intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Phương trình chứa căn thức

Chia sẻ: Conan Kaiwas | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST
Báo xấu
1.292
lượt xem 347
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu luyện thi cao đẳng đại học môn toán chuyên đề phương trình chứa căn thức...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình chứa căn thức

  1. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011 PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN TH C Sinh vieân : Phan Syõ Taân Lôùp : k16kkt3 GOOD GOOD LUCKD 1.. PHÖONG TRÌNH PHAÙP LUYÕ THÖØA 1  A ≥ 0( B ≥ 0) A= B ⇔ D ng 1 : Phương trình A = B B ≥ 0 B ≥ 0 2k A=B⇔ A=B⇔ D ng 2: Phương trình T ng quát: 2 2k A = B A = B D ng 3: Phương trình A ≥ 0  (chuy n v d ng 2) +) A + B= C ⇔ B ≥ 0   A + B + 2 AB = C ( ) +) 3 A + 3 B = 3 C ⇔ A + B + 3 3 A.B 3 A + 3 B = C (1) và ta s d ng phép th : 3 A + 3 B = C ta ñư c phương trình : A + B + 3 3 A.B.C = C (2) A = B ⇔ A = B 2 k +1 A = B ⇔ A = B3 ; 2 k +1 3 D ng 4: Chú ý: - Phương trình (2) là phương trình h qu c a ph tr (1). - Phép bình phương 2 v c a m t phương trình mà không có ñi u ki n cho 2 v không âm là m t phép bi n ñ i h qu . Sau khi tìm ñư c nghi m ta ph i th l i. Gi i các phương trình sau: 3) (x − 3) x 2 − 4 = x 2 − 9 x2 − 4x + 6 = x + 4 x 2 − 2x + 4 = 2 − x 1) 2) 3x 2 − 9 x + 1 = x − 2 3x 2 − 9 x + 1 = x − 2 4) 5) 6) x 2 − 3x + 2 − 3 − x = 0 4 − 1− x = 2 − x 3 x + 1 + 3 x − 1 = 3 5x 7) 3 x − 3 3 x − 1 = 5 8) 9) 3 x + 5 + 3 x + 6 = 3 2 x + 11 3 x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0 x −1 − x − 2 = x − 3 10) 11) 12) x + 3 − 7 − x = 2x − 8 5x − 1 − 3x − 2 − x − 1 = 0 x + 2 − 3 − x = 5 − 2x 13) 14) 15) ) ( hehe...☺ Cách h c t t môn Toán là ph i làm nhi u , bên c nh ñó Baøi taäp Baø Sytan1992@gmail.com Trang1/19-LTðH-2010
  2. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011 y − 14 − 12 − y = 0 16) 17) 3x 2 + 6x + 16 + x 2 + 2x = 2 x 2 + 2x + 4 x2 + 9 − x2 − 7 = 2 x +1 = x + 9 − 2 x 2 + 3x + 2 + x 2 + 6 x + 5 = 2 x 2 + 9 x + 7 18) 19) 20) x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2 x + 2 (20) Nh n xét : f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) Mà có : f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + k ( x ) , thì ta bi n ñ i N u phương trình : f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau ñó bình phương ,gi i phương trình h qu phương trình v d ng x3 + 1 + x + 1 = x2 − x + 1 + x + 3 (21) x+3 Nh n xét : f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) Mà có : f ( x ) .h ( x ) = k ( x ) .g ( x ) thì ta bi n ñ i N u phương trình : f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau ñó bình phương ,gi i phương trình h qu 2.. PHÖÔNG TRÌNH ÑAËT AÅN PHUÏ 2 D ng 1: Các phương trình có d ng : ∗ α A.B + β A.B + γ = 0 , ñ t t = A.B ⇒ A.B = t 2 ∗ α . f ( x) + β . f ( x) + γ = 0 , ñ t t = f ( x) ⇒ f ( x) = t 2 x −b x −b ⇒ ( x − a )( x − b) = t 2 ∗ α .( x − a)( x − b) + β ( x − a) + γ = 0 ñ t t = ( x − a) x−a x−a Chú ý: ∗ N u không có ñi u ki n cho t, sau khi tìm ñư c x thì ph i th l i 5 x 2 + 10 x + 1 = 7 − x 2 − 2 x Bài 1. Gi i các phương trình sau: 7) (x − 3)2 + 3x − 22 = 1) ( x + 1)( x + 4) = 5 x 2 + 5 x + 28 x 2 − 3x + 7 3) x( x + 5) = 23 x 2 + 5 x − 2 − 2 2) 5) − 4 ( 4 − x)( 2 + x ) = x 2 − 2 x − 12 6) ( 4 + x )(6 − x) = x 2 − 2 x − 12 4) x 2 − 4 x + 2 = 2 x 2 − 4 x + 5 Bài 2. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m? b) − x 2 + 2 x + 4 (3 − x )(x + 1) = m − 3 a) (1 + 2 x)(3 − x) = 2 x 2 − 5 x + 3 + m Bài 3. Cho phương trình: − x 2 + 2 x + 4 (3 − x)( x + 1) = m − 2 a. Gi i phương trình khi m = 12 b. Tìm m ñ phương trình có nghi m? Bài 4. Cho phương trình: (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3) x + 1 = m (ð3) x−3 a. Gi i phương trình v i m = -3 b. Tìm m ñ phương trình có nghi m? ( )2 D ng 2: Các phương trình có d ng: t= A± B A± B± A± B +C = 0 ðt Bài 1. Gi i các phương trình sau: 2 x − x2 = x + 1− x 2 x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 - 2 a) (QGHN-HVNH’00) 1 + b) 3 ) ( hehe...☺ Cách h c t t môn Toán là ph i làm nhi u , bên c nh ñó Baøi taäp Baø Sytan1992@gmail.com Trang2/19-LTðH-2010
  3. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011 x+4 + x−4 c) (AN’01) 7 x + 7 + 7 x − 6 + 2 49 x 2 + 7 x − 42 = 181 − 14 x d) = x + x 2 − 16 − 6 2 5 1 3 1 e) 5 x + = 2x + +4 g) (TN- KA, B ‘01) 3 x + = 2x + −7 (ð36) 2x 2x 2x 2x 3 x − 2 + x − 1 = 4 x − 9 + 2 3 x 2 − 5 x + 2 (KTQS‘01) z − 1 + z + 3 + 2 ( z − 1)( z + 3) = 4 − 2 z i) h) 1 + x + 8 − x − (1 + x )(8 − x ) = a Bài 2. Cho phương trình: (ðHKTQD - 1998) a. Gi i phương trình khi a = 3. b. Tìm a ñ phương trình ñã cho có nghi m.? Bài 3. Cho phương trình: 3 + x + 6 − x − (3 + x )(6 − x ) = m (ð59) a. Gi i phương trình v i m = 3. b. Tìm m ñ phương trình có nghi m? Bài 4. Cho phương trình: x + 1 + 3 − x − ( x + 1)(3 − x) = m (m-tham s ) (ðHSP Vinh 2000) a. Gi i phương trình khi m = 2. b. Tìm ñ phương trình ñã cho có nghi m. Bài 5. Tìm a ñ PT sau có nghi m: 2 + x + 2 − x − (2 + x )(2 − x ) = a T t c bài t p 2, 3, 4, 5 ta có th sáng t o thêm nh ng câu h i ho c nh ng bài t p sau: a) Tìm a ñ phương trình ñã cho có nghi m duy nh t? (ðK c n và ñ ) b) Tìm a ñ phương trình ñã cho vô nghi m? D ng 3: ð t n ph nhưng v n còn n ban ñ u. (Phương pháp ñ t n ph không hoàn toàn ) ( )( ) ( )( ) x +1 −1 x +1 − x + 2 = 0 , 2x + 3 − x 2x + 3 − x + 2 = 0 T nh ng phương trình tích Khai tri n và rút g n ta s ñư c nh ng phương trình vô t không t m thư ng chút nào, ñ khó c a phương trình d ng này ph thu c vào phương trình tích mà ta xu t phát . T ñó chúng ta m i ñi tìm cách gi i phương trình d ng này .Phương pháp gi i ñư c th hi n qua các ví d sau .Bài ) ( 1. Gi i phương trình : x 2 + 3 − x 2 + 2 x = 1 + 2 x 2 + 2 t = 3 x 2 + 2 , ta có : t 2 − ( 2 + x ) t − 3 + 3 x = 0 ⇔  Gi i: ð t t = t = x − 1 Bài 2. Gi i phương trình : ( x + 1) x 2 − 2 x + 3 = x 2 + 1 Gi i: Khi ñó phương trình tr thnh : ( x + 1) t = x 2 + 1 ⇔ x 2 + 1 − ( x + 1) t = 0 ð t : t = x 2 − 2 x + 3, t ≥ 2 Bây gi ta thêm b t , ñ ñư c phương trình b c 2 theo t có ∆ ch n t = 2 : x 2 − 2 x + 3 − ( x + 1) t + 2 ( x − 1) = 0 ⇔ t 2 − ( x + 1) t + 2 ( x − 1) = 0 ⇔  t = x − 1 ( )( ) 1− x − 2 1+ x 1 − x − 2 + 1 + x = 0 , khai tri n ra ta s ñư c pt sau T m t phương trình ñơn gi n : Bài 3. Gi i phương trình sau : 4 x + 1 − 1 = 3x + 2 1 − x + 1 − x 2 Gi i : Nh n xét : ñ t t = 1 − x , pttt: 4 1 + x = 3 x + 2t + t 1 + x (1) ( ) ( ) Ta rút x = 1 − t 2 thay vào thì ñư c pt: 3t 2 − 2 + 1 + x t + 4 1 + x −1 = 0 ) ( hehe...☺ Cách h c t t môn Toán là ph i làm nhi u , bên c nh ñó Baøi taäp Baø Sytan1992@gmail.com Trang3/19-LTðH-2010
  4. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011 ( ) ( ) 2 Nhưng không có s may m n ñ gi i ñư c phương trình theo t ∆ = 2 + 1 + x − 48 x + 1 − 1 không có d ng bình phương . ( )( ) 2 2 1− x , 1+ x Mu n ñ t ñư c m c ñích trên thì ta ph i tách 3x theo C th như sau : 3x = − (1 − x ) + 2 (1 + x ) thay vào pt (1) ta ñư c: Bài 4. Gi i phương trình: 2 2 x + 4 + 4 2 − x = 9 x 2 + 16 Gi i . ( ) Bình phương 2 v phương trình: 4 ( 2 x + 4 ) + 16 2 4 − x 2 + 16 ( 2 − x ) = 9 x 2 + 16 ( ) Ta ñ t : t = 2 4 − x 2 ≥ 0 . Ta ñư c: 9 x 2 − 16t − 32 + 8 x = 0 = α 2 ( 4 − x ) + ( 9 + 2α ) x Ta ph i tách 9 x 2 2 2 − 8α làm sao cho ∆ t có d ng chính phương . Nh n xét : Thông thư ng ta ch c n nhóm sao cho h t h s t do thì s ñ t ñư c m c ñích Bài t p ñ ngh : Gi i các phương trình sau 1) (4 x − 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1 2) 2(1 − x ) x 2 + 2 x − 1 = x 2 − 2 x − 1 3) x 2 + x + 12 x + 1 = 36 5) 4 1 + x − 3 = x + 3 1 − x + 1 − x 2 4) 1 + x − 2 x 2 = 4 x 2 − 1 − 2 x + 1 6) sin x + sin x + sin 2 x + cos x = 1 x+ y   7) 2 x + x − 1 − 1 − 1 − 3 x − 1 = 0 + 2 cos(x + y ) = 13 + 4 cos2 (x + y ) 8) 43. 4 x − x 2 sin 2 2   x x x 12 12 (9) 12 − 2 + x 2 − 2 = x 2 x x M t s d ng khác. ( ) 3 2 1) 9(x + 1) = (3 x + 7 ) 1 − 3 x + 4 2 2) x 2 − 3 x + 1 = − x4 + x2 +1 x 3 − 1 = x 2 + 3x − 1 3) 3 ( ) 6x 12 x 12 x 4 x − x2 −1 + x + x2 −1 = 2 4) 10. x 3 + 8 = 3 x 2 − x + 6 5) 6) − − 24 =0 x−2 x−2 x−2 35 1− x 2 + x 2 1 3x 3x x 7) x + = = −1 ⇔ = −1 8) 12 2 2 1− x 1− x x 2 −1 2 1− x 2 1− x x +1 4x 2 x −2 = 3 (ð141) = 2x + 9 10) 11) (1 − ) x +1 2 x 1 + 2x D ng 4: . ð t n ph ñưa v phương trình thu n nh t b c 2 ñ i v i 2 bi n : Chúng ta ñã bi t cách gi i phương trình: u 2 + α uv + β v 2 = 0 (1) b ng cách 2 u u Xét v ≠ 0 phương trình tr thành :   + α   + β = 0 v v v = 0 th tr c ti p Các trư ng h p sau cũng ñưa v ñư c (1) a. A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) .B ( x ) ) ( hehe...☺ Cách h c t t môn Toán là ph i làm nhi u , bên c nh ñó Baøi taäp Baø Sytan1992@gmail.com Trang4/19-LTðH-2010
  5. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011 α u + β v = mu 2 + nv 2 Chúng ta hãy thay các bi u th c A(x) , B(x) b i các bi u th c vô t thì s nh n ñư c phương trình vô t theo d ng này . a) . Phương trình d ng : a. A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) .B ( x )  P ( x ) = A ( x ) .B ( x )  Như v y phương trình Q ( x ) = α P ( x ) có th gi i b ng phương pháp trên n u  Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x )  Xu t phát t ñ ng th c : x3 + 1 = ( x + 1) ( x 2 − x + 1) x 4 + x 2 + 1 = ( x 4 + 2 x 2 + 1) − x 2 = ( x 2 + x + 1) ( x 2 − x + 1) ( )( ) x4 + 1 = x2 − 2 x + 1 x2 + 2 x + 1 4 x 4 + 1 = ( 2 x 2 − 2 x + 1) ( 2 x 2 + 2 x + 1) Hãy t o ra nh ng phương trình vô t d ng trên ví d như: 4 x 2 − 2 2 x + 4 = x4 + 1 ð có m t phương trình ñ p , chúng ta ph i ch n h s a,b,c sao cho phương trình b c hai at 2 + bt − c = 0 gi i “ nghi m ñ p” ( ) Bài 1. Gi i phương trình : 2 x 2 + 2 = 5 x3 + 1 x + 1, v = x 2 − x + 1 Gi i: ð t u = u = 2v 5 ± 37 Phương trình tr thành : 2 ( u + v ) = 5uv ⇔  2 2 Tìm ñư c: x = u = 1 v 2  2 34 Bài 2. Gi i phương trình : x 2 − 3 x + 1 = − x + x2 + 1 3 Bài 3: gi i phương trình sau : 2 x 2 + 5 x − 1 = 7 x 3 − 1 Gi i: ðk: x ≥ 1 ( ) ( x − 1) ( x 2 + x + 1) Nh n xt : Ta vi t α ( x − 1) + β x 2 + x + 1 = 7 ( ) ( x − 1) ( x 2 + x + 1) ð ng nh t th c ta ñư c: 3 ( x − 1) + 2 x 2 + x + 1 = 7  v = 9u ð t u = x − 1 ≥ 0 , v = x + x + 1 > 0 , ta ñư c: 3u + 2v = 7 uv ⇔  2 v = 1 u  4 T a ñư c : x = 4 ± 6 ( x + 2) 3 Bài 4. Gi i phương trình : x 3 − 3 x 2 + 2 − 6x = 0 Gi i: ) ( hehe...☺ Cách h c t t môn Toán là ph i làm nhi u , bên c nh ñó Baøi taäp Baø Sytan1992@gmail.com Trang5/19-LTðH-2010
  6. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011 Nh n xét : ð t y = x + 2 ta hãy bi n pt trên v phương trình thu n nh t b c 3 ñ i v i x và y : x = y x3 − 3 x 2 + 2 y 3 − 6 x = 0 ⇔ x3 − 3 xy 2 + 2 y 3 = 0 ⇔   x = −2 y Pt có nghi m : x = 2, x = 2−2 3 b).Phương trình d ng : α u + β v = mu 2 + nv 2 Phương trình cho d ng này thư ng khó “phát hi n “ hơn d ng trên , nhưg n u ta bình phương hai v thì ñưa v ñư c d ng trên. Bài 1. gi i phương trình : x 2 + 3 x 2 − 1 = x4 − x2 + 1 Gi i: u = x 2  khi ñó phương trình tr thành : u + 3v = u 2 − v 2 Ta ñ t :  2 v = x − 1  x2 + 2 x + 2 x − 1 = 3x2 + 4 x + 1 Bài 2.Gi i phương trình sau : Gi i 1 (x + 2 x ) ( 2 x − 1) = x 2 + 1 ⇔ (x + 2 x ) ( 2 x − 1) = ( x 2 + 2 x ) − ( 2 x − 1) 2 2 ðk x ≥ . Bình phương 2 v ta có : 2  1− 5 u = v u = x + 2 x 2 2  2 2 khi ñó ta có h : uv = u − v ⇔ Ta có th ñ t :   v = 2 x − 1 1+ 5 u = v  2 1+ 5 1+ 5 ( 2 x − 1) v ⇔ x2 + 2x = Do u , v ≥ 0 . u = 2 2 5 x 2 − 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1 Bài 3. gi i phương trình : Gi i: (x − x − 20 ) ( x + 1) ðk x ≥ 5 . Chuy n v bình phương ta ñư c: 2 x 2 − 5 x + 2 = 5 2 ( ) Nh n xét : không t n t i s α , β ñ : 2 x 2 − 5 x + 2 = α x 2 − x − 20 + β ( x + 1) v y ta không th ñ t u = x 2 − x − 20 .  v = x +1  ( ) ( ) Nhưng may m n ta có : x 2 − x − 20 ( x + 1) = ( x + 4 ) ( x − 5 ) ( x + 1) = ( x + 4 ) x 2 − 4 x − 5 . Ta vi t l i phương ( ) trình: 2 x 2 − 4 x − 5 + 3 ( x + 4 ) = 5 ( x 2 − 4 x − 5)( x + 4) . ð n ñây bài toán ñư c gi i quy t . D ng 5: ð t nhi u n ph ñưa v tích Xu t phát t m t s h “ñ i s “ ñ p chúng ta có th t o ra ñư c nh ng phương trình vô t mà khi gi i nó chúng ta l i ñ t nhi u n ph và tìm m i quan h gi a các n ph ñ ñưa v h Xu t phát t ñ ng th c ( a + b + c ) = a 3 + b3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) , Ta có 3 ) ( hehe...☺ Cách h c t t môn Toán là ph i làm nhi u , bên c nh ñó Baøi taäp Baø Sytan1992@gmail.com Trang6/19-LTðH-2010
  7. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011 a 3 + b3 + c 3 = ( a + b + c ) ⇔ ( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) = 0 3 T nh n xét này ta có th t o ra nh ng phương trình vô t có ch a căn b c ba . 7 x + 1 − 3 x2 − x − 8 + 3 x2 − 8x + 1 = 2 3 3 3x + 1 + 3 5 − x + 3 2 x − 9 − 3 4 x − 3 = 0 Bài 1. Gi i phương trình : x = 2 − x . 3 − x + 3 − x . 5 − x + 5 − x . 2 − x ( u + v ) ( u + w ) = 2 u = 2 − x  2 − u 2 = uv + vw + wu     Gi i : v = 3 − x , ta có : 3 − v 2 = uv + vw + wu ⇔ ( u + v )( v + w ) = 3 , gi i h ta ñư c: 5 − w2 = uv + vw + wu   ( v + w )( u + w ) = 5 w = 5 − x   30 239 u= ⇔x= 60 120 Bài 2. Gi i phương trình sau : 2 x 2 − 1 + x 2 − 3x − 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 + x 2 − x + 2 a = 2x2 −1   a + b = c + d x2 − 3x − 2 b = ⇔ x = −2 Gi i . Ta ñ t :  , khi ñó ta có :  2 2 2 2 a − b = c − d 2 c = 2x + 2x + 3  x2 − x + 2 d =  Bài 3. Gi i các phương trình sau 4 x2 + 5x + 1 − 2 x2 − x + 1 = 9 x − 3 1) x + 4 x (1 − x ) + 4 (1 − x ) = 1 − x + 4 x3 + 4 x 2 (1 − x ) 3 3.. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ PHÖÔNG TRÌNH TÍCH. 3 PHÖÔNG S d ng ñ ng th c u + v = 1 + uv ⇔ ( u − 1) ( v − 1) = 0 au + bv = ab + vu ⇔ ( u − b ) ( v − a ) = 0 (a - c) x + (b - d ) ax + b ± cx + d = m 2 2 A = B ⇔ ( A − B)( A + B ) = 0 a3−b3 ⇔ (a−b)(a2+ab+b2)=0 ⇔ a=b x + 1 + 3 x + 2 = 1 + 3 x 2 + 3x + 2 3 Bài 1. Gi i phương trình : x = 0 ( )( ) 3 3 Gi i: pt ⇔ x +1 −1 x + 2 −1 = 0 ⇔   x = −1 x2 = 3 x + 3 x2 + x 3 Bi 2. Gi i phương trình : 3 x + 1 + Gi i: + x = 0 , không ph i là nghi m ) ( hehe...☺ Cách h c t t môn Toán là ph i làm nhi u , bên c nh ñó Baøi taäp Baø Sytan1992@gmail.com Trang7/19-LTðH-2010
  8. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011  x +1  x +1 3 ( ) + x = 1+ 3 x +1 ⇔  3 3 − 1 x −1 = 0 ⇔ x = 1 + x ≠ 0 , ta chia hai v cho x: 3 x x   x + 3 + 2 x x + 1 = 2 x + x2 + 4 x + 3 Bài 3. Gi i phương trình: Gi i: dk : x ≥ −1 x = 1 ( )( ) pt ⇔ x + 3 − 2x x +1 −1 = 0 ⇔  x = 0 4x Bài 4. Gi i phương trình : x + 3 + =4 x x+3 Gi i: ðk: x ≥ 0 2  4x  4x 4x x + 3 : 1+ =2 ⇔ 1 −  = 0 ⇔ x =1 Chia c hai v cho x+3 x+3 x+3  Dùng h ng ñ ng th c Bi n ñ i phương trình v d ng : Ak = B k ⇔ ( A − B )( AK −1 + A K − 2 .B + AK −3 .B 2 + ... + A.B K − 2 + B K −1 ) 3−x = x 3+x Bài 1. Gi i phương trình : Gi i: 3 3 10 − 1  1 10 3 2 ðk: 0 ≤ x ≤ 3 khi ñó pt ñ cho tương ñương : x + 3 x + x − 3 = 0 ⇔  x + = ⇔x= 3 3 3 3  2 Bài 2. Gi i phương trình sau : 2 x + 3 = 9 x − x − 4 Gi i: x = 1  x + 3 + 1 = 3x ( ) 2 ⇔ = 9 x2 ⇔  ðk: x ≥ −3 phương trình tương ñương : 1 + 3 + x  x = −5 − 97  x + 3 + 1 = −3x    18 Bài 3. Gi i phương trình sau : 2 + 3 3 9 x 2 ( x + 2 ) = 2 x + 3 3 3 x ( x + 2 ) 2 ( ) 3 3 x + 2 − 3 3x Gi i : pttt ⇔ = 0 ⇔ x =1 ðS: x=1. Bài t p ñ ngh Gi i các phương trình sau : x 2 + 10 x + 21 = 3 x + 3 + 2 x + 7 − 6 4) 8) x 2 + 8 x + 15 = 3 x + 3 + 2 x + 5 − 6 1) x2 + 7x + 4 (x + 1)2 + 3n (x − 1)2 + 2n x 2 − 1 = 0 (v i n ∈ N; n ≥ 2) = 4 x (ðHDL ðð’01) 2) 5) n x+2 (x + 2)(2 x − 1) − 3 (x + 6)(2 x − 1) + 3 x2 − x − 2 − 2 x − 2 + 2 = x + 1 x+6 = 4− x+2 3) 6) 7) x − 2 x − 1 − (x − 1) x + x 2 − x = 0 (1) (HVKT QS - 2001) ) ( hehe...☺ Cách h c t t môn Toán là ph i làm nhi u , bên c nh ñó Baøi taäp Baø Sytan1992@gmail.com Trang8/19-LTðH-2010
  9. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011 4.. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛN ÖÔÙC 4 x( x − 1) + x( x + 2) = x 2 x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 = x 2 − 5 x + 4 1. (ðHSPHN2’00) 2. 4. 2 x ( x − 1 − x ( x + 2) = x 2 x 2 − 2002 x + 2001 + x 2 − 2003x + 2002 = x 2 − 2004 x + 2003 3. x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 4 x( x − 1) + x( x − 2) = 2 x( x + 3) 5. 8) (ð8) x( x − 1) + x( x − 2) = x( x + 3) x 2 + 3x + 2 + x 2 + 6 x + 5 = 2 x 2 + 9 x + 7 6. 9. (BKHN- 2001) 5. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CH A D U GIÁ TR TUY T ð I. 1. 2. x + 3 − 4 x −1 + x + 8 − 6 x −1 = 1 x 2 − 4 x + 5 − x 2 − 10 x + 50 = 5 x+3 x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = x + 2 + 3 2x − 5 + x − 2 − 2x − 5 = 2 2 3. 4. 2 x 4 − 2x 2 + 1 = 1 − x 8. 4 x + 2 = x + 1 + 4 x + 2 x −1 − x − 2 x −1 = 2 5. 6. (ð24) (HVCNBC’01) 7. x − 4x − 4 + x + 4x − 4 = 2 . x + 15 − 8 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 1 8. 6.. PHÖÔNG PHAÙP NHAÂN LÖÔÏNG LIEÂN HIEÄP 6 6.1. Nhân lư ng liên h p ñ xu t hi n nhân t chung a) Phương pháp M t s phương trình vô t ta có th nh m ñư c nghi m x0 như v y phương trình luôn ñưa v ñư c d ng tích ( x − x0 ) A ( x ) = 0 ta có th gi i phương trình A ( x ) = 0 ho c ch ng minh A ( x ) = 0 vô nghi m , chú ý ñi u ki n c a nghi m c a phương trình ñ ta có th ñánh gía A ( x ) = 0 vô nghi m b) Ví d 3 x 2 − 5 x + 1 − x 2 − 2 = 3 ( x 2 − x − 1) − x 2 − 3 x + 4 Bài 1 . Gi i phương trình sau : Gi i: ( )( ) ( )( ) Ta nh n th y : 3 x 2 − 5 x + 1 − 3x 2 − 3x − 3 = −2 ( x − 2 ) v x 2 − 2 − x 2 − 3 x + 4 = 3 ( x − 2 ) −2 x + 4 3x − 6 = Ta có th tr c căn th c 2 v : 3x 2 − 5 x + 1 + 3 ( x 2 − x + 1) x2 − 2 + x2 − 3x + 4 D dàng nh n th y x=2 là nghi m duy nh t c a phương trình . x 2 + 12 + 5 = 3 x + x 2 + 5 Bài 2. Gi i phương trình sau (OLYMPIC 30/4 ñ ngh ) : 5 x 2 + 12 − x 2 + 5 = 3x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ Gi i: ð phương trình có nghi m thì : 3 Ta nh n th y : x=2 là nghi m c a phương trình , như v y phương trình có th phân tích v d ng ( x − 2 ) A ( x ) = 0 , ñ th c hi n ñư c ñi u ñó ta ph i nhóm , tách như sau : ) ( hehe...☺ Cách h c t t môn Toán là ph i làm nhi u , bên c nh ñó Baøi taäp Baø Sytan1992@gmail.com Trang9/19-LTðH-2010
  10. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011 x2 − 4 x2 − 4 = 3( x − 2) + 2 2 x + 12 − 4 = 3 x − 6 + x + 5 − 3 ⇔ x 2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3   x+2 x +1 ⇔ ( x − 2) − − 3 = 0 ⇔ x = 2 2 x2 + 5 + 3   x + 12 + 4 x+2 x+2 5 − − 3 < 0, ∀x > D dàng ch ng minh ñư c : 3 x 2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3 Bài 3. Gi i phương trình : 3 x 2 − 1 + x = x3 − 1 Gi i :ðk x ≥ 3 2 Nh n th y x=3 là nghi m c a phương trình , nên ta bi n ñ i phương trình    ( x − 3) ( x + 3 x + 9 ) 2 x+3  x − 1 − 2 + x − 3 = x − 2 − 5 ⇔ ( x − 3) 1 + 3 2 3 = ( ) + 2 x −1 + 4  2 x3 − 2 + 5 3 x2 − 1 32    x 2 + 3x + 9 x+3 x+3
  11. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011 2 x2 + x + 1 + x 2 − x + 1 = 3x Bài 5. Gi i phương trình : Ta th y : ( 2 x 2 + x + 1) − ( x 2 − x + 1) = x 2 + 2 x , như v y không th a mãn ñi u ki n trên. 1 Ta có th chia c hai v cho x và ñ t t = thì bài toán tr nên ñơn gi n hơn x Bài t p ñ ngh Gi i các phương trình sau : x 2 + 3 x + 1 = ( x + 3) x 2 + 1 x 2 − 1 + 3 x3 − 2 = 3x − 2 3 2 x 2 − 11x + 21 − 3 3 4 x − 4 = 0 (OLYMPIC 30/4-2007) 4 − 3 10 − 3 x = x − 2 (HSG Toàn Qu c 2 x 2 − 1 + x 2 − 3x − 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 + x 2 − x + 2 2002) ( 2 − x ) ( 5 − x ) = x + ( 2 − x ) (10 − x ) 2 2 x 2 + 16 x + 18 + x 2 − 1 = 2 x + 4 x 2 + 15 = 3x − 2 + x 2 + 8 x2 + 4 = x − 1 + 2 x − 3 3 Gi i các phương trình sau: 2) 2 x ( x − 1) − x ( x + 2) = x 2 x( x − 1) + x( x − 2) = 2 x( x + 3) 2x + 2 − 2x − 1 = x 1) 3) 3 7− x −3 x−5 21 + x + 21 − x 21 x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 = 2 x 2 − 5x + 4 = = 6− x 4) 5) 6) 3 3 21 + x − 21 − x 7− x + x−5 x 7) 2x − 1 + x − 3x − 2 = 2x + 2x + 3 + x 2 − x + 2 2 2 2 8) 3 x 2 − 7 x + 3 − x 2 − 2 = 3 x 2 − 5 x − 1 − x 2 − 3 x + 4 9) x 2 − 2003 x + 2002 + x 2 − 2004 x + 2003 = 2 x 2 − 2005 x + 2004 7.. PHÖÔNG PHAÙP NHAÂN XEÙT ÑAÙNH GIAÙ 7 1. Dùng h ng ñ ng th c : A = 0 T nh ng ñánh giá bình phương : A2 + B 2 ≥ 0 , phương trình d ng A2 + B 2 = 0 ⇔  B = 0 2. Dùng b t ñ ng th c A ≥ m M t s phương trình ñư c t o ra t d u b ng c a b t ñ ng th c:  n u d u b ng (1) và (2) cùng d t B ≤ m ñư c t i x0 thì x0 là nghi m c a phương trình A = B 1 x +1 + ≥ 2 , d u b ng khi và ch khi x=0. 1 + x + 1 − x ≤ 2 D u b ng khi và ch khi x = 0 và Ta có : x +1 1 1 − 2008 x + 1 + 2008 x = + 1+ x V y ta có phương trình: x +1  A = f ( x)  A ≥ f ( x)   khi ñó : A = B ⇔  ðôi khi m t s phương trình ñư c t o ra t ý tư ng :  B = f ( x )  B ≤ f ( x)   ) ( hehe...☺ Cách h c t t môn Toán là ph i làm nhi u , bên c nh ñó Baøi taäp Baø Sytan1992@gmail.com Trang11/19-LTðH-2010
  12. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011 N u ta ñoán trư c ñư c nghi m thì vi c dùng b t ñ ng th c d dàng hơn, nhưng có nhi u bài nghi m là vô t vi c ñoán nghi m không ñư c, ta v n dùng b t ñ ng th c ñ ñánh giá ñư c 22 + x = x+9 Bài 1. Gi i phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): x +1 Gi i: ðk x ≥ 0  x  2 2 22   1 + ( ) + x ≤ 2 2 2  = x+9 + x +1 Ta có :    x +1  x +1       x +1    22 1 1 D u b ng ⇔ = ⇔x= 7 x +1 x +1 Bài 2. Gi i phương trình : 13 x 2 − x 4 + 9 x 2 + x 4 = 16 Gi i: ðk: −1 ≤ x ≤ 1 ) ( 2 Bi n ñ i pt ta có : x 2 13 1 − x 2 + 9 1 + x 2 = 256 Áp d ng b t ñ ng th c Bunhiacopxki: ) ( 2 ≤ (13 + 27 ) (13 − 13x 2 + 3 + 3 x 2 ) = 40 (16 − 10 x 2 ) 13. 13. 1 − x 2 + 3. 3. 3 1 + x 2 2  16  Áp d ng b t ñ ng th c Côsi: 10 x (16 − 10 x ) ≤   = 64 2 2 2 2   x= 1 + x2   1 − x2 = 5 ⇔ D u b ng ⇔  3 2  2 x = − 5 2 10 x = 16 − 10 x  Bài 3. gi i phương trình: x 3` − 3 x 2 − 8 x + 40 − 8 4 4 x + 4 = 0 Ta ch ng minh : 8 4 4 x + 4 ≤ x + 13 và x3 − 3 x 2 − 8 x + 40 ≥ 0 ⇔ ( x − 3) ( x + 3) ≥ x + 13 2 Bài t p ñ ngh . Bài 1: Gi i các phương trình sau 1 − 2x 1 + 2x 16 x 4 + 5 = 6 3 4 x 3 + x 1 − 2x + 1 + 2x = + 1 + 2x 1 − 2x x3` − 3x 2 − 8 x + 40 − 8 4 4 x + 4 = 0 x + 4 1− x + x − 1− x = 2 + 4 8 4 8 + x3 + 64 − x 3 = x 4 − 8 x 2 + 28 2 x4 + 8 = 4 4 + x4 + 4 x4 − 4 1 1  2 − x2 + 2 − 2 = 4 −  x +   x x Bài 2: Gi i các phương trình sau: ) ( hehe...☺ Cách h c t t môn Toán là ph i làm nhi u , bên c nh ñó Baøi taäp Baø Sytan1992@gmail.com Trang12/19-LTðH-2010
  13. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011 x 2 − 6 x + 15 = x 2 − 6 x + 18 1) 3 x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 − 2 x − x 2 2) 2 x − 6 x + 11 (x )( ) 4) x 2 − 3 x + 3,5 = 2 − 2x + 2 x2 − 4x + 5 3) x 2 − 6 x + 11 + x 2 − 6 x + 13 + 4 x 2 − 4 x + 5 = 3 + 2 x 2 − 2 x + 5 + x − 1 = 2 7) 2 x 2 − 8 x + 12 = 3 − 4 3 x 2 − 12 x + 13 2( 1 − x + x ) = 4 1 − x + 4 x 5) 6) 1 − 2x 1 + 2x x − 2 + 4 − x = x 2 − 6 x + 11 8) 1 − 2 x + 1 + 2 x = 9) + (ð11) 1 + 2x 1 − 2x 10) x 2 − 2 x + 3 = 2 x 2 − x + 1 + 3x − 3x 2 x − 2 + 10 − x = x 2 − 12 x + 52 11) 8.. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ HEÄ 8 D ng 1: ðưa v h phương trình bình thư ng. Ho c h ñ i x ng lo i m t. ð t u = α ( x ) , v = β ( x ) và tìm m i quan h gi a α ( x ) và β ( x ) t ñó tìm ñư c h theo u,v ) ( 3 3 Bài 1. Gi i phương trình: x 25 − x 3 x + 25 − x3 = 30 3 ð t y = 35 − x3 ⇒ x3 + y 3 = 35  xy ( x + y ) = 30  Khi ñó phương trình chuy n v h phương trình sau:  , gi i h này ta tìm ñư c 3 3  x + y = 35  ( x; y ) = (2;3) = (3;2) . T c là nghi m c a phương trình là x ∈ {2;3} 1 2 −1 − x + 4 x = 4 Bài 2. Gi i phương trình: 2 ði u ki n: 0 ≤ x ≤ 2 − 1  2 −1 − x = u  2 − 1,0 ≤ v ≤ 4 2 − 1 ⇒0≤u≤ ðt  4 x = v  1  u = 4 −v 1   u + v = 4 2  2 ⇔ Ta ñưa v h phương trình sau:  2 u 2 + v 4 = 2 − 1  1 − v  + v 4 = 2 − 1   4 2    2 1  2 2 Gi i phương trình th 2: (v + 1) −  v + 4  = 0 , t ñó tìm ra v r i thay vào tìm nghi m c a phương trình. 2  Bài 3. Gi i phương trình sau: x + 5 + x − 1 = 6 ði u ki n: x ≥ 1 ð t a= x − 1, b = 5 + x − 1(a ≥ 0, b ≥ 0) thì ta ñưa v h phương trình sau: ) ( hehe...☺ Cách h c t t môn Toán là ph i làm nhi u , bên c nh ñó Baøi taäp Baø Sytan1992@gmail.com Trang13/19-LTðH-2010
  14. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011 2 a + b = 5 → (a + b)(a − b + 1) = 0 ⇒ a − b + 1 = 0 ⇒ a = b − 1 2 b − a = 5  11 − 17 V y x −1 +1 = 5 + x −1 ⇔ x −1 = 5 − x ⇒ x = 2 6 − 2x 6 + 2x 8 + = Bài 4. Gi i phương trình: 5+ x 3 5− x Gi i ði u ki n: −5 < x < 5 ( ) ð t u = 5 − x , v = 5 − y 0 < u , v < 10 . (u + v)2 = 10 + 2uv u 2 + v 2 = 10   8⇔ Khi ñó ta ñư c h phương trình:  4 4 2 4  (u + v)  1 −  =  − − + 2(u + z ) =  uv  3 u v 3  Bài t p ñ ngh : Gi i các phương trình sau [ (1 − x ) − ]= 2 + 1) 3 2 − x = 1 − x − 1 (ðHTCKTHN - 2001) (1 + x )3 18) 3 1 + 1 − x2 1 − x2 3 − x + x2 − 2 + x − x2 = 1 2) 19) 3 2 + x + x 2 + 3 2 − x − x 2 = 3 4 (3x + 1)2 + 3 (3x − 1)2 + 3 9 x 2 − 1 = 1 x + x + 1 − x 2 + x = 1 (ðHDL HP’01) 3) 3 20) 4) 5 − x + 4 x −1 = 2 (2 − x) + (7 + x) − (2 − x )(7 + x) = 3 4 2 2 21) 3 3 3 x 2 − 3x + 3 + x 2 − 3x + 6 = 3 5) 22) 2 x + x + 1 + 1 + 2 x − x + 1 = 2 x + 1 + 1 6) 3 x + 34 − 3 x − 3 = 1 (ð12) 23) 3 sin 2 x + 3 cos 2 x = 3 4 x + 4 97 − x = 5 7) 4 24) sin x + 2 − sin 2 x + sin x. 2 − sin 2 x = 3 8) 14 + x + 3 12 − x = 2 3 25) 4 1 − cos 2 x + 4 1 + cos 2 x = 1 9) ( x + 8) 2 + 3 ( x − 8) 2 + 3 x 2 − 64 = 4 3 2 2 10) x + 17 − x 2 + x 17 − x 2 = 9 10 + 8 sin x − 4 8 cos 2 x − 1 = 1 26) 2 4 1 1 11) 27) 17 + x − 17 − x = 2 (DL Hùng vương- 2001) + =2 2 2− x x x − 1 + 1 = 6 − x (Cð m u giáo TW1- 2001) 28) 12) 3 1 + x + 3 1 − x = 2 29) x 2 + x − 5 + x 2 + 8x − 4 = 5 13) 3 x 2 + 2 = 3 x 2 − 65 + 1 30) x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 = 1 (ð142) 8 2 ( ) 31) x 35 − x x + 35 − x = 30 3 3 3 3 1 1 14) 3 + x + 3 − x = 1 32) 3x 2 + 5x + 8 − 3x 2 + 5x + 1 = 1 2 2 15) 7 + tgx + 2 − tgx = 3 2 x 2 + 5x + 2 − 2 2 x 2 + 5 x − 6 = 1 33) 3 3 34) 4 47 − 2x + 4 35 + 2x = 4 16) 3 24 + x + 12 − x = 6 17) (34 − x ) x + 1 − (x + 1) 34 − x = 30 3 3 34 − x − x + 1 3 3 D ng 2: ðưa phương trình ñã cho v h ñ i x ng lo i hai. Ta hãy ñi tìm ngu n g c c a nh ng bài toán gi i phương trình b ng cách ñưa v h ñ i x ng lo i II ) ( hehe...☺ Cách h c t t môn Toán là ph i làm nhi u , bên c nh ñó Baøi taäp Baø Sytan1992@gmail.com Trang14/19-LTðH-2010
  15. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011 ( x + 1)2 = y + 2 (1)  Ta xét m t h phương trình ñ i x ng lo i II sau :  vi c gi i h này thì ñơn gi n ( y + 1) = x + 2 (2) 2  Bây gi i ta s bi n h thành phương trình b ng cách ñ t y = f ( x ) sao cho (2) luôn ñúng , y = x + 2 − 1 , khi ñó ta có phương trình : ( x + 1) = ( x + 2 − 1) + 1 ⇔ x 2 + 2 x = 2 x+2 V y ñ gi i phương trình : x 2 + 2 x = x + 2 ta ñ t l i như trên và ñưa v h (α x + β )2 = ay + b  B ng cách tương t xét h t ng quát d ng b c 2 :  , ta s xây d ng ñư c phương trình d ng (α y + β ) = ax + b 2  β a sau : ñ t α y + β = ax + b , khi ñó ta có phương trình : (α x + β ) = 2 ax + b + b − α α β a Tương t cho b c cao hơn : (α x + β ) = n ax + b + b − n α α Tóm l i phương trình thư ng cho dư i d ng khai tri n ta ph i vi t v d ng : (α x + β ) = p n a ' x + b ' + γ v ñ t n α y + β = n ax + b ñ ñưa v h , chú ý v d u c a α ??? Vi c ch n α ; β thông thư ng chúng ta ch c n vi t dư i d ng : (α x + β ) = p n a ' x + b ' + γ là ch n ñư c. n Gi i phương trình: x 2 − 2 x = 2 2 x − 1 Bài 1. 1 ði u ki n: x ≥ 2 Ta có phương trình ñư c vi t l i là: ( x − 1) 2 − 1 = 2 2 x − 1  x 2 − 2 x = 2( y − 1)  ð t y − 1 = 2 x − 1 thì ta ñưa v h sau:  2  y − 2 y = 2( x − 1)  Tr hai v c a phương trình ta ñư c ( x − y )( x + y ) = 0 Gi i ra ta tìm ñư c nghi m c a phương trình là: x = 2 + 2 K t lu n: Nghi m c a phương trình là {1 − 2; 1 + 3} Bài 2. Gi i phương trình: 2 x 2 − 6 x − 1 = 4 x + 5 Gi i 5 ði u ki n x ≥ − 4 Ta bi n ñ i phương trình như sau: 4 x 2 − 12 x − 2 = 2 4 x + 5 ⇔ (2 x − 3) 2 = 2 4 x + 5 + 11 (2 x − 3) 2 = 4 y + 5  ⇒ ( x − y )( x + y − 1) = 0 ð t 2 y − 3 = 4 x + 5 ta ñư c h phương trình sau:  2 (2 y − 3) = 4 x + 5  V i x = y ⇒ 2x − 3 = 4x + 5 ⇒ x = 2 + 3 . V i x + y −1 = 0 ⇒ y = 1 − x → x = 1 − 2 Bài t p ñ ngh : Gi i các phương trình sau 3) (x2 + 3x - 4)2 + 3(x2 + 3x - 4) = x + 4 1) x 3 + 1 = 23 2 x − 1 2) x 3 + 2 = 33 3x − 2 ) ( hehe...☺ Cách h c t t môn Toán là ph i làm nhi u , bên c nh ñó Baøi taäp Baø Sytan1992@gmail.com Trang15/19-LTðH-2010
  16. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011 6) x 2 + 5 − x = 5 4) x 2 − 1 = 5) − x 2 + 2 = 2 − x 7) x +1 5− 5+ x = x 4x + 9 x − 9 = (x − 3) + 6 4− 4+ x = x 8) 7 x 2 + 7 x = 9) 10) , x > 0 (ðHAN-D) 3 3 28 11) x 2 + 5 + x = 5 12) x 3 − 33 3x + 2 = 2 13) x 2 + 1 + x = 1 14) 3 + 3 + x = x 9.. PHÖÔNG PHAÙP ÑAÏO HAØM. 9 1. Các bư c: Tìm t p xác ñ nh c a phương trình. Bi n ñ i phương trình (n u c n) ñ ñ t f(x) b ng m t bi u th c nào ñó. Tính ñ o hàm f(x), r i d a vào tính ñ ng bi n(nbi n) c a hàm s ñ k t lu n nghi m c a phương trình. 2. Ví d . Gi i phương trình sau: 2 x + 1 + 3 2 x + 2 + 3 2 x + 3 = 0 (1) 3 Gi i: T p xác ñ nh: D = R. ð t f(x) = 3 2x + 1 + 3 2x + 2 + 3 2x + 3 2 2 2 1 3 Ta có: f ' ( x) = + + > 0; ∀x ≠ − ,−1,− 2 2 (2 x + 1) 2 ( 2 x + 2) 2 ( 2 x + 3) 2 3 3 3 Suy ra hàm s f(x) ñ ng bi n trên t p M=  − ∞,− 1  ∪  − 1 ,−1 ∪  − 1,− 3  ∪  − 3 ,+∞       2 2 2 2     1 3 Ta th y f(-1)=0 ⇒ x=-1 là m t nghi m c a (1). Ta có: f ( − ) = 3; f ( − ) = −3 2 2 Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f(x): x -∞ − 3 1 -1 +∞ − 2 2 f’(x)    F(x) +∞ 0 3 -∞ -3 T b ng bi n thiên ta th y f(x) = 0 ⇔ x = -1. V y phương trình ñã cho có duy nh t m t nghi m x = -1. Bài t p tương t : Gi i các phương trình sau: ) ( 2) (2 x + 1) 2 + (2 x + 1)2 + 3  + 3 x 2 + 9 x 2 + 3 = 0 1) x + 2 + 3 x +1 = 3 2x 2 +1 + 3 2x2 3     T bài 2, ta có bài t p 3. ( )+ x(2000 + ) 3) (2 x + 1) 2000 + (2 x + 1)2 + 1999 x 2 + 1999 = 0 4) x + 3 + x + 19 = y + 3 + y + 19 ) ( hehe...☺ Cách h c t t môn Toán là ph i làm nhi u , bên c nh ñó Baøi taäp Baø Sytan1992@gmail.com Trang16/19-LTðH-2010
  17. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011 5) (ðH.B’02) Xác ñ nh m ñ phương trình sau có nghi m: ( ) m 1+ x2 − 1− x2 + 2 = 2 1− x4 + 1+ x2 − 1− x2 6) (ðH.A’08) Tìm các giá tr c a m ñ phương trình sau có ñúng hai nghi m th c phân bi t: 4 2 x + 2 x + 24 6 − x + 2 6 − x = m 10. 10. PHÖÖÔNG PHAÙP LÖÔÏNG GIAÙC HOAÙ Ví d . Gi i phương trình sau: x 3 + (1 − x 2 ) = x 2 − 2 x 2 (1) 3 Gi i: T p xác ñ nh: D = [-1; 1]. (2) Do (2) nên ñ t x = cost (*), v i 0 ≤ t ≤ π (A) Khi ñó phương trình (1) tr thành: cos 3 t + (1 − cos 2 t )3 = cos t 2(1 − cos 2 t ) (3) V i t ∈ (A), ta có: (3) ⇔ cos 3 t + sin 3 t = 2 cos t. sin t ⇔ (cos t + sin t )(1 − sin t. cos t ) = 2 cos t. sin t (4) X 2 −1 ð t X = cost + sint (5), X ≤ 2 (B)⇒ X2 = 1 + 2sint.cost ⇒ sint.cost = 2 Phương trình (4) tr thành phương trình n X:  X 2 −1 X 2 −1 ( ) ( ) X .1 −  = 2. ⇔ X 3 − X 2 = 2 X 2 −1 ⇔ X 3 + 2 X 2 − 3X − 2 = 0   2 2  X = 2  X = 2 ( )( ) ⇔ X − 2 X 2 + 2 2X +1 = 0 ⇔  ⇔  X = − 2 −1 2 X + 2 2X +1 = 0   X = − 2 +1  2 và X = - 2 + 1 là tho mãn ñi u ki n (B). Ta th y ch có nghi m X = +V iX= 2 , thay vào (5) ta ñư c:  π  π ππ π sin t + cos t = 2 ⇔ 2 sin t +  = 2 ⇔ sin t +  = 1 ⇔ t + = + k 2π ⇔ t = + k 2π , k ∈ Z .  4  4 42 4 Vì t ∈ (A) nên ta có t = π . Thay vào (*) ta ñư c: x = cos π = 2 (tho mãn t p xác ñ nh D). 4 42 2 +V iX=- + 1, thay vào (5) ta ñư c:  π  π  − 2 +1 sin t + cos t = − 2 + 1 (**) ⇔ 2 sin  t +  = − 2 + 1 ⇔ sin  t +  = . 4 4 2   Khi ñó, ta có: ) ( hehe...☺ Cách h c t t môn Toán là ph i làm nhi u , bên c nh ñó Baøi taäp Baø Sytan1992@gmail.com Trang17/19-LTðH-2010
  18. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011 2  π 2 2 2 −1  − 2 + 1  π   π  3−2 2 2 2 −1 ⇒ cos t +  = ± 1 − sin t +  = ± 1 −   = ± 1− cos t +  = ± =±    4 2 4 4  2 2 2    π π 2 2 −1 (cos t − sin t ) = ± 2 2 − 1 ⇔ cos t − sin t = ± 2 2 − 1(6) 2 ⇔ cos t. cos − sin t.sin =± ⇔ 4 4 2 2 2 T (**) và (6) suy ra cost = − 2 + 1 ± 2 2 − 1 . Thay vào (5), ta ñư c x = − 2 + 1 ± 2 2 − 1 . 2 2 Nhưng ch có nghi m x = − 2 + 1 − 2 2 − 1 tho mãn t p xác ñ nh D. 2 2 và x = − 2 + 1 − 2 2 − 1 . V y, phương trình ñã cho có hai nghi m x = 2 2 2) x 3 + (1 − x 2 ) = x. 2(1 − x 2 ) 3 1) 4 x 3 − 3x = 1 − x 2 (HVQHQT- 2001) Bài t p tương t . [ (1 − x) − ]= 2 + 1 + 2x 1 − x 2 (1 + x ) 3) 4) 1 + 1 − x 2 1 − x2 3 3 = 1 − 2x 2 2 2 . Gi i c ác ph ươ ng trình sau: 1) x 2 − 6 = 2 x 2 − 8 x + 12 + 4 x 9 ) 2 x 2 + ( x + 1)(2 − x) = 1 + 2 x x 2 + x + 2 + x 2 + x + 7 = 3 x 2 + 3x + 13 2 ) ( x + 5)(2 − x ) = 3 x 2 + 3 x 1 0) 3 ) 5x − 8 7 x 2 − 5x + 1 = 7 x 2 + 8 1 1) (4 x − 1) x 2 + 1 = 2( x 2 + x ) + 1 4 ) ( x + 1)( x + 4) − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6 1 2) x 2 + 3 x + 1 = ( x + 3) x 2 + 1 1 3) 2( x − 1) 2 x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x − 2 x + 3 + 6 − x = 3 + ( x + 3)(6 − x) 5) x 2 − 3x + 3 + x 2 + 3x + 6 = 3 6 ) 3 + 2 x − x 2 = 3( x + 1 − x ) 1 4) 2 x + 3 + x + 1 + 16 = 3 x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 x 2 + 7 + x + x 2 + x + 2 = 3x 2 + 3x + 19 7) 1 5) →h ) x +3 = x −3 3 . Gi i c ác ph ươ ng trình sau: ( n p h 1) 3 − x2 + x + 3 + x2 + x = 1 x 2 + 3 + 10 − x 2 = 5 4 ) 3x 2 − 2 x + 15 + 3x 2 − 2 x + 8 = 7 2) 3) 1) x 2 − 2 x + 5 + x − 1 = 2 4 . Gi i c ác ph ươ ng trình sau ( ð ánh giá) 5 − x = x 2 − 8 x + 18 2 ) 1 − x 2 + 23 1 − x 2 = 3 4 x + x +4 2− x + 2− x = 4 3) x − 3 + 4) 5 . Tìm m ñ p h ươ ng trình có nghi m . 4) 2 ( x + 2)(4 − x) + x 2 = 2 x − m 1) x − 1 + 3 − x − ( x − 1)(3 − x) = m 2) x + 1 + 1 − x = a 6 . Tìm m ñ p h ươ ng trình có nghi m . 5) 1 − x 2 + 23 1 − x 2 = m 2) 4 x + 4 2 − x = m 4−x + x+2 = m x + 2− x = m 1) 4) 3) 4 x −1 + x −1 + 4 3 − x + 3 − x = m 6) 4 x + x + 4 2 − x + 2 − x = m 7 . Gi i p h ươ ng trình, h p h ươ ng trình: a) 7 − x + x − 5 = x 2 − 12 x + 38 b ) 5 − 2 x + 2 x − 3 = 3 x 2 − 12 x + 14 c ) x 2 + x + 2004 = 2004 ) ( hehe...☺ Cách h c t t môn Toán là ph i làm nhi u , bên c nh ñó Baøi taäp Baø Sytan1992@gmail.com Trang18/19-LTðH-2010
  19. LUY N THI ð I H C -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CH A CĂN Năm h c 2010- 2011  x +1 + y = 1  x +1 + y = 4 2x 11   + + =2 f) d)  e)  1+ x 2 2x x + y = 7  x + y +1 = 1   11. 11. XAÂY DÖÏNG BAØI TOAÙN TÖØ TÍNH CHAÁT CÖÏC TRÒ HÌNH HOÏC. 11.1 Dùng t a ñ c a véc tơ Trong m t ph ng t a ñ Oxy, Cho các véc tơ: u = ( x1; y1 ) , v = ( x2 ; y2 ) khi ñó ta có ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) 2 2 ≤ x12 + y12 + x2 + y2 2 2 u+v ≤ u + v ⇔ x1 y1 D u b ng x y ra khi và ch khi hai véc tơ u, v cùng hư ng ⇔ = = k ≥ 0 , chú ý t s ph i dương x2 y2 u.v = u . v .cosα ≤ u . v , d u b ng x y ra khi và ch khi cos α = 1 ⇔ u ↑↑ v 11.2 S d ng tính ch t ñ c bi t v tam giác N u tam giác ABC là tam giác ñ u , thì v i m i ñi m M trên m t ph ng tam giác, ta luôn có MA + MB + MC ≥ OA + OB + OC v i O là tâm c a ñư ng tròn .D u b ng x y ra khi và ch khi M ≡ O . Cho tam giác ABC có ba góc nh n và ñi m M tùy ý trong m t m t ph ng Thì MA+MB+MC nh nh t khi ñi m M nhìn các c nh AB,BC,AC dư i cùng m t góc 1200 Bài t p: gi i phương trình, h phương trình sau: ( ) ( ) 2 x2 − 2 x + 1 + 2 x2 − 3 −1 x + 1 + 2x2 + 3 +1 x +1 = 3 1) x 2 − 4 x + 5 − x 2 − 10 x + 50 = 5 3) 5( x 2 + 2 yz ) + 6( y 2 + 2 xz ) + 5( z 2 + 2 xy ) = 4( x + y + z ) 2) x + y + x − y + 2 x 2 + 1 = 6( x + 1) 4)  1  1 + x1 + 1 + x2 + 1 + x3 + ... + 1 + x100 = 100 1 +  100 5)   1 − x + 1 − x + 1 − x + ... + 1 − x = 100 1 − 1  1 2 3 100 100  ) ( hehe...☺ Cách h c t t môn Toán là ph i làm nhi u , bên c nh ñó Baøi taäp Baø Sytan1992@gmail.com Trang19/19-LTðH-2010
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2