i
Mục lục
Lời cảm ơn ii
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . .
1.2 Đa thức đặc trưng và chéo hóa ma trận . . . . . . . . . 8 . . .
11 2 Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R)
. . . . . . . 11 . . .
. . . . . . . 16 . . . 2.1 Nhóm con xyclic hữu hạn của PGL(2, R) 2.2 Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R)
3 Ứng dụng vào phương trình hàm 22
3.1 Phương trình hàm và nhóm các phép biến đổi phân tuyến tính 22
3.2 Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 . . .
3.2.1 27 . . . Phương trình liên kết với các nhóm xyclic Cn .
3.2.2 35 . . Phương trình liên kết với các nhóm Diheral Dn .
Kết luận 47
Tài liệu tham khảo 48
ii
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với TS. Đoàn Trung
Cường, đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời
gian nghiên cứu vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Tin, Phòng
Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, các bạn học viên lớp Cao học Toán
K7D trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và các bạn đồng nghiệp
đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiên
cứu tại trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân
luôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận
văn.
Thái Nguyên, 2015 Vũ Văn Quynh
Học viên Cao học Toán K7D,
Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên
1
Mở đầu
Phương trình hàm là một dạng toán hay và quan trọng trong các kì thi học
sinh giỏi. Đề thi và lời giải các phương trình hàm rất phong phú, liên quan
đến nhiều khía cạnh như đại số, giải tích, số học, tổ hợp. Mục đích của luận
văn này là xét một lớp phương trình hàm liên kết với các phép biến đổi phân
tuyến tính có bậc hữu hạn.
Ta bắt đầu bằng một ví dụ:
Ví dụ. (Putnam 1971) Tìm tất cả các hàm f : R\{0, 1} → R sao cho
x − 1 f (x) + f = 1 + x, ∀x ∈ R\{0, 1}. x
Để giải phương trình hàm này, ta xét ánh xạ g : R\{0, 1} → R\{0, 1} được
x − 1 xác định bởi g(x) = . Khi đó x
x−1 x − 1 x−1 x
g(x) − 1 1 g2(x) = g(g(x)) = = = − g(x) ; x − 1
x−1 − 1 − 1 x−1
− 1 − x g3(x) = g(g2(x)) = = − = x. −1
Gọi id là ánh xạ đồng nhất của R\{0, 1} thì G = {id, g, g2} cùng với phép hợp thành các ánh xạ là một nhóm xyclic cấp 3. Kí hiệuf1 = f, f2 = f ◦ g, f3 = f ◦ g2, ta có
f1(x) + f2(x) = 1 + x với mọi x ∈ R\{0, 1}.
2
Thay x bằng g(x) và g2(x), ta có hai phương trình sau:
f (g(x)) + f (g2(x)) = 1 + g(x), hayf2(x) + f3(x) = 1 + f (x);
f (g2(x)) + f (x) = 1 + g2(x), hayf3(x) + f1(x) = 1 + g2(x).
Vậy ta có một hệ phương trình tuyến tính theo ba ẩn f1, f2, f3 là
f1 + f2 = 1 + x
x − 1
f2 + f3 = 1 +
x − 1
f3 + f1 = 1 + x − 1
x3 − x2 − 1 x3 − x2 − 1 hay f (x) = . Giải hệ phương trình cụ thể cho ta f1(x) = 2x(x − 1) 2x(x − 1)
Hàm số này thỏa mãn phương trình hàm ban đầu, do vậy nó là nghiệm mong
muốn.
Tổng quát, cho D ⊆ R là một miền và g1, . . . , gn : D → D là các hàm số liên tục sao cho G = {id, g1, . . . , gn} cùng với phép hợp thành các ánh xạ là
một nhóm hữu hạn. Cho các hàm a0, a1, . . . , an, b : D → R. Chúng ta quan
tâm đến phương trình hàm sau
(1) a0f + a1f ◦ g1 + · · · + anf ◦ gn = b.
Để tìm được hàm f thỏa mãn phương trình này, ta thay x bởi id, g1(x), g2(x),
. . . , gn(x). Khi đó, ta sẽ có được một hệ phương trình tuyến tính với ẩn là
f, f ◦ g1, f ◦ g2, . . . , f ◦ gn. Khi đó ta có thể giải hệ này, bằng các phương
pháp tiêu chuẩn của đại số tuyến tính như phương pháp Cramer.
Trong lời giải của phương trình (1) cấu trúc nhóm của tập hợp các phép
biến đổi g1(x), . . . , gn(x) là yếu tố quyết định. Trong phạm vi luận văn này
chúng ta chỉ quan tâm phương trình hàm (1) cho bởi các nhóm hữu hạn gồm
3
các phép biến đổi phân tuyến tính. Các nhóm này đều đẳng cấu với một nhóm
con hữu hạn của nhóm PGL(2, R), vì vậy để mô tả rõ phương trình hàm (1),
chúng tôi sẽ đi mô tả cấu trúc của tất cả các nhóm con hữu hạn của nhóm
tuyến tính xạ ảnh PGL(2, R).
Các kết quả và thông tin trong luận văn được viết dựa vào bản thảo
bài báo "Functional equations and finite groups substitutions" của Mihály
Bessenyei, American Mathematical Monthly 2010, và bài báo "Finite sub-
groups of PGL(2, R) and functional equations" của Đoàn Trung Cường.
Luận văn được chia thành ba chương với nội dung chính như sau:
Chương 1: Chương này trình bày một số kiến thức về nhóm và ma trận
cần thiết cho các tính toán về nhóm PGL(2, R) trong chương sau.
Chương 2: Nhóm con hữu hạn của PGL(2, R). Trong chương này chúng tôi sẽ đi mô tả cấu trúc của tất cả các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R).
Kết quả chính của chương này là Mệnh đề 2.1.1 và Định lý 2.2.3 khẳng định
rằng các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R) hoặc là nhóm xyclic Cn hoặc là nhóm nhị diện Dn. Hơn nữa các phần tử sinh của các nhóm này cũng
được mô tả khá cụ thể.
Chương 3: Ứng dụng vào phương trình hàm. Từ các kết quả trong chương
2, chúng tôi xây dựng các phương trình hàm cụ thể gắn với các nhóm con của
nhóm PGL(2, R). Các ví dụ này có thể được dùng như bài tập cho học sinh
phổ thông thuộc diện khá, giỏi.
Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015
Vũ Văn Quynh
4
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này giới thiệu kiến thức về nhóm là cơ sở áp dụng cho các chương
sau. Nội dung bao gồm các định nghĩa, tính chất về nhóm, nhóm xyclic, nhóm
Diheral, nhóm đối xứng, nhóm thay phiên, cùng các kiến thức về ma trận, điều
kiện để ma trận là chéo hóa được.
Các kiến thức này sẽ được áp dụng vào việc hỗ trợ xác định các nhóm con
hữu hạn của nhóm PGL(2, R) ở Chương 2.
1.1 Nhóm
Mục này giới thiệu các kiến thức cơ bản về nhóm như đã nêu ở trên.
Định nghĩa 1.1.1. Cho G (cid:54)= ∅ với phép toán ”.” : G × G → G thỏa mãn các
tính chất
(i) Kết hợp: (a.b).c = a.(b.c), ∀a, b, c ∈ G;
(ii) Tồn tại phần tử đơn vị e ∈ G thỏa mãn a.e = e.a = a, ∀a ∈ G;
(iii) Tồn tại phần tử nghịch đảo: ∀a ∈ G, ∃b ∈ G : a.b = b.a = e, kí hiệu
b = a−1.
Khi đó, G với phép toán ”.” lập thành một nhóm, ta kí hiệu là (G, .) hay
ngắn gọn G. Nhóm (G, .) được gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel) nếu
a.b = b.a, ∀a, b ∈ G.
5
Chú ý 1.1.2. Cho (G, .) là một nhóm, khi đó
(i) Phần tử đơn vị là duy nhất.
(ii) ∀a ∈ G phần tử nghịch đảo của a là duy nhất.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử (G, .) là một nhóm, H (cid:54)= ∅, H ⊆ G là một nhóm
con của G nếu (H, .) cũng là một nhóm.
Mệnh đề 1.1.4. Giả sử (G, .) là một nhóm, H (cid:54)= ∅, H ⊆ G. Các mệnh đề sau
là tương đương:
(i) (H, .) là nhóm con của nhóm (G, .)
(ii) ∀a, b ∈ H : a.b ∈ H, a−1 ∈ H
(iii) ∀a, b ∈ H, a.b−1 ∈ H
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử G là một nhóm với đơn vị e và a ∈ G. Nếu am (cid:54)= e,
với mọi m > 0, thì ta nói a có cấp vô hạn. Trái lại thì số nguyên dương m nhỏ
nhất sao cho am = e được gọi là cấp của a, kí hiệu là ord(a).
Kí hiệu |G| là số phần tử của G. Nếu G có hữu hạn phần tử thì ta nói G
có cấp |G| hữu hạn hay G là nhóm hữu hạn. Nếu G có vô hạn phần tử thì ta
nói G có cấp vô hạn hay nhóm G là vô hạn. Trong phần tiếp theo ta xét một
số nhóm đặc biệt như nhóm xyclic, Diheral, nhóm đối xứng,...
Định nghĩa 1.1.6. G là một nhóm xyclic nếu tồn tại một phần tử a ∈ G sao cho với mọi phần tử b ∈ G, có một biểu diễn am = b với m ∈ Z nào đó. Khi đó a được gọi là phần tử sinh của G. Kí hiệu G = (cid:104)a(cid:105).
Giả sử G = (cid:104)a(cid:105) là một nhóm xyclic hữu hạn có cấp n. Khi đó |G| = n =
ord(a) và G = {e, a, a2, ..., an−1}, ta kí hiệu nhóm này là Cn.
Với nhóm xyclic G = (cid:104)a(cid:105) ta có |G| =ord(a). Do đó cấp của G là số tự
nhiên n nhỏ nhất sao cho an = e.
6
quanh tâm của Pn một góc theo chiều kim đồng hồ bằng 2π Xét đa giác đều n cạnh Pn với n ≥ 3. Gọi a là phép quay mặt phẳng xung n , còn b là phép đối
xứng qua một đường thẳng đi qua tâm và một đỉnh của Pn.
Mệnh đề 1.1.7. Tất cả các phép đối xứng của Pn (tức là phép biến đổi đẳng
cự của mặt phẳng biến Pn thành chính nó) được liệt kê như sau
e, a, a2, . . . , an−1, b, ab, . . . , an−1b.
Chúng lập thành một nhóm, kí hiệu là Dn và gọi là nhóm Diheral cấp 2n. Ta
có
Dn = (cid:104)a, b| an = e, b2 = e, (ab)2 = e(cid:105).
Giả sử T là một tập hợp nào đó, ta dễ dàng kiểm tra lại rằng tập S(T ) tất
cả các song ánh trên T cùng với phép hợp thành các ánh xạ lập thành một
nhóm, với các phần tử đơn vị của S(T ) là ánh xạ đồng nhất idT trên T , phần tử nghịch đảo của α ∈ S(T ) là ánh xạ ngược α−1.
Định nghĩa 1.1.8. Nhóm S(T ) được gọi là nhóm đối xứng trên tập T . Mỗi
phần tử của S(T ) được gọi là một phép thế trên T .
Đặc biệt, nếu T = {1, 2, . . . , n} thì S(T ) được kí hiệu là Sn và gọi là
nhóm đối xứng trên n phần tử.
Ta có
(i) Sn là một nhóm hữu hạn và |Sn| = n! = 1.2 . . . n.
(ii) D3 ∼= S3.
1≤i (iii) n (cid:54)= 3 thì Dn (cid:29) Sn (do chúng có số phần tử khác nhau).
Xét nhóm đối xứng Sn. Với n ≥ 2, ta đặt ∆n = (cid:81) (j − i) ∈ Z. Xét tác động của α ∈ Sn trên ±∆n , được định nghĩa như sau: 1≤i (cid:89) α(∆n) = (α(j) − α(i)), α(−∆n) = −α(∆n) 7 vì mỗi α ∈ Sn là một song ánh trên {1, 2, . . . , n} nên mỗi nhân tử của ∆n xuất hiện trong α(∆n) đúng một lần với dấu ±1. Do đó α(∆n) = ±∆n. ∈ {−1, +1}. Nếu Ta kí hiệu dấu của phép thế α là sgn(α) = α(∆n)
∆n sgn(α) = 1 ta nói α là một phép thế chẵn. Ngược lại, nếu sgn(α) = −1 ta nói α là một phép thế lẻ. Dễ thấy tích của hai phép thế chẵn là phép thế chẵn, do đó nghịch đảo của phép thế chẵn là phép thế chẵn. Định nghĩa 1.1.9. Nhóm An tất cả các phép thế chẵn trên tập {1, 2, . . . , n} được gọi là nhóm thay phiên trên n phần tử với n ≥ 2. Bây giờ ta xét một số nhóm ma trận. Trước hết, gọi GL(n, R) là tập các
ma trận vuông cấp n khả nghịch. Vì tích hai ma trận khả nghịch là khả nghịch nên GL(n, R) với phép nhân ma trận là một nhóm và được gọi là nhóm tuyến
tính tổng quát trên R. Trong nhóm GL(2, R), gọi I2 là ma trận đơn vị cấp 2, xét tập Z(2, R) = {λI2 ∈ GL(2, R) : λ ∈ R, λ (cid:54)= 0}. Dễ kiểm tra được rằng Z(2, R) là một nhóm con chuẩn tắc của GL(2, R). 1√ Định nghĩa 1.1.10. Nhóm thương GL(2, R)/Z(2, R) được gọi là nhóm tuyến
tính xạ ảnh và ký hiệu là PGL(2, R). det A Như vậy một phần tử của PGL(2, R) có dạng A={λA : λ ∈ R∗} trong
.A ta có thể giả sử | det A| = 1. Cũng đó A ∈ SL(2, R). Bằng cách xét
chú ý là A = −A. Trong nhóm GL(2, R), xét tập SL(2, R) gồm các ma trận có định thức
bằng 1. Với hai ma trận A, B ∈ SL(2, R), ta có det(AB) = det(A) det(B) =
1 và det(A−1) = 1 nên SL(2, R) là một nhóm con của GL(2, R). Ta gọi đó
là nhóm tuyến tính đặc biệt trên R. Nhóm này có một nhóm con chuẩn tắc là ZS(2, R) = {I2, −I2} = SL(2, R) ∩ Z(2, R). 8 Nhóm thương PSL(2, R) := SL(2, R)/ ZS(2, R) do đó là một nhóm con của
nhóm tuyến tính xạ ảnh PGL(2, R). Mục này giới thiệu khái niệm về đa thức đặc trưng, điều kiện để một ma trận là chéo hóa được. Ta luôn xét K là một trường. Giả sử f là một tự đồng cấu của K- không gian véctơ V . Nếu có véctơ α (cid:54)= 0 và vô hướng λ ∈ K sao cho f (α) = λα thì λ được gọi là một giá trị riêng của f còn α là một véctơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ. Giả sử f có ma trận là A trong một cơ sở nào đó e1, e2, . . . , en của V . Khi đó, đa thức bậc n của ẩn X với hệ số trong K là PA(X) = det(A − XEn) được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Vô hướng λ ∈ K là một giá trị riêng của tự đồng cấu f : V → V khi và chỉ khi λ là một nghiệm của đa thức đặc trưng PA(X) của f . Một ma trận A là chéo hóa được nếu nó đồng dạng với một ma trận đường chéo B, nghĩa là có một ma trận D sao cho A = D−1BD Mệnh đề 1.2.1. Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông cấp n đồng dạng với ma trận đường chéo là ma trận đó có n véctơ riêng độc lập tuyến tính. Chứng minh. Cho ma trận A chéo hóa được, khi đó tồn tại ma trận khả nghịch T = . . .
. . .
t11
...
tn1 t1n
...
. . . tnn sao cho T −1AT = D, với D = , tương đương
λ1
. . . 0
...
...
. . .
0 . . . λn 9 λ1t11 λ2t12 . . . λnt1n λ1t21 λ2t22 . AT = T D = . . . λnt2n
. . . ... ... ...
λ1tn1 λ2tn2 . . . λntnn Gọi uj là véctơ cột thứ j của T , từ AT = T D suy ra Auj = λjuj ∀j = 1, . . . , n. Vì T không suy biến nên các véctơ cột là khác không và độc lập tuyến tính. Suy ra uj là các véctơ riêng của A. Vậy A có đủ n véctơ riêng u1, . . . , un độc lập tuyến tính. Ngược lại, giả sử A có n véctơ riêng độc lập tuyến tính u1, . . . , un tương
ứng với các giá trị riêng λ1, . . . , λn. Giả sử uj = (t1j, t2j, . . . , tnj)t, j = 1, n. Đặt T = . . . .
. . .
t11
...
tn1 t1n
...
. . . tnn Vì AuJ = λjuj (j = 1, n) nên ta có λ1t11 λ2t12 . . . λnt1n λ1t21 λ2t22 AT = . . . λnt2n
. . . ... ... ...
λ1tn1 λ2tn2 . . . λntnn
. . . t11 t12 t1n = = T D. . . .
. . .
λ1
. . . 0
...
...
. . .
0 . . . λn t21
...
tn1 t22
...
tn2 t2n
...
. . . tnn 10 Vì u1, u2, . . . , un độc lập tuyến tính nên det T (cid:54)= 0, suy ra tồn tại T −1 sao cho
T −1AT = D. Suy ra A chéo hóa được. Hệ quả 1.2.2. Nếu ma trận A cấp n có đủ n giá trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được. Định nghĩa 1.2.3. Với mỗi ma trận A, đa thức f (x) (cid:54)= 0 có bậc nhỏ nhất thỏa mãn f(A)=0 được gọi là đa thức tối tiểu của A. A(x). Mệnh đề 1.2.4. (i) Đa thức tối tiểu luôn tồn tại. Đa thức tối tiểu có hệ số cao
nhất bằng 1 là duy nhất và được kí hiệu là (cid:81) A(x)| f(x). (ii) Cho đa thức f(x). Khi đó f(A)=0 khi và chỉ khi (cid:81) 11 Trong chương này chúng tôi sẽ chỉ ra cách xác định các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R). Trước hết chúng tôi mô tả các phần tử có cấp hữu hạn
của nhóm này. Dựa trên kết quả về nhóm con của nhóm PGL(2, C), chúng
tôi sẽ phân loại các nhóm con hữu hạn của PGL(2, R) thành nhóm xyclic và nhóm Diheral. Nội dung của chương bao gồm việc xác định nhóm con xyclic hữu hạn, và nhóm con hữu hạn Diheral của nhóm PGL(2, R). Kết quả của chương này sẽ là cơ sở để xây dựng các lớp phương trình hàm ở chương 3, và là một phần nội dung chính của luận văn. Mục này sẽ chỉ ra cách xác định các nhóm con xyclic hữu hạn của PGL(2, R). ax + b Xét phép biến đổi phân tuyến tính g(x) = cx + d và ad − bc (cid:54)= 0. Bằng cách chia a, b, c, d cho trong đó a, b, c, d ∈ R
(cid:112)|ad − bc|, chúng ta có thể giả
thiết |ad − bc| = 1. Khi đó g được xác định bởi một phần tử của nhóm tuyến tính xạ ảnh a b γ =
∈ PGL(2, R). c d Nhóm PGL(2, R) tác động lên không gian xạ ảnh P1(R) = R ∪ {∞} thông 12 qua ax + b γ(x) = với mọi x ∈ P1(R) và γ ∈ PGL(2, R). cx + d Do vậy g chính xác là tác động của ma trận γ lên P1(R). Do đó g có cấp hữu
hạn khi và chỉ khi γ có cấp hữu hạn. Trong mục này, ta sẽ đi mô tả tất cả các phần tử có cấp hữu hạn của PGL(2, R). Giả sử γ ∈ GL(2, R) sao cho | det γ| = 1, và γ ∈ PGL(2, R)
thỏa mãn γn = 1. Điều này tương đương với γn = ±I2. Các ma trận γ như vậy được mô tả như sau Mệnh đề 2.1.1. Các phần tử có cấp hữu hạn trong PGL(2, R) có dạng γ với (i) γ =I2 (trường hợp này γ có cấp 1);
1 0 (ii) γ ∼ (trường hợp này γ có cấp 2); n 0 −1
εm 0 (iii) γ ∼ , với ε là một căn nguyên thủy bậc 2n của đơn vị 0 ε−m (n,m) , n ≥ 1). và 0 ≤ m < n (trường hợp này γ có cấp Chứng minh. Xét γ như một ma trận phức. Vì γ2n = I2 nên đa thức tối tiểu
của γ là ước của đa thức x2n − 1. Đặc biệt, trên C, γ chéo hóa được thành ma
trận đường chéo, vì đa thức x2n − 1 có 2n nghiệm phức phân biệt theo Hệ quả 1.2.1. Do γ thỏa mãn phương trình đa thức λ2n − 1 = 0 nên các giá trị riêng của γ là các căn bậc 2n của đơn vị, nghĩa là εm1 0 γ ∼ 0 εm2 π π + i sin trong đó ε là một căn nguyên thủy bậc 2n của 1. Ta chọn ε = cos , n n do đó mπ mπ + i sin εm = cos và 0 ≤ m < 2n. n n 13 Ta có ±1 = εm1εm2 = em1+m2 = det γ = ad − bc ∈ R và εm1 + εm2 = trace(A) = a + d ∈ R. Điều kiện εm1+m2 ∈ R suy ra m1 + m2 ∈ {0, n, 2n, 3n}. Vì + i sin εm1+m2 = cos ∈ R (m1 + m2)π
n (m1 + m2)π
n khi đó i sin ∈ R (0 ≤ m1, m2 < 2n, 0 ≤ m1 + m2 < 4n. (m1 + m2)π
n π π + i sin Với ε = cos chúng ta có 4 trường hợp: n n (i) m1 + m2 = 0. Khi đó m1 = m2 = 0 và γ = I2. nπ + (ii) m1 + m2 = n. Ta có εm2 = εn−m1 = −ε−m1, do εn = cos n nπ i sin = cos π = −1. Do đó n trace(A) = εm1 + εm2 = εn − ε−m1 = 2i sin . m1π
n
m1 = 0 = 0, suy ra hay Điều kiện εm1 + εm2 ∈ R dẫn đến sin m1π
n m1 = n εm1 = cos 0 + i sin 0 εm2 = cos 0 + i sin 0 εm1 = 1
dẫn tới , hoặc nπ nπ nπ nπ εm2 = −1 + i sin + i sin εm1 = cos
n n n
n
εm2 = 1 0 1 εm2 = cos
dẫn tới . Trong trường hợp này γ ∼ εm1 = −1 0 −1 14 Do vậy a + d = 0 và a2 = 1 − bc. Ta thấy đây là trường hợp duy nhất det γ = −1, nói riêng trường hợp này chỉ xảy ra khi n = 2, còn trong các trường hợp khác ta có γ ∈ PSL(2, R). (iii) m1 + m2 = 2n suy ra m2 = 2n − m1. Ta có ad − bc = 1 và ∈ R (vì ε2n = m1π
n εm1 + εm2 = εm1 + ε2n−m1 = εm1 + ε−m1 = 2 cos
2nπ 2nπ εm1 0 cos + i sin = 1). Vì vậy γ ∼ hay ma trận chéo hóa n n 0 ε−m1 εm1 0 của A là với 0 ≤ m1 < n. 0 ε−m1 . Điều này tương đương với det γ = 1 và a + d = 2 cos m1π
n (iv) m1 + m2 = 3n. Vì m2 < 2n nên m1 = 3n − m2 > n. Ta có 3πn εm2 = ε3n−m1 = −ε−m1 (do ε3n = cos + i sin 3πn = −1), dẫn tới n εm1 + εm2 = εm1 − ε−m1 = 2i sin . Như vậy εm1 + εm2 ∈ R tương đương m1π
n với sin = 0, hay n | m1 nhưng do n < m1 < 2n, trường hợp này không m1π
n
thể xảy ra. Chú ý 2.1.2. Như vậy trong các trường hợp trên, chỉ trường hợp n = 2 có ma trận γ không nằm trong PSL(2, R) các trường hợp còn lại đều suy ra γ ∈ PSL(2, R). Định lý dưới đây sẽ tổng kết tất cả các kết quả trên. ax + b là một phép biến đổi phân tuyến tính với cx + d Định lí 2.1.3. Cho g(x) =
a, b, c, d ∈ R, |ad − bc| = 1. Khi đó có một số n>0 sao cho gn = id nếu và
chỉ nếu g thỏa mãn một trong các tính chất sau đây: (i) g(x) = x, ∀x (γ = I2); 15 (ii) g(x) = −x, ∀x (γ = −I2); mπ (iii) ad − bc = 1 và a + d = 2 cos với m ∈ Z, 0 ≤ m < n. n Trong trường hợp n nhỏ, ta sẽ đưa ra công thức cụ thể của các ánh xạ phân tuyến tính có bậc n, nghĩa là với n cho trước, ta tìm những ma trận γ sao cho n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn γn = ±I2. Nếu n = 1 thì γ = ±I2. i 0 0 1 Nếu n = 2 thì γ ∼ B2 := . hoặc γ ∼ 0 −i 0 −1 Nếu n > 2 theo phân tích ở trên ma trận chéo hóa của γ có dạng B = εm 0 , với 0 < m < 2n. ε−m 0
Bằng cách lập luận tương tự như trên, không có ma trận thực C nào thỏa mãn C n ∼ B2. Điều kiện để bậc xoắn của γ bằng n là (m, n) = 1. Ta có một số trường hợp cụ thể: a) n = 2. Ta có a + d = 0 suy ra các phép biến đổi phân tuyến tính bậc 2 có dạng ax + b g(x) = với |a2 + bc| = 1. cx − a b) n = 3. Khi đó m = 1, 2 và a + d = ±1, suy ra các phép biến đổi phân tuyến tính có dạng ax + b g(x) = với a(1 − a) − bc = 1. cx + 1 − a ax + b và g(x) = với a(−1 − a) − bc = 1. cx − 1 − a √ c) n = 4. Ta có m = 1, 3, do đó a + d = ± 2, suy ra các phép biến đổi phân tuyến tính có dạng 16 √ ax + b
√ g(x) = 2 − a) − bc = 1. với a( cx + 2 − a √ ax + b
√ 2 − a) − bc = 1. và g(x) = với a(− cx − 2 − a 2(1 − 2(1 + 2(−1 + 1
2(1 +
phân tuyến tính có dạng d) n = 5. Ta có m = 1, 2, 3, 4, do đó a + d nhận một trong các giá trị √ √ √ √ 5), 1 5), − 1 5), 1 5), suy ra các phép biến đổi 2(1 + 2(1 + √ ax + b
√ g(x) = với a[ 1 5) − a] − bc = 1. cx + 1 5) − a 2(−1 + ax + b √ √ g(x) = với a[ 1 5) − a] − bc = 1. cx + 1 5) − a 2(−1 +
ax + b
√ 2(1 − √ g(x) = với a[ 1 5) − a] − bc = 1. cx + 1 5) − a 2(1 −
ax + b
√ 2(1 − 2(1 − √ g(x) = với a[− 1 5) − a] − bc = 1. cx − 1 5) − a Ở phần trước chúng ta đã tính phần tử sinh của tất cả các nhóm con xyclic hữu hạn của nhóm PGL(2, R). Bây giờ chúng ta sẽ xét trường hợp tổng quát,
đó là các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R). Chúng ta sẽ mô tả cấu
trúc của tất cả các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R), từ đó cũng chỉ
ra cách xác định các nhóm con Diheral của nhóm PGL(2, R). Trong thực tế, chỉ có vài cấu trúc nhóm có thể là nhóm con của nhóm tuyến tính xạ ảnh PGL(2, R). Điều này là hệ quả của bao hàm thức PGL(2, R) ⊂ PGL(2, C) và kết quả sau. Định lí 2.2.1. Cho G là một nhóm con hữu hạn của PGL(2, C). Khi đó G có
một trong các cấu trúc nhóm sau: 17 (i) Nhóm xyclic G (cid:39) (Z/nZ) ( kí hiệu Cn ), n ∈ N;
(ii) Nhóm Nhị diện Dn (bậc 2n), n ∈ N;
(iii) Nhóm thay phiên An với n = 4, 5; (iv) Nhóm đối xứng S4. Chứng minh của Định lý 2.2.1 có thể xem trong quyển sách của Dolgachev [3, Chapter 1], ở đó định lý được chứng minh thông qua phương pháp đếm bằng hai cách. Một chứng minh khác tổng quát hơn thông qua các dạng bậc hai thuộc về Beauville [1, Prop .1.1]. Nhóm tuyến tính xạ ảnh trên R ít cấu trúc nhóm con hơn trên C. Định lí 2.2.2. Cho G là một nhóm con hữu hạn của PGL(2, R). Khi đó G là
một nhóm xyclic hữu hạn Cn hoặc là một nhóm Nhị diện Dn. Chứng minh. Sử dụng Định lý 2.2.1 ta sẽ chứng minh rằng A4, S4, A5 không đẳng cấu với một nhóm con hữu hạn nào của PGL(2, R). Do A4 là nhóm con
của S4 và A5 nên để chứng minh điều đó ta chỉ cần chứng minh khẳng định cho A4. Ta giả sử rằng A4 là đẳng cấu với một nhóm con của PGL(2, R). Như
một nhóm của các hoán vị chẵn, A4 được sinh từ hai phần tử g = (123) và h = (12)(34). Ta có
ord(g) = 3 vì g2 = (123)(123) = (132), g3 = (132)(123) = id ord(h) = 2 vì h2 = ((12)(34))((12)(34)) = (132)(123) = id . Hơn nữa gh = (243) có cấp 3 vì (gh)2 = (243)(243) = (234) và (gh)3 = (243)(234) = id. Bây giờ ta sử dụng cùng kí hiệu g, h để biểu thị các phần tử tương ứng trong PGL(2, R) và sẽ chỉ ra ord(gh) = 3 không xảy ra trong PGL(2, R). Vì 18 g, h là các lớp tương đương của các ma trận cấp 2 × 2 nên ta cũng dùng g, h để ký hiệu các ma trận trong các lớp này có định thức thỏa mãn | det(g)| = | det(h)| = 1. mπ Vì ord(g) = 3, bằng Định lý 2.1.3, ta có trace(g) = 2 cos ∈ R với 3 x y m ∈ {1, 2} và det(g) = 1. Đặt g = , với det g = xt − yz = 1. Hơn z t 2mπ nên x + t = ±1, suy ra t = ±1 − x. Do y nữa, trace(g) = x + t = cos
3
det(g) = 1 nên y (cid:54)= 0 và xt − yz = 1, từ đó suy ra z = x(±1−x)−1 và x(±1−x)−1
y λ 1 x y g = ∼ , ±1 − x −1 0 mπ với λ = trace(g) = 2 cos . Điều này cùng với lập luận ngay sau Định lý 3 2.1.3 cho phép chúng ta có thể giả sử rằng a b λ 1 g = và h = c −a −1 0
λ 1 a b aλ + c bλ − a Vì gh = = , nên trace(gh) = c −a −1 0 −b −a
aλ + c − b. Đặt λ(cid:48) = trace(gh) thì chúng ta có b = λa + c − λ(cid:48). 19 Do det h = 1, hay −a2 − bc = 1, nên a2 + bc + 1 = 0. Từ đó suy ra 0 = a2 + (λa + c − λ(cid:48))c + 1 = a2 + λac + c2 − cλ(cid:48) + 1 2 2 λ(cid:48)2c2 c2 λ2c2 − cλ(cid:48) + 1 + + = a2 + λac + 4 4 2 λc λ(cid:48)c c2 = + − 1 + a + 2 2 2 > 0 (ở đây ta có |λ| = |λ(cid:48)| = 1 ⇒ λ2 = λ(cid:48)2 = 1). Mâu thuẫn. Vậy g, h không tồn tại, hay A4 không đẳng cấu với một nhóm con nào của PGL(2, R). Bây giờ ta chứng tỏ rằng PGL(2, R) nhận nhóm xyclic Cn và nhóm Di-
heral Dn là nhóm con hữu hạn. Việc xây dựng nhóm con xyclic hữu hạn Cn đã trình bày ở tiết trước (Định lý 2.1.3). Bây giờ ta sẽ xây dựng phần còn lại là các nhóm Diheral Dn. Định lí 2.2.3. Cho G ⊂ PGL(2, R) là một nhóm con. Khi đó G ∼= Dn với
một số n > 0 nếu và chỉ nếu G liên hợp với nhóm con của PGL(2, R) sinh ra
bởi λ 1 a b g = và h = , −1 0 b − λa −a mπ trong đó λ = εm + ε−m = 2 cos , (m, n) = 1, sao cho a2 − λab + b2 = 1. n Hệ quả là PGL(2, R) chứa nhóm Nhị diện Dn, như một nhóm con với mọi
n>0. 20 Chứng minh. Ta có G ∼= Dn nếu và chỉ nếu G sinh bởi 2 phần tử g, h ∈
PGL(2, R) với ord(g) = n, ord(h) = 2 và ord(gh) = 2. Nếu n > 2 thì từ Định lí 2.1.3, ta có ε−m 0 h ∼ 0 εm với mỗi (m, n) = 1. Xét n = 2. Nếu 1 0 g, h ∼ 0 −1 thấy rằng det(h) = det(g) = −1 thì det(gh) = 1. Thay g bởi gh nếu cần, ta có thể giả thiết rằng ε−m 0 h ∼ . 0 εm trong đó ε = i với trường hợp này. Tổng quát, sử dụng Định lý 2.1.3 ta có thể giả thiết λ 1 g = −1 0 (cũng xem từ chứng minh của Định lý 2.2.2). Hơn nữa, ta có thể viết a b h =
trong đó a, b, c ∈ R, a2 + bc = ±1. c −a Khi đó λ 1 a b aλ + c bλ − a gh = = −1 0 c −a −a −b (aλ + c)2 − a(λb − a) (λb − a)(λa + c − b) Suy ra (gh)2 = a2 − λab + b2
−a(λa + c − b)
Nếu (gh)2 = ±I2 thì a(λa + c − b) = 0. Giả sử a = 0. Ta có
c2 λb(c − b) (gh)2 = = ±I2. 0 b2 21 Do vậy c = b. Giả thiết a2 + bc = ±1, điều này suy ra rằng b = c = 1 và 0 1 h = . 1 0 Nếu a (cid:54)= 0 thì c = −λa + b. Do vậy a2 + b2 − abλ 0 (gh)2 = . 0 a2 − abλ + b2 Suy ra (gh)2 = (a2 + b2 − abλ)I2. Chú ý rằng a2 + bc = a2 − λab + b2 > 0 (do |λ| < 2). Do đó det h = 1 và a b h =
trong đó a2 − λab + b2 = 1. −λa + b −a Chú ý 2.2.4. Cho g và h là 2 phần tử sinh của Dn ở trên, đó là ord(g) = n và ord(h) = 2. Khi đó gh ∈ G với ord(gh) = 2 và det(gh) = −1. Rõ ràng gh, g cũng là phần tử sinh của Dn. Do đó, ta cũng có thể chọn một tập các phần tử sinh của Dn chứa g, h với 1 0 g ∼ h ∼ . 0 −1 22 Trong chương này chúng tôi sẽ xây dựng một lớp phương trình hàm dựa trên các kết quả về mô tả cấu trúc các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R) trong chương trước. Nội dung của chương bao gồm hai phần, phần một chỉ ra cách xây dựng tổng quát lớp phương trình hàm như đã nói ở trên, phần hai là một số bài tập vận dụng. Chúng ta thấy rằng chỉ có cấu trúc nhóm xyclic và nhóm Diheral xuất hiện trong các nhóm con của PGL(2, R). Trong (Định lí 2.1.3 và Định lý
2.2.3). Chúng ta đã chỉ ra mỗi nhóm con hữu hạn của PGL(2, R) tương ứng với một nhóm các phép biến đổi phân tuyến tính. Các nhóm này dẫn đến một lớp các phương trình hàm đặc biệt mà ta xét sau đây. Ý tưởng chung là ta xét D ⊆ R là một miền và g1, . . . , gn : D → D là các hàm số liên tục sao cho
G = {id, g1, . . . , gn} cùng với phép hợp của các ánh xạ là một nhóm hữu hạn. Cho các hàm a0, a1, . . . , an, b : D → R. Chúng ta quan tâm đến phương trình hàm sau a0f + a1f ◦ g1 + · · · + anf ◦ gn = b. 23 Để tìm được hàm f thỏa mãn phương trình này ta lần lượt thay x bởi g1(x), g2(x), . . . , gn(x). Khi đó, ta sẽ có được một hệ phương trình tuyến tính với ẩn là f, f ◦ g1, f ◦ g2, . . . , f ◦ gn. Để giải hệ phương trình tuyến tính này, ta có thể dùng các phương pháp quen biết trong đại số tuyến tính như phương pháp Cramer. Thông thường ở các ví dụ và bài tập thường cho G là một nhóm xyclic. Trong luận văn này chúng tôi quan tâm chủ yếu đến các phương trình mà g1, g2, ..., gn là các phép biến đổi phân tuyến tính, cụ thể với G là xyclic như ví dụ Ví dụ 3.1.1. Tìm tất cả các hàm số f : R\{2} → R\{2} thỏa mãn 2x − 3 (x + 1)f (x) − 2xf = 3x + 2. x − 2 Khi đó xét hàm số g0, g1 : R\{2} → R\{2} sao cho 2x − 3 g(x) = x = id, g1(x) = x − 2 1(x) = x = id. Vậy g = {g0, g1} lập thành nhóm xyclic cấp 2, và thì ta có g2 với G là một nhóm Diheral như ví dụ dưới đây. Ví dụ 3.1.2. Tìm tất cả các hàm f : R\{−1, 0} → R xác định bởi − x − 1 − 1 xf + f + f (−x − 1) = 2x + 1. x x + 1 Dễ thấy ở đây phương trình hàm này được xây dựng từ các phép biến đổi của nhóm D3 với − x − 1 , h(x) = −x − 1. g(x) = x 24 − x − 1 −1 −1 Thật vậy, ta có g(x) = tương ứng với ma trận . Hơn nữa x 1 0 0 1 −1 −1 −1 −1 g2 = = −1 −1 1 0 1 0 suy ra 1 0 −1 −1 0 1 g3 = = id = 0 1 1 0 −1 −1 do đó g có cấp là 3. Ta có h(x) = −x − 1 tương ứng với ma trận −1 −1 0 1 từ đó suy ra 1 0 −1 −1 −1 −1 h2 = = id . = 0 1 0 1 0 1 Do đó cấp của h là 2. Xét 1 0 −1 −1 −1 −1 gh = . = −1 −1 1 0 0 1 Ta có 1 0 1 0 1 0 (gh)2 = = = id . −1 −1 −1 −1 0 1 Do đó gh có cấp 2, mặt khác ta thấy −1 −1 0 1 1 0 hg2 = = 0 1 −1 −1 −1 −1 25 suy ra − x = gh. hg2(x) = x + 1 Vậy g, h là hai phần tử sinh của nhóm D3 như đã nêu ở trên. Để ra những bài tập mới, từ phương trình dạng a0f + a1f + ... + anf = b như trên, thay x bởi một hàm ϕ(x) cụ thể ta có Ví dụ 3.1.3. Tìm tất cả các hàm số f : R\{ −1 2 , 1} → R\{2} thỏa mãn
3x − 2 13x − 4 x 2f . − 3f = x − 1 2x + 1 2x − 3x2 3x − 2 x Đặt g(x) = và h(x) = . Phép biến đổi h có cấp 2 vì h2(x) = x. 2x + 1 x − 1 Trong khi đó ord(g) =∞. Để giải phương trình này, ta tìm hàm k(x) thỏa x + 2 , ta có mãn g = k.h, hay k = g.h−1 = g.h. Đặt k(x) = g.h(x) = 3x − 1 2 7 0 1 2 k2(x) = x vì
1
=
∼ id. Khi đó, phương trình 3 −1 3 −1 0 7 trên được viết như sau 13x − 4 2f (h(x)) − 3f (k.h(x)) = . 2x − 3x2 Đặt t = h(x) ta được phương trình hàm ứng với nhóm xyclic {id, k}. Trong ví dụ trên, ta thấy h và k có cấp 2 nhưng chúng không xác định một nhóm con hữu hạn. Bằng cách tương tự, ta có thể xây dựng những phương trình hàm khác như trong ví dụ sau. 26 2 , π 2 Ví dụ 3.1.4. Tìm các hàm f : R → R thỏa mãn: 2(1 − 2 tan x) 1 (cid:1) , x (cid:54)= , với mọi x ∈ (cid:0)− π a) f (tan x)+f = 1 − tan x tan x(1 − tan x) 0, π
4 . x − 3 x + 3 b) f + f = x, với mọi x (cid:54)= 1. 2x − 2 4 Trong phương trình ở phần a), đặt t = tan x thì ta có phương trình 1 2(1 − 2t) f (t) + f = , t ∈ R. 1 − t t(1 − t) 1 Ở đây ϕ(t) = là phép biến đổi có cấp ord(ϕ) = 3. 1 − t x x − 3 Trong phương trình ở phần b), đặt h(x) = và g(x) = thì h x + 1 x + 1 x − 3 x + 3 , h.g2(x) = , không có cấp hữu hạn, g có cấp 3. Ta có h.g(x) = 2x − 2 4 suy ra phương trình trở thành (f.h)g(x) + (f.h)g2(x) = x, vì thế có thể giải phương trình này như trong phần a). Trong thực tế, ta cũng có thể xây dựng những phương trình hàm mà các phép biến đổi g1, g2, ..., gn không nhất thiết là phân tuyến tính. Ví dụ 3.1.5. i) Cho n ∈ N và g : R → R, g(x) = [x] + {x + 1
n}, trong đó [x]
là số nguyên lớn nhất không vượt quán x và {x} = x − [x]. Ta có gn = id và
G = {id, g, . . . , gn−1} là một nhóm xyclic bậc n. n ii) Cho n ∈ N và ai = tan−1 (cid:0) iπ n (cid:1) , i = −(n − 1), . . . , −1, 0, 1, . . . , n − 1.
Kí hiệu D = R\{a−n+1, . . . , a0, . . . , an−1}, xét ánh xạ g : D → D, g(x) =
(cid:1). Ta có gn = id do đó G = {id, g, . . . , gn−1} là một nhóm
tan (cid:0)tan−1(x) + π xyclic bậc n. 27 Phương trình a0(x)f.ϕ(x) + a1(x)f.g1ϕ(x) + ... + an(x)f.gnϕ(x) = b0.ϕ(x). Để giải phương trình loại này, ta làm ngược lại quá trình trên, nghĩa là đặt t = ϕ(x), rồi giải như thông thường. Dựa vào các phân tích trong mục trước cũng như kết quả trong chương 2, trong phần này chúng tôi đưa ra một số bài tập cụ thể về phương trình hàm được xác định từ các phép biến đổi phân tuyến tính. Nhóm C2 ax + b Với n = 2, g = với a2 + bc = 1, a, b ∈ R (*). cx − a Cụ thể: Ta có thể chọn a = 1, khi đó b = 0 hoặc c = 0. Khi đó có thể chọn b = 0, c = 2 (ta cũng có thể chọn các bộ số a, b, nào đó với điều kiện chỉ cần x nó thỏa mãn điều kiện (*)), vậy g(x) = , suy ra g2(x) = x = id. 2x − 1 Tới đây, ta có thể xây dựng được vô số bài toán dựa trên nhóm G = {g, g2 = id}. Ví dụ 3.2.1. Tìm các hàm số f : R\{1/2} → R\{1/2} thỏa mãn x xf (x) + f = 2x + 1. 2x − 1 Giải. Xét hàm số g0, g1 : R\{1/2} → R\{1/2} với 28 x g0 = x = id, g1(x) = 2x − 1 1(x) = g0(x) = x = id. Vậy g = {g0, g1} là một nhóm xyclic bậc 2, suy ra g2 từ đó phương trình đã cho trở thành (∗∗) xf (x) − f (g1(x)) = x + 1 Đặt fi = f gi thì xf0 + f1 = 1 + x (1). Mặt khác trong (**) thay x bởi g1(x) ta có x x + 1. f (g0(g1(x))) + f (g1(g1(x))) = 2x − 1 2x − 1 Khi đó ta có 3x − 1 x (2) .f1 + f0 = 2x − 1 2x − 1 Từ (1) và (2) ta có hệ + f1 = 1 + x xf0 x 3x − 1 .f1 + f0 =
2x − 1 2x − 1 Giải hệ ta được f (x) = 1, ∀x ∈ R\{1/2} . ax + b Cũng với n = 2, g = thỏa mãn a2 + bc = 1, a, b ∈ R (*) . cx − a 2x − 3 Chọn a = 2 và b = −3, ta có c = 1. Vậy g(x) = . Ta có bài toán x − 2 Ví dụ 3.2.2. Tìm tất cả các hàm số f : R\{2} → R\{2} thỏa mãn 2x − 3 (x + 1)f (x) − 2xf = 3x + 2. x − 2 Giải. Xét hàm số g0, g1 : R\{2} → R\{2} sao cho 2x − 3 . g(x) = x = id, g1(x) = x − 2 29 1(x) = x = id. Vậy g = {g0, g1} lập thành nhóm xyclic cấp 2. Khi Khi đó g2 đó, phương trình đã cho trở thành (x + 1)f (x) − 2xf (g1(x)) = 3x + 2 (∗) Đặt fi = f.gi(x), vậy (*) tương đương với (x + 1)f0 − 2xf1 = 3x + 2 (1) Mặt khác trong (*) thay x bởi g1(x) ta có 2x − 3 2x − 3 2x − 3 + 1 + 2. .f (g1(g1(x))) = 3. f (g1(x)) − 2. x − 2 x − 2 x − 2 Tương đương với (3x − 5).f1 − (4x − 6).f0 = 8x − 13 (2) Từ (1) và (2), ta có = 3x + 2
(x + 1)f0 − 2xf1 (4x − 6)f0 − (3x − 5)f1 = 13 − 8x Giải hệ trên, ta được 2 + 7x − 5x2 2 + 7x − 5x2 . .Vậyf (x) = f0 = (x − 1)2 (x − 1)2 Nhóm C3 Với n = 3 ta chọn ax + b g(x) = , với a(1 − a) − bc = 1 cx + 1 − a
ax + b
g(x) = , với a(−1 − a) − bc = 1 cx − 1 − a 30 Cụ thể: Khi đó ta có thể chọn bộ số (a, b, c) tùy ý thỏa mãn các điều kiện trên, ví dụ: x + 1 . Khi đó ta có vô số Chọn a = 1, b = 1 suy ra c = 1. Vậy g(x) = −x bài toán Ví dụ 3.2.3. Tìm tất cả các hàm f : R{\{−1, 0}} → R\{−1, 0} thỏa mãn: x + 1 − 1 f (x) − xf + xf = 2x + 1. x + 1 −x Giải. Xét hàm số g0, g1, g2 : R\{0, −1} → R\{0, −1} thỏa mãn g0(x) = x = id x + 1 g1(x) = −x
− 1 g2(x) =
x + 1 1(x) = g1(g2(x)) = x. Vậy g = {g0, g1, g2} lập thành 1(x) = g2(x), g3 Ta có g2 một nhóm xyclic cấp 3. Vậy phương trình đã cho trở thành f (x) − xf (g1(x)) + xf (g2(x)) = 2x + 1 (∗) Đặt f1 = f (gi(x)), khi đó (*) trở thành f0 − xf1 + xf2 = 2x + 1 (1) Mặt khác trong (*) thay x bởi g1(x) ta có f (g1(x)) − g1(x)f (g1(g1(x))) + g1(x).f (g2(g1(x))) = 2g1(x) + 1, tương đương với x + 1 x + 1 x + 1 , f1 + .f2 − .f0 = 1 − 2. x x x 31 hay xf1 + (x + 1)f2 − (x + 1)f0 = −2 − x (2) Cũng trong (*) thay x bởi g2(x), ta có f (g2(x)) − g2(x).f (g1(g2(x))) + g2(x).f (g2(g2(x))) = 2g2(x) + 1, tương đương với 1 2 1 , .f0 − .f1 = 1 − f2 + x + 1 x + 1 x + 1 hay f0 − f1 + (x + 1)f2 = x − 1 (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ = 2x + 1 f0 − xf1 + xf2 xf1 + (x + 1)f2 − (x + 1)f0 = −2 − x = x − 1
f0 − f1 + (x + 1)f2 Giải hệ trên ta được x3 − 2x2 − 5x − 1 . f0 = x3 + 2x2 − x − 1 Vậy x3 − 2x2 − 5x − 1 f (x) = . x3 + 2x2 − x − 1 Cũng với n = 3 ta chọn ax + b g(x) = , với a(1 − a) − bc = 1 cx + 1 − a
ax + b
g(x) = , với a(−1 − a) − bc = 1 cx − 1 − a 2x − 7 3x − 7 Chọn a = 2, b = −7, c = 1. Khi đó g(x) = và g2(x) = x − 3 x − 2 đồng thời g3(x) = x = id. Khi đó ta có thể xây dựng được vô số bài toán. 32 Ví dụ 3.2.4. Tìm tất cả các hàm số f (x) : R\{2, 3} → R\{2, 3} thỏa mãn 3x − 7 2x − 7 xf (x) − f + (2x + 1)f = x + 2. x − 3 x − 2 Giải. Xét các hàm số g0, g1, g2 : R\{2, 3} → R\{2, 3} thỏa mãn: g0(x) = id = x 2x − 7 g1(x) = x − 3
3x − 7 g2(x) =
x − 2 1(x) = g1(g2(x)) = x. Vậy g = {g0, g1, g2} lập thành 1(x) = g2(x), g3 Ta có g2 một nhóm xyclic cấp 3 và phương trình đã cho trở thành xf (x) − f (g1(x)) + (2x + 1)f (g2(x)) = x + 2 (∗) Đặt fi = f (gi(x)), khi đó (*) trở thành xf0 − f1 + (2x + 1)f2 = x + 2 (1) Mặt khác trong (*) thay x bởi g1(x) ta có g1(x).f (g1(x)) − f (g1(g1(x))) + [2g1(x) + 1].f (g2(g1(x))) = g1(x) + 2, tương đương với 2x − 7 2x − 7 2x − 7 + 1 + 2, .f1 − f2 + 2 .f0 = x − 3 x − 3 x − 3 hay (2x − 7)f1 − (x − 3)f2 + (5x − 17)f0 = 4x − 13 (2) Cũng trong (*) thay x bởi g2(x) ta có g2(x).f (g2(x)) − f (g1(g2(x))) + [2g2(x) + 1].f (g2(g2(x))) = g2(x) + 2, 33 tương đương với 3x − 7 3x − 7 3x − 7 + 1 + 2, .f2 + f0 − 2. .f1 = x − 2 x − 2 x − 2 hay (3x − 7)f2 − (x − 2)f0 + (7x − 16)f1 = 5x − 11 (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ = x + 2 xf0 − f1 + 2(x + 1)f2 (5x − 17)f0 − (2x − 7)f1 − (x − 3)f2 = 4x − 13
(2 − x)f0 + (7x − 16)f1 + (3x − 7)f2 = 5x − 11 Giải hệ trên, ta được 69x3 − 301x2 + 259x + 825 . f0 = 67x3 − 266x2 + 192x + 423 Vậy 69x3 − 301x2 + 259x + 825 f (x) = . 67x3 − 266x2 + 192x + 423 Ví dụ 3.2.5. Tìm tất cả các hàm f(x) thỏa mãn: 3 + x x − 3 f + f = x. x + 1 1 − x Giải. Đặt D = R\{−1, 1}. Xét hàm số g0, g1, g2 : D → D thỏa mãn g0(x) = id = x x − 3 g1(x) = x + 1
3 + x g2(x) =
1 − x 34 1 = g2, g2 2 = g1. Vậy G = {g0, g1, g2} lập thành
một nhóm xyclic cấp 3. Kí hiệu fi = f.gi. Vậy phương trình đã cho trở thành Ta có g1.g2 = g2.g1 = id, g2 f (g1(x)) + f (g2(x)) = x (∗) hay f1 + f2 = x (1) Mặt khác trong (*) thay x bởi g1(x) ta có f (g1(g2(x))) + f (g2(g1(x))) = g1(x), tương đương với x − 3 , (2) f2 + f0 = x + 1 Cũng trong (*) thay x bởi g2(x) ta có f (g1(g2(x))) + f (g2(g2(x))) = g2(x), hay 3 + x (3) f0 + f1 = 1 − x Từ (1), (2), (3) ta có hệ f1 + f2 = x f0 + f2 = −2 − x 3 + x f0 + f1 =
1 − x Giải hệ trên ta được x − 3 1 x + 3 + − x f0 = . 2 x + 1 1 − x 35 Vậy x2 − 9 1 − x f (x) = . 2 1 − x2 Nhận xét 3.2.6. Tương tự như vậy chúng ta có thể xây dựng vô số bài toán về tìm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước mà các thành phần của biến hàm là các phần tử của nhóm xyclic hữu hạn cấp n với phép biến đổi phân tuyến tính, với n = 2, 3, 4, 5, . . . , n . Tiếp theo ta xét phép biến đổi phân tuyến tính tương ứng với nhóm Diheral Dn Trước hết ta nhắc lại bổ đề sau trong lý thuyết nhóm. Bổ đề 3.2.7. Cho G là một nhóm hữu hạn, g, h là 2 phần tử của G thỏa mãn
gn = e, h2 = e, (gh)2 = e. Khi đó với k = 0, 1, ..., n, ta có hgn−k = gk.h. = gh. .hg = gh.gh.hg = ghg h2
(cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)
e g = gh g2
(cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)
e Chứng minh. Với n = 2 ta có g2 = e, h2 = e, (gh)2 = e. Khi đó hg =
(gh)2
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
e Xét với n bất kì, ta có gn = e, h2 = e, (gh)2 = e. Khi đó ta có hg =
(gh)2.hg = ghgh.hg = ghgh2g = ghg2 (1). Suy ra hgn−1 = ghgn = gh,
và hgn−2 = ghgn−1 = ggh = g2h, tương tự như trên, bằng quy nạp, giả sử
hgn−k = gk.h, khi đó hgn−(k+1) = ghgn−k = g.gk.h = gk+1.h. Vậy hgn−k = gkh với mọi k = 0, 1, ..., n. 36 Xét nhóm con G ⊂ P GL(2, R) là nhóm Diheral Dn sinh bởi hai phần tử g, h trong đó a b λ 1 g = và h = −λa + b −a −1 0 (xem Định lý 2.2.3). Khi đó nhóm các phép biến đổi phân tuyến tính tương ứng sinh bởi hai phép biến đổi g(x) = . và h(x) = λx + 1
−x ax + b
(−λa + b)x − a 2 = 0 và g = Nhóm D2 1 λ 1 Xét n = 2, suy ra g(x) = − (do λ = 2 cos π ), x −1 0 ax + b h(x) = . Chọn a = 1, suy ra b = c = 0, suy ra h(x) = −x. Ta có cx − a g2(x) = x = id
h2(x) = x = id 1 Xét gh = , suy ra (gh)2 = id và theo Bổ đề 3.2.7 thì hg = gh. Khi đó x ta có vô số bài toán về tìm hàm số trong đó các biến hàm là các thành phần g(x), h(x), gh(x), chẳng hạn: Ví dụ 3.2.8. Tìm tất cả các hàm số f (x) thỏa mãn f : R\{0} → R\{0} và 1 1 f (−x) − f − + (x − 1)f
x = x − 2.
x Giải. Đặt h(x) = −x h2(x) = x = id
⇒ 1 g2(x) = x = id g(x) = −
x 37 1 1 Suy ra gh(x) = , suy ra (gh)2(x) = x = id, (hg)(x) = . Phương trình x x đã cho tương đương với f (h(x)) − f (g(x)) − (x − 1)(gh(x)) = x − 2 (∗) Đặt f0 = f (x) f1 = f (h(x)) f2 = f (g(x))
f3 = f (gh(x)) Khi đó (*) trở thành f1 − f2 + (x − 1)f3 = x − 2 (1) Mặt khác trong (*) thay x bởi h(x) ta có f (h2(x)) − f (gh(x)) + (h(x) − 1)f (g(h(x))) = h(x) − 2 hay f0 − f3 + (x − 1)f2 = −x − 2 (2) Cũng trong (*) thay x bởi g(x) ta có f (hg(x)) − f (g(g(x))) + [g(x) − 1].f (gh(g(x))) = g(x) − 2 hay 1 1 − 1 − 2 f3 − f0 + − f1 = − (3) x x tiếp tục thay x bởi gh(x) vào (*) ta có f (h(gh(x))) − f (g(gh(x))) + (gh(x) − 1).f (gh(gh(x))) = gh(x) − 2 38 hay 1 1 − 1 − 2 (4) f2 − f3 + .f0 = x x Từ (1), (2), (3), (4) ta có hệ = x − 2 0.f0 + f1 − f2 + (x − 1)f3 = −x − 2 f0 + 0.f1 − (x + 1)f2 − f3 xf0 + (x + 1)f1 + 0.f2 − xf3 = 2x + 1
(1 − x)f0 + 0.f1 + xf2 − xf3 = −2x + 1 Giải hệ trên ta được 2x4 + 4x3 + 9x2 + 4x + 4 . f0 = x3 − 7x2 − x Vậy 2x4 + 4x3 + 9x2 + 4x + 4 f (x) = . x3 − 7x2 − x Nhóm D3 Xét với n = 3 3 , với m = {1, 2} ta chọn m = 1) . − x − 1 g(x) = (do λ = 2 cos mπ x
ax + b h(x) = (với |a2 + bc| = 1, ta chọn a = 1, b = 1, c = b − a). cx − a − 1 Suy ra h(x) = −x − 1, ta có g2(x) = , g3(x) = x = id suy ra g(x) x + 1 có cấp 3. Ta có h2(x) = x = id, suy ra h(x) có cấp 2, theo bổ đề trên ta có − x hg2 = , hg = g2h. Khi đó ta có thể xây dựng được vô số bài toán dựa x + 1 trên nhóm Diheral D3 với hai phần tử sinh là g và h như trên. Ví dụ 3.2.9. Tìm tất cả các hàm số f (x) thỏa mãn f : R\{−1, 0} → R và − x − 1 − 1 xf + f + f (−x − 1) = 2x + 1. x x + 1 39 Giải. h2(x) = x = id h(x) = −x − 1
⇒ Xét − 1 − x − 1 g2(x) = , g3(x) = x = id g(x) =
x + 1 x − x Ta có gh(x) = , suy ra (gh)2(x) = x = id . Theo bổ đề trên suy ra x + 1 − x hg2 = = gh. Khi đó phương trình trên tương đương với x + 1 xf (g(x)) + f (g2(x)) + f (h(x)) = 2x + 1 (∗) Đặt f0 = f (x) f1 = f (h) f2 = f (g)
f3 = f (g2)
f4 = f (gh)
f5 = f (g2h) Khi đó (*) trở thành xf2 + f3 + f1 = 2x + 1 (1). Trong (*) thay x bởi h(x) ta có h(x).f (gh) + f (g2h) + f (h2) = 2h(x) + 1 hay (2). −(x + 1)f4 + f5 + f0 = 1 − 2(x + 1) Trong (*) thay x bởi g(x) ta có g(x).f (g2) + f (g3) + f (hg) = 2.g(x) + 1, 40 hay x + 1 x + 1 (3). − .f3 + f0 + f5 = 1 − 2 x x Trong (*) thay x bởi g2(x) ta có g2(x).f (g3) + f (g) + f (hg2) = 2g2(x) + 1 hay − 1 2 (4). .f0 + f2 + f4 = 1 − x + 1 x + 1 Trong (*) thay x bởi gh ta có gh.f (g2h) + f (h) + f (g2) = 2gh + 1 hay − x 2x (5). .f5 + f1 + f3 = 1 − x + 1 x + 1 Trong (*) thay x bởi g2h ta có g2h.f (h) + f (gh) + f (hg2h) = 2g2h + 1 hay 1 2 (6) .f1 + f4 + f2 = 1 + x x Từ (1), (2), (3), (4), (5), (6) ta có hệ = 2x + 1 f1 + xf2 + f3 = 1 − 2 x+1
x x f3 + f5
x+1f0 + f2 + f4 f0 − (x + 1)f4 + f5 = 1 − 2(x + 1)
f0 − x+1
− 1 = 1 − 2
x+1
= 1 − 2x
x+1 x+1f5
xf1 + f3 + f4 f1 + f3 − x
− 1
= 1 + 2
x 41 Giải hệ trên, ta được 3(x2 − 1)
. f0 = 2x Vậy f (x) = 3(x2 − 1)
. 2x Bây giờ ta xét một số bài toán đã được sử dụng trong thực tế, chủ yếu từ tài liệu [5], [2], [1] Ví dụ 3.2.10. [5, Bài 1] Tìm tất cả các hàm số f : C → C thỏa mãn f (z) + zf (1 − z) = 1 + z với z ∈ C. Giải. Xét các hàm g0, g1 : C → C với
g0(z) = z = id g1(z) = 1 − z 1(z) = g0(z) = z . Vậy g = {g0, g1} là một nhóm xyclic bậc hai. Khi Ta có g2 đó phương trình trên trở thành f (z) + zf (1 − z) = 1 + z (∗) Đặt fi = f.gi. Khi đó (*) trở thành f0 + zf1 = 1 + z (1) Mặt khác trong (*) thay z bởi g1(z), ta có 1(z)) = 1 + g1(z). f (g1(z)) + g1(z).f (g2 hay f1 + (1 − z)f0 = 2 − z (2) 42 Từ (1) và (2) ta có hệ = 1 + z
f0 + zf1 f1 + (1 − z)f0 = 2 − z Giải hệ trên ta được f0 = 1. Vậy f (z) = 1 . Ví dụ 3.2.11. [2, Bài 2] Giả sử a (cid:54)= 0 , tìm hàm số f (x) biết a2 f (x) + f = x. a − x Giải. Đặt D = R\{a} . Xét g0, g1, g2 : D → R thỏa mãn g0 = x = id a2 g1 = a − x 1 = a3 − a2x ax − a2 = g2 = g2
−ax x 1 = x = id . Vậy G = {g0, g1, g2} là một nhóm xyclic. Đặt fi = f.gi. Khi đó g3 Khi đó phương trình được viết lại là f (x) + f (g1(x)) = x (∗) hay f0 + f1 = x (1) Trong (*) thay x bởi g1(x) ta có f (g1(x)) + f (g2(x)) = g1(x) hay a2 (2) f1 + f2 = a − x 43 Trong (*) thay x bởi g2(x) ta có f (g2(x)) + f (g1(g2(x))) = g2(x) hay ax − a2 (3) f2 + f0 = x Từ (1), (2) và (3) ta có hệ f0 + f1 = x a2 f1 + f2 = a − x
ax − a2 f0 + f2 =
x Giải hệ trên ta được a(x − a) 1 a2 − f0 = . x + 2 x a − x Vậy 1 a(x − a) a2 f (x) = − . x + 2 x a − x Nhận xét 3.2.12. Với các bài toán mà các biến hàm lập thành nhóm hữu hạn của nhóm PGL(2, R) ta luôn xây dựng hệ và giải được. Tuy nhiên trong thực tế, đôi khi có những bài toán mà các biến hàm không xác định một nhóm con hữu hạn nhưng nó thỏa mãn một số điều kiện nào đó thì ta vẫn có thể giải được chúng, điều này sẽ được chỉ ra bởi ví dụ sau. Ví dụ 3.2.13. [2, Bài 3] Tìm các hàm số f (x) biết rằng x 3x − 2 13x − 4 2f . − 3f = x − 1 2x + 1 2x − 3x2 44 3x − 2 và t = h(x) = Giải. Đặt D = R\{1; −1/2; 0; 2/3}. Đặt g(x) = 2x + 1 x . Khi đó ta có x − 1 t x = t − 1 t2 = h2(x) = x = id
x + 2 Xét k(x) = g.h = g.h−1 = thì K 2(x) = id = x từ đó ta có g = k.h. 3x − 1
Khi đó phương trình được viết lại là 13x − 4 2f (h(x)) − 3f (k.h(x)) = (∗) 2x − 3x2 hay h(x)−1 − 4
(cid:104) h(x)
h(x)−1 h(x)−1 − 3 13. h(x) 2f (h(x)) − 3f (k.h(x)) = (cid:105)2. 2. h(x) Tương đương [9h(x) + 4][−h(x) + 1] 2f (h(x)) − 3f (k.h(x)) = (∗∗) h(x)[h(x) + 1] Trong (*) thay x bởi h(x) ta có 13h(x) − 4 2f (h2(x)) − 3f (k.h2(x)) = 2h(x) − 3h2(x) hay x−1 2f (x) − 3f (k(x)) = (cid:1)2. 13. x
x−1 − 4
x−1 − 3 (cid:0) x
2. x
Đặt f (x) = f0, f (k(x)) = f1 thì ta có phương trình (9x + 4)(1 − x) (1). 2f1 − 3f0 = x(x + 1) 45 Mặt khác trong (**) thay h(x) bởi k(x) ta có [9k(x) + 4][1 − k(x)] 2f (k(x)) − 3f (k2(x)) = k(x)[k(x) + 1] 3x−1 hay (cid:3) (cid:2)9 x+2 3x−1 + 4(cid:3) (cid:2)1 − x+2
3x−1 + 1(cid:3)
(cid:2) x+2 x+2
3x−1 2f1 − 3f0 = tương đương với (21x + 14)(2x − 3) (2). 2f1 − 3f0 = (x + 2)(4x + 1) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (9x + 4)(1 − x) 2f0 − 3f1 = x(x + 1) (21x + 14)(2x − 3) 2f1 − 3f0 =
(x + 2)(4x + 1) Giải hệ trên ta được 3 (21x + 14)(2x − 3) 6(x + 4)(1 − x) − f0 = . 5 (x + 2)(4x + 1) x(x + 1) hay 3 (21x + 14)(2x − 3) 6(x + 4)(1 − x) f (x) = − . 5 (x + 2)(4x + 1) x(x + 1) Bài tập Bài 1. [2, Bài 6] a) Tìm các hàm số f : R\{0, 1} → R thỏa mãn phương trình 1 f (x) + f 2(1 − 2x)
. = 1 − x x(1 − x) 46 b) Tìm các hàm số f : R\{0} → R thỏa mãn phương trình √ 1 f (x) + f = 2.
x √
3
3 ; 3
3 (cid:110) (cid:111) − Bài 2. Tìm các hàm số f : R\ → R thỏa mãn phương trình √ √ x + 3 3 √ x −
√ xf (x) − 3f + 2f = x + 2. 1 − 3x 3x + 1 √ (cid:110) (cid:111) − Bài 3. Tìm các hàm số f : R\ → R thỏa mãn phương trình 3; 1√
3 √ √ x + 3x + 1 3 √ √ x.f − (2x + 1).f = x − 2. 3 − x 1 − 3x Bài 4. [2, Bài 4] Tìm các hàm số f : R\{1} → R thỏa mãn phương trình 1 + x x2 + 1 f (x) + (x + 1)f . = 1 − x x − 1 Bài 5. [2, Bài tập 1] Tìm các hàm số f : R\{0} → R thỏa mãn phương trình 1 (x − 1)f (x) + f
= x2. x 47 Luận văn tổng hợp, trình bày việc xác định các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R), đó là hai nhóm xyclic và nhóm Diheral, trong đó luận văn đã chỉ ra cách xác định các phần tử của hai nhóm này, các kết quả này được trình bày trong chương 2. Đặc biệt từ các kết quả ở chương 2 luận văn đã trình bày cách xây dựng và lời giải một lớp phương trình hàm dựa trên các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R), cùng một số ví dụ minh họa. Nội dung này được trình bày trong chương 3. 48 [1] Đoàn Trung Cường (2011), "Cấu trúc nhóm trong một số bài toán sơ cấp II". Thông tin Toán học 15 (4), 19-24. [2] Trần Nam Dũng, Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2010. 80 trang, tải về từ Internet. [3] Beauville A. (2010), "Finite subgroups of PGL2(K)". Vector bundles and complex geometry, 23-29 Comtemp. Math. 522, Amer. Math. Soc., Providence, RI. [4] Bessenyei M. (2010), "Functional equations and finite groups substitu- tions". American Mathematical Monthly 117 (10) , 921 - 927. [5] D. T. Cuong, Finite subgroups of PGL(2, R) and functional equations. Preprint. McKay [6] Dolgachev I.V, correspondence. Availlable at www.math.lsa.umich.eud/idolga/. 49 [7] Dresden G. P. (2004), "There are only nine finite groups of fractional linear transformations with integr coefficients". Mathematics Magazine 77(3), 211 - 218.1.2 Đa thức đặc trưng và chéo hóa ma trận
Chương 2
Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R)
2.1 Nhóm con xyclic hữu hạn của PGL(2, R)
2.2 Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R)
Chương 3
Ứng dụng vào phương trình hàm
3.1 Phương trình hàm và nhóm các phép biến đổi phân
tuyến tính
3.2 Bài tập vận dụng
3.2.1 Phương trình liên kết với các nhóm xyclic Cn
3.2.2 Phương trình liên kết với các nhóm Diheral Dn
Kết luận
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
Tiếng Anh
