PHƯƠNG PHÁP GIẢI
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
“tailieumontoan.com”
Date
Để giải bất phương trình vô tỷ (chứa căn) thông
thường ta có hai phương pháp cơ bản là
nâng lên
lũy thừa
và
đặt ẩn số phụ
. Ngoài ra còn có một số
cách khác như sử dụng bất đẳng thức (để đánh giá
hai vế), sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số,
v.v… thường được dùng để giải các bất phương
trình không mẫu mực.
I. Lý Thuyêt
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương
Các phép biến đổi thường được sử dụng
*)
hoặc
0
0
B
A
<
≥
.
*)
2
0
0
B
AB A
AB
>
<⇔ ≥
<
.
*)
0
A B AB
< ⇔≤<
.
Bài 1.
Giải bất phương trình:
2
1 2( 1)
xx
+≥ −
Lời giải
Bất phương trình (1)
⇔
2
1 2( 1)
xx
+≥ −
⇔
2
22
2( 1) 0
10
2( 1) ( 1)
x
x
xx
−≥
+≥
−≤ +
⇔
2
1
1
1
2 30
x
x
x
xx
≤−
≥
≥−
− −≤
⇔
1
1
13
x
x
x
=−
≥
−≤ ≤
⇔
1
13
x
x
=−
≤≤
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S =
{ }
1;3 1 −

Bài 2.
Giải bất phương trình:
213
xx x
−+≤+
Lời giải
( )
2
2
2
2
10 8
1 3 30 7
13
xx
xx x x x
xx x
− +≥
− + ≤ + ⇔ + ≥ ⇔ ≥−
− +≤ +
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 8;
7

− +∞

.
II. Bài tâp
Bài 3.
Giải bất phương trình sau:
12 2 5 1
xx x
++−≤+
Lời giải:
Điều kiện:
2
x
≥
Với điều kiện, hai vế của bất phương trình đã cho không âm
bình phương hai vế ta được bất phương trình:
574(1)(2)51
x xx x
−+ + − ≤ +
⇔
( 1)( 2) 2
xx
+ −≤
⇔
( 1)( 2) 4
xx
+ −≤
⇔
2
60
xx
−−≤
⇔
23
x
−≤ ≤
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình
đã cho là S =
2;3

Dạng 2: Kĩ thuật chia điều kiện
1. Kỹ thuật
:
Nếu Bài toán có điều kiện là
Dx ∈
mà
n
DDDD ∪∪∪= ...
21
ta có thể chia Bài toán theo n
trường hợp của điều kiện:
+) Trường hợp 1:
1
Dx ∈
, giải bất phương trình ta tìm được
tập nghiệm
1
T
.
+) Trường hợp 2:
2
Dx ∈
, giải bất phương trình tìm được
tập nghiệm T2.
………………………………….
+) Trường hợp n:
n
Dx ∈
, giải bất phương trình tìm được
tập nghiệm Tn.
Tập nghiệm của bất phương trình là
n
TTTT ∪∪∪= ...
21
.
2. Yêu cầu:
Cần phải xác định giao, hợp trên các tập con của R thành thạo.
Bài 4.
Giải BPT:
2
3 422
xx
x
− +++ <
(1)
Lời giải:
* Điều kiện:
0
4
13
x
x
≠
−≤ ≤
.
* Với
4
03
x
<≤
(i) ta có (1)
( )
2
2
2
2 20
3 42 2 3 422
x
xx x xx x
−≥
⇔− ++< −⇔
− ++< −
2
19
7
7 90
xx
xx
≥
⇔ ⇔>
−>
(ii)
Kết hợp (i) và (ii) ta có tập nghiệm là
1
94
;
73
T

=

.
* Với
10
x
−≤ <
thì (1) luôn đúng.
Tập nghiệm trong trường hợp này là T2 = [-1 ;0).
Vậy tập nghiệm của (1) là
)
12
94
; 1;0
73
TT T

= ∪ = ∪ −

.
Bài 5.
Giải bất phương trình:
2
(4 3) 3 4 8 6
x xx x
− − +≥ −
Lời giải:
Điều kiện:
2
3 40
x x xR
− +≥ ∀∈
Bất phương trình đã cho tương đương với
2
(4 3)( 3 4 2 0
x xx
− − +−≥
Trường hợp 1: Với
3
4
x
=
là nghiệm của bất phương trình
Trường hợp 2: Với
3
;4
x

∈ −∞


Bất phương trình:
⇔
2
3 42
xx
− +≤
⇔
2
3 44
xx
− +≤
⇔
2
30
xx
−≤
⇔
03
x
≤≤
Kết hợp điều kiện suy ra
3
04
x
≤<
Trường hợp 3: Với
3;
4
x

∈ +∞


Bất phương trình:
⇔
2
3 42
xx
− +≥
⇔
2
30
xx
−≥
⇔
0
3
x
x
≤
≥
Kết hợp điều kiện:
3
x
≥
Vậy tập nghiệm của BPT là: S =
)
3
0; 3;
4

∪ +∞


Dạng 3 : Kỹ thuật khai căn.
1
) Đưa biểu thức ra ngoài căn thức :
*
2
( 0)
( 0)
AA
AA AA
≥
= = −<
.
*
2
2
( , 0)
Ay y
AEx
Ex
Ex
= ≠
.
*
22
nn
AA
=
*
2121
nn
AA
++
=
2) Lưu ý :
Biến đổi các biểu thức trong căn thức thành
hằng đẳng thức.
Bài 6.
Giải bất phương trình :
( )
3
21 21 1
2
xx xx
+ −+ − −>
Lời giải:
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
( )
( ) ( )
22
3
1 12 11 12 11 2
3
11 11 2
xx xx
xx
⇔ −+ −++ −− −+ >
⇔ −+ + −− >
⇔
1
3
1 1 1 1 (2)
2
x
xx
≥
−++ −− >
* Với
110 11 2
x xx
−−≥ ⇔ −≥⇔ ≥
luôn thỏa
mãn bpt (2).
Vậy trong trường hợp này tập ngiệm là T1=[2 ;+
)∞
.
* Với
1
110 1 2
11
x
xx
x
≥
−−< ⇔ ⇔≤ <
−<
bpt (2)
trở thành :
33
111 1 2
22
xx
−++− −> ⇔ >
(luôn đúng).
Vậy tập nghiệm của (1) trong trường hợp này là T2=[1 ;2).
KL : Tập nghiệm của (1) là T=
)
12
1;
TT
∪ = +∞
.
Dạng 4 : Kỹ thuật phân tích thành nhân tử đưa
về bất phương trình tích.
1. Bất phương trình tích
: Trên điều kiện của bpt ta có :
*
() 0
() 0
()() 0 () 0
() 0
fx
gx
f xgx fx
gx
>
>
>⇔
<
<
*
() 0
() 0
()() 0 () 0
() 0
() 0
fx
fx
f xgx gx
fx
gx
=
>
≥⇔
≥
<
≤
Các trường hợp còn lại, các bạn tự suy luận.
Bài 7.
Giải BPT :
( )
23
13 1 3 1 0
x xx x
− − + − −≥
(1)
Lời giải:
Điều kiện :
1 (*)
x
≥
Khi đó BPT tương đương :
23
13 1 1 13 0
x x x x xx x x
−+ −+ −− −− − ≥
( ) ( )
22
1 13 1 13 1 0
xxx xxx
⇔ − −+ + − −+ + ≥
( )( )
01311 2≥++−−−⇔ xxxx
01 ≥−−⇔ xx
do
2
13 10
xx
−+ +>
khi
1≥x
0111 22 ≤+−⇔≥−⇔≥−⇔ xxxxxx
(vô
nghiệm).
Vậy BPT đã cho vô nghiệm.
Dạng 5: Nhân liên hợp.
1. Biểu thức nhân chia liên hợp:
*
)( BA
BA
BA
BA ≠
−
=±
.
*
)(
1BA
BA
BA
BA ≠
−
=
±
.
2. Lưu ý:
+) Nên nhẩm với một số nghiệm nguyên đơn giản.
+) Chú ý tới các biểu thức nhân chia liên hợp.
Bài 8.
Giải BPT :
22
15 3 2 8
x xx
+ < −+ +
(1)
Lời giải:
* Ta có (1)
22
15 8 3 2
x xx
⇔ + − +< −
( )
22
22
22
15 8 32
15 8
73 22
15 8
xx x
xx
x
xx
+− −
⇔ <−
++ +
⇔ <−
++ −
Từ (2) ta có
2
3 20 3
xx
−>⇔ >
.
* Mặt khác:
(1)
22
15 4 3 3 8 3
x xx
⇔ + −< −+ +−
22
22
11
3( 1)
15 4 8 3
xx
x
xx
−−
⇔ < −+
+ + ++
( )
22
11
13 0
15 4 8 3
xx
x
xx

++
⇔ − −− <


+ + ++

(3)
* Lại có : Vì
2
3
x
>
nên
22
22
15 4 8 3
11
15 4 8 3
xx
xx
xx
+ +> ++
++
⇔<
+ + ++
22
11
30
15 4 8 3
xx
xx
++
⇒ − −<
+ + ++
.
Vậy (3)
10 1
xx
⇔ −> ⇔ >
.
KL : BPT (1) có tập nghiệm là T=
( )
1;+∞
.
* Chú ý :
Trong
Bài
toán này, việc thêm bớt, nhóm các
số hạng với nhau để xuất hiện nhân tử chung xuất phát
từ việc nhẩm được khi x=1 thì hai vể của BPT bằng nhau
.
Bài 9.
Giải bất phương trình
( )
2017 2 2018 5 3 *
x xx
−− −≤−
Lời giải:
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
ĐKXĐ:
5.
2018
x
≥
Khi đó:
( )
( )
3
*3
2017 2 2018 5
1
31 0
2017 2 2018 5
30
3
xx
xx
xxx
x
x
−
⇔ ≤−
−+ −

⇔− + ≥

−+ −

⇔ −≥
⇔≥
Vậy nghiệm của BPT là
3
x
≥
.
Bài 10.
Giải bất phương trình
( )
( )
2
2
221 *
3 92
xx
x
<+
−+
Lời giải:
ĐK
9
92 0 2
3 92 0 0
xx
xx
+≥ ≥−

⇔

−+ ≠
≠
Khi đó
( )
( )
2
3 92
1 21
2
x
x
++
⇔ <+
92 4 092 16
97
22
xx
x
⇔ + <⇔ ≤+ <
⇔− ≤ ≤
Kết hợp với ĐK ta có BPT có tập nghiệm là:
97
| ; 0.
22
S xR x x

= ∈ −≤≤ ≠


Dạng 6: Phương pháp đặt ẩn phụ.
Bài 11.
Giải BPT :
1
23
1
xx
xx
+
−>
+
(1)
Lời giải:
* Điều kiện :
0
1
x
x
>
<−
(*)
* Đặt
1( 0).
x
tt
x
+
= >
BPT (1) trở thành :
32
2
12 3 2 3 1 0( 0)
t tt t
t
− > ⇔ + −< >
( )
( )
2
1
12 1 0 0 2
t tt t
⇔ + +− < ⇔ <<
.
Vậy
11 4
01
23
xx
x
+
< < ⇔− < <−
.
Bài 12.
Giải BPT :
11
5 24
2
2
xx
x
x

+ <++


(2)
Lời giải:
* Điều kiện :
0
x
>
.
* Đặt
12
2
tx t
x
= + ⇒≥
(theo bất đẳng thức
Côsi)
22
11
12 2 2
42
tx x t
xx
⇒ = + +⇔ + = −
.
* BPT (2) trở thành :
2
2
5 2 24 1
2
t
tt t
>
< −+⇔
<
kết
hợp với
2
t
≥
ta được
2
t
>
.
* Khi đó
22 32
122
23
222 02
02
2
xx
xxx
x
+
> >+
+ >⇔ ⇔
−<<−
<<
Bài 13.
Giải bất phương trình:
22 2
12 2 33 4 5
x xx xx
++++≥++
Lời giải
Ta viết lại phương trình như sau:
( ) ( )
22 2 2
12 2332 23 1
x xx xx x
++ ++≥ ++− +
Đặt
( )
22
1; 2 3 , 0
u x v x x uv
= + = ++ >
Thay vào PT ta có:
( )( ) ( )
22 2 2
2 3 2 10 4 14
10 14 0 10 14 0
u v v u u uv v
uvuv uvdouv
+≥ −⇔ + −
⇔ − + ≥⇔≥ + >
Với
22
1 23 1
uv x x x x
≥ ⇔ + ≥ + + ⇔ ≤−
Vậy tập nghiệm của BPT là
(
;1
S
= −∞ −
Dạng 7: Phương pháp đánh giá.
Bài 14.
Giải BPT :
21
1 2( 1)
xx
xx
−≥
− −+
Lời giải
Ta có
2
1 2( 1) 0
xx
− −+ <
nên
2
2( 1) 1 (1)
BPT x x x x
⇔ −+ ≤−+
.
Mặt khác ta lại có :
2 22
2( 1) 2(1 ) 2( )
1 (2)
xx x x
xx
−+ = − +
≥− +
Từ đó
2
2( 1) 1
xx x x
⇒ −+ =−+
.
Dấu bằng khi
35
1 ( / 0)
2
x x x t mx
−
−= ⇔= ≥
Bài 15.
Giải bất phương trình :
2
1 12
4
x
xx
++ −≤−
(1)
Lời giải
* Điều kiện :
10
11
10
xx
x
+ ≥ ⇔− ≤ ≤
−≥
(*)
* Khi đó ( 1)
4
22
1 1 21 4 16
x
xx x x
⇔+ +− + − ≤− +
()()
44
2
22 2
1 21 1 0 1 1 0
16 16
xx
xx x
⇔−− −++≥⇔ −−+≥
Điều này luôn đúng với mọi x thỏa mãn điều kiện (*).
Vậy nghiệm của BPT là
1;1
x
∈−

.
Bài 16.
Giải bất phương trình
( ) ( )
2
1 3 2 3 2 23
xx x x
−+ −≥ − + −
Lời giải
Điều kiện:
1
x
≥
. Khi đó:
( ) ( ) ( )
2
3 1 32 3 1
xx x x

⇔ −+−≥ − +− ∗


Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
( )
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
∗∗−+−=−+−+≤−+− 132311131
22
22
xxxxxx
Từ
( ) ( )
∗∗∗ ,
dấu “=” chỉ xảy ra khi
( )
2
3
30
13 5
2
13 5
x
x
xx x
x
xx
x
≥
−≥
−=−⇔ ⇔ ⇔ =
=

−= −

=
Dạng 8: Sử dụng tính đơn điện của hàm hàm số.
Bài 17.
Giải BPT :
( ) ( )
3 1 31 2 0
x x x xx
+ ++ − − + ≤
(1)
Lời giải
* Điều kiện :
10 11
10
xx
x
+≥ ⇔− ≤ ≤
−≥
(*)
* Khi đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 2 1 1 1 1 21
xx x x xx x x
⇔ + ++ + + +≤ − − + − + −
( ) ( ) ( ) ( )
32 32
1 1 2 1 1 1 21
xx x xx x
⇔ + + + + +≤ − + − + −
(2)
* Xét hàm số
32
() 2
ft t t t
=++
với
0≥t
:
Có
2
'( ) 3 2 2 0 0
ft t t t
= + + >∀≥
nên
)(tf
là hàm đồng biến trên
)
0; +∞
.
* Mặt khác : (2)
( 1) ( 1 ) 1 1
fx f x x x
⇔ + ≤ − ⇔ +≤ −
11 0
x xx
⇔ +≤− ⇔ ≤
kết hợp với điều kiện (*) ta được :
10
x
−≤ ≤
.
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗