Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
I. CÁC DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN
a) Đường thẳng
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường thẳng nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn
phương trình đường thẳng : Ax + By + C = 0.
b) Đường tròn
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường tròn nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương
trình đường tròn (C) : (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
, trong đó I(a ; b) là tâm đường tròn và R là bán kính đường
tròn.
c) Đường Elip
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường elip nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương
trình đường elip
2 2
2 2
( ): 1
x y
E
a b
+ =
, trong đó a, b tương ứng là các bán trục lớn và bán trục nhỏ của elip.
Chú ý :
Điểm M thuộc Elip nhận A, B làm các tiêu điểm thì theo định nghĩa elip ta có MA + MB = 2a, và đồng
thời AB = 2c, là độ dài tiêu cự của elip.
Mối quan hệ giữa các đại lượng a, b, c của elip là a
2
= b
2
+ c
2
II. CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.
b) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1]
c) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3].
d) |z| ≤ 2
e) 2 ≤ |z| ≤ 3
f) |z –1 + 2i| ≤ 2
g)
2 2 2 1
i z z
− = −
Hướng dẫn giải :
Gọi z = x + yi và M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z.
a) Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của z, tức là x = 2y, hay x – 2y = 0.
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là đường thẳng d : x – 2y = 0.
b) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1], tức là –2 ≤ x ≤ 1.
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = –2 và x = 1
c) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3], tức là –2 ≤ x ≤ 1 và
1 ≤ y ≤ 3
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là miền trong của hình chữ nhật ABCD giới hạn bởi bốn đường thẳng
x = –2 ; x = 1 ; y = 1 và y = 3.
d)
2 2 2 2
2 2 4
z x y x y
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là miền trong của hình tròn tâm I(0; 0), bán kính R = 2, (kể cả những điểm nằm
trên đường tròn)
Cách giải khác:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z
M
1
là điểm biểu diễn số phức z
1
= 0 ⇒ M
1
(0; 0)
Theo bài toán tiền đề ta được |z – z
1
| = MM
1
, hay |z | = MM
1
Từ đó ta được MM
1
≤ 2, (1)
Tài liệu bài giảng:
02. CÁC DẠNG QUỸ TÍCH PHỨC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Do điểm M
1
cố định, nên từ (1) ta thấy quỹ tích M là miền trong của hình tròn tâm M
1
(0; 0), bán kính R = 2.
e)
2 2
2 2 2 2
2 2
9
2 3 2 3 4 9
4
x y
z x y x y x y
+ ≤
≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔
+ ≥
V
ậ
y qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m M(z) là hình vành kh
ă
n gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i hai hình tròn
đồ
ng tâm (C1): x2 + y2 = 4 và (C2):
x2 + y2 = 9
f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 4
z i x y i x y x y
− + ≤ ⇔ − + + ≤ ⇔ − + + ≤ ⇔ − + + ≤
V
ậ
y qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m M(z) là mi
ề
n trong c
ủ
a hình tròn tâm I(1; –2), bán kính R = 2, (k
ể
c
ả
nh
ữ
ng
đ
i
ể
m
n
ằ
m trên
đườ
ng tròn)
Cách giải khác:
G
ọ
i M là
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z
M1 là
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z1 = 1 – 2i
⇒
M1(1; –2)
Theo bài toán ti
ề
n
đề
ta
đượ
c |z – z1| = MM1, hay |z –1 + 2i| = MM1
T
ừ
đ
ó ta
đượ
c MM1
≤
2, (2)
Do
đ
i
ể
m M1 c
ố
đị
nh, nên t
ừ
(2) ta th
ấ
y qu
ỹ
tích M là mi
ề
n trong c
ủ
a hình tròn tâm M1(1; –2), R = 2.
g)
2 2 2 1
i z z
− = −
Ta có
z x yi
= −
, t
ừ
đ
ó ta
đượ
c:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2
i z z i x yi x yi x y i x yi
− = − ⇔ − − = + − ⇔ − + + = − +
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
4 4 1 2 1 4 4 4 2 1 4 4 1 4
x y x y x y y x x y
⇔ + + = − + ⇔ + + + = − + +
⇔
4
x
+ 8
y
+ 3 = 0
V
ậ
y qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m
M
(
z
) là
đườ
ng th
ẳ
ng
d
: 4
x
+ 8
y
+ 3 = 0
Ví dụ 2.
Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c, tìm t
ậ
p h
ợ
p các
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n các s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
a)
3 4
z z
+ + =
b)
1 2
z z i
− + − =
c)
2
z i z
+ = −
Hướng dẫn giải :
Gi
ả
s
ử
s
ố
ph
ứ
c
z
=
x
+
yi
, có
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n là
M
(
x
;
y
).
a)
( ) ( ) ( )
2
1
3 4 3 4 3 4 3 2
5
x
z z x yi x yi x x x
= −
+ + = ⇔ + + − + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔
= −
V
ậ
y qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m
M
(
z
) là hai
đườ
ng th
ẳ
ng
x
= –1 và
x
= –5
b)
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
z z i x yi x yi i y i y
− + − = ⇔ + − − + − = ⇔ + − = ⇔ + − =
( )
2
1 3
2
1 2 1 4 2 1 3
1 3
2
y
y y
y
+
=
⇔ + − = ⇒− = ⇒−
=
V
ậ
y qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m M(z) là hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1 3
2
y±
=.
c)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 1
z i z x yi i x yi x yi x y i
+ = − ⇔ + + = − + ⇔ + + = − + −
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
2 1 4 4 2 1 4 2 3 0
x y x y x x y x y y x y
⇔ + + = + − ⇔ + + + = + − + ⇔ + + =
V
ậ
y qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m M(z) là
đườ
ng th
ẳ
ng d: 4x + 2y + 3 = 0
Ví dụ 3.
Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c, tìm t
ậ
p h
ợ
p các
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n các s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
a)
1 3
z z
+ + =
b)
2 2 5
z z i− + + =
c)
3 2
z i z i
+ = + +
Ví dụ 4.
Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c, tìm t
ậ
p h
ợ
p các
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n các s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
a)
(
)
2
2
4
z z
+ =
b)
2 2 1
iz i z i
+ = + −
c)
2 2 2 3
i z z
−=+
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Ví dụ 5. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a)
2
z
z i
−
là số thực
b)
z i
z i
+
+
là số thực
c)
( 2)( )
z z i
− +
là số thực
Ví dụ 6. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức 2 1
z i z i
+ − = +
. Tìm các điểm M biểu diễn số phức z sao cho
MA ngắn nhất, với A(1; 4).
Ví dụ 7. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức
2 2 3 1
z i z i
+ = − +
. Tìm các điểm M biểu diễn số phức z sao cho
MA ngắn nhất, với
3
1;
4
A
.
Đ/s:
5
1; .
4
M
− −
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho số phức z = a + bi . Hỏi a, b phải thoả mãn điều kiện gì để
a) Điểm biểu diễn chúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng x = –2 và x = 2
b) Điểm biểu diễn chúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng y = –3i và y = 3i
c) Điểm biểu diễn chúng nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 2
Bài 2. Tìm quỹ tích các điểm M(z) biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a)
1 z 2
≤ ≤
và phần ảo lớn hơn hoặc bằng
1
2
. b)
z 1 1
+ <
c)
1 z i 2
< − <
d)
2iz 1 2 z 3
− = +
Bài 3.
Tìm qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m M(z) bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn:
a)
(
)
2 z (i z)
− +
là s
ố
th
ự
c tùy ý,
(
)
2 z (i z)
− +
là s
ố
ả
o tùy ý.
b)
z (3 4i) 2
− − =
c)
2 z i z z 2i
− = − +
d)
2 2
z (z) 4
− =
Bài 4.
Tìm qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m M(z) bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn:
a)
z 1 i 2
− + =
b)
2 z 3i z z 2i
− = + −
c)
z 1 z 1 4
− + + =
d)
z 1 2i z 3 2i 6
− − + + − =
Bài 5.
Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
, tìm t
ậ
p h
ợ
p các
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n các s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
a)
Ph
ầ
n th
ự
c c
ủ
a z b
ằ
ng 2.
b)
Ph
ầ
n
ả
o c
ủ
a z thu
ộ
c kho
ả
ng
(
)
1;3
−
.
c)
Ph
ầ
n th
ự
c và ph
ầ
n
ả
o c
ủ
a z
đề
u thu
ộ
c
đ
o
ạ
n
[
]
2;2
−
.
Bài 6.
Tìm qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m M(z) bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn:
a)
z 3
≤
b)
1 z 3
< ≤
c)
z 4
>
d)
z i 1
+ <
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO VỀ QUỸ TÍCH PHỨC
Cho hai số phức z
1
và z
2
được biểu diễn bởi các điểm tương ứng là M
1
và M
2
. Khi đó
− =
1 2 1 2
z z M M
Chứng minh:
Giả sử z
1
= x
1
+ y
1
i ; z
1
= x
2
+ y
2
i → M
1
(x
1
; y
1
), M
2
(x
2
; y
2
).
Từ đó ta được:
Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
2 2
1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2
;
z z x x y y
z z x y i x y i x x y y i
M M x x y y M M x x y y
− = − + −
− = + − + = − + −
⇔
= − −
= − + −
1 2 1 2
z z M M
→ − =
Ví dụ 1. Tìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn
4 4 10
z i z i
− + + =
, (1)
Hướng dẫn giải:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z
A là điểm biểu diễn số phức z
1
= 4i ⇒ A(0; 4)
B là điểm biểu diễn số phức z
2
= –4i ⇒ B(0; –4)
Khi đó, (1) ⇔ MA + MB = 10, (2)
Hệ thức trên chứng tỏ quỹ tích các điểm M(z) là elip nhận A, B làm các tiêu điểm.
Gọi phương trình của elip là
2 2
2 2 2
2 2
1,( ; )
x y
b a b a c
a b
+ = > = +
Từ (2) ta có 2a =10 ⇒ a = 5.
AB = 2c ⇔ 8 = 2c ⇒ c = 4, từ đó b
2
= a
2
+ c
2
= 41
Vậy quỹ tích M(z) là Elip có phương trình
2 2
1
25 41
x y
+ =
Ví dụ 2. Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức
(
)
1 3 2
i z
+ +
trong đó
1 2
z
− ≤
.
Hướng dẫn giải:
Đặt
(
)
1 3 2
w i z
= + +
thì
2
1 3
w
z
i
−
=+
.
Do đó theo giả thiết
1 2
z
− ≤
2
1 2
1 3
w
i
−
⇔ − ≤
+
(
)
3 3 2 1 3
w i i
⇔ − + ≤ +
(
)
3 3 4
w i
⇔ − + ≤
.
Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn có tâm
(
)
3; 3
I
, bán kính R = 4 kể cả đường tròn biên.
Đó là hình tròn có phương trình
( )
(
)
2
2
3 3 16
x y
− + − ≤
.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau với ẩn là số phức z và λ là tham số thực khác 0:
4 2
(1)
2
2
1 (2)
2
z i i
z
z
z i
− −
= λ
+
−
=
+
Hướng dẫn giải:
+ Gọi A, B theo thứ tự là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức
4 2
i
+
,
2
−
. Khi đó tập hợp
điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn đường kính AB, trừ hai điểm A và B. Đường tròn
Tài liệu bài giảng:
02. CÁC DẠNG QUỸ TÍCH PHỨC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
này có tâm E biểu diễn số phức
1
i
+
và bán kính
1
6 2
2
R i
= +
3 10
i= + =
nên có phương trình là
( ) ( )
2 2
1 1 10
x y
− + − =
(1’)
+ Gọi C, D theo thứ tự là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức
2, 2
i
−
. Khi đó tập hợp điểm
M biểu diễn số phức z thỏa mãn (2) là đường trung trực của đoạn thẳng CD. Đường trung trực này đi qua
trung điểm
(
)
1; 1
H
−
của đoạn thẳng CD và nhận
(
)
2; 2
CD
− −
làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là
(
)
(
)
2 1 2 1 0 0
x y x y
− − − + = ⇔ + =
(2’).
Suy ra giao điểm của đường tròn và đường trung trực là nghiệm của hệ đã cho. Đó là các điểm
(
)
;
x y
thỏa
mãn (1’) và (2’), tức là nghiệm của hệ phương trình sau
( ) ( )
2 2
0
1 1 10
x y
x y
+ =
− + − =
( ) ( )
2 2
1 1 10
y x
x x
= −
⇔
− + − − =
2
y x
x
= −
⇔
= ±
2
2
x
y
=
⇔
= −
hoặc
2
2
x
y
= −
=
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là
2 2
z i
= −
và
2 2
z i
= − +
.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau với z là ẩn số
1 4 3 (3)
3 2
2 (4)
3
2
z i
z i
z i
− − =
+ + =
+ −
Hướng dẫn giải:
+ Gọi E là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức
1 4
i
+
. Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z
thỏa mãn (3) là đường tròn tâm E, bán kính
3
R
=
.
Phương trình đường tròn này là
( ) ( )
2 2
1 4 9
x y
− + − =
(3’)
+ Gọi A, B theo thứ tự là các điểm biểu diễn các số phức
3
3 2 ,
2
i i
− − − +
. Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z
thỏa mãn (4) là đường tròn
( ) ( )
2 2
1 2 5
x y
+ + − =
(4’)
Suy ra nghiệm của hệ đã cho là giao điểm của hai
đường tròn (3’) và (4’), tức là các điểm
(
)
;
x y
thỏa
mãn hệ phương trình sau
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 4 9
1 2 5
x y
x y
− + − =
+ + − =
2 2
2 2
2 8 8 0
2 4 0
x y x y
x y x y
+−−+=
⇔+ + − =
2 2
2 0
2 4 0
x y
x y x y
+ − =
⇔
+ + − =
( ) ( )
2
2
2
2 2 4 2 0
y x
x x x x
= −
⇔
+ − + − − =
2
2
2 0
y x
x x
= −
⇔
+ − =
1
1
x
y
=
⇔
=
hoặc
2
4
x
y
= −
=
.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là
1
z i
= +
và
2 4
z i
= − +
.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com