Kinh nghiệm giải phương trình mũ và phương trình Logarit hiệu quả: Một số phương pháp hay

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

MỤC LỤC

Trang

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP 2 2 3

1. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH MŨ 2. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 3. MỘT SỐ CÔNG THỨC MŨ – LOGARIT CẦN NHỚ 3 3 4

4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

4.1. Phương pháp 1: Giải phương trình mũ cơ bản 5 5

4.2. Phương pháp 2: Đưa về cùng cơ số 4.3. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ 4.4. Phương pháp 4: Đưa về phương trình tích 6 8 13

4.5. Phương pháp 5: Logarit hóa 4.6. Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu của hàm số 4.7. Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá 14 15 17

5. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

5.1. Phương pháp 1: Giải phương trình logrit cơ bản 18 18

5.2. Phương pháp 2: Đưa về cùng cơ số 5.3. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ 5.4. Phương pháp 4: Đưa về phương trình tích 19 20 22

5.5. Phương pháp 5: Logarit hóa 5.6. Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu của hàm số 5.7. Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá 23 24 26

6. MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG TRONG CÁC NĂM GẦN ĐÂY

IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI V. ĐỀ XUẤT, KHUYỄN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG 27 27 28

VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 1 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình mũ và phương trình logarit được gọi là phương trình siêu việt.

Khi nói đến phương trình mà chúng ta không nhắc tới phương trình mũ và phương trình

logarit thì thiếu đi vẻ đẹp của phương trình nói riêng và toán học nói chung. Phương

trình mũ – logarit được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học, nên việc nghiên cứu

các phương pháp giải chúng là hết sức quan trọng.

Đối với chương trình toán học phổ thông phương trình mũ – logarit được đưa

vào giảng dạy ở lớp 12. Nhưng thời gian dành để dạy và học về phương trình mũ –

logarit là ít kể cả lí thuyết cũng như thực hành. Mặt khác các bài tập mà sách giao khoa

yêu cầu thì chưa cao, chưa tương ứng đươc như trong các đề thi tuyển sinh.

Trong khi đó trong thi cử và ứng dụng thì ở mức độ cao hơn nhiều. Đặc biệt

là trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng nhiều năm nay đã có một số câu liên

quan đến phương trình mũ - logarit. Để giúp các em hiểu sâu hơn về phương trình mũ -

logarit, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình mũ –

phương trình logarit”.

II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Nghiên cứu đề tài “Một số phương pháp giải phương trình mũ – phương

trình logarit ” để giúp học sinh rèn kỹ năng giải toán về phương trình mũ - logarit, qua

đó phát triển tư duy logic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng học tập của các

em, tạo được hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ

môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh, góp phần nâng

cao chất lượng đội ngũ học sinh khá giỏi về môn toán, góp phần kích thích sự đam mê,

yêu thích môn toán, phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh.

Đối tượng áp dụng: học sinh lớp 12.

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 2 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Trong chương trình hoc ở sách giáo khoa chương trình chuẩn để giải phương

trình mũ - phương trình logarit chỉ đề cập đến ba phương pháp giải cơ bản và thường gặp. Tuy nhiên, có rất nhiều bài toán hay, bài toán thương gặp trong các đề thi tuyển sinh thì các phương pháp trên lại không giải được. Nên việc đưa thêm một số phương pháp mới vào giảng dạy cho học sinh để các em nắm bắt được các giải một số bài toán khó hơn, hay hơn… III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN VÀ GIẢI PHÁP 1. KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1.1. Phương trình mũ cơ bản

Phương Trình mũ cơ bản là phương trình có dạng với

1.2. Phương pháp giải

1.2.1. Dùng định nghĩa logarit. Nếu b > 0, ta có: Nếu phương trình . vô nghiệm.

Dùng sự tương giao của hai đồ thị Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

với đồ thị y = b.

Dựa vào đồ thị của hai hàm số ta có kết luận:

với

Có nghiệm duy nhất vô nghiệm. Phương trình b > 0

2. KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

2.1. Phương trình logarit

Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu

logarit.

2.2. Phương trình logarit cơ bản

với

Phương trình logarit cơ bản là phương trình có dạng Phương pháp giải Theo định nghĩa logarit, ta có: Dùng sự tương giao của hai đồ thị Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

với đồ thị y = b.

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 3 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

và hàm số y = b trên cùng một hệ trục tọa độ.

và đồ thị y = b

Vẽ đồ thị hàm số Trong cả hai trường hợp, ta đều thấy đồ thị hàm số cắt nhau tại một điểm với mọi Kết luận:

phương trình , ( ) luôn có nghiệm duy nhất với mọi

3. MỘT SỐ CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT CẦN NHỚ

3.1. Công thức mũ và lũy thừa: a, b là các số thực dương, m, n là các số thực tùy ý

1) 6)

2) 7)

8) 3)

9) 4)

3.2. Công thức logarit: cho b, c là các số dương

1) 6)

2) 3) 8)

4) 9)

10) ; 5)

Công thức đổi cơ số

3) 1)

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 4 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

2) 4)

4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

4.1. Phương pháp 1: Giải phương trình mũ dạng cơ bản

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a) b)

c) d)

Giải

Vậy phương trình có nghiệm:

c) Vậy phương trình có nghiệm: d)

Vậy phương trình có nghiệm: Nhận xét: Đại đa số các phương trình mũ khi giải đều đưa về phương trình mũ cơ bản. Nên việc giải phương trình mũ cơ bản tốt là điều kiện để giải tốt các phương trình tiếp theo. Đối với phương trình mũ cơ bản thì cần phải biết cách sử dụng các công thưc mũ, lũy thừa …

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 5 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau:

1) 5) 3)

6) 2) 4)

4.2. Phương pháp 2: Đưa về cùng cơ số

thì

Đối với phương trình mũ biến đổi về dạng: Trường hợp 1: Nếu Trường hợp 2: Nếu a là biểu thức có chứa ẩn x thì

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau

b) a)

d) c)

Giải

Vậy phương trình có nghiệm:

c) Ta có:

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 6 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Vậy phương trình có nghiệm:

d) điều kiện:

Khi đó:

, (vì )

Vậy phương trình có nghiệm:

nên x+1 > 0

Vậy phương trình có nghiệm f) Điều kiện: vì Khi đó: Vậy phương trình có nghiệm: x = 3 Nhận xét: Thực ra phương trình đưa về cùng cơ số cũng gần giống với phương trình mũ cơ bản. Việc giải các phương trình dạng này chủ yếu là sử dụng tốt các công thức, các phép biến đổi của mũ và lũy thừa mà thôi. Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau

5) 3) 1)

2) 4) 6)

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 7 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

4.3 . Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ

Dạng 1: Nếu phương trình có dạng đa thức: với

Thì ta đặt: khi đó ta được phương trình mới:

Dạng 2: Nếu phương trình có dạng đa thức: với

Thì ta chia hai vế của phương trình cho (hoặc ) rồi

đặt

Khi đó ta được phương trình mới như sau: Dạng 3: Nếu phương trình có dạng đa thức: với ,

,ab=1

Thì ta đặt:

Khi đó ta được phương trình mới:

Dạng 4: Nếu phương trình có dạng đa thức: với

Thì ta đặt:

Khi đó ta đưa về phương trình tích, hoặc phương trình thuần nhất hoặc hệ Lưu ý: Một số trường hợp ta đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Nghĩa là sau khi đặt ẩn phụ vẫn còn x. Khi đó ta giải phương trình theo ẩn t còn với x được xem là hằng số.

Bài tập áp dụng

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau ( Dạng 1: )

b) c) a)

(*)

Giải a) Đặt:

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 8 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Khi đó (*) trở thành:

(1)

Khi Vậy phương trình có nghiệm: x =2 b) Điều kiện: Khi đó: Đặt:

Khi đó (1) trở thành:

Khi Khi Vậy phương trình có nghiệm: x = 3; x = 11 c) Đặt:

Khi đó (1) trở thành:

Khi

Vậy phương trình có nghiệm:

Nhận xét: Đối với phương trình dạng này chúng ta không đặt ẩn phụ cũng giải được bình thường. Tuy nhiên việc đặt ẩn phụ sẽ làm cho phương trình đẹp hơn, gọn hơn chứ không giải nhanh hơn. Khi đặt ẩn phụ cần phải lưu ý điều kiện.

)

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau ( Dạng 2:

b) c) a)

Giải

Đặt:

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 9 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Khi đó (1) trở thành:

Khi

Vậy phương trình có nghiệm:

(2)

b) Đặt: Khi đó (1) trở thành:

Khi

Vậy phương trình có nghiệm: c) Đặt:

Khi đó (1) trở thành:

Khi

Vậy phương trình có nghiệm: Nhận xét: Đối với dạng này ngoài cách đặt ẩn phụ ra thì ta có thể phân tích thành tích các đơn thức, đa thức để giải. Tuy nhiên việc phân tích không phải đơn giản. Ví dụ 5: Giải các phương trình sau ( Dạng 3: )

b) a)

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 10 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Giải:

(1) a)

Đặt:

Khi đó (1) trở thành:

Khi

Vậy phương trình có nghiệm:

b) Cách 1:

Đặt:

Khi đó (2) trở thành:

Khi

Vậy phương trình có nghiệm:

(*) Cách 2:

nên Đặt: Vì

(**)

Ta có: Suy ra pt(**) có hai nghiệm:

Khi

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 11 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Vậy phương trình có nghiệm:

(3) c)

Đặt

Khi đó (3) trở thành:

Khi

Vậy phương trình có nghiệm:

Nhận xét: Đối với loại này thường thì đưa về phương phương trình bậc hai,bậc ba…nếu chúng ta không đặt ẩn phụ thì nó rất cồng kềnh những vẫn giải được.

Ví dụ 6: Giải các phương trình sau ( Dạng 4: )

a) c)

(1) Giải a)

Đặt

Khi đó (1) trở thành:

Khi

Khi Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = 1 b) Ta có: (2)

Đặt

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 12 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Khi đó (2) trở thành:

Khi

Vậy phương trình có nghiệm: x = -5; x = -1; x = 1; x = 2 c) (3)

Đặt

Khi đó (3) trở thành:

Khi

Vì

Vậy phương trình có nghiệm: Nhận xét: Đối với các dạng phương trình trên thì ta cũng có thể tách, thêm bớt rồi đặt nhân tử chung để đưa về phương trình tích của các đa thức. Tuy nhiên việc đặt ẩn phụ sẽ đưa bài toán từ phức tạp, cồng kềnh về bài toán gọn hơn và việc giải sẽ dễ dàng hơn.

Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau

1) 3)

2) 4) 5) 6)

4.4. Phương pháp 4: Đưa về phương trình tích

Ta tách, thêm, bớt … rồi đặt nhân tử chung để đưa phương trình đã cho thành

tích các đơn thức, đa thức.

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 13 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Ví dụ 7: Giải các phương trình sau

a) b)

Giải: a)

Vậy phương trình có nghiệm: b)

Vậy phương trình có nghiệm:

Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau

1) 3)

4) 2)

4.5. Phương pháp 5: logarit hóa

Ví dụ 8. Giải các phương trình sau

b) c)

Giải a)

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 14 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Vậy phương trình có nghiệm:

Vậy phương trình có nghiệm: c) Điều kiện:

khi đó:

Vậy phương trình có nghiệm: Nhận xét: Đối với phương trình loại này khi lấy logarit hai vế thường thì sẽ đặt được nhân tử chung để đưa về phương trình tích đơn giản. Chú ý khi lấy logarit hai vế cần chọn cơ số tốt thì bài toán sẽ tính dẽ dàng hơn. Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau

3) 1)

4) 2)

4.6. Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu của hàm số

Lý thuyết

u = v

Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên khoảng K thì số nghiệm trên khoản K của phương trình f(x) = a không nhiều hơn một và f(u) = f(v) Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) và y = g(x) đơn điệu ngược chiều và liên tục trên khoản K thì số nghiệm trên khoảng K của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một.

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 15 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

x > a,

x < a,

Định lí 3: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K thì f(x) > f(a) Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K thì f(x) > f(a) Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì

: . Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0

có nghiệm thuộc (a;b).

thì Định lý Rôn: Nếu hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên khoảng K thì phương trình f(x) = 0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc K.

Ví dụ 9: Giải các phương trình sau

b) e) c) a) d)

Giải:

a) Ta có:

Xét hàm số trên tập R

trên tâp và

và

Suy ra f(x) là hàm nghịch biến trên R, mặt khác f(2) = 1 nên Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 b) Xét hàm số ta có: nên f(x) là hàm luôn đồng biến trên tập R và g(x) là hàm luôn nghịch biến trên tập mặt khác Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0 c) Ta có: Giả sử phương trình có nghiêm . Khi đó: .

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 16 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Xét hàm số lagrange tồn tại , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý , thử lại sao cho:

trên tập R

nên f(t) là hàm đồng biến trên R .

ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của phương trình. d) Ta có : Xét hàm số Vậy phương trình được viết dưới dạng: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 e) Ta có: Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh phương trình không còn nghiệm nào khác. Xét hàm số Ta có: Đồ thị của hàm số này lõm trên R, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = 1 Nhận xét: Đây là loại toán khó khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số thì chúng ta phải nhẩm được nghiệm, thường thì nghiệm là các số nguyên. Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau

1) 2) 3) 4)

4.7. Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá

Ví dụ 10: Giải các phương trình sau

a) b)

Giải: a) Điều kiện: Ta có: (vì )

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 17 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Mặt khác:

Nên

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Ta có:

Mặt khác:

Nên

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Nhận xét: Với loại toán này thì phải biết sử dụng một số bất đẳng thức thông dụng và biết phân tích và đánh giá.

Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau

1) 2)

5. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

5.1. Phương pháp 1: Giải phương trình logarit dạng cơ bản

với

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) b)

Giải a) Vậy phương trình có nghiệm:

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 18 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Vậy phương trình có nghiệm: c) Điều kiện:

Vậy phương trình có nghiệm: Nhận xét: Đa số các phương trình logarit thường đưa về phương trình logarit cơ bản nên việc giải thành thạo loại này là cần thiết để giải tốt các loại khó hơn.

Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau

3) 1)

2) 4)

5.2. Phương pháp 2: Đưa về cùng cơ số

Đối với phương trình logarit biến đổi về dạng:

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau

a) b)

Giải a) Điều kiện: Khi đó:

Vậy phương trình có nghiệm: b) Điều kiện:

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 19 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Vậy phương trình có nghiệm: c) Điều kiện:

Vậy phương trình có nghiệm:

Nhận xét: Để giải phương trình đưa về cùng cơ số ta cần phải vận dụng tốt các công thức logarit và biến đổi thành thạo để đưa về dạng cơ bản… Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau

1) 3)

2) 4)

5.3. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau

a) b)

c) d)

Giải: a) Điều kiện:

(1)

Đặt:

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 20 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Khi đó (1) trở thành:

Khi

Vậy phương trình có nghiệm:

b) Điều kiện:

Đặt:

Khi đó (2) trở thành:

Khi (n)

Vậy phương trình có nghiệm:

(3)

c) Điều kiện: x > 0 Đặt: Khi đó (3) trở thành:

Xét hàm số trên tập R

Ta có: nêm f(t) là hàm nghịch biến trên tập R

nên

Mặt khác: Khi Vậy phương trình có nghiệm: d) (4)

Điều kiện:

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 21 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Vì

Đặt:

Khi đó (4) trở thành:

Khi (vì )

Vậy phương trình có nghiệm:

Nhận xét: Loại toán đặt ẩn phụ là để đưa từ bài toán phức tạp về bài toán gọn hơn thôi. Tuy nhiên việc đặt ẩn phụ như thế nào phụ thuộc vào từng bài toán. Lưu ý điều kiện của ẩn phụ. Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau

3) 1)

4) 2)

5.4. Phương pháp 4: Đưa về phương trình tích

Ta tách, thêm, bớt … rồi đặt nhân tử chung để đưa phương trình đã cho thành

tích các đa thức đơn giản để việc giải dễ dàng hơn.

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau

b) a)

Giải:

a) Điều kiện:

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 22 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Vậy phương trình có nghiệm:

b) Điều kiện: khi đó ta có:

Đặt

Khi đó (*) trở thành: (1)

Xét hàm số: trên tập R

Ta có:

Nên f(t) là hàm đồng biến trên R.

Mặt khác: f(1) = 0 nên là nghiệm duy nhất của (1)

Khi (n)

Vậy phương trình có nghiệm:

Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau

1) 3) 5.5. Phương pháp 5: Mũ hóa Ví dụ 5. Giải các phương trình sau

b) a)

Giải

Vậy phương trình có nghiệm:

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 23 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

b) Điều kiện:

(*) Đăt: Khi đó (*) trở thành:

(**)

Đặt: trên tập R

Ta có:

là hàm nghịch biến trên tập R.

suy ra là nghiệm duy nhất của (**)

Nên Mặt khác Khi Vậy phương trình có nghiệm: Nhận xét: Đối với loại toán này khi việc giải bình thường gặp khó khăn hoặc không giải được nên ta mũ hóa thì sẽ đưa về phương trình mũ và việc giải sẽ dễ dàng hơn. Lưu ý là chon cơ số hợp lý là điều quan trọng.

Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau

1) 3)

2) 4)

5.6. Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu của hàm số

u = v

x > a,

Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến ) và liên tục trên khoangr K thì số nghiệm trên khoảng K của phương trình f(x) = a không nhiều hơn một và f(u) = f(v) Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) và y = g(x) đơn điệu ngược chiều và liên tục trên khoảng K thì số nghiệm trên khoảng K của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một. Định lí 3: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K thì f(x) > f(a) Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K thì f(x) > f(a) x < a,

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 24 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:

a) b)

Giải: a) Điều kiện: x > 0

(1)

Đặt

Khi đó (1) trở thành:

Xét hàm số trên tập R

là

Suy ra f(t) là hàm nghịch bến trên R, mặt khác f(2) = 0 nên nghiệm duy nhất của (*) Khi Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 49 b) Điều kiện: x > 0 Khi đó:

Xét hàm số với x > 0

Ta có: với x > 0

nên f(x) là hàm luôn đồng biến với x > 0 mặt khác là nghiệm duy nhất của (**)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

Nhận xét: Đây là loại toán khó cần phải nhẩm được nghiệm thương thì nghiệm là các số nguyên. Nhiều khi chúng ta phải dùng tới đạo hàm cấp hai mới giải được.

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 25 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

.Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau

3) 1)

2) 4)

5.7. Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá Ví dụ 7: Giải các phương trình sau

b) a)

Giải: a)

Điều kiện: Ta có:

Nên

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 b) Điều kiện:

Khi đó:

Ta có:

Nên

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 Nhận xét: Loại này tương đối khó. Phải biết sử dụng linh hoạt các bất đẳng thức thông dụng và biết cách so sánh. Tuy nhiên loại toán này thường thì có ít nghiệm và nghiệm thường là số nguyên.

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 26 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau

2) 1)

6. MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG TRONG CÁC NĂM GẦN ĐÂY

. Đại học khối D-2003

1) Giải phương trình: 2) Giải phương trình : . Đại học khối A-2006

3) Giải phương trình 4) Giải phương trình: . Đại học khối D-2006 . Đại học khối B-2007

5) Giải phương trình: . Đại học khối D-2007

. Đại học khối A-2008

. Đại học khối D-2010

6) Giải phương trình: 7) Giải phương trình: 8) Giải phương trình: . Đại học khối D-2011

9) Giải phương trình: Đại học khối D-2013

10) Giải phương trình 32x+1 – 4.3x + 1 = 0. Cao đẳng khối D - 2014

IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Qua quá trình giảng dạy tôi thấy việc đưa ra các phương pháp giải về phương trình siêu việt như trên học sinh nắm được bài, hiểu được sâu kiến thức. Từ đó học sinh rèn luyện được kỹ năng giải toán, củng cố kỹ năng giải các bài toán giải phương trình siêu việt, số học sinh đam mê và yêu thích môn toán ngày càng tăng, năng lực tư duy và kỹ năng giải toán của học sinh được nâng cao, nhất là học sinh khá giỏi. Học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức và có kỹ năng giải các bài toán tương tự, trên cơ sở đó học sinh có thể giải được các bài toán tổng hợp. Đối với bài kiểm tra các em trình bày chặt chẽ logic, kết quả cao, với kết quả như sau :

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 27 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Trong năm học 2012 - 2013, tôi đã chọn 30 học sinh dự thi khối A ,tôi đã khảo sát

và kết quả cụ thể như sau :

Lớp Giỏi Tỷ lệ Khá Tỷ lệ Yếu Tỷ lệ Tỷ lệ

2 1 20% 26,7% 6,7% 3,3% 53,3% 46,7% 16 14 6 7 Trung bình 20% 6 23,3% 8

12B5 12B6 Kết quả thử nghiệm cuối tháng 4 năm học 2013 - 2014, tôi đã chọn ngẫu nhiên 30

học sinh dự thi khối A và đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau :

Lớp Giỏi Tỷ lệ Khá Tỷ lệ Tỷ lệ Yếu Tỷ lệ

12B2 12B8 6 8 20% 26,7% 12 10 40 % 33,3% 20 % 6 16,6% 7 20% 23,3% Trung bình 6 5

Kết quả thử nghiệm cuối tháng 12 năm học 2014 - 2015, tôi đã chọn ngẫu nhiên 30 học sinh dự thi khối A và đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau :

Lớp Giỏi Tỷ lệ Khá Tỷ lệ Trung Tỷ lệ Yếu Tỷ lệ

12B7 12B9 10 10 33,3% 33,3% 12 13 bình 6 40 % 43,3% 6 20 % 20% 2 1 6,7% 3,4%

IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp dụng cho học sinh đại trà và khá, giỏi. Học sinh yếu, trung bình nắm được phương pháp giải để vận dụng giải các bài toán đơn giản. Học sinh khá, giỏi trên cơ sở nắm vững các phương pháp này áp dụng vào các bài tập phức tạp hơn và từ đó nâng cao khả năng tư duy và tính sáng tạo của học sinh.

Sáng kiến kinh nghiệm đã được tác giả thực hiện tại một số lớp và đã đạt được kết quả tương đối. Trên sơ sở đó tôi xin đề xuất sáng kiến kinh nghiệm “một số phương pháp giải phương trình mũ – phương trình logarit” có thể áp dụng trong đơn vị trong thời gian tới.

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 28 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn- Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuấn (2010) Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản và nâng cao – NXB giáo dục Việt Nam 2. Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn- Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuấn (2010) Sách bài tập giải tích 12 cơ bản và nâng cao – NXB giáo dục Việt Nam 3. Trần Đức Huyên (chủ biên) (2011) Giải tích 12 (sách dung cho lớp chuyên ) –NXB

giáo dục Việt Nam.

4. Các đề thi đại học thống nhất toàn quốc năm 2009 -2014 5. Các đề thi tốt nghiệp thống nhất toàn quốc năm 2009 -2014 6. Vũ Thế Hựu (2010) Bộ tài liệu ôn thi đại học - NXB đại học sư phạm

LỜI KẾT

Chuyên đề này chỉ đề cập được một số phương pháp thường gặp để giải phương trình mũ và lơgarit, còn rất nhiều phương pháp hay hơn, khó hơn hữu dụng hơn mà tôi chưa thể đề cập tới.

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, song chuyên đề chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong toàn thể quý thầy cô và các bạn đọc đóng góp ý kiến để chuyên đề được tốt hơn và hữu ích hơn.

Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã giúp tôi hoàn thành chuyên đề.

Định Quán, ngày 03 tháng 3 năm 2015

Người thực hiện

Nguyễn văn Đức