LUYN THI ðI HC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHA CĂN Năm hc 2010- 2011
Cách hc tt môn Toán là phi làm nhiu , bên cnh ñó
( hehe...☺ )
Sytan1992@gmail.com Trang
1/19-LTðH-2010




PHƯƠNG TRÌNH CHA CĂN THC


GOOD LUCKD
GOOD LUCKDGOOD LUCKD
GOOD LUCKD



Dng 1 : Phương trình
0( 0)
A B
A B A B
≥ ≥
= ⇔ =
Dng 2: Phương trình
2
0
B
A B
A B
≥
= ⇔ =
Tng quát:
2
2
k
k
B
A B
A B
≥
= ⇔ =
Dng 3: Phương trình
0
) 0
2
A
A B C B
A B AB C
≥
+ + = ⇔ ≥
+ + =
(chuyn v dng 2)
+)
(
)
3 3 3 3
3 3
3 .
A B C A B A B A B C
+ = ⇔ + + + =
(1)
và ta s dng phép th :
3 3
A B C
+ =
ta ñưc phương trình :
3
3 . .
A B A B C C
+ + =
(2)
Dng 4:
3 2 1
3 2 1
;
k
k
A B A B A B A B
+
+
= ⇔ = = ⇔ =
Chú ý:
- Ph
ươ
ng trình (2) là ph
ươ
ng trình h
qu
c
a ph tr (1).
-
Phép bình ph
ươ
ng 2 v
c
a m
t ph
ươ
ng trình mà không có
ñ
i
u ki
n cho 2 v
không âm là m
t phép bi
n
ñ
i h
qu
. Sau khi tìm
ñư
c nghi
m ta ph
i th
l
i.
Gii các phương trình sau:
1)
464
2
+=+− xxx
2)
xxx −=+− 242
2
3)
( )
943
22
−=−− xxx
4)
2193
2
−=+− xxx
5)
0323
2=−−+− xxx
6)
2193
2
−=+− xxx
7)
51333 =−− xx
8)
xx −=−− 214
9)
333
511 xxx =−++
10)
333
11265 +=+++ xxx 11) 0321
333
=+++++ xxx 12) 321 −=−−− xxx
13) 8273 −=−−+ xxx 14) 012315 =−−−−− xxx 15) xxx 2532 −=−−+
LUYN THI ðI HC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHA CĂN
N
ă
m h
c 2010- 2011
Cách hc tt môn Toán là phi làm nhiu , bên cnh ñó
( hehe...☺ )
Sytan1992@gmail.com Trang
2/19-LT
ð
H-2010



16)
01214 =−−− yy
17)

++=++++
18)
7925623
222
++=+++++ xxxxxx
19) 291 −+=+ xx
20)
279
22
=−−+ xx
(20)
3 3 1 2 2 2
x x x x
+ + + = + +
Nhn xét :
N
u ph
ươ
ng trình :
(
)
(
)
(
)
(
)
f x g x h x k x
+ = +
Mà có :
(
)
(
)
(
)
(
)
f x h x g x k x
+ = +
, thì ta bi
n
ñ
i
ph
ươ
ng trình v
d
ng
(
)
(
)
(
)
(
)
f x h x k x g x
− = −
sau
ñ
ó bình ph
ươ
ng ,gi
i ph
ươ
ng trình h
qu
(21)
32
1
1 1 3
3
xx x x x
x
+
+ + = − + + +
+
Nhn xét :
N
u ph
ươ
ng trình :
(
)
(
)
(
)
(
)
f x g x h x k x
+ = +
Mà có :
(
)
(
)
(
)
(
)
. .
f x h x k x g x
=
thì ta bi
n
ñ
i
(
)
(
)
(
)
(
)
f x h x k x g x
− = −
sau
ñ
ó bình ph
ươ
ng ,gi
i ph
ươ
ng trình h
qu



Dng 1:
Các phương trình có dng :
∗
∗∗
∗
. . 0
A B A B
α β γ
+ + =
, ñ
t
2
. .
t A B A B t
=
⇒
=
∗
∗∗
∗
. ( ) . ( ) 0
f x f x
α β γ
+ + =
, ñ
t
2
( ) ( )
t f x f x t
=⇒=
∗
∗∗
∗
.( )( ) ( ) 0
x b
x a x b x a x a
α β γ
−
− − + − + =
−
ñ
t
2
( ) ( )( )
x b
t x a x a x b t
x a
−
= − ⇒− − =
−
Chú ý:
∗
∗∗
∗
N
u không có
ñ
i
u ki
n cho t, sau khi tìm
ñư
c x thì ph
i th
l
i
Bài 1.
Gi
i các ph
ươ
ng trình sau: 7)
xxxx 271105
22
−−=++
1) 2855)4)(1(
2
++=++ xxxx
2)
( )
732233
2
2
+−=−+− xxxx 3) 2252)5(
3 2
−−+=+ xxxx
4)
54224
22
+−=+− xxxx
5)
122)2)(4(4
2
−−=+−− xxxx
6)
122)6)(4(
2
−−=−+ xxxx
Bài 2.
Tìm m
ñ
ph
ươ
ng trình sau có nghi
m?
a)
mxxxx ++−=−+ 352)3)(21( 2
b)
(
)
(
)
31342
2
−=+−++− mxxxx
Bài 3.
Cho ph
ươ
ng trình:
2)1)(3(42
2
−=+−++− mxxxx
a. Gi
i ph
ươ
ng trình khi m = 12 b. Tìm m
ñ
ph
ươ
ng trình có nghi
m?
Bài 4.
Cho ph
ươ
ng trình:
 =
−
+
−++−
(ð3)
a. Gi
i ph
ươ
ng trình v
i m = -3 b. Tìm m
ñ
ph
ươ
ng trình có nghi
m?
Dng 2:
Các phương trình có dng:
(
)
=+±±±
ðt
t
A B
= ±
Bài 1.
Gi
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
(QGHN-HVNH’00)
xxxx −+=−+ 1
3
2
1
2
b)
35223132
2
+++=+++ xxxxx
- 2
LUYN THI ðI HC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHA CĂN
N
ă
m h
c 2010- 2011
Cách hc tt môn Toán là phi làm nhiu , bên cnh ñó
( hehe...☺ )
Sytan1992@gmail.com Trang
3/19-LT
ð
H-2010



c)
(AN’01)
xxxxx 141814274926777
2
−=−++−++
d)

−−+=
−++
e)
4
2
1
2
2
5
5++=+ x
x
x
x
(ð36)
g)
(TN- K
A, B
‘01)
7
2
1
2
2
3
3−+=+ x
x
x
x
h)
zzzzz 24)3)(1(231 −=+−+++−
i)
253294123
2
+−+−=−+− xxxxx
(KTQS‘01)
Bài 2.
Cho ph
ươ
ng trình:
(
)
(
)
axxxx =−+−−++ 8181
(ðHKTQD - 1998)
a. Gi
i ph
ươ
ng trình khi a = 3. b. Tìm a
ñ
ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho có nghi
m.?
Bài 3.
Cho ph
ươ
ng trình:
(
)
(
)
mxxxx =−+−−++ 6363
(ð59)
a. Gi
i ph
ươ
ng trình v
i m = 3. b. Tìm m
ñ
ph
ươ
ng trình có nghi
m?
Bài 4.
Cho ph
ươ
ng trình:
mxxxx =−+−−++ )3)(1(31
(m-tham s
)
(ðHSP Vinh 2000)
a. Gi
i ph
ươ
ng trình khi m = 2. b. Tìm
ñ
ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho có nghi
m.
Bài 5.
Tìm a
ñ
PT sau có nghi
m:
(
)
(
)
axxxx =−+−−++ 2222
Tt c bài tp 2, 3, 4, 5 ta có th sáng to thêm nhng câu hi hoc nhng bài tp sau:
a)
Tìm a
ñ
ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho có nghi
m duy nh
t? (
ð
K c
n và
ñ
)
b)
Tìm a
ñ
ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho vô nghi
m?
Dng 3:
ðt n ph nhưng vn còn n ban ñu. (
Ph
ươ
ng pháp
ñ
t
n ph
không hoàn toàn
)
T
nh
ng ph
ươ
ng trình tích
(
)
(
)
1 1 1 2 0
x x x
+ − + − + =
,
(
)
(
)
2 3 2 3 2 0
x x x x
+ − + − + =
Khai tri
n và rút g
n ta s
ñư
c nh
ng ph
ươ
ng trình vô t
không t
m th
ư
ng chút nào,
ñ
khó c
a ph
ươ
ng trình
d
ng này ph
thu
c vào ph
ươ
ng trình tích mà ta xu
t phát .
T
ñ
ó chúng ta m
i
ñ
i tìm cách gi
i ph
ươ
ng trình d
ng này .Ph
ươ
ng pháp gi
i
ñư
c th
hi
n qua các ví d
sau .
Bài
1.
Gi
i ph
ươ
ng trình :
(
)
2 2 2
3 2 1 2 2
x x x x
+ − + = + +
Gii:
ð
t
2
2
t x
= +
, ta có :
( )
2
3
2 3 3 0
1
t
t x t x
t x
=
− + − + = ⇔
= −
Bài 2
. Gi
i ph
ươ
ng trình :
( )
2 2
1 2 3 1
x x x x
+ − + = +
Gii:
ð
t :
2
2 3, 2
t x x t= − + ≥
Khi
ñ
ó ph
ươ
ng trình tr
thnh :
(
)
2
1 1
x t x
+ = +
(
)
2
1 1 0
x x t
⇔ + − + =
Bây gi
ta thêm b
t ,
ñ
ñư
c ph
ươ
ng trình b
c 2 theo t có
∆
ch
n
:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
2 3 1 2 1 0 1 2 1 0
1
t
x x x t x t x t x
t x
=
− + − + + − = ⇔ − + + − = ⇔
= −
T
m
t ph
ươ
ng trình
ñơ
n gi
n :
(
)
(
)
1 2 1 1 2 1 0
x x x x
− − + − − + + =
, khai tri
n ra ta s
ñư
c pt sau
Bài
3. Gi
i ph
ươ
ng trình sau :
2
4 1 1 3 2 1 1
x x x x
+ − = + − + −
Gi
i:
Nh
n xét :
ñ
t
1
t x
= −
, pttt:
4 1 3 2 1
x x t t x
+ = + + +
(1)
Ta rút
2
1
x t
= −
thay vào thì
ñư
c pt:
(
)
(
)
2
3 2 1 4 1 1 0
t x t x
− + + + + − =
LUYN THI ðI HC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHA CĂN
N
ă
m h
c 2010- 2011
Cách hc tt môn Toán là phi làm nhiu , bên cnh ñó
( hehe...☺ )
Sytan1992@gmail.com Trang
4/19-LT
ð
H-2010



Nh
ư
ng không có s
may m
n
ñ
gi
i
ñư
c ph
ươ
ng trình theo t
(
)
(
)
2
2 1 48 1 1
x x
∆ = + + − + −
không có
d
ng bình ph
ươ
ng .
Mu
n
ñ
t
ñư
c m
c
ñ
ích trên thì ta ph
i tách 3x theo
(
)
(
)
2 2
1 , 1
x x
− +
C
th
nh
ư
sau :
(
)
(
)
3 1 2 1
x x x
= − − + +
thay vào pt (1) ta
ñư
c:
Bài 4
. Gi
i ph
ươ
ng trình:
2
2 2 4 4 2 9 16
x x x
+ + − = +
Gii .
Bình ph
ươ
ng 2 v
ph
ươ
ng trình:
( )
(
)
( )
2 2
4 2 4 16 2 4 16 2 9 16
x x x x
+ + − + − = +
Ta
ñ
t :
(
)
2
2 4 0
t x
= − ≥
. Ta
ñư
c:
2
9 16 32 8 0
x t x
− − + =
Ta ph
i tách
(
)
(
)
2 2 2
9 2 4 9 2 8
x x x
α α α
= − + + −
làm sao cho
t
∆
có d
ng chính ph
ươ
ng .
Nhn xét :
Thông th
ư
ng ta ch
c
n nhóm sao cho h
t h
s
t
do thì s
ñ
t
ñư
c m
c
ñ
ích
Bài tp ñ ngh:
Gi
i các ph
ươ
ng trình sau
1)
( )
122114
22
++=+− xxxx 2)
( )
121212 22 −−=−+− xxxxx
3)
=+++
4)
+
−
−
=
−
+
5)
2
113314 xxxx −+−+=−+
6)
1cossinsinsin 2=+++ xxxx
7)
=−−−−
−
+
8)
( ) ( )
yxyx
yx
xx ++=
++
+
−
222
cos413cos2
2
sin4.34
(9)
2 2
2 2
12 12
12
x x
x x
− + − =
Mt s dng khác.
1)
( ) ( )
(
)
2
2
4317319 +−+=+ xxx
2)
1
3
3
13
242
++−=+− xxxx 3)
131
23
−+=− xxx
4)
(
)
638.10
23
+−=+ xxx 5)
211
2
42
=−++−− xxxx
6)
0
2
12
2
2
12
2
64=
−
−
−
−
−x
x
x
x
x
x
7)
12
35
1
2
=
−
+
x
x
x
8) 1
1
3
1
1
1
1
3
1
1
2
2
22
2
2
−
−
=
−
+−
⇔−
−
=
−x
x
x
xx
x
x
x
10)
3
1
2
1=
+
−
+x
x
x
x
(ð141)
11)
( )
92
211
4
2
2
+=
+−
x
x
x
Dng 4:
.
ðt n ph ñưa v phương trình thun nht bc 2 ñi vi 2 bin :
Chúng ta
ñ
ã bi
t cách gi
i ph
ươ
ng trình:
2 2
0
u uv v
α β
+ + =
(1) b
!
ng cách
Xét
0
v
≠
ph
ươ
ng trình tr
thành :
2
0
u u
v v
α β
+ + =
0
v
=
th
tr
c ti
p
Các tr
ư
ng h
p sau c
ũ
ng
ñư
a v
ñư
c (1)
(
)
(
)
(
)
(
)
. .
a A x bB x c A x B x
+ =
LUYN THI ðI HC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHA CĂN
N
ă
m h
c 2010- 2011
Cách hc tt môn Toán là phi làm nhiu , bên cnh ñó
( hehe...☺ )
Sytan1992@gmail.com
Trang
5/19-LT
ð
H-2010



2 2
u v mu nv
α β
+ = +
Chúng ta hãy thay các bi
u th
#
c A(x) , B(x) b
i các bi
u th
#
c vô t
thì s
nh
n
ñư
c ph
ươ
ng trình vô t
theo d
ng
này .
a) . Phương trình dng :
(
)
(
)
(
)
(
)
. .
a A x bB x c A x B x
+ =
Nh
ư
v
y ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
Q x P x
α
=
có th
gi
i b
!
ng ph
ươ
ng pháp trên n
u
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
.P x A x B x
Q x aA x bB x
=
= +
Xu
t phát t
ñ$
ng th
#
c :
(
)
(
)
3 2
1 1 1
x x x x
+ = + − +
(
)
(
)
(
)
4 2 4 2 2 2 2
1 2 1 1 1
x x x x x x x x x
+ + = + + − = + + − +
(
)
(
)
4 2 2
1 2 1 2 1
x x x x x
+ = − + + +
(
)
(
)
4 2 2
4 1 2 2 1 2 2 1
x x x x x
+ = − + + +
Hãy t
o ra nh
ng ph
ươ
ng trình vô t
d
ng trên ví d
nh
ư
:2 4
4 2 2 4 1
x x x
− + = +
ð
có m
t ph
ươ
ng trình
ñ%
p , chúng ta ph
i ch
n h
s
a,b,c sao cho ph
ươ
ng trình b
c hai 2
0
at bt c
+ − =
gi
i “
nghi
m
ñ%
p”
Bài 1.
Gi
i ph
ươ
ng trình :
(
)
2 3
2 2 5 1
x x
+ = +
Gii:
ð
t 2
1, 1
u x v x x
= + = − +
Ph
ươ
ng trình tr
thành :
( )
2 2
2
2 5
1
2
u v
u v uv
u v
=
+ = ⇔ =
Tìm
ñư
c:
5 37
2
x±
=
Bài 2.
Gi
i ph
ươ
ng trình :
2 4 2
3
3 1 1
3
x x x x
− + = − + +
Bài 3:
gi
i ph
ươ
ng trình sau :
2 3
2 5 1 7 1
x x x
+ − = −
Gii:
ð
k:
1
x
≥
Nh
n xt : Ta vi
t
( )
(
)
( )
(
)
2 2
1 1 7 1 1
x x x x x x
α β
− + + + = − + +
ð&
ng nh
t th
#
c ta
ñư
c:
( )
(
)
( )
(
)
2 2
3 1 2 1 7 1 1
x x x x x x
− + + + = − + +
ð
t
2
1 0 , 1 0
u x v x x
= − ≥ = + + >
, ta
ñư
c:
9
3 2 7
1
4
v u
u v uv
v u
=
+ = ⇔ =
Ta
ñư
c :
4 6
x= ±
Bài 4.
Gi
i ph
ươ
ng trình :
( )
3
3 2
3 2 2 6 0
x x x x
− + + − =
Gi
i: