ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————
LÊ THỊ NHUNG
VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN
THỨ VỚI HÀM KÍCH HOẠT TỔNG QUÁT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN, 04/2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————
LÊ THỊ NHUNG
VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN
THỨ VỚI HÀM KÍCH HOẠT TỔNG QUÁT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. MAI VIẾT THUẬN
Thái Nguyên, 4/2019
1
Mục lục
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6
1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi
phân phân thứ Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân
thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2 Tính ổn định của hệ phương trình mạng nơ ron phân
thứ với hàm kích hoạt tổng quát 17
2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Tiêu chuẩn ổn định Mittag-Leffler toàn cục . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 3 Tính ổn định của hệ phương trình mạng nơ ron phân
thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát 27
3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. Tiêu chuẩn ổn định đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2
LỜI NÓI ĐẦU
Mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc
nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi L.O. Chua và L. Yang vào năm 1988 [7].
Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học
trong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong xử lí tín
hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [3, 8, 15]. Năm 2008,
trong một nghiên cứu của mình, A. Boroomand và M.B. Menhaj [3] lần đầu
tiên mô hình hóa mạng nơ ron bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo
hoặc Riemann–Liouville). So với mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi
phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân
phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có thể mô tả các đặc tính và tính
chất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn [3, 15]. Do đó hệ phương trình
mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà
khoa học. Nhiều kết quả hay và thú vị về hệ phương trình mạng nơ ron phân
thứ đã được công bố trong những năm gần đây (xem [15, 18, 19, 27] và các tài
liệu tham khảo trong đó).
Như chúng ta đã biết, tính ổn định là một trong những tính chất cơ bản và
quan trọng của mọi hệ động lực và hệ phương trình vi phân phân thứ cũng
không là ngoại lệ. Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ phương trình
vi phân phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa
học trong những năm gần đây (xem [2, 10, 12, 14, 17] và các tài liệu tham khảo
trong đó). Đối với lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ, một vài kết quả
thú vị và sâu sắc đã được công bố trong những năm gần đây [20, 22, 25, 26].
Bằng cách sử dụng biến đổi Laplace và sử dụng một số tính chất của đạo hàm
phân thứ Caputo, H. Wang cùng các cộng sự [20] nghiên cứu tính ổn định tiệm
3
cận cho lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ. Trong [25], các tác
giả nghiên cứu tính ổn định Mittag–Leffler đối với lớp hệ phương trình mạng
nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt không liên tục. Tính ổn định cho hệ phương
trình mạng nơ ron phân thứ phức được nghiên cứu trong [26]. Bằng cách tiếp
cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính, các tác giả trong [27] nghiên
cứu tính ổn định Mittag–Leffler của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ
không có trễ với hàm kích hoạt thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Gần đây, tính
ổn định của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt
tổng quát được nghiên cứu trong [23] với cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức
ma trận tuyến tính và định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân
thứ. So với cách tiếp cận sử dụng biến đổi Laplace và tìm nghiệm của đa thức
đặc trưng trong các bài báo [20, 25], cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma
trận tuyến tính có ưu thế là có thể kiểm tra các điều kiện ổn định bằng phần
mềm MATLAB. Ngoài ra, với cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận
tuyến tính, bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ
có thể giải quyết không mấy khó khăn.
Luận văn tập trung trình bày tính ổn định cho hệ phương trình mạng nơ
ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp
các bài báo đã được công bố trong những năm gần đây. Luận văn gồm có 3
chương. Cụ thể:
Trong chương 1, tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ như
tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm
phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại và duy
nhất nghiệm. Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ. Nội dung
chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [10, 12, 13].
Trong chương 2 của luận văn, tôi trình bày một số điều kiện đủ cho hệ
phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát. Nội dung
chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [23].
Trong chương 3 của luận văn, tôi trình bày một số điều kiện đủ cho hệ
phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát. Nội
dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [23]
4
Luận văn này được thực hiện tại trường ĐH Khoa Học - Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Mai Viết Thuận.Tôi xin
được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học
của mình. Người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn,
tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn BGH trường ĐH Khoa Học - Đại học Thái
Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – tin cùng các giảng viên đã tham gia
giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu,cảm ơn những người
bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên
cứu. Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường ĐH Khoa Học -
Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ
mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Xin chân
thành cảm ơn.
5
Danh mục ký hiệu
tập các số thực, số thực không âm tương ứng
R, R+ Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều
A(cid:62) ma trận chuyển vị của ma trận A
I ma trận đơn vị
λ(A) tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A
= max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmax(A)
λmin(A)
(cid:107)A(cid:107)
A ≥ 0 = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} chuẩn phổ của ma trận A, (cid:107)A(cid:107) = (cid:112)λmax(A(cid:62)A) ma trận A nửa xác định dương, tức là (cid:104)Ax, x(cid:105) ≥ 0, ∀x ∈ Rn
A ≥ B
A > 0 nghĩa là A − B ≥ 0 ma trận A xác định dương, tức là (cid:104)Ax, x(cid:105) > 0, ∀x ∈ Rn, x (cid:54)= 0
LM Is
(cid:107)x(cid:107)
Rn×r bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1, x2, ..., xn)(cid:62) ∈ Rn không gian các ma trận thực cỡ (n × r)
C([a, b], Rn) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn
không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b]
toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α
toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α
toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α
AC m[a, b] t0I α t t0 Dα RL t t0Dα C t Γ(x) hàm Gamma
hàm Mittag-Leffler hai tham số Eα,β
(cid:100)α(cid:101) số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α
6
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính
ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương
trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được
sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau.
Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [9, 10, 12, 13].
1.1. Giải tích phân thứ
1.1.1. Tích phân phân thứ
Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân
thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm
tích phân lặp thông thường.
Định nghĩa 1.1. ([13]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann- Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
t0I α
t x(t) :=
t0
+∞ (cid:82)
(cid:90) t (t − s)α−1x(s)ds, t ∈ (a, b], 1 Γ(α)
0
trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) = tα−1e−t dt, α > 0.
:= I với I là toán Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t0I α t
tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
0 < α < 1 được cho bởi định lí sau
Định lí 1.1. ([13]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi
7
t x cũng là
t x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, t0I α
đó, tích phân t0I α một hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
Ví dụ 1.1. ([13])
(i) Cho x(t) = (t − a)β, ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có
t0I α
t x(t) =
(t − a)α+β, t > a. Γ(β + 1) Γ(α + β + 1)
+∞ (cid:88)
(ii) Cho x(t) = eλt, λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có
t0I α
t x(t) = λ−α
j=0
, t > 0. (λt)α+j Γ(α + j + 1)
1.1.2. Đạo hàm phân thứ
Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và
đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực.
Định nghĩa 1.2. ([13]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được
cho bởi
RL
t x(t) :=
t0I n−α t
t0 Dα
t0
(cid:90) t (cid:2) (t − s)n−α−1x(s)ds, x(t)(cid:3) = dn dtn 1 Γ(n − α) dn dtn
dtn là đạo
trong đó n := (cid:100)α(cid:101) là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dn
hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)
1, nếu t ≥ 0 f (t) =
0, nếu t < 0.
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville cấp α của hàm f (t) là
0 Dα RL
t f (t) =
. t−α Γ(1 − α)
8
Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.
Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm
tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa
các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:
a
(cid:90) t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)),
do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (cid:48)(t) = ϕ(t) hầu khắp nơi
trên [a, b].
Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n[a, b] như sau:
(cid:19) (cid:18) }. AC n[a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1f )(t) ∈ AC[a, b] D = d dt
Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n[a, b].
Mệnh đề 1.1. ([13]) Không gian AC n[a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng
n−1 (cid:88)
như sau:
t ϕ(t) +
k=0
ck(t − t0)k, f (t) = t0I α
trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck(k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và
t0I α
t ϕ(t) =
t0
(cid:90) t (t − s)n−1ϕ(s)ds. 1 (n − 1)!
Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có
ϕ(s) = f (n)(s), (k = 0, 1, . . . , n − 1). ck = f (k)(t0) k!
Định lí sau cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ
Riemann–Liouville.
Định lí 1.2. ([13]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n[a, b], khi đó đạo
t f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu
t0 Dα
hàm phân thứ RL
diễn dưới dạng sau
n−1 (cid:88)
RL
t f (t) =
t0 Dα
t0
k=0
(cid:90) t (t − t0)k−α + f (k)(t0) Γ(1 + k − α) 1 Γ(n − α) f (n)(s)ds (t − s)α−n+1 .
Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2
9
Hệ quả 1.1. ([13]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
RL
t f (t) =
t0 Dα
t0
(cid:21) (cid:90) t . 1 Γ(1 − α) f (cid:48)(s)ds (t − s)α (cid:20) f (t0) (t − t0)α +
Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là
một toán tử tuyến tính.
Mệnh đề 1.2. ([12]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
RL
t [λf (t) + µg(t)] = λ RL
t f (t) + µ RL
t g(t)
t0 Dα
t0 Dα
t0 Dα
thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n[a, b].
RL
t0 Dα
t [λf (t) + µg(t)] (cid:90) t
Chứng minh. Ta có
t0 (cid:90) t
(t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds =
t0
t0
(cid:90) t = (t − s)n−α−1f (s)ds + (t − s)n−α−1g(s)ds µ Γ(n − α) dn dtn
t g(t).
t0 Dα
= λ RL dn dtn dn dtn t f (t) + µ RL 1 Γ(n − α) λ Γ(n − α) t0 Dα
C
t x(t) := t0I n−α
t Dnx(t),
t0Dα
Định nghĩa 1.3. ([12]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
dxn là
trong đó n := (cid:100)α(cid:101) là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dn
đạo hàm thông thường cấp n.
Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xd(t))T đạo hàm phân thứ
C
Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:
t x(t) := (cid:0)C
t x1(t), C
t x2(t), . . . , C
t xd(t)(cid:1)T
t0Dα
t0Dα
t0Dα
t0Dα
.
Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân thứ
cấp α.
10
t f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có
t0Dα t x(t) biểu diễn dưới dạng sau:
Định lí 1.3. ([13]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n[a, b], khi đó đạo
hàm phân thứ Caputo C (i) Nếu α (cid:54)∈ N thì C t0Dα
C
t f (t) =
t0Dα
(cid:90) t
t0
1 Γ(n − α) f (n)(s)ds (t − s)α−n+1 .
Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có:
C
t f (t) =
t0Dα
(cid:90) t
t0
1 Γ(1 − α) f (cid:48)(s)ds (t − s)α .
t f (t) biểu diễn dưới dạng sau:
t0Dn
C
t f (t) = f (n)(t).
t0Dn
(ii) Nếu α = n ∈ N thì C
C
t f (t) = f (t).
t0D0
Đặc biệt,
Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử
tuyến tính.
Mệnh đề 1.3. ([12]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
C
t [λf (t) + µg(t)] = λ C
t f (t) + µ C
t g(t),
t0Dα
t0Dα
t0Dα
thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n[a, b].
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2.
t ξ = 0.
Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.
Mệnh đề 1.4. ([12]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì t0Dα C
Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là
nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ.
C
t f (t)) = f (t).
t ( t0I α
t0Dα
Định lí 1.4. ([13]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có
11
Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch
đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lí dưới đây
n−1 (cid:88)
Định lí 1.5. ([13]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n[a, b] thì
t0I α t
t f (t)(cid:1) = f (t) −
k=0
(t − t0)k. (cid:0)C t0Dα f (k)(t0) k!
t0I α t
t f (t)(cid:1) = f (t) − f (t0).
Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
(cid:0)C t0Dα
Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau
Định lí 1.6. [13] Cho α > 0 và đặt n = (cid:100)α(cid:101) . Với bất kì x ∈ AC n[a, b], chúng
n−1 (cid:88)
C
ta có: (cid:33) (cid:32)
t x(t) =RL
t
t0Dα
t0 Dα
j=0
, x(t) − x(j)(t0) (t − t0)j j!
với hầu hết t ∈ [a, b].
1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo
Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và
luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn) là không gian các hàm liên tục nhận giá trị véc tơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn (cid:107).(cid:107)∞ được định nghĩa như sau
(cid:107)x(t)(cid:107), (cid:107)x(cid:107)∞ := max t∈[0,T ]
( trong đó (cid:107).(cid:107) là chuẩn Euclide trong không gian Rn).
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ.
Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo
0 Dα C
t x(t) = f (t, x(t)),
(1.1) t ≥ 0,
12
với điều kiện ban đầu
(1.2) x(0) = x0 ∈ Rn,
trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn.
Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ] nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn) thỏa mãn (1.1) và
(1.2).
Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của
hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân.
Mệnh đề 1.5. [9] Xét bài toán (1.1). Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy ý, một hàm ϕ(., x0) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn
[0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân
0
(cid:90) t (1.3) (t − s)α−1f (s, ϕ(s, x0)) ds, t ∈ [0, T ]. ϕ(t, x0) = x0 + 1 Γ(α)
Nhận xét 1.1. [2] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời điểm
hiện tại t > t0. Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được ϕ(t, x0)
không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0, t) (từ hiện tại tới tương
lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời điểm trên
đoạn [0, t0] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản giữa phương
trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ.
Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo được được đảm bảo bởi các định lí sau:
Định lí 1.7. ([9] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn và K > 0 tùy ý. Đặt
G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], (cid:107)x − x0(cid:107) ≤ K}
và giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn
điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho:
(cid:107)f (t, x) − f (t, y)(cid:107) ≤ L(cid:107)x − y(cid:107), ∀(t, x), (t, y) ∈ G.
13
(cid:107)f (t, x)(cid:107) và Đặt M = sup (t,x)∈G
T, nếu M = 0, T ∗ =
min{T, (KΓ(1 + α)/M )1/α}, trong trường hợp còn lại.
Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗], Rn) là nghiệm của bài toán (1.1)
với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2).
Định lí 1.8. ([2] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán (1.1), (1.2). Giả sử f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn
(cid:107)f (t, x) − f (t, y)(cid:107) ≤ L(t)(cid:107)x − y(cid:107),
ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục. Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý x0 ∈ Rn, bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞).
1.3. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi
phân phân thứ
Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler.
+∞ (cid:88)
Định nghĩa 1.4. [12] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi
k=0
, Eα(z) = zk Γ(αk + 1)
được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
+∞ (cid:88)
+∞ (cid:88)
Nhận xét 1.2. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có
k=0
k=0
= = ez. E1(z) = zk Γ(k + 1) zk k!
Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ.
+∞ (cid:88)
Định nghĩa 1.5. [12] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi
k=0
, Eα,β(z) = zk Γ(αk + β)
14
được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá
+∞ (cid:88)
trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là
k=0
, ∀A ∈ Rn×n. Eα,β(A) = Ak Γ(αk + β)
Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được
trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của Kilbas A.A [13].
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định của hệ
phương trình tuyến tính phân thứ Caputo và hệ phương trình vi phân có nhiễu
phi tuyến Caputo. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo
t x(t) = f (t, x(t)),
t0Dα C x(t0) = x0 ∈ Rn,
t ≥ t0, (1.4)
trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Rn là véc tơ trạng thái, t0 ≥ 0 là thời điểm ban dầu, và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x.
Định nghĩa 1.6. ([27]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) nếu và chỉ nếu f (t, x) = 0.
Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọi
điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có thể
chuyển về gốc tọa độ 0. Thật vậy, giả sử x (cid:54)= 0 là một điểm cân bằng của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4). Đặt y(t) = x(t) − x. Khi đó hệ
C
(1.4) trở thành
t (x(t) − x) = f (t, x(t)) = f (t, y(t) + x) = g(t, y(t)),
t y(t) = C
t0Dα
t0Dα
(1.5)
trong đó g(t, 0) = 0 và y = 0 là một điểm cân bằng của hệ mới với biến là y(t).
Do đó để nghiên cứu tính chất định tính của một điểm cân bằng bất kỳ của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo, ta chỉ cần nghiên cứu tính chất định
tính của điểm gốc 0 của hệ. Không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có điểm cân bằng là 0.
15
Định nghĩa 1.7. ([27]) Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4)
có một điểm cân bằng x = 0. Khi đó hệ (1.4) được gọi là ổn định Mittag–Leffler
nếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn
(cid:107)x(t)(cid:107) ≤ [m(x0)Eα (−λ(t − t0)α)]b ,
ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≤ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x ∈ Rn với hằng số Lipschitz m0.
Nhận xét 1.3. ([27]) Nếu hệ (1.4) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm
cận, tức là (cid:107)x(t)(cid:107) = 0. lim t−→+∞
Như ta đã biết, phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hiệu quả
để nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến.
Đối với lớp hệ phân thứ Caputo không có trễ, Y. Li, Y. Q. Chen, và I. Podlubny
đã đưa ra phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ
phương trình vi phân phân thứ.
Định lí 1.9. ([14]) Hệ (1.4) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương
α1, α2, α3, a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện:
(i)
α1(cid:107)x(t)(cid:107)a ≤ V (t, x(t)) ≤ α2(cid:107)x(t)(cid:107)ab, t V (t, x(t)) ≤ −α3(cid:107)x(t)(cid:107)ab, t0Dα C
(ii) trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0 trong Rn. Nếu tất tả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.4)
là ổn định Mittag–Leffler toàn cục.
Đối với lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ, Chen B.S và
Chen J.J là những tác giả đầu tiên đưa ra định lý kiểu Razumikhin để nghiên
t0Dα
cứu tính ổn định nghiệm cho lớp hệ này.
Định lí 1.10. [6] Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ C t x(t) = h(t, xt), ở đó xt = x(t + θ) ∈ C([t0 − τ, t0], Rn), −τ ≤ θ ≤ 0, h : [t0, +∞) × C([t0 − τ, t0], Rn) → Rn là một hàm liên tục từng khúc theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương trên [t0, +∞), xt0 = φ ∈ C([t0 − τ, t0], Rn) là điều kiện ban đầu. Giả sử rằng ω1, ω2 : R −→ R là các hàm liên tục không giảm,
16
ωi(s), i = 1, 2 dương với s > 0 và ωi(0) = 0, i = 1, 2, ω2 là hàm tăng chặt. Nếu tồn tại hàm khả vi V : R × Rn −→ R thỏa mãn
t V (t, x(t)) < 0 khi mà supt0−τ ≤θ≤t V (θ, x(θ)) = V (t, x(t)), ∀t ≥ 0.
ω1((cid:107)x(cid:107)) ≤ V (t, x) ≤ ω2((cid:107)x(cid:107)), t ∈ R, x ∈ Rn
và với bất kỳ t0 ∈ R cho trước, điều kiện dưới đây được thỏa mãn t0Dα C Khi đó hệ ổn định đều.
1.4. Một số bổ đề bổ trợ
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng
minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.
Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [4]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n
là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau:
±2xT y ≤ xT Sx + yT S−1y.
Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [4]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích
hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1Z < 0
nếu và chỉ nếu X Z T < 0. Z −Y
Bổ đề 1.3. [10] Cho số thực α ∈ (0, 1], P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương và x : R+ −→ Rn là một hàm liên tục và có đạo hàm. Khi đó
ta có bất đẳng thức sau đúng
0 Dα
t x(t),
0 Dα C t
(cid:2)xT (t)P x(t)(cid:3) ≤ 2xT (t)P C ∀t ≥ 0.
Bổ đề 1.4. [23] Giả sử rằng các ma trận Qi ∈ Rn×n(i = 0, 1, . . . , p) là các ma trận thực, đối xứng. Khi đó điều kiện ηT Q0η > 0, ∀η (cid:54)= 0 sao cho ηT Qiη ≥
0, (i = 1, 2, . . . , p) đúng nếu tồn tại các số τi ≥ 0(i = 1, 2, . . . , p) sao cho
p (cid:80) i=1
Q0 − τiQi > 0.
17
Chương 2
Tính ổn định của hệ phương trình
mạng nơ ron phân thứ với hàm
kích hoạt tổng quát
2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Xét hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát
t x(t) = −Cx(t) + Bg(x(t)) + I,
t0Dα C x(t0) = x0 ∈ Rn,
t ≥ t0, (2.1)
ở đó α ∈ (0, 1), x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))T ∈ Rn là véc tơ trạng thái của mạng nơ ron, C = diag{c1, c2, . . . , cn} với ci > 0, B = (bij) là ma trận hằng số, véc tơ I = [I1, I2, . . . , In]T ∈ Rn tín hiệu đầu vào, g(x(t)) = [g1(x1(t)), g2(x2(t)), . . . , gn(xn(t))]T ∈ Rn là hàm kích hoạt của mạng nơ ron. Hàm kích hoạt được giả thiết thỏa mãn điều kiện dưới đây:
Giả thiết 2.1. Hàm kích hoạt gi(.), i = 1, 2, . . . , n thỏa mãn điều kiện dưới
đây
(2.2) ∀u, v ∈ R, u (cid:54)= v, ≤ k+ i , k− i ≤ gi(u) − gi(v) u − v
i , k+
i (i = 1, 2, . . . , n) là hằng số cho trước.
ở đó k−
i và k− i có thể là số dương, i > 0, Giả thiết 2.1 suy ra rằng gi(.), i = 1, 2, . . . , n là các hàm đơn điệu không tăng thỏa mãn điều kiện
Nhận xét 2.1. Trong Giả thiết 2.1, các hằng số k+ i = 0 và k+ số âm hoặc bằng 0. Đặc biệt, khi k−
18
i > k−
i > 0, ta có hàm kích hoạt thuộc lớp hàm đơn điệu tăng với đạo hàm có cận trên và cận dưới. Trong hầu hết các kết quả đã
i và k−
Lipschitz toàn cục. Khi k+
có (chẳng hạn trong [1, 27]), các hàm kích hoạt gi(.) đều thỏa mãn điều kiện |gi(u) − gi(v)| ≤ ki|u − v|, với mọi u, v ∈ R. Dưới giả thiết này, các giá trị tuyệt đối của k+ i đều bằng nhau. Như vậy, so với các điều kiện hàm kích hoạt thuộc lớp hàm đơn điệu không giảm hoặc thuộc lớp hàm liên tục Lipschitz,
điều kiện (2.2) là ít bảo thủ hơn.
Nhận xét 2.2. Trong [1], luận văn của Nguyễn Văn Cường đã nghiên cứu
tính ổn định cho lớp mạng nơ ron phân thứ (2.2). Tuy nhiên, trong [1] mới chỉ
nghiên cứu tính ổn định cho hệ (2.1) trong trường hợp hàm kích hoạt thuộc
lớp hàm liên tục Lipschitz. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày tính ổn
định cho hệ (2.1) trong trường hợp hàm kích hoạt thỏa mãn điều kiện (2.2)
dựa trên việc đọc hiểu và trình bày lại một cách có hệ thống bài báo [23]. Vì
vậy, các nội dung chính trong luận văn này khác với kết quả trong [1].
Định nghĩa 2.1. Một ánh xạ H : Rn −→ Rn là một phép đồng phôi trên Rn
nếu H là một ánh xạ liên tục, một song ánh và H −1 là một ánh xạ liên tục.
Bổ đề dưới đây cho ta một điều kiện đủ để một ánh xạ là một phép đồng
phôi.
Bổ đề 2.1. [16] Nếu ánh xạ liên tục H : Rn −→ Rn thỏa mãn hai điều kiện
dưới đây: (i) H là một đơn ánh trên Rn;
(ii) (cid:107)H(x)(cid:107) → ∞ khi (cid:107)x(cid:107) → ∞ thì H là một phép đồng phôi trên Rn.
Bổ đề 2.2. [23] Nếu H là một phép đồng phôi trên Rn thì tồn tại duy nhất một điểm ω ∈ Rn sao cho H(ω) = 0.
Chứng minh. Vì H là một phép đồng phôi nên H là một song ánh. Do H là một toàn ánh nên tồn tại một điểm ω ∈ Rn sao cho H(ω) = 0. Ngoài ra, vì H
là một đơn ánh nên điểm ω nói trên phải là duy nhất.
19
Để thuận tiện cho việc trình bày tiếp theo, ta ký hiệu
1 , k+
K1 = diag{k+
n |, |k−
n |}}
2 , . . . , k+ 1 |, |k−
n }, K2 = diag{k− 1 |}, max{|k+ 2 |, |k−
2 , . . . , k− 1 , k− n }, 2 |}, . . . , max{|k+
K = diag{max{|k+
= diag{k1, . . . , kn}.
Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của hệ (2.1).
Định lí 2.1. [23] Giả sử rằng Giả thiết 2.1 được thỏa mãn. Hệ (2.1) có duy
nhất một điểm cân bằng x∗ nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương
P , hai ma trận đường chéo chính xác định không âm T = diag{t1, . . . , tn}, S =
diag{s1, . . . , sn} sao cho điều kiện dưới đây được thỏa mãn
Φ11 Φ12 Φ = (2.3) < 0, ∗ −2S − T
ở đó
Φ11 = −CP − P C − 2K1SK2 + KT K,
Φ12 = P B + K1S + K2S.
n)T ∈ Rn là một điểm cân bằng của
1, . . . , x∗
Chứng minh. Giả sử rằng x∗ = (x∗
hệ (2.1), tức là
− Cx∗ + Bg(x∗) + I = 0. (2.4)
Xét ánh xạ H : Rn −→ Rn được xác định như sau:
H(x) = −Cx + Bg(x) + I. (2.5)
Chú ý rằng x∗ là nghiệm của hệ (2.1) thì H(x∗) = 0. Do đó để chứng tỏ hệ
(2.1) có duy nhất một điểm cân bằng, ta chỉ cần chứng tỏ H là một phép đồng phôi trên Rn. Rõ ràng H là một ánh xạ liên tục trên Rn. Trước hết, ta chứng
tỏ H là một đơn ánh, tức là H(u) (cid:54)= H(v) với bất kỳ u = (u1, . . . , un)T , v = (v1, . . . , vn)T ∈ Rn, u (cid:54)= v. Theo Giả thiết 2.1, u (cid:54)= v ta xét hai trường hợp dưới đây.
20
Trường hợp 1: Với u (cid:54)= v và g(u) − g(v) = 0, ta có
H(u) − H(v) = −C(u − v) (cid:54)= 0.
Suy ra H(u) (cid:54)= H(v).
Trường hợp 2: Nếu u (cid:54)= v và g(u) − g(v) (cid:54)= 0 thì với bất kỳ hai ma trận đường
chéo chính xác định không âm T = diag{t1, . . . , tn}, S = diag{s1, . . . , sn}, từ
n (cid:88)
Giả thiết 2.1, ta có
i (ui − vi)(cid:1) (cid:0)(gi(ui) − gi(vi)) − k−
i (ui − vi)(cid:1)
i=1
0 ≤ −2 si (cid:0)(gi(u) − gi(v)) − k+
= −2 ((g(u) − g(v)) − K1(u − v))T S ((g(u) − g(v)) − K2(u − v)) ,
(2.6)
n (cid:88)
và
i=1
0 ≤ − ti ((gi(u) − gi(v)) + ki(ui − vi)) ((gi(ui) − gi(vi)) − ki(ui − vi))
= − (cid:0)(g(u) − g(v)) − K1(u − v)T T (g(u) − g(v)) − (u − v)T KT K(u − v)(cid:1) . (2.7)
Từ (2.6) và (2.7), ta thu được
2(u − v)T P (H(u) − H(v))
− 2 ((g(u) − g(v)) − K1(u − v))T S ((g(u) − g(v)) − K2(u − v)) − (cid:0)(g(u) − g(v)) − K1(u − v)T T (g(u) − g(v)) − (u − v)T KT K(u − v)(cid:1)
= 2(u − v)T P (−Cu + Bg(u) + Cv − Bg(v))
− 2 ((g(u) − g(v)) − K1(u − v))T S ((g(u) − g(v)) − K2(u − v)) − (cid:0)(g(u) − g(v)) − K1(u − v)T T (g(u) − g(v)) − (u − v)T KT K(u − v)(cid:1)
= (u − v)T (−CP − P C) (u − v) + 2(u − v)T P B (g(u) − g(v))
T
− 2 ((g(u) − g(v)) − K1(u − v))T S ((g(u) − g(v)) − K2(u − v)) − (cid:0)(g(u) − g(v)) − K1(u − v)T T (g(u) − g(v)) − (u − v)T KT K(u − v)(cid:1)
1 Φζ1,
u − v u − v = Φ = ζ T g(u) − g(v) g(u) − g(v)
(2.8)
21
ở đó u − v ζ1 = . g(u) − g(v)
Vì u (cid:54)= v nên g(u) − g(v) (cid:54)= 0. Do đó nếu điều kiện (2.3) được thỏa mãn thì 1 Φζ1 < 0. Theo Bổ đề 1.4 (S-procedure), ta có 2(u − v)T P (H(u) − H(v)) ≤ ζ T ζ T 1 Φζ < 0 với u − v (cid:54)= 0. Điều này suy ra H(u) (cid:54)= H(v). Suy ra H là một đơn ánh. Tiếp theo, ta chứng tỏ rằng (cid:107)H(x)(cid:107) −→ ∞ khi (cid:107)x(cid:107) −→ ∞. Đặt ˆH(u) = H(u)− H(0), ta có ˆH(u) = −Cu + B (g(u) − g(0)). Để chứng tỏ rằng (cid:107)H(u)(cid:107) −→ ∞ khi (cid:107)u(cid:107) −→ ∞, ta chỉ cần chứng tỏ (cid:107) ˆH(u)(cid:107) −→ ∞ khi (cid:107)u(cid:107) −→ ∞.
Trong (2.8), cho v = 0, ta thu được
2uT Pˆ(H)(u) − 2 ((g(u) − g(0)) − K1u)T S ((g(u) − g(0)) − K2u)
− (cid:0)(g(u) − g(0))T T (g(u) − g(0)) − uT KT Ku(cid:1)
= 2uT P (−Cu + Bg(u) − Bg(0))
− 2 ((g(u) − g(0)) − K1u)T S ((g(u) − g(0)) − K2u) − (cid:0)(g(u) − g(0))T T (g(u) − g(0)) − uT KT Ku(cid:1)
uT (−CP − P C)u + 2uT P B(g(u) − g(0)) (2.9)
− 2 ((g(u) − g(0)) − K1u)T S ((g(u) − g(0)) − K2u) − (cid:0)(g(u) − g(0))T T (g(u) − g(0)) − uT KT Ku(cid:1) T u u Φ = g(u) − g(0) g(u) − g(0)
2 Φζ2,
= ζ T
ở đó u ζ2 = . g(u) − g(0)
2 Φζ2 < 0 với mọi ζ2 (cid:54)= 0. Sử dụng Bổ đề 1.4
Từ điều kiện (2.3), ta suy ra ζ T
(S-procedure), điều này suy ra
2 Φζ2 < λmax(Φ)(cid:107)u(cid:107)2.
2uT P ˆH(u) ≤ ζ T (2.10)
22
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có
(2.11) − λmax(Φ)(cid:107)u(cid:107)2 ≤ 2(cid:107)u(cid:107)(cid:107)P (cid:107)(cid:107) ˆH(u)(cid:107).
Do đó khi (cid:107)u(cid:107) (cid:54)= 0, ta có
(cid:107)u(cid:107) ≤ (cid:107) ˆH(u)(cid:107). (2.12) −λmax(Φ) 2(cid:107)P (cid:107)
Từ đó suy ra (cid:107) ˆH(u)(cid:107) −→ ∞ khi (cid:107)u(cid:107) −→ ∞. Suy ra (cid:107)H(u)(cid:107) −→ ∞ khi (cid:107)u(cid:107) −→ ∞. Theo Bổ đề 2.1, H là một phép đồng phôi trên Rn. Theo Bổ đề
2.2, tồn tại duy nhất một điểm cân bằng cho hệ (2.1).
2.2. Tiêu chuẩn ổn định Mittag-Leffler toàn cục
Mục này, chúng tôi trình bày một tiêu chuẩn cho tính ổn định Mittag-Leffler
n)T ∈ Rn là một điểm cân bằng của hệ (2.1). Ta có thể chuyển x∗ về điểm gốc bằng cách đổi biến x(t) = x(t) − x∗, và viết lại hệ (2.1)
Cho x∗ = (x∗ toàn cục của hệ (2.1). 1, . . . , x∗
C
về dạng
t x(t) = −Cx(t) + Bg(x(t)),
t0Dα
i ) với gi(0) = 0, (i = 1, 2, . . . , n). Chú ý rằng các hàm gi(.), i =
(2.13)
ở đó g(x(t)) = (g1(x1(t)), g2(x2(t)), . . . , gn(xn(t)))T ∈ Rn và gi(xi(t)) = gi(xi(t)+ i ) − gi(x∗ x∗ 1, 2, . . . , n thỏa mãn điều kiện
i , gi(0) = 0, ∀xi(t) (cid:54)= 0, i = 1, 2, . . . , n,
≤ k+ (2.14) k− i ≤ gi(xi(t)) xi(t)
i , k+
i (i = 1, 2, . . . , n) là các hằng số cho trước. Rõ ràng (2.14) tương
ở đó k−
đương với điều kiện dưới đây
i xi(t) − gi(xi(t))(cid:1) ≥ 0.
i xi(t)(cid:1) ≥ 0, xi(t) (cid:0)k+
(2.15) xi(t) (cid:0)gi(xi(t)) − k−
và
(2.16) xi(t) (gi(xi(t)) + kixi(t)) ≥ 0, xi(t) (kixi(t) − gi(xi(t))) ≥ 0,
với gi(0) = 0 (i = 1, 2, . . . , n).
23
Định lí 2.2. [23] Giả sử rằng Giả thiết 2.1 được thỏa mãn. Điểm cân bằng
duy nhất của hệ (2.13) ổn định Mittag-Leffler toàn cục nếu tồn tại ma trận
đối xứng, xác định dương P , hai ma trận đường chéo chính, xác định dương
T = diag{t1, t2, . . . , tn}, S = diag{s1, s2, . . . , sn} sao cho bất đẳng thức ma trận
tuyến tính (2.3) được thỏa mãn.
Chứng minh. Xét hàm Lyapunov sau đây
V (t, x(t)) = xT (t)P x(t).
Vì P là một ma trận đối xứng, xác định dương nên ta có đánh giá dưới đây
λmin(P )(cid:107)x(t)(cid:107)2 ≤ V (t, x(t)) ≤ λmax(P )(cid:107)x(t)(cid:107)2.
n (cid:88)
Từ các điều kiện (2.15) và (2.16), ta có đánh giá dưới đây
i xi(t)(cid:1) (cid:0)gi(xi(t)) − k−
i xi(t)(cid:1)
i=1
0 ≤ −2 si (cid:0)gi(xi(t)) − k+ (2.17)
= −2 (g(x) − K1x(t))T S (g(x) − K2x(t)) ,
n (cid:88)
và
i=1
0 ≤ − ti (gi(xi(t)) + kixi(t)) (gi(xi(t)) − kixi(t)) (2.18)
= − (cid:0)gT (x(t))T g(x(t)) − xT (t)KT Kx(t)(cid:1) .
Áp dụng Bổ đề 1.3, ta tính được đạo hàm Caputo cấp α(0 < α < 1) của hàm
C
t V (t, x(t)) ≤ 2xT (t)P C
t x(t)
t0Dα
t0Dα
V (.) như sau
(2.19) = xT (t) (−CP − P C) x(t) + 2xT (t)P Bg(x(t)).
C
t0Dα
t V (t, x(t)) − 2 (g(x) − K1x(t))T S (g(x) − K2x(t)) − (cid:0)gT (x(t))T g(x(t)) − xT (t)KT Kx(t)(cid:1)
Kết hợp (2.17), (2.18) vào (2.19), ta thu được đánh giá dưới đây
≤ xT (t) (−CP − P C) x(t) + 2xT (t)P Bg(x(t)) (2.20)
− 2 (g(x) − K1x(t))T S (g(x) − K2x(t)) − (cid:0)gT (x(t))T g(x(t)) − xT (t)KT Kx(t)(cid:1)
= ξT (t)Φξ(t),
24
ở đó
x(t) ξ(t) = . g(x(t))
t0Dα
Chú ý rằng nếu điều kiện (2.3) được thỏa mãn, tức là Φ < 0 thì (cid:15) = λmax(Φ) < t V (t, x(t)) ≤ (cid:15)xT (t)x(t) = (cid:15)(cid:107)x(t)(cid:107)2. 0. Theo Bổ đề 1.4 (S-procedure), ta có C
Theo Định lý 1.9, hệ (2.13) ổn định Mittag-Leffler toàn cục.
Nhận xét 2.3. Bổ đề 1.4 (S-procedure) là một công cụ tốt để xử lý các hàm
kích hoạt thỏa mãn các điều kiện tổng quát kiểu như điều kiện (2.2) và đưa
ra các tiêu chuẩn ổn định ít bảo thủ hơn so với cách tiếp cận trong [27]. Thật
vậy, ta có điều kiện −CP − P C + γ−1P BBT P + γL2 < 0 thu được trong Định
lý 4 trong [27] có thể viết lại bằng cách sử dụng Bổ đề Schur như sau
−CP − P C + γL2 P B < 0, BT −γI
trong đó P là một ma trận đối xứng, xác định dương và hằng số γ > 0. Nếu ta
đặt S = 0, T = γI và K = L, ở đó γ là một hằng số dương thì Định lý 4 trong
[27] là một trường hợp riêng của Định lý 2.2. Do đó Điều kiện trong Định lý
2.2 ít bảo thủ hơn kết quả trong [27].
2.3. Ví dụ minh họa
Tiếp theo, chúng tôi trình bày hai ví dụ số để minh họa cho kết quả lý
thuyết.
Ví dụ 2.1. [23] Xét hệ (2.1) với các tham số
6 0 0 5 3 1 −2.5
C = , B = , I = . 0 7 0 −1 1.5 2 1 0 0 5.5 −2.5 2 −1 −3
Các hàm kích hoạt g1(x1(t)) = sin(1.33x1(t)), g2(x2(t)) = sin(1.36x2(t)) và
g3(x3(t)) = sin(1.2x3(t)). Ta thấy các hàm kích hoạt thỏa mãn Giả thiết
25
2.1 với K1 = diag{1.33, 1.36, 1.2}, K2 = diag{−1.33, −1.36, −1.2} và K =
diag{1.33, 1.36, 1.2}. Khi đó hệ đã cho có thể viết lại thành
t x1(t) = −6x1(t) + 3g1(x1(t)) + g2(x2(t)) − 2.5g3(x3(t)) + 5,
t0Dα C
t x2(t) = −7x2(t) − g1(x1(t)) + 1.5g2(x2(t)) + 2g3(x3(t)) + 1,
t0Dα C
t x3(t) = −5.5x3(t) − 2.5g1(x1(t)) + 2g2(x2(t)) − g3(x3(t)) − 3.
t0Dα C
(2.21)
Dùng hộp công cụ LMI trong MATLAB, ta thấy các điều kiện trong Định lý
2.1 và 2.2 được thỏa mãn với 7.5322 −0.2610 −0.2210 8.5297 0 0
, S = , P = −0.2610 5.5791 0.1258 7.3142 0 0 0 9.2109 0 −0.2210 0.1258
6.9475 11.4208 0 0
. T = 10.4830 0 0 0 0 11.8499
Do đó, theo Định lý 2.1, hệ (2.21) có duy nhất một điểm cân bằng ˆx∗ ≈ (1.5705, −0.3323, −0.9354)T ∈ R3. Ngoài ra, theo Định lý 2.2, hệ (2.21) ổn
định Mittag-Leffler toàn cục.
Ví dụ 2.2. [23] Xét hệ (2.1) với các tham số
π − 4 2 1 −3 6 0 0
. , I = , B = C = 2 −2 −0.4 1 0 5 0 3 − 4π 1 −2.5 3.5 0 0 8
Các hàm kích hoạt được cho như sau g1(x1(t)) = sin(1.37x1(t)), g2(x2(t)) =
sin(1.51x2(t)) và g3(x3(t)) = sin(1.37x3(t)). Rõ ràng các hàm kích hoạt thỏa
mãn Giả thiết 2.1 với K1 = diag{1.37, 1.51, 1.37}, K2 = diag{−1.37, −1.51, −1.37},
K = diag{1.37, 1.51, 1.37}. Khi đó hệ đã cho viết lại thành hệ dưới đây
t x1(t) = −6x1(t) + 2g1(x1(t)) + g2(x2(t)) − 3g3(x3(t)) + π − 4,
t0Dα C
t x2(t) = −5x2(t) − 2g1(x1(t)) + 0.4g2(x2(t)) + g3(x3(t)) + 2,
t0Dα C
t x3(t) = −8x3(t) + g1(x1(t)) − 2.5g2(x2(t)) + 3.5g3(x3(t)) + 3 − 4π.
t0Dα C
(2.22)
26
Dùng hộp công cụ LMI trong MATLAB, ta thấy các điều kiện trong Định lý
2.1 và 2.2 được thỏa mãn với
4.1102 0 0 5.3549 0.3528 −0.0837
, , S = P = 7.6223 0 0 0.3528 13.1935 0.3291 0 22.4984 0 −0.0837 0.3291
16.2195 7.8122 0 0
. T = 12.8472 0 0 0 0 27.2252
Như vậy, tất cả các điều kiện trong Định lý 2.1 và 2.2 được thỏa mãn. Do đó, hệ (2.22) có duy nhất một điểm cân bằng ˆx∗ ≈ (0.5084, −0.0311, −1.4907)T ∈ R3.
Ngoài ra, theo Định lý 2.2, hệ (2.21) ổn định Mittag-Leffler toàn cục. Tuy
nhiên tiêu chuẩn trong Định lý 3 trong công trình [24] không áp dụng được
để nghiên cứu tính ổn định Mittag-Leffler toàn cục của hệ (2.22). Thật vậy, ta
có thể kiểm tra được rằng c1 − (|b11|k1 + |b21|k1 + |b31|k1) = −0.85 < 0, c2 −
(|b12|k2 + |b22|k2 + |b32|k2) = −0.89 < 0 và c3 − (|b13|k3 + |b23|k3 + |b33|k3) =
−2.28 < 0. Như vậy, có thể nói tiêu chuẩn ôn định đưa ra bởi Định lý 2.2 ít
bảo thủ hơn kết quả đưa ra trong [24].
27
Chương 3
Tính ổn định của hệ phương trình
mạng nơ ron phân thứ có trễ với
hàm kích hoạt tổng quát
3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Xét hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng
quát
t x(t) = −Cx(t) + Af (x(t)) + Bg(x(t − τ )) + I,
t0Dα C
t ≥ 0, (3.1)
x(s) = φ(s), s ∈ [−τ, 0],
ở đó α ∈ (0, 1), x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))T ∈ Rn là véc tơ trạng thái của mạng nơ ron, C = diag{c1, c2, . . . , cn} với ci > 0, B = (bij) là ma trận hằng số, véc tơ I = [I1, I2, . . . , In]T ∈ Rn tín hiệu đầu vào; f (x) = (f1(x1), . . . , fn(xn))T ∈ Rn và g(x) = (g1(x1), . . . , gn(xn))T ∈ Rn là các hàm kích hoạt của mạng nơ ron; C = diag{c1, . . . , cn}, ci > 0, i = 1, 2, . . . , n,
A = (aij)n×n và B = (bij)n×n là các ma trận hằng số cho trước; τ là độ
trễ; φ(s) là điều kiện ban đầu.
Các hàm kích hoạt f (.), g(.) thỏa mãn giả thiết dưới đây.
Giả thiết 3.1. Các hàm kích hoạt fi(.) và gi(i) thỏa mãn điều kiện dưới đây với mọi u, v ∈ R, u (cid:54)= v, i = 1, 2, . . . , n:
(3.2) l− i ≤ ≤ l+ i , fi(u) − fi(v) u − v
28
và
(3.3) σ− i ≤ ≤ σ+ i , fi(u) − fi(v) u − v
i , l+
i , σ−
i , σ+
i (i = 1, 2, . . . , n) là các hằng số cho trước.
ở đó l−
Để thuận tiện cho việc trình bày tiếp theo, ta ký hiệu
i |, |l−
i |}, σi = max{|σ+
i |, |σ−
i |},
li = max{|l+
L = diag{l1, l2, . . . , ln}, Σ = diag{σ1, σ2, . . . , σn},
n }, L2 = diag{l−
L1 = diag{l+
1 , l− n }, Σ2 = diag{σ−
n }.
1 , l+ 1 , σ+
2 , . . . , l+ 2 , . . . , σ+
2 , . . . , l− 1 , σ−
n }, 2 , . . . , σ−
Σ1 = diag{σ+
Các giả thiết dưới đây được đưa ra để nghiên cứu tính tồn tại và duy nhất
nghiệm của hệ (3.1).
Giả thiết 3.2. Ma trận C là ma trận không suy biến và tồn tại các hằng số
0 ≤ θ1 ≤ 1, 0 ≤ θ2 ≤ 1 sao cho
AT (C −1)T C −1A ≤ θ1(L−1)2,
(3.4) BT (C −1)T C −1B ≤ θ2(Σ−1)2,
0 ≤ θ < 1,
ở đó θ = θ1 + 2(cid:107)C −1A(cid:107)(cid:107)C −1B(cid:107)(cid:107)L(cid:107)(cid:107)Σ(cid:107) + θ2.
Bằng cách tiếp cận sử dụng nguyên lý ánh xạ co, định lsy dưới đây cho ta
một tiêu chuẩn cho sự tồn tại duy nhất của điểm cân bằng cho hệ (3.1).
Định lí 3.1. [23] Giả sử Giả thiết 3.1 và Giả thiết 3.2 được thỏa mãn. Khi đó
hệ (3.1) có duy nhất một điểm cân bằng.
n)T ∈ Rn là một điểm cân bằng
1, ˆx∗
2, . . . , ˆx∗
Chứng minh. Ta có điểm ˆx∗ = (ˆx∗
của hệ (3.1) nếu và chỉ nếu điều kiện dưới đây được thỏa mãn
−C ˆx∗ + Af (ˆx∗) + Bg(ˆx∗) + I = 0.
Theo Giả thiết 3.2, ma trận C không suy biến. Do đó ta xây dựng ánh xạ Ξ : Rn −→ Rn xác định bởi
Ξ(x) = C −1Af (x) + C −1Bg(x) + C −1I,
29 ở đó x = (x1, . . . , xn)T ∈ Rn. Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ Ξ là một ánh xạ co trên Rn. Với µ, ν ∈ Rn, áp dụng bất đẳng thức Schwartz, các Giả thiết 3.1 và Giả
thiết 3.2, ta có
(cid:107)Ξ(µ) − Ξ(ν)(cid:107)2
= (cid:107)C −1A(f (µ) − f (ν)) + C −1B(g(µ) − g(ν))(cid:107)2 ≤ (cid:0)(cid:107)C −1A(f (µ) − f (ν))(cid:107) + (cid:107)C −1B(g(µ) − g(ν))(cid:107)(cid:1)2
= (cid:107)C −1A(f (µ) − f (ν))(cid:107)2 + 2(cid:107)C −1A(f (µ) − f (ν))(cid:107)(cid:107)C −1B(g(µ) − g(ν))(cid:107)
+ (cid:107)C −1B(g(µ) − g(ν))(cid:107)2
≤ (cid:107)C −1A(f (µ) − f (ν))(cid:107)2 + 2(cid:107)C −1A(cid:107)(cid:107)C −1B(cid:107)(cid:107)f (µ) − f (ν)(cid:107)(cid:107)g(µ) − g(ν)(cid:107)
+ (cid:107)C −1B(g(µ) − g(ν))(cid:107)2
= (f (µ) − f (ν))T AT (C −1)T C −1A (f (µ) − f (ν))
+ 2(cid:107)C −1A(cid:107)(cid:107)C −1B(cid:107)(cid:107)f (µ) − f (ν)(cid:107)(cid:107)g(µ) − g(ν)(cid:107)
+ (g(µ) − g(ν))T BT (C −1)T C −1B (g(µ) − g(ν))
≤ (f (µ) − f (ν))T θ1(L−1)2 (f (µ) − f (ν))
+ 2(cid:107)C −1A(cid:107)(cid:107)C −1B(cid:107)(cid:107)f (µ) − f (ν)(cid:107)(cid:107)g(µ) − g(ν)(cid:107)
i=1
n (cid:88)
+ (g(µ) − g(ν))T θ2(Σ−1)2 (g(µ) − g(ν)) n (cid:88) ≤ (fi(µ) − fi(ν))2 + 2(cid:107)C −1A(cid:107)(cid:107)C −1B(cid:107)(cid:107)L(cid:107)(cid:107)Σ(cid:107)(cid:107)µ − ν(cid:107)2 θ1l−2 i
i=1
+ (gi(µ) − gi(ν))2 θ2σ−2 i
(3.5) ≤ (cid:0)θ1 + 2(cid:107)C −1A(cid:107)(cid:107)C −1B(cid:107)(cid:107)L(cid:107)(cid:107)Σ(cid:107) + θ2
(cid:1) (cid:107)µ − ν(cid:107)2 = θ|µ − ν(cid:107)2. √ √ θ < 1, ta có (cid:107)Ξ(µ) − Ξ(ν)(cid:107) ≤
θ(cid:107)µ − ν(cid:107). Vậy Ξ là một Từ (3.5) và 0 ≤ ánh xạ co trên Rn, điều này suy ra tồn tại duy nhất điểm ˆx∗ ∈ Rn sao cho
Ξ(ˆx∗) = ˆx∗, tức là
ˆx∗ = C −1Af (ˆx∗) + C −1Bg(ˆx∗) + C −1I,
điều này suy ra
−C ˆx∗ + Af (ˆx∗) + Bg(ˆx∗) + I = 0.
Định lý được chứng minh hoàn toàn.
30
3.2. Tiêu chuẩn ổn định đều
1, . . . , ˆx∗
n)T ∈ Rn là một điểm cân bằng của hệ (3.1). Bằng phép đổi biến x(t) = x(t) − ˆx∗, ta có thể chuyển điểm ˆx∗ về điểm gốc 0. Do đó để
Cho ˆx∗ = (ˆx∗
nghiên cứu tính ổn định đều của điểm cân bằng ˆx∗ ta đi nghiên cứu tính ổn
định đều của điểm cân bằng gốc 0 của hệ. Vì lý do đó, ta xét tính ổn định đều
C
của điểm cân bằng 0 của hệ dưới đây
t x(t) = −Cx(t) + Af (x(t)) + Bg(x(t − τ )), ∀t ≥ t0,
t0Dα
(3.6)
ở đó
f (x(t)) = (cid:0)f 1(x1(t)), f 2(x2(t)), . . . , f n(xn(t))(cid:1) ,
i ), f i(0) = 0, và gi(xi(t)) = gi(xi(t) + ˆx∗
i ) − fi(ˆx∗
g(x(t)) = (g1(x1(t)), g2(x2(t)), . . . , gn(xn(t))) ,
i ) − i ), gi(0) = 0, (i = 1, 2, . . . , n). Các hàm f i(.) và gi(.), i = 1, 2, . . . , n thỏa
với f i(xi(t)) = fi(xi(t) + ˆx∗ gi(ˆx∗
mãn điều kiện dưới đây
i , σ−
i ≤
≤ l+ l− i ≤ ≤ σ+ i f i(xi(t)) xi(t) gi(xi(t)) xi(t) (3.7)
∀xi(t) (cid:54)= 0, i = 1, 2, . . . , n,
i , l−
i , σ+
i , σ−
i (i = 1, 2, . . . , n) là các hằng số cho trước. Chú ý rằng điều
ở đó l+
kiện (3.7) tương đương với các điều kiện dưới đây
i xi(t) − f i(xi(t))) ≥ 0,
(3.8) xi(t)(f i(xi(t)) + lixi(t)) ≥ 0, xi(t)(lixi(t) − f i(xi(t))) ≥ 0, i xi(t)) ≥ 0, xi(t)(l− xi(t)(f i(xi(t)) + l+
xi(t)(gi(xi(t)) + σixi(t)) ≥ 0, xi(t)(σixi(t) − gi(xi(t))) ≥ 0.
Định lý dưới đây cho ta một tiêu chuẩn cho tính ổn định đều của hệ (3.6).
Định lí 3.2. [23] Giả sử rằng các Giả thiết 3.1 và 3.2 được thỏa mãn. Điểm
cân bằng gốc 0 của hệ (3.6) ổn định đều nếu tồn tại hai ma trận đường chéo
chính, xác định dương U = diag{u1, u2, . . . , un}, D = diag{d1, d2, . . . , dn} và
một hằng số δ > 0 sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính dưới đây được
31
thỏa mãn
Ψ11 Ψ12 QB
< 0, (3.9) Ψ = 0 ∗ Ψ22 ∗ ∗ −δI
ở đó
Ψ11 = −CQ − QC − 2L1DL2 + LU L + δQ,
Ψ12 = QA + L1D + L2D,
Ψ22 = −2D − U,
Q = ΣT Σ.
Chứng minh. Xét hàm Lyapunov dưới đây
V (t, x(t)) = xT (t)Qx(t),
ở đó Q = ΣT Σ. Vì Q là ma trận đối xứng, xác định dương nên ta có đánh giá
dưới đây
λmin(Q)(cid:107)x(t)(cid:107)2 ≤ V (t, x(t)) ≤ λmax(Q)(cid:107)x(t)(cid:107)2.
C
t V (t, x(t)) ≤ 2xT (t)Q C
0 Dα
t x(t)
t0Dα
Mặt khác, theo Bổ đề 1.3, ta thu được đánh giá dưới đây
= 2xT (t)Q (cid:0)−Cx(t) + Af (x(t)) + Bg(x(t − τ ))(cid:1) (3.10) = xT (t) (−CQ − QC) x(t) + 2xT (t)QAf (x(t))
+ 2xT (t)QBg(x(t − τ )).
n (cid:88)
Từ điều kiện (3.9), ta có các ước lượng dưới đây
i xi(t)(cid:3) (cid:2)f i(xi(t)) − l−
i xi(t)(cid:3)
i=1
0 ≤ −2 di (cid:2)f i(xi(t)) − l+ (3.11)
n (cid:88)
= −2 (cid:0)f (x(t)) − L1x(t)(cid:1)T D(f (x(t)) − L2x(t)),
i=1 (cid:16) T
0 ≤ − ui (cid:2)f i(xi(t)) + lixi(t)(cid:3) (cid:2)f i(xi(t)) − lixi(t)(cid:3) (3.12) (cid:17) = − (x(t))U f (x(t)) − xT (t)LU Lx(t) , f
32
n (cid:88)
và
i=1
0 ≤ −δ [gi(xi(t − τ )) + σixi(t − τ )] [gi(xi(t − τ )) − σixi(t − τ )] (3.13)
= −δ (cid:0)gT (x(t − τ ))g(x(t − τ )) − xT (t − τ )ΣT Σx(t − τ )(cid:1) .
Chú ý rằng V (s, x(s)) = V (t, x(t)), ∀t ≥ t0. Điều này suy ra V (t + sup t0−τ ≤s≤t s, x(t + s)) ≤ V (t, x(t)), s ∈ [−τ, 0]. Suy ra
xT (t − τ )Qx(t − τ ) ≤ xT (t)Qx(t),
tức là
(3.14) xT (t − τ )ΣT Σx(t − τ ) ≤ xT (t)ΣT Σx(t).
C
T
Từ các điều kiện (3.10)–(3.14), ta thu được đánh giá dưới đây
t V (t, x(t)) − 2 (cid:0)f (x(t)) − L1x(t)(cid:1)T t0Dα (cid:16) (x(t))U f (x(t)) − xT (t)LU Lx(t) f
D(f (x(t)) − L2x(t)) (cid:17) −
− δ (cid:0)gT (x(t − τ ))g(x(t − τ )) − xT (t − τ )ΣT Σx(t − τ )(cid:1)
= xT (t) (−CQ − QC) x(t) + 2xT (t)QAf (x(t))
T
D(f (x(t)) − L2x(t))
(cid:16) (cid:17) + 2xT (t)QBg(x(t − τ )) − 2 (cid:0)f (x(t)) − L1x(t)(cid:1)T (x(t))U f (x(t)) − xT (t)LU Lx(t) − f
− δ (cid:0)gT (x(t − τ ))g(x(t − τ )) − xT (t − τ )ΣT Σx(t − τ )(cid:1)
≤ xT (t) (−CQ − QC) x(t) + 2xT (t)QAf (x(t))
T
D(f (x(t)) − L2x(t))
(cid:17) (cid:16) + 2xT (t)QBg(x(t − τ )) − 2 (cid:0)f (x(t)) − L1x(t)(cid:1)T (x(t))U f (x(t)) − xT (t)LU Lx(t) − f
− δ (cid:0)gT (x(t − τ ))g(x(t − τ )) − xT (t)ΣT Σx(t)(cid:1)
= xT (t) (−CQ − QC) x(t) + 2xT (t)QAf (x(t))
T
D(f (x(t)) − L2x(t))
(cid:16) (cid:17) + 2xT (t)QBg(x(t − τ )) − 2 (cid:0)f (x(t)) − L1x(t)(cid:1)T (x(t))U f (x(t)) − xT (t)LU Lx(t) − f
− δ (cid:0)gT (x(t − τ ))g(x(t − τ )) − xT (t)Qx(t)(cid:1)
1 (t)Ψξ1(t),
= ξT (3.15)
33
ở đó
x(t)
. ξ1(t) = f (x(t)) g(x(t − τ ))
Chú ý rằng nếu điều kiện (3.9) được thỏa mãn, tức là Ψ < 0 thì η = λmax(Ψ) < t V (t, x(t)) ≤ ηxT (t)x(t) = η(cid:107)x(t)(cid:107)2 < t0Dα 0. Theo Bổ đề 1.4 (S-procedure), ta có C 0. Theo Định lý 1.10, hệ (3.6) ổn định đều.
Nhận xét 3.1. Trong bài báo [21], các tác giả xây dựng hàm Lyapunov có
n (cid:80) i=1
dạng hàm trị tuyệt đối, tức là V (t) = |xi(t)| và sử dụng phép biến đổi
Laplace, bất đẳng thức Bellman–Gronwall để nghiên cứu tính ổn định của hệ
(3.6). Định lý 3.2 nghiên cứu tính ổn định của hệ (3.6) bằng cách xây dựng
hàm Lyapunov dạng toàn phương và cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma
trận tuyến tính. Chú ý rằng, bất đẳng thức ma trận tuyến tính có thể giải số
bằng phần mềm MATLAB.
3.3. Ví dụ minh họa
Trong mục này, chúng tôi trình bày hai ví dụ số để minh họa cho kết quả
lý thuyết trong các mục trước.
Ví dụ 3.1. Xét hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích
hoạt tổng quát (3.1) với n = 2 và các tham số
0.25 0 −0.05 0.01 C = , A = , 0 0.2
0.02 −0.01 −0.1 −0.01 0.02 B = , τ = 0.1. , I = 0.4 0.02 0.01
Cho G(x) = 0.5 (|x + 1| − |x − 1|). Các hàm kích hoạt của hệ cho bởi f1(x1(t)) =
2.5G(x1(t)), f2(x2(t)) = G(x2(t)) và g1(x1(t)) = 1.6G(x1(t)), g2(x2(t)) = 2G(x2(t)).
34
Khi đó hệ đã cho được viết lại thành
t x1(t) = −0.25x1(t) − 0.05f1(x1(t)) + 0.01f2(x2(t))
t0Dα C
t x2(t) = −0.2x2(t) + 0.02f1(x1(t)) − 0.01f2(x2(t))
t0Dα C
−0.01g1(x1(t − τ )) + 0.02g2(x2(t − τ )) − 0.1, (3.16)
+0.02g1(x1(t − τ )) + 0.01g2(x2(t − τ )) + 0.4.
Rõ ràng các hàm kích hoạt thỏa mãn Giả thiết 3.1 với L = diag{3, 1.1}, Σ =
diag{1.5, 2.1}. Ngoài ra, bằng các tính toán trực tiếp bằng MATLAB, ta tính
được
0.0500 −0.0130 AT (C −1)T C −1A = , −0.0130 0.0041
0.1600 0 (L−1)2 = , 0
1.0000 0.0116 0.0018 BT (C −1)T C −1B = , 0.0018 0.0089
0.3906 0 (Σ−1)2 = , 0 0.2500
2(cid:107)C −1A(cid:107)(cid:107)C −1B(cid:107)(cid:107)L(cid:107)(cid:107)Σ(cid:107) = 0.26.
Chọn các tham số θ1 = 0.38 và θ2 = 0.05, ta thấy các điều kiện trong Giả thiết
3.2 được thỏa mãn:
AT (C −1)T C −1A ≤ θ1(L−1)2,
BT (C −1)T C −1B ≤ θ2(Σ−1)2,
θ = θ1 + 2(cid:107)C −1A(cid:107)(cid:107)C −1B(cid:107)(cid:107)L(cid:107)(cid:107)Σ(cid:107) + θ2 = 0.69 ∈ [0, 1).
Vậy theo Định lý 3.1, ˆx∗ ≈ (−0.1279, 1.9976)T ∈ R2 là điểm cân bằng duy
nhất của hệ (3.16). Ngoài ra, các điều kiện trong Định lý 3.2 được thỏa mãn
với δ = 0.12 và 0.0308 0 0.0455 0 D = , U = . 0 0.1721 0 0.2286
35
Do đó theo Định lý 3.2 hệ (3.16) ổn định đều.
Ví dụ 3.2. Xét hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích
hoạt tổng quát (3.1) với n = 2 và các tham số 0.6 0 −0.02 0.01 C = , A = , 0 1.4
1
0.23 −0.01 −0.01 0.12 −1.5 B = , I = , τ = 0.4. 0.11 0.07 0.9
1
1
1
Các hàm kích hoạt được chọn như sau f1(x1(t)) = 1.28
1+e−x1(t) , g2(x2(t)) = 6
1+e−x1(t) , f2(x2(t)) = 1+e−x2(t) . Khi đó hệ đã cho
1+e−x2(t) và g1(x1(t)) = 8 viết lại được dưới dạng sau đây
12
t x1(t) = −0.6x1(t) − 0.02f1(x1(t)) + 0.01f2(x2(t))
t0Dα C
t x2(t) = −1.4x2(t) + 0.23f1(x1(t)) − 0.01f2(x2(t))
t0Dα C
−0.01g1(x1(t − τ )) + 0.12g2(x2(t − τ )) − 1.5, (3.17)
+0.11g1(x1(t − τ )) + 0.07g2(x2(t − τ )) + 0.9.
Các hàm kích hoạt thỏa mãn Giả thiết 3.1 với L = diag{3.2, 3}, Σ = diag{2, 1.5}.
Ta tính được
0.0281 −0.0017 AT (C −1)T C −1A = , −0.0017 0.0003
0.0977 0 (L−1)2 = , 0
0.1111 0.0065 0.0006 BT (C −1)T C −1B = , 0.0006 0.0425
0.2500 0 (Σ−1)2 = , 0 0.4444
2(cid:107)C −1A(cid:107)(cid:107)C −1B(cid:107)(cid:107)L(cid:107)(cid:107)Σ(cid:107) = 0.44.
Như vậy các điều kiện của Giả thiết 3.2 được thỏa mãn với θ1 = 0.29, θ2 = 0.1. Theo Định lý 3.1, điểm ˆx∗ ≈ (−1.4997, 1.3100)T ∈ R2 là điểm cân bằng duy
36
nhất của hệ (3.17). Ngoài ra, các điều kiện trong Định lý 3.2 được thỏa mãn
với δ = 0.39 và
0.0647 0 0.0937 0 D = , U = . 0 0.1079 0 0.1580
Do đó theo Định lý 3.2 hệ (3.17) ổn định đều.
37
Kết luận
Luận văn đã đạt được những kết quả sau:
• Trình bày lại một số khái niệm cơ bản về giải tích phân thứ bao gồm tích
phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi
phân phân thứ Caputo;
• Trình bày một số tiêu chuẩn cho bài toán tồn tại duy nhất nghiệm và tính
ổn định Mittag-Leffler toàn cục cho mạng nơ ron phân thứ Caputo với
hàm kích hoạt tổng quát;
• Trình bày một số tiêu chuẩn cho bài toán tồn tại duy nhất nghiệm và tính
ổn định đều của mạng nơ ron phân thứ Caputo có trễ với hàm kích hoạt
tổng quát;
• Đưa ra một số ví dụ số để minh họa cho kết quả lý thuyết.
38
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Văn Cường, Về tính ổn định của một số lớp hệ nơ ron thần kinh
phân thứ, Luận văn cao học, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên.
[2] Hoàng Thế Tuấn (2017), Về một số vấn đề định tính của hệ phương trình
vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ toán học, Viện Toán học.
Tiếng Anh
[3] Boroomand A. and Menhaj, M. B. (2008), “Fractional-order Hopfield neu-
ral networks”, In International Conference on Neural Information Process-
ing (pp. 883-890). Springer, Berlin, Heidelberg.
[4] Boyd S., El Ghaoui L., Feron E. and Balakrishnan V. (1994), Linear Matrix
Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia.
[5] Chen L.P., Chai Y., Wu R.C., Ma T.D. and Zhai H.Z. (2013), “Dynamic
analysis of a class of fractional-order neural networks with delay”, Neuro-
computing, 111, 190–194.
[6] Chen B.S. and Chen J.J. (2015), “Razumikhin-type stability theorems
for functional fractional-order differential systems and applications”, Appl.
Math. Comput., 254, 63–69.
[7] Chua L.O. and Yang L. (1998), “Cellular neural networks: Theory”, IEEE
Transactions on Circuits and Systems, 35(10), 1257–1272.
39
[8] Chua L.O. and Yang L. (1998), “Cellular neural networks: Applications”,
IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), 1273–1290.
[9] Diethelm K. (2010), The Analysis of Fractional Differential Equations. An
Application oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo
Type, Lecture Notes in Mathematics, 2004, Springer - Verlag, Berlin.
[10] Duarte-Mermoud M.A., Aguila-Camacho N., Gallegos J.A. and Castro-
Linares R. (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove
Lyapunov uniform stability for fractional order systems”, Communications
in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), 650–659.
[11] Hilfer R. (2000), Applications of Fractional Calculus in Physics, World
Science Publishing, Singapore.
[12] Kaczorek T. (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory,
Springer.
[13] Kilbas A.A., Srivastava H.M. and Trujillo J.J (2006), Theory and Appli-
cations of Fractional Differential Equations, Springer.
[14] Li Y., Chen Y.Q. and Podlubny I. (2010), “Stability of fractional- or-
der nonlinear dynamic systems: Lyapunov direct method and generalized
Mittag–Leffler stability”, Computers and Mathematics with Applications,
59(5), 1810–1821.
[15] Shuo Z, Chen Y.Q. and Yu Y. (2017), “A Survey of Fractional-Order
Neural Network”, ASME 2017 International Design Engineering Technical
Conferences and Computers and Information in Engineering Conference,
American Society of Mechanical Engineers.
[16] Sun C.Y., Zhang K.J., Fei S.M., Feng C.B. (2002), “On exponential stabil-
ity of delayed neural networks with a general class of activation functions”,
Phys. Lett. A, 298(2–3), 122–132.
40
[17] Thanh N.T., Trinh H. and Phat V.N. (2017) “Stability analysis of frac-
tional differential time-delay equations”, IET Control Theory & Applica-
tions, 11(7), 1006–1015.
[18] Thuan M.V., Binh T.N. and Huong D.C. (2018), “Finite-time guaranteed
cost control of Caputo fractional-order neural networks”, Asian Journal of
Control, DOI: 10.1002/asjc.1927.
[19] Thuan M.V. and Huong D.C. (2018), “New results on stabilization of
fractional-order nonlinear systems via an LMI approach”, Asian Journal
of Control, 20(4), 1541–1550.
[20] Wang H., Yu Y.G. and Wen G. (2014), “Stability analysis of fractional-
order Hopfield neural networks with time delays", Neural Networks, 55,
98–109.
[21] Wang H., Yu Y.G., Wen G.G., Zhang S. and Yu J.Z. (2015), “Global
stability analysis of fractional-order hopfield neural networks with time
delay”, Neurocomputing, 154, 15–23.
[22] Wang L., Song Q., Liu Y., Zhao Z., Alsaadi F.E. (2017), “Global asymp-
totic stability of impulsive fractional-order complex-valued neural net-
works with time delay”, Neurocomputing, 243, 49–59.
[23] Yang Y., He Y., Wang Y. and Wu M. (2018), “Stability analysis of
fractional-order neural networks: An LMI approach”, Neurocomputing,
285, 82–93.
[24] Zhang S, Yu Y.G. and Wang H. (2015), “Mittag-Leffler stability of
fractional-order hopfield neural networks”,Nonlinear Anal. Hybrid Syst.,
16, 104–121.
[25] Zhang S., Yu Y. and Wang Q. (2016), “Stability analysis of fractional-
order Hopfield neural networks with discontinuous activation functions”,
Neurocomputing, 171, 1075–1084.
41
[26] Zhang L., Song Q. and Zhao Z. (2017), “Stability analysis of fractional-
order complex-valued neural networks with both leakage and discrete de-
lays”, Applied Mathematics and Computation, 298, 296–309.
[27] Zhang S., Yu Y. and Yu J. (2017), “LMI conditions for global stability of
fractional-order neural networks”, IEEE Transactions on Neural Networks
and Learning Systems, 28(10), 2423–2433.
