Ề Ế THÔNG TIN CHUNG V SÁNG KI N
ươ ư ặ ng pháp tìm hàm đ c tr ng trong gi ả ệ ươ i h ph ng trình 1. Tên sáng ki nế : Ph
ụ ố ằ b ng công c hàm s
ự ụ 2. Lĩnh v c áp d ng sáng ki n ạ ụ ế : Giáo d c đào t o
ừ ế ụ ờ 3. Th i gian áp d ng sáng ki n ế : T ngày 20 tháng 9 năm 2016 đ n ngày 15 tháng
05 năm 2016.
4. Tác gi :ả
ọ ễ H và tên: Nguy n Văn Khoa
Năm sinh: 1983
ườ ệ ườ ỉ ị ơ N i th ng trú: Xã Xuân Thành Huy n Xuân Tr ng T nh Nam Đ nh
ạ ỹ ộ ọ Trình đ chuyên môn: Th c s toán h c
ứ ụ ệ ưở Ch c v công tác: Phó Hi u tr ng
ệ ơ ườ ườ N i làm vi c: Tr ng THPT Xuân Tr ng
ệ ệ ị ỉ ườ ỉ ị Đ a ch liên h : Xóm 2 Xã Xuân Thành Huy n Xuân Tr ng T nh Nam Đ nh
ệ ạ Đi n tho i: 0917.842.399
ỷ ệ ế ạ T l đóng góp t o ra sáng ki n: 100%
ơ ị ế ụ 5. Đ n v áp d ng sáng ki n:
ị ườ ườ ơ Tên đ n v : Tr ng THPT Xuân Tr ng
ệ ị ỉ ườ ỉ ị ồ Đ a ch : Xã Xuân H ngHuy n Xuân Tr ngT nh Nam Đ nh
1
ệ ạ Đi n tho i: 03503.886.167
Ế Ệ SÁNG KI N KINH NGHI M
ươ ư ặ ụ ằ Ph ng pháp tìm hàm đ c tr ng trong gi ả ệ ươ i h ph ng trình b ng công c hàm
số
Ả Ạ Ề Ệ I. ĐI U KI N HOÀN C NH T O RA SÁNG KI N
Ế ọ ươ ủ ề ấ ủ ề ộ ệ H ph ng trình là m t ch đ r t quan tr ng trong các ch đ toán h c ọ ở
ườ ệ ầ ọ ổ ươ tr ữ ng trung h c ph thông. Trong nh ng năm g n đây, bài toán h ph ng trình
ạ ọ ỳ ờ ố ọ ỳ ỏ trong các k thi đ i h c (bây gi là thi THPT Qu c gia), k thi h c sinh gi ả i, thi kh o
ấ ượ ủ ụ ủ ở ườ ệ ấ ố sát ch t l ng c a các S giáo d c, c a các tr ớ ng trên toàn qu c… xu t hi n v i
ấ ấ ớ ề ộ ạ ươ ả ầ t n su t r t l n và ngày càng đa d ng v n i dung và ph ng pháp gi i. Các bài toán
ả ữ ề ấ ấ ộ ọ ượ đ c các tác gi ra đ khéo léo gi u đi nh ng tính ch t quen thu c nên h c sinh
ườ ề ể ặ ả ế th ng g p nhi u khó khăn đ tìm ra cách gi i quy t bài toán.
ươ ề ặ ườ ệ H ph ng trình có m t trong các đ thi toán 12 th ể ử ụ ng có th s d ng
ươ ố ể ả ườ ề ữ ự ph ng pháp hàm s đ gi ế i quy t. Ng
ế ướ ượ ệ ủ ơ ặ ề ộ mà bi c đ t tr c tính đ n đi u c a nó trên
ư ặ ọ ượ ư ặ làm hàm đ c tr ng. Khi đã ch n đ c hàm đ c tr ng, ng ế i ta ch n ti p hai bi n
)
)
= ơ ả i ra đ cũng d a vào nh ng hàm c b n ﾡ ho c trên m t mi n nào đó đ ch n ể ọ ế u, ọ ( f v ườ ( f u ạ ổ ớ ộ ứ ạ ể ắ ươ ế và bi n đ i đi ng trình d ng v (v i đ ph c t p tùy ý) đ g n vào ph
ươ ả ắ ỏ ọ ế ắ ớ ể ượ đ đ ộ c m t ph ứ ng trình m i. Lúc này đòi h i h c sinh ph i n m ch c ki n th c,
ụ ỹ ể ả ế ể ổ ế ớ thành th c k năng bi n đ i m i có th tìm ra chìa khóa đ gi i quy t bài toán.
ự ế ớ ớ ư ệ ươ ề ố ớ Nh ng th c t , v i l p h ph ặ ng trình này, đa s các em l p 12 đ u g p
ấ ị ữ ữ ư ạ ặ ạ ở ộ ở ủ nh ng tr ng i nh t đ nh, m t trong nh ng tr ng i đó là tìm ra hàm đ c tr ng c a
ươ ệ ẫ ế ắ ế ệ ờ ả ộ m t ph ặ ng trình trong h , d n đ n g p b t c trong vi c tìm ra l i gi ấ i. Đ y là
ư ể ế ể ả ữ ỹ ươ ư ế ổ ươ ươ ch a k đ n nh ng k năng khác đ gi i ph ng trình nh bi n đ i t ng đ ng,
ụ ầ ợ ọ ặ ẩ đ t n ph , nhân liên h p…h c sinh đã quên (do ph n này h c ọ ở ươ ch ớ ng trình l p
10).
ớ ố ọ ươ ỹ ố ắ V i mong mu n giúp các em h c sinh có ph ng pháp, k năng t ắ t, n m b t
ấ ấ ề ệ ặ ỡ ỡ ươ ượ ả đ c b n ch t v n đ , không còn b ng khi g p các h ph ạ ng trình d ng này, tôi
ả ệ ố ằ ạ ậ ụ ể ứ ế ạ ầ suy nghĩ r ng, c n ph i h th ng l i ki n th c, phân d ng bài t p c th , hình thành
ươ ố ớ ớ ể ọ ể ầ ph ậ ng pháp và c n có phân tích đ i v i l p các bài toán đó đ h c sinh hi u, v n
ư ữ ậ ạ ươ ự ậ ụ d ng và có t duy logic cho nh ng bài t p có d ng t ng t . Chính vì v y, tôi đã
ọ ươ ư ặ ề ch n đ tài “ Ph ng pháp tìm hàm đ c tr ng trong gi ả ệ ươ i h ph ằ ng trình b ng
ể ụ ượ ươ ọ ố đ giúp h c sinh có đ ộ c m t ph ng pháp t ố ể ả ệ ươ ng i h ph t đ gi công c hàm s ”
2
ư ươ ấ ươ trình, cũng nh ph ng trình và b t ph ng trình.
Ả Ả II. MÔ T GI I PHÁP
ế 1. Mô t
ả ả gi ướ ướ c khi t o ra sáng ki n ả ạ ạ ệ ậ ầ ọ ớ i pháp tr c đây, khi gi ng d y hay ôn t p cho h c sinh l p 12 ph n h ph Tr ươ ng
ườ ẽ ớ ệ ọ ộ ươ ề ph ng pháp trình, giáo viên th ng s gi i thi u cho h c sinh m t chuyên đ : “
ố ả ệ ươ ạ ụ ể ẽ ả hàm s gi i h ph ng trình”, đi vào gi ng d y c th , giáo viên s nêu ra ph ươ ng
ộ ệ ố ế ậ ồ ọ pháp chung chung r i cho h c sinh làm m t h th ng các bài t p liên quan đ n hàm
ỏ ơ ữ ố s mà không chia nh h n n a.
ộ ệ ố ư ế ọ ư ậ ả ạ ớ V i cách gi ng d y đ a ra m t h th ng các bài t p nh th , h c sinh không
ượ ứ ư ể ặ ệ ượ ự ố ắ n m đ c cách th c đ tìm ra hàm đ c tr ng. Không phân bi c s gi ng và t đ
ả ả ữ ệ ạ khác nhau gi a các cách đó. Do đó, hi u qu gi ng d y không cao.
ế 2. Mô t ả ả gi i pháp sau khi có sáng ki n
ứ ơ ả ế 2.1. Các ki n th c c b n
ị 2.1.1. Các đ nh lý
(
)
) ;a b .
= y ạ có đ o hàm trên kho ng Cho hàm s ố
(
( f x ) ( x (cid:0)
)
(cid:0) ả ) f x ' a b ; ọ ấ ả ạ ữ ể ạ , d u “=” x y ra t i h u h n đi m thì a) N u ề
0 ớ ế trên ( v i m i ) ;a b . hàm s ố (
(
)
) x (cid:0)
)
(cid:0) f x đ ng bi n ồ ( f ' a b ; ấ ả ạ ữ ể ạ , d u “=” x y ra t i h u h n đi m thì b) N u ế
x ) ;a b . f x ngh ch bi n ị 0 ớ ọ v i m i ế trên (
hàm s ố ( 2.1.2. Các tính ch tấ
)
(
( f x
) ;a b và
= y ấ ả ử ế ế ả ồ ị Gi ố s hàm s đ ng bi n (ngh ch bi n) trên kho ng Tính ch t 1:
(
)
)
)
( f u
( f v
= (cid:0) =� u u v ; a b ; v . , khi đó
)
) ;a b và
= = y y ấ ế ố N u hàm s ế trên ( đ ng bi n Tính ch t 2:
)
( g x )
)
( f x
= là hàm h ngằ ( g x ặ ươ ộ ho c là m t hàm s ;a b thì ph ng trình có nhi uề
( ) f x ồ ế trên ( ố ngh ch bi n ị (
ệ ấ ả ộ ộ nh t m t nghi m thu c kho ng
(
)
)
)
)
( f x
( g x
) ;a b . ( f x 0
( g x 0
= (cid:0) = a b ; ế ươ N u có thì ph ng trình có x 0
(
)
) nghi m ệ duy nh t ấ 0x trên ( Chú ý: Kho ng ả
sao cho ) ;a b .
(
)
)
)
(
(
)
]
[
[
]
3
- (cid:0) - (cid:0) - a a ;a b nêu trong tính ch t có th thay b i các mi nề ấ ] ) ( (cid:0) +(cid:0) , ể ( +(cid:0) b ; ở [ +(cid:0) b ; a b ; a b ; a b ; ; , , , , , , ; ; .
ả ụ ể 2.2. Gi i pháp c th
)
)
( f v
( f u (
)
= ộ ươ ạ ệ ứ 2.2.1. H ch a m t ph ng trình có luôn d ng
f t ỉ ầ ư ặ ứ Khi đó, ta ch c n xét luôn hàm đ c tr ng v i ớ t D(cid:0) , ch ng minh hàm
ơ ừ ượ ượ ả ố ệ luôn đ n đi u trên D, t đó có đ ứ c u = v, t c là tìm đ ơ ệ ơ c m i liên h đ n gi n h n
ự ữ ệ ế ươ ạ ư ề ươ gi a x và y. Th c hi n th vào ph ng trình còn l i đ a v ph ộ ẩ ng trình m t n.
ụ ậ ươ ổ ươ ế ươ ượ V n d ng các ph ng pháp: bi n đ i t ng t ng, nhân l ặ ẩ ợ ng liên h p, đ t n
3
ể ả ụ ươ ph , đánh giá….đ gi i ph ng trình này.
2
2
( (
) 1 )
3
3
3
(cid:0) - (cid:0) x = - 3 y y (cid:0) ̣ ươ ̉ ̀ ng trinh: Bài 1. Giai hê ph + + x = (cid:0) x xy y 1 2 (cid:0)
)
)
(
)
( f x
( f y
+ = = � x + = x y y f t t , v i ớ + . t
2
� ) t v i ớ t (cid:0)
(
)
) i. ả Ta có ( 1 Gi Xét hàm s ố ( f ) (
= ﾡ . + > " ��ﾡ t f f t t ' ồ ế đ ng bi n trên ﾡ . Có
( f x
2
2
2
= t 3 ) 1 0 ( ) f y =� x y Do đó
ế ượ Th vào (2) ta đ c x
)
) 2;2 ,
- - 12 ( =� � . x 2 ( + = x ) x y = ; 2; 2 ệ ậ + x ệ ( V y, h đã cho có nghi m .
(
) 1
2
2
2
(
)
(cid:0) + x = + y (cid:0) 1 + 1 + 2 x y 1 1 (cid:0) (cid:0) ̣ ươ ̉ ̀ ng trinh: Bài 2. Giai hê ph + - x x 3 2 (cid:0) + = x 9 2 (cid:0) 2 y 4 2 y (cid:0)
Gi i. ả
y (cid:0) 0 ề ệ Đi u ki n:
)
2
4
2
4
2
(cid:0) t = + t t , Xét hàm s ố ( f ﾡ 1 + t 1
) 1
2 >
(
)
2
2
2
2
(
( + - t ) 1
) 1 )
- t t t t 2 1 = " (cid:0) ﾡ t t f 0, ' = - 1 có = 2 + + t 2 + + ( + ( t t + t 2 ) 2 1
t ồ t suy ra hàm s ố ( f
)
= ế đ ng bi n trên ( f x ﾡ . ( ) f y =� x y ươ ạ Ph ng trình (1) có d ng
2
ươ ượ Thay x y= vào ph ng trình (2) ta đ c:
2
2
(
)
4
+ - x x 3 2 + = + = � x x x 9 9 3 2 4 2 x 2 - + x 4 2 x 4 2 x
= = 2 + 2 - - � � u x u x + 2 x + 2 u 3 9 12 9 12 Đ t ặ 2 x 4 2 x 4 = 2 x
ươ ở Ph ng trình (5) tr thành
2
u =
2
2
2
+ (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 2 + = u = + u u 12 2 2 + + (cid:0) u � = u 2 (cid:0) u 2 0 ���� = + u u 12 u 4 4
2
(cid:0) 1 7 - ớ V i ta có � = � x x x 3 2 3 - = x 2 2 0 2 - = x 3
) ;x y la: ̀
+ + - - 7 7 7 1 ; 7 1 ; ̣ ̣ ệ ( Vây hê đã cho có nghi m 3 3 3 3 � 1 � � �� 1 , �� �� � . � �
4
2
2
( (
) 1 )
(cid:0) (cid:0) y y (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 3. Gi x + - (cid:0) + + 1 ( x y x y 2 - = x 1 ) - + 1 + + 4 2 + = y 6 1 0 2 (cid:0)
)
)
( f u
( f v
4
4
= ễ ậ ấ ươ ng trình , th yậ (1) có luôn d ng ạ Phân tích: Ta d dàng nh n th y ph
(
) 1
) 4 + + 2
4
(
)
- v y ậ ( . � x y 1 - = x 1 + + 4 y 2
3
ự ư ế ệ ặ Đ n đây ta th c hi n xét hàm đ c tr ng t f = + t t + . 2
(
)
= + t f ' 1 ư ị ượ ấ Ta có ch a xác đ nh đ c d u. t 2 + 4 t 2
(cid:0) ằ ề ể ề ế ặ ượ và y, n u ta ch n đ ế c bi n
)
(
)
(cid:0) " (cid:0) x - +(cid:0) 1 0 ) ủ 4 ủ Đ ý r ng, mi n D c a t là h p mi n c a [ y (cid:0) t t f t 0 ' 0, 0 D = 0; ệ ớ thì v i vi c xét hàm s trên thì .
ặ ượ ươ ợ ố ( f ế c bi n y, xét đ n ng trình bâc T ừ (1) ta khó ch n đ ẩ 2 n x,
ự ề ệ ố ệ tham s y, d a vào đi u ki n có nghi m ta s ch n đ ế (2), ta coi đây là ph ế ẽ ặ ượ c bi n y.
ệ x (cid:0) 1. Gi ề i. ả Đi u ki n
2
(
ươ ề ệ Coi (2) là ph ể ồ ạ x là i
4
y y y y y ẩ x, đi u ki n đ t n t ậ ng trình b c hai n ) 2 �۳ 1 -+ -= D= - ' 1 4 6 0 0
4
4
- ươ ở u (cid:0) 0. Đ t ặ suy ra Ph u x= 1,
)
3
4
+ + = ng trình (1) tr thành: ( u y y u + + 2 2 3
(
)
(
)
= (cid:0) = f t t ' + > " 1 0, 0 t (cid:0) 0. Xét Ta có f t t + + v i ớ t , 2 2
7
ươ ươ ươ ớ y Do đó ph ng trình (3) t ng đ y= x
42 y
7
6
3
+ + 4 1. ) ( t 2 + 4 t u= , nghĩa là ) = + - y 4 0 4 ươ ượ ng trình (2) ta đ
)
42 y
5
(cid:0) = + + = ng v i ( y y ) y" 0 Thay vào ph ( g y y + - y y y 4 7 8 c: ( g y ' Hàm có + > v i ớ 1 0 .
(
(
(
= 0, Mà 1y =
) x y = ;
) 2;1
ệ nên (4) có hai nghi m không âm là ) x y = ; ượ ượ V i ớ ệ ( c nghi m
)1 g y = ta đ 0 ệ ( V y nghi m
)
( f u
ệ ( c nghi m ) ậ ủ ệ ;x y c a h đã cho là
t ươ ỉ ậ ố ( f ơ Ph ng trình ệ đ n đi u
) 1;0 ; v i ớ )1;0 và ( ( ( ) ) = f v (
)
y = và 0 1y = ta đ )2;1 . v=� u ) ch khi hàm s ( f t t Nh n xét: ,u v D(cid:0) 'f ư ế ặ ị ư . N u hàm đ c tr ng ạ có đ o hàm trên D và
ặ ế ả ặ ộ ch a xác đ nh m t ;x y để ) trên ﾡ thì ta ph i tìm cách ch n bi n
ươ ( ng ho c luôn âm ) t f d u ấ (luôn d ,u v D(cid:0) ơ ể ự ể ế ặ và ệ đ n đi u trên D . Đ ch n bi n
ị ệ ươ ươ ệ ủ xác đ nh c a h ph ề ng trình, đi u ki n đ ph ậ ng trình b c hai n
ệ ủ ề ệ ặ (ho c n
2
2
(cid:0) A B B A 0 ,x y ta có th d a vào đi u ki n ệ ề ẩ x tham s ố y ể ặ ẩ y tham s ố x ) có nghi m, ho c nh n xét đi u ki n c a bi u th c đ h có ể ứ ể ệ ậ = +� 0 0, ạ ệ ; h n: nghi m ẳ (ch ng
3
= < < + = - � A B c A A B 0 0; 1 1 1
4
2
3
3
(cid:0) = 3 - - (cid:0) y x y x 3 3 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 4. Gi + = � �� ,….) A B , ) ( 1 ) ( (cid:0) y x 2 (cid:0)
)
(
)
( f y
) 1
3 3 . t
= - - - � � 1 ) ( = f x x = x y y f t t 3 3 , v i ớ i. ả Ta có ( Gi
2
(cid:0) (cid:0) y 1, 1 .
)
(
)
] 1;1
= - " t ng trình (2) suy ra [ -� t t f ' ừ ươ T ph Xét hàm s ố ( f v i ớ
(
)
)
[ -� � t 3 0 ( ) f y
= - x ]1;1 [ t f t 3 ( f x =� x y , ta có ]1;1 ế ị Suy ra ngh ch bi n trên , do đó .
Thay vào (2) ta đ c:ượ
2
4
4
2
- + 1 5 - + 1 5 + = + - = = 2 � � x x x x x = � � x 1 1 0 2 2
)
- + - + 1 - + 1 5 1 5 1 5 5 = - - x y ; ; - + ; ệ ậ ệ ( V y, h đã cho có nghi m 2 2 2 2 � � � � �� �� ; �� �� � � � �
2
2
ươ 2.2.2. Ph
)
2
2
+ + + + ợ ng pháp nhân liên h p tìm hàm đ c tr ng ) ( ặ ư ( ax by 1 1 1 . ệ ứ ạ ợ H ch a d ng liên h p
(
)
(
)
2
2
2
� ax � � + �� by �� �� + � = � � + = (cid:0) ươ ậ Nh n xét Ph ng pháp: ax ax ax ax ax ax + > 1 0
(
)
(
)
)
(
2
(
)
2
1 + + + + + � ax by by by 1 . 1 1 + = 1 Nên � ax � � �� by �� �� � = � � + + ax ax 1
(
)
) +
(
) 2 + ax
( + = - 1
6
+ - � by by ax 1
(
)
(
)
f t ư ằ ặ ượ ồ B ng cách xét hàm đ c tr ng c ế đ ng bi n t f = + t t + , ta ch ng minh đ 2 1 ứ
= - � by ax ươ trên ﾡ , do đó ph ng trình trên .
ươ ể ử ụ ươ ượ Ngoài ph ng pháp trên, ta có th s d ng ph ng pháp nhân l ợ ng liên h p
ệ ữ ố ể đ tìm ra m i liên h gi a x và y.
2 1
2
ớ ệ ứ ứ ạ ể ờ ả * V i h ch a bi u th c d ng + , , khi phân tích, tìm tòi l i gi i ta t+ t + t 1
2
ử ể ạ ợ ờ 1 t+ ứ cũng nên th nhân liên h p cho các d ng th c trên đ tìm l i gi
2
2
(
)
)
(
) (
(cid:0) + ả ( x x + - = y + y + x 2 8 6 4 2 i bài toán. ) 1 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 1. Gi + + + = (cid:0) x x y y 3 + 1 9 1 1 2 (cid:0)
2
2
+ (cid:0) y 2 0 Gi
ề i. ả Đi u ki n: + x+ 4 > + = + (cid:0) x x x x x ệ + 1 9 3 9 3 3 0
2
2
2
2
2
1 + + = + = - + x 3 ) � � y y y y + x x 1 1 3 + 1 9 2 Ta có Nên ( x 3
) 2
( = -
+ + ) + x ( x y x y + 1 9 + - 1 3 3
2
1 ) + � Xét hàm s ố ( f t = + t t
(
)
2
2
+ t t t = > (cid:0) " (cid:0) ﾡ t t ' 0 t 2 + trên ﾡ có: 2 1 + + 1 + t + t 1 1
t
(
) ươ
- f
2
= + f 1 + t Nên hàm s ố ( f ( = f y Do đó, ế Th vào ph
(
( + x
) 2 = 1
) 2 2 1
- � � t 1 ) ﾡ . ế ồ đ ng bi n trên )3 = -� x y x 3 . ượ ng trình (1), ta đ c: + x x - = x + + x + = x 2 1 3 8 6 2 2 3
) 2 1 )
( + + x + - 1
+ + 2 ( + 2 x ) + + x ( � x x x + x + = 1 3 2 3 = 3 3 2 + V i ớ
2
2
)
) +
(
)
( + x
) = 4 2 3
( ) = + 2 2 3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - x x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + - - - - 3 1 ( (cid:0) (cid:0) x x x 3 1 ( x 2 1 3 3 2 + 1 2 3 0 (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) = + (cid:0) � � x 2 2 3 + - - x ( (cid:0) x x 0 (cid:0)
(
)
) = 2 2 3 ) + 2
= + - - � 3 1 ) ( 1 ( + x - + x x 3 - = x 1 3 1 2 + V i ớ
(
)
( 3 )
) (
) < < 3
- (cid:0) - x 3 ( - + x 1 3 - + 2 1 0 + 3 2 ươ ệ x (cid:0) 2 Ph ng trình vô nghi m do thì
= + - ấ V i ớ ỏ i th y th a mãn. � x y 2 2 3
)
7
- - ử ạ . Th l ( + 6 6 3 ) x y = ; 2 2 3; 6 6 3 ệ ậ = - ệ ( V y h đã cho có nghi m
2
2
( (
) 1 )
(cid:0) (cid:0) x x y ( )( (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 2. Gi = y ) 1 + 2 - (cid:0) x + + 1 = x y 4 + + 1 + + 2 22 3 8 2 (cid:0)
2
- (cid:0) (cid:0) ệ x 2 Gi ề i. ả Đi u ki n: 22 3
2
+ (cid:0) " (cid:0) ﾡ Do y - > y - = - + 2 y y y y y 1 0,
2
- ế ủ ươ ớ Nên nhân hai v c a ph ng trình (1) v i ta đ cượ y + 1 y
(
( = -
) +
(
) 2 + y
) 1
+ + - (3) � x x y 1 1
)
2
(cid:0) ﾡ Xét hàm s ố ( h t = + t t t + 2 1 ,
)
( h t '
2
2
+ t t t = > (cid:0) " (cid:0) t 0, = + 1 ﾡ Ta có t 2 + + + 1 + t + t t 1 1 1
ồ ế đ ng bi n trên ﾡ .
.
+ 2 - ươ ượ t )h t Suy ra hàm s ố ( )3 Do đó ( y= -� x x= - Thay y vào ph x x + + 2 22 3 4 8
ự ệ ợ ượ ệ ượ ệ 2 = c: ng trình (2) ta đ x x = , th c hi n nhân liên h p ta thu đ c nghi m x = và 2 ẩ Nh m đ c nghi m
3 - 2 ươ ph ng trình : (*) 4 + + - x + x 22 3 = + x 4
= VT f x ( ) 2 2 = VP g x ( ) đ t ặ ;
2
- (cid:0) = - f x ( ) 0 Ta có: và < 2 4 + + + - - x x x 2 2.(2 2) 9 + 2 22 3 .(2 x 22 3 )
" - g x(cid:0) ( ) 1 0 2; = > v i ớ 22 3 � (cid:0) � x � � . � �
- ế ế ồ Suy ra ( ) f x ngh ch bi n, ị ( )g x đ ng bi n trên
x = -
1
f ươ ệ ấ suy ra ph
) 2; 2 ,
- - 22 � � 2; � �� � 3 ng trình (*) có nghi m duy nh t ) ( 1;2 - = - = g ( 1) 1 ( 1) Mà ) V yậ nghi m ệ ( ;x y c a h đã cho: ủ ệ
2
2
(
)
(
( ) (
) 1
2
2
(
)
(cid:0) + + + + = x x y y 1 1 1 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 3. Gi (cid:0) + - + - x - = x y y 3 2 4 2 5 2 (cid:0)
)1
8
y= -� x ế ượ , th vào (2) ta đ c: i. ả Ta có ( Gi
2
)
(
)
( - + 2 y
) 1
( 4 1
+ - + + = - - - - - � y y y y y 5 4 2 + = 3 0 2 2 3 0
(
) 1
4 - - � y 0 + - y 2 1 + 2 1 + 3 � + + y 1 � � � � = � y � �
)
( g y
( 0 4
[ -�
= (cid:0) y (cid:0) (cid:0) 4 (cid:0) = + + - 1 ) y 1 (cid:0) - y = y 2 + 2 1 + 3 (cid:0)
) g y v i ớ
y + 1 ]3;2 Hàm s ố ( , ta có:
)
]
[ -�
( g y '
2
2
)
)
( + . 1
( + . 2
2 1 + y = + 1 > " 0, 3;2 - - - y y y y 2 2 + 2 3 3
2 ươ Ph ng trình (4) có duy nh t nghi m
)
(
)
) 1;1 ,
- ấ ( = - ệ ( y = - ) = x y ; x y ; 2; 2 ệ ậ . ệ ( V y h có nghi m
2
2
)
) (
(
6
3
2
2
(cid:0) + + + + = (cid:0) x x y y 4 4 2 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 4. Gi (cid:0) + (cid:0) x y x 27 8 - = 2
)
(
) 1
2
2
+ � y x x y + = 4 2 + - 1 i. ả Ta có ( Gi
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) = f x
2 + + - 4
2
+ + - - (*), v i ớ f t = + t t � � 1 x x y y f y + = 4 2 2 2
)
(
)
2
2
2
+ + t 1 = > t f t ' 0 Xét hàm s ố ( f v i ớ t (cid:0) ﾡ , ta có t + t 1
2
2
)
+ + + + t t t t 1 = > (cid:0) 0 ) (Vì t 2 + + t + t t t 1 1
t ồ ế đ ng bi n trên ﾡ .
= -� x y 2 .
6
3
ươ ượ
3
3
3
2
2
2
- 1 nên hàm s ố ( f )* Do đó ( ế Th vào ph ) ( ng trình (2) ta đ ( c: ) 3 + 2 � � x x x = 2 x + 3 x + 2 x 2 4 3 3 3 + x 4 2
)
(
(
(
(
)
( g x
) 1
) 1
) 1
2
= + = + + + = + - = x 2 ) t � , v i ớ + . t x x g x 3 3
)
( g t )g t (
( g t '
= (cid:0) t t 3 + > " 1 0, 27 ) ( � x x 3 )g t Xét hàm s ố ( v i ớ t (cid:0) ﾡ , ta có ﾡ nên ĐB trên ﾡ .
2
2
(
)
( g x
) 1
9
(cid:0) 1 13 = + = Do v y, ậ � � g x x = + x x 3 3 1 6
) ;x y là:
+ - - - 13 1 13 1 13 - + 13 ; ; ệ ậ ệ ( V y, h đã cho có nghi m 6 6 6 6 � 1 � � �� 1 ; �� �� � � �
2
2
)
) (
(
( (
) 11
) ( 1
) 1
(cid:0) + + + 2 = y - + y x x + x y 1 1 2 2 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 5. Gi (cid:0) - - y x 8 2 + - = 2 1 3 + x 3 (cid:0)
y y (cid:0) 0 0 ệ ươ ớ y = không th a mãn h ph ỏ ng trình nên v i ế ớ , nhân hai v v i Gi i. ả Do
2
(cid:0) ta đ c:ượ y + - 2 1 1 0
(
(
( + x
) 1
) 1
) + = + y 1 1
+ - 2 � � x + x y + 2 y 1 1 + + x 1 1
2 + = 1 )
( f y
) 1
(
)
= � - + y ( + f x
2
2
V i ớ f t = + t t + . 2 1
(
)
(
)
2
2
(
)
+ + + + t t t t 1 = > = (cid:0) (cid:0) f t ' 0 Xét hàm s ố ﾡ , ta có t f = + t t t + 2 1, t 2 t + + + t t t 1 1 1
" (cid:0) ồ t v i ớ ế đ ng bi n trên ﾡ .
2
2
= + t ) � f ( f y y = + x ﾡ , suy ra ( ) f x 1 1 ế ượ Do đó , th vào (2) ta đ c:
(
)
(
)
+ = 2 - - � x + - x x + + = x x x x + + 2 x 3 8 3 1 3 0 2 8 3 2 1 3 3
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 8 � �
)
(
(
) 2
) = 1
+ 3 - + 2 - (cid:0) x x 102 63 = x 54 0 3 x 8 � � - 4 x 119 x x + + 2 x x 3 2 3 3 x � ( � 8 (cid:0)
)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x = = (cid:0) � � � x y 6 7 13 7 (cid:0) + 2 - - (cid:0) 3 8 3 x x x 119 102 63 = 54 0
x y ; ệ ươ ậ V y, h ph ệ ( ng trình đã cho có nghi m 6 13 � � = � � ; . 7 7 � �
2
ỉ ị ) Gi ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 6. (HSG t nh Nam Đ nh 2013
2
2
2
(cid:0) + (cid:0) xy 2 (cid:0) + + + - + = 2 ( (cid:0) y x x x x 2 y x ) 1 2 + = 3 2 x 4 . (cid:0)
ấ ươ ấ ủ ứ ệ ươ ậ ng trình th nh t c a h là ph ấ ng trình b c nh t
ế ẽ ẩ ươ ủ ệ ứ ng trình th hai c a h .
2
2
x n y nên ta s rút y theo x r i th vào ph y� �ﾡ ; Phân tích: Ta th y ph ồ ﾡ . i. ả ĐKXĐ: Gi
2
)
(
2
10
+ = � � xy y x y x = y x + = 2 2 + - 2 2 = Ta có � y x x + + 2 x x 2 + - 2
2
2
2
2
ế ươ ứ ệ Th vào ph ng trình th hai trong h , ta có :
(
)
(
) 1
2
2
+ + + - x x x x x x x + + 2 2 2 + = 3 2 4
(
) 1
2
+ + + + + + . � x x x x x x 1 2 2 2 + = 3 0
(
(
( = -
)
(
) 2 + x
) 1
) � + 1 1 � �
2
+ + + - � x x x 2 2 (*) � � � � + 1 � � � � �
)
(
2
2
= + + f t t t ( ) 1 2 Xét hàm s ố v i ớ t (cid:0) ﾡ . Ta có
= + ﾡ f t > " �� t f t '( ) 1 + + 2 0, t ( ) ồ ế đ ng bi n trên ﾡ . t 2 + t 2
- � � � 1y = ặ ươ ạ f x = - x x f x ( + = 1) ( ) + = - x 1 M t khác, ph ng trình (*) có d ng 1 2
(
)
.
3
2
x y ; ệ ệ ậ V y h đã cho có nghi m là 1 � � = -� � ;1 . 2 � �
(
)
2
3
2
= + + f t at bt + ct d ặ ư ạ ạ ậ 2.2.3. Tìm hàm đ c tr ng d ng b c ba d ng
+ a x 1 ạ ươ ng trình có d ng + = c y 2 a y 2
3
ươ ổ Ph
(
)
)
( f cy d
+ + = + ng pháp ( + ươ ) 3 ng trình trên v d ng: ) + + m ax b ề ạ ( f ax b . .
( n cy d (
ộ ệ ứ 2.2.3.1. H ch a m t ph + + + 3 b x c x d b y 1 1 1 2 ế : Ta tìm cách bi n đ i ph ) ( ) + = n ax b m cy d ) � ) t f t + ố ( f ứ ồ ị và ch ng minh hàm ế ế luôn đ ng bi n (ngh ch bi n)
)
)
( f ax b
( f cy d D D D 1 2
1
2
= + + + = � ax b + cy d ươ ạ ế Đ n đây, ta xét hàm s trên D. Suy ra: ng trình còn l i. = (cid:0) ư ề L u ý: mi n v i ớ ế và th vào ph ề ủ ax b+ và cy d+ . ,D D là mi n c a
3
2
2
ạ ọ ố Bài 1. (Đ i h c kh i A năm 2012 2 (cid:0) - - - x x y 3 ) Gi + x 9 ả ệ ươ i h ph + = 3 y 22 ng trình: 2 y 3 9 (cid:0) (cid:0) + (cid:0) x y - + = x y (cid:0) 1 2
ế ủ ầ ươ ề ế ậ ớ Phân tích: Hai v c a ph
)
( f v
= ng trình đ u đ u có d ng b c 3 (v i hai bi n x, ) ạ ( f u ị ướ ươ ề ạ y), nên ta đ nh h ầ ng trình đ u v d ng , tuy nhiên hàm
)
3 12 t
11
= - ư ng đ a ph ( t t f ư ệ ơ ặ ặ đ c tr ng lúc đó không đ n đi u trên ﾡ do đó ta ph i ch n bi n. ế ả
2 +
2 � � � � = � � � � � � � �
- ươ ứ ư ấ ượ Nhìn vào ph ng trình th 2 ta th y đ a đ ề c v suy ra + y x 1 1 2 1 2
3
3
- (cid:0) - (cid:0) x y 1; 1 . 1 2 1 2
(
(
( +
(
(
) 1
) 1
) 1
) 1
) 1
(
)
2 2 � � � � = + (cid:0) � � � � � � � �
(cid:0) = - - - - x x y y 12 + 12 (cid:0) (cid:0) (cid:0) Gi i.ả HPT - + y x 1 2 (cid:0) 1 2 1 2
- (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) x x 1 1 1
2
ừ T (2), suy ra - (cid:0) - (cid:0) + (cid:0) y 1 1 1 � � � � � � � � � �(cid:0) � � � � 1 2 1 + (cid:0) y 2 3 2 1 2 1 2 3 2
(
)
(
)
(
)
(
) <
3 12 t
(
)
= - = - - t f t f t ' 3 4 0, f t t Xét hàm s ố trên , ta có suy ra 3 3 � � ; � �� � 2 2
� � - = + y x = - y x ế ) 1 1 1 2 3 ị ngh ch bi n. Do đó (
2
2 +
2 � � � � = � � � � � � � �
(cid:0) = x (cid:0) - - - � � (cid:0) x x x 1 4 + = x 8 3 0 ượ Thay vào (2), ta đ c: (cid:0) 1 2 3 2 = x (cid:0) (cid:0) 1 2 3 2
(
)
)
3
= = x y ; x y ; ượ ủ ệ ệ Thay vào (3), ta đ c nghi m c a h là
(
(
2
2
(
)
(cid:0) = 3 - - 1 3 � � ; ( -� � ; 2 2 � � ) x y x + 2 y 2 3 1 � � -� � ; 2 2 � � ) 1 3 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 2. Gi + - - - (cid:0) x x y + = 2 y 1 3 2 2 0 2 (cid:0)
3
3
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 1 2 ệ .
(
(
)
) 1
- - - - x ( � Gi Ta có ( x = x y y ề i. ả Đi u ki n ) 1 3 1;0 ) 1 3 3
2
- - y 2
(
)
[ -� � t
] 1;1
1
1t
= = - - " - (cid:0) (cid:0) � � � � � 1 1 1 ) f t t t ' t 3 3 0, , có nên hàm số y Do 0 Xét hàm s ố ( f v i ớ
3 3 t ]1;1 [
- ế đ ng bi n trên .
)
)
( f x
( f y
) 1
= - � � = - x y y x= + 3 1 1 hay
) ( f t ồ Do đó ( ế Th vào (2) ta đ
2
2
2
4
2
ượ c
+ - - - - � + � = � x + = 2 x + = 2 x x x x x 3 1 2 0 2 2 1 = 8 0 0
12
x = 1 =� y x 0 1 ề ệ ỏ V i ớ (th a mãn đi u ki n).
(
) 0;1
3
ệ ệ ậ ấ ( V y h đã cho có nghi m duy nh t
) x y = ; (
)
( xy x
2
3
( (
) 1 )
(cid:0) + 3 - - - x y x 3 2 3 2 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 3. Gi = - . ) = y ) y ( (cid:0) y x + x x + 1 4 3 2 1 2 2 (cid:0)
3 +
- ệ x (cid:0) . Gi ề i. ả Đi u ki n: 1 2
(
)
(
) = y
) 1
3
- - ươ � (3) x y x + 3 y y 3 3
)
2
3
= + t t t 3 , t (cid:0) v i ớ ﾡ .
( Ph ng trình Xét hàm s ố ( f ( =
)
(
)
= + (cid:0) t f t t f t ' t 3 t 3 ồ Ta có ế đ ng bi n trên .ﾡ
) =
3
2
- � + > " 3 0, ( f x ﾡ nên ( ) f y - = x y = � x y y 2 . Khi đó: (3) có d ng ạ
)
3
3
= - y ( x x x + x 2 + 1 2 3 2 1 ế ượ Th vào (2) ta đ c: (4)
2 x t
2 x t
+ = (cid:0) = + 3 - - ở Đ t ặ khi đó (4) tr thành: x t � 0, x t x = 3 t 2 3 2 3 0
0
ỏ N u ế t 2 t = thì 0 1, x = không th a mãn (4)
3
2
3t ta đ
(cid:0) = - 1 (cid:0) (cid:0) t t (cid:0) 0, 2 ế ượ N u ế chia hai v cho c: (cid:0) (cid:0) = - x (cid:0) = t x x t 2 x � � � �+ 3 � � � � t � � � � = (cid:0) (cid:0) x t - = ��(cid:0) 1 0 x t 1 2
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) x 0 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) 0 = - x t= - , x + x 2 1 = - x 1 2 V i ớ ta có 2 + (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0)� x ���� 2 � = 2 x x 2 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) � �(cid:0) x � x 1 2 = + 1 = - 1 2 (cid:0)
t= , ta có
V i ớ 2x
2
(cid:0) (cid:0) x 0 (cid:0) (cid:0) + (cid:0) 1 5 (cid:0) (cid:0) + (cid:0) = 0 1 5 (cid:0) = + = x x x 2 2 1 4 x �(cid:0) - 4 (cid:0) - = x x ���� x 4 2 1 0 (cid:0) (cid:0) - 1 5 (cid:0) = (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4
) ;x y là:
3
3
2
+ + - 1 5 2 2; 5 1 ; ệ ậ ệ ( V y h đã cho có hai nghi m và 4 8 2 � 1 � � � � � � -� 1 �
2
) 1 )
3
(cid:0) + + + y + = y x x x 3 4 2 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 4. Gi - - - - � � � ( ( (cid:0) y x = y 2 1 2 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 2 ệ Gi ề i. ả Đi u ki n
(
13
+ + + = + 1 y ( � (3) x x y y . ) 3 1 1;0 ) 1 1
3
2
(
)
(
)
(
)
= + = (cid:0) (cid:0) f t f t t f t t t t , ' t 3 + > " 1 0, Xét hàm s ố ﾡ có ﾡ nên hàm s ố đ ngồ
)
( f x
( f y
) 1
+ = � � y x= + 1 ﾡ ế bi n trên )3 Do đó, (
2
- - ế ượ Th vào (2) ta đ c: (4) x x 1 + = 2 1 + + x 1 1
2
2
)
( x t
2
- t 2 = - (cid:0) = + - - t + + x � � 1 1 0 Đ t ặ t x = 2 x 2 2 1 1 2
2
- 0 t 2 - � t t + = 1 = t 2 0 ươ ở Ph ng trình (4) tr thành =(cid:0) t � (cid:0) =(cid:0) t 2 2
0
t = , ta có
2
- (vô nghi m)ệ V i ớ � + + x - = x = 2 x 1 1 0 + 2 2 1 0
- - V i ớ � � = � + + x - = x = 2 x = x x 1 1 2 + 2 2 1 4 1 1 0
t = ta có 2 =� y
(
= x 0 1 ệ V i ớ
2
2
2
(th a mãn đi u ki n). ) 0;1 ề ) x y = ; ệ ậ ỏ ệ ( V y h đã cho có nghi m .
( (
) ( 6 3 0 1 ) (
2 x y
) 1 ) ( 1
(cid:0) + + + + = (cid:0) x xy x 2 + + 2 4 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 5. Gi = 2 (cid:0) + ( xy xy + x + + 2 x x xy x y ) - + 1 2 x ) 1 (cid:0)
ượ ở
c x, y ế ế ế ế ấ ả ộ ậ ươ ng trình không đ c l p đ xy= z ộ ậ ở thì z, x đ c l p ng trình (2), n u xem ư ế hai v , nh ng ổ hai v , đ n đây ta bi n đ i
2
)
(
(
2 x y
) 1
2
2
2
Phân tích: Nhân th y c hai ph ể ở ươ đ ý ph ệ ể ấ đ xu t hi n hàm đ c tr ng. 2 = 2 - ặ � + x + + 2 x 2 2x
(
) 1
) ( 1 ) 1
( + � x �
- - � + x x ( ) + + x 1 � 1 �
) + + y 1 ) = 1 ) 1
3
= + � ư ( xy x y ( xy x y ( ) f xy + xy ( f x
(
)
(
)
= + 2 - f t t t t v i ớ .
t f xy 1 ế ẽ ồ ế đ ng bi n, ta s suy ra x= + , th vào
2
2
ệ
(
2 x y
) 1
2
2
2
= 2 - � xy + x + + 2 x i đ tìm x. ﾡ . 2
(
) 1
) ( 1 ) 1
( + � x �
- - � + x x ( ) + + x 1 � 1 �
) + + 1 ) = 1 ) 1
= + + xy ( f x
2
� = 3 - f t t t .
(
)
( + - 2
) 2 > " 1
)
)
= - (cid:0) t trên ﾡ , ta có ﾡ . f t t t ' t 3 + = t 2 t 1 2 0,
14
� t ( f x ồ ế đ ng bi n trên )1 = + + x xy ﾡ . 1 ế ượ ế ứ Đ n đây, ta ch ng minh hàm ươ ạ ể ph ng trình còn l ,x y (cid:0) ề i. ả Đi u ki n Gi ( ) Ta có: ( xy x y 2 ( xy x y ( ) f xy ) ( + 2 t v i ớ Xét hàm s ố ( ) f Do đó, hàm s ố ( f ( = f xy Suy ra, . Th vào (1) ta đ c:
2
2
(
(
) 1
) 1
2
2
+ + + + + + + = x x x x x x x 2 2 + + 3 2 4 6 3 0
(
)
) ) (
2
2
+ + + + + + + + = + � ( � x x x x x x 2 3 2 1 4 6 0 1 1
(
)
(
( = -
(
) + 2 1
) 1
+ + + + + - - - � x x x 2 2 2
(
) )
)
(
)
( ) ( ( ) 1 1 ) 1
2
2
= + - - � x ( g x g x 2
)
)
(
( g t
2
2
= + + + t t = + t t t 1 2 2 V i ớ
)
( g t '
)g t (
(cid:0) t t = + 1 + + 2 > " 0, trên ﾡ , ta có ﾡ nên hàm số t 2 + t 2
)
( g x
)
Xét hàm s ố )g t ( ồ ﾡ . - + = - - - � = � = � g x x x y ế đ ng bi n trên ) ( 1 2 + = - x 1 2 Do đó, . 1 3
3
x y ; ệ ươ ậ V y, h ph ệ ( ng trình đã cho có nghi m
(
)
(cid:0) + 3 x y + - = x 2 3 2 3 1 � � = -� � ; 2 3 � � ) ( + 2 y y 1 4 3 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 6. Gi = (cid:0) 2 2 + + + x 2 + y x x 1 2 2 1 (cid:0)
)
( f x
( f y
)1
3
= + ễ ế ổ ượ ươ c ph ng trình ề ạ (1) v d ng
)
= Phân tích: D dàng bi n đ i đ ( y= + x 1 t t t f ế ồ + đ ng bi n trên , v i ớ ﾡ . Do đó ta đ c ượ
= ế ử ụ ế ươ Th vào ặ ẩ ng pháp đ t n (2) ta có . Đ n đây, muôn s d ng ph 2 + + + x 2 + x x x 1 1 2 1
ụ ả ự ặ ứ ươ ố ph , chúng ta ph i t ng trình có m i liên quan
)2x +
+ ể đ t câu h i, các bi u th c trong ph ) 2 ớ ệ ệ ố ỏ ấ ( t nào v i nhau? Ta th y ặ đ c bi có m i liên h nh th ư ế x x = + , còn ( 1 1
nào?
ằ
(
)
ệ ượ ự c s liên h : ) ( + b a + mx n + cx d = = + a b Chú ý r ng, ta luôn tìm đ + ax b + mx n + mx n + cx d + mx n
ậ ị trong phân tích:
(
) + + b 1
+ = = ẽ ế Vì v y, ta s ti n hành xác đ nh ( + a x x 2 ,a b ) 1 2 a 1 = . + b = b 3 = - + + + x x x 2 1 2 1 1 a b � ��� a � � � �
3
3
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) x y 1; 0; 0 ệ Gi ề i. ả Đi u ki n + x 2 + y 1 2
(
(
) 1
) 1
) 1
15
+ + + � Có ( (*) x + = x y y
3
2
(
)
(
)
(
)
= + = (cid:0) (cid:0) f t t f t f t t t t , ' t 3 + > " 1 0 ế ồ ﾡ có ﾡ nên đ ng bi n trên
� x y= + x= - y 1 1 ế ượ Xét hàm s ố )* ﾡ , do đó ( hay . Th vào (2) ta đ c:
2
= � (3) 2 2 = - 3 + + + x 2 + x x x + x 2 + x + x 2 + x 1 1 2 1 1 1 1 1
)
( t t
)
( 3 loai
+ = (cid:0) (cid:0) t t 2 - = (cid:0) 3 0 ươ , ph ở ng trình tr thành: Đ t ặ 0 =(cid:0) t 1 = - t (cid:0) + x 2 + x
0
x = , suy ra
y = - 1 ủ ỏ 1 1 1t = thay tr l ở ạ V i ớ (th a mãn ĐK)
) 0; 1
2
- ệ i cho ta nghi m c a (3) là ( ) x y = ; ệ ậ ệ ( V y h đã cho có nghi m
(
2
2
ộ + b x 1 a x 1 ệ ứ 2.2.3.2. H ch a m t ph + + 3 c x d 1 1
2
2
+ c y d 2 ) ư ể ặ ể đ truy ra hàm đ c tr ng + c y d 2 + a y b 2 2
)
(
2
2
2
3
= + a + c y d 2 + c y d 2 + a y b 2 2 + c y d 2 � �
2
2
( � � (
)
2
2
3
2
(
)
(
)
3
2
2
(
)
a + = + c y d 2 + c y d 2 ạ ươ ng trình d ng ) + = a y b 2 ứ ( ứ Khi đó, ta căn c vào bi u th c a ) c 2 a c 2 a + + x m + x m ẽ ế ổ ế ề ạ ế Ti p theo, ta s bi n đ i v trái v d ng ư ế (chú ý đ a h t a c 2 a c 2 a 2 c 2 a = + t f t t ự ư ể ệ ặ ậ ồ 1b x vào trong khai tri n b c 3 r i th c hi n xét hàm đ c tr ng a c 2 a 2 c 2
2
(
)
(
) 1
2
2
( (
ề ng trình: Bài 1. (Trích đ thi TSĐH kh i A năm 2010 (cid:0) ố + + - - x y x 4 3 0 (cid:0) (cid:0) + + - ả ệ ươ i h ph ) Gi ) = y 5 2 1 ) (cid:0) x y = x 4 2 3 4 7 2 (cid:0)
ậ ấ ớ ươ ể ế ng trình ươ ng (2), đ ý đ n ph
ứ ậ ể ứ ậ ể ủ x và ể có th coi là bi u th c b c hai trình (1), ể ắ ầ Phân tích: Ta nh n th y khó có th b t đ u v i ph 3y - x + là bi u th c b c hai c a 24 1
2
= - - ế ặ c a ủ thì: . N u đ t t y 5 2 y 5 2
2
)
(
) 1
( 1 + 2
- - t - - - y t t 3 = y 5 2 = 3
24 x
)1 về
+ x t � t � � ) 1 2 ố ẽ ế ậ ể � 5 � 2 � ớ ( ứ có hình th c gi ng v i ổ ( , do v y ta s bi n đ i
) t+ 2 1 ( ) f v
= ứ ( Bi u th c ( ) f u ườ ậ ẽ ế ậ ể ng “cô l p” bi n, do v y s chuy n
)1 .
- - ế y y d ng ạ )3 ( 5 2 ể ư ề ạ . Đ đ a v d ng này ta th ả ủ ( sang v ph i c a
16
(cid:0) (cid:0) ệ x y ; Gi ề i. ả Đi u ki n 3 4 5 2
2
(
(
) 1 .2
) 1
2
3
= - - + y y x 5 2 5 2 4 (3)
)
2
= + = + ( t t t t t x ) 1 ,
ﾡ )
)
(cid:0) + v i ớ t (cid:0) ( f t t f Khi đó ( ) � 1 Xét hàm s ố ( f ( t= 3 ' + > " 1 0, t ồ Ta có ﾡ suy ra ế đ ng bi n trên ﾡ
2
)
2
(cid:0) (cid:0) x 0 (cid:0) = - � � (cid:0) - x y 3 2 5 2 Do đó ( x = (cid:0) y (cid:0) 5 4 2
2
2
- x = ươ ượ Thay vào ph ng trình (2) ta đ c: y 5 4 2
2 � + � �
+ - - (4) x x - = x 4 2 2 3 4 7 0 5 � � 2 �
ươ ị ướ ng trình ử ụ ng s d ng ứ ạ (4) trông khá “ph c t p” nên ta đ nh h Phân tích: Ph
ươ ố ể ả ph ng pháp hàm s đ gi ế i quy t
x = và 0
2
2
ậ ấ ủ ệ ươ Nh n th y x = không là nghi m c a ph ng trình (4) 3 4
)
2 � + � �
= + - - - x v i ớ , ta có: Xét hàm s ố ( g x x x x 4 2 2 3 4 7 3 � � (cid:0) � � 0; 4 � � 5 � � 2 �
2
2
)
(
)
( g x '
(
)
4 = - - - - - " (cid:0) x x x x x x 8 8 2 4 4 3 0, 0; - - 5 � � 2 � � � � 3 � � � � 4 � � x x 4 = 3 4 < 3 4
g 0; 0 ế ị ươ Do đó g x ngh ch bi n trên . Mà nên ph ệ ng trình (4) có nghi m 3 � � � � 4 � � 1 � �=� � 2 � �
)
duy nh t ấ x = suy ra y = . 2 1 2
2
x y ; ệ ậ ệ ( V y h đã cho có nghi m 1 � � = � � ;2 . 2 � �
2
( (
) 1 )
3 2)( 4
(cid:0) + + - (cid:0) y y ( 1) x (1 2 ) 2 - = x 2 0 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 2. Gi - - (cid:0) y = y x ( 1 2 (cid:0)
y ) 3 ) y+ 2 1 ươ ố ớ ố ậ ng trình là hàm s b c ba đ i v i y; - + x 4 (1), ( Phân tích: Trong ph
- - = - ố ậ ố ớ ẽ ử ế , nên ta s th bi n đ i v ổ ề x (1 2 ) 2 2 t x 2 2
)
( f u
= x ) là hàm s b c ba đ i v i ( f v d ng ạ ng trình (1).
ệ ừ ươ t ph 1x (cid:0) Gi ề i. ả Đi u ki n :
) 2 +
2( y
( � � �
17
+ = - - y x x 1) 2 2 2 2 Ta có: (1) (cid:0) (3) � 1 � �
2
3
(
)
= (cid:0) = ﾡ f t t ' t 3 + > " 1 0, Xét hàm s ố + trên ﾡ , có f t t t ( )
f ﾡ t ( ) ồ nên ế đ ng bi n trên
= - - (cid:0) f f x =� y x Do đó, (3) y ( ) ( 2 2) 2 2
3 4)( 4
- - - ượ (4) Thay vào (2) ta đ c : x x 2 = 2) 3 1 - + x 4
2
(cid:0) ủ ệ ả
3
- (cid:0) x (cid:0) x - = x 2 - + 4 2 4 2 : (4) (cid:0) . - x (2 x = không ph i là nghi m c a (4) x 3 x 2 1 4
)
)
( f x
( g x
3 4
- = = - x x - + 4 2 2 Đ t ặ ; , - x 3 x 2 1 4
(
)
2
3 3 (4
4 = + x f ' > " > x 0, 0 ta có và - - 1 x 2 2 x 4)
)
( g x '
2
- 10 = � x < " 0, + (1;2) và (2; � ) - x (2 4)
( f x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ) ) ế ị , g(x) ngh ch bi n trên (1;2) và (2;+
)
)
( f x
( g x
= = - (cid:0) (cid:0) min 0;max 1 (4) không có nghi m.ệ
(
)
(
)
= = (cid:0) f g =� x ế )1;2 , ta có ) 2;+(cid:0) 3 3 4 3 ố ệ ộ , (4) có t i đa m t nghi m. Mà là
) ồ đ ng bi n trên (1;2) và (2;+ Trên [ Trên ( ệ nghi m duy nh t c a (4). =� = y
ấ ủ
(
)
) x y = ;
x 2 3 . V i ớ
3
3;4 ệ ệ ậ ấ ( V y h có nghi m duy nh t .
(
) 1
2
(
( (
) 1 )
(cid:0) - - x + x y 4 3 1 0 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 3. Gi (cid:0) x + + - x y + y 2 2 + = y 2 ) = 1 0 2 (cid:0)
3
- (cid:0) (cid:0) ệ y 0 Gi ề i. ả Đi u ki n: 1 2
(
)
(
)
) + - 1
( � � 2 �
- - ươ y x x + = - y 1 2 2 3 2 Ph ng trình (1) (3) � 3 �
+ (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) y 1 1. y 0 nên 0 2 Vì
2
1 2 ừ ươ ủ ệ ể ệ ệ T ph ấ ng trình (2) c a h ta th y đ h có nghi m thì
2
(cid:0) - x x x x 2 0 0 2 1 . 1 + � ��� � 0 2
(
)
(
)
[
] 0;1
] 0;1
= = - (cid:0) - (cid:0) " (cid:0) f t t f t t ' t 3 3 0, ố , ta có nên hàm số
(
[ 3 3 , t t ]0;1 ta suy ra [
18
Xét hàm s ) t f ế ị ngh ch bi n trên
2
(
)
(
) =
(
)
(cid:0) (cid:0) x 0 (cid:0) - - � � � (cid:0) - f x f + y 3 2 2 1 = x 2 + y 2 1 x 4 1 = (cid:0) y (cid:0) 2
24 x 2
- 1 = Th ế vào (2) ta đ c:ượ y
2
2 =
)
( 2 1 4
= (cid:0) x 0 - x - � � (cid:0) x + - x x = 2 x 2 x 2 . 0 + - x 1 2 0
)
(
(
)
= 2 - (cid:0) 1 4 2 x + x 2 8 2 1 4 (cid:0)
= x = -� y 0 V i ớ . 1 2
ươ Xét ph ng trình (4), ta có:
(
)
)
(
(cid:0) (cid:0) - x (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - - = - = � � � � x x 4 T/m � 0 1 2 1 2 �(cid:0) x �(cid:0) � + 2 + 2 - (cid:0) 1 2 = 2 x x + x x - = x 2 8 4 4 1 4 1 0 � x � � � � � x � � � 12 � (cid:0) (cid:0) = x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 2 1 2 1 6
= - x =� y 0 V i ớ . 1 2
3
2
- - 0; ;0 ệ ệ H đã cho có hai nghi m 1 2 1 2 � �� � , � �� � � �� �
( (
) 1 )
(cid:0) + 3 - (cid:0) x x y y 3 + = 2 2 3 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 4. Gi + 2 (cid:0) x y y 3 - = 2 8 2 (cid:0)
3
(cid:0) (cid:0) x y 2, 0 ệ Gi
(
3
- x x 3 ề i. ả Đi u ki n: ) 1
(
)
)
2
- - � ( � + = 2 2 ( - = x y x y 3 + y y ) ( + 1 + 3 3 3 3 3
(
)
(
(
3 3 t
1t (cid:0)
= = - - (cid:0) " (cid:0) 3 ) 1 ) + - y ) t f f t f t t t 3 3 0, 1 ' Xét hàm s ố , có nên hàm s ố đ ngồ
[
t ) 1;+(cid:0) ế bi n trên .
x (cid:0)
2
(cid:0) - ��� V i ớ x 1 1; 0 3 1
)
) = 1
2
- + > y ( � y ( f x f + y + y 3 - = x 1 3 ươ ạ Ph ng trình (3) có d ng
= - - x (cid:0) 2, ươ ế ượ Do bình ph ng hai v ta đ c y x x 2 2
19
ế ượ Th vào (2) ta đ c
2
2
2
3
(
) =
(
)
(
)
- - - - - - - � x x x x + 4 x x x x 9 2 + 2 8 2 4 + = 2 x 8 17 6 0 2 2
3
(
) (
)
3
3
2
= (cid:0) x 3 - - - � � (cid:0) x x + 2 x x 3 = 2 5 0 + 2 - (cid:0) x x - = x 5 2 0
(
(
= 2 - - - x x x x � � 2 2 10 2 8 V i ớ nên PT (2) vô nghi m.ệ
3
x 0;5 ) x y = ; - = � ) 3;1 ệ ậ
) > x 1 ệ ( Do v y, h đã cho có nghi m (
)
2
2
( (
) 1 )
(cid:0) - - - - (cid:0) x x y 8 3 2 0 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 5. Gi 1 + 3 - - (cid:0) x + x y y 4 8 2 = y 4 + = y 2 3 0 2 (cid:0)
3
ệ x (cid:0) ; Ta có Gi ề i. ả Đi u ki n: 1 2
(
( 4 2
) 1
- - � y + = y x x 4 - + x 1 2 2 1 (3)
) 1 )
34 t
2
= + (cid:0) t t t , ﾡ
(
)
)
(
Xét hàm s ố ( f = t t f f t ố ồ ế là hàm s đ ng bi n trên ﾡ .
)
= - - ' ) + > " ��ﾡ ) 1 0, ( � � t 12 ( f y x f = y x 2 1 2 1 3 . Suy ra Do đó (
2
2
ừ T (2) ta có
(
)
( y y
) - + 2 1
2
- - - � x + x x x y + x 4 8 2 4 + 8 2 2 1 3 0
(
(
) ( - + x 2 2
- - - - + = 2 y ) 3 0 ( - + = x 2 ) � � x + + x y x x y 4 2 2 6 2 = 2 2 2 ) 1 = x 2 2 2 0
(
) (
) =
0 = (cid:0) 1 (cid:0) + 2 - � x y y x = y 2 2 2 0 � (cid:0) (cid:0) 0 = - (cid:0) y 2
)
) ( 1;1 , 1; 1 ,
) ;x y là (
3
- - ;0 , ; 2 ệ ậ ệ ( V y h đã cho có nghi m 1 2 5 � �� � � �� � 2 � �� �
(
)
) 1
2
2
2
)
( ) (
(
(cid:0) + = + + y y x x 3 5 2 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 6. Gi + + - (cid:0) x y y x + x 2 = 16 3 2 2 4 2 (cid:0)
3
(cid:0) - (cid:0) x 2, ệ ﾡ . Gi ề i. ả Đi u ki n
(
) 3
) 1
3
+ = + + + y ( � y y x x 3 2 3 2
2
= + (cid:0) ﾡ t
)
(
)
) Xét hàm s ố ( t f + > = t f 3
" (cid:0) t f t t ' 3 0, ế đ ng bi n trên
)
( (
2
2
ồ + ﾡ . + = � t t 3 , ﾡ , suy ra ( = f y f x x y 2 ươ ạ Ph ng trình (1) có d ng:
)2 +
(
)
)
(
20
+ + + - x x x x + x 2 = 16 3 2 2 2 2 4 Thay vào (2) ta đ c ượ
2
2
2
2
- - � + = x 2 6 2 4 + x 2
2
- - - x ( 4 3 ) � x + x + x ( + x x x 2 2 4 2 x ) = 2 3 2 4
2
= = + - (cid:0) + x ( + 2 ) Đ t ặ x x + x u > v 4, 0 2 2 - - uv 3 u ươ v > 0, Ph Do 0, = 2 u 2 0 ng trình (3) cho c:ượ
= - - = 2 ho c ặ . 2 2 0 (3) 2v ta đ u v u =� v 1 2
2
2
(cid:0) = (cid:0) v u 0, v u= 2 v 2, ở ng trình tr thành v 2 ế ươ chia hai v ph u u � � � �+ 3 � � � � v v � � � � > nên 0 Do u v
- - ề ệ ỏ Suy ra = � � (th a mãn đi u ki n) 1 2 + x x 2 2 4 0 13 3
ậ + = � x x x 2 4 ệ ( ệ ươ ng trình có nghi m - = x 6 ) ;x y là: V y h ph
+ + - - 3 13; 5 13 , 3 13; 5 13
)
)
(
(
3
3
.
(
)
(
) 1
3
(
)
(cid:0) + 2 - - - x x - = x x y y 2 4 3 1 2 2 3 2 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 7. Gi - - (cid:0) x x + = 2 14 + y 3 2 1 2 (cid:0)
ể ắ ầ ớ ươ ự ế ng trình ổ (2) vì khó có s bi n đ i
ở ự ệ ế ậ ằ Phân tích: Ta không th b t đ u v i ph ươ ợ nào h p lý đây. Xét ph ng trình ế (1), th c hi n cô l p bi n b ng, chia hai v cho
)
= - ấ ế ậ ố ớ ế ả ậ , v ph i là b c ba đ i v i , do v yậ t y 3 2 ố ớ 3x ta th y v trái là b c ba đ i v i
( f u
( f v
1 x ) = ổ ư ề ạ ể ế ta có th bi n đ i đ a v d ng .
(cid:0) - (cid:0) x 2 (cid:0) (cid:0) ệ Gi ề i. ả Đi u ki n: (cid:0) y (cid:0) (cid:0) 3 2
3x ta
ế ủ ệ ỏ ươ Xét th y ấ x = 0 không th a mãn h , nên chia hai v c a ph ng trình (1) cho
ượ đ c:
(
(
)
) 1
3
- - - � y y 4 2 3 2 1 + 3 x
(
)
(
)
3
- - - - + y y 1 3 2 3 2 3 1 = x 1 x
)
2
3 4 - + = 2 2 x x 3 � � � � + � � � � � 1 � � � � + = (cid:0) t t t t ,
)
)
+ > " (cid:0) Xét hàm s ố ( f ( = t f t t ' t 3 1 0 ồ Ta có ﾡ ﾡ nên hàm s ố ( f ế đ ng bi n trên ﾡ .
3
- � 3 2 y Do đó, (3) 1 - + = 1 x
21
ế ượ Th vào (2) ta đ c: (4) x - + x + = 2 15 1
ố ồ ế ế ế ả ấ ậ ố Phân tích: Nh n th y ngay v trái là hàm s đ ng bi n, v ph i là hàm s
ị ế ườ ự ử ể ệ ngh ch bi n nên ta d đoán nghi m (th ị ng th giá tr
0x làm cho các bi u th c ứ ứ ch a căn là s “ch n”, ho c dùng máy tính có ch c năng Solve,…) sau đó ch ng
ứ ứ ặ ẵ ố
ấ
ủ ệ 2 không là nghi m c a (4),
minh nghi m là duy nh t. Ta th y ấ x > - ệ x = - 2 V i ớ
)
)
( g x '
( g x
( ) g x
(
)
= > " > - x 0 2 x= 2 Hàm s ố + có nên hàm s ố + 1 x 2 2
- +(cid:0) 2; ế ồ đ ng bi n trên .
)
( h x '
)
3 15
3
) 2
( 3 15 )
)
- 1 = (cid:0) x < " 0 15 = - + x 1 Hàm s ố ( h x có . - x
( h x ngh ch bi n trên
ụ ế ị ị h x liên t c trên ﾡ nên ﾡ , suy ra ngh ch bi n ế
Hàm s ố ( ) - +(cid:0) 2; . trên (
7
x = là nghi m c a (4) nên (4) có nghi m duy nh t ấ
)
= ủ ệ ệ x =� y 7 Mà . 111 98
2
x y ; ệ ệ ậ ấ ( V y h đã cho có nghi m duy nh t
2
2
2
(
(
) 1
3
2
3
(
)
(cid:0) + x 4 1 - - 111 � � = � � 7; . 98 � � ) yx x x (cid:0) 2 2 + = 3 4 + y 3 2 (cid:0) x (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 8. Gi + (cid:0) x + + x 2 2 - - 2 2 = y 3 2 (cid:0) (cid:0) x + x 2 1
ả ươ ề ươ ề ề ấ ồ ng trình đ u r t c ng k nh, ph ng trình (2) thì x, y đ u đã Phân tích: C hai ph
ệ ế ạ ỉ ồ ạ ấ ở ậ ấ ằ tách bi ế ư t nhau, th nh ng bi n y l i ch t n t i duy nh t ớ b c nh t n m trong 2 l p
ể ượ ự ế ổ ợ ở căn, do đó khó có th có đ c s bi n đ i h p lý đây.
ươ ấ ậ ượ ế ế Xét đ n ph ng trình c x, y n u chia hai v ế ễ (1), ta th y d dàng cô l p đ
2
2x , ta có: + 2
cho
(
(
)
(
)
) 1
2
3
+ 2 3 4 1 = - - - - - � � y y y 4 2 + y 3 2 2 4 2 3 2 x x 1 + 3 x 3 4 - + = 2 x x
)
(
) 3
- - - - x x ( ư ặ ộ ở ế Hàm đ c tr ng đã l rõ ả v ph i, vì , do đó y y + y 4 2 3 2 = y 3 2 3 2
3u
ố ắ ể ế ạ ta c g ng tách ghép đ v trái có d ng u+ .
3 � � + - + 1 � � � �
- ớ ế ư ặ ạ Ta có ả có cùng d ng đ c tr ng v i v ph i 1 4 x 1 x 1 x 1 + 3 x 3 � - + = - + 2 � 2 x � � � �
22
ượ ệ ữ ố nên ta tìm đ c m i liên h gi a x và y t ừ (1).
- (cid:0) (cid:0) y 3 2 0 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) y (cid:0) - - (cid:0) 1 2 3 2 y (cid:0) 3 2 0 (cid:0) (cid:0) ۹ ệ 0 (cid:0) Gi ề i. ả Đi u ki n 0
- x � � � (cid:0) x (cid:0) - 2 � x � � x (cid:0) (cid:0) 1 2 (cid:0)
2
2
ế ủ Chia hai v c a (1) cho c:ượ 1 2 2x ta đ
(
(
)
(
)
) 1
2
3
3
+ + 3 2 4 1 = - - - - - � � y y y 4 2 + y 3 2 2 4 2 3 2 x x 1 + 3 x 3 4 - + = 2 x x
(
(
)
3 1 � � + - + � � x � �
3
- - - x x ) � + y y - + � f f y 1 3 2 3 2 1 3 2 1 = x 1 - + x � = 1 � � � � � � � �
(
)
2
� � � = t f t v i ớ
(
)
(
)
= (cid:0) + . t ) ( t f f t f t t ' t 3 + > " 1 0, Xét hàm s ố v i ớ t (cid:0) ﾡ , ta có ﾡ nên hàm s ố đ ngồ
(
)
- - � f f y = - + y 1 3 2 3 2 1 ế bi n trên ﾡ . Do đó 1 - + x 1 x � � � � = � �
2
3
2
3
3
ế ượ Th vào (2) ta đ c:
(
) 2 +
2
3
3
+ + x x + + x 2 x + + x 2 2 - � 2 x + x 1 + = 1 x x 2 1 2 1 1 � - + � x � � = 1 � �
(
(
)
) 1
3
+ + + = + + + � x + = + + x x x 2 2 1 2 1 1 1 1 x 1 x 2 x 2 x 1 � � + � � � 2 x � �
3 � + � �
3
+ + = + 1 1 1 1 x 1 x 2 x 2 � � + + 1 � � x � � � � � �
+ = + + = + � � f 1 1 1 1 1 x 2 x 1 x 2 x � � � � � f � � 3 � � � � �
(
)
= (cid:0) a a 0 Đ t ặ , ta đ c:ượ 1 x
3
2
(
) = 1
) + 2a 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - 1 2 + = a 1 - + = a � � ( � - 2 a a a 0 a � + ��� 1 2a ( � a 1 2 ) 3 1 (cid:0) (cid:0)
2
23
(cid:0) (cid:0) - a (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) + (cid:0) (cid:0) 1 2 + 1 5 1 5 = = � � � a 2 2 �(cid:0) a �(cid:0) - (cid:0) a � � a 1 2 - = a 1 0 (cid:0) (cid:0) - 1 5 = (cid:0) (cid:0) a (cid:0) (cid:0) 2
+ - 1 5 + 3 5 = = = ệ ề ỏ V i ớ (th a mãn đi u ki n) � a x y ; 2 5 1 2 4
)
3
2
- 5 x y ; ; ệ ậ ệ ( V y h đã cho có nghi m + 5 1 3 2 4 � = � � � � �
(
)
) 1
)
( x 4 2 ( y y
2
)
( 12 2
(cid:0) - - - - x y x 2 1 = y 3 + + y 15 7 2 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 9. Gi + 2 (cid:0) + + 2 - - = x x y 6 2 2 + x 15 + y 4 (cid:0) (cid:0) 2
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x 6 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ Gi ề i. ả Đi u ki n (cid:0) - (cid:0) 1 2 y 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 0 (cid:0)
) 1
( + 4
) + 1
( + 3
) 1
- � x - + x - = x y y 1 3 2 1
- Ta có, ( ( � f x 2 ) 1 1
2
=
(
)
= (cid:0) f t t ' t 12 + > " 3 0, ﾡ .
ﾡ , ta có ế đ ng bi n trên ﾡ .
) ( 1 4 2 ) ( + = f y 2 ) ( + . 34 t t f t 3 V i ớ ) Xét hàm s ố ( v i ớ t (cid:0) t f Suy ra hàm s ố ( ) t f ồ ) ( =
( + f y
) 1
)
( y y
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) y - � � (cid:0) x f 1 2 - = + y x 1 2 1 Do đó, 1 + = - (cid:0) x 2 2 2 (cid:0)
- - Thay vào (2) ta đ x
- � 0 - - 6 - = 6 x x 5 - - c ượ 22 x ( � x x 2 + = 22 x x 11 8 + + - x 11 5 2 ) ( ) 1 + 5 0 - + x 1 - + - x 1 1 x 5 + - - x + + 1 1 2 6
(
1 - - - � x x 1 0 + - - 1 + x = x 2 6
(
) - + - x 1
= x � � � 1 - � = � x x 1 0 5 + - - + 1 1 1 + x = x 2 + 1 1 6 � ) 5 2 � � � ( ) 5 2 � � � � �
(
)
1 < - - � x x 0 1 2 1 � � 1 Do - - - 1 x > x + + 1 1 6 + 2 1 = x 5 1 x 2
5;2 ệ + 2 =� y ỏ V i ớ (th a mãn) ệ ( ) x y = ; ậ V y, h đã cho có nghi m .
(
)
(
)
2
2
= ộ ươ ạ ệ ứ 2.2.3.3. H ch a m t ph ng trình d ng + a x b 1 1 + c x d 1 1 + a y b 2 + c y d 2
2
2
ươ ổ ế Bám sát vào căn th c ứ ả ề ạ đ bi n đ i v ph i v d ng Ph ng pháp:
2
2
24
a + b c y d+ ( ể ế ) 3 ườ ẽ ế ổ ượ ạ ậ b c ba, th ng s bi n đ i đ c thành d ng . Khi đó + c y d 2 + c y d 2
3
)
ạ ề ạ ự ệ ặ ớ ể ư ế ư i v d ng này và th c hi n xét hàm đ c tr ng ệ a + b = th c hi n thêm b t đ đ a v còn l f ự ( t t t .
(
(
)
( (
) 1 )
) x + y
(cid:0) - - - (cid:0) y 2012 3 - + x 4 = 3 2 0 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 1. Gi - - (cid:0) x x 2009 + 2 x 2 7 8 3 14 y 6 = y 18 + x 6 13 2 (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 4; (cid:0) Gi ệ i. ả Đi u ki n ề (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) y x y 3 2 0;7 8 9 0
= - - (cid:0) ươ ở Ta đ t ặ u 4 x 7 = x v ,
3
y u v 3 2 ( , + ph 0) = (2000
(
)
2 v v ) + 3 t
2 u u ) ﾡ , có
ng trình (1) tr thành: + = " (cid:0) = + (cid:0) f t t (2000 ) ( t f ' (3) > 2000 0 ﾡ nên là hàm t f t t 2000 ,
)
)
= � u x= - y 1
2
� ươ Xét hàm s ố ế ồ đ ng bi n trên Do đó, ( 3 thay vào ph t ( ) ﾡ . ( ( ) f v f u ứ ng trình th 2 ta đ v= hay 2 ượ c :
+ + + + (cid:0) (cid:0) x x x x x 2 3 4 3 5 + = 9 6 13 4 -� 4 � 3 � � � �
dùng liên h p ta đ
)
( + x
( + x x
) 1
) = � 3 �
( x x
) 1
(
)
c : ( + x x 2 ượ + - 4 3 2 + - x 9 5 ợ � � + � � 3 � � + + = + - - � 2 3 x x ( + + + x x ( + + 1) x x 1) + x x 4 2 3 9 5 3 (cid:0) (cid:0) = x (cid:0) = (cid:0) x 0 = - (cid:0) � (cid:0) x 1 (cid:0) 0 = - (cid:0) x 1 (cid:0) - (cid:0) - 1 4 (cid:0) 2 + + + + (cid:0) x x x x 4 2 3 = 3 5 - (cid:0) (cid:0) ế ớ ọ x 4 (Do v trái (4) luôn âm v i m i nên (4) vô nghi m)ệ 3 + + 9 4 3
= = - � � x y = - x = - y 0 ; 1 1 1 2
) 1; 1
) ;x y là:
- - ệ ậ ệ ( V y h đã cho có nghi m
(
(
) - = 6
( (
) 1 )
(cid:0) - - 1 � �- ( 0; , � � 2 � � ) (cid:0) x y y - + x 7 23 3 3 20 0 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình : Bài 2. Gi - (cid:0) x y = 2 x 2 + + - y 2 2 + + x 3 8 3 + x 14 8 2 (cid:0)
2
3 +
(cid:0) (cid:0) - y x y + (cid:0) x 7, 6, 2 3 8 0 ệ : . Gi ề i. ả Đi u ki n
(
(
(
)
(
)
) 1
- - - - - x ) + + (cid:0) y ( 2 0, 2 ) � � - = x x + y y f x f y 3 7 2 7 3 6 2 6 = 7 6
(
)
33 t
25
= + f t t 2 V i ớ .
2
)
(
)
(
)
= (cid:0) t f t t t ' t 9 + > " 2 0, ồ Xét hàm s ố ( f ﾡ nên ế đ ng bi n trên ﾡ .
(
2
- - - trên ﾡ , có ( ) = f ) � = - � f x f y x y y x 7 6 - = 7 6 1 ế ượ Do đó, . Th vào (2) ta đ c:
(
)
2
- x x 2 3 + - 1 3 8 0
+ - + - - � ( - = x 14 ) � x x x x - + x 6 ( ) + - 1 6 3 - = 14 5 0
(
) ( 5 3
) = 1
- 3 ( - 3 x 5 + + - � x + x 0 1 4 ) x 5 + + + - x x 3 6
(
)
1 - � x + x 5 3 1 0 3 + + + - + x + 1 4 1 6 � = � � x 3 = = � � 1 4 1 � � � y x 4 5
)
1 + + x x 3 + > " 1 0, Do 3 + + + - x x 3 1 4 1 6
1 � � -�� � ;6 . 3 � � ( ) x y = ; 5;4 ệ ươ ậ V y, h ph ệ ( ng trình đã cho có nghi m .
(
) 1
2
(
)
)
( x y
) 1
(cid:0) + + = (cid:0) (cid:0) + x y y y 1 x 3 2 3 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình : Bài 3. Gi (cid:0) + = + + x x 2 ( y x 2 2 2 1 2 (cid:0) (cid:0)
- (cid:0) (cid:0) ệ x > y x + (cid:0) 2 y 0, 0, 2 0 Gi ề i. ả Đi u ki n 1 2
(
) 1
2
2
2
(
)
(
)
+ x y x 2 + = � ươ Ph ng trình 1 x 3 + y x y 3 2
)
( t y t ,
= > ươ ở x 0 Đ t ặ , ph ng trình tr thành
2
2
+ = + = = � � t + + y y 1 t 3 t 2 3 1 2 t y 2 t y 2 t t 2 + 1 + 1 1 t y 3 t y 2 ( ) 2 y 3
= t = , V i ớ ta có y x =� y x 2 4
2
2
ươ ứ ủ ệ ượ Thay
(
3
1 2 x= 24 + = + = + + + c: ) y ( � x x x x x x x x 2 4 vào ph ) ( 1 + 2 2 2 2 1 8 2 2 2 1
(
)
(
3
2
+ + + = + ng trình th hai c a h ta đ ) ) 3 � (3) x x x x 2 1 2 2 2 1
(
)
(
)
(
)
= + = (cid:0) (cid:0) ﾡ f t t t t f t t , ' t 3 + > " 1 0, ế ồ Hàm s ố có ﾡ nên đ ng bi n trên ﾡ , do
2
)
26
+ + 1 5 3 5 = + - đó ( � � x x x - = x = � x = � y 3 2 2 1 4 2 1 0 4 2
)
+ + 5 x y ; 5 3 ; ệ ươ ậ ệ V y h ph ấ ( ng trình có nghi m duy nh t 4 2 � 1 = � �
(
(
( - + 1 4 2 ) (
(
)
) = + x 1 ) + = - 4
(cid:0) (cid:0) - + y y � . � � ) 1 1 3 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 4. Gi x 3 + - - (cid:0) x x y y x y 2 6 3 2 (cid:0)
(cid:0) (cid:0) x y ệ : ; 1 Gi ề i. ả Đi u ki n 1 3
(
)
(
) =
) ( 1 2
+ + = (cid:0) x 1 0 � + + y x x - + y 2 4 0 � (cid:0) (cid:0) y - + = y x 4 0 2
(cid:0) (cid:0) y 1 0 ệ x y ; 1 V i ớ x+ + = suy ra vô nghi m vì . 1 3
x - + = y = y 4, 4 0 2 V i ớ 2
)
- + + + x + x x + x 4 + x ) = 1
(
)
thay vào (1) ta có : ( 3 3 2 ) � 2 ( + x 2 2 + x 2 + 3 3 3 3 ( 2 3 - = x 1 3
(
)
(
)
22 t
[
= (cid:0) = + (cid:0) � ( 1 4 2 ) - + 1 ) x ( f t t f t ' t 4 + > " 1 0, 0 f t t , 0 Xét hàm s ố ta có nên hàm s ố đ ngồ
0;+(cid:0) .
(
) =
- t ) ( � f x + x f = � x = � y 3 1 3 2 3 3 4 12 ế bi n trên ) Do đó (
) � 3 ệ ( ng trình đã cho có nghi m
2
+ x 2 ) - = x 1 ) ( x y = ; 4;12 ệ ươ ậ V y h ph
)
= a + b ặ ư ạ 2.2.4. Tìm hàm đ c tr ng d ng f t t mt + n t
2
2
(
)
( (
2 x y
) 1
2
(
)
(cid:0) - y = - x x 1 + 1 + 1 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 1. Gi (cid:0) - - x + + x xy - + 2 x x = xy xy 7 3 2 (cid:0)
2
Gi iả
2
ế ậ ượ ẽ ế c hai bi n x, y. ế ủ (1) cho Phân tích: N u chia hai v c a x > thì ta s cô l p đ 0
) 1
2
- � ư ặ ạ ở y y y x + 1 + . 1 Khi đó, ( , lúc này d ng đ c tr ng ế ủ hai v c a 1 = - 2 x 1 2 x
2
ươ ư ế ầ ố ượ ph ng trình đã g n gi ng nhau n u ta đ a đ c (trong vào trong căn 1 x+ 1 x
ứ ể ể ể ứ ở ư ư ư ế ạ ặ + . 1 x bi u th c ), nh ng đ bi u th c hai v có d ng đ c tr ng nh nhau ta 1 2 x
x > . 0
27
ấ ở ế ư ằ ỉ ầ c n làm cho d u hai v nh nhau b ng cách ch ra
2
2
(cid:0) (cid:0) xy x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) + + x - + x xy x 0 ệ Gi ề i. ả Đi u ki n: (cid:0) (cid:0) xy 0 (cid:0)
2
2 x y > 2
(cid:0) > (cid:0) 0 - (cid:0) - (cid:0) ừ ừ ề Do nên t (1) suy ra và do t ệ đi u ki n y x < 2 x 1 + 1 0, + 1 0 (cid:0) (cid:0) x 0
x > . 0
xy (cid:0) 0 , suy ra y > và 0
2
Ta có:
(
)
( = f y
) 1
2
(
)
- - � � � y y y x y + y = - 2 y f + 1 + . 1 1 . 1 1 = - 2 x 1 x 1 + x 1 2 x 1 2 x 1 � � � � x � �
2
2
v i ớ . f t = - t t t + 1
(
)
)
)
)
(
(
(
)
)
- f t t = - 1 ' + 1 0 t 0;+(cid:0) Xét hàm s ố ( f trên ( , có . t + < 2 t 1
t f 0;+(cid:0) ồ Suy ra, ế đ ng bi n trên .
)
( f y
2
= > = = � � f y xy x y , 0 1 Do đó, . 1 x 1 � � ; � � x � �
2
)
- ượ c: . x + + - x 1 3 7
)
= , ta có: Th ế xy = 1 vào (2) ta đ Xét hàm s ố ( g x x - + 2 x x + + - x 1 1
)
( g x '
(
(
) + - x 1
) 1
(
(
+ - - x = - - x 2 2 x 2 2 2 2 - + = 2 x x 1 trên ( 0;+(cid:0) + x 2 + 2 - x 1 + x x x 2 1 2 4 4 4 1 + x 4 4 4 - x 1 - + x x x 2 2 = - - h h x 2 2 + + - x x 1 + + x + 1 ) 2 1 2 3 2 = 1 1 ) 2 + 1 = 3
)
( h z '
)
2
) 3
(
= (cid:0) ﾡ = z > " 0, Xét hàm s ố ( h z trên ﾡ có z 2 3 + + z 3 z 3
)
(
(
) 1
) 1
+ > - + > - h x h x 2 2 ồ ế x x 1 2 1 Suy ra nên hay
(
(
- ﾡ , và có 2 ) > " � h x x x 2 2 0 �ﾡ .
(
( h z đ ng bi n trên ) ) ( > + - g x ' 1 1 ( 0;+(cid:0)
h ) 0, ) ế ồ Suy ra g x đ ng bi n trên .
)
(
)
( g x
(
)
= = - � � ề ệ ỏ g = x = y 2 7 3 2 Mà (th a mãn đi u ki n) 1 2
28
x y ; ủ ệ ươ ệ ậ V y, nghi m c a h ph ng trình là: 1 � � = � � 2; 2 � �
(
) 1
2
2
(
)
)
(
2 x y
2
(cid:0) - (cid:0) + - x 3 - = x 2 4 3 8 (cid:0) 1 y 2 1 + + y 2 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 2. Gi (cid:0) + + + x x y + = 1 2 2 4 1 2 (cid:0) (cid:0)
2
ừ ươ ế ế ẽ ộ ậ ượ ng trình c x, y (2), n u chia hai v cho Phân tích: T ph x > thì s đ c l p đ 0
)
(
) 2
+ + + � ở x y y y 2 + = 1 2 2 2 1 ế ( hai v , 1 x 1 2 x
ể ế ư ứ ế ế ầ ả ặ ạ ố Đ n đây, đ v trái có d ng đ c tr ng gi ng v ph i, ta c n ch ng minh x > và 0
đ a ư vào trong căn x + . 2 1
ứ ế ệ ẳ ằ ổ ế ể ự ả ủ (1) ta bi n đ i làm xu t hi n h ng đ ng th c và th c ấ
1 x ậ ậ ệ Th t v y, đ ý v ph i c a hi n đánh giá:
2 � + (cid:0) � �
- 3 4 3 2 1 1 4 1 + - y 2 1 + + + = 3 4 1 y 2 1 + - y 2
1 y 2 + - - (cid:0) (cid:0) ễ . Khi đó ta d dàng x x x x + - x � � � 1 �� � � � 3 1 2 ... 2 1 + + = 3 8 y 2 + 2 1
đ a ư vào trong căn. Suy ra 3 1 x (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) x 1 >�(cid:0) y 0 (cid:0) ệ Gi ề i. ả Đi u ki n (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - y (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 6
(
) 1
2 � + (cid:0) � �
= - Ta có: VP 4 3 4 3 2 1 1 1 y 2 1 + + = 3 8 y 2 1 + - y 2 1 + + + = 3 4 1 y 2 1 + - y 2 � � �
- - � + - x x x x � � 1 + 3 + � 1 2
3 + - - � x 2 - + x x x � x 3 � 3 2 2 2
2
� (cid:0)� x 1 2
)
(
)
(
)
2 1 � � � � x � �
2
2
2
+ + + Do đó, ( . � � y y f f y 2 + = 1 2 y 2 . 2 1 2 1 x 1 x 1 � � = � � x � �
(
)
)
2
(
)
+ + (cid:0) f t t t ' = + 1 1 > " 0, + trên ﾡ , có ﾡ . Xét hàm s ố ( f t = + t t t . 1 t + t 1
t f ồ Suy ra ế đ ng bi n trên ﾡ .
(
)
= = � � f f y y x 2 2 Do đó, . 1 x 1 y 2 1 � �= � � x � �
29
ế ượ Th vào (1) ta đ c:
(
)
(
) 1
( + - 5
) 1
- - - - - � x x x x 5 + + x 3 - + = x 2 8 0 + 3 2 = 2 0
(
- - - � = � x x 1 5 + + x 1 - + x 3 2 2 1 � ) 1 . 1 � � � � �
[
]
+ - 3 3 - - - (cid:0) x 1 0, 1;2 Do . 5 + + x 1 - + x x + + x 3 2 = 1 2 3 2 1 < " - + x 1 2
)
= ề ệ ỏ x =� y 1 V i ớ (th a mãn đi u ki n) 1 2
2
x y ; ệ ậ ệ ( V y h đã cho có nghi m 1 � � = � � 1; 2 � �
3 x y
3 x y
2
( (
) 1 )
2 x y
(cid:0) = 2 + 4 - - (cid:0) x x x + 2 y 2 2 4 1 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 3. Gi = + + - - (cid:0) x + 2 x y x + 4 1 2 1 3 2 1 2 1 2 (cid:0)
3
ớ ị ướ ể ế ậ ươ ế ng cô l p x, y, nên đ ý đ n ph ng trình (1), n u chia hai Phân tích: V i đ nh h
2
2
ậ ượ ế v cho ẽ thì ta s cô l p đ c. x (cid:0) 0
)1 (cid:0)
2 1 � � � � x � �
+ 4 - + + = + + y x x y + 2 y Ta có ( 2 2 4 1 � y y y 2 2 4 1 1 1 - = x 1 2 x 1 x 1 x
ư ẽ ế ượ ệ ữ ự ệ ố ồ ặ Đ n đây xét hàm đ c tr ng ta s tìm đ c m i liên h gi a x và y r i th c hi n th ế
ươ ạ vào ph ng trình còn l i.
2 x y 2 x y
(cid:0) (cid:0) + 1 2 0 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 1 2 0 ệ . Gi ề i. ả Đi u ki n (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x 1 1 (cid:0)
)
(
)
0
x = , h tr thành ệ ở
(cid:0) = " (cid:0) (cid:0) y y 0; x y ; ệ V i ớ ệ ( (luôn đúng) nên h có nghi m ﾡ . = 0 0 = (cid:0) 4 4
2
,
2
+ 4 - 0 )1 (cid:0) y x x y + 2 y 2 2 4 1 x (cid:0) V i ớ Ta có ( 1 - = x 1 2 x
)
( 2f
2 1 � � � � x � �
(
)
= + + = + + � y f � y y y 2 2 4 1 1 1 � � � � x � � 1 x 1 x
2
2
V i ớ f t = + t t t + . 2 1
(
)
)
)
(cid:0) ﾡ f t t t ' = + 1 + + 1 > " 0, t Xét hàm s ố ( f v i ớ t (cid:0) ﾡ , có t 2 + t 1
30
t ồ Nên hàm s ố ( f ế đ ng bi n trên ﾡ .
(
)
2
= = = � � f f y y xy 2 2 2 1 Do đó, . 1 x
2
2
+ = + + - 1 ượ Th ế 2 1 � � � � x � � xy = vào (1) ta đ c: (3). x x 4 1 1 3 1
- = = - (cid:0) x x = - + x 2 1 ( + x a 3 - + x ) = 1 1 2 b 2 Đ t ặ và . a + (cid:0) x b x 1 0, 1 0
2
(
)
(
)
) ( = + - a b a b
x (cid:0)
0
= (cid:0) b + 2 - - - � � a b ab 3 2 + a 4 = b 2 0 2 2 0 � (cid:0) . (cid:0) a 2 + = a b 2
V i ớ ạ (lo i do ) + + x - = x =� x a b+ = , ta có 1 2 1 2 0
- � � ề ệ ỏ x x = - x = - y 2 + = 1 1 V i ớ , ta có (th a mãn đi u ki n) b a= 2 5 6 3 5
)
) (
)
3
2
2
= - - " (cid:0) ﾡ y y x y ; ; ệ ậ ệ ( V y, h đã cho có nghi m . 3 5 5 6 � � �
(
(
) + + 1
) 1
) 1
2
2
(
)
)
(
2 x y
(cid:0) + = � ( , 0; � � ( x y x x 4 6 2 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 4. Gi + + + (cid:0) y = + x x 2 2 4 1 1 2 (cid:0)
ươ ể ạ ng trình Phân tích: Trong ph
)
= ứ (2) có hai bi u th c có cùng d ng là ( f u y + 24 1 ( ) f v ử ụ ươ ợ và x + nên g i ý cho ta s d ng ph 2 1
2x .
ự ế ệ ế ằ ậ ố ư ề ạ ế ủ ( . Đ n đây ta th c hi n “cô l p bi n” b ng cách chia hai v c a ng pháp hàm s đ a v d ng )2 cho
ệ x (cid:0) 0 . Gi ề i. ả Đi u ki n
3x ta đ
ế ủ ệ ậ ỏ ượ Nh n th y ấ x = 0 không th a mãn h , chia 2 v c a (2) cho c:
(
)
(
) 2
)
+ + = + + (3) y y y 2 2 2 1 1 1 x 1 x 1 2 x
2
2
ﾡ Xét hàm s ố ( f t = + t t t + v i ớ t (cid:0) 2 1
(
)
(
)
(cid:0) t f t t ' = + 1 + + 1 > " 0, Ta có ﾡ t 2 + t 1
)
f t ố ồ ế Nên là hàm s đ ng bi n trên ﾡ
3
2
3 =� 2 y Do đó, ( . 1 x
)
(
( g x
) 1
2
+ + = = + x x x x 2 6 ế ươ ượ Th vào ph ng trình (1) ta đ c: (4)
2
)
( g x '
31
+ x 1 = + + + > x x x " > x 1 3 4 0, 0 Ta có x
)
(
)
(
)1
g 0;+(cid:0) 6 ế ồ ươ Nên hàm s ố ( g x đ ng bi n trên , mà có = nên ph ng trình (4) có
)
= ệ ấ x =� y 1 nghi m duy nh t . 1 2
x y ; ệ ậ ệ ( V y, h đã cho có nghi m
2
2
2
(
)
) 1
3
(
(
)
3 x y
(cid:0) + + = + + 1 � � = � � 1; . 2 � � ( x xy y y 1 1 3 9 3 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 5. Gi (cid:0) = - - - - x + 2 x y xy x x 3 + 5 4 3 7 0 2 (cid:0)
) 1 )
2 x y
( 5 0 *
2
- (cid:0) xy+ ệ Gi ề i. ả Đi u ki n:
2
+ + > + (cid:0) " ươ Xét ph ng trình (1), ta có y y y y y 3 9 3 3 3 0,
(
) + + 2 1 1
> xy x >� x 0 0 ệ ệ nên h có nghi m thì
2 x y
2
< (cid:0) - +� xy y 5 0 0 Mà 5 + x x
2y , ta có
2
ế ủ ươ Chia hai v c a ph ng trình (1) cho
(
(
)
) 1
2 � � 3 � � y � �
+ + = + + � x x x 1 1 3 3 y 3 y
2
2
2
Xét hàm s ố
(
)
)
(
(
)
(
) + � � 0;
)
(
)
= = + > " + � �� t f t t t f t t + + 1 t t , 0; ' + + 1 1 0, t 2 + t 1
t 0;+(cid:0) ồ Suy ra hàm s ố ( f ế đ ng bi n trên .
)
( f x
= = = � � � f x y ươ Do đó ph ng trình (3) 3 y 3 x � � 3 � � y � �
ề ệ x۳ Đi u ki n (*) 2 3
3
2
3
2
ươ ượ y Thay = vào ph ng trình (2) ta đ c: 3 x
(
(
)
) 1
) ( 1
= - - - - - - - - � x x x x x x = x x x x x 3 3 + 2 4 9 7 0 3 3 2 + 4 12 8
3
2
(
(
) 1
) � + 2 4 � � =
+ 2 - - - x 1 - - - � � x x + 2 x x x x x 3 4 12 8 + 3 0 x 2 = x = x 3 x 3 - + 2 x 3 - + x 2 3 � � �
2
32
(cid:0) - x 1 - " � x + = x + x x 3 0, = x 2 3 x > x x 1 - + 2 3 � 2 0 do 4 � � � 2 � � � (cid:0) � (cid:0) 3
)1;3 ;
2; ệ ậ ệ ( V y h đã cho có nghi m ;x y là ( ) 3 � � � � 2 � �
m
m
m
m
+ 1
2
m
m
ư ớ ươ ệ ạ ng trình trong h có d ng + = ặ 2.2.5. Tìm hàm đ c tr ng v i ph + y xy x y
my (cid:0)
10
22
(
11 x
12 y
) 1
4
2
2
3
(
)
(
4 8 2 .
) 1
+ ế ẽ ượ Khi đó, chia hai v cho ta s đ c: 0 y y x y � � � �+ x = � � � � y � � � � (cid:0) + = + xy y (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 1. Gi + + = + - (cid:0) y x y x y x 7 13 3 3 2 (cid:0)
( ) 0, 1
11
11
= y =� x 0 ả thay vào (2) thì không tho mãn. Gi i. ả Xét
11y ta đ
11
10
= + y (cid:0) 0 ượ Xét ế ủ , chia 2 v c a (1) cho c: (3) y y x y � � + x � � y � �
(
)
(
)
(
)
= + = (cid:0) (cid:0) f t f t t f t t t t , ' t 11 + > " 1 0, Xét hàm s ố ﾡ , ta có ﾡ nên là hàm số
2
ế ồ đ ng bi n trên ﾡ . Do đó,
)
( f y
2
2
2
3
= = � � � f y x y (3) , x y � �= x � � y � �
(
)
(
2 8 2 .
) 1
+ + = + - ượ x x x x x x 7 13 3 3 4 Th ế vào (2) ta đ c: x y=
3x ta đ
ệ ươ ế ượ 0 Xét x = không là nghi m ph ng trình, chia 2 v cho c:
(
)
+ + = � 4 2 3 3 7 x 3 + - x 13 2 x 8 3 x 1 2 x
3
2
3
2
3
2
ươ ở t Đ t ặ ng trình trên tr thành: 1 = , ph x
3 +
(
(
)
)
) 1
( + t 2 2
) = 1
( + t 3 3
3
2
+ + = + - - - � t + 2 t t t 8 t 13 t 7 t 2 3 3 + t 2 + t 2 3 3 5
)
)
( g u
( g u '
= + = (cid:0) (cid:0) u u u u 2 , u 3 + > " 2 0, ố ﾡ ta có ﾡ nên hàm số
(
3
Xét hàm s ) ồ ế ﾡ .
(
)
)2
(
) 1
3
2
+
= +
+ 2
+ = - � g g t t 2 5 + t 3 3 g u đ ng bi n trên Do đó,(
(
(
) =
�
�
�
t
+ t
= - t
) 1
t 2
t 3 3
) ( t 1 8
+ t 5
2
0
1
2
-
5
4
10
6
= - ệ ệ Suy ra , h đã cho vô nghi m. x = -� y 1 1
2
( (
) 1 )
33
(cid:0) + = + x xy y y (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 2. Gi (cid:0) x y 4 + + 5 + = 8 6 2 (cid:0)
- ệ x (cid:0) . Gi ề i. ả Đi u ki n: 5 4
5y , ta đ
5
5
0 ậ ấ ế ươ ệ ỏ ượ Nh n th y y = không th a mãn h , chia 2 v ph ng trình (1) cho c:
5
= + (3) y y x y
)
4
(cid:0) � �+ x � � y � � ) ﾡ t t
)
)
( = + t t , + > ( 1 0,
2
" (cid:0) . ) ﾡ t t t f Xét hàm s ố ( f ( t= 5 ' ồ Ta có . Do đó hàm s ố ( f ế đ ng bi n trên ﾡ .
= = � � y x y ậ ế ươ ượ V y (3) , th vào ph ng trình (2) ta đ c: x y
(
) (
)
+ + + = � x x x x x 4 + + 5 + = 8 6 5 + 13 2 5 8 4 36
2
2
2
(
)
)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x 0 + + = - � � � x x x 2 4 37 40 23 5 � � (cid:0) + + = - x x x 23 5 ( 4 4 37 40 23 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x � � = x = (cid:0) x 23 5 1 41 (cid:0)
2
=� x 1
) 1; 1-
= V i ớ x = 1 ta có y 1
3
6
4
ậ ệ
2 x y
2
)1;1 và ( + = (
(
)
) 1 ) 1
(cid:0) ( x y x 2 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 3. Gi + + =� � y 1 ;x y là: ( ) ệ ( V y h đã cho có nghi m + ) 2 ( (cid:0) x y x 2 + = 1 2 (cid:0)
- y (cid:0) 1 ệ . Gi
3x ta
3
3
ế ủ ệ ỏ ươ 0 Do i. ả Đi u ki n ề x = không th a mãn h đã cho nên chia hai v c a ph ng trình (1) cho
(
)
) 1
3
= + ượ ( đ c: x x 2 3 2 y x
2
+ (cid:0) y � �+ � � � x � � ) = t t t t 2 ,
)
)
(
2
+ (cid:0) Xét hàm s ố ( f = " (cid:0) t t t f t 3 2 0, ' ồ Ta có: ﾡ . ﾡ nên hàm s ố ( f ế đ ng bi n trên ﾡ
)
)
( f x
2
= = � � � f x y x 3 Do đó ( y x y � �= � � x � �
2
2
2
ượ Th ế c: y x=
(
(
)
) (
+ + + + = vào (2) ta đ ) � x x x x x x x 2 + = 1 2 1 2 + - 1 1
2 1
2
2
+ + > ế ủ ươ Ta có nên nhân hai v c a ph ớ ng trình trên v i x x + (cid:0) x x 0
2 1
34
+ = ượ c: � + + ta đ x x x x x x = � � x + = 2 + + 1 1 4 3
(
)
(
) =
( = -
(
)
) 3;3 ,
x y ; x y ; 3;3 ệ ệ ậ V y h có nghi m: .
ộ ố ươ ng pháp tìm hàm đ c tr ng khác 2.2.6. M t s ph ệ ữ ớ ặ ư ươ ứ ơ ả ư ạ V i nh ng h mà không ch a ph ng trình nào có d ng c b n nh trên, khi
ứ ặ ư ư ễ ệ ể ặ ậ ầ ể đó chúng ta c n nhìn nh n nh ng đ c đi m d phát hi n (nh có bi u th c l p đi
ử ụ ứ ế ầ ố ặ ạ l p l ổ i, hay có hình th c g n gi ng nhau…), sau đó s d ng các phép bi n đ i
ươ ặ ẩ ụ ộ ư ể ặ ươ t ng đ
(
2
( (
) 1 )
(cid:0) - ạ ố ng, đ t n ph , c ng đ i s … đ tìm ra hàm đ c tr ng. ) y x + = - x 6 6 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 1. Gi - - 2 ( 2 ) (cid:0) + y x x + = y 2 1. + x 4 5 2 2 (cid:0)
(cid:0) - (cid:0) - x y 6; 1 ệ . Gi ề i. ả Đi u ki n:
(
)
(
)
2
2
(
(
+ + - - y y 1 x x = = � � PT 2 3 + - y - 2 2 ) 2 + 2 + x x 4 5 + + x 2 1 1 ) y 1 1
(
)
(
)
2
2
(
(
)
= (cid:0) = (cid:0) t f t ' > " 0, t f t , Xét hàm s ố ﾡ , có ﾡ nên hàm số t 2 + + + t t 1 ) 1 1 t 1
t f ồ ế đ ng bi n trên ﾡ .
)
) =
(
)
( f x
2
(cid:0) (cid:0) x 2 - � � � (cid:0) f + y + y 3 2 1 - = x 2 1 Do đó, ( = - (cid:0) y x + x 4 3
2
Thay vào (1) ta đ
(
(
)
) ( + - x
- - - c ượ ) � x + 2 x x + x x 2 2 + = - x 6 + x 4 3 2 2 = - 6 3 2 15
(
)
(
)
(
)
) ( + 3
- = - - - - � � x x x x = x 2 2 5 3 5 0 x 3 + + x 6 3 -� x 4 2 + + � + + x 6 3 � � � �
(
)
) x y = ;
- + + (cid:0) x y =� 5 7 0 ươ ệ x (cid:0) x = 2 3 Do nên nên ph ỉ ng trình ch có nghi m . x 4 + + 2 x 6 3
3;0 ệ ậ ệ ( V y h đã cho có nghi m .
(cid:0) (cid:0) x - + y + - x y ( 4 1 4 (1) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 2. Gi + + = y x 1) 1)( = - - (cid:0) (cid:0) + x x y ( 2 2 2) 1 (2)
2
2
(cid:0) - (cid:0) x y 1, 0 ệ Gi
4
ề i. ả Đi u ki n: + - - � Ta có, x y (1) ( 4 (3)
)
3
1) = - f t t ( ) Xét hàm s ố 0; 3 = - f t f =� t t 4 + = x y 1 4 [ +� � có = t '( ) 4( 1), t t 4 , - = 4 0 1
35
ả t '( ) ế B ng bi n thiên
t
0
1
+∞
+
0
f'(t)
0
+∞
f(t)
3
. y )
ề ằ ơ ộ n m trên cùng m t mi n đ n đi u c a ệ ủ f(t). Khi đó: � f x= = f ( y= Ta có (3) + N u ế 1 t + x 1) ( + và 2t 1
+ = � � . Thay vào pt(2) ta đ c:ượ f x y x y ( (
� ) + x + = 1 = 2 x = + x 1 + + x x x ( 2 2 1 y + - x ( 1) 2 1 1
2
2
) 1 1
(
)
(cid:0) = + - (cid:0) x x = - x 0 (t/m) = + - (cid:0) f 1) - = - 1) ( � � � x x (cid:0) = (cid:0) x =� y 1 =� y 0 1 (t/m) (cid:0) (cid:0) x 1 = - 1 (cid:0) ệ
t f ệ ề ằ x;y) là: (1;0) và (0;1). ơ n m trên 2 mi n đ n đi u khác nhau . Khi đó: y=
(
- y + - � � x 1 1 + x ệ ợ ng h p này h có 2 nghi m ( + và 2t x= 1 ) ) ( - < y 1 1 1 0 . 0 - < x y ( 1) 0 ườ Tr + N u ế 1 t ( x y 1 < + 1
ạ � L i có: (4). VT(4)<0, VP(4) 0(cid:0) (cid:0) pt(4) VN. + - x - = 1) x y ( (2)
2
2
(cid:0) ợ Tr - ệ ) : ( 1;0),(0;1) x + + 1 1 ) 2 1 1 ệ ng h p này h vô nghi m x y ệ ( ; ườ ệ ậ V y h có 2 nghi m (cid:0) + 2 - - - - y x y x y . - = 3 2 + x 4 6 5 (1) (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 3. Gi - - (cid:0) x - + x y y 2 3 5 + = - x 2 1 3 (2) (cid:0)
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x 3 (cid:0) ệ . Gi ề iả . Đi u ki n: - (cid:0) (cid:0) x y 2; - + x 2 3 5 0
2
ổ y ượ c
(
)
ươ + 2 - - - Bi n đ i ph ( � x ng trình (1), ta đ + y y ế ) 1 ( 2) - = x 2 (3 ) 3 3
2
(
)
)
)
)
[
1 = + = + f f t t '( ) t 2 t (cid:0) " > t 0 0 Xét hàm s ố v i ớ . Ta có: > 0 , liên t cụ f t t t ( ) t 2
t 0;+(cid:0) 0;+(cid:0) ồ nên hàm s ố ( f ế đ ng bi n trên
- - � � x = - y y x . - = - 2 3 5 f y f x ( = 2) (3 ) trên [ ươ ạ Ph ng trình (3) có d ng:
4
3
2
22 x + = x 1
- Khi đó (2) � + x 2 2 4 2 - - - - � � x x x x x = 10 + x 2 + + - x x 1 + 12 5 + = x 36
2
2
2
2
2 +
(
(cid:0) x 6(TM) - - - (2 ( 4) 2 ) 42 ) � � � (cid:0) x x x x x 6 6( + = x 6 ) 9 0 + 6 0 = 3 (cid:0) (cid:0) x 9 0 = + 3 = - 3 6(L)
36
ề ệ ỏ V i ớ (th a mãn đi u ki n) � x y = + 3 6 = - 2 6
(
)
3
+ - x y = ( ; ) 3 6;2 6 ệ ệ ậ ấ V y h có nghi m duy nh t
(
)
(
(
) ( 1
) 1
) 1
(
)
(cid:0) = + + + + (cid:0) x y x y 2 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 4. Gi (cid:0) + x + = x x + x 1 + - x y 1 2 1 0 2 (cid:0)
ớ ư ế ừ ế ế ậ ậ ươ ằ duy cô l p bi n, n u cô l p bi n t ph ng trình (2) b ng cách Phân tích: V i t
ệ ượ ế ấ ư ặ ạ chia hai v cho x thì ta không th làm xu t hi n đ c hàm đ c tr ng. Xét l i ph ươ ng
3
3
ế c:ượ trình (1), chia hai v cho ể 1x + ta đ
(
)
(
)
(
3 � � �
+ = + + + = + � y y y y 2 1 + + 1 1 x + + + x + x x x x 1 x ) 1 1 1 1 � x � +� x
ư ế ặ ượ ệ ữ ế ố Đ n đây xét hàm đ c tr ng ta tìm đ c m i liên h gi a x và y, sau đó th vào (2)
3
3
(cid:0) - (cid:0) x 1 (cid:0) ệ . Ta có Gi ề i. ả Đi u ki n (cid:0) - (cid:0) y 1
(
(
)
(
)
) 1
(
3 � � �
3
+ = + + + = + � � y y y y 2 1 + + 1 1 x + + + x + x x x x 1 x ) 1 1 1 1 � x � +� x
(
)
(
)1
2
+ = + f y f t t t 3 v i ớ .
)
(
)
(
)
ﾡ , có
= (cid:0) f t f t t ﾡ ' t 3 + > " 3 0, ồ �= � x � � f �+� x 1 � Xét hàm s ố ( t f v i ớ t (cid:0) ﾡ nên ế đ ng bi n trên
(
)
(
)
+ = + � f f y y x 1 1 � 0 . Do đó, x + x x 1 � � � �= x �+ 1 �
2
ế ượ Th vào (2) ta đ c:
2
(
)
(
) 2 = 1
x - - � � + x + = x x x x + x 2 2 1 0 + + 1 2 0 + x 1
2 =
(
)
2
(cid:0) (cid:0) + x 0 1 5 - (cid:0) � � � � � x + x x = x = y 1 0 + = x 1 0 - 2 (cid:0) x - = x 1 0
(
)
2
+ 5 x y ; ;0 ế ệ ố ượ ủ ệ ươ ệ ề Đ i chi u đi u ki n ta đ c nghi m c a h ph ng trình 2 � 1 = � � � . � �
(
) 1
2
(
)
- - x + x y 2( + = y ) 2 ( ) 4 2( ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 5. Gi (cid:0) � + (cid:0) � 1 (cid:0) � (cid:0) - � 3 �- y x ) � + 2 x y xy 3( = ) 1 0 5 2 (cid:0)
2
(cid:0) x ệ .
(
)
37
- y x ; ( = - + (cid:0) y 1 0 ) 2 + ươ ượ ề i. ả Đi u ki n: Gi + ừ T (2) ta có: thay vào ph ng trình (1) ta đ c x y x y 4 5
(
(
) 2 + y
) + = 2
(
+ - - x y x 2 4 1
2
3
= - x y 2 ươ Đ t ặ t � 3 � ) �- y x � ở ng trình tr thành
(
)
3
+ + + � t 2 + = 2 t 4 1 3 t 2 t 2 + = 2 t 8 t 2
(
)
(
3
2
+ (3) 2 t 2 + = 2 t 2
)
)
( f u ĐB trên ﾡ .
� 1 � � � , khi đó ph 3 � �+ 1 � � t 2 � � ) 3 + = + = (cid:0) (cid:0) + ) u u u 3 ﾡ , có ﾡ nên
)
= u u , + t 2 ( f u ' = + > " 1 0, = + � � f f t 2 t 2 1 t 2 2 � t 2 Xét hàm s ố ( f u ) ( ) Mà ( � t 2 3
( x � ( x
(cid:0) = - (cid:0) (cid:0) t 2 - = y (cid:0) x 1 2 (cid:0) (cid:0) ệ Hay ta có h sau : ho c ặ + 1 ) 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 y (cid:0)
4
2
- = ( = x � = y ( 1 ) 2;1 1; 2 ủ ệ ệ ậ V y nghi m c a h đã cho:
3 x y
) . + = 4 y
4
3
6
( (
) 1 )
3 x y
2
(cid:0) 9 ) x y = ; + - - x = - y ( ) x y = - ; + 3 xy 12 8 1 0 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 6. Gi + + + - 2 ( và ( 2 x y 2 ) 2 (cid:0) x y x y = + 1 1 2 2 (cid:0)
)
)
(
( f y
3 x y
2
2
= - f 1 2 ượ ươ ề ạ ư c ph ng trình (2) v d ng v iớ
(
)
3 x y
= = - 4 = - f t t t [0; y 1 2
Phân tích: Ta đ a đ + đ ng bi n trên ể ế ươ ấ Đ ý đ n ph
ồ ế ể � ế ươ c ph
ế ượ ươ ượ ả ờ , do đó ta có y ể ng trình ứ ậ 4 thì ta đ ể ề ữ ố 1 có th chuy n v thành bi u th c b c ng trình i quy t đ )+(cid:0) 3 (*). x y ậ 4, n uế ứ ề (1) ta th y các bi u th c ch a bi n đ u có b c ấ ẳ ng trình đ ng c p ả i c. Ta có l ể c do ph i gi 1 2 ứ ượ ừ (*) ta v a thu đ
4
2
- (cid:0) ệ 0
(
3 x y
2
- ề i. ả Đi u ki n: 1 2 ) + � y 2 1 2
t (cid:0)
0
) 3 + > v i m i 1 0 ọ ớ
)
0 [
(cid:0) = y = f t ( ) t 2 + 3 x y t (cid:0) t
2
, có 0;+(cid:0)
2
4
- y 0;
)
3 x y
32 x y
3 x y
4
- + = = - � ch s b c ậ 4, đi u này gi ề sau: Gi Ta có: ( Xét hàm s : ố f t ( ) ) Nên hàm s ố ( t f 3 Mà x y ; 1 2 ( ) ( f y 3 � (4) y 1 � 2 y 1 2
3 x y
2
4
+ = 1 Thay
y + - - 2 3 x y 4 c: = 4 y 9
3 x y = - 1 2 + v i ớ t ế ồ đ ng bi n trên [ ) +� � nên: ( ) = f 1 2 )1 ta đ vào ( ượ + 2 3 xy x y 12 2 ỏ
4
3
2
x 0 0 ế ươ Do y = không th a mãn nên chia hai v ph
4
c:ượ = (cid:0) x y + - - - � � 12 4 9 0 = 3 0 (cid:0) = - (cid:0) x y x y x y x y x y x y 3 � � � � � � � � x + = 2 � � � � � � � � y � � � � � � � �
= x x 3 1 V i ớ x y= , thay vào (4) ta có: (5) 4y ta đ ng trình (5) cho 2 2 � � � � + 1 . � � � � � � � � 1 4
38
= - = 4 - x y 3 ừ V i ớ , cũng t (4) ta có: =� � 3 (vô nghi m)ệ y 53 1
) ;x y là:
4
39
- - 1 1 ; ; ệ ậ ệ ( V y h đã cho có nghi m 1 4 3 3 3 3 � 1 � 4 � �� , �� 4 �� � . � �
Ệ Ế Ạ III. HI U QU DO SÁNG KI N ĐEM L I
Ả ụ ạ ớ ườ Qua áp d ng t i các l p 12A1, 12A2 và 12A5 ở ườ tr ng THPT Xuân Tr ng đã
ạ ữ ả ế ự mang l ế i nh ng k t qu thi ụ ể t th c, c th :
ệ ặ ạ ươ Các em không còn tâm lý e ng i khi g p h ph ng trình nói riêng và
ươ ấ ươ ệ ươ ế ph ng trình, b t ph ng trình, h ph ng trình nói chung vì qua sáng ki n các em
ượ ệ ố ộ ươ ơ ả ể ặ ắ đã n m đ c m t cách h th ng các ph ư ng pháp c b n đ tìm ra hàm đ c tr ng,
ả ế ượ ừ t đó giúp các em gi i quy t đ c bài toán.
ỉ ệ ầ ớ ọ ả Trong các l n thi chung, thi kh o sát, h c sinh các l p trên có t l làm đ ượ c
ươ ư ươ ấ ươ ẳ ệ câu h ph ng trình, cũng nh ph ng trình, b t ph ớ ơ ng trình cao h n h n các l p
ượ ụ ế khác không đ c áp d ng sáng ki n.
ệ ế ể ọ ọ ớ ả Sáng ki n có th làm tài li u tham kh o cho h c sinh l p 12, h c sinh ôn thi
ứ ệ ả ạ ố THPT Qu c gia, làm tài li u cho giáo viên nghiên c u gi ng d y.
Ạ Ả Ặ Ề Ế IV. CAM K T KHÔNG SAO CHÉP HO C VI PH M B N QUY N
ủ ế ế ượ Tôi xin cam k t báo cáo sáng ki n này c a tôi đ c đúc rút qua quá trình công
ọ ậ ứ ủ ệ ệ ả ạ ộ ồ tác, gi ng d y, nghiên c u các tài li u b môn, h c t p kinh nghi m c a đ ng
ướ ế ề ề ặ ạ ạ ệ nghi p đi tr ả c, không sao chép ho c vi ph m b n quy n. N u vi ph m v sao chép
ứ ỷ ậ ề ặ ạ ả ọ ị ho c vi ph m b n quy n tôi xin ch u m i hình th c k lu t.
ế ủ ắ ẽ ế ề ậ ấ ắ Sáng ki n c a tôi ch c ch n s còn nhi u thi u sót, r t mong nh n đ ượ ự c s
ế ủ ệ ạ ồ ị đóng góp ý ki n c a quý v và các b n đ ng nghi p.
ả ơ Tôi xin chân thành c m n!
Ơ Ả Ế TÁC GI SÁNG KI N
ạ
Ơ Ị C QUAN Đ N V Ế Ụ ÁP D NG SÁNG KI N ế ậ (xác nh n, đánh giá, x p lo i) (Ký tên, đóng d u)ấ
40
ễ Nguy n Văn Khoa
Ụ Ả Ệ DANH M C CÁC TÀI LI U THAM KH O
1. Ph m Kim Chung, Ph m Chí Tuân, Lê Đình M n, Ngô Hoàng Toàn.
ạ ạ ẫ
ươ ạ ọ ố ộ Ph ng trình vô t ỷ, NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i.
2. Lê Văn Đoàn, Văn Đ c Chín.
ứ ươ ấ ươ ệ Ph ng trình, b t ph ng trình & h ph ươ ng
ạ ọ ố ộ trình, NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i.
ổ ẻ ọ 3. Báo toán h c và tu i tr
4. Các Website toán h c: luyenthithukhoa.vn,
ọ k2pi.net, mathvn.com,
tailieuluyenthi.com, violet.vn,...
5. ThS.Ph m Bình Nguyên, ThS. Nguy n Ng c Duy t, 2014,
ễ ọ ệ ạ ế Bí quy t chinh
ụ ỳ ủ ề ố ươ ấ ươ ph c k thi THPT Qu c Gia 2 trong 1 Ch đ Ph ng trình, b t ph ng trình,
41
ệ ươ h ph ng trình, NXB ĐHQGHN
MUC LUC
Ế
Ề
Ả
Ạ
ạ
ế
ả
ươ
ư
ợ ng pháp nhân liên h p tìm hàm đ c tr ng
ạ
ậ
ạ ạ
ạ ươ ươ ươ ạ ớ
ư
ộ ố ươ Ả
Ế
Ệ
Ả
Ạ
Ế
Ụ
Ệ
Ệ I. ĐI U KI N HOÀN C NH T O RA SÁNG KI N 2 ............................................................... Ả Ả 3 I PHÁP ................................................................................................................. II. MÔ T GI ướ ả ả 1. Mô t i pháp tr 3 c khi t o ra sáng ki n ............................................................................ gi ứ ơ ả ế 2.1. Các ki n th c c b n 3 ........................................................................................................ ụ ể i pháp c th 4 ............................................................................................................... 2.2. Gi ạ ộ ệ ứ 4 ng trình có luôn d ng ................................................................. 2.2.1. H ch a m t ph ặ ươ 2.2.2. Ph 6 ........................................................ ư ặ 2.2.3. Tìm hàm đ c tr ng d ng b c ba d ng 11 ................................................................... ạ ộ ệ ứ 11 ng trình có d ng ................................................................ 2.2.3.1. H ch a m t ph ộ ệ ứ ng trình d ng 16 ................................................................... 2.2.3.2. H ch a m t ph ộ ệ ứ 24 .................................................................... ng trình d ng 2.2.3.3. H ch a m t ph ư ặ 2.2.4. Tìm hàm đ c tr ng d ng 27 ....................................................................................... ệ ạ ươ ư ặ 33 ng trình trong h có d ng ........................................ 2.2.5. Tìm hàm đ c tr ng v i ph ặ 35 ng pháp tìm hàm đ c tr ng khác ........................................................ 2.2.6. M t s ph Ạ III. HI U QU DO SÁNG KI N ĐEM L I 40 ............................................................................. Ề Ặ 40 ................................... IV. CAM K T KHÔNG SAO CHÉP HO C VI PH M B N QUY N Ả 41 ........................................................................... DANH M C CÁC TÀI LI U THAM KH O
42
̣ ̣
