kí hiệu đƣợc dùng trong mục này: Với α Zp ta kí hiệu { α }N
là số nguyên thỏa
3.3.1. Định nghĩa.
Giải sử α ≠ 1 là một số nguyên bất kỳ không chia hết cho p. Ta định nghĩa ánh xạ
μB,k,a (viết tắt là μk,a) nhƣ sau
3.3.2. Nhận xét.
Ta đã biết μBk là một phân phối trên Zp nên μk,a cũng là một phân phối trên Zp. Hơn
thế nữa, ta sẽ chứng minh μk,a là một độ đo. Trƣớc tiên ta xét một vài trƣờng hợp cụ thể.
• Với k=0 ta có
• Với k=1 ta có
Từ đó, ta có thể chứng minh trực tiếp μ1, α là một độ đo trên Zp.
3.3.3. Mệnh đề.
với mọi tập mở compact U ⊂ Zp .
Chứng minh.
53
Theo nhận xét 3.3.2, ta có
trong đó
do đó
Mặt khác, với mọi tập mở compact U ⊂ Zp đều là hợp hữu hạn rời nhau của các
khoảng Ii, U = ∪ Ii .Từ đó suy ra
Từ mệnh đề 3.3.3 ta thấy μ1, α là một độ đo trên Zp. Độ đo μ1, α đóng vai trò nhƣ "dx"
trong tích phân trên trƣờng số thực. Tiếp theo chúng ta đƣa ra mối quan hệ giữa μ1, α và μk, α
đƣợc thể hiện trong định lý 3.3.4 sau đây. Để dễ hình dung cách chứng minh định lý chúng ta
xét một thí dụ cụ thể, giả sử chúng ta cần tính tích phân ∫ ( √ ) trong trƣờng số thực R.
Phƣơng pháp đơn giản là đổi biến số x ⟼ xk để thu đƣợc tích phân đơn giản hơn ∫ ,
trong đó
Thực ra, chúng ta có thể hiểu d(xk) nhƣ là "độ đo" μk trên đƣờng thẳng thực đƣợc
định nghĩa bởi μk ([a,b]) = bk - ak . Khi đó, μ1 là khái niệm độ dài thông thƣờng.
54
Tỷ số có nghĩa là
Vì vậy, trong tổng Riemann trong giới hạn khi tất cả các Ii trở nên
nhỏ chúng ta có thể thay μk(Ii) bởi kxk-1μ1( Ii)và ta nhận đƣợc
Thực sƣ, việc chứng minh
là dùng khai triển nhị thức (a + h)k trong đó h=b-a cụ thể là
(a + h)k=ak +khak-1+...
tƣơng tự trƣờng hợp số p-adic, khi chúng ta chỉ ra rằng μk,α(I) ~ kak-1, nếu I là một khoảng
nhỏ chứa a, chúng ta cũng dùng khai triển nhị thức. Vì vậy, định lý 3.3.4 đƣợc hiểu tƣơng tự với định lý mà (d/ dx) (xk) = kxk-1 từ tính toán trên trƣờng số thực. cần lƣu ý rằng khi chia dk hai vế của đồng dƣ thức trong định lý 3.3.4 chúng ta phải thay thế pN bởi , trong đó ordpdk là một hằng số mà không có ý nghĩa khi N đủ lớn.
3.3.4. Định lý.
Giả sử dk là mẫu số chung nhỏ nhất của các hệ số của đa thức Bernoulli Bk(x). Khi
đó,
(mod pN)
trong đó hai vế của đồng dư thức nằm trong Zp.
Chứng minh.
Theo mệnh đề 2.4.3, ta có
do đó
55
]
{αa }N Lƣu ý rằng: αa ≡ { αa }( mod pN) và pN = αa pN - [
nên ta có đồng nhất thức sau
Mệnh đề sau là một hệ quả trực tiếp của định lý. Mệnh đề khẳng định μk,a là độ đo trên
Zp.
3.3.5. Mệnh đề.
Phân phối μk,a là một độ đo với k {1,2,3,...} và α Z, α ≠ 1, α ∉ pZ.
Chứng minh.
56
Ta chỉ cần chứng minh μk,α (a + (pN)) bị chặn.
Thật vậy, theo định lý 3.3.4 ta có phƣơng trình đồng dƣ sau
Điều này có nghĩa là
do đó
hay
Vì
và dk cố định
nên
bị chặn.
Sau đây là một ví dụ cụ thể về tích phân ứng với độ đo Bernoulli.
3.3.6.Ví dụ.
1. Nếu p > 2,f(x) = và α = 1 + p thì (mod p). 1 x
2. Nếu p = 2, a = 5 và f(x) = thì (mod 4). 1 x
Chứng minh.
Theo nhận xét 3.3.2, ta có
1. Nếu p > 2, α = 1 + p thì
Với mọi x Z*
p nên a0 ≠ 0. Khi đó, đặt g(x) =
p giả sử khai triển p -adic của x có dạng x = a0 + a1p +... + aNpN + ... 1 a0
, ta có Do x Z*
57
* , ta luôn có
suy ra
Ta đã biết với mọi tập mở compact U trong Zp
do đó
* dƣới dạng
* thì tồn tại a
điều này có nghĩa là
Mặt khác, ta viết Zp và nếu x Zp
{1,2,..., p-1} sao cho x a +(p) hay x ≡ a (mod p), do đó g(x) = 1 . a
Vậy ta có thể viết hàm g dƣới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trƣng
Từ đó ta tính đƣợc tích phân cụ thể là
2. Nếu p = 2, α = 5 thì
* ta giả sử khai triển p-adic của x có dạng:
58
và với mọi x Z2
x = a0 + a12 + a222 + ...
Đặt
do
suy ra
Tƣơng tự nhƣ trong (1), ta cũng có
2 dƣới dạng:
Ta viết Z*
2 , ta luôn có
và với x Z*
x ≡ a (mod 22)
suy ra
Khi đó, ta có
3.3.7. Mệnh đề. Giả sử f: Zp → Zp là hàm số xác định bởi f(x) = xk-1, trong đó k là một số nguyên
dương cố định và giả sử X là tập mở compact của Zp. Khi đó,
59
Chứng minh.
Từ định lý 3.3.4, ta có
do đó
suy ra
Do đó, theo định nghĩa tích phân ta nhận đƣợc
Nếu ta chọn / là hàm xk'-1 thỏa (mod (p -1)pN) thì ta có (mod pN)
Theo hệ quả 3.1.10, ta đƣợc
Từ đó, ta có thể kết luận rằng: bất kỳ s0 cố định,s0 {0,1,2,.., p-2} và nếu ta đặt
thì ta có thể mở rộng hàm của k đƣợc cho bởi tới một hàm liên tục của số nguyên
p-adic
Vậy
trong đó tích phân ở vế phải đƣợc tính nhƣ sau
60
Nếu thay vào biểu thức thì ta có mối quan hệ
giữa tích phân . Tứ đó ta có công thức sau
từ công thức này ta có thể tính đƣợc tích phân cụ thể là
61
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1]. Đặng Đình Áng (1997), Lý thuyết tích phân, NXBGD.
[2]. Nguyễn Xuân Liêm (1994), Độ đo và tích phân, NXBGD.
Tiếng Anh
[3]. A. J. Baker (2003), An Introduction to p-adic Numbers andp - adỉc Analysis.
[4]. Z. I. Borevich and I. R. Shafarevich (1966), Number Theory, Academic Press.
[5]. Neal Koblitz (1984), p - adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta - Functions, Springer.
[6]. Neaỉ Koblitz (1980), p-adic Anaỉỵsis: a Short Course on Recent Work, Cambridge
University Press.
[7]. Walter Rudin (1976), Frinciples of Mathematical Analysis, Me Graw - Hill Company.
[8]. Manin Yu.I. (1973), Periods of cusp forms and p-adic 92 (1973) 349 - 401, In Russian.
