Một số tính chất trên đồ thị ước của không của vành Z2n

Chia sẻ: Tony Tony | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

0
1
lượt xem
0
download

Một số tính chất trên đồ thị ước của không của vành Z2n

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo giới thiệu khái niệm đồ thị ước của không của một vành R (không nhất thiết giao hoán) và đưa ra một số tính chất của đồ thị ước của không của vành Z2n .

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Một số tính chất trên đồ thị ước của không của vành Z2n

Trường Đại học Vinh<br /> <br /> Tạp chí khoa học, Tập 46, Số 2A (2017), tr. 5-20<br /> <br /> MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRÊN ĐỒ THỊ ƯỚC CỦA KHÔNG CỦA VÀNH Z2n<br /> Lê Văn An, Nguyễn Thị Hải Anh, Nguyễn Thị Thu Hằng<br /> Khoa Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Hà Tĩnh<br /> Ngày nhận bài 29/5/2017, ngày nhận đăng 19/10/2017<br /> <br /> Tóm tắt: Bài báo giới thiệu khái niệm đồ thị ước của không của một vành R<br /> (không nhất thiết giao hoán) và đưa ra một số tính chất của đồ thị ước của không<br /> của vành Z2n .<br /> <br /> 1<br /> <br /> Đặt vấn đề<br /> <br /> Trong toàn bộ bài báo này, chúng tôi quan tâm xem xét các vành R hữu hạn, kết hợp<br /> và có đơn vị. Ký hiệu Zn để chỉ vành các lớp thặng dư môđulô n. Cho đại lượng s và tập<br /> hợp hữu hạn X, ký hiệu Max{s}, card(X) lần lượt là giá trị lớn nhất của s và số phần tử<br /> của tập hợp X. Cho số thực x, khi đó [x] là ký hiệu phần nguyên của x, tức<br />  nguyên<br />  là số<br /> n<br /> là số tổ<br /> lớn nhất không vượt quá x. Với hai số tự nhiên k, n trong đó k ≤ n, ký hiệu<br /> k<br /> hợp chập k của n phần tử. Cho hai số nguyên dương a, b, ký hiệu ước chung lớn nhất của<br /> chúng là gcd(a, b). Cho vành R, phần tử x ∈ R, x 6= 0 được gọi là ước của không trái (left<br /> zero divisior) của vành R nếu tồn tại phần tử y 6= 0 sao cho xy = 0. Phần tử x ∈ R, x 6= 0<br /> được gọi là ước của không phải (right zero divisior) của vành R nếu tồn tại phần tử z 6= 0<br /> sao cho zx = 0. Phần tử x là ước của không trái (hoặc phải ) của vành R đều được gọi là<br /> ước của không (zero divisior). Phần tử x ∈ R được gọi là ước của không hai phía (left and<br /> right zero divisior) của vành R, nếu nó vừa là ước của không trái và phải của R. Chẳng<br /> hạn, xét R= M2 (Z)<br /> vuông cấp 2 với các phần<br />  là vành các<br />  ma trận <br />  tử trên<br />  vành Z. Xét ma<br /> 1 1<br /> 1<br /> 1<br /> 0 0<br />  và B = <br /> , chúng ta có AB = <br /> . Do đó A là ước<br /> trận A = <br /> 2 2<br /> −1 −1<br /> 0 0<br /> của không trái của M2 (Z) và B là ước của không phải của M2 (Z). Trên vành<br /> R = M2<br /> (Z2 )<br /> 1 1<br />  là<br /> là vành các ma trận vuông cấp 2 với các phần tử trên vành Z2 , phần tử C = <br /> 1 1<br /> <br /> <br /> 0 0<br /> .<br /> ước của không hai phía của vành R vì C 2 = <br /> 0 0<br /> Dĩ nhiên, nếu R là vành giao hoán thì các khái niệm ước của không trái (hoặc phải)<br /> trùng với khái niệm ước của không hai phía. Mặt khác nếu R = Zn là vành các lớp thặng<br /> 1)<br /> <br /> Email: an.levan@htu.edu.vn (L. V. An).<br /> <br /> 5<br /> <br /> Lê Văn An, Nguyễn Thị Hải Anh, Nguyễn Thị Thu Hằng/ Một số tính chất trên đồ thị ước của...<br /> <br /> dư môđulô n với n ≥ 2, thì số ước của không bằng n − 1 − ϕ(n) trong đó ϕ(n) là giá trị<br /> phi hàm Euler của n. Lưu ý rằng, nếu n có sự phân tích tiêu chuẩn ra thừa số nguyên tố<br /> n = pα1 1 pα2 2 ...pαk k (trong đó p1 , p2 , ..., pk là k số nguyên tố khác nhau và α1 , α2 , ..., αk là k<br /> số nguyên dương) thì ϕ(n) = n(1 − p11 )(1 − p12 )(1 − p1k ). Do đó nếu m = 2n (n ≥ 2) thì<br /> ϕ(m) = 2n−1 . Định nghĩa, tính chất và ví dụ về ước của không của một số lớp vành có thể<br /> tìm thấy trong [4], [7].<br /> Năm 1999, trong [3], D. F. Anderson và P. S. Livingston đã sử dụng khái niệm đồ thị<br /> để biểu diễn các ước của không của vành giao hoán hữu hạn R. Trong bài báo đó, tập đỉnh<br /> của đồ thị chính là các ước của không của vành, các cạnh nối với nhau dựa theo quan hệ<br /> phép nhân trong vành (nghĩa là nếu xy = 0 thì đỉnh x nối được với đỉnh y); như vậy khái<br /> niệm ước của không được nghiên cứu theo quan điểm tổ hợp với đồ thị là khái niệm trọng<br /> tâm trong Hình học tổ hợp. Lưu ý rằng, trong bài báo [3], các tác giả xét đến các ước của<br /> không trên vành R với điều kiện xy = 0 nhưng x 6= y, do đó đồ thị được xây dựng sẽ không<br /> xuất hiện các khuyên (tức là các điểm tự nối với chính nó). Hiện nay, nghiên cứu đại số<br /> thông qua tổ hợp và ngược lại là những vấn đề thời sự được nhiều tác giả quan tâm (xem<br /> [1], [2], [3], [6] ...).<br /> Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu khái niệm đồ thị ước của không cho vành R<br /> không nhất thiết giao hoán và các phần tử xy = 0 xét đến cả trường hợp x không nhất thiết<br /> khác y. Do đó đồ thị được biểu diễn sẽ xuất hiện các khuyên ứng với trường hợp x2 = 0.<br /> Như vậy, điểm khác biệt của bài báo này với các nghiên cứu trước đó (bao gồm các kết<br /> quả của trên vành giao hoán và vành không giao hoán) chính là sự xuất hiện các khuyên<br /> trên đồ thị ước của không. Trong mục 2, chúng tôi xây dựng các ví dụ về đồ thị ước của<br /> không của vành không giao hoán. Trong mục 3, chúng tôi xây dựng các ví dụ về đồ thị ước<br /> của không của vành giao hoán nhưng tập trung vào lớp vành Z2n với n là số nguyên dương<br /> không nhỏ hơn 2. Trong mục 4, chúng tôi quan tâm đến các tính chất như số đỉnh, số cạnh,<br /> số các đồ thị con của đồ thị ước của không ứng với vành Z2n .<br /> <br /> 2<br /> <br /> Đồ thị ước của không của vành không giao hoán<br /> <br /> Một đồ thị có hướng (directed graph) là một bộ gồm 4 thành phần G = G(V, E, r, s)<br /> trong đó V là tập các đỉnh (vertices), E là tập các cạnh (edges) và r, s : E −→ V là các<br /> ánh xạ từ tập các cạnh đến tập các đỉnh. Nếu e ∈ E là một cạnh thì s(e), r(e) lần lượt là<br /> điểm đầu và điểm cuối của cạnh e.<br /> Trong trường hợp s(e) = r(e) = v thì ta nói G là đồ thị có khuyên (loop) và e được gọi<br /> là một khuyên của G. Một đường có hướng (directed path) µ = e1 e2 ...ek của đồ thị G (gọi<br /> tắt là đường (path)) là một dãy liên tiếp các cạnh e1 , e2 , ..., ek ∈ E sao cho r(ei ) = s(ei+1 ),<br /> với mọi i = 1, 2, ..., k − 1. Khi đó gọi s(µ) = s(e1 ) là điểm gốc của đường µ, r(µ) = r(ek )<br /> là điểm ngọn của µ và k = l(µ) được gọi là độ dài của µ. Trong trường hợp s(µ) = r(µ)<br /> và s(ei ) 6= s(ej ) với mọi i, j = 1, 2, ..., k − 1, i 6= j, ta nói µ là một chu trình (cycle). Ta gọi<br /> 6<br /> <br /> Trường Đại học Vinh<br /> <br /> Tạp chí khoa học, Tập 46, Số 2A (2017), tr. 5-20<br /> <br /> một khuyên là một chu trình tầm thường; một chu trình không là khuyên được gọi là một<br /> chu trình không tầm thường (non-trivial cycle). Các khái niệm này có thể tìm thấy trong<br /> các tài liệu [1], [6].<br /> Ví dụ 1. Xét đồ thị An là đường thẳng định hướng như hình vẽ.<br /> <br /> Hình 1: Đường thẳng định hướng (An )<br /> Đồ thị trong hình 1 có V = {v1 , v2 , ..., vn }, E = {e1 , e2 , ..., en−1 } và s(e1 ) = v1 , r(e1 ) =<br /> v2 , ..., s(en−1 ) = vn−1 , r(en−1 ) = vn .<br /> Ví dụ 2. Xét đồ thị như hình vẽ:<br /> <br /> Hình 2:<br /> Đồ thị trong hình 2 có tập các đỉnh {A, B, C, D, E}, tập các cạnh {a, b, c, d, e} và có thể<br /> kể tên một số đường như µ = ab, λ = edcb nhưng không có chu trình nào.<br /> Ví dụ 3. Xét đồ thị như hình vẽ:<br /> <br /> Hình 3:<br /> <br /> 7<br /> <br /> Lê Văn An, Nguyễn Thị Hải Anh, Nguyễn Thị Thu Hằng/ Một số tính chất trên đồ thị ước của...<br /> <br /> Đồ thị trong hình 3 xuất hiện chu trình ee∗ .<br /> Cho vành R không giao hoán. Đồ thị G = G(V, E, r, s), được gọi là đồ thị ước của không<br /> (zero divisior graph) của vành R nếu tập đỉnh V của G là tập tất cả các ước của không<br /> trái và ước của không phải của vành R, tập cạnh E của G thoả mãn tính chất với a ∈ E<br /> là đường có hướng nối giữa hai đỉnh x, y ∈ V (trong đó x là ước của không trái và y là ước<br /> của không phải của vành R) sao cho xy = 0 (chú ý rằng vì R không giao hoán nên yx có<br /> thể khác không), tức là s(a) = x, r(a) = y.<br /> Ví dụ 4. Xét T2 (Z2 ) là vành các ma trận tam giác trên cấp 2 của vành Z2<br /> . Vành này<br /> <br /> 1 0<br /> ,<br /> có 8 phần tử trong đó có 5 phần tử là ước của không. Đó là các ma trận v1 = <br /> 0 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0 1<br /> 1 1<br /> 0 0<br /> 0 1<br />  , v3 = <br />  , v4 = <br />  , v5 = <br />  . Ta thấy v1 v4 = 0,<br /> v2 = <br /> 0 0<br /> 0 0<br /> 0 1<br /> 0 1<br /> v2 v1 = 0, v2 v2 = 0, v2 v3 = 0, v3 v5 = 0, v4 v1 = 0, v4 v2 = 0, v4 v3 = 0, v5 v1 = 0, v5 v2 = 0,<br /> v5 v3 = 0. Do đó đồ thị ước của không của T2 (Z2 ) là:<br /> <br /> Hình 4:<br /> Đồ thị này có 1 khuyên và có các chu trình không tầm thường chẳng hạn chu trình nối<br /> lần lượt các đỉnh v2 v3 v5 . Đây là một chu trình có độ dài bằng 3. Có thể thấy còn có chu<br /> trình nối hai đỉnh v1 v4 với độ dài 2.<br /> 8<br /> <br /> Trường Đại học Vinh<br /> <br /> Tạp chí khoa học, Tập 46, Số 2A (2017), tr. 5-20<br /> <br /> Ví dụ 5. Xét M2 (Z2 ) là vành các ma trận vuông cấp 2 của vành Z2 .<br /> Vành này<br />  có 16<br /> 1 0<br /> ,<br /> phần tử trong đó có 9 phần tử là ước của không. Đó là các ma trận v1 = <br /> 0 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0 1<br /> 0 0<br /> 0 0<br /> 1 1<br /> 0 0<br />  , v3 = <br />  , v4 = <br />  , v5 = <br />  , v6 = <br /> ,<br /> v2 = <br /> 0 0<br /> 1 0<br /> 0 1<br /> 0 0<br /> 1 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1 0<br /> 0 1<br /> 1 1<br />  , v8 = <br />  , v9 = <br />  . Ta thấy v1 v3 = 0, v1 v4 = 0, v1 v6 =<br /> v7 = <br /> 1 0<br /> 0 1<br /> 1 1<br /> 0,<br /> v2 v1 = 0, v2 v2 = 0, v2 v5 = 0, v3 v3 = 0, v3 v4 = 0, v3 v6 = 0, v4 v1 = 0, v4 v2 = 0, v4 v5 = 0,<br /> v5 v7 = 0, v5 v8 = 0, v5 v9 = 0, v6 v7 = 0, v6 v8 = 0, v6 v9 = 0, v7 v3 = 0, v7 v4 = 0, v7 v6 = 0,<br /> v8 v1 = 0, v8 v2 = 0, v8 v5 = 0, v9 v7 = 0, v9 v8 = 0, v9 v9 = 0. Do đó đồ thị ước của không<br /> của M2 (Z2 ) là:<br /> <br /> Hình 5:<br /> <br /> Đồ thị này có 3 khuyên và có các chu trình không tầm thường chẳng hạn chu trình nối<br /> lần lượt các đỉnh v1 v4 v2 . Đây là một chu trình có độ dài bằng 3.<br /> 9<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản