01699257507 Phương trình lượng giác không mẫu mực http://nguyentatthu.violet.vn
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa 1
Chuyên ñề: Phương trình lượng giác không mẫu mực
ðể giải phương trình lượng giác không mẫu mực, ta sử dụng các phép biến ñổi lượng giác, ñưa
phương trình ñã cho về những dạng phương trình ñã biết. Khi thực hiện các phép biến ñổi cần chú ý một số
nguyên tắc sau
1. ðưa về cùng một hàm số lượng giác: Trong một phương trình nếu các hàm số lượng giác có mặt
trong phương trình có thể cùng biểu diễn qua ñược một hàm số lượng giác thì ta ñưa phương trình ñã cho
về hàm chung ñó rồi sử sụng phương pháp ñặt ẩn phụ ñể chuyển về phương trình ñại số.
Ví dụ 1: Giải phương trình :
+ − − =
cos 3x cos 2x cos x 1 0
( ðH Khối D – 2006 ).
Ta thấy các hàm số lượng giác có mặt trong phương trình ñều biểu diễn ñược qua cosx. Do ñó ta chuyển
phương trình ñã cho về phương trình chỉ chứa hàm số cosx.
⇔ − + − − − = ⇔ + − − =
3 2 3 2
PT 4 cos x 3 cos x (2 cos x 1) cos x 1 0 2 cos x cos x 2 cos x
1 0
ðặt
= ≤
. Ta có:
= ±
+ − − = ⇔ − + = ⇔
= −
3 2 2
t 1
2t t 2t 1 0 (t 1)(2t 1) 0
1
t
2
.
*
= ± ⇔ = ± ⇔ = ⇔ = π
t 1 cos x 1 sin x 0 x k
* π π
= − ⇔ = − = ⇔ = ± + π
1 1 2 2
t cos x cos x k2
2 2 3 3
.
Ví dụ 2: Giải phương trình :
6 2
3 cos 4x 8 cos x 2 cos x 3 0
− + + =
(Dự bị Khối B – 2003 )
.
Ta chuyển phương trình về phương trình chỉ chứa
cos 2x
PT
⇔ − − + + + + ⇔ − + =
2 3 2
3(2 cos 2x 1) (1 cos 2x) 1 cos 2x 3 cos 2x(cos 2x 3 cos
2x 2) 0
cos 2x 0
x k
4 2
cos 2x 1 x k
π π
== +
⇔ ⇔
=
= π
.
2. ðưa về cùng một cung: Trong một phương trình lượng giác thường xuất hiện hàm số lượng giác của
các cung khác nhau (chẳng hạn cung
x; x, 3x...
3
π−), khi ñó ta có thể tìm cách ñưa về cùng một cung nếu
có thể ñược
Ví dụ 3: Giải phương trình :
1 1 7
4 sin( x)
sin x 3 4
sin(x )
2
π
+ = −
π
−
(ðH Khối A – 2008 )
Trong phương trình có ba cung
3 7
x; x ; x
2 4
π π
− −
nên ta tìm cách chuyển ba cung này về cùng một cung x
Ta có: 3
sin(x ) sin (x ) 2 sin(x ) cos x
2 2 2
π π π
− = + − π = + =
( )
7 1
sin( x) sin 2 (x ) sin(x ) sin x cos x
4 4 4
2
π π π
− = π − + = − + = − +
PT
1 1
2 2(sin x cos x) (sin x cos x)( 2 sin 2x 1) 0
sin x cos x
⇔ + = − + ⇔ + + =
01699257507 Phương trình lượng giác không mẫu mực http://nguyentatthu.violet.vn
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa 2
sin x cos x 0 x k
4
15
sin 2x
x k ; x k
2
8 8
π
+ = = − + π
⇔ ⇔
π π
= −
= − + π = − + π
.
Ví dụ 4: Giải phương trình :
2 sin x(1 cos 2x) sin 2x 1 2 cos x
+ + = +
(ðH Khối D – 2008 ).
Ta chuyển cung 2x về cung x.
PT
⇔ + = + ⇔ + = +
2
4 sin x cos x 2 sin x cos x 1 2 cos x 2 sin x cos x(2 cos x 1
) 2 cos x 1
π
= + π
⇔ + − = ⇔ π
= ± + π
x k
4
(2 cos x 1)(sin 2x 1) 0 2
x k2
3
.
3. Biến ñổi tích thành tổng và ngược lại: Trong phương trình xuất hiện tích của các hàm số lượng giác
sn và cos thì ta có thể biến ñổi thành tổng (múc ñích là tạo ra những dại lượng giống nhau ñể thực hiện
các phép rút gọn). Nếu xuất hiện tổng thì ta biến ñổi về tích (Mục ñích làm xuất hiện thừa số chung ), ñặc
biệt là ta sẽ gép những cặp sao cho tổng hoặc hiệu hai cung bằng nhau.
Ví dụ 5: Giải phương trình :
=
sin 2x. cos 3x sin 5x. cos 6x
.
PT
π
=
⇔ − = − ⇔ = ⇔
π π
= +
x k
1 1 6
sin 5x sin x sin 11x sin x sin 5x sin 11x
2 2
x k
16 8
Ví dụ 6: Giải phương trình :
+ + = + +
sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x cos 3x
.
PT
⇔ + + = + +
(sin x sin 3x) sin 2x (cos x cos 3x) cos 2x
⇔ + = + ⇔ + − =
2 sin 2x cos x sin 2x 2 cos 2x cos x cos 2x (2 cos x 1)(s
in 2x cos 2x) 0
π
= ± + π
= −
⇔ ⇔
π π
== +
2
1
x k2
cos x 3
2
sin 2x cos 2x x k
8 2
.
4. Hạ bậc: Khi giải phương trình lượng giác ta phải sử dụng các công thức biến ñổi lượng giác. Tuy
nhiên những công thức này chỉ sử dụng khi hàm số lượng giác có số mũ bằng 1, do ñó nếu trong phương
trình có số mũ của các hàm số lượng giác là chẵn thì ta có thể hạ bậc ñể thuận tiện cho việc biến ñổi .
Ví dụ 7: Giải phương trình :
2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x
− = −
(ðH Khối B – 2002 ).
Áp dụng công thức hạ bậc, ta có:
1 cos 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x
PT cos 6x cos 8x cos10x cos12x
2 2 2 2
− + − +
⇔ − = − ⇔ + = +
π
= + π
=
⇔ = ⇔ ⇔
= π π
= =
x k
cos x 0 2
2 cos 7x cos x 2 cos 11x cos x cos11x cos 7x
x k ; x k
2 9
.
Ví dụ 8: Giải phương trình :
− =
2 2
cos 3x cos 2x cos x 0
( ðH Khối A – 2005 ).
PT
⇔ + − − = ⇔ − =
(1 cos 6x) cos 2x 1 cos 2x 0 cos 6x. cos 2x 1 0
(1)
01699257507 Phương trình lượng giác không mẫu mực http://nguyentatthu.violet.vn
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa 3
⇔ + − =
cos 8x cos 4x 2 0
π
⇔ + − = ⇔ = ⇔ =
2
2 cos 4x cos 4x 3 0 cos 4x 1 x k
2
.
Nhận xét: * Ở (1) ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay
= −
3
cos 6x 4 cos 2x 3 cos 2x
và chuyển về
phương trình trùng phương ñối với hàm số lượng giác
cos 2x
.
* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ ñầu, chuyển phương trình ñã cho về phương trình chỉ
chứa cosx và ñặt
=
2
t cos x
Tuy nhiên cách ñược trình bày ở trên là ñẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức
biến ñổi tích thành tổng ( Vì công thức nhân ba chúng ta không ñược học).
5. Chuyển hai hàm số tan và cot về hai hàm sin và cos: Nếu trong phương trình xuất hiện tan, cot và
sin, cos thì ta thay tan, cot bởi sin và cos và lúc ñó chúng ta dễ dàng tìm ñược lời giải hơn. Chú ý khi gặp
phương trình chứa tan hay cot, ta nhớ ñặt ñiệu kiện cho phương trình !
Ví dụ 9: Giải phương trình :
(
)
− = −
2
5 sin x 2 3 1 sin x tan x
(ðH Khối B – 2004 )
.
ðiều kiện : π
≠ ⇔ ≠ + π
cos x 0 x k
2
PT
⇔ − = − ⇔ − = −
−
2 2
2 2
sin x sin x
5 sin x 2 3(1 sin x) 5 sin x 2 3(1 sin x)
cos x 1 sin x
⇔ − = ⇔ − + = ⇔ + − =
+
22 2
sin x
5 sin x 2 3 (5 sin x 2)(1 sin x) 3 sin x 2 sin x 3 sin x 2 0
1 sin x
π
= + π
π
⇔ = = ⇔ π
= + π
x k2
16
sin x sin 5
2 6
x k2
6
.
Ví dụ 10: Giải phương trình :
π
− − =
2 2 2
x x
sin tan x cos 0
2 4 2
(ðH Khối D – 2003 ).
ðiều kiện :
π
≠ ⇔ ≠ + π
cos x 0 x k
2
.
PT
π
⇔ − − − + = ⇔ − − + =
−
2 2
2 2
sin x sin x
1 cos(x ) (1 cos x) 0 (1 sin x) (1 cos x) 0
2
cos x 1 sin x
⇔ − + = ⇔ − − + + =
+
22
sin x
(1 cos x) 0 (1 cos x) (1 cos x)(1 sin x) 0
1 sin x
= π
=
⇔ − − = ⇔ ⇔
π
=
= + π
x k2
cos x 1
(1 cos x)(cos x sin x) 0 tan x 1
x k
4
.
Trên là một số nguyên tắc chung thường ñược sự dụng trong các phép biến ñổi phương trình lượng giác.
Mục ñích của các phép biến ñổi ñó là nhằm các mục ñích sau:
1. ðưa phương trình ban ñầu về phương trình lượng giác thường gặp (Thường là ñưa về phương trình
ña thức ñối với một hàm số lượng giác)
Ví dụ 1: Giải phương trình :
1 3 tan x 2 sin 2x
+ =
(ðH Công ðoàn – 2000).
01699257507 Phương trình lượng giác không mẫu mực http://nguyentatthu.violet.vn
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa 4
Giải: ðiều kiện :
cos x 0 x k
2
π
≠ ⇔ ≠ + π
PT
2
sin x
1 3 4 sin x cos x cos x 3 sin x 4 sin x cos x
cos x
⇔ + = ⇔ + = . ðây là phương trình ñẳng cấp bậc ba
nên ta chia hai vế của phương trình cho
3
cos x
(do
cos x 0
≠
), ta ñược phương trình :
2 2
2 2
1 tan x
3 4 tan x 1 tan x 3 tan x(1 tan x) 4 tan x
cos x cos x
+ = ⇔ + + + =
3 2
3 tan x tan x tan x 1 0 tan x 1 x k
4
π
⇔ + − + = ⇔ = − ⇔ = − + π
thỏa ñiều kiện .
Nhận xét: ðể giải phương trình này ngay từ ñầu ta có thể chia hai về của phương trình cho
2
cos x
hoặc sử
dụng công thức
2 2 2
2 sin x cos x 2 tan x
sin 2x
sin x cos x 1 tan x
= =
+ +
và chuyển phương trình ban ñầu về phương trình chỉ
chứa hàm tan như trên.
Ví dụ 2: Giải phương trình :
2
cot x tgx 4 sin 2x
sin 2x
− + = ( ðH Khối B – 2003 ).
Giải: ðiều kiện:
sin 2x 0 x k
2
π
≠ ⇔ ≠
PT
2 2
cos x sin x 1
4 sin 2x cos x sin x 4 sin 2x.sin x cos x 1
sin x cos x sin x cos x
⇔ − + = ⇔ − + =
2 2
1
cos 2x 2 sin 2x 1 0 2 cos 2x cos 2x 1 0 cos2x
2
⇔ + − = ⇔ − − = ⇔ = −
(do
sin 2x 0 cos2x 1
≠ ⇔ ≠ ±
)
x k
3
π
⇔ = ± + π
.
Chú ý : Ta cần lưu ý ñến công thức:
2
tan x cot x
sin 2x
+ = và
cot x tan x 2 cot 2x
− =
>
Ví dụ 3: Giải phương trình :
6 6
sin x cos x sin 2x
+ =
(HVBCVT TPHCM – 2001 ).
Giải:
Ta có
6 6 2 2 3 2 2 2 2 2
3
sin x cos x (sin x cos x) 3 sin x cos x(sin x cos x) 1 si
n 2x
4
+ = + − + = −
Nên pt
2 2
3 2
1 sin 2x sin 2x 3 sin 2x 4 sin 2x 4 0 sin 2x
4 3
⇔ − = ⇔ + − = ⇔ =
1 2
x arcsin k
2 3
1 2
x arcsin k
2 2 3
= + π
⇔π
= − + π
.
Chú ý : Ta cần lưu ý ñến công thức
4 4 2
1 3 1
sin x cos x 1 sin 2x cos 4x
2 4 4
+ = − = + .
01699257507 Phương trình lượng giác không mẫu mực http://nguyentatthu.violet.vn
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa 5
6 6 2
3 5 3
sin x cos x 1 sin 2x cos 4x
4 8 8
+ = − = + .
Ví dụ 4: Giải phương trình:
4 4
3
cos x sin x cos(x )sin(3x ) 0
4 4 2
π π
+ + − − − =
(ðH Khối D – 2005 ).
Giải: Ta có:
4 4 2
1
sin x cos x 1 sin 2x
2
+ = −
( )
(
)
2
1 1 1
sin(3x ) cos(x ) sin(4x ) sin 2x cos 4x sin 2x 2 sin 2
x sin 2x 1
4 4 2 2 2 2
π π π
− − = − + = − + = + −
Nên pt
(
)
2 2 2
1 1 3
1 sin 2x 2 sin 2x sin 2x 1 0 sin 2x sin 2x 2 0
2 2 2
⇔ − + + − − = ⇔ + − =
sin 2x 1 x k
4
π
⇔ = ⇔ = + π
.
2. ðưa phương trình về phương trình dạng tích : Tức là ta biến ñổi phương trình
f(x) 0
=
về dạng
h(x).g(x) 0
=
. Khi ñó việc giải phương trình ban ñầu ñược quy về giải hai phương trình :
g(x) 0
h(x) 0
=
=
.
Trong mục ñích này, ta cần làm xuất hiện nhân tử chung.
Một số lưu ý khi tìm nhân tử chung :
Các biểu thức
2
1 sin 2x (s inx cos x)
+ = +
;
cos 2x (cos x sin x)(cos x sin x)
= − +
;
sin x cos x
1 tan x
cos x
+
+ = ;
sin x cos x
1 cot x
sin x
+
+ = nên chúng có thừa số chung là
sin x cos x
+
.
Các biểu thức
1 sin 2x
−
;
cos 2x
;
1 tan x
−
;
1 cot x
−
có thừa số chung là
cos x sin x
−
.
2 2
sin x; tan x
có thừa số
(1 cos x)(1 cos x)
− +
. Tương tự
2 2
cos x; cot x
có thừa số
(1 sin x)(1 sin x)
− +
.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
1+ sin x cos x sin 2x cos 2x 0
+ + + =
(ðH Khối B – 2005 ).
Giải: PT
2 2
(1 sin 2x) (sin x cos x) cos x sin x 0
⇔ + + + + − =
2
(sin x cos x) (sin x cos x) (cos x sin x)(cos x sin x)
0
⇔ + + + + − + =
sin x cos x 0 x k
4
(sin x cos x)(2 cos x 1) 0 12
cos x
x k2
2
3
π
+ =
= − + π
⇔ + + = ⇔ ⇔
π
= −
= ± + π
.
Nhận xét: Ngoài cách biến ñổi trên, ta có thể biến ñổi cách khác như sau
PT
2
2 cos cos x sin x 2 sin x cos x 0 cos x(2 cos 1) sin x(2 c
os x 1) 0
⇔ + + + = ⇔ + + + =
(2 cos x 1)(sin x cos x) 0
⇔ + + =
. Mặc dù hai cách biến ñổi trên khác nhau nhưng chúng ñều dựa trên
nguyên tắc ”ñưa về một cung”.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
cos x(cos x 1)
2(1 sin x)
sin x cos x
−= +
+
(Dự bị Khối D – 2003 ).
Giải: ðk:
sin x cos x 0 x k
4
π
+ ≠ ⇔ ≠ − + π
PT
(1 sin x)(1 sin x)(cos x 1) 2(sin x cos x)(1 sin x)
⇔ − + − = + +