ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–
PHẠM TRUNG HẢO
HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN, 5/2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–
PHẠM TRUNG HẢO
HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY
THÁI NGUYÊN, 5/2018
iii
Mục lục
Bảng ký hiệu 1
Mở đầu 2
Chương 1. Nửa nhóm không giãn và bất đẳng thức biến
phân 5
1.1 Nửa nhóm không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Không gian Banach lồi đều . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Nửa nhóm không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . . 13 1.1.3 Giới hạn Banach và tính chất
1.2 Bất đẳng thức biến phân và một số bài toán liên quan . . 14 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 14
1.2.2 Một số bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2. Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân trên tập
19
điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn 2.1 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung
của nửa nhóm không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2
Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov . . . . . . . . 20
2.2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2 2.2.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Phương pháp hiệu chỉnh lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
iv
2.3.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Kết luận 32
Tài liệu tham khảo 33
1
Bảng ký hiệu
H không gian Hilbert thực
không gian Banach không gian đối ngẫu của X
X X ∗ SX R mặt cầu đơn vị của X tập các số thực
R+
∅ tập các số thực không âm tập rỗng
∀x với mọi x
miền xác định của toán tử A miền ảnh của toán tử A
D(A) R(A) A−1 I toán tử ngược của toán tử A toán tử đồng nhất
không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b] không gian các dãy số khả tổng bậc p
không gian các dãy số bị chặn không gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b]
C[a, b] lp, 1 ≤ p < ∞ l∞ Lp[a, b], 1 ≤ p < ∞ d(x, C) lim supn→∞ xn lim infn→∞ xn xn → x0 xn (cid:42) x0 J j khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C giới hạn trên của dãy số {xn} giới hạn dưới của dãy số {xn} dãy {xn} hội tụ mạnh về x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0 ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị
Fix(T ) c tập điểm bất động của ánh xạ T không gian các dãy số hội tụ
2
Mở đầu
Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều đã
được nhà toán học người Italia là G. Stampacchia và các đồng sự đưa
ra đầu tiên vào năm 1960 (xem [16]) trong khi nghiên cứu các bài toán
biên tự do. Từ đó các phương pháp bất đẳng thức biến phân vô hạn
chiều đã được sử dụng rộng rãi và hiệu quả trong các phương trình vật
lý toán. Bất đẳng thức biến phân có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
kinh tế, kỹ thuật, vận trù học v.v. . . . Vì vai trò quan trọng của bất đẳng
thức biến phân trong lý thuyết toán học cũng như trong ứng dụng thực
tế nên nó luôn là một đề tài thời sự, được nhiều nhà toán học quan tâm
nghiên cứu.
Bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu, nói chung, thuộc lớp bài toán
đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán (khi dữ kiện
thay đổi nhỏ) hoặc không tồn tại nghiệm, hoặc nghiệm không duy nhất
hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Những
người có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán đặt không chỉnh là
các nhà toán học A.N. Tikhonov (1963) [14], M.M. Lavrentiev (1967)
[11] và V.K. Ivanov (1978) [10] v.v. . . . Do tính không ổn định của bài
toán đặt không chỉnh nên việc giải số của nó gặp nhiều khó khăn. Lý do
là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến sai số bất
kỳ trong lời giải. Để giải loại bài toán này ta phải sử dụng các phương
pháp giải ổn định sao cho khi sai số của dữ kiện càng nhỏ thì nghiệm
xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán ban đầu. Một
trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi và khá hiệu quả đó là
3
phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Kể từ năm 1963 khi A.N. Tikhonov
[14] đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng, gọi là phương pháp hiệu
chỉnh Tikhonov, thì lý thuyết bài toán đặt không chỉnh được phát triển
hết sức sôi động và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế.
Trên cơ sở ý tưởng hiệu chỉnh của A.N. Tikhonov, F. Browder, Ya.I.
Alber, I.P. Ryazansteva, O.A. Liskovets v.v. . . đã phát triển các phương
pháp hiệu chỉnh mới cho lớp bài toán bất đẳng thức biến phân loại đơn
điệu từ không gian Hilbert sang không gian Banach, từ bài toán tuyến
tính sang bài toán phi tuyến, từ bài toán đơn trị sang bài toán đa trị
v.v. . . . (xem [4], [8], [12] và các tài liệu được trích dẫn trong đó).
Đề tài luận văn trình bày hai phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng
thức biến phân trên tập ràng buộc là tập điểm bất động chung của nửa
nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Banach trong bài báo [13]
của Nguyễn Thị Thu Thủy và các đồng tác giả công bố năm 2017.
Nội dung của đề tài được trình bày trong hai chương. Chương 1 với
tiêu đề "Nửa nhóm không giãn và bất đẳng thức biến phân", trình bày
một số khái niệm và tính chất của không gian Banach, ánh xạ không
giãn, nửa nhóm ánh xạ không giãn và bài toán bất đẳng thức biến phân
j-đơn điệu. Chương 2 với tiêu đề "Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân
trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn", trình bày hai
phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất
động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn, trình bày các định lý hội
tụ mạnh của hai phương pháp cùng hai ví dụ minh họa.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên. Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này, Trường
Đại học Khoa học đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập,
nghiên cứu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các
thầy, cô trong khoa Toán - Tin, trong Trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới
PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy - Người đã tận tình hướng dẫn tác giả
4
hoàn thành luận văn này.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu trường THPT
Ân Thi, Hưng Yên và tập thể các thầy cô giáo trong tổ Toán Tin của
Trường đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong thời gian tác giả tham
gia học cao học.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018
Tác giả luận văn
Phạm Trung Hảo
5
Chương 1
Nửa nhóm không giãn và bất đẳng
thức biến phân
Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian
Banach; ánh xạ j-đơn điệu, ánh không giãn, nửa nhóm ánh xạ không giãn, giới hạn Banach, bất đẳng thức biến phân và một số bài toán liên
quan đến bất đẳng thức biến phân. Các kiến thức của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3] và các tài liệu được trích dẫn trong
1.1 Nửa nhóm không giãn
đó.
Mục này trình bày các định nghĩa, ví dụ về không gian Banach lồi đều có chuẩn khả vi Gâteaux đều; định nghĩa, ví dụ về ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc của không gian Banach, tính chất của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; định nghĩa, ví dụ về ánh xạ j-đơn điệu, nửa nhóm ánh xạ không
giãn trong không gian Banach; định nghĩa giới hạn Banach và tính chất.
1.1.1 Không gian Banach lồi đều
Cho X là một không gian Banach thực, X ∗ là không gian đối ngẫu của X và (cid:104)x, x∗(cid:105) là ký hiệu giá trị của x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Ký hiệu 2X là một họ các tập con khác rỗng của X. Ký hiệu SX := {x ∈ X : (cid:107)x(cid:107) = 1} là mặt cầu đơn vị của không gian Banach X.
6
Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ SX, x (cid:54)= y ta có
(cid:107)(1 − λ)x + λy(cid:107) < 1 với mọi λ ∈ (0, 1).
Chú ý 1.1.2 Định nghĩa 1.1.1 có thể được phát biểu dưới dạng tương đương: Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ SX, x (cid:54)= y thì
< 1. x + y 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
Ví dụ 1.1.3 Không gian Hilbert H là một không gian lồi chặt. Thật vậy, từ đẳng thức hình bình hành
(cid:107)x + y(cid:107)2 + (cid:107)x − y(cid:107)2 = 2(cid:0) (cid:107)x(cid:107)2 + (cid:107)y(cid:107)2 (cid:1),
suy ra với mọi x, y ∈ SH, x (cid:54)= y ta có
(cid:16) (cid:107)x(cid:107)2 + (cid:107)y(cid:107)2(cid:17) − = (cid:107)x − y(cid:107)2 = 1 − (cid:107)x − y(cid:107)2 < 1. x + y 2 1 2 1 4 1 4 (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
Định nghĩa 1.1.4 Không gian Banach X được gọi là một không gian lồi đều nếu với mọi ε > 0, với mọi x, y ∈ X thỏa mãn (cid:107)x(cid:107) ≤ 1, (cid:107)y(cid:107) ≤ 1,
(cid:107)x − y(cid:107) ≥ ε, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho
≤ 1 − δ. x + y 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
Ví dụ 1.1.5 Không gian Hilbert H là một không gian lồi đều. Thật vậy, từ đẳng thức hình bình hành
(cid:107)x + y(cid:107)2 + (cid:107)x − y(cid:107)2 = 2(cid:0) (cid:107)x(cid:107)2 + (cid:107)y(cid:107)2 (cid:1),
với (cid:107)x(cid:107) ≤ 1, (cid:107)y(cid:107) ≤ 1, x (cid:54)= y và (cid:107)x − y(cid:107) ≥ ε ta có
(cid:107)x + y(cid:107)2 ≤ 4 − ε2.
Từ đây suy ra
≤ 1 − δ(ε), x + y 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) với δ(ε) = 1 − (cid:112)1 − ε2/4.
7
Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach X được gọi là
(i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hay không gian trơn) nếu với mỗi y ∈ SX
giới hạn
lim t→0 (cid:107)x + ty(cid:107) − (cid:107)x(cid:107) t
tồn tại với x ∈ SX, ký hiệu là (cid:104)y, (cid:53)(cid:107)x(cid:107)(cid:105) và (cid:53)(cid:107)x(cid:107) được gọi là đạo hàm Gâteaux của chuẩn;
(ii) có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu giới hạn trên đạt được đều với
mọi x ∈ SX.
Ví dụ 1.1.7 Các không gian lp, Lp[a, b] (1 < p < ∞) là các không gian Banach trơn.
Định nghĩa 1.1.8 Cho X là một không gian Banach, hàm số
ρX : R+ −→ R+
được gọi là mô đun trơn của X nếu
(cid:111) − 1 : (cid:107)x(cid:107) = 1, (cid:107)y(cid:107) = t ρX(t) = sup
t > 0. (cid:111) , = sup − 1 : (cid:107)x(cid:107) = 1, (cid:107)y(cid:107) = 1 (cid:110)(cid:107)x + y(cid:107) + (cid:107)x − y(cid:107) 2 (cid:110)(cid:107)x + ty(cid:107) + (cid:107)x − ty(cid:107) 2
Định nghĩa 1.1.9 Không gian Banach X được gọi là trơn đều nếu
= 0. ρX(0) = lim t→0 ρX(t) t
1
p − 1
Ví dụ 1.1.10 Không gian lp (1 < p ≤ 2) là không gian trơn đều. Thật vậy,
= 0. lim t→0 = lim t→0 ρlp(t) t (1 + tp) t
Định nghĩa 1.1.11 Không gian Banach X được gọi là q-trơn đều, q >
1, nếu tồn tại số c > 0 sao cho
t ∈ [0; +∞) . ρX(t) ≤ ctq,
Sau đây ta trình bày khái niệm về ánh xạ j-đơn điệu.
8
Định nghĩa 1.1.12 Ánh xạ Jq : X → 2X ∗, q > 1 (nói chung là đa trị) xác định bởi
Jqx = (cid:8)uq ∈ X ∗ : (cid:104)x, uq(cid:105) = (cid:107)x(cid:107)(cid:107)uq(cid:107), (cid:107)uq(cid:107) = (cid:107)x(cid:107)q−1(cid:9),
được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của không gian Banach X. Khi q = 2, ánh xạ J2 được ký hiệu là J và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X. Tức là
Jx = (cid:8)u ∈ X ∗ : (cid:104)x, u(cid:105) = (cid:107)x(cid:107)(cid:107)u(cid:107), (cid:107)u(cid:107) = (cid:107)x(cid:107)(cid:9).
Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc tồn tại trong mọi không gian Banach X.
Ví dụ 1.1.13 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trong không gian Hilbert H là ánh xạ đơn vị I.
Định nghĩa 1.1.14 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → 2X ∗ của không gian Banach X được gọi là
(i) liên tục yếu theo dãy nếu J đơn trị và với mọi dãy {xn} ⊂ X hội tụ yếu đến x (xn (cid:42) x) thì Jxn hội tụ yếu đến Jx (Jxn (cid:42) Jx) theo tôpô yếu∗ trong X ∗.
(ii) liên tục mạnh-yếu∗ nếu J đơn trị và với mọi dãy {xn} hội tụ mạnh đến x (xn → x) thì Jxn hội tụ yếu đến Jx (Jxn (cid:42) Jx) theo tôpô yếu∗ trong X ∗.
Nhận xét 1.1.15 Không gian lp, 1 < p < ∞, có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trong không gian Lp[a, b], 1 < p < ∞, không thỏa mãn tính chất này.
Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có mối liên hệ với tính khả vi của chuẩn của không gian Banach như khẳng định trong định lý
sau đây.
Định lý 1.1.16 (xem [3]) Cho X là không gian Banach với ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → 2X ∗. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) X là không gian trơn;
9
(ii) J là đơn trị;
(iii) Chuẩn của X là khả vi Gâteaux với (cid:53)(cid:107)x(cid:107) = (cid:107)x(cid:107)−1Jx.
Chú ý 1.1.17 Ta dùng ký hiệu j để chỉ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn
trị.
Định lý 1.1.18 (xem [3]) Cho X là không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Khi đó ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j : X → X ∗ là liên tục đều mạnh-yếu∗ trên mọi tập con bị chặn trong X.
Bổ đề 1.1.19 (xem [19]) Cho số thực q > 1 và X là không gian Banach
thực trơn. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) X là không gian q-trơn đều.
(ii) Tồn tại một hằng số Cq > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X, bất đẳng
thức sau đây thỏa mãn:
(cid:107)x + y(cid:107)q ≤ (cid:107)x(cid:107)q + q(cid:104)y, jq(x)(cid:105) + Cq(cid:107)y(cid:107)q.
Chú ý 1.1.20 Hằng số Cq trong Bổ đề 1.1.19 được gọi là hằng số q-trơn đều của không gian Banach X.
1.1.2 Nửa nhóm không giãn
Cho X là một không gian Banach, T : X → X là một ánh xạ. Tập
hợp tất cả các điểm bất động của ánh xạ T được ký hiệu là
Fix(T ) = {x ∈ X | T x = x} .
Ví dụ 1.1.21 Xét ánh xạ T : R → R, T x = x. Do mọi số thực x đều thỏa mãn T x = x nên Fix(T ) = R.
Ví dụ 1.1.22 Xét ánh xạ T : R → R, T x = x2 + 1. Do không tồn tại x thỏa mãn x2 + 1 = x nên Fix(T ) = ∅.
Ví dụ 1.1.23 Xét ánh xạ T : R → R, T x = x2 + 2x. Do x2 + 2x = x tương đương với x = 0 hoặc x = −1 nên Fix(T ) = {0; −1}.
10
Định nghĩa 1.1.24 Cho C là một tập con khác rỗng của không gian
Banach X.
(i) Ánh xạ T : C → X được gọi là ánh xạ L-liên tục Lipschitz nếu tồn
tại hằng số L > 0 sao cho
(cid:107)T x − T y(cid:107) ≤ L(cid:107)x − y(cid:107) ∀x, y ∈ C. (1.1)
(ii) Trong (1.1), nếu L ∈ (0, 1) thì T được gọi là ánh xạ co; nếu L = 1
thì T được gọi là ánh xạ không giãn.
Ví dụ 1.1.25 Ánh xạ A : R → R, Ax = 2x không phải là một ánh xạ không giãn vì tồn tại x = 1, y = 2 thỏa mãn
|Ax − Ay| = 3 > |x − y| = 1.
Ví dụ 1.1.26 Ánh xạ A : R → R, Ax = x là một ánh xạ không giãn vì với mọi x, y ∈ R, |Ax − Ay| = |x − y|.
Định nghĩa 1.1.27 Ánh xạ A : (D(A) = X) → X được gọi là giả co
nếu
(cid:107)Ax − Ay(cid:107) ≤ (cid:107)x − y(cid:107)2 + (cid:107)(I − A)x − (I − A)y(cid:107)2 , ∀x, y ∈ D(A)
trong đó I là ánh xạ đồng nhất.
Định nghĩa 1.1.28 Ánh xạ A : X → X được gọi là γ-giả co chặt nếu với mỗi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
(cid:104)Ax − Ay, j(x − y)(cid:105) ≤ (cid:107)x − y(cid:107)2 − γ(cid:107)x − y − (Ax − Ay)(cid:107)2
với mỗi γ ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.1.29 Ánh xạ A : X → X được gọi là
(i) η-j-đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số η > 0 sao cho với mọi
x, y ∈ D(A), ta có
(cid:104)Ax − Ay, j(x − y)(cid:105) ≥ η(cid:107)x − y(cid:107)2;
11
(ii) j-đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A), ta có
(cid:104)Ax − Ay, j(x − y)(cid:105) ≥ 0.
Bổ đề 1.1.30 (xem [7]) Cho X là không gian Banach trơn và A : X → X là ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt với η + γ > 1. Khi đó, (i) Ánh xạ I − A là ánh xạ co với hệ số co là (cid:112)(1 − η)/γ.
(ii) Với mọi λ ∈ (0, 1), I − λA là ánh xạ co với hệ số co là 1 − λτ , trong
đó τ = 1 − (cid:112)(1 − η)/γ ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.1.31 Cho C là một tập con lồi đóng và khác rỗng của không gian Banach X. Tập hợp {T (s) : s ≥ 0} được gọi là một nửa
nhóm ánh xạ không giãn (hay nửa nhóm không giãn) trên C nếu nó thỏa mãn:
(i) Với mỗi s > 0, T (s) là một ánh xạ không giãn trên C;
(ii) T (0)x = x với mọi x ∈ C;
(iii) T (s1 + s2) = T (s1) ◦ T (s2) với mọi s1, s2 > 0;
(iv) Với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (·)x từ (0, ∞) vào C là liên tục.
Ta ký hiệu F = ∩t≥0Fix(T (s)) là tập điểm bất động chung của nửa
nhóm không giãn {T (s) : s ≥ 0}.
Ví dụ 1.1.32 Cho ánh xạ T (t) : R → R xác định bởi
T (t)x = 2−tx, x ∈ R.
Khi đó {T (t) : t ≥ 0} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên R với tập điểm bất động chung F = {0}. Thật vậy, với t > 0, với mọi x (cid:54)= y
ta có
|T (t)x − T (t)y| = 2−t|x − y| < |x − y|,
nên T (t)x = 2−tx là ánh xạ không giãn.
Hiển nhiên các điều kiện (ii) và (iv) của Định nghĩa 1.1.31 thỏa mãn. Mặt khác, T (t + s)x = 2−t−sx = 2−t(2−sx), nên điều kiện (iii) cũng
được thỏa mãn.
12
Cuối cùng, với mọi t ≥ 0, T (t)x = x tương đương với 2−tx = x, hay x = 0. Suy ra tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn này là F = {0}.
Ví dụ 1.1.33 Cho ánh xạ T (t) : R3 → R3 xác định như sau
T (t)x = cos t , cos t − sin t 0 0 sin t 1 0 0 x1 x2 x3
ở đây t cố định và x = (x1, x2, x3)T ∈ R3. Khi đó {T (t) : t ≥ 0} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên R3 với tập điểm bất động chung F = {x ∈ R3 : x = (0, 0, x3)T }. Thật vậy, với mọi t ≥ 0 và x, y ∈ R3 ta có
T (t)x = (x1 cos t − x2 sin t, x1 sin t + x2 cos t, x3)T
và
T (t)y = (y1 cos t − y2 sin t, y1 sin t + y2 cos t, y3)T .
Suy ra (cid:107)T (t)x − T (t)y(cid:107) = (cid:107)x − y(cid:107) = (cid:112)(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2.
Như vậy T (t) là ánh xạ không giãn và điều kiện (i) thỏa mãn.
Ta thấy 1 0 0
T (0)x = 0 1 0 = 0 0 1 x1 x2 x3 x1 x2 x3
với mọi x ∈ R3, do đó điều kiện (ii) thỏa mãn.
Với mọi t1, t2 ≥ 0, ta có
T (t1) ◦ T (t2)x = T (t1)
x1 cos t2 − x2 sin t2 x1 sin t2 + x2 cos t2 x3
= = T (t1 + t2)x. cos(t1 + t2) − sin(t1 + t2) 0 sin(t1 + t2) 0 0 cos(t1 + t2) 0 x1 x2 x3
1 Do đó điều kiện (iii) thỏa mãn. Dễ thấy điều kiện (iv) thỏa mãn.
13
Lại có, T (t)x = x với mọi t ≥ 0 khi và chỉ khi
(x1 cos t − x2 sin t, x1 sin t + x2 cos t, x3)T = (x1, x2, x3)T
với mọi t ≥ 0. Điều này tương đương với x1 = x2 = 0. Do đó tập điểm bất động chung là F = {x ∈ R3 : x = (0, 0, x3)T }.
Bổ đề 1.1.34 (xem [9]) Cho C là tập con khác rỗng, bị chặn, lồi và đóng trong không gian Banach lồi đều X. Cho {T (s) : s ≥ 0} là nửa
nhóm ánh xạ không giãn trên C. Khi đó, với bất kì r > 0 và h ≥ 0,
0
0
(cid:19) (cid:90) t (cid:90) t T (s)yds − T (s)yds = 0, T (h) lim t→∞ (cid:18)1 t 1 t (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) sup y∈C∩Br
ở đây Br = {x ∈ X : (cid:107)x(cid:107) ≤ r}.
1.1.3 Giới hạn Banach và tính chất
Xét không gian các dãy số bị chặn:
|xn| < ∞}. (cid:96)∞ = {x = (x1, x2, . . .) : sup n
Định nghĩa 1.1.35 Phiếm hàm µ : (cid:96)∞ → R được gọi là giới hạn Ba- nach nếu
(i) µ là tuyến tính, tức là µ(x + y) = µ(x) + µ(y) và µ(cx) = cµ(x) với
mọi x, y ∈ (cid:96)∞ với c là hằng số.
(ii) µ là ánh xạ dương, tức là µ(x) ≥ 0 với mọi x ∈ (cid:96)∞ sao cho xn ≥ 0
với mọi n ∈ N.
(iii) (cid:107)µ(cid:107) = µ(1, 1, . . .) = 1.
(iv) µ(x1, x2, . . .) = µ(x2, x3, . . .) với mỗi x = (x1, x2, . . .) ∈ (cid:96)∞.
Ta viết µ(xn) thay cho µ(x1, x2, . . . , xn, . . .). Sự tồn tại của giới hạn Banach được bảo đảm nhờ Định lý Hahn–Banach.
Định lý 1.1.36 (xem [3]) Luôn tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục µ trên (cid:96)∞ sao cho (cid:107)µ(cid:107) = µ(1) = 1 và µ(xn) = µ(xn+1) với mỗi x = (x1, x2, . . .) ∈ (cid:96)∞.
14
Một số tính chất của giới hạn Banach µ được công bố dưới đây.
Mệnh đề 1.1.37 (xem [3]) Cho µ là giới hạn Banach. Khi đó
n→∞
xn ≤ µ(xn) ≤ lim sup xn lim inf n→∞
với mỗi x = (x1, x2, . . .) ∈ (cid:96)∞. Hơn nữa, nếu xn → a, thì µ(xn) = a.
Bổ đề 1.1.38 (xem [17]) Cho C là tập con lồi trong không gian Banach X có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Giả sử {xn} là dãy bị chặn trong X, z là một điểm trong C và µ là giới hạn Banach. Khi đó,
µ(cid:107)xn − u(cid:107)2 µ(cid:107)xn − z(cid:107)2 = min u∈C
khi và chỉ khi µ(cid:104)u − z, j(xn − z)(cid:105) ≤ 0 với mọi u ∈ C.
Giới hạn Banach là một mở rộng của khái niệm giới hạn thông thường. Tức là, với mọi x = {xn} ∈ c, thì µ(x) = (cid:96)(x) = limn→∞ xn với mọi giới hạn Banach µ. Tuy nhiên, tồn tại những dãy không hội tụ nhưng lại có
giới hạn Banach. Chẳng hạn xét ví dụ sau.
Ví dụ 1.1.39 Lấy dãy x = (1, 0, 1, 0, . . .) ∈ (cid:96)∞. Khi đó
(x1, x2, . . . , xn, . . .) + (x2, x3, . . . , xn+1, . . .) = (1, 1, 1, . . .),
suy ra
µ(xn) + µ(xn+1) = µ(1) = 1 ∀µ.
1.2 Bất đẳng thức biến phân và một số bài toán liên
quan
Sử dụng điều kiện (iv) trong Định nghĩa 1.1.35, ta có µ(xn) = 1/2.
1.2.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach
Cho X là không gian Banach, C là một tập con lồi đóng của X và j : X → X ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị của X. Trong phần này ta giả thiết ánh xạ A : X → X là ánh xạ đơn trị. Bài toán bất đẳng
15
thức biến phân j-đơn điệu trong không gian Banach X trên tập lồi C, ký hiệu là VI∗(A, C), được phát biểu như sau:
(1.2) Tìm x0 ∈ C thỏa mãn: (cid:104)Ax0, j(x − x0)(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ C.
Định nghĩa 1.2.1 Ánh xạ QC : X → C được gọi là phép co rút không giãn theo tia từ không gian Banach X lên tập con lồi đóng C của X nếu QC thỏa mãn:
C = QC;
(i) QC là phép co rút trên C, tức là Q2
(ii) QC là ánh xạ không giãn;
(iii) QC là ánh xạ theo tia, tức là với mọi 0 < t < ∞
QC(QC(x) + t(x − QC(x))) = QC(x).
Tập C được gọi là tập co rút không giãn theo tia nếu tồn tại phép co
rút không giãn theo tia QC từ X lên C.
Bổ đề 1.2.2 (xem [3]) Mọi tập con C lồi đóng của không gian Banach lồi đều X đều là tập co rút của X, tức là tồn tại phép co rút từ X lên
C.
Bổ đề 1.2.3 (xem [15]) Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Banach trơn X và QC : X → C là phép co rút từ X lên C. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:
(i) QC là ánh xạ không giãn theo tia.
(ii) (cid:104)x − QC(x), j(y − QC(x))(cid:105) ≤ 0 với mọi x ∈ X, y ∈ C.
Chú ý 1.2.4 (i) Khi X là không gian Hilbert H, ánh xạ QC chính là
phép chiếu mêtric PC từ H lên C.
(ii) Nếu C là tập con khác rỗng, lồi đóng của không gian Hilbert H thì phép chiếu mêtric PC : H → C là phép co rút không giãn theo tia từ H lên C. Tuy nhiên điều này không còn đúng trong không gian
Banach.
Từ Bổ đề 1.2.3 ta có kết quả về mối quan hệ của bất đẳng thức biến
phân (1.2) với bài toán điểm bất động trong không gian Banach trơn.
16
Mệnh đề 1.2.5 (xem [6]) Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của
không gian Banach trơn X. Khi đó bất đẳng thức biến phân (1.2) tương đương với phương trình điểm bất động:
λ > 0, (1.3) p∗ = QC(I − λA)p∗,
tức là VI∗(A, C) = Fix(QC(I − λA)).
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.3, ta có p∗ ∈ Fix(QC(I − λA)) khi và chỉ khi
(cid:104)(p∗ − λAp∗) − p∗, j(x − p∗)(cid:105) ≤ 0 ⇔ (cid:104)−λAp∗, j(x − p∗)(cid:105) ≤ 0
với mọi x ∈ C và λ > 0. Do λ > 0 nên ta suy ra x0 ∈ VI∗(A, C). Mệnh đề được chứng minh.
(cid:50)
Do sự tương đương của bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach trơn với bài toán điểm bất động mà nhiều phương pháp
giải bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach cũng được xây dựng dựa vào các phương pháp xấp xỉ điểm bất động.
1.2.2 Một số bài toán liên quan
Nếu X là không gian hữu hạn chiều Rn, bài toán bất đẳng thức biến
phân (1.2) có dạng:
(cid:104)F (x), y − x(cid:105) ≥ 0 ∀y ∈ C, (1.4)
ở đây C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong Rn và F : C → Rn là một ánh xạ liên tục. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không
gian hữu hạn chiều có mối liên hệ với nhiều bài toán như bài toán cực
trị, bài toán điểm bất động, bài toán bù v.v. . .
Cho C là tập con lồi đóng trong không gian Rn và f : C → R là hàm số khả vi liên tục trên C. Bài toán cực trị (optimization problem) được phát biểu như sau:
Tìm x ∈ C sao cho: f (y). (1.5) f (x) = min y∈C
17
Giả sử f là hàm số khả vi và kí hiệu F (x) = ∇f (x) là gradient của f
tại x. Mối quan hệ giữa nghiệm của bài toán (1.4) và bài toán cực trị được phát biểu trong các mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2.6 (xem [4]) Nếu x là nghiệm của bài toán (1.5) thì x là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân:
Tìm x ∈ C sao cho: (cid:104)F (x), y − x(cid:105) ≥ 0 ∀y ∈ C.
Chứng minh. Nếu y ∈ C thì z = x + t(y − x) ∈ C với mọi t ∈ [0, 1].
Nếu x là nghiệm của bài toán (1.5) thì
φ(t) = f (x + t(y − x)), t ∈ [0, 1]
đạt cực tiểu tại t = 0. Do đó ta có
(cid:3) 0 ≤ φ(cid:48)(0) = (cid:104)∇f (x), y − x(cid:105) = (cid:104)F (x), y − x(cid:105) ∀y ∈ C.
Mệnh đề 1.2.7 (xem [3]) Giả sử f là hàm lồi và khả vi trên C. Nếu x là nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân:
Tìm x ∈ C sao cho: (cid:104)F (x), y − x(cid:105) ≥ 0 ∀y ∈ C,
thì x là nghiệm của bài toán (1.5).
Chứng minh. Vì f là hàm lồi khả vi trên C nên ta có
f (y) ≥ f (x) + (cid:104)F (x), y − x(cid:105) ∀y ∈ C.
Mặt khác, vì x là nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân trên nên
(cid:104)F (x), y − x(cid:105) ≥ 0 ∀y ∈ C.
Do đó
(cid:3) f (y) ≥ f (x) ∀y ∈ C.
Cho C là tập con khác rỗng trong Rn và T : C → C. Bài toán điểm
bất động (fixed point problem) được phát biểu như sau:
Tìm x ∈ C sao cho: T (x) = x. (1.6)
Mối liên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động được trình bày thông qua các mệnh đề sau.
18
Mệnh đề 1.2.8 (xem [5]) Cho C là tập con khác rỗng trong Rn và T : C → C là ánh xạ xác định trên C. Nếu ánh xạ F định nghĩa bởi F (x) = x − T (x) thì bài toán bất đẳng thức biến phân (1.4) trùng với bài toán (1.6), nghĩa là x0 là một nghiệm của bài toán (1.4) khi và chỉ khi x0 là nghiệm của bài toán (1.6).
Chứng minh. Nếu x0 ∈ C là nghiệm của bài toán (1.6) thì F (x0) = 0 và vì thế x0 cũng là nghiệm của (1.4).
Ngược lại, giả sử x0 là nghiệm của bài toán (1.4) với F (x) = x − T (x).
Để ý rằng T (x0) ∈ C nên ta có
(cid:104)F (x0), T (x0) − x0(cid:105) ≥ 0.
Do đó, ta nhận được
(cid:104)x0 −T (x0), T (x0)−x0(cid:105) ≥ 0 ⇔ −(cid:107)x0 −T (x0)(cid:107)2 ≤ 0 ⇔ (cid:107)x0 −T (x0)(cid:107) = 0.
Điều này suy ra x0 = T (x0), hay x0 là nghiệm của bài toán (1.6).
Mệnh đề 1.2.9 (xem [5]) Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong Rn. Điểm x0 là một nghiệm của bài toán (1.4) khi và chỉ khi với mọi γ > 0, x0 là điểm bất động của ánh xạ PC(I − γF ) : C → C, tức là x0 = PC(I − γF )(x0).
19
Chương 2
Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến
phân trên tập điểm bất động
chung của nửa nhóm không giãn
Chương này trình bày hai phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh
xạ không giãn trong không gian Banach. Các kiến thức của chương này
2.1 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động
chung của nửa nhóm không giãn
được viết trên cơ sở bài báo [13] và các tài liệu được tham chiếu trong đó.
2.1.1 Bài toán
Cho X là không gian Banach lồi đều có chuẩn khả vi Gâteaux đều, A : X → X là ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt, với các hằng
số η và γ thuộc khoảng (0, 1) thỏa mãn η + γ > 1 và {T (t) : t ≥ 0} là nửa nhóm ánh xạ không giãn trên X với tập điểm bất động chung F := ∩t≥0Fix(T (t)) (cid:54)= ∅. Trong chương này ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân sau đây:
(2.1) Tìm điểm p∗ ∈ F sao cho: (cid:104)Ap∗, j(x − p∗)(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ F.
20
2.1.2 Sự tồn tại nghiệm
Với các điều kiện đặt lên ánh xạ A và không gian Banach X, sự tồn
tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.1) được cho trong mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 2.1.1 (xem [13]) Cho X là không gian Banach lồi đều có
chuẩn khả vi Gâteaux đều, A : X → X là ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt với η, γ ∈ (0, 1) thỏa mãn η + γ > 1 và {T (t) : t ≥ 0} là nửa nhóm ánh xạ không giãn trên X sao cho F := ∩t≥0Fix(T (t)) (cid:54)= ∅. Khi đó bài toán (2.1) có duy nhất nghiệm p∗ ∈ F.
Chứng minh. Với giả thiết F (cid:54)= ∅ suy ra F là tập con lồi đóng trong không gian Banach trơn X. Do đó, F là tập co rút không giãn theo tia
của X. Theo Mệnh đề 1.3, bài toán (2.1) tương đương với phương trình điểm bất động
(2.2) p∗ = QF (I − λA)p∗,
với λ > 0 là một số xác định. Ta có QF là ánh xạ không giãn. Từ giả thiết về tính γ-giả co chặt của ánh xạ A, ta có A là ánh xạ liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L = 1 + 1/γ > 2, do 0 < γ < 1.
Lấy λ ∈ (0, 2η/L2). Vì η ∈ (0, 1) và L > 2, suy ra λ ∈ (0, 1). Khi đó, áp dụng Bổ đề 1.1.30, suy ra (I − λA) là ánh xạ co với hệ số co 1 − λτ ∈ (0, 1), τ = 1 − (cid:112)(1 − η)/γ. Từ đó suy ra ánh xạ QF (I − λA) trong vế phải của phương trình điểm bất động (2.2) là ánh xạ co. Theo Nguyên lý ánh xạ co Banach, ánh xạ QF (I − λA) có duy nhất một điểm bất động. Điều này có nghĩa là phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất.
2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov
Do tính tương đương của hai bài toán (2.2) và (2.1) ta kết luận được sự tồn tại và duy nhất nghiệm p∗ của bất đẳng thức biến phân (2.1). (cid:3)
Mục này giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov giải
bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu (2.1) trong không gian Banach với
tập ràng buộc là tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không
21
giãn, trình bày định lý hội tụ, đồng thời lấy ví dụ minh họa cho sự hội
tụ của phương pháp.
2.2.1 Mô tả phương pháp
Ta xét phương trình hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân (2.1) ở
dạng (xem [13]):
(2.3) Fnxn + εnAxn = 0, n ≥ 0
trong đó Fn = I − Tn, với Tn được xác định bởi
0
(cid:90) tn T (s)xds ∀x ∈ X, (2.4) Tnx = 1 tn
ở đây {tn} và {εn} là các dãy tham số dương thỏa mãn tn → ∞ và εn → 0 khi n → ∞.
Để chứng minh sự hội tụ của dãy nghiệm hiệu chỉnh, ta cần bổ đề
sau.
Bổ đề 2.2.1 (xem [18]) Cho dãy các số thực không âm {sn} thỏa mãn
sn+1 ≤ (1 − ζn)sn + ζnηn + θn, n ≥ 0,
n=0 ζn = ∞;
trong đó các dãy {ζn}, {ηn} và {θn} thỏa mãn các điều kiện: (i) {ζn} ⊂ [0, 1], (cid:80)∞
n=0 θn < ∞.
(ii) lim supn→∞ ηn ≤ 0; (iii) θn ≥ 0, (cid:80)∞
Khi đó limn→∞ sn = 0.
2.2.2 Sự hội tụ
Sau đây là định lý về sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh của phương trình (2.3) tới nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
(2.1).
22
Định lý 2.2.2 (xem [13]) Cho X là không gian Banach lồi đều có chuẩn
khả vi Gâteaux đều, A : X → X là ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz với η và L là các hằng số dương, {T (t) : t ≥ 0} : X → X là nửa nhóm ánh xạ không giãn trên X sao cho F = ∩t≥0 Fix(T (t)) (cid:54)= ∅. Khi đó,
(i) Với mỗi tn > 0 và εn > 0, phương trình hiệu chỉnh (2.3) có duy
nhất nghiệm xn.
(ii) Nếu các dãy tham số tn và εn được chọn sao cho
tn = +∞ và εn = 0, lim n→∞ lim n→∞
thì dãy nghiệm hiệu chỉnh {xn} hội tụ mạnh đến p∗ ∈ F-nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân (2.1).
(iii) Ta có đánh giá sau:
+ 2 (2.5) (cid:107)xn − xm(cid:107) ≤ (cid:19)M1 η (cid:18)|εm − εn| εn |tm − tn| εntm
ở đây M1 là một hằng số dương, xn, xm là các nghiệm của phương trình hiệu chỉnh (2.3) với các dãy tham số tương ứng là tn, εn và tm, εm.
Chứng minh. (i) Ta có
0
0 (cid:90) tn
(cid:90) tn (cid:90) tn T (s)xds − T (s)yds (cid:107)Tnx − Tny(cid:107) = (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) 1 tn
= (cid:13) (cid:0)T (s)x − T (s)y(cid:1)ds (cid:13) (cid:13)
0
(cid:107)x − y(cid:107)ds = (cid:107)x − y(cid:107), ≤ 1 tn (cid:13) 1 (cid:13) (cid:13) tn 0 (cid:90) tn 1 tn
với mọi x, y ∈ X. Từ bất đẳng thức này suy ra Tn là ánh xạ không giãn trên X. Khi đó, Fn = I − Tn là ánh xạ j-đơn điệu. Do vậy,
(cid:107)(Fn + εnA)x − (Fn + εnA)y(cid:107) ≤ (cid:107)Fnx − Fny(cid:107) + εn(cid:107)Ax − Ay(cid:107)
≤ (cid:107)(I − Tn)x − (I − Tn)y(cid:107) + εnL(cid:107)x − y(cid:107)
≤ (cid:107)(x − y) − (Tnx − Tny)(cid:107) + εnL(cid:107)x − y(cid:107)
≤ (2 + εnL)(cid:107)x − y(cid:107),
23
và
(cid:104)(Fn + εnA)x − (Fn + εnA)y, j(x − y)(cid:105)
= (cid:104)Fnx − Fny, j(x − y)(cid:105) + εn(cid:104)Ax − Ay, j(x − y)(cid:105) ≥ εnη(cid:107)x − y(cid:107)2.
Suy ra Fn + εnA là (2 + εnL)-liên tục Lipschitz và εnη-j-đơn điệu mạnh trên X với mỗi εn > 0. Do đó, phương trình hiệu chỉnh (2.3) có nghiệm duy nhất xn, với mỗi εn > 0. (ii) Bây giờ ta sẽ chỉ ra dãy {xn} bị chặn. Thật vậy, với p tùy ý thuộc F, ta có
Fnp = (I − Tn)p = p − Tnp = 0,
và do đó, từ (2.3) dẫn đến
(cid:104)Fnxn − Fnp, j(xn − p)(cid:105) + εn(cid:104)Axn, j(xn − p)(cid:105) = 0.
Kết hợp đẳng thức này với tính j-đơn điệu của ánh xạ Fn và εn > 0, ta thu được
(cid:104)Axn, j(xn − p)(cid:105) ≤ 0.
Suy ra
, (2.6) (cid:107)xn − p(cid:107)2 ≤ (cid:104)Ap, j(p − xn)(cid:105) η
vì A là ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh. Do đó, (cid:107)xn − p(cid:107) ≤ (cid:107)Ap(cid:107)/η. Điều này chứng tỏ dãy {xn} là dãy bị chặn. Do Tn là ánh xạ không giãn, A là ánh xạ giả co nên {Tnxn} và {Axn} cũng là các dãy bị chặn. Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử các dãy này bị chặn bởi hằng số dương M1 với mọi n ≥ 1.
Vì
(cid:107)Fnxn(cid:107) = εn(cid:107)Axn(cid:107) ≤ εnM1
và εn → 0 khi n → ∞ nên (cid:107)Fnxn(cid:107) → 0 khi n → ∞. Giới hạn này được viết lại dưới dạng
0
(cid:90) tn = 0. (2.7) xn − T (s)xnds lim n→∞ (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) 1 tn
24
Tiếp theo, ta chỉ ra rằng (cid:107)xn − T (t)xn(cid:107) → 0 khi n → ∞, với t tùy ý
thỏa mãn t ≥ 0. Thật vậy,
0
0
0
0 (cid:90) tn
(cid:90) tn T (s)xnds (cid:107)T (t)xn − xn(cid:107) ≤ T (t)xn − T (t) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:19) (cid:18) 1 tn (cid:90) tn (cid:19)(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:90) tn + − T (t) T (s)xnds T (s)xnds (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:18) 1 tn 1 tn (cid:90) tn + T (s)xnds − xn (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) 1 tn
0 (cid:18) 1 tn
0
0
≤ 2 T (s)xnds xn − (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) 1 tn (cid:19) (cid:90) tn (cid:90) tn − + T (t) T (s)xnds T (s)xnds (cid:13) (cid:13) . (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) 1 tn
Sử dụng Bổ đề 1.1.30 và (2.7) ta thu được
(2.8) (cid:107)xn − T (t)xn(cid:107) = 0. lim n→∞
Bây giờ, với giới hạn Banach µ, ta xét ánh xạ ϕ : X → R được xác định bởi
ϕ(x) = µ(cid:0)(cid:107)xn − x(cid:107)2(cid:1) ∀x ∈ X.
Ta thấy ϕ(x) là hàm lồi và liên tục. Đặt
x∈X
C ∗ = (cid:8)u ∈ X : ϕ(u) = inf ϕ(x)(cid:9).
Vì X là không gian Banach phản xạ nên C ∗ là tập khác rỗng. Hơn nữa, do tính lồi và liên tục của ϕ nên tập C ∗ là tập con lồi đóng của X. Sử dụng tính không giãn của ánh xạ T (t) và (2.8), với mọi u ∈ C ∗ ta có
ϕ(cid:0)T (t)u(cid:1) = µ(cid:0)(cid:107)xn − T (t)u(cid:107)2(cid:1) ≤ µ(cid:0)((cid:107)xn − T (t)xn(cid:107) + (cid:107)T (t)xn − T (t)u(cid:107))2(cid:1)
≤ µ((cid:107)xn − u(cid:107)2) = ϕ(u).
Suy ra, T (t)u ∈ C ∗, và do đó T (t)C ∗ ⊂ C ∗, tức là C ∗ là tập bất biến dưới tác động của ánh xạ T (t). Lấy một điểm bất kỳ p ∈ F, vì mọi tập
con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach lồi chặt và phản xạ X là tập Chebyshev nên tồn tại duy nhất một điểm p ∈ C ∗ sao cho
(cid:107)p − x(cid:107). (cid:107)p − p(cid:107) = inf x∈C ∗
25
Mặt khác, p = T (t)p do p ∈ F, T (t)p ∈ C ∗ và T (t) là ánh xạ không giãn nên
(cid:107)p − T (t)p(cid:107) = (cid:107)T (t)p − T (t)p(cid:107) ≤ (cid:107)p − p(cid:107),
và do đó T (t)p = p với mọi t ≥ 0, vì tính duy nhất của p ∈ C ∗. Suy ra p ∈ F ∩ C ∗. Theo Bổ đề 1.1.38, p là cực tiểu của hàm ϕ(u) trên X khi và chỉ khi
(2.9) µ(cid:0)(cid:104)u − p, j(xn − p)(cid:105)(cid:1) ≤ 0 ∀u ∈ X.
Đặt u = (I − F )(p) trong (2.9), ta thu được
(2.10) µ(cid:0)(cid:104)Ap, j(p − xn)(cid:105)(cid:1) ≤ 0.
Từ (2.6) và (2.10) suy ra
0 ≤ µ(cid:0)(cid:107)xn − p(cid:107)2(cid:1) ≤ µ(cid:0)(cid:104)F p, j(p − xn)(cid:105)(cid:1) ≤ 0.
Do đó, µ((cid:107)xn − p(cid:107)2) = 0. Theo tính chất của giới hạn Banach ta có
(cid:107)xn − p(cid:107)2 ≤ µ(cid:0)(cid:107)xn − p(cid:107)2(cid:1) = 0. 0 ≤ lim inf n→∞
Suy ra, tồn tại một dãy con {xni} của dãy {xn} hội tụ mạnh về p khi i → ∞. Một lần nữa, sử dụng (2.6) và tính liên tục đều mạnh-yếu∗ của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j trên mọi tập con bị chặn của X, ta thu được
(cid:104)Ap, j(p − p) ≤ 0 ∀p ∈ F. (2.11)
Do p và p đều thuộc tập con lồi đóng F của X, nên thay p trong (2.11) bởi sp + (1 − s)p với s ∈ (0, 1), sử dụng tính chất
s > 0, j(cid:0)s(p − p)(cid:1) = sj(p − p),
ta có
(cid:104)A(cid:0)sp + (1 − s)p(cid:1), j(cid:0)p − sp − (1 − s)p(cid:1)(cid:105) ≤ 0.
Chia cả hai vế của bất đẳng thức cuối cho s và cho s → 0 ta được
(cid:104)Ap, j(p − p)(cid:105) ≤ 0 ∀p ∈ F.
26
Điều này chứng tỏ p là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.1). Tính duy nhất của p∗ trong (2.1) bảo đảm rằng p = p∗. Vậy cả dãy {xn} hội tụ mạnh đến p∗ khi n → ∞. (iii) Từ phương trình hiệu chỉnh (2.3), ta có
Fnxn + εnAxn = 0,
Fmxm + εmAxm = 0.
Khi đó,
(cid:104)Fnxn − Fnxm, j(xn − xm)(cid:105) + (cid:104)Fnxm − Fmxm, j(xn − xm)(cid:105)
+εn(cid:104)Axn − Axm, j(xn − xm)(cid:105) + (εn − εm)(cid:104)Axm, j(xn − xm)(cid:105) = 0.
Sử dụng j-đơn điệu của ánh xạ Fn, và tính η-j-đơn điệu mạnh của ánh xạ A, ta nhận được
(2.12) (cid:107)xn − xm(cid:107) ≤ (cid:107)F xm(cid:107) + (cid:107)Fmxm − Fnxm(cid:107). |εm − εn| ηεn 1 ηεn
Ta đánh giá (cid:107)Fmxm − Fnxm(cid:107) như sau:
(cid:107)Fmxm − Fnxm(cid:107) = (cid:107)Tnxm − Tmxm(cid:107)
0
0
0
(cid:90) tn (cid:90) tm = T (s)xmds − T (s)xmds (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) 1 tm (cid:19)(cid:90) tn (cid:90) tm = − T (s)xmds − T (s)xmds (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) 1 tm
tn |tm − tn| tm
≤ − tnM1 + M1 = 2 M1. (cid:13) 1 (cid:13) (cid:13) tn (cid:13) (cid:13) (cid:18) 1 (cid:13) (cid:13) tn (cid:13) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 tm (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 tn 1 tm |tm − tn| tm
Sử dụng bất đẳng thức cuối vào (2.12), ta thu được đánh giá (2.5). Định
lý được chứng minh.
(cid:3)
2.2.3 Ví dụ minh họa
Xét bài toán
ϕ(x), (2.13) min x∈C
với C là tập con khác rỗng lồi đóng trong không gian Hilbert thực H, với ϕ : H → R là hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới yếu trên H có
27
dạng
ϕ(x) = (cid:107)x − 1(cid:107)2,
trong đó 1 là phần tử đơn vị của không gian Hilbert H. Khi đó, ta có
gradient (cid:53)ϕ : H → H của hàm ϕ là
(cid:53)ϕ(x) = 2(x − 1),
và điều kiện cần tối ưu cho bài toán (2.13) là bất đẳng thức biến phân
∀x ∈ C. ϕ(x) ↔ (cid:104)(cid:53)ϕ(x∗), x − x∗(cid:105) ≥ 0, ϕ(x∗) = min x∈C
Xét trường hợp H = R3 và C = F là tập điểm bất động chung của nửa nhóm các ánh xạ không giãn {T (t) : R3 → R3, t ≥ 0} xác định như sau:
cos t − sin t 0
T (t)x = sin t cos t 0 , 0 0 1 x1 x2 x3
ở đây t cố định và x = (x1, x2, x3)T ∈ R3 với tập điểm bất động chung F = {x ∈ R3 : x = (0, 0, x3)T }. Khi đó nghiệm của bài toán (2.13) là x∗ = (0, 0, 1) ∈ R3.
Nhằm minh họa cho sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh (2.3), ta
sử dụng phương pháp (2.3) để giải bài toán (2.13) với A(x) = (cid:53)ϕ(x) = 2(x − 1) là hàm 2-đơn điệu mạnh và 1-liên tục Lipschitz trên R3. Viết lại phương trình (2.3) dưới dạng
(1 + 2εn)xn − Tnxn = 2εn,
(cid:82) tn 0 T (s)xnds là tích phân Bochner xác định bởi phép nhân
với Tnxn = 1 tn các ma trận Tn và xn, trong đó
Tn = 1 tn sin(tn) − cos(tn) + 1 0 sin(tn) 0 cos(tn) − 1 0 0 tn
và xn = (xn1, xn2, xn3)T ∈ R3.
Để tiện tính toán, phương pháp (2.3) được biểu diễn thành phương
28
trình ma trận Anxn = bn với
tn
tn
− cos(tn)+1 tn 1 + 2εn − sin(tn) 0
An = ; 1 + 2εn − sin(tn) cos(tn)−1 tn 0
0 0 2εn bn = (2εn, 2εn, 2εn)T . xn = (xn1, xn2, xn3)T ;
Chọn các dãy tham số tn = (n + 1)4, εn = (n + 1)−3 ta nhận được kết
quả cho trong bảng sau:
n
1 Nghiệm xấp xỉ xn (0.17649, 0.21419, 1) err = (cid:107)xn − p∗(cid:107) 0.27754
2 (0.068295, 0.068644, 1) 0.096831
3 (0.03007, 0.030307, 1) 0.042693
10 (0.0015004, 0.0015005, 1) 0.002122
20
(0.00021591, 0.00021591, 1) (1.5077 × 10−5, 1.5077 × 10−5, 1) 50 100 (1.9412 × 10−6, 1.9412 × 10−6, 1) (5.809 × 10−7, 5.809 × 10−7, 1) 150 200 (2.4629 × 10−7, 2.4629 × 10−7, 1) 0.00030535 2.1322 × 10−5 2.7452 × 10−6 8.2151 × 10−7 3.483 × 10−7
2.3 Phương pháp hiệu chỉnh lặp
Bảng 2.1. Kết quả tính toán cho phương pháp (2.3)
Mục này giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh lặp giải bất đẳng thức
biến phân j-đơn điệu với tập ràng buộc là tập điểm bất động chung của
nửa nhóm ánh xạ không giãn; trình bày định lý hội tụ của phương pháp, đồng thời lấy ví dụ minh họa cho sự hội tụ của phương pháp.
2.3.1 Mô tả phương pháp
Xuất phát từ điểm ban đầu bất kỳ w1 ∈ X, ta xác định các xấp xỉ
tiếp theo bởi dãy lặp (xem [13]):
(2.14) wn+1 = wn − βn[Fnwn + εnAwn], n ≥ 1,
ở đây Fn = I − Tn và dãy {βn} thỏa mãn một số điều kiện xác định.
29
2.3.2 Sự hội tụ
Định lý 2.3.1 (xem [13]) Cho X là không gian Banach lồi đều và q-
trơn đều với hằng số q cố định, 1 < q ≤ 2, F và A thỏa mãn các điều kiện trong Định lý 2.2.2. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
|tn−tn+1| βnε2
|εn−εn+1| ε2 nβn
ntn
(2+εnL)p
= 0; = lim n→∞ (i) 0 < βn < β0, εn (cid:38) 0, lim n→∞
n
εnη < 1, với Cq là hằng số
∞ (cid:80) n=0 q-trơn đều của X.
(ii) εnβn = ∞, lim supn→∞ Cqβq−1
Khi đó, dãy lặp {wn} được xác định bởi (2.14) hội tụ mạnh về điểm p∗-nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân (2.1).
Chứng minh. Giả sử xn là nghiệm của phương trình hiệu chỉnh (2.3) với mỗi εn > 0. Khi đó,
(2.15) (cid:107)wn+1 − xn+1(cid:107) ≤ (cid:107)wn+1 − xn(cid:107) + (cid:107)xn − xn+1(cid:107).
Theo Bổ đề 1.1.19 và (2.3), ta có
(cid:107)wn+1 − xn(cid:107)p = (cid:107)wn − βn[Fnwn + εnAwn] − xn(cid:107)q
= (cid:107)wn − xn − βn[(I − Tn)wn − (I − Tn)xn
+ εn(Awn − Axn)](cid:107)q
≤ (cid:107)wn − xn(cid:107)q − qβn(cid:104)(I − Tn)wn − (I − Tn)xn
n(cid:107)(I − Tn)wn − (I − Tn)xn + εn[Awn − Axn](cid:107)q.
+ εn[Awn − Axn], jq(wn − xn)(cid:105) + Cqβq
Sử dụng tính j-đơn điệu của ánh xạ I − Tn và tính η-j-đơn điệu mạnh của ánh xạ A, ta nhận được
(cid:104)(I − Tn)wn − (I − Tn)xn, jq(wn − xn)(cid:105)
=(cid:107)wn − xn(cid:107)q−2(cid:104)(I − Tn)wn − (I − Tn)xn, j(wn − xn)(cid:105) ≥ 0
và
(cid:104)Awn − Axn, jq(wn − xn)(cid:105) ≥ η(cid:107)wn − xn(cid:107)q.
30
Suy ra
n(2 + εnL)q].
(cid:107)wn+1 − xn(cid:107)q ≤ (cid:107)wn − xn(cid:107)q[1 − qβnεnη + Cqβq
Do đó,
n(2 + εnL)q]1/q.
(cid:107)wn+1 − xn(cid:107) ≤ (cid:107)wn − xn(cid:107)[1 − qβnεnη + Cqβq
n(2 + εnL)q ≤ βnεnη và (1 + t)s ≤ 1 − st với 0 < s < 1, nên
Vì Cqβq
(cid:18) (cid:19) 1 − (2.16) . (cid:107)wn+1 − xn(cid:107) ≤ (cid:107)wn − xn(cid:107) εnβnη q − 1 q
Từ (2.15), (2.16) và (2.5), ta thu được
(cid:19) (cid:18) 1 − (cid:107)wn+1 − xn+1(cid:107) ≤ εnβnη (cid:107)wn − xn(cid:107)
q − 1 q (cid:20) (cid:21) + |εn − εn+1| + 2 M1 εnη |tn+1 − tn| tn
hay
(cid:107)wn+1 − xn+1(cid:107) ≤ (1 − ζn)(cid:107)wn − xn(cid:107) + ζnηn
với (cid:21) + 2 ζn = βnεnη, ζnηn = q − 1 q M1 η (cid:20)|εn − εn+1| εn |tn − tn+1| εntn
thỏa mãn các điều kiện của Bổ đề 2.2.1 (với θn = 0) do các điều kiện (i) (cid:107)wn − xn(cid:107) = 0. Sử dụng và (ii). Áp dụng Bổ đề 2.2.1, ta thu được lim n→∞
kết quả của Định lý 2.2.2, ta có (cid:107)xn − p∗(cid:107) → 0 khi n → ∞. Điều này dẫn đến
0 ≤ (cid:107)wn − p∗(cid:107) ≤ (cid:107)wn − xn(cid:107) + (cid:107)xn − p∗(cid:107) → 0 khi n → ∞.
Từ đó suy ra wn → p∗ ∈ F thỏa mãn (2.1) khi n → ∞. Định lý được chứng minh.
(cid:3)
2.3.3 Ví dụ minh họa
Dùng phương pháp (2.14) để giải bài toán (2.13) đã xét ở mục trước.
Chọn xấp xỉ ban đầu w1 = (7, 8.5, 9.3) ∈ R3 và các dãy tham số
tn = (n + 1)4, εn = (1 + 70n)−1/2 và βn = cos((1 + n)−2)
31
thỏa mãn các điều kiện của các Định lý 2.3.1. Kết quả tính toán cho
phương pháp được thể hiện trong bảng sau đây:
n
1 Nghiệm xấp xỉ wn (7, 8.5, 9.3) err = (cid:107)wn − p∗(cid:107) 13.789
5 (0.11197, 0.10772, 5.0429) 4.0459
10 (0.073431, 0.07346, 3.4988) 2.501
50 (0.033006, 0.033006, 1.3598) 0.36277
100 (0.023457, 0.023457, 1.0865) 0.092629
200 (0.016662, 0.016662, 1.0117) 0.02629
500 (0.010588, 0.010588, 1.0002) 0.014975
1000 (0.0075062, 0.0075062, 1) 0.010615
10000 (0.0023849, 0.0023849, 1) 0.0033727
Bảng 2.2. Kết quả tính toán cho phương pháp (2.14)
32
Kết luận
Đề tài luận văn đã trình bày hai phương pháp hiệu chỉnh giải bất
đẳng thức biến phân j-đơn điệu trên tập ràng buộc là tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Banach.
Cụ thể:
(1) Trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian Banach (không gian Banach lồi chặt, lồi đều, trơn đều, không gian có chuẩn
khả vi Gâteaux và khả vi Gâteaux đều); ánh xạ đơn điệu và j-đơn điệu, ánh xạ giả co chặt, ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ
không giãn; tổng quan về bất đẳng thức biến phân đơn điệu và bất
đẳn thức biến phân j-đơn điệu.
(2) Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov giải bất đẳng
thức biến phân trên tập ràng buộc là tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Banach lồi đều và có
chuẩn khả vi Gâteaux đều. Trình bày chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp dựa trên nguyên lý ánh xạ co Banach và các tính chất liên tục đều mạnh-yếu∗ của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j cùng một số điều kiện đặt lên các dãy tham số của phương pháp.
(3) Trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp giải bất đẳng thức biến phân
j-đơn điệu, trình bày chứng minh sự hội tụ của phương pháp.
(4) Tính toán ví dụ số minh họa cho sự hội tụ của phương pháp (2.3)
và (2.14).
33
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh,
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc
gia Hà Nội.
Tiếng Anh
[3] R.P. Agarwal, D. O’Regan D., D.R. Sahu (2009), Fixed Point The-
ory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[4] Y. Alber, I.P. Ryazantseva (2006), Nonlinear Ill-posed Problems of
Monotone Type, Springer-Verlag, Berlin.
[5] Q.H. Ansari, C.S. Lalitha, M. Mehta (2013), Generalized Convexity, Nonsmooth Variational Inequalities, and Nonsmooth Optimization,
Chapman and Hall/CRC.
[6] K. Aoyama, H. Iiduka, W. Takahashi (2006), "Weak convergence
of an iterative sequence for accretive operators in Banach spaces",
Fixed Point Theory Appl., 2006, Art. no. 35390.
[7] L.-C. Ceng, Q.H. Ansari, J.-C. Yao (2008), "Mann-type steepest-
descent and modified hybrid steepest descent methods for varia- tional inequalities in Banach spaces", Numer. Funct. Anal. Optim.,
29(9-10), 987–1033.
34
[8] F. Browder (1966), "Existence and approximation of solution of
inequalities", Proc. Nat. Acad. Sci., USA,
nonlinear variational 56(4), 1080–1086.
[9] R. Chen, Y. Song (2000), "Convergence to common fixed point of
nonexpansive semigroup", J. Comput. Appl. Math., 200, 566–575.
[10] V.K. Ivanov (1962), "On linear ill-posed problems", Dolk. Acad.
Nauk SSSR Math, 145.
[11] M.M. Lavret’ev (1967), Some improperly posed problems in mathe-
matical physics, Springer, New York.
[12] I.P. Ryazantseva (2002), "Regularization proximal algorithm for nonlinear equations of monotone type", Zh. Vychisl. Mat. i Mat.
Fiziki, 42(9), 1295–1303.
[13] Ng.T.T. Thuy, P.T. Hieu, and J.J. Strodiot (2017), "Explicit iter- ative methods for variational inequalities over the set of common
fixed points of nonexpansive semigroups in Banach spaces", Bull. Malays. Math. Sci. Soc. (Online).
[14] A.N. Tikhonov (1963), "On the solution of ill-posed problems and the method of regularization", Dokl. Akad. Nauk SSSR, 151, 501–
504 (Russian).
[15] S. Reich (1973), "Asymptotic behavior of contractions in Banach
spaces", J. Math. Anal. Appl., 44(1), 57–70.
[16] G. Stampacchia (1964), "Formes bilinéaires coercitives sur les en-
sembles convexes", C. R. Acad. Sci. Paris, 258, 4413–4416.
[17] W. Takahashi, Y. Ueda (1984), "On Reich’s strong convergence the-
orem for resolvents of accretive operators", J. Math. Anal. Appl., 104, 546–553.
[18] H.-K. Xu (2002), "Iterative algorithms for nonlinear operators", J.
London Math. Soc. (2), 66(1), 240–256.
35
[19] H.-K. Xu (1991), "Inequalities in Banach spaces with applications",
Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 16(12), 1127–1138.
