intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Nghiên cứu hai phương pháp toán học để xác định mômen quán tính của các vật rắn đồng chất

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST
Báo xấu
21
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Nghiên cứu hai phương pháp toán học để xác định mômen quán tính của các vật rắn đồng chất nghiên cứu các phương pháp toán học khác nhau để xác định mômen quán tính của ba dạng vật rắn đó là dạng: Dài, mặt, khối.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiên cứu hai phương pháp toán học để xác định mômen quán tính của các vật rắn đồng chất

  1. KHOA HỌC – CÔNG NGHỆ NGHIÊN CỨU HAI PHƯƠNG PHÁP TOÁN HỌC ĐỂ XÁC ĐỊNH MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC VẬT RẮN ĐỒNG CHẤT STUDY ON TWO MATHEMATICAL METHODS TO DETERMINE THE OHERENT SYMMETRY OF SOLID OBJECTS Đinh Văn Tình Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp Đến Tòa soạn ngày 12/04/2021, chấp nhận đăng ngày 13/05/2021 Tóm tắt: Mômen quán tính là một đại lượng trong vật lý. Đây được xem như một đại lượng giúp tính toán cho một vật rắn đang trải qua một chuyển động quay quanh một trục cố định. Nó được tính toán dựa trên sự phân bố khối lượng trong vật thể và vị trí của trục quay, do đó, cùng một đối tượng có thể có các giá trị quán tính rất khác nhau tùy thuộc vào vị trí và hướng của trục quay. Ngoài ra mômen quán tính có thể được coi là đại diện cho lực cản của vật thể thay đổi vận tốc góc, tương tự như khối lượng biểu thị khả năng chống lại sự thay đổi vận tốc trong chuyển động tịnh tiến theo các định luật chuyển động của Newton. Từ khóa: Mômen quán tính, vật rắn đồng chất. Abstract: The moment of inertia is a quantity in physics. This is seen as a quantity that helps calculate for a solid body to undergo a rotation around a fixed axis. It is calculated based on the mass distribution in the object and the position of the spindle, so the same object can have very different inertia values depending on the position and direction of the axis of rotation. In addition, the moment of inertia can be considered to represent the resistance of an object changing angular velocity, similar to the mass indicating its resistance to velocity changes in translational motion according to the laws of displacement. Newton's movement. Keywords: Moment of inertia, homogeneous solid. 1. GIỚI THIỆU Vì vậy tác giả đã nghiên cứu các phương pháp toán học khác nhau để xác định mômen quán Mômen quán tính I của một vật quay quanh tính của ba dạng vật rắn đó là dạng: dài, mặt, trục cố định có vai trò quan trọng trong việc khối. tính toán các đại lượng chính trong chuyển động quay như: Mômen lực M  I  , động 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU I 2 năng quay K  và động lượng quay Tác giả sử dụng hai phương pháp toán học 2 của giải tích để chứng minh các công thức L  I . tính mômen quán tính của các vật rắn đồng Việc xác định được mômen quán tính đối với chất. các vật rắn là việc không dễ đặc biệt là những 3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN vật thể có hình dạng, kích thước bất kì. Theo các tài liệu tôi đã biết thì chưa có tài liệu nào Ví dụ 1: Tính mômen quán tính của thanh giải chi tiết cách xác định mômen quán tính đồng chất khối lượng m, chiều dài l, trục quay mà chỉ đưa ra các công thức cho các vật thể. nằm ở một đầu thanh. TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ . SỐ 29 - 2021 37
  2. KHOA HỌC – CÔNG NGHỆ Cách 1: Phương pháp tính tổng, giới hạn: Cách 2: Phương pháp tích phân Mômen quán tính của hệ chất điểm mi đối với Công thức chung để xác định mômen quán trục quay  cách nó một khoảng ri được xác tính của vật thể: I    r 2 dm . k Vr định là: I    mi ri 2 . i 1 Giải: Chia thanh đồng chất thành k phần dx bằng nhau, như vậy mỗi phần có khối lượng m x mi  , phần thứ i tính từ trục quay ra có k Hình 2 (2i  1)l khoảng cách đến trục quay ri  . 2k Vr: Có chiều dài l; khối lượng m; khoảng cách từ dm đến trục quay  là r=x nên tích phân sẽ lấy trên thanh có chiều dài từ 0 đến l. Giải: Chia thanh thành các đoạn nhỏ có chiều dài dx, gọi x là khoảng cách từ dx đến trục quay, dm là khối lượng của dx; dm dx Hình 1 Vì thanh đồng chất nên  , suy ra m l dx dm  m Mômen quán tính của thanh bằng tổng l mômen quán tính của các đoạn tạo nên nó l m ml 2 (các đoạn này có thể xem như một chất điểm I    r 2 dm   x 2 dm   x 2 dx  (2) l 3 khi k tiến đến vô cùng) Vr Vr 0 k Ví dụ 2: Tính mômen quán tính của đĩa tròn I  lim  mi ri 2 mỏng hoặc khối trụ đặc đồng chất. k  i 1 Cách 1: Phương pháp tính tổng, giới hạn (tính Thay các giá trị mi và ri đã tính ở trên ta được mômen quán tính của đĩa tròn mỏng, đồng kết quả: chất). k m (2i  1)2 l 2 I  lim  k  i 1 k 4k 2 12  32  ...  (2k  1) 2 I  lim ml 2 k  4k 3  k (2k  1)(2k  1)   lim ml 2   k   12k 3  (1) Hình 3 Hình 4 4k  k 3  lim ml 2 k  12k 3 ml 2 Giải: Ta sẽ chia đĩa thành k lớp, mỗi lớp dày  R 3 , diện tích lớp thứ i tính từ tâm ra là k 38 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ . SỐ 29 - 2021
  3. KHOA HỌC – CÔNG NGHỆ  iR (i  1) R 2  Áp dụng kết quả trên vào việc tính mômen Si    ( ) 2  ( )  nên khối lượng  k k  quán tính của vật thể chiếm thể tích V có S khối lượng riêng  ( x, y, z ) cách trục quay lớp thứ i tính từ tâm đĩa ra sẽ là mi  m i 2 , R  một khoảng r được xác định: khoảng cách từ tâm đến đường trung bình của I    r 2  ( x, y, z )dxdydz . (2i  1) R lớp là ri  . V 2k Vậy mômen quán tính đối với các trục Ox, Mômen quán tính của đĩa bằng tổng mômen Oy, Oz lần lượt là: quán tính của các các lớp tạo nên nó (các lớp này có thể xem như các vành tròn khi k tiến I x   ( y 2  z 2 ) ( x, y, z )dxdydz k đến vô cùng) I  lim  mi ri 2 V k  i 1 I y   ( x 2  z 2 ) ( x, y, z )dxdydz V Thay các giá trị mi và ri đã tính ở trên ta được  iR (i  1) R 2  I z   ( x 2  y 2 ) ( x, y, z )dxdydz  ( ) 2  ( )   . (2i  1) R 2 2 V  k I  lim  m k k k  i 1  R2 4k 2 Tương tự ta có mômen quán tính đối với các k (2i  1)3 mặt phẳng Oxy, Oyz, Oxz lần lượt là: I  lim mR 2  k  i 1 4k 4 2k 4  2k 2 I Oxy   z 2  ( x, y, z )dxdydz  lim mR 2 (3) V k  4k 4 mR 2 I Oyz   x 2  ( x, y, z )dxdydz  V 2 I Oxz   y 2  ( x, y, z )dxdydz Cách 2: Phương pháp tích phân bội. (Tính V mômen quán tính của khối trụ đặc đồng chất). Mômen quán tính đối với gốc tọa độ của vật Các công thức sau đây được trích dẫn và xây rắn là: IO   ( x 2  y 2  z 2 ) ( x, y, z )dxdydz . dựng từ chương 1 (Phần hệ tọa độ Descartes) - V [3] Vũ Kim Thái, Đinh Văn Tình, “Giáo trình Giải: Chọn trục hình trụ là Oz, mặt đáy Oxy, Vật lí đại cương”, NXB Lao động (2016). chiều cao h, bán kính hình trụ là R, tỉ khối Cụ thể như sau: r  x.i  y. j  z.k , trong đó   const . i, j, k là 3 vectơ chỉ phương, đơn vị, nên ta có: Ta có: I oz    ( x 2  y 2 )dxdydz r 2  r. r  ( x.i  y. j  z.k )( x.i  y. j  z.k ) V 2 2 2 Chuyển sang hệ tọa độ trụ ta được:  x 2 i  y 2 j  z 2 k  xy.i. j  xz.i.k  yx. j.i  yz. j.k  zx.k .i  zy.k . j  x  r sin    x2  y 2  z 2  y  r cos  ; z  z  Vì:  : 0  2 2 2 2  i  j  k  1; r : 0  R z : 0  h Hình 5 i. j  i.k  j.i  j.k  k .i  k . j  0  TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ . SỐ 29 - 2021 39
  4. KHOA HỌC – CÔNG NGHỆ 2 I Oz   ( x 2  y 2 ) dxdydz R h R4 1 I oz    d  r 3dr  dz   .2 . .h   R 4 h 0 0 0 4 2 V 1 1    ( x 2  y 2 )dxdydz  (  R 2 h) R 2  mR 2 V 2 2 (4) Trong đó: V là khối cầu tâm O, bán kính R. Với m   R 2 h là khối lượng của khối trụ. Chuyển sang hệ tọa độ trụ Ví dụ 3: Tính mômen quán tính của khối cầu  x  r sin   : 0  2   đặc đồng chất khối lượng m, bán kính R, mật  y  r cos  ; r : 0  R độ khối lượng   const . z  z   z :  R  r  R  r 2 2 2 2 Cách 1: Phương pháp tính tổng, giới hạn: I Oz    r 3drd dz Giải: Tương tự như việc tính mômen quán V/ tính của đĩa tròn đặc, ta chia khối cầu thành 2 R R2 r 2 R k lớp có độ dày , thể tích của lớp thứ i tính    d  r dr 3  dz k 0 0  R2 r 2 4  iR (i  1) R 3  từ tâm ra là Vi   ( )3  ( )  , 2 R R2 r 2 3  k   2   d  r dr k  3 dz tương ứng với khối lượng 0 0 0 Vi  i i 1 3  2 mi  m  m  ( )3  ( R ) , bán kính 4 R / 3 3  k k   2   d  r 3 R 2  r 2 dr 0 0 của mặt cầu trung bình của lớp thứ I là 2 (2i  1) R R ri  .    d  R 2  r 2 ( R 2  r 2  R 2 )d ( R 2  r 2 ) 2k 0 0 Mômen quán tính của khối tròn được tính R 2 5 2 3  bằng tổng mômen quán tính của các lớp (có  2   ( R 2  r 2 ) 2  R 2 ( R 2  r 2 ) 2  2 k 5 3 0 dạng mặt cầu) tạo nên nó I  lim  mi ri 2 k  3 i 1 8   R5 Thay các giá trị mi và ri đã tính ở trên và rút 15 gọn ta được: 2  mR 2 (6) 2 k (3i  3i  1)(2i  1) 2 2 5 I mR 2 lim  3 k  4k 5 4 i 1 (5) Với m   R3  là khối lượng của khối cầu. 2 12k / 5  ... 2 5 3  mR 2 lim 5  mR 2 3 k  4k 5 Ví dụ 4: Tính mômen quán tính của vật thể Cách 2: Phương pháp tích phân bội: đồng chất  ( x, y, z)  const giới hạn bởi miền Giải: Gọi R là bán kính khối cầu,   const , x y z V: x  0; y  0; z  0;      1 đối với trục quay theo Oz, tâm khối cầu tại O: a b c Áp dụng công thức tính mômen quán tính đối gốc tọa độ. với trục quay Oz ta có: Giải: 40 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ . SỐ 29 - 2021
  5. KHOA HỌC – CÔNG NGHỆ Mômen quán tính đối với gốc tọa độ của vật  . abc 2 (a  b2  c 2 ) (7) rắn là: 60 Ví dụ 5: Tính mômen quán I O   ( x 2  y 2  z 2 ) dxdydz V tính của vật thể đồng chất x b (1 ) x y c (1  )  ( x, y, z)  const đối với a a a b  x  y 2  z 2  dz    dx mặt phẳng Oxy được giới  2 dy Hình 6 0 0 0 hạn bởi miền V với: x b (1 ) ( x2  y 2  z 2 )  2az; ( x2  y 2  z 2 )  a 2 (a  0) x y c (1  )  2 1 3 a a a b    dx   ( x  y 2 ) z  z dy 0 0 3  0 Giải: x b (1 ) Những điểm trên giao tuyến của hai mặt cầu a a  { dx x y ( x2  y 2  z 2 )  2az; ( x2  y2  z 2 )  a2 có độ  [c(x 2  y 2 )(1   ) a b a 0 0 cao thỏa mãn 2az  a 2 do đó z  1 x y 2  c3 (1   )3 ]dy} 3 a b I Oxy    z 2 dxdydz x b (1 ) V a a x x  { dx  [cx (1  )  cy 2 (1  ) 2    z dxdydz    z 2 dxdydz 2 0 0 a a V1 V2 c c x y 3  I1  I 2  ( x 2 y  y 3 )  (1   )3 ]dy} b 3 a b a a Mặt phẳng z  chia miền V thành hai miền: x 1 x 2  { [cx 2 (1  ) y  cy 3 (1  ) a 3 a  a 0 V1  ( x, y, z )  V : z   x b (1 )  2 c 1 1 1 x y a  ( x 2 y 2  y 4 )  c3b(1   )4 ] dx}  a b 2 4 12 a b 0 V2  ( x, y, z ) V : z   a  2 x 1 x bc x  [  bcx 2 (1  )2  cb3 (1  )4  x 2 (1  )2 a 0 a 3 a 2 a Ta có: I1    z 2 dz  dxdy mà a S( z ) 1 x bc3 x  cb3 (1  )4 + (1  )4 ]dx 2 4 a 12 a  dxdy S (z)   ( x 2  y 2 )   (a 2  z 2 ) do đó bc3  cb3 a a S( z ) bc x x  [  x 2 (1  )2 dx   (1  )4 dx] a 47a5 a 2 0 a 12 0 a a2 z3 z5 I1    z (a  z )dz   ( 2 2 2  )  bc3  cb3 a a bc 2 x3 x 4 x 3 5 480  [  ( x   2 )dx   (1  )4 dx] 2 a a 2 2 0 a a 12 0 a 2 a a Tương tự: bc x3 2 x 4 x5 bc3  cb3 x a  [ (   2)  (1  )5 ( ) ] a a 2 3 4a 5a 0 12 a 5 0 2 4 2az z a5 5 2 I 2    z 2 (2az  z 2 )dz   (  )  bc a3 bc3  cb3 a 4 5 0 40  [ .  . ] 0 2 30 12 5 Vậy a3bc  ab3c  abc3 47 1 59 5  . I O  I1  I 2  (  )a5  a  (8) 60 480 40 480 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ . SỐ 29 - 2021 41
  6. KHOA HỌC – CÔNG NGHỆ R2 Ví dụ 6: Tính mômen quán r 4 h r 2 h3 tính của vật thể hình trụ  2 (  ) 4 6 R rỗng bán kính hai đáy là 1 R1 và R2 (R1 < R2) đối R24  R14 R 2  R12   h(  h2 2 ). (9) với gốc tọa độ biết 2 3  ( x, y, z)  const. 4. KẾT LUẬN Giải: Hình 7 Như vậy rõ ràng khi sử dụng hai phương pháp Gọi chiều cao của hình trụ là h, áp dụng công toán học khác nhau tôi đã tính được mômen thức tính mômen đối với gốc tọa độ: quán tính của các vật rắn đồng chất cho ba IO   ( x 2  y 2  z 2 ) ( x, y, z )dxdydz dạng vật thể: chiều dài, mặt, khối tương ứng V với các công thức (1), (3), (5), (7), (8), (9). Trong các ví dụ 4, ví dụ 5 và ví dụ 6 tôi chỉ sử Chuyển sang tọa độ trụ: dụng tích phân để tính mômen quán tính. Với  x  r sin   : 0  2 mỗi cách sẽ có những thuận lợi và khó khăn    y  r cos  ; r : R1  R2 riêng tùy thuộc vào sở trường của người học. z  z z : 0  h   Có thể mở rộng để tính mômen quán 2 R2 h tính cho thanh đồng chất với trục quay Khi đó ta có: I O    d  dr  r (r 2  z 2 )dz ml 2 đi qua tâm thanh: I  , cho quả cầu 0 R1 0 12 R2 h 2   2  dr  (r 3  rz 2 )dz rỗng I  mR 2 ,… 3 R1 0 R2 rz 3 h Trên đây là những kết quả mà tôi đã nghiên   2  (r z  3 ) dr cứu và tính toán, hy vọng với những kết quả R1 3 0 R2 này có thể là tài liệu tham khảo cho giảng viên rh3 và các em sinh viên khi cần xác định mômen   2  (r 3h  )dr R1 3 quán tính. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đình Trí, Trần Việt Dũng, Trần Xuân Hiển và Nguyễn Xuân Thảo, “Toán học cao cấp, Tập 2, 3”, NXB Giáo dục Việt Nam (2015). [2] Nguyễn Thừa Hợp, “Giải tích tập 2, 3”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2004). [3] Vũ Kim Thái, Đinh Văn Tình, “Giáo trình Vật lí đại cương”, NXB Lao động (2016). Thông tin liên hệ: Đinh Văn Tình Điện thoại: 0909351978 - Email: dvtinh@uneti.edu.vn Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp. 42 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ . SỐ 29 - 2021
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2