Luyện thi Đại học Toán hình học

Chia sẻ: Nguyen Xuan Bao | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

248
lượt xem 73
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Luyện thi Đại học Toán hình học tuyển tập các bài toán hình học từ các đề thi Đại học môn Toán của các năm về trước kèm lời giải và đáp số cụ thể chi tiết. Đây là tài liệu tham khảo bổ ích cho các em để ôn tập và luyện thi tốt, đạt kết quả cao trong kì thi Đại học, Cao đẳng sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học Toán hình học

1. Hình chóp tam giác Bài 1. (Trích thi tuy n sinh H Kh i A năm 2002). Cho hình chóp tam giác u S . ABC có dài c nh AB = a . G i M, N l n lư t là trung i m c a các c nh SB, SC. Tính theo a di n tích c a tam giác AMN, bi t r ng m t ph ng (AMN) vuông góc v i m t ph ng (SBC). G i ý: G i O là trung i m BC, G là tr ng tâm tam giác ABC, ta có z a 3 a a 3 S OA = , OB = OC = , OG = . 2 2 6 t SG = z > 0. Ch n h tr c t a Oxyz sao cho tia Ox ch a A, tia Oy ch a B và tia Oz n m trên ư ng th ng qua O và song song v i SG (xem hình v ). Khi ó x A a 3   a   −a   a 3  C A ;0;0  , B  0; ;0  , C  0; ;0  , S  ;0; z  .  2   2   2   6  G a 3 a z a 3 a z O M ; ; , N  ; − ; . B  12 4 2   12 4 2 y 2 a 15 a 10 Tính ư c z = . Suy ra S AMN = . 6 16 Bài 2. (Trích d b 1 – H Kh i B năm 2007). Trong n a m t ph ng (P) cho ư ng tròn ư ng kính AB và i m C trên n a ư ng tròn ó sao cho AC = R . Trên ư ng th ng vuông góc v i (P) t i A l y i m S sao cho góc gi a hai m t ph ng (SAB) và (SBC) b ng 60o . G i H, K l n lư t là hình chi u c a A trên SB, SC. Ch ng minh r ng tam giác AHK vuông và tính th tích kh i chóp S . ABC . G i ý: Ta có AC = R, BC = R 3. t SA = z > 0. z Ch n h tr c t a Oxyz sao cho O ≡ C , tia Ox ch a A, S tia Oy ch a B và tia Oz n m trên ư ng th ng qua O và H song song v i SA (xem hình v ). Khi ó: K ( ) C ( 0;0;0 ) , A ( R;0;0 ) , B 0; R 3;0 , S ( R;0; z ) . Khi ó tính x 2R B  8R R 3 4 R 2   2R 2R 2  y ư c H ; ;  và K  ;0; . A  9 9 9   3 3  R3 6 C Th tích kh i chóp S . ABC là: VS . ABC = . 12 Bài 3. (Trích tuy n sinh H Kh i D năm 2003). Cho hai m t ph ng (P) và (Q) vuông góc v i nhau, có giao tuy n là ư ng th ng ∆ . Trên ∆ l y hai i m A,B v i AB = a . Trong m t ph ng (P) l y i m C, trong m t ph ng (Q) l y i m D sao cho AC, BD cùng vuông góc v i ∆ và AC = BD = AB = a. Tính bán kính m t c u ngo i ti p t di n ABCD và tính kho ng cách t A n m t ph ng (BCD) theo a. G i ý: + Ch n h tr c t a Oxyz như hình v , lúc ó Q A ( a;0;0 ) , B (0;0;0), C (a; a;0), D(0;0; a). + M t c u ngo i ti p t di n ABCD có tâm D z I ( a / 2; a / 2; a / 2 ) và bán kính R = a 3 / 2. a + M t ph ng (BCD) có phương trình x − y = 0. B P + Kho ng cách t A n (BCD) là a y A a 2 a C d ( A,( BCD) ) = . x 2 1
Bài 4. (Trích tuy n sinh H Kh i D năm 2006). Cho hình chóp tam giác S.ABC có áy ABC là tam giác u c nh a, SA = 2a và SA vuông góc v i m t ph ng (ABC). G i M, N l n lư t là hình chi u vuông góc c a A trên các ư ng th ng SB và SC. Tính th tích kh i chóp A.BCNM. G i ý: + G i O là trung i m BC. Ch n h tr c t a Oxyz như S hình v , lúc ó z a 3   a   a  a 3  A ;0;0  , B  0; ;0  , C  0; − ;0  , S  ;0; 2a  .  2   2   2   2  2a  a 3 2a 2a  + Tìm ư c t a các i m M, N là M  ; ;  và N  10 5 5   a 3 2a 2a  N ; − ; . x 10 5 5  A C  M a 3a 3 3 O + Th tích kh i chóp A.BCNM là VA. BCNM = . 50 B y Bài 5. (Trích tuy n sinh H Kh i A năm 2011). Cho hình chóp S.ABC áy ABC là tam giác vuông cân t i B, AB = BC = 2a , hai m t ph ng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABC). G i M là trung i m c a AB; m t ph ng qua SM và song song v i BC, c t AC t i N. Bi t góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 60o . Tính th tích kh i chóp S.BCNM và kho ng cách gi a hai ư ng th ng AB và SN theo a. G i ý: + t SA = z > 0. Ch n h t a Oxyz như hình v , lúc ó: z S A ( 2a;0;0 ) , B ( 0;0;0 ) , C ( 0;2a;0 ) , M ( a;0;0 ) , S (2a;0; z ). + Tìm ư c i m N ( a; a;0 ) . + Vectơ pháp tuy n c a (SBC) là n SBC = ( − z;0; 2a ) . +Vectơ pháp tuy n c a (ABC) là n ABC = ( 0;0;1) . y o x N + T gi thi t góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 60 A C ( tìm ư c z = 2a 3 ⇒ S 2a;0; 2a 3 . ) M 3 2a 39 + Suy ra VSBCNM = a 3 và d ( AB, SN ) = . B 13 Bài 6. (Trích tuy n sinh H Kh i D năm 2011). Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác vuông t i B, BA = 3a, BC = 4a , m t ph ng (SBC) vuông góc v i m t ph ng (ABC). Bi t SB = 2a 3 và SBC = 30o. Tính th tích kh i chóp S.ABC và kho ng cách t i m B n m t ph ng (SAC) theo a. G i ý: + K SO ⊥ BC , khi ó SO ⊥ ( ABC ) . Tính ư c z SO = a 3, OB = 3a, OC = a. S + Ch n h t a Oxyz như hình v , lúc ó: ( ) A ( 3a;3a;0 ) , B ( 3a;0;0 ) , C ( −a;0;0 ) , S 0;0; a 3 . + Tính th tích kh i chóp S.ABC là VS . ABC = 2a 3 3. + Phương trình m t ph ng (SAC) là: y −3x + 4 y + 3z − 3a = 0. C + Kho ng cách t i m B n m t ph ng (SAC) là A 6a 7 O 4a d ( B,( SAC ) ) = . 3a 7 B x 2
Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa: Cho t di n ABCD có AD vuông góc v i m t ph ng (ABC), AD = 3a, AB = 2a, AC = 4a, BAC = 60o . G i H, K l n lư t là hình chi u vuông góc c a B trên AC và CD. ư ng th ng HK c t ư ng th ng AD t i E. Ch ng minh r ng BE vuông góc v i CD và tính th tích kh i t di n BCDE theo a. Gi i: z Ch n h tr c t a Oxyz như hình v v i A trùng v i g c t a O. D ( ) A(0;0;0), B(2a;0;0), C 2a;2a 3;0 , D(0;0;3a) a a 3  AH = AB.cos60o = a . Suy ra t a c a H ;  2 2 ;0     y 3a ( ) ( ) DC = 2a;2 a 3; −3a suy ra u = 2;2 3; −3 là m t vecto ch phương c a DC nên phương trình ư ng th ng DC là: K  x = 2t 4a  A 60o H C (  y = 2 3t . Vì K thu c DC nên K 2t;2 3t;3a − 3t . )  z = 3a − 3t E  2a B ( Ta có BK = 2t − 2a;2 3t;3a − 3t ) 13a  26 a 26 a 3 36 a  x . V y K BK . DC = 0 ⇔ t = 25  25 ; 25 ; 25     a a 3   27a 27a 3 36 a  Vì E thu c tr c Az nên E(0;0;z). EH =  ; 2 2 ; − z  ; HK =    50 ; 50 ; 25       4a 4a Vì E, H, K th ng hàng nên EH; HK cùng phương, do ó suy ra z = − . V y E(0;0; − ). 3 3  4a  4a  3  ( ) EB =  2 a;0;  và DC = 2a;2 a 3; −3a nên EB . DC = 2a.2a + 0.2 a 3 + ( −3a ) = 0 3 V y BE vuông góc v i CD. A12: Cho hình chóp S.ABC có áy là tam giác u c nh a. Hình chi u vuông góc c a S trên m t ph ng (ABC) là i m H thu c c nh AB sao cho HA = 2HB. Góc gi a ư ng th ng SC và m t ph ng (ABC) b ng 60o. Tính th tích kh i chóp S.ABC và kho ng cách gi a hai ư ng th ng SA và BC theo a. Gi i: z G i O là trung i m c a AB. Ch n h tr c t a Oxyz như hình v . S  a   a  a 3  Ta có: A  0; ;0  , B  0; − ;0  , C  ;0;0   2   2   2    a a 7 OH = ⇒ CH = CO2 + OH 2 = 6 3 x o 60 B a 21 C ⇒ SH = CH.tan 60o = H 3 O  a a 21  ⇒ S  0; − ;   6 3  y A   3 1 a 7 • VS . ABC = SH.S ABC = 3 12 3
 2 a a 21  a 3 a  • AB = ( 0; − a;0 ) ; SA =  0; ; −  ; BC =   2 ; 2 ;0  ;  3 3          SA; BC  =  21 a 2 ; 7 a2 ; − 3 a 2  ⇒  SA; BC  = 24 a 2 và  SA; BC  . AB = − 7 a3 .    6 2 3    3   2    SA; BC  . AB   a3 7 3 a 42 Suy ra: d ( SA; BC ) = = . = .☺  SA; BC  2 24a 2 8   B12: Cho hình chóp tam giác u S.ABC v i SA = 2a, AB = a. G i H là hình chóp vuông góc c a A trên c nh SC. Ch ng minh SC vuông góc v i m t ph ng (ABH). Tính th tích kh i chóp S.ABH theo a. Gi i: z G i K là hình chi u vuông góc c a S lên (ABC) thì K là tâm S c a tam giác ABC. G i O là trung i m c a AB. Ch n h tr c t a Oxyz như hình v .  a   a   a 3  Ta có: A  0; − ;0  , B  0; ;0  , C  0; ;0  .  2   2   2  H   a 3 a 33  a 3 a 33  CK = ⇒ SK = SC 2 − CK 2 = ⇒ S  0; ;  3 3  6 3  y   C A  a 3 a 33  SC =  0;  ;−  ; AB = ( 0; a;0 ) K  3 3   O B AB.SC = 0 ⇒ AB ⊥ SC x AB ⊥ SC  SK.OC a 11  ⇒ AB ⊥ ( ABH ) ⇒ OH = = . AB ⊥ OH  SC 4 Gi i: 1 a2 5 2a a 5 VABCD = S ACD .d ( B,( ACD) ) ⇒ S ACD = . T ây tính ư c CD = ; hA = . 3 3 3 3 z G i O là trung i m c a CD. Ch n h tr c t a Oxyz như hình v . B  a 5   a   a   a  Ta có: A  0; ;0  , C  ;0;0  , D  ;0;0  , B  x; y;  v iy>0  3   3   3   3   a T gi thi t BC = BD = a ta gi i ra ư c x = 0; y = . 3 y A  2 D V y B  0; a ; a  .  BC; BD  =  0; 2 a ; − 2 a  . 2     3 3    3  3   O C n( ACD) = ( 0;0;1) ; n( BCD) = ( 0;1; −1) . x G i α là góc gi a hai m t ph ng (ACD) và (BCD). 0.0 + 0.1 + 1.(−1) 1 ( ) Ta có: cos α = cos n( ACD) ; n( BCD) = 02 + 02 + 12 . 02 + 12 + 12 = 2 ⇒ α = 45o . 4
Toán h c & Tu i tr : Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác vuông t i A, BC = a và ABC = 30o . Hai m t ph ng (SAB) và (SAC) cùng t o v i áy m t góc 60o. Bi t r ng hình chi u vuông góc c a S trên m t ph ng (ABC) thu c c nh BC. Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a. Gi i: z Ch n h tr c t a Oxyz như hình v v i g c t a O S trùng i m A. a 3   a  A(0;0;0), B   2 ;0;0  , C  0; ;0  , S ( x; y; z ) v i   2    x > 0; y > 0; z > 0 ; H ( x; y;0 ) v i H là hình chi u vuông y góc c a c a S trên (ABC). x n1 = ( 0;0;1) là vectơ pháp tuy n c a (ABC) và H C  B a 3 a 3  n2 =  AB; AS  =  0; −    z; y  là vectơ pháp tuy n  2 2   A c a (SAB). a a  n3 =  AC; AS  =  z;0; − x  là vectơ pháp tuy n c a (SAC).   2 2  n1.n2 1 y • cos ( ( SAB ),( ABC ) ) = ⇔ = ⇔ z 2 = 3 y2 (1) n1 n2 2 2 z +y 2 n1.n3 1 x • cos ( ( SAC),( ABC) ) = ⇔ = ⇔ z 2 = 3 x 2 (2) n1 n3 2 z2 + x 2  a 3 a   a  T (1), (2) ta có x = y . Nên H ( x; x;0 ) . Vì H thu c BC nên BC =  −  2 ; 2 ;0  , CH =  x; x − 2 ;0  cùng      a x− phương, suy ra x = 2 ⇔x= a 3 thay vào (1), ta ư c z = 3a . − a 3 a 2 2 1+ 3 ( ) 2 1+ 3 ( ) 2 • VS . ABC 1 1 = SH.S∆ABC = . 3a . a2 3 = 3 − 3 a3 .☺ ( ) 3 3 2 1+ 3 (8 ) 32 z Ch n h tr c t a Oxyz như hình v v i g c t a O trùng S v i i m A. Ta có A(0;0;0), B(8a;0;0), C(0;6a;0), S(x;y;z) v i z>0 SA=7a ⇔ x 2 + y 2 + z 2 = 49a2 (1) 2 SB=9a ⇔ ( x − 8a ) + y 2 + z 2 = 81a2 (2) 2 C y SC=11a ⇔ x 2 + ( y − 6 a ) + z 2 = 121a 2 (3) A Gi i h (1), (2) và (3), ta ư c S(2a;-3a;6a). Suy ra ư ng cao c a hình chóp S.ABC là h = zS = 6 a . B 1 x S ABC = AB. AC = 24a2 . VS . ABC = 48a3 2 5
2. Hình chóp t giác Bài 1. (Trích d b 1 – H Kh i B năm 2006). Cho hình chóp S . ABCD có áy ABCD là hình thoi c nh a, góc BAD = 60o , SA vuông góc v i m t ph ng ( ABCD) và SA = a. G i C’ là trung i m c a SC. M t ph ng (P) i qua AC ' và song song v i BD c t SB, SD l n lư t t i B ', D ' . Tính th tích kh i chóp S . AB ' C ' D ' . G i ý: G i O là giao i m c a AC và DB. S a a 3 z Vì tam giác ABD u nên OB = OD = , OA = . 2 2 Ch n h tr c t a Oxyz sao cho tia Ox ch a A, tia Oy ch a B và tia Oz n m trên ư ng th ng qua O và song song v i SA (xem hình v ). Khi ó: C D a 3   a   a 3   a  A ;0;0  , B  0; ;0  , C  − ;0;0  , D  0; − ;0  ,  2   2   2   2  O A B  a a 3  x y C '  0;0;  , S  ;0; a  .  2  2  a 3 a a a 3 a a Tìm ư c B '  ; ;  và D '  ; − ; .  6 3 3  6 3 3 Th tích kh i chóp S . AB ' C ' D ' là: 3 3 3 1 VS . AB ' C ' D ' = VS . AB ' C ' + VS . AC ' D ' =  SA, SC ' .SB ' + 1  SA, SC ' .SD ' = 1 . a 3 + 1 . a 3 = a 3 . 6  6  6 6 6 6 18 Bài 2. (Trích H Kh i B năm 2006). Cho hình chóp S . ABCD có áy ABCD là hình ch nh t v i AB = a, AD = a 2, SA = a và SA vuông góc v i m t ph ng ( ABCD) . G i M, N l n lư t là trung i m c a AD và SC, I là giao i m c a BM và AC. Ch ng minh r ng m t ph ng (SAC) vuông góc v i m t ph ng (SMB). Tính th tích kh i t di n ANIB. G i ý: +Ch n h tr c t a Oxyz sao cho O ≡ A, tia Ox ch a B, tia z Oy ch a D và tia Oz ch a S (xem hình v ). Khi ó: S ( ) ( ) A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C a; a 2;0 , D 0; a 2;0 , S ( 0;0; a ) ;  a 2  a a 2 a M  0; ;0  , N  ; ; . N  2   2 2 2 A M D y  a 2  I ( ) AS ( 0;0; a ) , AC a; a 2;0 , SM =  0; 2 ; −a  , SB = ( a;0; −a ) .   x B C Vectơ pháp tuy n c a (SAC) là  AS , AC  = −a 2 2; a 2 ;0 .   ( )  a2 2  Vectơ pháp tuy n c a (SBM) là  SM , SB  =  −   ; −a 2 ;0  .  2  Vì  AS , AC  .  SM , SB  = a − a = 0 nên ( SAC ) ⊥ ( SBM ).     4 4 IC BC a a 2  Ta có = = 2 ⇒ IC = −2 IA. T ây tìm ư c I  ; ;0  . IA AM  3 3  1 1 a 2 a3 2 3 Th tích kh i t di n ANIB là VANIB =  AN , AI  . AB = . = . 6  6 6 36 6
Bài 3. (Trích H Kh i A năm 2007). Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông c nh a, m t bên SAD là tam giác u và n m trong m t ph ng vuông góc v i áy. G i M, N, P l n lư t là trung i m c a các c nh SB, BC, CD. Ch ng minh r ng AM vuông góc v i BP và tính th tích c a kh i t di n CMNP. G i ý: G i O là trung i m AD, khi ó SO ⊥ ( ABCD). Ch n z h tr c t a Oxyz sao cho tia Ox ch a A, tia Oy S ch a N và tia Oz ch a S (xem hình v ). Khi ó: a  a   a 3 A  ;0;0  , B  ; a;0  , N ( 0; a;0 ) , S  0;0; , 2  2   2   a a  a a a 3 M P  − ; ;0  , M  ; ; .  2 2  4 2 4  D P C  a a a 3  a  Ta có: AM =  − ; ;  , BP =  −a; − ;0  .  4 2 2   2  O N y 3 A a 3 B Th tích c a kh i t di n CMNP là VCMNP = . 96 x Bài 4. (Trích H Kh i B năm 2007). Cho hình chóp t giác u S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a. G i E là i m i x ng c a D qua trung i m c a SA, M là trung i m c a AE, N là trung i m c a BC. Ch ng minh MN vuông góc v i BD và tính (theo a) kho ng cách gi a hai ư ng th ng MN và AC. G i ý: G i O là giao i m c a AC và BD. Ch n h tr c t a z Oxyz sao cho tia Ox ch a A, tia Oy ch a B và tia Oz S ch a S (xem hình v ). t SO=z, Khi ó: a 2   a 2   a 2  A ;0;0  , B  0; ;0  , D  0; − ;0  , S ( 0;0; z ) , E  2   2   2   a 2   a 2 a 2  a 2 z I C− ;0;0  , N  − ; ;0  , I  ;0;  , Ta 2 4 4 C      4 2 M D a 2 a 2  a 2 a 2 z E ; ; z ; M  ; ; . O N  2 2   2 4 2 a  3a 2 z  a 2  x A B y có MN =  ;0;  , BD =  0; − ;0  .  4 4  4  + MN .BD = 0 ⇒ MN ⊥ BD. a 2 + Kho ng cách gi a MN và AC là d ( MN , AC ) = . 4 Bài 5. (Trích H Kh i D năm 2007). Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình thang, o ABC = BAD = 90 , AB = BC = a, AD = 2a. C nh bên SA vuông góc v i áy là SA = a 2. G i H là hình chi u c a A trên SB. Ch ng minh r ng tam giác SCD vuông và tính (theo a) kho ng cách t H n m t ph ng (SCD). G i ý: 7
Ch n h tr c t a Oxyz sao cho O ≡ A, tia Ox ch a B, tia z Oy ch a D và tia Oz ch a S (xem hình v ). S ( ) A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0; 2a;0 ) , S 0;0; a 2 . Tìm  2a a 2  ư c H  ;0; .  3 3  H A 2a Phương trình m t ph ng (SCD) là: x + y + 2 z − 2a = 0. a D y a B Kho ng cách t H n (SCD) là d ( H ,( SCD) ) = . a C 3 x Bài 6. (Trích H Kh i B năm 2008). Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh 2a, SA = a, SB = a 3 và m t ph ng (SAB) vuông góc v i m t ph ng áy. G i M, N l n lư t là trung i m c a các c nh AB, BC. Tính theo a th tích c a kh i chóp S.BMDN và tính cosin c a góc gi a hai ư ng th ng SM, DN. G i ý: G i O là hình chi u c a S trên AB. Ta có: z a 3 a 3a S SO = , OA = , OB = . 2 2 2 Ch n h tr c t a Oxyz sao cho tia Ox ch a A, tia Oy vuông góc v i AB và tia Oz ch a S (xem hình v ). Khi a ó: B N C a   3a   3a  a  M A  ;0;0  , B  − ;0;0  , C  − ;2a;0  , D  ;2a;0  , 2   2   2  2  A O y  a 3  a   3a  x 2a D S  0;0;  , M  − ;0;0  , N  − ; a;0  .  2   2   2  a3 3 + Th tích c a kh i chóp S.BMDN là VS . BMDN = . 3 5 + cosin c a góc gi a hai ư ng th ng SM, DN là cos( SM , DN ) = . 5 Bài 7. (Trích H Kh i A năm 2009). Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang vuông t i A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABCD) b ng 60o . G i I là trung i m c a c nh AD. Bi t hai m t ph ng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD), tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a. G i ý: T gi thi t suy ra SI ⊥ ( ABCD ). t SI = z > 0. z Ch n h tr c t a Oxyz sao cho O ≡ I , tia Ox ch a D, S tia Oy vuông góc v i AB và tia Oz ch a S (xem hình v ). Khi ó: A ( −a;0;0 ) , B ( −a; 2a;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( a;0;0 ) , S ( 0;0; z ) . + T gi thi t góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABCD) A 2a B 3a 15 b ng 60o ta tìm ư c z = . 5 I 3 2a 3a 15 y + Th tích kh i chóp S.ABCD là VS . ABCD = . D a 5 C x 8
Bài 8. (Trích H Kh i A năm 2010). Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a. G i M và N l n lư t là trung i m c a các c nh AB và AD; H là giao i m c a CN v i DM. Bi t SH vuông góc v i m t ph ng (ABCD) và SH = a 3. Tính th tích kh i chóp S.CDNM và tính kho ng cách gi a hai ư ng th ng DM và SC theo a. G i ý: Trư c h t ch ng minh ư c DM ⊥ CN . z 1 1 1 4 1 5 a 5 S + = + = + = ⇒ DH = . HD 2 DN 2 DC 2 a 2 a 2 a 2 5 a 5 3a 5 + DM = ⇒ HM = DM − DH = . 2 10 a 5 2a 5 + HN = ;.HC = . 10 5 B C + Ch n h tr c t a Oxyz sao cho O ≡ H , tia M Ox ch a N, tia Oy ch a D và tia Oz ch a S (xem hình H a v ). Khi ó: A a 5   a 5   2a 5  N D N ;0;0  , D  0; ;0  , C  − ;0;0  , x y  10   5   5   3a 5  M  0; − 10 ( ) ;0  , S 0;0; a 3 .   5a 3 3 + Th tích kh i chóp S.CDNM là VS .CDNM = . 24 2a 57 + Kho ng cách gi a hai ư ng th ng DM và SC là: d ( DM , SC ) = . 19 Bài 9. (Trích H Kh i D năm 2010). Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a. c nh bên SA = a, hình chi u vuông góc c a nh S trên m t ph ng (ABCD) là i m H thu c o n AC, AC AH = . G i CM là ư ng cao c a tam giác SAC. Ch ng minh M là trung i m SA và tính th tích kh i 4 t di n SMBC theo a. G i ý: + Ch n h tr c t a Oxyz sao cho O ≡ H , tia z Ox song song v i tia AB, tia Oy song song v i tia S AD và tia Oz ch a S (xem hình v ). Khi ó: 2 2 2 a 2 2 a 14 SH = SA − AH = a −   = do ó M  4  4 a  a a   3a a   3a 3a  A  − ; − ;0  , B  ; − ;0  , C  ; ;0  , A D  4 4   4 4   4 4  a  a 3a   a 14  H y D  − ; ;0  , S  0;0; .  4 4   4  B C x Ta có SC = SH 2 + CH 2 = a 2 = AC nên tam giác SAC cân t i C do ó M là trung i m SA. Suy ra  a a a 14  a 3 14 M − ;− ;  . Th tích kh i chóp S.BMC là VS . BMC = .  8 8 8  48 9
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là bình hành, AD = 4a, các c nh bên c a hình chóp b ng nhau và b ng a 6 . Tìm côsin c a góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (SCD) khi th tích c a kh i chóp S.ABCD l n nh t. G i ý: + G i O là giao i m c a AC và BD; M,N l n lư t là z AB và AD. T gi thi t suy ra S SO ⊥ AC   ⇒ SO ⊥ ( ABCD) SO ⊥ BD  và OA = OB = OC = OD = 6a 2 − SO 2 nên ABCD là hình ch nh t. t ON = x > 0. Khi ó OA = x 2 + 4a 2 . B C SO = SA2 − OA2 = 2a 2 − x 2 . x M O + Th tích kh i chóp S.ABCD là 1 8 A VS . ABCD = AB. AD.SO = ax 2a 2 − x 2 . N 4a D 3 3 y 8 + B ng cách xét hàm s ( ) f ( x) = ax 2a 2 − x 2 v i x ∈ 0; a 2 ho c áp d ng b t ng th c Cauchy ta suy 3 ra VS . ABCD l n nh t khi và ch khi x = a. Suy ra SO = a. Ch n h tr c t a Oxyz như hình v . Khi  a   a   a  ó: B  2a; − ;0  , C  −2a; − ;0  , D  −2a; ;0  , S ( 0;0; a ) .  2   2   2  2 G i ϕ góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (SCD) thì cos ϕ = . 5 ***** 10
3. Hình lăng tr tam giác Bài 1. (Trích D b 1- H Kh i A năm 2007). Cho hình lăng tr ng ABC. A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và BAC = 120o. G i M là trung i m c a c nh CC1. Ch ng minh MB ⊥ MA1 và tính kho ng cách t i m A n m t ph ng ( A1 BM ). Gi i: a) K AO ⊥ BC. Ta có z BC = a 2 + 4a 2 − 2.a.2a cos120o = a 7. B1 C1 AB. AC.sin120o a 21 AO.BC = AB. AC.sin120o ⇒ AO = = . BC 7 21a 2 2a 7 A1 2 2 2 OB = AB − AO = a − = ; 49 7 5a 7 OC = BC − OB = . 7 y Ch n h t a Oxyz như hình v . Khi ó  a 21   2a 7  B A ;0;0  , B  0; ;0  , a  7   7  2a  5a 7   a 21  A M  0; − ; a 5  , A1  ;0; 2a 5  . x  7   7   a 21 5a 7  Ta có MA1 =  ; ( ) ; a 5  , MB = 0; a 7; − a 5 .  7 7  MA1.MB = 5a − 5a = 0 ⇒ MA1 ⊥ MB ⇒ MA1 ⊥ MB. 2 2  2a 7  b) Phương trình m t ph ng ( A1BM ) là: 12 5 x − 15  y −  − 21z = 0.  7  a 5 Kho ng cách t A n ( A1BM ) là: d ( A,( A1BM ) ) = . 3 Bài 2. (Trích d b 2 – H Kh i D năm 2007). Cho lăng tr ng ABC. A1B1C1 có t t c các c nh u b ng a, M là trung i m c a o n AA1 . Ch ng minh BM ⊥ B1C và tính kho ng cách gi a hai ư ng th ng BM và B1C. G i ý: G i O là trung i m BC và chon h tr c t a Oxyz có tia Ox ch a z A, tia Oy ch a C và tia Oz ch a trung i m c a B1C1 (xem hình v ). B1 C1 Khi ó: a 3 a A1  a   a   a  B  0; − ;0  , C  0; ;0  , M  ;0;  vµ B1  0; − ; a  . a  2   2   2 2  2  a 3 a a O Ta có BC = ( 0; a;0 ) , BM =  ; ;  , B1C = ( 0; −a;0 ) .  2 2 2 B C y 2 2 a a a a + BM .B1C = − + = 0 ⇒ BM ⊥ B1C. A 2 2 x a3 3  2 a 3 a 3 2  BM , B1C  .BC   a 30 +  BM , B1C  =  a 2 ; −   ;− . d ( BM , B1C ) = = 22 = .  2 2   BM , B1C  a 10 10   11 2
Bài 3. (Trích thi tuy n sinh H Kh i D năm 2009). Cho hình lăng tr ng ABC. A ' B ' C ' có áy ABC là tam giác vuông t i B, AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a. G i M là trung i m c a o n th ng A ' C ' , I là giao i m c a AM và A ' C . Tính theo a th tích c a kh i t di n IABC và kho ng cách t i m A n m t ph ng (IBC). Gi i: Ta có z AC = A ' C 2 − AA '2 = a 5; BC = AC 2 − AB 2 = 2a. B' C' Ch n h tr c t a Oxyz sao cho O ≡ B, tia Ox ch a A, tia M Oy ch a C và tia Oz ch a B’ (xem hình v ). Khi ó: A' a  I B (0;0;0), A(a;0;0), C (0;2a;0), M  ; a;2a  . 2  3a  2a 2a 4a  2a B G i I ( x; y; z ) , vì IA = −2 IM ⇒ I  ; ;  .  3 3 3  a C y Th tích kh i t di n IABC là: 3 3 1  . BI = 1 . 8a = 4a . A VIABC =  BA, BC  6 6 3 9 x  2 2   BI , BC  =  − 8a ;0; 4a  cùng phương v i + G i n là vectơ pháp tuy n c a m t ph ng (IBC). Khi ó n =    3 3  n ' = ( −2;0;1) . M t ph ng (IBC) i qua B và có vectơ pháp tuy n n ' = ( −2;0;1) nên có phương trình: | −2a | 2a 5 −2 x + z = 0. V y kho ng cách t A n (IBC) là d ( A,( IBC ) ) = = . (−2)2 + 1 5 Bài 4. (Trích thi tuy n sinh H Kh i A năm 2008). Cho hình lăng tr ABC. A ' B ' C ' có dài c nh bên b ng 2a, áy ABC là tam giác vuông t i A, AB = a, AC = a 3 và hình chi u vuông góc c a nh A trên m t ph ng (ABC) là trung i m c a c nh BC. Tính theo a th tích kh i chóp A '. ABC và cosin c a góc gi a hai ư ng th ng AA ' và B ' C '. Gi i: + G i O là trung i m BC, H là trung i m AB, K là trung z i m AC thì OHAK là hình ch nh t. Ta có: B' C' BC BC = AB 2 + AC 2 = 2a, OA = = a, 2 A' OA ' = AA '2 − OA2 = 4a 2 − a 2 = a 3. 2 a2 a 3 2 2 OH = OA − AH = a − = ; 4 2 O B C 2 2 2 3a2 a H OK = OA − AK = a − = . K 4 2 x A y + Ch n h tr c t a Oxyz sao cho tia Ox ch a H, tia Oy ch a K và tia Oz ch a A’ (xem hình v ). Khi ó: a 3 a  a 3 a   a 3 a  ( ) A ' 0;0; a 3 , A  ; ;0  , B  ; − ;0  , C  − ; ;0  .  2 2   2 2   2 2  1 1 3a 3 3a 3 a 3 + Th tích kh i chóp A '. ABC là VA '. ABC =  A ' A, A ' B  . A ' C = − − = . 6  6 2 2 2 AA '.BC 1 ( ) + BC = −a 3; a;0 . G i ϕ là góc gi a AA ' và B ' C '. Khi ó: cos ϕ = cos( AA ', BC ) = = . AA '.BC 4 12
Bài 5. Cho hình lăng tr tam giác ABC. A ' B ' C ' có áy ABC là tam giác vuông t i B, góc ACB = 60o , bi t r ng AA ' = BA ' = a 7, m t bên ( ABB ' A ') vuông góc v i m t ph ng (ABC). M t ph ng ( ACC ' A ') t o v i (ABC) m t góc 60o. Tính th tích kh i lăng tr ã cho. G i ý: + G i O là trung i m AB, M là trung i m AC. Khi ó A ' O ⊥ AB, A ' O ⊥ OM , OM ⊥ AB. x t OA = x > 0, khi ó OA ' = 7 a 2 − x 2 ; OM = . 3 + Ch n h tr c t a Oxyz sao cho tia Ox ch a A, tia Oy z ch a M và tia Oz ch a A’ (xem hình v ). Khi ó: A' C'  x  A( x;0;0), M  0,  3  ( ) ;0  , A ' 0;0; 7 a 2 − x 2 . B' 1 Theo gi thi t thì cos ϕ = ⇒ x = 2a. 2 x y 4a A M Suy ra AB = 4a, BC = ; OA ' = a 3. Th tích kh i lăng tr C 3 O ã cho là 1 1 4a B V = S ABC .OA ' = AB.BC.OA ' = .4a. .a 3 = 8a 3 . 2 2 3 Bài 6. (Trích d b 1 – H Kh i D năm 2007). Cho lăng tr ng ABC . A1B1C1 áy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA1 = a 2. G i M, N l n lư t là trung i m c a o n AA1 và BC1 . Ch ng minh MN là ư ng vuông góc chung c a AA1 và BC1 . Tính th tích kh i chóp MA1 BC1. G i ý: + Ch n h tr c t a Oxyz sao cho O ≡ A , tia Ox ch a B, z tia Oy ch a C và tia Oz ch a A’ (xem hình v ). Khi ó: C1 A1 ( ) ( ) B ( a;0;0 ) , C ( 0; a;0 ) , A1 0;0; a 2 , B1 a;0; a 2 ,  a 2 a a a 2 B1 ( ) C1 0; a; a 2 , M  0;0; , N  ; ; 2  2 2 2  .  M a a  N ( ) ( + MN =  ; ;0  , AA1 = 0;0; a 2 , BC1 = − a; a; a 2 . 2 2  ) a MN . AA1 = 0   A C y  ⇒ MN ⊥ AA1 và MN ⊥ BC1 do ó MN là a MN .BC1 = 0  B ư ng vuông góc chung c a AA1 và BC1 . x a3 2 Tính th tích kh i chóp MA1BC1 là VMA1BC1 = . 12 Bài 7. (Trích thi tuy n sinh H Kh i D năm 2008). Cho lăng tr ng ABC. A ' B ' C ' có áy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA ' = a 2. G i M trung i m c a c nh BC. Tính theo a th tích c a kh i lăng tr ABC. A ' B ' C ' và kho ng cách gi a hai ư ng th ng AM , B ' C. G i ý: + Ch n h tr c t a Oxyz sao cho O ≡ B , tia Ox ch a A, tia Oy ch a C và tia Oz ch a B’ (xem hình v ). Khi ó:  a  ( ) ( ) ( ) A ( a;0;0 ) , B ( 0;0;0 ) , C ( 0; a;0 ) , A ' a;0; a 2 , B ' 0;0; a 2 , C ' 0; a; a 2 , M  0; ;0  .  2  + Th tích c a kh i lăng tr ABC. A ' B ' C ' là V = a3 2. 13
+ Ta có: z  a  B' C' ( ) ( AM =  −a; ;0  , B ' C = 0; a; − a 2 , AB ' = −a;0; a 2 .  2  )  a2 2  A'  AM , B ' C  =  − ; − a 2 2; −a 2  .   2   + Kho ng cách gi a hai ư ng th ng AM , B ' C là  AM , B ' C  . AB ' a 7 B a M C   y d ( AM , B ' C ) = = . a  AM , B ' C  7   A x Bài 8. (Trích thi tuy n sinh H Kh i B năm 2009). Cho lăng tr ABC. A ' B ' C ' có BB ' = a ; góc gi a ư ng th ng BB’ và m t ph ng (ABC) b ng 60o ; tam giác ABC vuông t i C và BAC = 60o . Hình chi u vuông góc c a i m B’ lên m t ph ng (ABC) trùng v i tr ng tâm c a tam giác ABC. Tính th tích kh i t di n A ' ABC theo a. G i ý: G i G là tr ng tâm tam giác ABC. t AC = x , suy A' B' z ra BC = x 3, AC = 2 x. Ch n h tr c t a Oxyz như hình v . Ta có x x 3  C' ( ) A ( x;0;0 ) , B 0; x 3;0 , C ( 0;0;0 ) , G  ; ;0  . 3 3   x −2 x 3  x 13 x a y BG =  ; ;0  ⇒ BG = A 3 3  3 B 13x 2 G ⇒ GB ' = a 2 − . 9 C 3a 13 S d ng gi thi t góc gi a BB’ và m t ph ng (ABC) b ng B ' BO = 60o suy ra x = . 26 3a 13 3a 39 a 3 9a 3 V y AC = ; BC = ; OB ' = . Th tích kh i t di n A ' ABC là VA ' ABC = . 26 26 2 208 Bài 9. (Trích thi tuy n sinh H Kh i B năm 2010). Cho lăng tr tam giác u ABC. A ' B ' C ' có AB = a , góc gi a (A’BC) và (ABC) b ng 60o . G i G là tr ng tâm tam giác A’BC. Tính th tích kh i lăng tr ã cho và tính bán kính m t c u ngo i ti p t di n GABC theo a. G i ý: G i O là trung i m BC. Ch n h tr c t a Oxyz sao cho, tia z Ox ch a A, tia Oy ch a B và tia Oz song song v i tia AA’ (xem A' C' a 3   a   a  hình v ). Khi ó: A  ;0;0  , B  0; ;0  , C  0; − ;0   2   2   2  B'  a 3 3a   a 3 a  A ' ;0;  , G  ;0;  . G  2 2   6 2 x C a3 3 A Th tích kh i lăng tr ã cho là: VABC . A ' B ' C ' = . 8 O 7a B Bán kính m t c u ngo i ti p t di n GABC là R = . y 12 14
K2pi.net - 2013: Cho hình lăng tr ng ABC.A’B’C’ có BC = 2AB, AB ⊥ BC . G i M, N l n lư t là 2a trung i m c a A'B' và BC. Kho ng cách gi a hai ư ng th ng AM và B'C b ng . Góc gi a hai m t 7 ph ng (AB'C) và (BCC'B') b ng 60o. Tính th tích kh i chóp MABC và bán kính m t c u ngo i ti p kh i chóp B'ANC theo a. Gi i: z Ch n h tr c t a Oxyz như hình v v i g c t a O trùng A' C' i m B. t AB = x (x>0) thì BC = 2x. M Ta có B(0; 0; 0), C(2x; 0; 0), A(0; x; 0), N(x; 0; 0) x B' A'(0; x; y) (y>0), B'(0; 0; y), C'(2x; 0; y), M(0; ; y). 2 y  x  x AM =  0; − ; y  , B ' C = ( 2 x;0; − y )  2  A C  xy  ⇒  AM; B ' C  =  ;2 xy; x 2     2 N  AC = ( 2 x; − x;0 ) B  AM; B ' C  . AC −x2y   2a xy a d ( AM, B ' C ) = ⇔ = ⇔ = (1)  AM; B ' C  x 2 y2 4 x 2 + 17 y 2 7 7   2 2 + 4x y + x 4 4 AB ' = ( 0; − x; y ) và AC = ( 2 x; − x;0 ) nên  AB ', AC  = xy;2 xy;2 x 2 nên (AB'C) có vectơ pháp tuy n là   ( ) n = ( y;2 y;2 x ) (vì n cùng phương v i  AB ', AC  ) và (BCC'B') có vectơ pháp tuy n là j = ( 0;1;0 ) .   n. j 1 2y 11 cos ( ( AB ' C),( BCC ' A ') ) = ⇔ = ⇔ 5 y 2 + 4 x 2 = 16 y 2 ⇔ x = y (2) n j 2 2 5y + 4 x 2 2 4a Th (2) vào (1), gi i phương trình ta ư c k t qu y = và x = 2 a . 11 1 1  4 a 16 11a 3 V y VMABC = S ABC .AA'=  .2 a.4 a  . = ☺ 3 2  11 33 • Tính bán kính m t c u ngo i ti p kh i chóp B'ANC theo a Phương trình m t c u (S) ngo i ti p kh i chóp B'ANC có d ng: ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2a1 x + 2by + 2cz + d = 0 v i tâm T ( −a1 ; −b; −c ) , R = a12 + b 2 + c 2 − d Vì B', A, N, C thu c m t c u (S) nên t a c a chúng th a phương trình m t c u, ta có h : 16 2 8 11 a1 = −3a  a + a.c + d = 0   11 11 b = −3a 4 a2 + 4a.b + d = 0  31  ⇔ 13a ⇒ R = 3a . ☺ 4 a2 + 4a.a + d = 0 c = − 11 11  1  16a + 8a.a1 + d = 0  2  d = 8a 2  15
4. Lăng tr t giác Bài 1. (Trích thi tuy n sinh H Kh i B năm 2011). Cho lăng tr ABCD. A1B1C1D1 có áy ABCD là hình ch nh t, AB = a, AD = a 3 . Hình chi u vuông góc c a i m A1 trên m t ph ng (ABCD) trùng v i giao i m c a AC và BD. Góc gi a hai m t ph ng ( ADD1 A1 ) và ( ABCD) b ng 60o . Tính th tích kh i lăng tr ã cho và kho ng cách t i m B1 n m t ph ng ( A1BD ) theo a. G i ý: G i O là giao i m c a AC và BD. Ch n h tr c t a B1 z C1 Oxyz như hình v . Khi ó: a 3 a  a 3 a   a 3 a  A ; ;0  , B  ; − ;0  , C  − ; − ;0  , A1 D1  2 2   2 2   2 2   a 3 a  D − ; ;0  .  2 2  T gi thi t góc gi a hai m t ph ng ( ADD1 A1 ) và   B C ( ABCD ) b ng 60o tìm ư c A1  0;0; a 3  . a O  2  x   Suy ra B1  0; −a; a 3  . A D  2  y 3a 3 Th tích kh i lăng tr ã cho là VABCD. A1B1C1D1 = . 2 a 3 Kho ng cách t i m B1 n m t ph ng ( A1BD ) là d ( B1 ,( A1BD) ) = . 2 D12: Cho hình h p ng ABCD.A’B’C’D’ có áy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính th tích c a kh i t di n ABB’C’ và kho ng cách t i m A n m t ph ng (BCD’) theo a. Gi i: z a a T gi thi t ta tính ư c AC = AA ' = và AB = . A' B' 2 2 Ch n h tr c t a Oxyz như hình v v i g c t a O trùng v i D' C' i m A.  a  a a  a  Ta có: A(0;0;0), B  0; ;0  , C  ; ;0  , D  ;0;0   2  2 2  2  A y  a   a a  a a a  a a  B A '  0;0;  , B '  0; 2 ;  , C ' 2 ; 2 ;  , D '  2 ;0;  D  2  2  2  2 x C  a   a a  a a a  AB =  0; ;0  ; AB ' =  0; ;  ; AC ' =  2 ; 2 ; .  2   2 2  2  2  3 3  AB; AB ' =  a ;0;0  ⇒  AB; AB ' . AC ' = a ⇒ VABB ' C ' = 1  AB; AB ' . AC ' = 2 a .   2 2    4 2 6  48  a   a a   a2 a2  • CB =  − ;0;0  , CD ' =  0; − ; ⇒ CD; CD '  =  0; ( ;  ⇒ n = 0; 2;1 là VTPT c a m t )  2   2 2     2 2 4  a 2 2.0 + 0 − a 2 2 a 6 ph ng (BCD’) nên (BCD’): 2 y + z − = 0 ⇒ d ( A,( BCD ') ) = = .☺ 2 ( 2)2 + 12 6 H T 16