Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm Zeta tôpô của kì dị đường cong phẳng phức không suy biến

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận văn này, tác giả đề cập đến bài toán tính hàm zêta tôpô của các kì dị đường cong phẳng phức đặc biệt, xác định bởi các hàm số hai biến phức không suy biến đối với đa giác Newton của nó. Đây là luận văn đọc hiểu và trình bày lại một phần bài báo “Topological zeta functions and the monodromy conjecture for complex plane curves” của người hướng dẫn và Nguyễn Khánh Hưng, phát triển các ví dụ và trường hợp riêng từ bài báo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm Zeta tôpô của kì dị đường cong phẳng phức không suy biến

I HÅC QUÈC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN Vô Thà V¥n HM ZETA TÆPÆ CÕA K DÀ ×ÍNG CONG PHNG PHÙC KHÆNG SUY BIN LUN VN THC S TON HÅC H Nëi - N«m 2020
I HÅC QUÈC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN Vô Thà V¥n HM ZETA TÆPÆ CÕA K DÀ ×ÍNG CONG PHNG PHÙC KHÆNG SUY BIN Chuy¶n ng nh : ¤i sè v Lþ thuy¸t sè M¢ sè : 8460101.04 LUN VN THC S TON HÅC NG×ÍI H×ÎNG DN KHOA HÅC TS. L QUÞ TH×ÍNG H Nëi - N«m 2020
Líi c£m ìn º ho n th nh qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v ho n thi»n luªn v«n n y, líi ¦u ti¶n t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn s¥u sc ¸n TS. L¶ Quþ Th÷íng, c¡n bë Khoa To¡n - Cì - Tin håc, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc Tü nhi¶n - ¤i håc Quèc gia H Nëi. Th¦y ¢ trüc ti¸p ch¿ b£o v h÷îng d¨n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu º t¡c gi£ ho n thi»n lu¥n v«n n y. Ngo i ra t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n - Cì - Tin håc ¢ t¤o i·u ki»n v âng gâp nhúng þ ki¸n quþ b¡u º t¡c gi£ ho n th nh khâa håc v luªn v«n n y. Cuèi còng t¡c gi£ xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh, b¤n b±, ng÷íi th¥n ¢ luæn ëng vi¶n, cê vô, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi cho t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v ho n th nh luªn v«n. H Nëi, th¡ng 2 n«m 2019 Håc vi¶n cao håc Vô Thà V¥n 1
Möc löc Líi c£m ìn 1 Líi nâi ¦u 3 1 Ki¸n thùc chu©n bà 6 1.1 Gi£i k¼ dà cho k¼ dà ÷íng cong ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 C¡c ph²p bi¸n êi xuy¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Gi£i k¼ dà khæng suy bi¸n b¬ng bi¸n êi xuy¸n . . . . . . . . . . 10 1.4 H m zeta tæpæ cõa k¼ dà ÷íng cong ph¯ng . . . . . . . . . . . . 12 1.5 V½ dö: K¼ dà f (x, y) = y 2 − x3 t¤i O . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 H m zeta tæpæ cõa k¼ dà ìn 17 2.1 K¼ dà ìn A2n−1 (n ≥ 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 K¼ dà ìn A2n (n ≥ 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 H m zeta tæpæ cõa k¼ dà khæng suy bi¸n câ ph¦n ch½nh tüa thu¦n nh§t 26 3.1 K¼ dà y a − xb vîi (a, b) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Bi¶n Newton ch¿ câ mët c¤nh compc . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 K¼ dà ÷íng cong ph¯ng phùc khæng suy bi¸n 35 4.1 Ph²p gi£i xuy¸n cho k¼ dà khæng suy bi¸n . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 H m zeta tæpæ cõa k¼ dà khæng suy bi¸n . . . . . . . . . . . . . 38 T i li»u tham kh£o 42 2
Líi nâi ¦u N«m 1992, Denef v Loeser ph¡t minh ra mët h m zeta mîi, ÷ñc gåi l h m zeta tæpæ, bði °c tr÷ng Euler-Poincar² tæpæ ÷ñc sû döng trong ành ngh¾a (xem [3]). Nâi mët c¡ch næm na, h m zeta tæpæ Zftop (s) cõa mët a thùc d bi¸n h» sè phùc f l mët h m húu t cõa s chùa nhúng thæng tin ÷ñc l§y ra tø mët ph²p gi£i k¼ dà cõa a t¤p phùc X0 := {x ∈ Cd | f (x) = 0}. Chóng ta nhc l¤i ành ngh¾a cõa Zftop (s) nh÷ sau. Cho h : Y → (X, X0 ) l mët ph²p gi£i k¼ dà cõa X0 . Khi â, theo ành ngh¾a cõa ph²p gi£i k¼ dà, h : Y → X l mët ¡nh x¤ ri¶ng theo tæpæ phùc (nghàch £nh cõa mët tªp compc trong X l mët tªp compc trong Y ), Y l mët a t¤p phùc trìn, sao cho ¡nh x¤ h¤n ch¸ h : Y \ h−1 (X0 ) → X \ X0 l mët ¯ng c§u giúa c¡c a t¤p ¤i sè v sao cho h−1 (X0 ) l hñp cõa c¡c th nh ph¦n b§t kh£ quy m chóng ho°c khæng giao nhau ho°c ch¿ giao ho nh (giao nhau vîi bëi giao b¬ng 1 sau khi bä qua sè bëi tr¶n méi th nh ph¦n). C¡c th nh ph¦n b§t kh£ quy cõa h−1 (X0 ) câ hai lo¤i: th nh ph¦n c¡ bi»t (n¸u chóng ¯ng c§u vîi khæng gian x¤ £nh Pd−1 C ), th nh ph¦n thüc sü (n¸u chóng ¯ng c§u vîi khæng gian affine AC d−1 ). Gåi {Ei | i ∈ S} (vîi S l mët tªp húu h¤n) l tªp t§t c£ c¡c th nh ph¦n b§t kh£ quy cõa h−1 (X0 ). Gåi Ni l sè bëi cõa f ◦ h tr¶n Ei v νi − 1 l sè bëi cõa Jacobian of h tr¶n Ei . Vîi méi tªp con I cõa S , ta k½ hi»u EI cho tªp giao i∈I Ei v EI◦ cho tªp T hñp EI \ j6∈I Ej . Khi â Denef v Loeser [3] ành ngh¾a h m zeta tæpæ cõa f S nh÷ sau X Y 1 Zftop (s) = χ(EI◦ ) , I⊆S i∈I Ni s + νi trong â χ l °c tr÷ng Euler-Poincar² tæpæ. Trong [3], c¡c t¡c gi£ ch¿ ra r¬ng Zftop (s) khæng phö thuëc v o sü lüa chån cõa ph²p gi£i k¼ dà h cõa X0 . Hìn 3
4 núa, h m zeta tæpæ n y cán l mët b§t bi¸n r§t thó và, li¶n quan ¸n Gi£ thuy¸t ìn ¤o (mët gi£ thuy¸t quan trång trong Lþ thuy¸t k¼ dà v H¼nh håc ¤i sè, ÷ñc ph¡t biºu bði nh to¡n håc Nhªt B£n Jun-Ichi Igusa nhúng n«m 1980). N¸u x l mët iºm cõa X0 , ta ành ngh¾a Sx := {i ∈ S | h(Ei ) = x}. Khi â h m zeta tæpæ àa ph÷ìng cõa f t¤i iºm x ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau top X Y 1 Zf,x (s) = χ(EI◦ ) . i∈I Ni s + νi I⊆S,I∩Sx 6=∅ Gi£ thuy¸t ìn ¤o (phi¶n b£n tæpæ) k¸t nèi c¡c cüc cõa h m zeta tæpæ vîi c¡c b§t bi¸n quan trång cõa Lþ thuy¸t k¼ dà. Tø ành ngh¾a cõa c¡c h m zeta tæpæ, måi cüc cõa Zftop (s) v Zf,x top (s) ·u câ d¤ng − Nνii vîi i ∈ S . Tuy nhi¶n, b¬ng r§t nhi·u v½ dö, ng÷íi ta nhªn th§y r¬ng câ r§t nhi·u sè húu t − Nνii (vîi top i ∈ S ) khæng ph£i l cüc cõa Zftop (s) v Zf,x (s). Do â, º chùng minh Gi£ top top thuy¸t ìn ¤o, b i to¡n t¼m cüc cõa Zf (s) v Zf,x (s) l mët b i to¡n r§t quan trång. Nâi chung, cho ¸n nay, b i to¡n n y ch÷a ÷ñc gi£i trong tr÷íng hñp têng qu¡t. Câ r§t nhi·u b i b¡o vi¸t v· h m zeta tæpæ v Gi£ thuy¸t ìn ¤o cho k¼ dà ÷íng cong ph¯ng (tùc l cho tr÷íng hñp d = 2), ch¯ng h¤n [7], [11], [10], [4], [6]. Tr÷íng hñp d = 2, Gi£ thuy¸t ìn ¤o ÷ñc chùng minh trong [7], [10], [6]. Nâi ri¶ng, ph÷ìng ph¡p trong [6] düa tr¶n nhúng hiºu bi¸t quan trång v· c¡c ph²p bi¸n êi xuy¸n, ph²p gi£i xuy¸n, h¼nh håc xuy¸n v th¡p gi£i Tschirnhausen cho k¼ dà ÷íng cong ph¯ng ¢ ÷ñc giîi thi»u tr÷îc â trong [8], [9], [1]. Trong luªn v«n n y, chóng tæi t¼m hiºu ph÷ìng ph¡p t½nh h m zeta tæpæ àa ph÷ìng trong b i b¡o cõa Th÷íng v H÷ng [6]. M°c dò b i b¡o [6] · cªp ¸n h m zeta tæpæ cho k¼ dà ÷íng cong ph¯ng têng qu¡t, trong luªn v«n chóng tæi ch¿ åc hiºu v tr¼nh b y l¤i ph÷ìng ph¡p n y cho c¡c k¼ dà ÷íng cong ph¯ng tø c¡c tr÷íng hñp °c bi»t nh÷ k¼ dà ìn ¸n k¼ dà khæng suy bi¸n. Luªn v«n chia th nh bèn ch÷ìng. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y ki¸n thùc chu©n bà v· ph²p bi¸n êi xuy¸n v h m zeta tæpæ cõa k¼ dà ÷íng cong ph¯ng. Ch÷ìng 2 cho c¡c t½nh to¡n cö thº v· gi£i k¼ dà v h m zeta tæpæ cõa k¼ dà ìn. Ch÷ìng 3 tr¼nh b y v· h m zeta tæpæ cõa k¼ dà khæng suy bi¸n câ ph¦n ch½nh l mët a thùc tüa thu¦n nh§t. Cuèi còng, trong Ch÷ìng 4, chóng tæi kh£o s¡t k¼ dà
5 ÷íng cong ph¯ng khæng suy bi¸n b¬ng c¡ch sû döng c¡c ph²p bi¸n êi xuy¸n, tø â mæ t£ h m zeta tæpæ cõa k¼ dà n y thæng qua a di»n Newton cõa nâ.
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 Gi£i k¼ dà cho k¼ dà ÷íng cong ph¯ng Gi£i k¼ dà l mët cæng cö quan trång lþ thuy¸t k¼ dà nâi ri¶ng v h¼nh håc ¤i sè nâi chung. Nâ cho ph²p chuyºn thæng tin h¼nh håc cõa iºm k¼ dà th nh c¡c thæng tin tê hñp nh÷ mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa sp x¸p si¶u ph¯ng, cho ph²p nghi¶n cùu mët ph÷ìng tr¼nh a thùc thæng qua nghi¶n cùu nhi·u ph÷ìng tr¼nh ìn thùc. Sü tçn t¤i cõa gi£i k¼ dà tr¶n tr÷íng °c sè 0 ÷ñc chùng minh bði Hironaka. Trong luªn v«n n y, ta ch¿ · cªp ¸n gi£i k¼ dà cõa ÷íng cong ph¯ng phùc. Gåi O l gèc tåa ë cõa C2 . Ta s³ k½ hi»u bði C{x, y} v nh c¡c chuéi luÿ thøa hai bi¸n h» sè phùc hëi tö trong mët l¥n cªn cõa O trong C2 . X²t mët ph¦n tû f (x, y) cõa C{x, y}. °t C = {(x, y) ∈ C2 | f (x, y) = 0}. iºm O ÷ñc gåi l iºm k¼ dà cõa C (ho°c cõa f ) n¸u ∂f ∂f f (O) = (O) = (O) = 0. ∂x ∂y ành ngh¾a 1.1. Cho f (x, y) l mët chuéi lôy thøa hëi thö tr¶n mët l¥n cªn W cõa O trong C2 sao cho O l mët iºm k¼ dà cõa f . Mët ¡nh x¤ π : Y → W ÷ñc gåi l mët ph²p gi£i tèt cõa C t¤i O (hay cõa (C, O), cõa (f, O), hay ìn gi£n hìn, cõa f ) n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn V cõa O sao cho V ⊆ W v c¡c i·u sau ¥y ÷ñc thäa m¢n. (a) Y l mët a t¤p trìn, tùc l Y ÷ñc phõ bði c¡c b£n ç àa ph÷ìng, méi b£n ç vi phæi vîi (C2 ; x, y), c¡c b£n ç ÷ñc d¡n vîi nhau b¬ng c¡c ¡nh x¤ trìn. 6
Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà 7 (b) π l mët ¡nh x¤ x¡c ành bði c¡c chuéi lôy thøa hëi tö tr¶n V (tùc l mët ¡nh x¤ gi£i t½ch), π l ri¶ng (nghàch £nh cõa mët tªp compc l mët tªp compc), to n ¡nh v π|π−1 (V )\π−1 (O) : π −1 (V ) \ π −1 (O) → V \ {O} l mët ¯ng c§u gi£i t½ch. (c) ×îc div(π ∗ f ) := π −1 (C ∩ V ) ch¿ câ k¼ dà l c¡c iºm giao ho nh cõa c¡c th nh ph¦n b§t kh£ quy cõa nâ, c¡c th nh ph¦n b§t kh£ quy n y l trìn trong π −1 (V ). Trong luªn v«n n y, chóng ta s³ gåi mët ph²p gi£i tèt cõa f l mët ph²p gi£i k¼ dà cõa f . Méi th nh ph¦n b§t kh£ quy cõa π−1(O) ÷ñc gåi l mët th nh ph¦n c¡ bi»t cõa ph²p gi£i k¼ dà π. Méi th nh ph¦n b§t kh£ quy cõa bao âng π −1 (C \ {O}) trong Y cõa π −1 (C \ {O}) ÷ñc gåi l mët th nh ph¦n thüc sü cõa ph²p gi£i k¼ dà π . Tø ành ngh¾a cõa ph²p gi£i k¼ dà ta th§y méi th nh ph¦n c¡ bi»t cõa π ¯ng c§u vîi khæng gian x¤ £nh phùc mët chi·u P1 , méi th nh ph¦n thüc sü ¯ng c§u vîi ÷íng th¯ng phùc C. Gi£ sû (U ; u, v) l mët b£n ç àa ph÷ìng trong Y sao cho tr¶n â π ∗ f câ d¤ng π ∗ f (u, v) = λ(u, v)um v n , trong â λ(u, v) kh¡c 0 vîi måi (u, v) ∈ U . Khi â u = 0 l ph÷ìng tr¼nh x¡c ành mët th nh ph¦n c¡ bi»t E n o â cõa π trong b£n ç (U ; u, v). Tçn t¤i ½t nh§t mët b£n ç kh¡c chùa mët ph¦n cõa E v x¡c ành E tr¶n b£n ç â b¬ng mët ph÷ìng tr¼nh àa ph÷ìng theo c¡ch t÷ìng tü. Sè m l mët b§t bi¸n tr¶n måi b£n ç giao vîi E , nâ ÷ñc gåi l sè bëi cõa π ∗ f tr¶n E , ta s³ k½ hi»u sè n y bði N (E). N¸u Cej l mët th nh ph¦n thüc sü v n¸u f l rót gån (c¡c th nh ph¦n b§t kh£ quy cõa f ·u câ lôy thøa b¬ng 1) th¼ sè bëi tr¶n th nh ph¦n c¡ bi»t luæn l N (C ej ) = 1. N¸u k½ hi»u Ei , vîi i thuëc mët tªp húu h¤n S , l t§t c£ c¡c th nh ph¦n b§t kh£ quy cõa π −1 (C), v k½ hi»u Ni thay cho N (Ei ), ta câ X div(π ∗ f ) = π −1 (C) = N i Ei . i∈S Chó þ r¬ng, Ei câ thº l mët th nh ph¦n c¡ bi»t, công câ thº l mët th nh ph¦n thüc sü. Công trong mët b£n ç (U ; u, v) nh÷ vªy, h m det Jacπ câ d¤ng det Jacπ (u, v) = δ(u, v)up v q ,
Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà 8 trong â δ(u, v) kh¡c 0 vîi måi (u, v) ∈ U . N¸u E l mët th nh ph¦n c¡ bi»t m trong b£n ç n y ÷ñc x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh u = 0 th¼, t÷ìng tü nh÷ tr¶n, p l mët b§t bi¸n ch¿ phö thuëc v o E , khæng phö thuëc v o c¡c b£n ç. Ta k½ hi»u ν(E) := p + 1. T÷ìng tü nh÷ tr¶n ta câ X Kπ := KY /W := div(det Jacπ ) = (νi − 1)Ei , i∈S trong â νi := ν(Ei ) vîi måi i ∈ S . ành ngh¾a 1.2. °t X = (x1 , x2 ; y1 : y2 ) ∈ C2 × P1 | x1 y2 = x2 y1 . Khi â ph²p nê t¥m O cõa C2 l ¡nh x¤ ρ : X → C2 x¡c ành bði ρ(x1 , x2 ; y1 : y2 ) = (x1 , x2 ). a t¤p ρ−1 (O) = (x1 , x2 ; y1 : y2 ) ∈ C2 × P1 | (x1 , x2 ) = O, x1 y2 = x2 y1 ∼= P1 ÷ñc gåi l th nh ph¦n c¡ bi»t cõa ph²p nê ρ. Trong ành ngh¾a v· ph²p nê ρ ð tr¶n, a t¤p X ÷ñc d¡n tø hai b£n ç àa ph÷ìng U1 = {(x2 y1 , x2 ; y1 : 1) | x2 , y1 ∈ C} v U2 = {(x1 , x1 y2 ; 1 : y2 ) | x1 , y2 ∈ C} theo ph÷ìng tr¼nh d¡n y1 y2 = 1. çng nh§t U1 vîi {(x2 , y1 ) | x2 , y1 ∈ C}, çng nh§t U2 vîi {(x1 , y2 ) | x1 , y2 ∈ C}. Khi â biºu thùc t÷íng minh cõa ρ tr¶n U1 l ρ(x2 , y1 ) = (x2 y1 , x2 ), biºu thùc t÷íng minh cõa ρ tr¶n U2 l ρ(x1 , y2 ) = (x1 , x1 y2 ). ành lþ v· gi£i k¼ dà cõa Hironaka ¡p döng v o k¼ dà ÷íng cong ph¯ng phùc câ thº ph¡t biºu nh÷ sau: Méi ph²p gi£i k¼ dà cõa C t¤i O l mët ph²p hñp th nh cõa mët sè húu h¤n c¡c ph²p nê câ d¤ng ρ|ρ−1 (V ) : ρ−1 (V ) → V , vîi V l mët tªp con mð chùa O cõa C2 v ρ x¡c ành nh÷ tr¶n.
Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà 9 1.2 C¡c ph²p bi¸n êi xuy¸n X²t c¡c d n sau ¥y N = {(a, b)t | a, b ∈ Z}, N + = {(a, b)t | a, b ∈ Z≥0 } v NR = N ⊗Z R = {(a, b)t | a, b ∈ R}. Tªp con NR+ = {(a, b)t | a, b ∈ R≥0 } cõa NR ÷ñc gåi l nân d÷ìng trong NR . Méi ph¦n tû cõa N ÷ñc gåi l c¡c v²ctì trång nguy¶n. ành ngh¾a 1.3. Mët ph²p ph¥n chia nân ìn h¼nh Σ ∗ cõa NR+ l mët d¢y (T1 , ..., Tm ) c¡c v²ctì trång nguy¶n sì (hai th nh ph¦n cõa v²ctì nguy¶n tè còng nhau) trong N + sao cho det(Ti , Ti+1 ) ≥ 1 vîi måi 0 ≤ i ≤ m, vîi quy ÷îc T0 = (1, 0)t , Tm+1 = (0, 1)t . Ph²p ph¥n chia Σ∗ ÷ñc gåi l ch½nh quy n¸u det(Ti , Ti+1 ) = 1 vîi måi 0 ≤ i ≤ m. Theo ành ngh¾a, NR+ ÷ñc phõ bði m + 1 nân C(Ti , Ti+1 ) = {xTi + yTi+1 | x, y ≥ 0} cõa Σ∗ . º ìn gi£n, trong luªn v«n n y, ta s³ çng nh§t C(T ! i , Ti+1 ) a b vîi ma trªn vuæng c§p hai σi = (Ti , Ti+1 ). Méi ma trªn σ = câ ành c d thùc b¬ng 1 ho°c −1 x¡c ành mët ¡nh x¤ Φσ : C2 → C2 cho bði Φσ (x, y) = (xa y b , xc y d ). Vîi mët ph²p ph¥n chia nhâm ìn h¼nh ch½nh quy Σ∗ câ c¡c ¿nh T1 , . . . , Tm , ta x²t c¡c nân σi = (Ti , Ti+1 ), 0 ≤ i ≤ m, v c¡c b£n ç xuy¸n t÷ìng ùng {(C2σi ; xi , yi )}, vîi 0 ≤ i ≤ m. X²t c¡c ¡nh x¤ πσi : C2σi → C2 cho bði πσi = Φσi . X²t hñp ríi am C2σi ; xi , yi , i=0 tr¶n â x¥y düng quan h» ∼ nh÷ sau: (xi , yi ) ∼ (xj , yj ) khi v ch¿ khi Φσ−1 σi j x¡c ành t¤i (xi , yi ) v Φσj−1 σi (xi , yi ) = (xj , yj ). Theo [9], quan h» ∼ l mët quan h» t÷ìng ÷ìng. °t m ! a C2σi ; xi , yi /∼ X= i=0 v trang bà tæpæ th÷ìng cho X . Khi â X l mët khæng gian tæpæ; hìn núa, vîi hå c¡c b£n ç xuy¸n tr¶n ta câ thº x¥y düng mët c§u tróc vi ph¥n tr¶n X
Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà 10 sao cho X l mët a t¤p trìn. Cö thº hìn, ta câ thº vi¸t m [ C2σi ; xi , yi , X= i=0 vîi C2σi l c¡c tªp mð cõa X , trong â hai b£n ç (C2σi ; xi , yi ) v (C2σj ; xj , yj ) n¸u chóng giao nhau kh¡c réng th¼ chóng ÷ñc d¡n theo c¡ch sau ¥y: (xi , yj ) ≡ (xj , yj ) khi v ch¿ khi (xi , yi ) ∼ (xj , yj ). (1.1) Rã r ng ph²p d¡n l trìn v c¡c ¡nh x¤ πσi t÷ìng th½ch vîi c¡c ph²p d¡n. Khi â ta °t π(xi , yi ) = πσi (xi , yi ), 0 ≤ i ≤ m. ành ngh¾a 1.4. nh x¤ π : X → C 2 x¡c ành nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l ph²p bi¸n êi xuy¸n li¶n k¸t vîi ph²p ph¥n chia nân ìn h¼nh ch½nh quy Σ . ∗ Nhªn x²t r¬ng, theo [5], mët ph²p bi¸n êi xuy¸n b¬ng hñp th nh cõa mët sè húu h¤n c¡c ph²p nê trong ành ngh¾a 1.2. ×îc π −1 (0) l hñp cõa m th nh ph¦n c¡ bi»t E(Ti ), vîi 1 ≤ i ≤ m (th nh ph¦n c¡ bi»t E(Ti ) t÷ìng ùng vîi duy nh§t ¿nh Ti cõa ph²p ph¥n chia nân ìn h¼nh ch½nh quy Σ∗ ). Méi th nh ph¦n c¡ bi»t E(Ti ) ÷ñc phõ bði hai b£n ç C2σi−1 v C2σi , ph÷ìng tr¼nh cõa nâ trong c¡c b£n ç â l¦n l÷ñt l yi−1 = 0 v xi = 0. Do â, ch¿ c¡c ÷íng E(Ti ) v E(Ti+1 ) giao nhau v â l giao ho nh t¤i gèc cõa b£n ç C2σi . C¡c th nh ph¦n khæng compc E(T0 ) = {x0 = 0} v E(Tm+1 ) = {ym = 0} ¯ng c§u vîi c¡c tröc to¤ ë x = 0 v y = 0 t÷ìng ùng. 1.3 Gi£i k¼ dà khæng suy bi¸n b¬ng bi¸n êi xuy¸n Nhc l¤i r¬ng C{x, y} l v nh c¡c chuéi luÿ thøa hai bi¸n h» sè tr¶n C hëi tö trong mët l¥n cªn cõa O trong C2 . Theo [2], v nh n y ¯ng c§u vîi v nh c¡c h m gi£i t½ch hai bi¸n tr¶n C2 , do â ta câ thº xem hai v nh l mët. Trong möc n y ta x²t mët h m f (x, y) = (a,b)∈N2 cαβ xα y β trong C{x, y} P sao cho f (O) = 0. a di»n Newton Γ = Γ(f ; x, y) cõa f (x, y) l bao lçi cõa tªp hñp [ (α, β) + R2≥0 cαβ 6=0 trong R2≥0 . D¹ th§y bi¶n cõa Γ chùa mët sè húu h¤n c¡c c¤nh (mët chi·u), méi c¤nh n y ho n to n ÷ñc x¡c ành bði mët v²ctì trång nguy¶n sì P =
Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà 11 (a, b)t ∈ N + , vîi (a, b) l mët v²ctì ph¡p tuy¸n cõa ÷íng th¯ng chùa c¤nh n y. K½ hi»u ∂Γ l bi¶n cõa Γ. Vîi méi P = (a, b)t nh÷ tr¶n, ta °t d(P, f ) = min{aα + bβ | (α, β) ∈ Γ}, (1.2) ∆(P, f ) = {(α, β) ∈ ∂Γ | aα + bβ = d(P, f )}. Gi£ sû Γ câ m c¤nh compc vîi c¡c trång t÷ìng ùng ÷ñc ¡nh sè theo thù tü Pi ùng tr÷îc Pi+1 , tùc det(Pi , Pi+1 ) ≥ 1. C¡c h m fPi (x, y) t÷ìng ùng vîi Pi ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau fPi (x, y) = (α,β)∈∆(Pi ,f ) cαβ xα y β . Chóng l c¡c a P thùc h» sè phùc hai bi¸n tüa thu¦n nh§t n¶n luæn ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng ki Y ri si fPi (x, y) = c˜i x y (y ai + ξi,j xbi )Ai,j , (1.3) j=1 trong â c˜i , ξi,j ∈ C∗ vîi måi i, j , v ξi,j 6= ξi,j 0 n¸u j 6= j 0 . Ph¦n ch½nh Newton (ho°c gåi ìn gi£n ph¦n ch½nh) cõa f (x, y) l h m x¡c ành bði X N (f )(x, y) := cαβ xα y β . (α,β)∈∂Γ ành ngh¾a 1.5. H m f (x, y) ÷ñc gåi l khæng suy bi¸n n¸u A = 1 vîi måi i,j i, j . H m f (x, y) ÷ñc gåi suy bi¸n n¸u tçn t¤i i, j sao cho Ai,j > 2. ành ngh¾a 1.6. Cho Σ ∗ l mët ph²p ph¥n chia nân ìn h¼nh ch½nh quy vîi c¡c ¿nh T1 , . . . , Tm . Bê sung T0 = (1, 0)t v Tm+1 = (0, 1)t . Gi£ sû P1 , . . . , Pk l t§t c£ c¡c v²ctì trång nguy¶n sì d÷ìng t÷ìng ùng vîi c¡c c¤nh cõa a di»n Newton Γ cõa f . Khi â Σ∗ ÷ñc gåi l ch§p nhªn ÷ñc èi vîi f n¸u {P1 , . . . , Pk } ⊆ {T0 , T1 , . . . , Tm+1 }. Cho π : X → C2 l ph²p bi¸n êi xuy¸n li¶n k¸t vîi ph²p ph¥n chia nân ìn h¼nh ch½nh quy Σ∗ . Khi â π ÷ñc gåi l ch§p nhªn ÷ñc èi vîi f n¸u Σ∗ ch§p nhªn ÷ñc èi vîi f . Ta s³ li»t k¶ c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa ph²p bi¸n êi xuy¸n π ch§p nhªn ÷ñc èi vîi f . Th nh ph¦n c¡ bi»t E(Tj ) giao kh¡c réng vîi c¡c th nh ph¦n thüc sü C e khi v ch¿ khi tçn t¤i 1 ≤ i ≤ k sao cho Tj = Pi . Sû döng k½ hi»u nh÷ trong (1.3), th nh ph¦n c¡ bi»t E(Pi ) (Pi = Tj ) giao vîi c¡c th nh ph¦n thüc sü C e t¤i ki iºm (0, −ξi,s ) ∈ C2 , vîi 1 ≤ s ≤ ki . Hìn núa, sè bëi cõa π ∗ f σj tr¶n E(Tj ) ÷ñc t½nh nh÷ sau N (Tj ) := N (E(Tj )) = d(Tj , f ),
Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà 12 vîi d(Tj , f ) ÷ñc ành ngh¾a trong (1.2). Do â ta câ m X ki k X X ∗ div(π f ) = d(Tj , f )E(Tj ) + C ei,s , j=1 i=1 s=1 ei,s l c¡c th nh ph¦n thüc sü i qua c¡c iºm (0, −ξi,s ) ∈ C2 nâi trong â C σi tr¶n. N¸u f (x, y) b§t kh£ quy, th¼ k = 1, k1 = 1, v f (x, y) câ thº vi¸t ÷ñc d÷îi d¤ng f (x, y) = (y a1 + ξ1 xb1 )A2 + (c¡c sè h¤ng cao hìn). N¸u f khæng suy bi¸n, th¼ C ei,j l trìn v C ei,j giao ho nh vîi E(Pi ). Trong tr÷íng hñp n y, ph²p bi¸n êi xuy¸n π ch§p nhªn ÷ñc èi vîi f l mët ph²p gi£i k¼ dà cõa f . 1.4 H m zeta tæpæ cõa k¼ dà ÷íng cong ph¯ng Cho f (x, y) l mët ph¦n tû cõa C{x, y} sao cho O l mët iºm k¼ dà cõa nâ. K½ hi»u C = {(x, y) ∈ C2 | f (x, y) = 0}. X²t mët ph²p gi£i k¼ dà tòy þ π : Y → C2 cõa C t¤i O vîi c¡c dú li»u tê hñp nh÷ sau X div(π ∗ f ) := π −1 (C) = Ni Ei i∈S v X div(π ∗ dx ∧ dy) := div(det Jacπ ) = (νi − 1)Ei , i∈S vîi Ei , i ∈ S , l c¡c th nh ph¦n b§t kh£ quy cõa π −1 (C); trong sè n y, n¸u Ei l mët th nh ph¦n b§t kh£ quy cõa π −1 (O) th¼ nâ ÷ñc gåi l mët th nh ph¦n c¡ bi»t cõa π, n¸u Ei l mët th nh ph¦n b§t kh£ quy cõa π−1(C \ {O}) th¼ ÷ñc nâ ÷ñc gåi l mët th nh ph¦n thüc sü cõa π . C¡c sè Ni v νi l c¡c sè nguy¶n d÷ìng. Vîi måi i ∈ S , °t [ Ei◦ = Ei \ Ej . j∈S,j6=i ành ngh¾a 1.7. H m zeta tæpæ cõa k¼ dà f (ho°c C ) t¤i O l h m húu t sau ¥y top X χ(E ◦ ) X χ(Ei ∩ Ej ) i Zf,O (s) = + . i∈S Ni s + νi i,j∈S,i6=j (Ni s + ν i )(Nj s + νj )
Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà 13 top Nhc l¤i r¬ng, Denef-Loeser ¢ chùng minh h m zeta tæpæ Zf,O (s) khæng phö thuëc v o ph²p gi£i k¼ dà cõa f t¤i O. 1.5 V½ dö: K¼ dà f (x, y) = y 2 − x3 t¤i O D¹ th§y f (x, y) khæng suy bi¸n èi vîi a di»n Newton Γ cõa nâ. a di»n Γ câ mët c¤nh compc duy nh§t l o¤n th¯ng nèi hai iºm (0, 2) v (3, 0), v²ctì d÷ìng nguy¶n sì l ph¡p tuy¸n cõa ÷íng th¯ng nèi hai iºm n y l (2, 3). °t P1 = (2, 3)t . Do â, mët ph²p ph¥n chia nân ìn h¼nh ch½nh quy ch§p nhªn ÷ñc èi vîi f l Σ∗ vîi c¡c ¿nh (t½nh c£ c¡c ¿nh bê sung T0 , Tm+1 theo quy ÷îc): ! ! ! ! ! 1 1 2 1 0 T0 = , T1 = , T2 = P1 = , T3 = , T4 = . 0 1 3 2 1 (Vªy trong tr÷íng hñp n y m = 3 v k = 1.) Ph²p ph¥n chia nân ìn h¼nh Σ∗ cho 4 ma trªn sau ¥y lªp tø c¡c ¿nh k¸ ti¸p nhau: ! ! ! ! 1 1 1 2 2 1 1 0 σ0 = , σ1 = , σ2 = , σ3 = . 0 1 1 3 3 2 2 1 Khæng gian nguçn cõa ph²p bi¸n êi xuy¸n π ch§p nhªn ÷ñc èi vîi f l a t¤p trìn X = C2σ0 ; x0 , y0 ∪ C2σ1 ; x1 , y1 ∪ C2σ2 ; x2 , y2 ∪ C2σ3 ; x3 , y3 , trong â c¡c b£n ç C2σi ; xi , yi ÷ñc d¡n trìn vîi nhau theo luªt d¡n (1.1). Tr¶n b£n ç C2σ0 ; x0 , y0 , biºu thùc t÷íng minh cõa π l π(x0 , y0 ) = Φσ0 (x0 , y0 ) = (x0 y0 , y0 ). K½ hi»u dx ∧ dy l d¤ng vi ph¥n ch½nh tc tr¶n C2 . Khi â π ∗ f (x0 , y0 ) = y02 − (x0 y0 )3 = y02 (1 − x30 y0 ), π ∗ (dx ∧ dy)(x0 , y0 ) = d(x0 y0 ) ∧ dy0 = (y0 dx0 + x0 dy0 ) ∧ dy0 (1.4) = y0 dx0 ∧ dy0 . Biºu thùc cõa π tr¶n C2σ1 ; x1 , y1 l π(x1 , y1 ) = Φσ1 (x1 , y1 ) = (x1 y12 , x1 y13 ).
Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà 14 Khi â π ∗ f (x1 , y1 ) = (x1 y13 )2 − (x1 y12 )3 = x21 y16 (1 − x1 ), (1.5) π ∗ (dx ∧ dy)(x1 , y1 ) = d(x1 y12 ) ∧ d(x1 y13 ) = x1 y14 dx1 ∧ dy1 . Hai b£n ç C2σ0 ; x0 , y0 v C2σ1 ; x1 , y1 phõ th nh ph¦n c¡ bi»t E(T1 ); trong b£n ç thù nh§t, E(T1 ) x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh y0 = 0, v trong b£n ç thù hai, E(T1 ) x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh x1 = 0. Theo c¡c t½nh to¡n (1.4) v (1.5), c¡c dú li»u tê hñp N (T1 ) v ν(T1 ) ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: N (T1 ) = 2, ν(T1 ) = 1 + 1 = 2. Biºu thùc cõa π tr¶n C2σ2 ; x2 , y2 l π(x2 , y2 ) = Φσ2 (x2 , y2 ) = (x22 y2 , x32 y22 ). Khi â π ∗ f (x2 , y2 ) = (x32 y22 )2 − (x22 y2 )3 = x62 y23 (y2 − 1), (1.6) π ∗ (dx ∧ dy)(x2 , y2 ) = d(x22 y2 ) ∧ d(x32 y22 ) = x42 y22 dx2 ∧ dy2 . Hai b£n ç C2σ1 ; x1 , y1 v C2σ2 ; x2 , y2 phõ th nh ph¦n c¡ bi»t E(T2 ) = E(P1 ); trong b£n ç thù nh§t, E(T2 ) x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh y1 = 0, v trong b£n ç thù hai, E(T2 ) x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh x2 = 0. Theo c¡c t½nh to¡n (1.5) v (1.6), c¡c dú li»u tê hñp N (T2 ) = N (P1 ) v ν(T2 ) = ν(P1 ) ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: N (T2 ) = N (P1 ) = 6, ν(T2 ) = ν(P1 ) = 4 + 1 = 5. V¼ P1 t÷ìng ùng vîi c¤nh compc duy nh§t cõa Γ n¶n E(T2 ) = E(P1 ) l th nh ph¦n c¡ bi»t duy nh§t giao vîi th nh ph¦n thüc sü (k½ hi»u E0 ) cõa ph²p gi£i k¼ dà π ; iºm giao duy nh§t câ tåa ë (1, 0) trong b£n ç C2σ1 ; x1 , y1 , v câ tåa ë (0, 1) trong b£n ç C2σ2 ; x2 , y2 (rã r ng r¬ng (x1 = 1, y1 = 0) ≡ (x2 = 0, y2 = 1) theo luªt d¡n (1.1)). Tø c¡c biºu thùc n y ta công câ N (E0 ) = 1 v ν(E0 ) = 0 + 1 = 1. Biºu thùc cõa π tr¶n C2σ3 ; x3 , y3 l π(x3 , y3 ) = Φσ3 (x3 , y3 ) = (x3 , x23 y3 ). Khi â π ∗ f (x3 , y3 ) = (x23 y3 )2 − x33 = x33 (x3 y32 − 1), (1.7) π ∗ (dx ∧ dy)(x3 , y3 ) = dx3 ∧ d(x23 y3 ) = x23 dx3 ∧ dy3 .
Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà 15 Hai b£n ç C2σ2 ; x2 , y2 v C2σ3 ; x3 , y3 phõ th nh ph¦n c¡ bi»t E(T3 ); trong b£n ç thù nh§t, E(T3 ) x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh y2 = 0, v trong b£n ç thù hai, E(T3 ) x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh x3 = 0. Theo c¡c t½nh to¡n (1.6) v (1.7), c¡c dú li»u tê hñp N (T3 ) v ν(T3 ) ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: N (T3 ) = 3, ν(T3 ) = 2 + 1 = 3. Sau khi ph¥n t½ch v· h¼nh håc v tê hñp cõa ph²p gi£i k¼ dà π cõa k¼ dà cõa C := {(x, y) ∈ C2 | y 2 − x3 = 0 t¤i O nh÷ tr¶n, ta câ thº minh håa vi»c sp x¸p c¡c th nh ph¦n c¡ bi»t E(T1 ), E(T2 ) = E(P1 ), E(T3 ) v th nh ph¦n thüc sü (k½ hi»u E0 ) trong l÷ñc ç sau ¥y. Tr¶n méi c¤nh cõa l÷ñc ç l c¡c thæng sè E (N, ν). 6 E(P1 ) (6, 5) E0 (1, 1) E(T1 ) (2, 2) E(T3 ) (3, 3) top Sau ¥y ta s³ t½nh h m zeta tæpæ Zf,O (s) cõa f (x, y) = y 2 − x3 t¤i O. Ta câ c¡c çng phæi sau ¥y cõa c¡c khæng gian tæpæ: E(T1 )◦ ∼ = E(T3 )◦ ∼ = R2 , E(P1 )◦ ∼ = R2 \ (2 iºm), E0◦ ∼ = R2 \ (1 iºm). Ph²p tam gi¡c ph¥n ìn gi£n nh§t cõa R2 cho 1 m°t (ch½nh l R2 ), 0 c¤nh, 0 ¿nh; cho n¶n °c tr÷ng Euler cõa nâ b¬ng 1. Mët ph²p tam gi¡c ph¥n cõa R2 \ (2 iºm) cho 2 m°t, 3 c¤nh, 0 ¿nh; cho n¶n °c tr÷ng Euler cõa R2 \ (2 iºm) b¬ng 2 − 3 + 0 = −1. Cuèi còng, mët ph²p tam gi¡c ph¥n cõa R2 \ (1 iºm) cho 2 m°t, 2 c¤nh, 0 ¿nh; cho n¶n °c tr÷ng Euler cõa R2 \ (1 iºm) b¬ng 2 − 2 + 0 = 0. Quan s¡t l÷ñc ç tr¶n ta câ top χ(E(T1 )◦ ) χ(E(P1 )◦ ) χ(E(T3 )◦ ) χ(E0◦ ) Zf,O (s) = + + + + 2s + 2 6s + 5 3s + 3 s+1 χ(E(T1 ) ∩ E(P1 )) χ(E(T3 ) ∩ E(P1 )) χ(E0 ∩ E(P1 )) + + + (2s + 2)(6s + 5) (3s + 3)(6s + 5) (s + 1)(6s + 5) 1 1 1 = − + + 2s + 2 6s + 5 3s + 3 1 1 1 + + + (2s + 2)(6s + 5) (3s + 3)(6s + 5) (s + 1)(6s + 5)
Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà 16 5(6s + 5) + 11 − 6(s + 1) = 6(s + 1)(6s + 5) 24s + 30 = 6(s + 1)(6s + 5) 4s + 5 = . (s + 1)(6s + 5)
Ch÷ìng 2 H m zeta tæpæ cõa k¼ dà ìn Trong ch÷ìng n y, ta t½nh h m zeta tæpæ cho k¼ dà ìn Ak (ph÷ìng tr¼nh àa ph÷ìng y 2 − xk+1 = 0), tø â ta câ thº x¡c ành ÷ñc cüc cõa nâ. 2.1 K¼ dà ìn A 2n−1 (n ≥ 2) K¸t qu£ ch½nh cõa möc n y l ành lþ sau ¥y. ành lþ 2.1. H m zeta tæpæ cõa k¼ dà f (x, y) = y 2 − x2n t¤i O ∈ C2 b¬ng top (n − 1)s + n + 1 Zf,O (s) = . (s + 1)(2ns + n + 1) Chùng minh. Kà dà ìn f (x, y) = y2 − x2n t¤i O l mët k¼ dà khæng suy bi¸n èi vîi a di»n Newton Γ cõa nâ. Thüc ra, Γ ch¿ câ mët c¤nh compc duy nh§t vîi v²ctì ph¡p tuy¸n (1, n) (ta °t P1 = (1, n)t ). Ta câ thº gi£i k¼ dà n y b¬ng mët ph²p bi¸n êi xuy¸n ch§p nhªn ÷ñc èi vîi f . X²t ph²p ph¥n chia nân ìn h¼nh ch½nh quy Σ∗ vîi c¡c ¿nh nh÷ sau: ! ! ! ! ! 1 1 1 1 0 T0 = , T1 = , T2 = , . . . , Tn = , Tn+1 = . 0 1 2 n 1 Ph²p ph¥n chia nân ìn h¼nh Σ∗ cho n + 1 ma trªn sau ¥y lªp tø c¡c ¿nh k¸ ti¸p nhau: ! ! ! ! 1 1 1 1 1 1 1 0 σ0 = , σ1 = , . . . , σn−1 = , σn = . 0 1 1 2 n−1 n n 1 X²t ph²p bi¸n êi xuy¸n li¶n k¸t vîi Σ∗ nh÷ sau: n [ C2σi ; xi , yi → C2 ; x, y , π : X := i=0 17
Ch÷ìng 2. H m zeta tæpæ cõa k¼ dà ìn 18 vîi X l mët a t¤p phùc trìn, d¡n tø c¡c b£n ç àa ph÷ìng C2σi ; xi , yi , 0 ≤ i ≤ n, theo luªt d¡n (1.1). Ta t½nh div(π ∗ f ) v div(π ∗ (dx ∧ dy)) tr¶n méi b£n ç àa ph÷ìng. Vîi 0 ≤ i ≤ n − 1, biºu thùc tåa ë cõa π tr¶n b£n ç C2σi ; xi , yi l π(xi , yi ) = Φσi (xi , yi ) = (xi yi , xii yii+1 ). Khi â, tr¶n b£n ç n y, π ∗ f (xi , yi ) = (xii yii+1 )2 − (xi yi )2n = x2i 2i+2 i yi (1 + xn−i i yi n−i−1 )(1 − xn−i i yi n−i−1 ), π ∗ (dx ∧ dy)(xi , yi ) = d(xi yi ) ∧ d(xii yii+1 ) = xii yii+1 dxi ∧ dyi . Biºu thùc tåa ë cõa π tr¶n b£n ç C2σn ; xn , yn l π(xn , yn ) = Φσn (xn , yn ) = (xn , xnn yn ). Do â, tr¶n C2σn ; xn , yn , ta câ π ∗ f (xn , yn ) = (xnn yn )2 − x2n n = x2n n (yn + 1)(yn − 1), π ∗ (dx ∧ dy)(xn , yn ) = dxn ∧ d(xnn yn ) = xn dxn ∧ dyn . Vîi méi 1 ≤ i ≤ n, hai b£n ç (C2σi−1 ; xi−1 , yi−1 ) v (C2σi ; xi , yi ) phõ th nh ph¦n c¡ bi»t E(Ti ); trong b£n ç thù nh§t, E(Ti ) x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh yi−1 = 0, v trong b£n ç thù hai, E(Ti ) x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh xi = 0. Theo c¡c t½nh to¡n tr¶n, vîi måi 1 ≤ i ≤ n, c¡c dú li»u tê hñp N (Ti ) v ν(Ti ) ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: N (Ti ) = 2i, ν(Ti ) = i + 1. C¡c th nh ph¦n thüc sü cõa π l c¡c th nh ph¦n b§t kh£ quy cõa ÷íng cong trong X m tr¶n c¡c b£n ç C2σi ; xi , yi , vîi 0 ≤ i ≤ n − 1, ÷ñc x¡c ành bði (1 + xn−i n−i−1 i yi )(1 − xn−i i yi n−i−1 ) = 0, v tr¶n b£n ç C2σn ; xn , yn ÷ñc x¡c ành bði (yn + 1)(yn − 1) = 0. Do â ch¿ câ hai th nh ph¦n thüc sü cõa π , ta s³ k½ hi»u l¦n l÷ñt l E01 v E02 . Ph÷ìng tr¼nh cõa E01 v E02 ÷ñc cho trong b£ng sau ¥y: