Luận văn Thạc sĩ Toán học: Độ đo và tích phân trên trường số p-adic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TPHCM<br /> <br /> NGUYỄN QUỐC HUY<br /> <br /> ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƢỜNG SỐ P-ADIC<br /> <br /> Chuyên ngành: Đại số<br /> Mã số: 01.01.03<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : PGS.TS. MỴ VINH QUANG<br /> <br /> TP Hồ Chí Minh - 2003<br /> <br /> LỜI CẢM ƠN<br /> <br /> Tôi xin chân thành tỏ lòng tôn kính và biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS.TS. Mỵ Vinh<br /> Quang, thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện<br /> luận văn.<br /> Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy PGS.TS. Bùi Tường Trí, PGS.TS. Bùi<br /> Xuân Hải, TS. Trần Huyên và TS. Nguyễn Viết Đông, quý thầy đã trực tiếp trang bị cho tôi<br /> kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu, cũng như dành nhiều thời gian quý<br /> báu đọc và góp ý cho luận văn.<br /> Tôi vô cùng cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý thầy cô trong Khoa Toán Trường Đại Học<br /> Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, quý thầy cô phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư<br /> Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và UBND Tỉnh Cà Mau, quý thầy cô Trường CĐSP Cà Mau<br /> đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập và hoàn thành luận văn.<br /> Tôi rất biết ơn gia đình, quý đồng nghiệp và bạn bè gần xa đã giúp đỡ và hỗ trợ tinh<br /> thần cũng như vật chất cho tôi trong thời gian qua.<br /> <br /> TP Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2003.<br /> Nguyễn Quốc Huy<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> BẢNG KÝ HIỆU ....................................................................................................................... 1<br /> LỜI NÓI ĐẦU ........................................................................................................................... 2<br /> CHƢƠNG 1: XÂY DỰNG TRƢỜNG SỐ P - ADIC ........................................................... 3<br /> 1.1. Các khái niệm cơ bản. ................................................................................................. 3<br /> 1.2. Xây dựng trƣờng số p-adic. ........................................................................................ 6<br /> 1.3. Biểu diễn p-adic của số α trong Qp. ............................................................................ 9<br /> 1.4. Bổ đề Hensel. ............................................................................................................ 11<br /> 1.5. Tính chất tô pô của Qp. ............................................................................................. 16<br /> CHƢƠNG 2: PHÂN PHỐI P-ADIC.................................................................................... 25<br /> 2.1. Hàm hằng địa phƣơng. .............................................................................................. 25<br /> 2.2. Phân phối p-adic. ...................................................................................................... 27<br /> 2.3. Một số phân phối p-adic thƣờng dùng. ..................................................................... 31<br /> 2.4. Phân phối Bernoulli. ................................................................................................. 34<br /> CHƢƠNG 3: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƢỜNG SỐ P-ADIC ............................ 39<br /> 3.1. Khái niệm về độ đo và tích phân trong Qp. ............................................................... 39<br /> 3.2. Mở rộng khái niệm tích phân. ................................................................................... 47<br /> 3.3. Độ đo và tích phân Bernoulli. ................................................................................... 52<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... 61<br /> <br /> 1<br /> <br /> BẢNG KÝ HIỆU<br /> N<br /> <br /> : Tập các số tự nhiên.<br /> <br /> Z<br /> <br /> : Tập các số nguyên.<br /> <br /> Q<br /> <br /> : Tập các số hữu tỷ.<br /> <br /> R<br /> <br /> : Tập các số thực.<br /> <br /> Zp<br /> <br /> : Tập các số nguyên p-adic.<br /> : Tập các phần tử khả nghịch trong Zp.<br /> <br /> ||<br /> <br /> : Giá trị tuyệt đối thông thƣờng.<br /> <br /> Qp<br /> <br /> : Trƣờng số p-adic.<br /> <br /> | |p<br /> <br /> : Giá trị tuyệt đối p-adic.<br /> <br /> ordp a<br /> <br /> : số mũ của p trong sự phân tích a thành thừa số nguyên tố.<br /> <br /> B(a,r)<br /> <br /> : Hình cầu mở tâm a bán kính r trong Qp.<br /> <br /> B[a,r]<br /> <br /> : Hình cầu đóng tâm a bán kính r trong Qp.<br /> <br /> D(a,r)<br /> <br /> : Mặt cầu tâm a bán kính r trong Qp.<br /> <br /> a + (pN )<br /> <br /> : Khoảng trong Qp.<br /> <br /> Bk<br /> <br /> : Số Bernoulli thứ k .<br /> <br /> Bk (x)<br /> <br /> : Đa thức Bernoulli thứ k .<br /> <br /> [x]<br /> <br /> : Phần nguyên của x.<br /> : Hàm đặc trƣng của tập A.<br /> <br /> Haar<br /> <br /> : Phân phối Haar.<br /> : Phân phối Dirac.<br /> <br /> Mazar<br /> <br /> : Phần Phối Mazur.<br /> <br /> B, k<br /> <br /> : Phân phối Bernoulli thứ k .<br /> <br /> k, α<br /> <br /> : Độ đo Bernoulli.<br /> <br /> xa,N<br /> <br /> : Một điểm tùy ý thuộc khoảng a + (pN).<br /> <br /> SN,{xa,N}(f)<br /> <br /> : Tổng Riemann của hàm f.<br /> <br /> ∫<br /> <br /> : Tích phân của hàm, f ứng với độ đo μ.<br /> <br />