LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
I. BIỆN LUẬN SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Tóm tắt lí thuyết cơ bản :
Xét hàm số bậc ba
3 3 2
3 3
′
= + + + ⇒= + +
y ax bx cx d y ax bx c
Nếu a = 0 , khi đó hàm suy biến thành bậc hai, ta có
3 0
3
′ ′
= + ⇒= ⇔ = −
c
y bx c y x
b
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p này hàm s
ố
có 1 c
ự
c tr
ị
.
N
ế
u a ≠ 0 thì d
ấ
u c
ủ
a y’ ph
ụ
thu
ộ
c vào d
ấ
u c
ủ
a bi
ệ
t th
ứ
c ∆
+ Hàm s
ố
không
có c
ự
c tr
ị
khi y′ không
đổ
i d
ấ
u, t
ứ
c là ph
ươ
ng trình y′ = 0 vô nghi
ệ
m ho
ặ
c có
nghi
ệ
m kép, t
ứ
c là ∆ ≤ 0.
+ Hàm s
ố
có 2
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
khi y′
đổ
i d
ấ
u hai l
ầ
n, t
ứ
c là ph
ươ
ng trình y′ = 0 có hai nghiêm phân bi
ệ
t.
T
ừ
đ
ó ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n
để
hàm s
ố
có hai c
ự
c tr
ị
là ∆ > 0.
V
ậ
y, v
ớ
i hàm b
ậ
c ba thì hàm s
ố
ch
ỉ
có hai c
ự
c tr
ị
ho
ặ
c không có c
ự
c tr
ị
.
Ví dụ 1:
Bi
ệ
n lu
ậ
n s
ố
c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
(
)
3 2
1 2 3
= + + + − +
y x m x mx m
tùy theo giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m.
Ví dụ 2:
Bi
ệ
n lu
ậ
n s
ố
c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
( )
3 2
1
( 1) 2 1 3 2
3
= − + + − + + −
y m x m x mx m tùy theo giá tr
ị
c
ủ
a tham
s
ố
m.
II. MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP
Ph
ươ
ng pháp chung :
+ Tìm
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ồ
n t
ạ
i c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u.
+ Gi
ả
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n v
ề
tính ch
ấ
t
K
nào
đ
ó mà
đề
bài yêu c
ầ
u.
+ K
ế
t h
ợ
p nghi
ệ
m, k
ế
t lu
ậ
n v
ề
giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
c
ầ
n tìm.
Dạng 1. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ x = x
0
cho trước.
Ph
ươ
ng pháp 1: (S
ử
d
ụ
ng y’’)
+ Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
(
)
( )
0
0
0
0
0
′
=
= ⇔
′′
<
y x
x x y x
+ Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
(
)
( )
0
0
0
0
0
′
=
= ⇔
′′
>
y x
x x y x
Chú ý:
Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i
(
)
( )
0
0
0
0
0
′
=
= ⇔
′′
≠
y x
x x y x
Ph
ươ
ng pháp 2: (S
ử
d
ụ
ng
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
đủ
)
Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:
02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
+ Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại
(
)
0 0
0 .
′
= ⇔ = →
x x y x m
+ Với m tìm được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại, hay
cực tiểu tại điểm x
0
hay không.
Ví dụ 3: Cho hàm số
3 2
( 2) ( 1) 3
= + − + + + −
y x m x m x m
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = –1
c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Dạng 2. Một số dạng câu hỏi về hoành độ điểm cực đại, cực tiểu.
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
sao cho
1 2
− =
x x k
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
sao cho
1 2
+ =
ax bx c
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
sao cho
1 2
1 2
1 2
α
β
γ
< <
< <
< <
x x
x x
x x
Ví dụ 4: Cho hàm số
3 2
3( 1) 9
= − + + −
y x m x x m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
sao cho
1 2
2.
− ≤
x x
Ví dụ 5: Cho hàm số
3 2 2
2 9 12 1
= + + +
y x mx m x
Tìm m để hàm số có cực đại tại x
1,
cực tiểu tại x
2
sao cho
2
1 2
.
=
x x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
= − − + − +
y x m x m x
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2
sao cho 1 2
2 1.
+ =
x x
Đ
/s :
4 34
4
− ±
=m
Bài 2:
Cho hàm s
ố
3 2
( 2) ( 1) 2
3
= + − + − +
m
y x m x m x
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2
sao cho
1 2
1.
< <
x x
Đ
/s :
5 4
.
4 3
< <
m
Bài 3:
Cho hàm s
ố
3 2
1
3 4
3
= − − +
y x mx mx
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2
sao cho
2 2
1 2
2 2
2 1
2 9
2
2 9
+ +
+ =
+ +
x mx m m
m x mx m
Đ
/s : m = –4.
Bài 4:
Cho hàm s
ố
3 2 2
1 1
( 3)
3 2
= − + −
y x mx m x
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2
d
ươ
ng sao cho
2 2
1 2
5
.
2
+ =
x x
Đ
/s :
14
.
2
<m
HÃY THAM GIA MOON.VN ĐỂ XEM LỜI GIẢI BÀI TẬP VÀ CÙNG NHAU THẢO LUẬN !
LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
II. MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP
Phương pháp chung :
+ Tìm điều kiện tồn tại cực đại, cực tiểu.
+ Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu.
+ Kết hợp nghiệm, kết luận về giá trị của tham số cần tìm.
Dạng 3. Bài toán cực trị khi phương trình y’ = 0 giải được nghiệm
Phương pháp:
Khi xét đến biệt thức ∆ của phương trình
' 0
=
y mà ta nhận thấy
2
( )
∆ = +
am b
thì ta nên nghĩ ngay đến việc
giải ra nghiệm của phương trình
' 0
=
y.
Ví dụ 1: Cho hàm số
2
3
1
( 2) (1 ) 2 1
3 2
= + − + − + +
x
y x m m x m
Tìm m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
sao cho
3 3
1 2
2 9.
+ <
x x
c) hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ nhỏ hơn 2.
d) hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
sao cho
2 2
1 2
4 13.
+ =x x
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
3 2
1
(2 1) ( ) 1
3 2
= − + + + − +
x
y x m m m x m
Tìm m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số có cực đại tại x
1
, cực tiểu tại x
2
sao cho
2 2
1 2
2 6.
+ =
x x
c) hàm số có cực đại tại x
1
, cực tiểu tại x
2
sao cho
3 3
1 2
2 11.
− = −
x x
Ví dụ 3: Cho hàm số
3 2 2
3 1
= − + − +
y x x m m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 7, với C(–2 ; 4).
Ví dụ 4: (Trích đề thi Đại học khối B – 2012)
Cho hàm số
3 2 3
3 3
= − +
y x mx m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 48, với O là gốc tọa độ.
Ví dụ 5: Cho hàm số
3 2 3
2 3( 1) 6
= − + + +
y x m x mx m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác ABC vuông tại C, với C(4 ; 0).
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số
3
3 2
= − +
y x mx
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng
3 2
, với C(1 ; 1).
Tài liệu bài giảng:
02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
Đ/s : m = 2
Bài 2: Cho hàm số
3 2
3( 1) 12 3 4
= − + + − +
y x m x mx m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác ABC nhận O làm trọng tâm, với
9
1; .
2
− −
C
Đ
/s :
1
.
2
= −
m
Bài 3:
Cho hàm s
ố
3 2 3
2 3( 1) 6
= − + + +
y x m x mx m
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i A, B sao cho
2.
=AB
Đ
/s : m = 0 ; m = 2.
Bài 4:
Cho hàm s
ố
3 2 2 3
3 3( 1) 4 1
= − + − − + −
y x mx m x m m
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i A, B sao cho tam giác OAB vuông t
ạ
i O.
Đ
/s :
1; 2.
= − =
m m
Bài 5: Cho hàm số
3 2 3 2
3( 1) 3 ( 2) 2
= + + + + + +
y x m x m m x m m
Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị với mọi m, và khoảng cách giữa các điểm cực trị không đổi.
Đ/s :
2 5.
=AB
Bài 6: Cho hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
= − + − +
y x mx m x
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và y
CĐ
+ y
CT
> 2.
Đ/s : 1
1 0
>
− < <
m
m
HÃY THAM GIA MOON.VN ĐỂ XEM LỜI GIẢI BÀI TẬP VÀ CÙNG NHAU THẢO LUẬN !
LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
II. MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP
Phương pháp chung :
+ Tìm điều kiện tồn tại cực đại, cực tiểu.
+ Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu.
+ Kết hợp nghiệm, kết luận về giá trị của tham số cần tìm.
Dạng 4. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu
Phương pháp:
Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta được
'. ( ) ( )
= +
y y h x r x
trong đó r(x) là phần dư của phép chia.
Khi đó y = r(x) được gọi là phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Ý nghĩa : Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có tác dụng giúp ta lấy ra tọa độ của các điêm
cực đại, cực tiểu, trong các bài toán xử lí có liên quan đến tung độ cực đại và cực tiểu.
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số
3 2
3 1
= − +
y x x bằng hai cách.
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số
3 2 2
3
= − +
y x x m
.
Dạng 5. Bài toán về tính đối xứng của các điểm cực trị.
Phương pháp:
Gọi hai điểm cực trị của hàm số là
1 1 2 2
( ; ), ( ; ).
A x y B x y
Ta có một số kết quả sau :
+ A, B nằm về hai phía của trục Oy khi
1 2
0.
<
x x
+ A, B nằm cùng phía với trục Oy khi
1 2
0.
>
x x
+ A, B nằm về hai phía của trục Ox khi
1 2
0.
<
y y
+ A, B nằm cùng phía với trục Ox khi
1 2
0.
>
y y
+ A, B nằm đối xứng qua đường thẳng d khi
,
⊥
∈
AB d
I d với I là trung điểm của AB.
+ A, B cách đều đường thẳng d khi AB // d hoặc trung điểm I của AB thuộc đường thẳng d.
Chú ý :
Trong một số bài toán có đặc thù riêng (nếu phương trình y = 0 nhẩm được nghiệm) thì với yêu cầu tìm m để
hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục Ox ta có thể sử dụng điều kiện là phương trình y = 0 có ba
nghiệm phân biệt.
Ví dụ 3: Cho hàm số
3 2
3 2
= + + + −
y x x mx m
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với Oy.
c) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với Ox.
d) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy.
Ví dụ 4: Cho hàm số
3 2 3
3 2
= + +
y x mx m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua đường thẳng
Tài liệu bài giảng:
02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
